Неравенство Коши - Буняковского | Ботай со мной
Вставка
- Опубліковано 4 лют 2025
- #БотайСоМной #049
Неравенство Коши - Буняковского (неравенство Коши - Буняковского - Шварца / КБШ)
среднее арифметическое
среднее квадратичное
среднее гармоническое
Поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
/ trushinbv
Библиотека курсов онлайн-школы Фоксфорд: foxford.ru/lib...
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть C (задания 13-19):
foxford.ru/cou...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть B (задания 1-12):
foxford.ru/cou...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике:
foxford.ru/cou...
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике:
foxford.ru/cou...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_tru...
Группа сайта TrushinBV.ru: trushin...
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
UA-cam-канал: / trushinbv
Спасибо, что я учусь во время развитого интернета. И есть такие замечательные преподаватели
Когда-то в студенчестве я неправильно ставил ударение в слове Коши. Почему-то мне казалось, что это один человек - Коша Буняковский (подпольный математик из Одессы).
фу как некультурно)
А я постояно говорил не теорема Фалеса,а теорема фаласа
Какое было отчество у сына Коши Буняковского?
Аналог из физики) Как звали отца Био Савара Лапласа?
@@Name-wm1qg я настолько запомнил ассоциацию со словом фаллос что на геометрии однажды случайно произошла оговорочка по Фрейду)))
спасибо вам большое что все обьясняете на человеческом языке
Расскажите еще про неравенство Йенсена - это тоже очень легко доказываемое и даже интуитивно понятное неравенство, причем из него куча других интересных неравенств следует, просто выбирая различные выпуклые функции.
Сегодня у всех школьников Украины (в том числе меня) зно по математике, БВ, спасибо за ваши уроки, в особенности за тригонометрию
Ну че как сдал ?
@@ssseoks вовремя ты
@@jiln3hb так а как сдал то?
Борис Викторович, большое вам спасибо за этот полезный видеоролик. Благодаря знаниям, которые я получил тут, я смог доказать КБШ перед своими одногруппниками, получив при этом +1 балл на экзамене по линейной алгебре :)
upd: я его доказал ещё одним способом, вывел из неравенства Йенсена.
Какое шикарное доказательство
Красавчик, всегда кушаю под твои видосы)
Вы лучший, очень приятно смотреть ваши видео, спасибо, что вы есть.
Борис, коммент вам в карму)
Вряд-ли кто-то его прочитает, кроме роботов ютуба. Надеюсь немножечко но поможет каналу.
Спасибо за ваши труды!
Я прочитал, и я не робот )
@@trushinbv это было не неожиданно) спустя 4 года выпуска ролика.
Раз вы читаете прям все комментарии, то тогда ещё и с Рождеством!
@@nrm3122 Спасибо )
Спасибо огромное!! Самое простое и понятное доказательство
меня мой репетитор заставил это вручную выводить(((( было бы круто, если бы на тот момент Ваш ролик уже вышел! Крайне понятно описано, в отличие от источников в интернете
Спасибо!! Отличный видос! Буду рад посмотреть про норму и ортогональную проекцию.
Спасибо вам за ваши интересные видео, закончил 8 класс, люблю готовится к разным олимпиадам по вашим урокам, теперь буду использовать КБШ
Удачи на всеросе! В этом году на региональный этап прошел?
Так я с казахастана
Борис! Вы супермен
Когда на линале хотели завалить, то спрашивали именно это
Почему я не сейчас на первом курсе...
Сложно, но очень интересно
Решение домашки:
sina×sinb +cosa×1+1×cosb
Как поставить лайк два раза? Супер крутое видео)) До вашего ролика я думала, что неравенство Коши это что то непознаваемое для меня)
Марсианам расскажешь
Я допустил ошибку, прошу прощения, вы лучший, уважаемый, Борис Викторович!
Расскажите о том, как строить сечения
Смотришь-кайфуешь-отдыхаешь!
Красиво!
Где же вы были, когда я сессию сдавал?)) Но за видео весьма благодарен
Это гениально 👾
Здесь есть что-то общее с неравенством Йенсена? Очень похожая конструкция.
Мне в задачники в указании было сказано что доказывать можно через формулу дискриминанта квадратного трехчлена. Но здесь наверняка будет более увлекательное доказательство
таки общий вид неравенства о средних ждать?)
Смотрю в комментарии, а там половина людей-студенты. А я девятиклассница, спасибо большое учебнику Мерзляка по углубленке
БОЖЕ ЖИЗА
Расскажите про неравенство минковского
смотрел сумму всех натуральных чисел от Numberphile
, смотрел разоблачение - ни чего не понял. Проясните, пожалуйста
Почему не можем рассмотреть ... (an*x + bn)^2 - то же самое выходит же ? Где именно что-то ломается
Я в 8 классе и мне это нужно знать , писец
ua-cam.com/video/qfAAXxh6sRo/v-deo.html - Как по мне, так это больше подходит на утверждение, что при заданных сторонах a и b , площадь квардата (справа) всегда будет, чем площадь любого параллелограмма с теми же сторонами a и b (слева) , если взять корень.
Я не понимаю почему именно такой квадратный трёхчлен был выбран(4:00). Откуда мы его взяли, как нашли??
специально вывели, чтобы его дискриминант был неравенством Коши - Буняковского?
@@vladik_pwnz да, это вспомогательный многочлен
Здравствуйте!
Где и как часто это неравенство и следствия из него используются в профильном ЕГЭ?
Заранее спасибо
Нечасто. Это больше для Олимпиад
это в матанализе используется, в егэ этого ни разу не видел, хотя это абсолютно легкий факт
Не совсем понимаю, как именно получился квадратный трехчлен (откуда его взяли) . Вы не могли бы пояснить?
Извините , а можно спросить почему решили и как добавили х
Почему неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным превращается в равенство, если все a равны между собой?
a^2=ka
a!=0 => a=k
Найс, но если скалярное произведение введено нестандартным образом?
Для другого скалярного произведения получится другое неравенство
Здравствуйте, Борис. Заинтересовался доказательством через n-мерные векторы. Но везде просто возводят в квадрат. Но если косинус меньше 1, или левая часть меньше 1. Будет ли данный переход равносильным?
Можно было бы расширить это доказательство на случай пространства заданного над полем комплексных чисел)
Это как-нибудь потом )
В комплексных числах нет понятия неравенства.
@@trushinbv че-то эта какая-то прикольная жесть. Не слышал раньше
@@vladimirzadiran5609 ну вообще то мы рассматриваем все это как векторы, а там есть норма
Каайф =D
Это же вузовский материал? Ах да и ещё вопрос: ЗАЧЕМ ЭТО? Просто так, поиграться, уж очень много входных данных, чтобы всё было «красиво». Я прост ток на 1-ый курс поступил и пока ещё слепой студент, просветите)
Скорее углубленная школьная программа.
жаль вы такое полезное следствие, как лемма Титу, не упомянули
Впереди еще много роликов. Все о один запихивать не нужно )
Пропустила эту тему в школе, решила что-то найти посмотреть.. впервые полностью ничего не понимаю.....🤦🏼♀️ Надеюсь когда-то я это пойму
А что именно сложно понять?
Т е a1b1+a2b2+...a(n)b(n) ?
Когда Вы пишите "a1b1 + ... + anbn" не сразу понятно, что имеется ввиду: все попарные попарные произведения или только те, где перемножаются числа с одинаковым индексом, приходится чуть больше думать. Спасибо за ролик!
думать же прикольно вроде
10/10
Борис, как относитесь к Алексею Савватееву?
а ты как?
Последнее неравенство можно ведь доказать при помощи Коши (между арифметическим и геометрическим)
ua-cam.com/video/9oSylfDrlj0/v-deo.html
Почему корней максимум 1? Есть же случай еогда парабола пересекает ось в двух тлчках?!
Это к какому месту вопрос?
04:50-05:50
@@daurennabiev1158 Если есть два корня, то между ними квадратный трехчлен отрицательный. А наш неотрицателен при всех икс.
Спасибо большое)
Каким образом выполнено преобразование на 4:55?
Просто скобки раскрыли.
@@trushinbv, спасибо, уже понял по ходу видео.
А как же вторая формулировка?
Что вы имеете в виду?
@@trushinbv я имею в виду замену всех a на x/sqrt(y) и всех b на sqrt(y), когда в итоге получается x1^2/y1+x2^2/y2+...+xn^2/yn>=(x1+x2+...+xn)^2/(y1+y2+...+yn). Просто видео в таком случае не совсем полное, или вы собираетесь делать вторую часть?
несколько задач бы...
Что в универе,что тут я никогда не понимал,почему все так упираются в этот трюк x+ty
Ведь для обычной суммы можно без него выйти не так сложно.
Просто выглядит это очень неинтуитивно,когда мы такие берём и вот так вот делаем.
Согласен,когда там какая-то общая норма и это проверяем,то по-другому там не получится (наш функанщик так и не нашёл способа проще),но тут же тупо сумма,наверное,есть способы и проще...?
Конечно,есть.Аж 2,причём,тупых довольно.
1)Индукционный переход (немного некрасиво,но всё же)
summ[ai^2]summ[bi^2]>=(summ[aibi])^2
(summ[ai^2]+aa)(summ[bi^2]+bb)>=(summ[aibi]+ab)^2
aabb+bbsumm[ai^2]+aasumm[bi^2]+summ[ai^2]summ[bi^2]>=(summ[aibi])^2+aabb+2absumm[aibi]
bbsumm[ai^2]+aasumm[bi^2]>=2absumm[aibi] те осталось это доказать.
И вот придётся на 2 шага заглядывать в прошлое,к сожалению,так как ну по-нормальному это не доказать иначе.
bb(summ[ai^2]+AA)+aa(summ[bi^2]+BB)>=2ab(summ[aibi]+AB) причём,для сумм теперь стрёмное неравенство выполнено по индукционной гипотезе.
bbsumm[ai^2]+aasumm[bi^2]+AAbb+aaBB>=2absumm[aibi]+2abAB как я и говорил,неравенство выполнено,поэтому
AAbb+aaBB>=2abAB
Ну тут совсем тупо
(Ab-aB)^2>=0 кстати,сразу видно,когда достигается равенство.
2)Влоб смотрим на сумму и пытаемся понять,что там происходит (я так первый раз и делал ещё в школе)
summ[ai^2]summ[bi^2]>=(summ[aibi])^2
Фиксируем индексы i,j и смотрим слагаемые с ними.
(...+aiai+...+ajaj+...)(...+bibi+...+bjbj+...)>=(...+aibi+...+ajbj+...)^2
aiaibibi+ajajbjbj+aiaibjbj+ajajbibi>=aiaibibi+ajajbjbj+2aibiajbj
Видно,что многое повторяется
aiaibjbj+ajajbibi>=2aibiajbj Вот что осталось не столь очевидным
Ну тут видно
(aibj-ajbi)^2>=0
Так же видно,в какой момент будут равенства
Ну и видно,что свели к тому же.
Всё же,когда равенство?
Оба доказательства говорят,что надо,чтобы для любых индексов (или упорядоченный,что одно и то же тут) было
ai/aj=bi/bj
Либо какой-то из них вообще константа,либо линейно связан с другом,иначе хоть одно такое равенство поломается
те a=const or ai=c*bi
На мой взгляд,в сумме уж можно показать это всё,так как ну не так и сложно,а понимание куда больше приходит.
Как чисел шпрехает