Формула для корней и теорема Виета | Квадратный трёхчлен #1 | Ботай со мной
Вставка
- Опубліковано 27 бер 2018
- Квадратный трёхчлен. Часть I
Формула для корней квадратного уравнения и теорема Виета
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике: foxford.ru/courses/603/landin...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике: foxford.ru/courses/599/landin...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике: foxford.ru/courses/596/landin...
Квадратный трёхчлен. Формула для корней квадратного уравнения и теорема Виета
Найденные "опечатки":
14:21 Должна быть система, а не совокупность
Ну почему я узнал об этом только в 11 классе? Спасибо вам, Борис, за подробное объяснение
@@I_Deft_I так это не сложно, кубические уравненич сложнее(формула Кардано)
@@user-qw6sh8dn5z я сказал, что это сложно?
@@I_Deft_I по логике если, то да, так как узнать- значит иметь какие то трудности
@@user-qw6sh8dn5z ты вообще читаешь, что пишешь? Я имел ввиду то, что учителя нам никогда не рассказывали откуда взялся дискриминант, а просто заставляли учить формулу. Лишь полгода назад я узнал, откуда он взялся и это не вызвало никаких трудностей у меня. А ты - просто придрался со своим кубическим уравнением
Люблю математику! Наконец сейчас, в 37 лет узнал откуда появился дискриминант и теорема Виета)
Разве нельзя так же объяснить ребятам и в 8 классе? Зачем пичкать нас формулами, которые не запомнятся половине класса, если можно подать материал, в полной мере демонстрируя строгость, логичность и грациозность математики? Это может занять на 10-15 минут больше, но, мне кажется, в будущем это обернется часами сэкономленного времени.
Спасибо Вам, Борис, за то, что закрываете дыры нашей грамотности!!!!
Это не просто вытянуть среднему восьмикласснику + надо понимать, что некоторым матан совсем не даётся( и от учителя это уже не зависит), а ОГЭ все сдавать
Матана в ОГЭ нет, да и в ЕГЭ его мизерное количество
Илья Завсегдатаев какой же ты нудный
@@ChrisGrand11 Какая же ты заурядная!
Это есть в любом учебнике за 8 класс. Вы его читать пробовали?
ааа... вон оно чаво. В 43 года только и узнал, откуда берутся эти волшебные формулы
Такому учителю матеши я бы был рад.Который не просто кидает формулы в голову , а поясняет ,что из чего исходит , и как это всё работает.Спасибо , любопытность удовлетворил.
Только повзрослев, в полной мере начал восхищаться красотой этой великой науки - математики
потому что учителей в школе не слушал ты.
Спасибо, Борис, всё больше и больше влюбляюсь в математику
Я учусь в 11 классе, хорошо знаю школьную программу по математике, но только сейчас задумался о том, откуда взялась квадратичная формула XD.
Жиза)
@@user-fe6xr3bl8r кто-то просто учебник открывал в школе только чтоб домашку сделать, а на теорию в учебнике тупой школоте насрать.
@@kosiak10851 У большенства нормальных людей в 7ом классе другие интересы. Малая часть детей сядет разбираться в формулах, вместо того, чтобы играть в футбол, общаться с друзьями, сидеть в инете и тд. Это абсрлютно нормально, ведь в их возрасте мир кажется интересне и хочется его исследывать, вместо того, чтобы смотреть в скучнуу книгу
@@KuPruM_ сидеть в инетике и играть в футбол это исследование мира? интересно
@@dextert_qwer1660лол. Это большее исследование мира, чем вычитывание и перерисовывание бесполезных закорючек из учебника математики:)
Блииин, это так легко, а нам говорили, что мы не поймем и только в университете нам расскажут о дискриминанте. Чо за бред.
Благо есть Ваш канал.)
Лол. Очень лёгкая тема
что, сцуко, характерно, в университете тоже не сказали
@@user-nj9rq4ff3h наверно вуз гуманитарный, посчитали что не нужно
Смотря ваши видео, понимаю, насколько мне повезло с учителем математики в школе, ибо нам не давали ни дискриминант, ни Виета с воздуха, всегда все выводили.
Спасибо большое, Борис, за ваш труд.
Я учусь в 7 классе и изучаю математику более углубленно, чем мои одноклассники. На уроках алгебры мне невероятно скучно из-за того, что нужно решать всё по формулам, которые нам дают и не объясняют(Формулы квадраты и куба суммы и разности мы выводили сами простым перемножением скобок. Формулы суммы квадратов или кубов нам давали так: в начале урока учитель писал на доске произведение двух скобок, мы раскрывали их и получали нужную формулу). Геометрическое значение этих формул на показывали вскользь, листая учебник. Теперь стало немного интереснее, т.к. мы начали проходить функции, но в седьмом классе нам рассказывают только про линейные функции(ещё не начали, но скоро будут), вроде бы даже про гиперболу нет материала в учебнике.
Если хочется что-то поинтереснее школьной программы, то можно это посмотреть -- foxford.ru/courses/612/landing?ref=p308_yt
Или даже уже эти:
foxford.ru/courses/609/landing?ref=p308_yt
foxford.ru/courses/610/landing?ref=p308_yt
Борис Трушин большое спасибо!
@@trushinbv Тоже спасибо!
Не зазнавайся .
@@user-wp9lk8gw6y как жизнь, как успехи в математике?)
мне43, весна ., сижу в кабине фуры, на выгрузке, подольск, джентельмены по соседству оживленно обсуждают прошедший мимо пышный бюст(весеннее обострение), я конкретно настроен на обсуждении трехчленов...
...а вообще пересматриваю многие видео БВ переодически, и вроде как все понятно, но следующий раз замечаю(понимаю) что то новенькое.
...а вообще все началось с доказательства осн. теоремы арифметики, от БВ, это просто наслаждение: слушать, думать,понимать.
Начал с видео "Основная теорема арифметики" - показалось что чувак шарит здорово. После этого видео понял что смотреть стоит вообще все.
За 15 минут объяснили то, откуда взялись все формулы, да еще как объяснили! Спасибо вам за ваши ролики, это великолепно.
Я в 8 классе, дошли до формулы корней квадратного уравнения. На уроке просто написали на доске формулу, рассказали как применять и всë. Я хочу идти в мехмат, поэтому приходится разбираться в темах глубже, спасибо вам огромное за ваши видео🙏
Наконец-то кто-то мне объяснил откуда это все берется! Раньше было вообще ничего не понятно. Спасибо!
Даааааааааа, вот, именно то что я хочу видеть, замечательно
Случайно ткнул на видос, когда искал школьную тему которую я пропустил сегодня. Мозг взорван🤯
Круто! Не один препод не объяснит эту тему так как вы. Спасибо за помощь!
Огромное спасибо! Все предельно ясно. Давно хотел в этом разобраться.
Борис, спасибо за Ваш труд. Очень познавательно.
Никогда не задумывался...
Хоть заново всю школьную программу проходи, а ведь ЕГЭ на носу
Недавно ещё задавался вопросом как производная выводится. Про это хоть и говорят, но используют редко
Прикольно получилось
А теперь задался вопросом как выводится это и в рекомендациях попалось ваше видео
Спасибо огромное
Буду продолжать вас смотреть, невзирая ни на что
Уверен, что начну понимать математику так, как это нужно было делать ещё очень давно
Спасибо
Огромное спасибо! Тоже отлично помню, как учитель в школе сказал: "в институте вам разжуют, откуда взялись эти формулы". И вот я думаю, неужели было сложно объяснить сразу столь легкие преобразования? Тогда бы и вопросов впоследствии было намного меньше!
Вот просто не могу не сказать спасибо вам, если бы не вы, то никто другой! ЛАЙК!
Борис, вам респект!)
Просто удивительно, сколько жизней спасено уже и могли бы быть спасёнными благодаря таким урокам и чудесному Трушину!
Обожаю Ваши объяснения!
спасибо за то, что вы делаете! это так просто, так важно, и так мало кому объясняется. вы - замечательный учитель.
Круто! Спасибо! Самое толковое объяснение.
Давно задаюсь этим вопросом. Спасибо)
Понятно, спасибо мужик! В 40 лет узнал, что такое есть и зачем оно нужно 💪
Спасибо большое за урок. Очень полезный
Спасибо, все понятно, отличный урок, мне в школе такое не объяснили
Спасибо! Помогаете понимать, а не запоминать.
Интересное и полезное видео для тех, кому нужно ПОНЯТЬ математику
Большое спасибо Вам!!!!!!!! Теперь разобрался))
До новых встреч 👍
я умею применять теорему Виета, но по-школьному. а в школе нам объясняли поверхностно. т. е. теорема применялась только к приведённому квадратному трёхчлену и нам показали лишь основные выводы:
х²±bx±c=0
x' + x'' = -b
x' * x"= c
так вот, к чему я все это пишу. хочу выразить благодарность за столь понятное объяснение, было действительно интересно 💘
Спасибо вам большое!
Огромное спасибо!)
Прекрасное объяснение
все что Вы написали есть в учебнике. спасибо за объяснение
спасибо огромное!
Прекрасное видео!
Сегодня мне открылись тайны Вселенной :)
(и учителей седьмых классов)
Наконец-то мне это объяснили
Т.к. (b+-√D)(-b+-√D)=-b^2+D=-4ac, то (-b+-√D)=-4ac/(b+-√D), и тогда корни представимы решением с радикалом в знаменателе. При этом в одном из корней допустимо a=0, что приводит к решению линейного уравнения из формулы решения квадратного.
В видео про рационализацию вы говорили, что дожив до 11 класса, ученик должен это вывести сам. Вопрос, как до этого допереть самому? Как это прочувствовать? Это же не просто преобразования, а последовательность действий. Кстати, во многих других видео авторы просто выводят эту формулу даже не объяснив почему выделяют полный квадрат, у вас же в начале видео даётся объяснение почему так.
где ж вы раньше были когда я учился в школе)
12:04. Теорема Виета
Я в 8 классе. Только начал проходить теорему Виета появилось куча вопросов о дискриминанте и формулах
легче домножить на 4а:
ax^2+bx+c=0 | *4a
4a^2x^2+4axb+4ac=0
(2ax)^2 + 2*2axb+b^2-b^2+4ac=0
(2ax+b)^2=b^2-4ac
и т.д. :)
Очень интересно. Вы заметили, что у вас то что вы скобках (2ax+b)- это производная функции ax^2+bx+c. ?
Почему квадрат производной равен дискриминанту??
@@user-eg1wd4ps1i Вы сейчас сломали мне мозг. Теперь сам буду мучаться в попытках понять почему так.
спасибо
Гениально
гениально
Мне было это прозрачно, но я ещё проще объяснял формулы корней. Очевидно что между корнями -b+-sqrtD/2a лежит точка перегиба x0=-b/2a. Откуда она берется можно доказать с помощью производной.
y=ax^2+bx+c; y'=2ax+b, приравняв второе к нулю получим 2ax=-b и x=-b/2a. Точка перегиба доказана.
Теперь найдем ординату точки перегиба, подставив это значение вместо x; y0= a(-b/2a)^2+b(-b/2a)+c.
y0=b^2/4a-b^2/2a+c. Приводим к общему знаменателю: y0=b^2/4a-2b^2/4a+4ac/4a = (-b^2+4ac)/4a. Это ордината точки перегиба, а глубина провисания будет с обратным знаком: h= (b^2-4ac)/4a. Поскольку парабола y=ax^2+bx+c это парабола y=ax^2, смещенная на x0 вправо и на h вниз, то корни буду и отстоять от точки перегиба на sqrt(h/a). Тогда sqrt((b^2-4ac)/4a^2)= sqrt((b^2-4ac)/2a. Отсюда x1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/2a.
Формула доказана.
Сомневаюсь, что производную проходят во всех школах в 8 классе. А ведь данное видео и нацелено на такую аудиторию :)
P.S. Чем больше знаний - тем легче доказывать ;)
@@KOPOJLb_King там же только точка перегиба производная, скажите 8 классу без производной... Ещё кубическое уравнение наверно можно через симметрию доказать.
Сильно проще... Это уже смахивает на начала анализа
Борис, расскажите про прыжки Виета, применительно к задаче 6 IMO. Особенно геометрическая интерпретация
этой техники
Да, я даже думал про это, но пока руки не дошли аккуратно все продумать
@@trushinbv Можно ли решить уравнение пятой степени с помощью теоремы Виета? Ответьте пожалуйста.
@@genius9431, хоть 55
@@genius9431 а кубические уравнения формулой Кардано?
@@user-qw6sh8dn5z Я не знаю. Пока не дошел до этого.)
Шикарное видео. Единственное, где объяснили с какого это перепугу появилась теорема Виета
кто-то школу прогуливал
@@kosiak10851 у нас в школе этому не говорили
@@blackfire2034 очень часто "не говорили", означает "я тот урок прогулял"
Лайк за теорему Виета! Ато всё привык через дискриминант решать
спасибо, БВ.
Ваще огонь, мне 41)
Если в квадратном уравнении a≠0,то будет ли считаться ошибкой если бы вы не вынесли а, а просто сократили на а
Борис, здравствуйте, простите за глупый вопрос, когда D > 0 вы находите два решения X при которых функция равна нулю, а затем вычитаете эти же X из самих себя a(x-x1)(x-x2)=0 и преобразуете выражение просто перемножив скобки, я правильно понимаю? если правильно, то я так понимаю это сделано для того чтобы найти отношения между a,b,c от этих X которые были найдены для этой функции? И если это так как я вам описал, то я никак не могу прочувствовать связь, как Франсуа Виет понял что вычитания X из самих себя даст ему эти отношения между X и abc? Благодарен заранее за ответ.
Genial!
Спасибки, теперь я вумная
Борис, приветсвую! имеет ли смысл после записи выражений для Х1 и Х2 прибегать к перемножению двучленов и приравниванию коэфф. при одинаковых степенях переменной чтобы показать Т.В.? ведь она напрямую следует из сложения/умножения этих выражений.
Обьясни подробней пожалуйста
Ну если хотите перемножаться эти сложные выражения - давайте. Почему бы и нет?
Просто в видео решили это сделать проще, но это не значит, что есть только один способ.
4:28
Получилось приведение квадратного двучлена к виду a(x-x1)(x-x2)
Скобка, объединяющая уравнения (х1+х2=-b/a) (x1x2=c/a) вроде должна быть {, вместо [
qwerty
Да, об этом написано в закреплённом комментарии
Смотря видео Трушина, думаю, что в школе и вовсе не учусь.
Мне кажется что при выводе формулы проще не возится с дробями а умножит обе части на 4а и прибавить и вычесть b^2, выделяем полный квадрат и всё лишнее направо с противоположным знаком, и получаем (2ax+b)^2=b^2-4ac, откуда получаем формулу
Да. Но потом хочется те же преобразования использовать для изображения графика параболы
@@trushinbv Кстати, как вам идея после того как вся эта жесть что происходит закончится, сделать видео о необходимости и достаточности? Что это вообще такое, как понять где писать следствие а где равносильность и тп? Для меня это важно, но в школе об этом, к сожалению, не так часто говорят
@@Stas-bl4ud ага!
Это пздц я уже и ЕГЭ сдать успел,но только сейчас понял,что теорема виета работает для всех квадратных уравнений, а не только для тех у которых а=1(как нам говорили в школе)
Я тебе открою секрет, она и не только для квадратных уравнений работает
Как сдал?
@@wyacheslawbogdanyonok5147 А с уравнением пятой степени она может сработать?
@@genius9431 да, но в разы сложнее будет
@@wyacheslawbogdanyonok5147 Я пытаюсь найти образец, не получается. Очень хочу понять принцип теоремы.
Когда нашли формулы для корней х1 и х2 почему когда вносим знак минус в дробь знак у второго слогаемого не поменялся? Я уже 2 дня туплю на этом месте(
Добрый день! Подскажите, пожалуйста, почему у нас получается (b^2 - 4ac) / 4a^2 - почему именно минус 4ac, а не плюс?
тоже на этом моменте заколебался, может он посчитал неправильно? там если убрать минус из c/a, то получится два минуса перед (b/2a)^2, соответственно это плюс(получается ведь +((b^2-4ac)/4a^2)
@@felixstanford8859
-(b/2a)^2 + (c/a)
-(b^2/4a^2) + (4ac/4a^2) минус относится только к первой дроби
(-(b^2) + 4ac) / 4a^2
- ((b^2) - 4ac) / 4a^2)
6:50 а почему b^2-4ac, если перед дробью стоит плюс?
Насколько я понял так как перед этим выражением стоит минус при раскрытие скобок должен получится как раз плюс
Добрый день БВ, у меня к Вам вопрос - почему в 1 случае, когда дискриминант меньше нуля, решений нет? Ведь у нас есть множитель а, который также может быть равен нулю? Или я что-то путаю?
А не может быть равным нулю, по определению квадратичного тричлена. Там же тогда квадрат уничтожается и то перестаёт быть квадратным
@@IlyaRohovets спасибо за разъяснение)
Почему в самом конце объединение x1 и x2? Разве мы не можем подобрать такие x1 и x2, что их произведение даёт c/a, но в сумме x1 и x2 не дают -b/a значит, если мы берём объединение, то x1 и x2 будут результатом этого объединения, но при этом не будут корнями исходного квадратного трёхчлена. Может я где-нибудь ошибся в своих рассуждениях, сел после учебного года с Вами пересматривать интересные видео))
Это глупая описка (
Что значит обьядинение?
Обьясни подробней пожалуйста,я что-то не понял
Меня, наоборот, в 8 классе интересовало, что и откуда берется, а к 11 я уже просто устала от школы (не от математики или каких-либо предметов, от моральной и физической составляющей школы)
👍
А почему для удобства решили "заменить" только b^2-4ac,почему -b/2a не заменили на какое-нибудь "A" тоже?Исторически сложилось так?
Ну, -b/2a иногда x0 обозначают, так как это абсцисса вершины параболы. Но об этом в следующем видео )
Борис Трушин Хм,и не поспоришь 🤔Хорошо! =)
Смотря это видео, я испытал нечто вроде "чувственного наслаждения".
Вау...
Ха, до 10 класса. Я только сейчас все понял. А мне 52 и я вроде не глупый и да а повседневной жизни я пользуюсь квадратным уравнением.
Такое ощущение как будто доказали существование параллельной вселенной за 15 минут
На мой взгляд, решая по методам седьмого класса проще так сделать: х^2-6х+5=х^2-х-5х+5
=х(х-1)-5(х-1)=(х-5)(х-1)=0
Да, но для того чтобы сделать первый шаг нужно угадать как разбить число 6 (по сути, это теорема Виета). А выделение полного квадрата - это такой прямолинейный метод )
@@trushinbv Согласен. Это - вообще дело привычки. Приятно, что Вы отвечаете на комментарии даже под видео годовой давности.
8:13 А если а - отрицательное число? Ведь за скобкой стоит а и может получиться отрицательное число
И ещё, пожалуйста объясните, откуда взялась формула a(x-x1)(x-x2). Я понял, что некоторые выражения мы заменили на х1 и х2 но почему именно x-x1, а не х+х1, например?
@Эдуард 1 Спасибо, теперь понял
Здравствуйте БВ! Надеюсь вы ответите. Почему b=-(x1+x2)a
А не b=-(x1+x2)ax
Откуда вообще этот Х мог появиться? :)
Нам в 8 классе показывали откуда берутся формулы
Математика для меня всю жизнь была неотличима от тауматургии или ещё каких-то оккультных искусств. Как же всё-таки сложно её доносить грамотно и понятно до школьника или человека. И насколько же это важно.
У меня вопрос: а когда школьник перестал быть человеком?
И школьник человек🤗
Сейчас уже, наверное, не очень актуально, но всё-таки напишу: там, где Вы теорему Виета написали (нижние две строчки в самом конце видео), должна же быть система, а не совокупность? Эти условия одновременно выполняются
точно (
это было какое-то какое-то чисто механическое действие было
я бы и всю жизнь не знал откуда это берётся)))
Не понял почему в формуле a(x-x1)(x-x2) именно минусы перед корнями.
У тебя а свободный коэф, на него можно умножить, так как это выражение равно 0. А если оно равно 0, то произведение скобок равно 0, значит либо первая скобка 0, либо вторая скобка равна нулю. Х-х1=0, х=х1.
@@smpl22ny96 Привет,наверное не актуально это писать, но можешь объяснить поподробней?
@@framejonson7710 если говорить проще, то есть такая теорема: "Если число X0 является корнем многочлена, то этот многочлен делится на (X-X0)". А уж чтобы понять откуда она берётся, постарайся вникнуть в комментарий выше
@@troitskyvsevolod2194 Спасибо большое,я понял
@@troitskyvsevolod2194 Но можете обьяснить пожалуйста,к чему он там написал 'x-x1=0',"x=x1'
А зачем вы при выводе общей формулы тащите а? Его же можно сократить, т.к. не равно нулю
Блин, почему нет подобных видео по физике нигде
Могу посоветовать канал Павла Виктора, очень грамотный учитель.
@@smpl22ny96 я с Вами вполне согласна. Классный учитель
01:32 мне и в 8м классе стало интересно
Жесть. Я в школе щелкал это как корешки :) 38 лет, почти 20 лет не видел этих формул. Все забыл. Спасибо автору канала. Очень круто.
Долгопрудненский гений
я преисполнился в своем сознании и открыл свой разум Вселенной.
7:32 "a" не может равняться нулю?
Если a=0 то ax^2=0, следовательно квадрата там не останется.
@@undem4543 и что? Объясните пожалуйста! Ведь, действительно, интуитивно, в первую очередь хочется сказать, что именно "а" равное 0 даст ноль в итоге, и уже потом рассматривать остальные варианты.
@@user-pq1ge5kd6i, если а=0, то ах^2=0, следовательно исходное уравнение не квадратное, а линейное bx+c=0
Оно решается в два шага:
bx+c=0 / -c
bx=-c / :b
x=-c/b
Значит случай а=0 нет смысла рассматривать 😉
Борис, когда вы последний раз ошибались в мат. задаче?)
При отрицательном дискриминанте действительных корней нет, это и есть решение.