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Secondo me la difficoltà principale (tutt'altro che intuitiva per un ragazzo delle medie) è che si possono ottenere infinite configurazioni di cerchi concentrici con quella corda tangente di lunghezza 10. Questo implica che si debba "annusare" che la soluzione non passi dal calcolo delle aree dei singoli cerchi... P.S. Il Teorema di Euclide che Claudio ha applicato sul triangolo rettangolo inscritto, può essere sostituito alternativamente dal Teorema delle Secanti (o delle diagonali di un quadrilatero ciclico) per il quale il prodotto delle lunghezze dei segmenti intercettati sulle due secanti (diametro e corda) è uguale: (R+r)*(R-r) = 5*5.

L'area (A) colorata sarà data da: A = pi (R^2 - r^2) Dalla figura, per il t. di Pitagora, essendo R^2 - r^2 = 5^2, sostituendo risulta: A = pi 5^2 = 25pi 😊

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Io invece ho considerato diametro2R=10, r=0...ne segue che il cerchio esterno coincide con la corona (cerchio interno ridotto ad un punto...).….🤷👍

Difficile questo

28 e ci si arriva a mente

Io, di getto, ho tracciato il diametro del cerchio grande passante per C ed ottengo gli stessi tuoi risultati. Unendo gli estremi del diametro con B si ottiene un triangolo rettangolo del quale BC è altezza. Con il Teorema di Euclide: (R-r) : 5 = 5 : (R+r); (R+r)(R-r) = 25; R^2 - r^2 = 25

il tuo canale è fantastico. sono un appassionato di matematica pur avendo un rtroterra culturale di tutt'altra natura. te ne porpongo uno io di giochini che se non conosci già, gradirai certamente. abbiamo un fiume la cui larghezza è l'incognita. vi sono due traghetti che fanno la spola tra le due opposte rive, partono nello stesso momento a velocità diverse e si incontrano a 720 metri dalla sponda più vicina. poi si fermano entrambi per dieci minuti per le manovre di scarico e carico passeggeri e ripartono alla stessa velocità verso la sponda opposta e si incontrano di nuovo a 400 metri di distanza dalla sponda più vicina. quanto è largo il fiume, appunto? ovviamente tralasciamo l'accelerazione iniziale e supponiamo che passino da 0 alla velocità di crociera in un attimo. fammi sapere. continua così che vai forte. buona serata

Per via analitica: i 3 triang. sotto le ipotenuse 3, 5 e 2 sono simili. Sommando i cateti orizzontali (2/5)*x + (3/5)*5 +x = 2*x . Adesso applicando Pitagora al triang sotto l'ipotenusa 10 ottengo 4x^2+x^2=10^2 da cui x=rad.Q(20)

Si può pensare 0^0 come il risultato di: 0^n / 0^n = 0^(n-n) Tale operazione però implica una divisione per zero che in matematica non ha risultato (è impossibile). 😊

Ammetto che talvolta sono un po' "coriaceo". I dati del problema sono: all'interno di un semicerchio c'è un quadrato di area 36 (cm. quadrati, per dire) che ha un vertice della base coincidente con il centro del cerchio ed il vertice opposto sulla semicirconferenza. Ovvero il vertice sta nel centro come "dato", non perché lo si può dedurre. Ho capito giusto vero?

Si poteva fare anche 8-7/8+7?

Il caffè freddo esiste. Viene fatto apposta freddo. Non è niente di vergognoso o poco professionale, il barista non ha necessità di giustificarsi

ma e' 'na banale progressione geometrica: Somma (r^k per k da i a j)=(r^(j+1)-r^i)/(r-1) come si dimostra per induzione. rispetto a j-i Nel nostro caso r=13, i=0, j=5, viene (13^6-1)/12 per calcolare 13^6-1, metti r^6-1=(r^3-1)(r^3+1) r^3-1=(r-1)(r^2+r+1) r^3+1=(r+1)(r^2-r+1) quindi la somma viene (r^2+1-r)(r^2+1+r)(r+1)(r-1)/(r-1)= (r^2+1-r)(r^2+1+r)(r+1)= ((r^2+1)^2-r^2)(r+1)=((170)^2-169)× 14=(100×289-169)×14=28731×14= 287310+4+120+2800+32000+80000=....conti della serva😊

Grande

Il polinomio si può scrivere come (13^6-1)/(13-1)= (13^6)/12=(13^3-1)(13^3+1)/12=(13-1)(13^2-13+1)(13^2+13+1)/12=168(170-13)(170+13)/12=14(28900-169)=14x28731=402234

Ciao, ho 67 anni, quindi lontanissimo dai problemi scolastici di matematica e geometria, ma te riesci a tenermi incollato fino in fondo alla risoluzione dei problemi e tutte le volte mi sorge un moto spontaneo di ammirazione. Bravo!

Problemino che si può risolvere per esempio con tangente e/ o coseno

(3^965(9-1) + 16)/(3^965 + 2) = 8(3^965 + 2)/(3^965 + 2) = 8 😊

Dato che cos2x = 1-2sin^2(x), risulta: sin^2(x) = 1/3 ma poichè si ha anche cos2x = 2cos ^2(x) - 1, risulta pure: cos^2(x) = 2/3 sostituendo si ottiene: (1/3)^4 + (2/3)^4 = 17/81 😊

Svolto in modo decisamente meno creativo con la trigonometria: indicata con a la lunghezza del lato del quadrato, trovo: cateto "orizzontale" del triangolo rettangolo in basso a sx: a*tan(15°)=a*(2-sqrt(3)), cateto "orizzontale" del triangolo rettangolo in basso a dx: a-a*(2-sqrt(3))=a*(sqrt(3)-1); cateto "verticale" del triangolo rettangolo in basso a dx: a*(sqrt(3)-1)*tan(30°)= a*(1-sqrt(3)/3); cateto "verticale" del triangolo rettangolo in alto a dx: a- a*(1-sqrt(3)/3) =a*(sqrt(3)/3); ma l'ultimo cateto è anche a*tan(x-30°) in virtù del fatto che l'ampiezza dell'angolo acuto in alto a sx è facilmente esprimibile come x-30°. A questo punto potrò dire che a*(sqrt(3)/3)=a*tan(x-30°), da cui x-30°=30°+k*180° ossia x=60°+k*180° con k in Z; e chiaramente l'unica soluzione accettabile in questo contesto è x=60° dovendo a priori essere 30°<x<105°.

grande prof.

Bravissimo

Che flash il "teorema dei carabinieri".... Non lo sento nominare da più di 30 anni

Ho trovato la x essere 60 gradi partendo dal fatto che i due angoli adiacenti alla destra del quadrato sono 120 gradi e che il triangolo rettangolo in alto a destra è un 90,60,30, come anche il triangolo in basso a destra.

In un ora il leone mangia 1/4 di pecora, l'orso 1/5 ed il leopardo 1/6. Quindi vengono mangiati 37/60 di pecora in 60 min. Da questo ricavo 37/60:60=1:x (37/60 di pecora sta a 60 min come 1 pecora sta ad x) x=60/(37/60) ovvero 60*(60/37)=97,29 minuti ovvero 1h 37m 17s circa

5% indovina il giochino da settimana enigmistica. ragazzi, non siete geni se risolvete. E' solo culo

Detto l il lato del quadrato, A il vertice dell'angolo di 30° e B il vertice dell'angolo x, fissato un sistema d'assi cartesiano con origine nel vertice alto a sin. del quadrato, si ha che 1) le coordinate di A sono: xA = l•tg15°; yA = - l 2) le coordinate di B sono: xB = l; yB = l•tg(30°)•(1-tg15°) - l Detto alfa (a) l'angolo tra il lato superiore del quadrato e il segmento obliquo che scende dall'origine del sistema d'assi cartesiano verso B, si ha che: tg(a) = -yB/xB = rad(3)/3 Ne consegue che a = 30° L'angolo cercato, per costruzione, sarà x = 30° + a = 60° E' un po' complicato, ma con la geometria analitica si risolvono molti problemi anche complessi. 😊

Ho passato un bel po' del video a chiedermi: e come tiriamo in ballo che quello è un quadrato ... perché se fosse stato un rettangolo sarebbero servite altre informazioni. Poi è arrivato il modo, veramente carino. Per la Creatività: il fatto che Musica e Matematica siano sempre andate d'accordo lo ritengo una conferma dell'essere creativi in Matematica e ordinati in Musica. Pitagora ha esplorato la generazione dei suoni della scala, la numerologia è stata fonte di ispirazione e di contenuti nel periodo Barocco (Bach), Cartesio si dilettava di Musica ... e in effetti negli anni miei a Matematica a Firenze c'erano nascosti parecchi musicisti, qualche diplomato compreso, sia Docenti che Discenti. E Firenze non aveva l'esclusiva.

Negli esercizi di geometria consiglierei di mettere le lettere agli estremi dei segmenti per rendere più agevoli domande o soluzioni alternative. Per es. si può dimostrare la congruenza tra i triangoli giallo e blu anche con il 1° e il 3° principio generale: un quarto di cerchio con centro nel vertice superiore sx del quadrato, di raggio uguale al lato del quadrato, passa per i vertici retti dei 2 triangoli, e per il teorema delle 2 tangenti anche i cateti minori sono congruenti.

La creatività è una potenzialità fondamentale in matematica in generale ed in geometria in particolare in quanto saper immaginare soluzioni non convenzionali sovente semplifica notevolmente la strada da seguire

Il quesito sulla conferenza lo risolvono i bambini della scuola primaria ( classe quinta) con lo schema dei segmenti.

Ma quindi il lato del quadrato e' 4*radice 6? Giusto ? Ma ci si arriva geometricamente?

Osserviamo che, una volta fatta la suddivisione in 8 triangoli, indipendentemente dalla posizione del punto scelto all'interno del quadrato (vertice comune ai triangoli), se consideriamo una qualsiasi coppia di triangoli aventi basi sui lati opposti del quadrato di lato L, la somma delle loro aree è 1/2*(L/2)*L (la somma delle altezze è proprio L)=1/4*L^2 . Quindi queste coppie hanno un'area complessiva pari ad un quarto di quella del quadrato. Se consideriamo i quadrilateri "opposti" di area 16 e 32, possiamo notare che sono composti da due coppie di triangoli con le caratteristiche di cui sopra, per cui la somma delle aree dei due quadrilateri è la metà di quella del quadrato. Quindi (L^2)/2=16+32=48. Ma lo stesso ragionamento possiamo fare per i quadrilateri di area 20 e ? per cui 20+?=48 e quindi ?=28.

(32+16)-20=28

Ponendo 81^sin^2(x) = y, l'equazione diventa di secondo grado: y^2 - 30y + 81 = 0 da cui y1 = 27 y2 = 3 a) da y1 si ottiene 3^4sin^2(x) = 3^3 sin^2(x) = 3/4 sin x = +/- rad(3)/2 x1 = pi/3 + k pi x2 = 2/3 pi + k pi b) da y2 si ottiene sin^2(x) = 1/4 sin x = +/- 1/2 x3 = pi/6 + k pi x4 = 5/6 pi + k pi 😊

Altro procedimento: STR e RTQ hanno la stessa altezza, ne consegue che ST/TQ=4/6. SQ=ST+TQ, quindi SQ=STx10/4. STR e SPQ sono triangoli simili ed il rapporto tra i loro lati è proprio 10/4. Ne consegue che l'area di SPQ= area di STRx (10/4)^2

Ma allora in Cina non è che siano tanto più avanti di noi

I bordi degli archi di circonferenza sono compresi o esclusi? Cambia qualcosa?

La prob. che si verifichi l'evento citato (Pe) è data dal rapporto fra l'area colorata Ac e l'area del quadrato Aq. Essendo: Ac = 2^2 - pi • 1^2 = 4 - pi Aq = 2^2 = 4 risulta Pe = Ac / Aq = (4 - pi) / 4 = 0.215 = 21.5% 😊

Ho trovato la soluzione a memoria in poco tempo, ho considerato che le due figure opposte dovessero avere la stessa somma di area delle altre due opposte. Non chiedetemi di spiegarlo, mi apparso ovvio.

effettivamente è da elementari. L'area del rettangolo è base per altezza, l'area del triangolo in blu è l'area del rettangolo meno l'area degli altri 3 triangoli che sono base per mezza altezza diviso 2, altezza per mezza base diviso 3 e metà altezza per metà base diviso 2. Appunto 1/4, 1/4 e 1/8

Le parabole non mi stanno simpaticissime, ma lei riesce comunque a farmi seguire la spiegazione!

Grazie Professore, questa bilancia è proprio birichina 😂

Io ci sono arrivato per logica e probabilistica senza matematica

Ad occhio avrei detto 28 30 cm circa perche la figura è simile all'area di 32 cm .avrei sbagliato comunque pero se avessi detto 30 anziché 28 però mi sono avvicinata alla soluzione senza usare ragionamento

Ottimo! Certo, il quesito è da rileggere, ma alle medie si può anche di peggio. Un amico dei miei, docente di matematica, mi "fece arrivare" a limiti e derivate in terza media: non ero un genio io, ma bravo lui.

Be nn ne veniamo fuori, bastava sommare 1° e 2° equazione, e sostituire 20 ad a+b il valore 20 ed avremo già c+d

Grande!

Mi sento umiliato 😢