Bel video e molto interessante. Credo pero ci sia un imprecisione la tua dimostrazione è che non esiste nessun altra soluzione che comprende 1 avendo scelto z=1 che è una scelta arbitraria e non rigorosa. Comunque grazie per il video. Mod: in effetti manca solo una dimostrazione che dovrà per forza esserci un uno in quanto senza il termine di sinistra sarebbe sempre maggiore di quello di destra.
L'assunzione che tutti i numeri della terna siano positivi esclude una famiglia infinita di soluzioni, nominalmente x=0, y=n, z=-n, dove n è un arbitrario intero, la cui somma e prodotto sono entrambi uguali a 0.
@@fotimath Se una terna (x,y,z) è soluzione di x+y+z=xyz, allora la terna (-x,-y,-z) è soluzione della stessa equazione. Questo perché possiamo raccogliere un fattore (-1) al membro di sinistra, e possiamo moltiplicare i tre numeri negativi a destra per raccogliere un altro fattore di (-1). Quindi semplificando questi fattori possiamo concludere che (x,y,z) è soluzione se e solo se (-x,-y,-z) è soluzione, e quindi se l'unica soluzione positiva è (1,2,3), allora l'unica soluzione negativa è (-1,-2,-3). Il punto è che nella terna ci possono essere anche numeri sia positivi che negativi, come con la terna (0,n,-n), e in questo caso abbiamo una famiglia infinita di soluzioni.
@@fotimath Si può ragionare in generale nel seguente modo: supponiamo che (x,y,z) siano interi arbitrari (anche negativi o zero), e supponiamo senza perdita di generalità che |x|≤|y|≤|z|, cioè li ordiniamo in modulo crescente. A questo punto sappiamo che |xyz|=|x+y+z|≤|x|+|y|+|z|≤3|z|, dove ho usato l'uguaglianza triangolare del valore assoluto e ho minorato |x| e |y| con |z| dalla nostra assunzione. Quindi, dividendo per |z|, abbiamo la disuguaglianza |xy|≤3, la quale è molto restrittiva. Le uniche soluzioni intere di (x,y) per |xy|≤3 con |x|≤|y| si possono trovare caso per caso, e sono (1,1), (1,2), (1,3), (-1,-1), (-1,-2), (-1,-3), (1,-1), (1,-2), (1,-3), (-1,1), (-1,2), (-1,3), e (0,n) con n arbitrario intero. Di tutte queste soluzioni, escludendo quelle che si ripetono, o quelle che producono z non intero (andando a calcolare esplicitamente z come (x+y)/(xy-1)), rimangono solo le terne di (x,y,z) pari a (1,2,3), (-1,-2,-3) e (0,n,-n), con n arbitrario intero.
@@fotimath se intendi che debbano essere tutti negativi: - senza perdere di generalità, assumiamo x ≤ y ≤ z < 0 - da 3x ≤ x+y+z = xyz otteniamo 3 ≥ yz - questo è possibile solo per z = -1 e y = -1, -2 o -3 - verifichiamo che l'unica soluzione sia ha per z=-1, y=-2 (e x=-3) - rimuovendo la restrizione sull'ordinamento, le permutazioni di (-1,-2,-3) sono tutte e sole le soluzioni di interi negativi (un ragionamento analogo vale per il caso di numeri tutti positivi, mentre il caso di segni opposti porta solo ad assurdi)
Complimenti prof. per tutti gli spunti che ne derivano. Solo un appunto: tu dici che "la teoria dei numeri è una delle cose più difficili della matematica" io invece penso che è stata proprio la matematica (con Euclide & c.) a rendere i numeri (e la geometria) la cosa più difficile della matematica stessa!!!
Nel corso di Geometria I, facoltà di Ingegneria Elettronica La Sapienza (ROMA), il prof Bruni consigliava anche l'uso del computer ... un bel programmino con tre cicli nidificati et voilà ... certo non si può parlare però di DIMOSTRAZIONE .
solo a me la cosa dell'induzione sembra molto molto "vuota"? nel "passo induttivo" non usi mai il "caso base" - cioè che (n+1)/(n-1) non è intero quello che fai è una manipolazione algebrica che poteva essere fatta fin dal principio: x = (n+1)/(n-1) = (n-1+2)/(n-1) = 1 + 2/(n-1) che è intero solo se n-1 è divisore di 2 - ma il più grande divisore di 2 è se stesso, quindi x non può essere intero per n-1 ≥ 3 (ossia per n≥4)
Penso che nella dimostrazione ci siano diversi problemi. Anzitutto la dimostrazione per induzione non era necessaria, bastava fare la stessa cosa e verificarlo dall'espressione generale che ne risultava. In secondo luogo non è stato dimostrato per tutti i numeri positivi, ma solo nel caso in cui un numero della terna sia 1. Provo a mettere qui sotto la dimostrazione che ho trovato, sfruttando il fatto di aver già analizzato il caso z=1. Essendo il problema simmetrico, posso supporre che x, y e z siano tutti maggiori o uguali a 2, e quindi si possono esprimere in questa forma: x=a+2 y=b+2 z=c+2 con a,b,c numeri naturali maggiori o uguali a zero. Sostituendo l'equazione originaria diventa: (a+2)(b+2)(c+2)=(a+2)+(b+2)+(c+2) Semplificando e ordinando si ottiene: (4a+4b+4c+8)+ 2ab+2ac+2bc + abc=a+b+c+6 Essendo tutti numeri non negativi si vede subito che 4a + maggiore o uguale ad a, 4b maggiore o uguale a b, 4c maggiore o uguale a c e 8 è strettamente maggiore di 6; inoltre il primo membro ha altri termini tutti non negativi; quindi il primo membro sarà sempre strettamente maggiore del secondo e quindi alle condizioni poste l'equazione non sarà mai verificata. Per x,y,z negativi si può fare la stessa cosa mostrando che il prodotto sarà sempre minore o uguale della somma. Inoltre, un altro errore nel ragionamento del video è credere che la dimostrazione consista solo in due parti (quella in cui x,y e z sono positivi e quella in cui sono negativi): in realtà non è così. Infatti potrebbero essere alcuni negativi e altri positivi; oppure qualcuno nullo e altri no. Nel caso nullo si dimostra facilmente che la famiglia di soluzioni è infinita ed è del tipo (0, n, -n) e sue permutazioni, incluso il caso (0,0,0) trovato nel video. Anzitutto si può dimostrare che c'è una simmetria di segno: ovvero se una terna e soluzione, lo sarà anche la stessa cambiata di segno. Infatti: Se (-x)*(-y)*(-z)=-x-y-z, ne deriva -xyz=-x-y-z, da cui segue xyz=x+y+z Quindi possiamo porci in un caso particolare in cui ad esempio il risultato di somma e prodotto è positivo. Per continuare bisognerebbe ripetere un passaggio precedente in cui si poneva x,y,z maggiori o uguali a 2 ma utilizzando i valori assoluti e un po' di algebra.
Per favore, non usare la parola "dimostrazione" invano. Questa è tutto tranne che una dimostrazione: - non hai detto che, una volta trovata una soluzione, tutte le sue permutazioni sono ancora soluzioni - non hai spiegato perché si può supporre z = 1 - hai escluso la soluzione banale (0,0,0) ma non tutte quelle del tipo (0, n, -n)
Esistono infinite soluzioni non banali. Della forma (n,0,-n); (-n,0,n); (0,-n,n); (0,n,-n); (n,-n,0); (-n,n,0) ∀n intero. Ce ne accorgiamo facilmente dal fatto che:z=(x+y)/(xy-1) c.e xy≠1 x≠1/y che non impone limitazioni negli interi. Da qui otteniamo per z=0 che x=-y. Scrivendo tutto in funzione di x e ponendolo ugale a 0 otteniamo y=-z. E analogamente per x=-z nel caso y=0. Ma non sono le uniche soluzioni infatti notiamo che: 1+2+3=6 e -1-2-3=-6 , (-1)(-2)(-3)=-6. Quindi:(±1,±2,±3); (±1,±3,±2); (±3,±2,±1); (±3,±1,±2); (±2,±1,±3); (±2,±3,±1). Dobbiamo mostrare che non esistono altre soluzioni. Dimostrazione: Senza perdere di generalita poniamo:x
La tua dimostrazione non è completa perché, visto che parli di rigore matematico, essa deve tenere conto anche di tutte le terne di numeri interi (esclusa la (1,2,3)) in cui z è un qualsiasi numero intero e non solo per il caso z=1. In questo modo hai tralasciato infiniti casi perché z può assumere infiniti valori interi.
È vero non ho fatto questa precisazione, però se ragioni un attimo.....banalmente si conclude che z può essere 1 o 2 o 3 .... Per poi riagganciarsi con il ragionamento della dimostrazione. Per il valori interi negativi lascio a voi la dimostrazione....
Bel video e molto interessante. Credo pero ci sia un imprecisione la tua dimostrazione è che non esiste nessun altra soluzione che comprende 1 avendo scelto z=1 che è una scelta arbitraria e non rigorosa. Comunque grazie per il video.
Mod: in effetti manca solo una dimostrazione che dovrà per forza esserci un uno in quanto senza il termine di sinistra sarebbe sempre maggiore di quello di destra.
Prego! 🙂
In effetti, anche se nella buona sostanza è così, ho dato per scontato che non possa esistere nessun altra terna di interi che non contenga 1 ....
Esatto.... Thanks
L'assunzione che tutti i numeri della terna siano positivi esclude una famiglia infinita di soluzioni, nominalmente x=0, y=n, z=-n, dove n è un arbitrario intero, la cui somma e prodotto sono entrambi uguali a 0.
Ottima osservazione! Rimango in attesa che qualcuno proponga una dimostrazione per numeri interi negativi.... Thanks!
@@fotimath Se una terna (x,y,z) è soluzione di x+y+z=xyz, allora la terna (-x,-y,-z) è soluzione della stessa equazione. Questo perché possiamo raccogliere un fattore (-1) al membro di sinistra, e possiamo moltiplicare i tre numeri negativi a destra per raccogliere un altro fattore di (-1). Quindi semplificando questi fattori possiamo concludere che (x,y,z) è soluzione se e solo se (-x,-y,-z) è soluzione, e quindi se l'unica soluzione positiva è (1,2,3), allora l'unica soluzione negativa è (-1,-2,-3).
Il punto è che nella terna ci possono essere anche numeri sia positivi che negativi, come con la terna (0,n,-n), e in questo caso abbiamo una famiglia infinita di soluzioni.
@@fotimath
Si può ragionare in generale nel seguente modo: supponiamo che (x,y,z) siano interi arbitrari (anche negativi o zero), e supponiamo senza perdita di generalità che |x|≤|y|≤|z|, cioè li ordiniamo in modulo crescente. A questo punto sappiamo che
|xyz|=|x+y+z|≤|x|+|y|+|z|≤3|z|, dove ho usato l'uguaglianza triangolare del valore assoluto e ho minorato |x| e |y| con |z| dalla nostra assunzione. Quindi, dividendo per |z|, abbiamo la disuguaglianza |xy|≤3, la quale è molto restrittiva.
Le uniche soluzioni intere di (x,y) per |xy|≤3 con |x|≤|y| si possono trovare caso per caso, e sono (1,1), (1,2), (1,3), (-1,-1), (-1,-2), (-1,-3), (1,-1), (1,-2), (1,-3), (-1,1), (-1,2), (-1,3), e (0,n) con n arbitrario intero. Di tutte queste soluzioni, escludendo quelle che si ripetono, o quelle che producono z non intero (andando a calcolare esplicitamente z come (x+y)/(xy-1)), rimangono solo le terne di (x,y,z) pari a (1,2,3), (-1,-2,-3) e (0,n,-n), con n arbitrario intero.
@@fotimath se intendi che debbano essere tutti negativi:
- senza perdere di generalità, assumiamo x ≤ y ≤ z < 0
- da 3x ≤ x+y+z = xyz otteniamo 3 ≥ yz
- questo è possibile solo per z = -1 e y = -1, -2 o -3
- verifichiamo che l'unica soluzione sia ha per z=-1, y=-2 (e x=-3)
- rimuovendo la restrizione sull'ordinamento, le permutazioni di (-1,-2,-3) sono tutte e sole le soluzioni di interi negativi
(un ragionamento analogo vale per il caso di numeri tutti positivi, mentre il caso di segni opposti porta solo ad assurdi)
Complimenti prof. per tutti gli spunti che ne derivano. Solo un appunto: tu dici che "la teoria dei numeri è una delle cose più difficili della matematica" io invece penso che è stata proprio la matematica (con Euclide & c.) a rendere i numeri (e la geometria) la cosa più difficile della matematica stessa!!!
bel video prof!
Grazie
Nel corso di Geometria I, facoltà di Ingegneria Elettronica La Sapienza (ROMA), il prof Bruni consigliava anche l'uso del computer ... un bel programmino con tre cicli nidificati et voilà ... certo non si può parlare però di DIMOSTRAZIONE .
solo a me la cosa dell'induzione sembra molto molto "vuota"?
nel "passo induttivo" non usi mai il "caso base" - cioè che (n+1)/(n-1) non è intero
quello che fai è una manipolazione algebrica che poteva essere fatta fin dal principio: x = (n+1)/(n-1) = (n-1+2)/(n-1) = 1 + 2/(n-1) che è intero solo se n-1 è divisore di 2 - ma il più grande divisore di 2 è se stesso, quindi x non può essere intero per n-1 ≥ 3 (ossia per n≥4)
Molto interessante
Penso che nella dimostrazione ci siano diversi problemi. Anzitutto la dimostrazione per induzione non era necessaria, bastava fare la stessa cosa e verificarlo dall'espressione generale che ne risultava.
In secondo luogo non è stato dimostrato per tutti i numeri positivi, ma solo nel caso in cui un numero della terna sia 1.
Provo a mettere qui sotto la dimostrazione che ho trovato, sfruttando il fatto di aver già analizzato il caso z=1.
Essendo il problema simmetrico, posso supporre che x, y e z siano tutti maggiori o uguali a 2, e quindi si possono esprimere in questa forma:
x=a+2
y=b+2
z=c+2
con a,b,c numeri naturali maggiori o uguali a zero.
Sostituendo l'equazione originaria diventa: (a+2)(b+2)(c+2)=(a+2)+(b+2)+(c+2)
Semplificando e ordinando si ottiene: (4a+4b+4c+8)+ 2ab+2ac+2bc + abc=a+b+c+6
Essendo tutti numeri non negativi si vede subito che 4a + maggiore o uguale ad a, 4b maggiore o uguale a b, 4c maggiore o uguale a c e 8 è strettamente maggiore di 6; inoltre il primo membro ha altri termini tutti non negativi; quindi il primo membro sarà sempre strettamente maggiore del secondo e quindi alle condizioni poste l'equazione non sarà mai verificata.
Per x,y,z negativi si può fare la stessa cosa mostrando che il prodotto sarà sempre minore o uguale della somma.
Inoltre, un altro errore nel ragionamento del video è credere che la dimostrazione consista solo in due parti (quella in cui x,y e z sono positivi e quella in cui sono negativi): in realtà non è così. Infatti potrebbero essere alcuni negativi e altri positivi; oppure qualcuno nullo e altri no.
Nel caso nullo si dimostra facilmente che la famiglia di soluzioni è infinita ed è del tipo (0, n, -n) e sue permutazioni, incluso il caso (0,0,0) trovato nel video.
Anzitutto si può dimostrare che c'è una simmetria di segno: ovvero se una terna e soluzione, lo sarà anche la stessa cambiata di segno. Infatti:
Se (-x)*(-y)*(-z)=-x-y-z, ne deriva
-xyz=-x-y-z, da cui segue
xyz=x+y+z
Quindi possiamo porci in un caso particolare in cui ad esempio il risultato di somma e prodotto è positivo. Per continuare bisognerebbe ripetere un passaggio precedente in cui si poneva x,y,z maggiori o uguali a 2 ma utilizzando i valori assoluti e un po' di algebra.
Per favore, non usare la parola "dimostrazione" invano.
Questa è tutto tranne che una dimostrazione:
- non hai detto che, una volta trovata una soluzione, tutte le sue permutazioni sono ancora soluzioni
- non hai spiegato perché si può supporre z = 1
- hai escluso la soluzione banale (0,0,0) ma non tutte quelle del tipo (0, n, -n)
1,2 e 3 e il gioco è fatto
Facile, x=0 y=0 z=0 😊
😀😂
Non è corretto per il semplice motivo che ha imposto x=1
Esistono infinite soluzioni non banali. Della forma (n,0,-n); (-n,0,n); (0,-n,n); (0,n,-n); (n,-n,0); (-n,n,0) ∀n intero. Ce ne accorgiamo facilmente dal fatto che:z=(x+y)/(xy-1) c.e xy≠1 x≠1/y che non impone limitazioni negli interi. Da qui otteniamo per z=0 che x=-y. Scrivendo tutto in funzione di x e ponendolo ugale a 0 otteniamo y=-z. E analogamente per x=-z nel caso y=0. Ma non sono le uniche soluzioni infatti notiamo che:
1+2+3=6 e -1-2-3=-6 , (-1)(-2)(-3)=-6. Quindi:(±1,±2,±3); (±1,±3,±2); (±3,±2,±1); (±3,±1,±2); (±2,±1,±3); (±2,±3,±1). Dobbiamo mostrare che non esistono altre soluzioni.
Dimostrazione:
Senza perdere di generalita poniamo:x
🙂
3 x 2 x 1 = 3 + 2 + 1 = 6 (ci ho messo 7 secondi)
È facilissimo se dai retta a Terrence howard
Se questo è un problema assurdo, allora questo cos'è: n! - 1 = m^2 n ed m interi positivi....?...prova ...!!!!
Va bene
Problema dì Brocard, ancora aperto
@@davepelli3221 lo so...ma se parla di problema assurdo gliene do uno veramente assurdo:)
@@davepelli3221 Grazie!
La tua dimostrazione non è completa perché, visto che parli di rigore matematico, essa deve tenere conto anche di tutte le terne di numeri interi (esclusa la (1,2,3)) in cui z è un qualsiasi numero intero e non solo per il caso z=1. In questo modo hai tralasciato infiniti casi perché z può assumere infiniti valori interi.
È vero non ho fatto questa precisazione, però se ragioni un attimo.....banalmente si conclude che z può essere 1 o 2 o 3 .... Per poi riagganciarsi con il ragionamento della dimostrazione. Per il valori interi negativi lascio a voi la dimostrazione....
@@fotimath I puntini di sospensione non si usano a sentimento.