Chiedo scusa a priori per la lunghezza del commento, ma ogni passaggio necessita di un minimo di spiegazione. Volendo, si può risolvere anche in questo modo: si pone √i uguale ad un certo numero x √i = x elevando al quadrato a destra e a sinistra: i = x^2 elevando nuovamente al quadrato entrambi i membri: i^2 = x^4 ma i^2 = -1 per cui si può scrivere: -1 = x^4 spostando il -1 cambiato di segno al secondo membro x^4 + 1 = 0 che è un’equazione di quarto grado che non ammette soluzioni nel campo dei numeri reali, ma ne ammette 4 in quello dei numeri complessi. Se la riscrivo come: (x^2)^2 + 1^2 = 0 ho una somma di quadrati che si può trasformare in un prodotto notevole: infatti considerando due quantità generiche a e b, la somma dei loro quadrati posso scriverla come: a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab Ma 2ab posso considerarlo a sua volta un quadrato: 2ab = (√(2ab))^2 per cui la relazione precedente diventa: (a + b)^2 - (√(2ab))^2 e quindi: a^2 + b^2 = (a + b + √(2ab) )·(a + b - √(2ab) ) Ritornando all’equazione (x^2)^2 + 1^2 = 0 a è x^2 e b è 1 per cui: (x^2)^2 + 1^2 = (x^2 + 1 + √(2x^2 · 1) )·(x^2 + 1 - √(2x^2 · 1) ) = = (x^2 + 1 + x√2 )·(x^2 + 1 - x√2 ) ed uguagliando a zero: (x^2 + 1 + x√2 )·(x^2 + 1 - x√2 ) = 0 Basta che si annulli uno dei due fattori moltiplicativi affinché sia verificata l’identità 0 = 0. Entrambi i moltiplicatori sono due equazioni di secondo grado con Δ uguale: Δ = (±√2)^2 - 4(1)(1) = 2 - 4 = -2 la radice di Δ è √(-2) = i√2 per cui x1,2 = (-√2 ± i√2) / 2 x3,4 = (√2 ± i√2) / 2 Mettendo in evidenza (√2 / 2) le 4 quattro soluzioni sono: x1 = (√2 / 2)(-1 + i) x2 = (√2 / 2)(-1 - i) x3 = (√2 / 2)(1 + i) x4 = (√2 / 2)(1 - i) elevando ogni singola x al quadrato si deve rispettare l’eguaglianza ricavata in precedenza i = x^2 ma siccome (-1 + i)^2 = (1 - i)^2 = -2i e (√2 / 2)^2 = 1 / 2, (1 / 2)·(-2i) = -i per cui due soluzioni sono da scartare e rimangono solo quelle con la parte reale e quella immaginaria dentro parantesi di segni concordi: x = (√2 / 2)(-1 - i) = -(√2 / 2)(1 + i) x = (√2 / 2)(1 + i) che sostituti in √i = x restituiscono: √i = −(√2 / 2)(1 + i) ↔ −√i = (√2 / 2)(1 + i) e √i = (√2 / 2)(1 + i) Ma siccome il problema richiedeva di valutare solo √i l’unica soluzione dovrebbe essere quella positiva....🙂
Nel campo complesso non esistono numeri positivi e numeri negativi. La radice n-esima di un numero complesso ha sempre n valori, sia con n pari che con n dispari. La nota formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, se applicata nel campo complesso non prevede il doppio segno davanti a √∆
@@cesarelai Si e no. Se si rappresenta √i in forma trigonometrica, si può scrivere √i = [ cos( (4k + 1)π/4 ) + i sen( (4k + 1)π/4 ) ] con k = 0, 1, 2, 3, ….. e allora si hanno due soluzioni con parte reale e parte immaginaria di sogni concordi + e - dove le due posizioni sul piano complesso (simmetriche rispetto all’origine) si ripetono periodicamente al variare di k rispettando la concordanza di segno. Ma il problema doveva risolversi senza l’utilizzo della forma trigonometrica, per cui bisognava affrontarlo interpretando in forma algebrica il numero complesso. E si arriva così alla trasformazione del numero complesso in un prodotto di due polinomi di secondo grado che si annullano ognuno per due valori complessi, 4 in totale, di cui 2 da scartare. Ora, non è vero che la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado non prevede il doppio segno davanti a √∆ , perché questo esprime un numero complesso di sola parte immaginaria e il segno è riferito al coefficiente di tale parte immaginaria. Prendi x^2 + 1 = 0, il delta è √-4 = 2i ma per avere le due soluzioni, il coefficiente 1 che precede √∆ assume entrambi i segni: x1,2 = (0 ±(1)√-4 ) / 2 = ±2i / 2 = ± i
@AndyTheRock-l8w la formula senza il doppio segno la trovo a pag 206 di "Precalculus",autore Marco Bramanti, testo introduttivo ai corsi di matematica. Trovi nella stessa pagina la spiegazione del perché il doppio segno non va messo quando la radice è nel campo complesso, quindi anche i coefficienti a, b, c vanno considerati numeri complessi.
La forma trigonometrica e la forma esponenziale di un numero complesso sono due modi leggermente diversi di scrivere la stessa cosa. Suppongo che se non è ammessa la prima, non lo sia neanche la seconda.
@@cesarelai I punti nel piano di Gauss non cambiano posizione se si usano coordinate cartesiane o polari. Ho usato le seconde senza riferimento alla forma trigonometrica. Poi è ovvio che sono tutte connesse.
@AntonioRondinone la forma esponenziale e la forma trigonometrica sono sostanzialmente la stessa cosa. Se applichi ad entrambe la formula di Mc Laurin ottieni lo stesso sviluppo. Per questo credo che il divieto valga per entrambe.
i^2 =-1 per definizione. √-1=+/- i. Nel campo complesso la radice n-esima ha sempre n valori distinti. Tipico esercizio trovare le tre radici cubiche di 1
A me sembra che l'unica definizione corretta sia i^2=-1. L'altra i=√(-1) è una definizione posta male da rifiutare, perché la radice quadrata in ambito complesso è una funzione multivoca, restituisce due valori distinti, quindi uguagliare un valore a sx a due valori distinti a dx non è corretto. Utilizzare quella definizione porterebbe a diverse incongruenze nel calcolo sui complessi. Addirittura sarebbe più opportuno adoperare due simboli diversi per indicare la radice in ambito reale e la radice in ambito complesso così da non confondersi essendo oggetti differenti.
Non esattamente... sopra ha scritto i^2= -1, quindi i= + - √(-1). In realtà non deve girare l'espressione sopra come se fosse un'equazione (i è un valore definito e non un'incognita da determinare in un'equazione). √(-1) in ambito complesso (e non potrebbe essere in ambito reale dato che in R la radice di un numero negativo non è contemplata) esprime già due valori con quell'unico simbolo. Quindi niente i = + - radice di qualcosa! Come è stato precisato sopra in un altro commento i si definisce elevandolo al quadrato (i^2= -1), mentre √(-1) = + - i, poiché la radice complessa è un'operazione che restituisce due valori (più in generale sempre in C una radice n-esima restituisce n valori distinti).
Non dovremmo escludere la soluzione con parte reale e immaginaria negative scegliendo il principal value? Altrimenti ricadiamo nello stesso tipo di ambiguità di chi sostiene che sqrt(9) = +/-3, confondendo la soluzione dell'equazione quadratica con la definizione dell'inversa di una funzione non iniettiva.
no, il punto è che nel campo dei complessi vale sqrt(9)=±3 e in generale la radice n-esima di un numero z è l'insieme di n numeri che elevati a n sono uguali a z
@@pietrorizza2537 La radice di 9 è solo 3 anche nei numeri complessi. La differenza coi numeri reali sta nel fatto che nel campo complesso anche l'equazione x^2 = -9 ha un insieme di soluzioni non vuoto. X^2 = 9 è perfettamente risolubile in campo reale e le sue soluzioni reali coincidono con le soluzioni complesse, avendo entrambe parte immaginaria nulla (in generale ogni equazione polinomiale di grado n a coefficienti reali ha esattamente n soluzioni in campo complesso e se un numero complesso è soluzione anche il suo complesso coniugato lo è, dal momento che l'operazione di coniugio commuta con moltiplicazione e somma). Per cui ogni soluzione dell'equazione x^2 = k con k numero reale positivo o nullo ha esattamente le stesse due identiche soluzioni in campo complesso e in campo reale, essendo le soluzioni complesse soluzioni con parte immaginaria nulla (cioè, di fatto, reali). Ma di nuovo, qui la questione che sollevavo è diversa: risolvere una equazione e definire una funzione non comportano la medesima procedura. Una funzione per definizione associa un unico elemento del codominio a ciascun elemento del dominio, per cui se vogliamo mantenere valida la più basica proprietà delle funzioni, sqrt(i) deve essere unico, altrimenti introduciamo una ambiguità che la definizione stessa di fuzione si premura di escludere, al punto che quando intendiamo violare questa convenzione di base nella definizione delle funzioni parliamo espressamente di funzioni a più valori ("multivalued functions" nel mondo anglosassone). In altri termini, qui siamo di fronte a quello che per me è un problema di notazione e quindi di comprensione della richiesta dell'estensore del quesito. Io considero diversi i seguenti due quesiti: 1) Calcola sqrt(i) 2) Risolvi l'equazione z^2 = i con z appartenente a C edit: correzione refuso
io sono d'accordo con te la soluzione dovrebbe essere unica, visto che non abbiamo a che fare con un equazione, bensì con una funzione. A meno che le funzioni complesse non abbiamo due valori, ma non ho memoria di questo fatto. Quello che non capisco è perchè si debba scegliere la soluzione positiva, del resto per definizione i^2 è negativo. In verità non ricordo nemmeno quando un numero complesso si dice negativo, mò lo vado a cercare.
forse ci sono arrivato. I numeri complessi non sono un insieme ordinato quindi non esiste il concetto di positivo e negativo. Le funzioni nei numeri complessi hanno due soluzioni. Questo non mi è ben chiaro, forse si può spiegare con la rappresentazione nel piano, ma non so.
Chiedo scusa a priori per la lunghezza del commento, ma ogni passaggio necessita di un minimo di spiegazione.
Volendo, si può risolvere anche in questo modo:
si pone √i uguale ad un certo numero x
√i = x
elevando al quadrato a destra e a sinistra:
i = x^2
elevando nuovamente al quadrato entrambi i membri:
i^2 = x^4
ma i^2 = -1 per cui si può scrivere:
-1 = x^4
spostando il -1 cambiato di segno al secondo membro
x^4 + 1 = 0
che è un’equazione di quarto grado che non ammette soluzioni nel campo dei numeri reali,
ma ne ammette 4 in quello dei numeri complessi.
Se la riscrivo come:
(x^2)^2 + 1^2 = 0
ho una somma di quadrati che si può trasformare in un prodotto notevole:
infatti considerando due quantità generiche a e b, la somma dei loro quadrati posso scriverla come:
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
Ma 2ab posso considerarlo a sua volta un quadrato:
2ab = (√(2ab))^2
per cui la relazione precedente diventa:
(a + b)^2 - (√(2ab))^2
e quindi:
a^2 + b^2 = (a + b + √(2ab) )·(a + b - √(2ab) )
Ritornando all’equazione
(x^2)^2 + 1^2 = 0
a è x^2 e b è 1 per cui:
(x^2)^2 + 1^2 = (x^2 + 1 + √(2x^2 · 1) )·(x^2 + 1 - √(2x^2 · 1) ) =
= (x^2 + 1 + x√2 )·(x^2 + 1 - x√2 )
ed uguagliando a zero:
(x^2 + 1 + x√2 )·(x^2 + 1 - x√2 ) = 0
Basta che si annulli uno dei due fattori moltiplicativi affinché sia verificata l’identità
0 = 0.
Entrambi i moltiplicatori sono due equazioni di secondo grado con Δ uguale:
Δ = (±√2)^2 - 4(1)(1) = 2 - 4 = -2
la radice di Δ è √(-2) = i√2 per cui
x1,2 = (-√2 ± i√2) / 2
x3,4 = (√2 ± i√2) / 2
Mettendo in evidenza (√2 / 2) le 4 quattro soluzioni sono:
x1 = (√2 / 2)(-1 + i)
x2 = (√2 / 2)(-1 - i)
x3 = (√2 / 2)(1 + i)
x4 = (√2 / 2)(1 - i)
elevando ogni singola x al quadrato si deve rispettare l’eguaglianza ricavata in precedenza
i = x^2
ma siccome (-1 + i)^2 = (1 - i)^2 = -2i
e (√2 / 2)^2 = 1 / 2,
(1 / 2)·(-2i) = -i
per cui due soluzioni sono da scartare e rimangono solo quelle con la parte reale e quella immaginaria dentro parantesi di segni concordi:
x = (√2 / 2)(-1 - i) = -(√2 / 2)(1 + i)
x = (√2 / 2)(1 + i)
che sostituti in √i = x restituiscono:
√i = −(√2 / 2)(1 + i) ↔ −√i = (√2 / 2)(1 + i)
e
√i = (√2 / 2)(1 + i)
Ma siccome il problema richiedeva di valutare solo √i
l’unica soluzione dovrebbe essere quella positiva....🙂
Nel campo complesso non esistono numeri positivi e numeri negativi. La radice n-esima di un numero complesso ha sempre n valori, sia con n pari che con n dispari. La nota formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, se applicata nel campo complesso non prevede il doppio segno davanti a √∆
Carina la risoluzione, anche se preferisco quello del video. É più efficiente in termini di tempo, soprattutto ad un esame di ammissione.
@@cesarelai Si e no.
Se si rappresenta √i in forma trigonometrica, si può scrivere
√i = [ cos( (4k + 1)π/4 ) + i sen( (4k + 1)π/4 ) ] con k = 0, 1, 2, 3, …..
e allora si hanno due soluzioni con parte reale e parte immaginaria di sogni concordi + e -
dove le due posizioni sul piano complesso (simmetriche rispetto all’origine) si ripetono periodicamente al variare di k rispettando la concordanza di segno.
Ma il problema doveva risolversi senza l’utilizzo della forma trigonometrica, per cui bisognava affrontarlo interpretando in forma algebrica il numero complesso.
E si arriva così alla trasformazione del numero complesso in un prodotto di due polinomi di secondo grado che si annullano ognuno per due valori complessi, 4 in totale, di cui 2 da scartare.
Ora, non è vero che la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado non prevede il doppio segno davanti a √∆ , perché questo esprime un numero complesso di sola parte immaginaria e il segno è riferito al coefficiente di tale parte immaginaria.
Prendi x^2 + 1 = 0, il delta è √-4 = 2i
ma per avere le due soluzioni, il coefficiente 1 che precede √∆ assume entrambi i segni:
x1,2 = (0 ±(1)√-4 ) / 2 = ±2i / 2 = ± i
@AndyTheRock-l8w la formula senza il doppio segno la trovo a pag 206 di "Precalculus",autore Marco Bramanti, testo introduttivo ai corsi di matematica. Trovi nella stessa pagina la spiegazione del perché il doppio segno non va messo quando la radice è nel campo complesso, quindi anche i coefficienti a, b, c vanno considerati numeri complessi.
Con i=e^i(π/2+2kπ) si trova √i=e^i(π/4+kπ). Poste in forma cartesiana sono le stesse trovate nel video.
La forma trigonometrica e la forma esponenziale di un numero complesso sono due modi leggermente diversi di scrivere la stessa cosa. Suppongo che se non è ammessa la prima, non lo sia neanche la seconda.
@@cesarelai I punti nel piano di Gauss non cambiano posizione se si usano coordinate cartesiane o polari. Ho usato le seconde senza riferimento alla forma trigonometrica. Poi è ovvio che sono tutte connesse.
@AntonioRondinone la forma esponenziale e la forma trigonometrica sono sostanzialmente la stessa cosa. Se applichi ad entrambe la formula di Mc Laurin ottieni lo stesso sviluppo. Per questo credo che il divieto valga per entrambe.
Interessante. Sono sempre stato abituato a calcolare la radice quadrata di i passando per la rappresentazione polare.
Cavolo... Io avrei detto subito che il risultato è radice quarta di -1... 😬
Nel campo complesso vi sono 4 radici quarte di -1. Due sono le radici quadrate di i e due quelle di -i
ma se i^2=-1 non deve essere i=più o meno radice di -1? Perchè molti dicono che "i " è =radice di meno 1?
È una definizione
i^2 =-1 per definizione. √-1=+/- i. Nel campo complesso la radice n-esima ha sempre n valori distinti. Tipico esercizio trovare le tre radici cubiche di 1
A me sembra che l'unica definizione corretta sia i^2=-1. L'altra i=√(-1) è una definizione posta male da rifiutare, perché la radice quadrata in ambito complesso è una funzione multivoca, restituisce due valori distinti, quindi uguagliare un valore a sx a due valori distinti a dx non è corretto. Utilizzare quella definizione porterebbe a diverse incongruenze nel calcolo sui complessi. Addirittura sarebbe più opportuno adoperare due simboli diversi per indicare la radice in ambito reale e la radice in ambito complesso così da non confondersi essendo oggetti differenti.
@@andreaijk6881 E' quello che dico anch'io.
Non esattamente... sopra ha scritto i^2= -1, quindi i= + - √(-1). In realtà non deve girare l'espressione sopra come se fosse un'equazione (i è un valore definito e non un'incognita da determinare in un'equazione). √(-1) in ambito complesso (e non potrebbe essere in ambito reale dato che in R la radice di un numero negativo non è contemplata) esprime già due valori con quell'unico simbolo. Quindi niente i = + - radice di qualcosa!
Come è stato precisato sopra in un altro commento i si definisce elevandolo al quadrato (i^2= -1), mentre √(-1) = + - i, poiché la radice complessa è un'operazione che restituisce due valori (più in generale sempre in C una radice n-esima restituisce n valori distinti).
X^2-y^2 =(x-y)(x+y) =0 --> x=+y o x=-y
Poi
2xy = 1 --> 2x^2= +1 o 2x^2 = -1 da cui x = +/- rad(1/2) etc..
Non dovremmo escludere la soluzione con parte reale e immaginaria negative scegliendo il principal value? Altrimenti ricadiamo nello stesso tipo di ambiguità di chi sostiene che sqrt(9) = +/-3, confondendo la soluzione dell'equazione quadratica con la definizione dell'inversa di una funzione non iniettiva.
no, il punto è che nel campo dei complessi vale sqrt(9)=±3 e in generale la radice n-esima di un numero z è l'insieme di n numeri che elevati a n sono uguali a z
In altre parole trovare le radici di un numero complesso equivale esattamente a risolvere l'equazione associata
@@pietrorizza2537 La radice di 9 è solo 3 anche nei numeri complessi. La differenza coi numeri reali sta nel fatto che nel campo complesso anche l'equazione x^2 = -9 ha un insieme di soluzioni non vuoto.
X^2 = 9 è perfettamente risolubile in campo reale e le sue soluzioni reali coincidono con le soluzioni complesse, avendo entrambe parte immaginaria nulla (in generale ogni equazione polinomiale di grado n a coefficienti reali ha esattamente n soluzioni in campo complesso e se un numero complesso è soluzione anche il suo complesso coniugato lo è, dal momento che l'operazione di coniugio commuta con moltiplicazione e somma). Per cui ogni soluzione dell'equazione x^2 = k con k numero reale positivo o nullo ha esattamente le stesse due identiche soluzioni in campo complesso e in campo reale, essendo le soluzioni complesse soluzioni con parte immaginaria nulla (cioè, di fatto, reali).
Ma di nuovo, qui la questione che sollevavo è diversa: risolvere una equazione e definire una funzione non comportano la medesima procedura.
Una funzione per definizione associa un unico elemento del codominio a ciascun elemento del dominio, per cui se vogliamo mantenere valida la più basica proprietà delle funzioni, sqrt(i) deve essere unico, altrimenti introduciamo una ambiguità che la definizione stessa di fuzione si premura di escludere, al punto che quando intendiamo violare questa convenzione di base nella definizione delle funzioni parliamo espressamente di funzioni a più valori ("multivalued functions" nel mondo anglosassone).
In altri termini, qui siamo di fronte a quello che per me è un problema di notazione e quindi di comprensione della richiesta dell'estensore del quesito.
Io considero diversi i seguenti due quesiti:
1) Calcola sqrt(i)
2) Risolvi l'equazione z^2 = i con z appartenente a C
edit: correzione refuso
io sono d'accordo con te la soluzione dovrebbe essere unica, visto che non abbiamo a che fare con un equazione, bensì con una funzione. A meno che le funzioni complesse non abbiamo due valori, ma non ho memoria di questo fatto. Quello che non capisco è perchè si debba scegliere la soluzione positiva, del resto per definizione i^2 è negativo. In verità non ricordo nemmeno quando un numero complesso si dice negativo, mò lo vado a cercare.
forse ci sono arrivato. I numeri complessi non sono un insieme ordinato quindi non esiste il concetto di positivo e negativo. Le funzioni nei numeri complessi hanno due soluzioni. Questo non mi è ben chiaro, forse si può spiegare con la rappresentazione nel piano, ma non so.
si risolve in fretta con MC Laurin
Interessante scoprire che in questo caso la radice di i non ha segno determinato e quindi la radice di i non è i...
Oscar Wilde era irlandese
Ma come: l'università più antica è Bologna!!
la piu antica in europa è Bologna
i non è la radice di -1. Le radici di -1 sono +i e -i. Definire i in quel modo porta a contraddizioni