Тут же через формулу площади по двум сторонам и углу между ними всё легче решается. S = (1/2)*ab*sinα a = 4, b = a*cosα = 4*cosα S = (1/2)*4*4*cosα*sinα = 4*(2*sinα*cosα) = 4*sin(2α) 4*sin(2α) = 2 sin(2α) = 1/2 2α = 30° α = 15°
@@user-yw1rh7cg7s Тяжеловесно?! Оно просто записано тяжеловесно. Я у себя записывал немного не так... Пусть площадь S, гипотенуза c, один из катетов a, а противолежащий этому катету угол α, тогда a = c*sin(α) S = (1/2)*a*c*sin(90° - α) = (1/2)*a*c*cos(α) Подставим известные нам значения S и c a = 4*sin(α) 2 = (1/2)*a*4*cos(α) = 2*a*cos(α) или a*cos(α) = 1 Подставляем a из первого уравнения во второе 4*sin(α)*cos(α) = 1 2*sin(2*α) = 1 sin(2*α) = 1/2 2*α = 30° или 2*α = 150° отсюда α = 15°, а второй угол равен 75° (ну или наоборот α = 75°, тогда второй угол равен 15°) Здесь словесные комментарии заняли больше места, чем математические выкладки :) И самое главное, что решение ищется по готовой схеме: пытаемся свести в систему независимые уравнения, основанные на условиях задачи, и если количество уравнений равно количеству неизвестных, то пытаемся систему решить, выражая переменную из одного уравнения и подставляя в другое. Задачка вполне достойная, но для олимпиадного уровня обычная, ничего запредельного.
@@user-yw1rh7cg7s алгебраическое решение практически всегда можно написать, а вот геометрическое не всегда придумаешь. Поэтому алгебраическое, в какой-то мере "проще", потому что всё делается в лоб, и задумываться не нужно.
Можно построить снизу ещё один прямоугольный треугольник. Тогда получим равнобедренный треугольник с боковоц стороной 4 и площадью тоже 4.Применяем формулу площади через синус, получаем угол равен 30.Следовательно, красный угол 15
Решили очень быстро сами - советская Школа , которую окончили в 1979 году, 45 лет назад . Работаю врачом. Респект нашим преподавателям. Светлая память ……
Можно решить проще, одна сторона треугольника равна 4*sin(α), а другая 4*cos(α) площадь треугольника равна 4*sin(α) 4*cos(α)/2 и из условия равна 2, тогда sin(α) cos(α)=1/4, то есть 2sin(α) cos(α)=1/2, слева формулу синуса двойного угла, поэтому sin(2α)=1/2, поэтому 2α=30 градусов, а искомый угол α=15 градусов
@@user-ph4iv9yd6t "тем более это задание из ОГЭ" Так это из ОГЭ или олимпиадная задача? Кстати, а на экзаменах в школе запрещается применять то, что по программе не проходили?
Спасибо автору! Я в детстве очень любила геометрию, от стереометрии просто "тащилась". По образованию я гуманитарий, мне 70 лет, но я с удовольствием решаю предложенные задачи. Считаю, что эти упражнения тренируют мыслительные способности.
Достроить вверх прямоугольник. Применить формулу площади прямоугольника как полупроизведение квадрата диагонали на синус угла между диагоналями. Этот угол получается 30 градусов. И дальше все находится сразу.
Спасибо огромное нашим педагогам, которые дали нам блестящие знания в советской школе. Царствие им Небесное. К большому сожалению очень немногие из нынешних учеников могут с лёгкостью справиться с этой несложной задачей. Грустно, потому что дети перестают думать, на все вопросы есть ответы в интернете. А мы все ответы находили в книгах, много читали. Мои внуки удивлются, что я с возрастом не перестаю читать. Они даже по школьной программе не все читают. А ведь ещё Дидро сказал, что человек перестаёт мыслить, когда перестаёт читать.
Я не математик, геометрию в свое время не любил (возможно из-за учителей), но чисто ради интереса за 5 минут написал программу, которая методом перебора вычислила размер катетов 1.035 и b=3.864 соответственно, отсюда легко можно найти углы. Затем посмотрел ваше решение. Благодаря таким каналам, как ваш, постепенно просыпается интерес к геометрии.
Интересно вспоминать спустя более .чем 4х десятков лет.Вы только начали.я дальше стала развивать:очень любила в школе такие задачки.благодаря Ангелине Дмитриевне Грабко(царство ей небесное)Уже и формулировки правил не вспомнила.а решала на автомате.а почему -не помню.вот такой интересный факт.!
Обозначить стороны через a(меньшая) и b(бОльшая).Понять,что их произведение 4(т.к. площадь равна 2,это половина произведения).Если меньший угол α,то sinα=a/4,cosα=b/4((противо/при)лежащий катет к гипотенузе).Отсюда: sinα*cosα=a*b/16. sinα*cosα=1/4 2*sinα*cosα=1/2 Двойной синус: sin2α=1/2 2α=(-1)^k*arcsin(1/2)+πk,k∈Z 2α=π/6 пояснение:другие углы нам ни к чему,так что можно выкинуть всё,кроме арксинуса α=π/12 π/12=15° 180°-90°-15°=75° Ответ:один угол равен 15°,другой 75°.
А просто достроил точно такой же треугольник но снизу сделав равнобедренный треугольник. Также обозначил красный угол за х. Тогда формулa нахождение площади треугольника преобразуется как S=½a²sin2x Подставляем тогда sin2x=½ 2x=30° x=15°
еще вариант: проводим медиану, 2 равнобедренных треугольника. площадь каждого 1, равные стороны по 2. площадь треугольника 1/2 а*b*sin α . отсюда sin α= 1/2, α=30 или 150. ну и углы при основании прямоугольного треугольника 15 и 75
Проводим медиану из прямого угла. Получаем два равных равнобедренных треугольника по площади. (Произв. сторон на синус угла между ними. sin(alpha)=sin(180-alpha)). Берём нижний. 1=0.5^2^2^sin(alpha); sin(alpha)=0.5. alpha=150. Искомый 15 градусов.
достраиваем треугольник до прамоугольника с диагоналями 4. И по формуле площади прямоугольника через диагональ синус угламежду диагоналями равен 1/2, угол 30, нижний угол половина = 15 и тд
построим на продолжении катетов через вершину прямого угла ромб. Сторона ромба равна 4, а высота ромба равна двум длин высот треугольника т.е. 2. тогда в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 4 и катетом 2 угол при вершине ромба равен 30 градусам, а половина 15
Достроим до прямоугольника состоящего из двух треугольников, его площадь S=1/2×dd×sina, через диагонали и угол между ними. То есть 2+2=1/2×4×4×sina, отсюда sina=1/2, a=30° Красный угол 15° как половина a, Синий 75°.
23 года. Система уравнения с 2 неизвестными Первое уравнение это площадь треугольника Х×У/2=S=2 И терема пифагора Х^2+ У^2=4^2 После нахождения сторон через arcsin или arccos находим угол а потом вычитаем из 90 и вот два угла.
Ничего плохого нет в анализе задачи и формальном подходе. И ничего хорошего в мастырках на манер индусов. От этого, как писал Литтлвуд, нет ничего, кроме чувства "глупенькой гордости за демонстрируемую виртуозность".
Рассмотрим зеленый треугольник (прямоугольный), где гипотенуза - это медиана длиной 2, а один из катетов - высота треугольника длиной 1 (вычисли из площади). Но это значит, что этот самый катет лежит напротив угла 30°. А теперь рассмотрим другой треугольник, равнобедренный (медиана равна половине гипотенузы), где этот же угол в 30° будет у вершины. Значит на остальные два угла (равных между собой) приходится в сумме 180° - 30° = 150°. Эти углы, значит каждый из них угол равен 150°/2 = 75°. Однако один из углов - искомый угол большого треугольника (заданного). Находим и другой искомый угол = 90° - 75° = 15°.
Можно было после проведения высоты найти отрезки, на которые она делит гипотерузу по формуле h²=1отр*(4-1отр), отсюда получается, что один больший отрезок гипотенузы 2+√3, и это же сторона среднего прямоугольного треугольника, у которого есть два катета, значит через арктангес находим 1 угол, а потом 90 минус этот угол будет второй. Все
Можно достроить до прямоугольника с площадью 4 и диагоналями 4. Отсюда синус острого угла между диагоналями = 1/2 а значит 30 градусов. Отсюда имеем верхний угол в 75 градусов, ну и 180-90-75=15
можно еще через формулу площади прямоугольника S=1/2(d^2*sina) (a-угол между диагоналями), достроить такой же треугольник сверху, диагонали прямоугольника равны 4, а угол между ними равен 2 меньших угла изначального треугольника, из формулы выходит что угол между диагоналями равен 30, значит меньший угол треугольника равен 15, второй равен 75
Достраиваем до прямоугольника с диагоналями по 4 и площадью соответственно 4. Из формулы площади прямоугольника S= 0.5 d * d * sin a (угол между диагоналями,) находим 4= 0,5*16*sin a, угол равен 30°. Почти все. Тупой угол тогда 150 - вершина равнобедренного. Тогда нижний 15, а верхний -75. Проще
Я тоже, но дело в том, что я, да и Вы тоже, давно уже не школьник. А вот дочка моя старшая, которая как раз школьница - не рашит от слова никак. И не потому что тупая. Просто мышление как то по другому работает... Посмотрим на младших, когда подрастут :)
Получив угол в 30 градусов, можно было найти фиолетовый угол по свойству внешнего угла треугольника и свойству равнобедренного треугольника.Очень красивая задача. Спасибо за предложенное решение!!!
Даже больше скажу, он угол 30° не там отметил. Там где он отметил 30°, должно было быть 60° и тогда тупой угол красного треугольника должен был быть 120°(даже по рисунку можно понять эту ошибку), а 2 остальных по 30° градусов и тогда синий угол 60°
@@Lift11, 30° лежит против катета. Все верно,не знаю к чему вы прикопались Больше скажу, ориентировать размеры углов по рисунку нельзя ни в коем случае. Чертеж не всегда точен и делается лишь для понимания
Я сел и за 3 минуты решил через систему уравнений (первая - теорема Пифагора, вторая - площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, а высота в прямоугольном треугольнике равна катету), мне показалось что задачка даже простовата , но видимо только в том случае если не лезть в «дочерчивание»))
Вот чему не учат в школе и это плохо, так это то у, что алгебра и геометрия суть одно и то же. А методы "геометрические" не универсальные и, поэтому, малопригодные, превращают науку в набор трюков. А должен быть набор максимально мощных методов, как, собственно, и происходит в математике как науке)
@@user-nf7wx8bz7m ну, здесь как бы не уйти в дебри вероисповедания) чем же геометрия плоха, если в ребусе заложено геометрическое решение? И чем же алгебра плоха, коли можешь ею распоряжаться? А логика должна быть в каждом решении. Можешь проще - делай, можешь сложнее - делай. Главное - делай) знай и делай. Я думаю, тут не спорить надо, а принять ситуацию, что каждому свое и о вкусах не спорят)
@@sergeychepelev6589 Собственно, вопрос в скорости решения. Геометрическое решение, как правило, требует увидеть какие-то известные геометрические элементы, либо придумать дополнительное построение. Это требует определённого мышления и существенных затрат времени. Алгебраически же задачи часто решаются не думая по известной схеме. Можно, конечно, как Архимед, полжизни потратить на медитацию над задачей, чтобы потом построить простой наглядный красивый чертёж, где всё сразу станет понятно, и сказать: "Смотри". А можно сесть и за 5 минут, не вникая особо в суть, решить задачу. Если важна красота решения, то, наверное, лучше использовать геометрические решения. Если же нужно побыстрее получить ответ, то алгебра рулит. Ну, или не алгебра, а аналитическая геометрия.
@@user-nm6zh5kj6d Это олимпиадная задача для школьников, которые тригонометрию не проходили. Самое ценное решение "методом первоклассника". За это высший балл. Так и в жизни нужно видеть красивое и детское решение. Ребёнок в феврале 2022 предсказал развитие событий гораздо точнее, чем предполагали политики тогда. Жизнь подтвердила его правоту в 2023. Простая арифметика и геометрия всегда рулит. Знаю выпускников Мехмата МГУ, не умеющих элементарно считать.
Достраиваем до прямоугольника. Понимаем, что произведение катетов равно 4 ( 2 суммы площадей треугольников). Называем стороны треугольника буквами. Выражаем синус и косинус любого из углов ( но для понимая лучше тот, что поменьше). Применяем формулу синуса двойного угла. Понимаем, что в числителе произведение сторон катетов (равное 4). Синус двойного угла получается 0.5, из этого следует, что угол равен 15 градусам.
Привет от Волкова! Valery Volkov replied: "Да, мне многие уже писали про этого человека, что он скопировал уже около 100 моих решений почти слово в слово. Это не хорошо, этому точно не учат в школе..."
@@virabhadra2 Почему не учат? Я помню один единственный раз было на уроке русского именно "списывание". До сих пор помню, что получил трояк, т.к. 2 описки допустил. Очень обидно было за свою невнимательность.
@@vasiliynkudryavtsev у меня тоже было, списывание текста с доски. 15 ошибок в одном абзаце, при списывании текста :} Я имел в виду списывание, в смысле жульничество, а не упражнение.
Решение понравилось. Высота h = 1 исходя из средне-геометрического : Х × (4 - Х) = 1 Х = 2 +/- 3^.5 Значит имеем прямоугольный треугольник с катетами 1 и Х, Искомый угол лежит напротив высоты, и равен Arctg (1/Х) = 15° или 75°
закончила школу в в 1978 году. до сих пор интересно смотрю решения. что то забыла, но с вашей помощью вспомнила. очень интересно. вот что значит советская система обучения. ура! я не даня милохин!
После первого же шага, после определения высоты треугольника, можно через тангенс определить угол, а так же с помощью теоремы пифагора длину большей стороны, а потом и меньшей.
Это самый быстрый способ. Но вот угол получается 14 градусов, а не 15. external-content.duckduckgo.com/iu/?u=https%3A%2F%2Fi.pinimg.com%2Foriginals%2F00%2Fb1%2Fbd%2F00b1bdf8ce2a7524e14e087348ac29e0.jpg&f=1&nofb=1&ipt=03ec1a38dfe0461deef47cda45628a95a1f40649803355804f3367a55fcb3573&ipo=images
Как? Я попробовал и запоролся на этом: (x и y - это квадраты катетов) √(x * y) = 2² = 4 - площадь прмоугольника x + y = 4² = 16 - квадрат гипотенузы x * y = 16 x + y = 16 (16 - y) * y = 16 16y - y² = 16 16y - y² - 16 = 0 Дальше надо дискриминант искать, а мне влом. ЧЯДНТ?
Не правильно, 3:10 во внутреннем треугольнике угол не 30 градусов, а 60 -- и это видно визуально. Иначе получаем 180-90-30=60 -- т.е. более острый угол этого треугольника получился у вас 60 градусов, что в корне не верно -- и это видно визуально. Непонятно насколько нужно быть невнимательным чтоб это не видеть.
Причем тут визуально? Это схематичный чертеж. Нарисуйте прямоугольный треугольник с катетами 1 и 4. Разделите диагональ на 2, опустите высоту и вы увидите угол близкий к 30 градусам.
Решение этой задачи может быть с длинным описанием и использованием геометрических и тригонометрических знаний, с циркулем, линейкой, вычислениями сторон, углов и описанной окружности треугольника. Используем линейку и циркуль. Проводим горизонтально отрезок-гипотенузу треугольника длиной 4. Делим циркулем, линейкой отрезок-гипотенузу наполовину (а он у нас и гипотенуза и будет еще диаметром описанной окружности с центром радиуса 2). Из точки центра радиуса проводим перпендикуляр и с нее же радиусом 2 (половина длины гипотенузы) рисуем окружность, которая по свойствам будет описанной вокруг заданного треугольника, то есть с точками прямого угла расположенными на окружности. Далее без вычислений никак. По известным гипотенузе, площади и формулы вычисления площади треугольника находим высоту от гипотенузы: 2=(1/2)*4*h. То есть высота от гипотенузы будет h=1. С использованием циркуля и линейки рисуем параллельно гипотенузе на расстоянии высоты h=1 сверху и снизу прямые до пересечения с окружностью в точках, которые являются точками четырех вариантов расположения прямого угла треугольника. Мы будем рисовать один - левый верхний. К точке вершины левого прямого угла треугольника от концов гипотенузы проводим прямые (катеты) треугольника, а из центра окружности к точке прямого угла - радиус (она же медиана прямого угла) и из этой же точки на гипотенузу рисуем высоту (h=1). Один из вариантов расположения треугольников построен. Далее по школьным знаниям геометрии и тригонометрии рассматриваем треугольник: «медиана (длина 2 как половина гипотенузы) -высота (размер по высоте 1)-часть гипотенузы». То есть отношение высоты к медиане равно ½ и из тригонометрии вытекает, что угол (это угол медиана-часть гипотенузы треугольника, противоположный высоте) есть 30 градусов. При угле медиана - левая часть диаметра равном 30 градусов, угол медиана - правая часть диаметра будет 180-30= 150 градусов. А в треугольнике медиана-правая часть треугольника два других угла будут по 15 градусов (180-150=30 и на 2 угла, то есть по 15 градусов) Соответственно в исходном заданном и построенном прямоугольном треугольнике третий угол равен 180-90-15=75 градусов.
После 3:01: Угол 30° образован 2 радиусами - это центральный угол, опирающийся на жугу отсеканмую вертикальнвм катетом исходного тр-ка. Гипотенуза и нижний катет тоже опираются на эту же дугу, следовательно искомый угол между ними равен половине центрального = 15°.Соотв. верхний угол 90 - 15 = 75°
Грех это... смеяться над болезнью человека... Называется 🤣 "КличкоБолезнь" - выпадающие слова, словосочетания, предложения. Очевидно же, выпало слово "могут" перед "сегодня" или "решить".
Изящно! Я решал в лоб: через систему уравнений нашёл квадраты катетов, затем их отношение, т.е. тангенс угла, затем пришлось доказать, что тангенс 75° равен 2+sqrt(3) 😃
Если решать сложным путем, через систему уравнений, то одна сторона прямоугольного треугольника с гипотенузой 4 будет равна 1,035276, а другая - 3,8637. Соответственно синус красного угла будет равен отношению меньшей стороны к гипотенузе, то есть 0,258819, что соответствует углу 15 градусов...
@@alexz6810Ну да, а другой угол равен 90°-15°=75°. Вообще, нам не нужны размеры катетов. Для нахождения углов при катетах нам нужно их отношение. Прямые вычисления там тоже не годятся - в результате иррациональные числа получаются. Я просто привёл систему к квадратному уравнению, решил его, получив два корня, симметричных относительно 8: 8+sqrt(48) и 8-sqrt(48). Если мы их сложим, то получим 16, т.е. квадрат гипотенузы нашего треугольника. По сути это означает, что оба корня - это и есть квадраты катетов. Далее, используя полученные корни, получаем, что отношение квадратов катетов равно (2+sqrt(3))^2, т.е. отношение самих катетов получается 2+sqrt(3), а это тангенс 75°. Т.к. корни в уравнении симметричные, то обратное отношение катетов будет равно 2-sqrt(3), что есть тангенс 15°.
А почему сложно-то? Обозначим катеты, как X и Y, тогда площадь треугольника X*Y/2 = 4, отсюда X*Y = 4, a 2XY = 8; Запишем теорему Пифагора: X² + Y² = 4² или X² + Y² = 16; Вычтем из левой части уравнения 2XY, а из правой 8, т.к. 2XY = 8 (см. выше); X² - 2XY + Y² = 16 - 8; X² - 2XY + Y² = 8; По формуле сокращённого умножения (X - Y)² = 8 откуда X - Y = ±√8 или X - Y = ±2√2; Выразив X через Y получим X = Y ± 2√2; Подставим выражение в формулу удвоенной площади треугольника: (Y ± 2√2)*Y = 4; В каноническом виде Y² ± 2√2 - 4 = 0; Запишем формулу корней квадратного уравнения: Y₁,₂,₃,₄ = (±2√2 ± √24)/2 = ±√2 ± 2√6; Соответственно X₁,₂,₃,₄ = ±√2 ± 2√6 ± 2√2; Вспомним, что X*Y = 4 т.е. X/Y = 4/Y² или X/Y = 4/(±√2 ± 2√6) соответственно X/Y = 4/(2 ± 2√12 +6); Таким образом X/Y = 4/(8 ± 2√12), а после сокращения X/Y = 1/(2 ± √3); Приглядевшись к знаменателю вспоминаем, что tg15 = 2 - √3, а ctg15 = 2 + √3; Если в нашем алгебраическом выражении мы обозначили больший катет как Y, то речь идет о котангенсе, а если меньший, то о тангенсе. В любом случае поскольку tg и ctg есть обратные друг от друга функции (tg = 1/ctg; ctg = 1/tg) то угол при большем катете и гипотенузе α = 15°, соответственно угол при меньшем катете и гипотенузе β = 180° - 90° - 15° = 75°.
Решается в уме за 20 секунд. Высота из прямого угла равна 1 (потому что площадь 2 и гипотенуза 4). А если высота в 4 раза меньше гипотенузы, то острые углы сразу 15 и 75. Собственно, вот и все:-)
@@iradeourum ну есть такое известное свойство (оно в две строчки доказывается - и прямое, и обратное утверждение). Известные факты на олимпиадах использовать можно вроде как....
Такие простые задачи в СССР были разве что на районных олимпиадах. На уровне города и выше - нет. Да и сейчас, в профильном ЕГЭ по математике, сложнее есть, с 16-й по 18-ю задачи.
А я всё-таки решил находя стороны. Ищем катеты в виде a = sqrt(x)-sqrt(y), b = sqrt(x)+sqrt(y); Из теоремы пифагора получаем 2x+2y=4*4; => x+y=8; По формуле площади (x-y)/2=2; => x-y=4; Складываем уравнения => x=6, y=2. Соответственно, длины катетов: sqrt(6) +/- sqrt(2); Дальше мучительно считаем арксинус, арккосинус или арктангенс. Получаем заветные ~15/75 градусов и вуаля.
Визуально создаётся непонятная вещь. Если в зелёном треугольнике прямоугольный угол естественно равен 90 градусов а указанный вами 30 то выходит третий здесь угол будет равен 60 градусов НО НА ВИД он в два раза острее чем верхний. Не может ли быть всё наоборот. Нижний равен 30 градусов а верхний уж 60 и тогда арифметика пойдёт совсем другая. Прилегающий к нему угол будет равен не 150 а 180-60 равно 120 Два красных угла будут равны 180-120=60 делим на 2 красные углы равны по 30 гр. Фиолетовый угол будет равен 60гр. и выходит что прямоугольный чёрный угол равен трём углам по 30 градусов. С вида на рисунок так подходит наглядней а как вы рассказали выходит что зелёный нижний угол равен 60 градусов и на вид совсем не смотрится правдоподобно ( в математике я разбираюсь не очень и если что то не так то приношу свои извинения.
достроить точно такой же У нас получается трек состоронами 4 и 4 и при этом площадью 4 То есть все что нам нужно сделать S=absin(2a)/2 4=4*4*sin2a/2 8/16=sin2a sin2a=1/2 2a=30° a=15°
Для тех, кто забыл, что середина гипотенузы равноудалена от вершин, есть еще один простой вариант - отложить вниз равный прямоугольный треугольник, из новой вершины опустить перпендикуляр на гипотенузу исходного (тогда высота длиной 1 окажется средней линией ). И есть способ "ветерана" - найти катеты из биквадратного уравнения, поделить их друг на друга и вспомнить, что "два минус корень из трех" это тангенс 15 градусов.
Я не помню про гипотенузу. И твои рассуждения не понял. Я построил высоту как у автора, нначерил круг, где гипотенуза стала диаметром. Потом пошел смотреть ролик. 🙃
Можно и так формально, но тогда ответ с арксинусом корня, если вбить в калькулятор, то выдаст те самые 15 и 75 градусов, но красивее решить как показал автор, либо вниз зеркальный треугольник отложить и применить формулу площади с синусом, и сразу хороший ответ получается)
Решал сложно и долго по самым базовым формулам, в конце использовал калькулятор нахождения арктангенса. Дорисовал высоту из прямого угла, потом через подобие трех треугольников и прочее нашел тангенсы углов, один вышел 15 градусов, второй, соответственно - 75. Интересно посмотреть как у вас решено. Уверен - можно было проще, судя по длительности ролика.
Шикарно! За что и люблю геометрию, но не всегда могу "увидеть" всё, что нужно. После высоты тоже подумал про медиану и описанную окружность, но еще один лишний треугольник показался мне сложным нагромождением. А ведь он так прекрасно всё решил! Спасибо! Таки я за полчаса решил верно, но с излишними трудозатратами.
Автор, если уж объясняешь решение, то рисуй треугольник исходя из условий задачи. А то в треугольнике обозначенный угол в 30 градусов значительно больше угла в 60 градусов
Зачастую в геометри чертёж это всего лишь эскиз. И вовсе не обязательно чтобы угол 30 градусов был 30 градусам. Его можно хоть тупым начертить (утрирую). Напротив, мы всегда стараемся не идеализировать чертёж, чтобы решать задачи опираясь именно на аксиомы и теоремы, а не из рисунка видно.
Так как определил угол в 30°-на основании теоремы пифагора- уважаемый на вид этот угол в 60° а во вторых езжай в свой Оксфорд и изучай математику🎉🎉.А если хочешь знать как нас обучали в ССССР,то знай что нас учили проставлять латинские буквы на рисунке ,и если возникнет вопрос о угле в 30°то проставь буквы и увидишь свою ошибку
Как по мне, то проще всего эта задачка решается через площадь ромба из четырёх этих треугольников - S=а^2*sin где S=2*4треугольника=8, а=4 по условию. Тогда получается 8=16*sin и сразу видно, что sin=1/2, а это 30° Решение получается очень простое, с минимумом рисования и расчётов, а значит, с минимальной вероятностью ошибиться.
Вот блин... А я сперва нашел все стороны (в уме), дополняя треугольниками до квадрата с квадратом посередине. От сюда тангенс угла. А надо было то углы искать... :) Вот балда, а еще и победителем олимпиад был... Спасибо за задачку !
Найти стороны, составив два уравнения: теорема Пифагора и площадь. Зная стороны найти значение какой-нибудь триг функции угла. Потом угол по значению функции.
Точка, как абстрактный объект, не имеющий измерительных характеристик, но лишь местоположение, делает неевклидовы геометрии, фундаментально - квазиевклидовыми. С евклидовой они имеют тождественную основу - «безразмерную» точку без указания точности координат. Такое положение физически и математически не представляется вполне корректным, т.к. при указании любых координат точка фактически будет иметь, размер, хотя и неопределенный. Для решения проблемы предложена минимальная длина- константа, ниже которой более высокая точность координат уже не будет иметь физического смысла. Т.е. координаты двух соседних точек не могут быть меньше данной константы. Эта математическая и физическая константа принята равной примерно планковской длине (допускается уточнение, например, в процессах аннигиляции). Введены также понятия чисел-объектов и чисел-действий (операторов) над числами-объектами для формирования числовых осей. В междисциплинарном смыле константы-неоатомы можно считать математическими единицами и частицами праматерии с бесконечным временем жизни. Это позволяет физический объект представить и натуральным числом. Единицы-неоатомы-частицы могут быть представлены и структурными частицами физического вакуума и как реально самые элементарные частицы. В междисциплинарном контексте единой науки методологические проблемы стратегии развития математики с учетом представленных положений также могут получить новое толкование, включая и междисциплинарные границы аксиоматик, теорем и математических констант.
Решил задачу чисто алгебраически. Преимущество моего метода вижу в том, что он работает для любых значений площади и длины гипотенузы, какие ни возьми, а не только для некоторых частных. Итак, обозначим катеты х и у, для определенности считаем х>у. Длина гипотенузы равна 4, поэтому пишем уравнение (1) : х^2+у^2=16 Площадь треугольника равна 2, удвоенная площадь равна 4, пишем уравнение (2) : х*у=4 Отлично! Теперь прибавим к уравнению (1) уравнение (2), умноженное на 2: х^2+2*х*у+у^2=24. Это означает (х+у)^2=24, отсюда х+у=2√6. Чудесно. Теперь из уравнения (1) вычтем уравнение (2), умноженное на 2: х^2-2*х*у+у^2=8, (х-у)^2=8, х-у=2√2. Теперь мы знаем, что х+у=2√6, х-у=2√2, отсюда уже легко выводим х=√6 + √2, у=√6 - √2. Дальше ищем углы через косинусы. Косинус меньшего угла равен отношению большего катета к гипотенузе, то есть cos(a) =(√6 + √2) / 4. Это значение кто-то знает, кто-то нет. Я вспомнил, что это косинус 15 градусов. Но если это не знать, то можно сообразить, что это выражение сильно похоже на косинус половинного угла. Тогда попробуем поискать, чему равно cos(2a) =2*cos(a) ^2-1=2*(6+2+4√3) /16 - 1 =... =√3/2. Это косинус угла 30 градусов. Значит, наш в два раза меньше и равен 15 градусов. Второй тогда 75 градусов. Повторюсь, мой способ, возможно, и покажется сложнее, зато работает для любых чисел!
Катеты обозначить за х и у. 1/2*х*у=2 и х^2 + у^2 = 4^2 Система решается элементарно. Через знание катетов и гиппотенузы найдет синус и арксинус, соответственно
Составляем систему 1/2ab=2 a^2+b^2=16 Отсюда a, b =sqrt(6) ± sqrt(2) Тогда углы арктангенс и арккотангенс 2+sqrt(3). Хотя творческую составляющую решения явно не оценили бы
Доброго дня! Не соглашусь с решением задачи. С данных 15°, 75°, гипотенузы 4, площадь прямоугольника 4 найдите ширину и длину прямоугольника. Перемножьте ширину и длину, чтобы получилось 4.
Тут же через формулу площади по двум сторонам и углу между ними всё легче решается.
S = (1/2)*ab*sinα
a = 4, b = a*cosα = 4*cosα
S = (1/2)*4*4*cosα*sinα = 4*(2*sinα*cosα) = 4*sin(2α)
4*sin(2α) = 2
sin(2α) = 1/2
2α = 30°
α = 15°
Ваше решение тяжеловесно и ничуть не легче предложенного. А решение в ролике просто красиво!
@@user-yw1rh7cg7s Тяжеловесно?! Оно просто записано тяжеловесно. Я у себя записывал немного не так...
Пусть площадь S, гипотенуза c, один из катетов a, а противолежащий этому катету угол α, тогда
a = c*sin(α)
S = (1/2)*a*c*sin(90° - α) = (1/2)*a*c*cos(α)
Подставим известные нам значения S и c
a = 4*sin(α)
2 = (1/2)*a*4*cos(α) = 2*a*cos(α) или a*cos(α) = 1
Подставляем a из первого уравнения во второе
4*sin(α)*cos(α) = 1
2*sin(2*α) = 1
sin(2*α) = 1/2
2*α = 30° или 2*α = 150°
отсюда α = 15°, а второй угол равен 75° (ну или наоборот α = 75°, тогда второй угол равен 15°)
Здесь словесные комментарии заняли больше места, чем математические выкладки :)
И самое главное, что решение ищется по готовой схеме: пытаемся свести в систему независимые уравнения, основанные на условиях задачи, и если количество уравнений равно количеству неизвестных, то пытаемся систему решить, выражая переменную из одного уравнения и подставляя в другое.
Задачка вполне достойная, но для олимпиадного уровня обычная, ничего запредельного.
@@user-yw1rh7cg7s алгебраическое решение практически всегда можно написать, а вот геометрическое не всегда придумаешь. Поэтому алгебраическое, в какой-то мере "проще", потому что всё делается в лоб, и задумываться не нужно.
Элементарно решается в уме! Просто надо знать формулу синуса двойного угла. А доп. построения - признак зашоренности ума.
Тоже так решил, причем быстрее чем досмотрел ролик, хотя уже 30 лет как не школьник
Можно построить снизу ещё один прямоугольный треугольник. Тогда получим равнобедренный треугольник с боковоц стороной 4 и площадью тоже 4.Применяем формулу площади через синус, получаем угол равен 30.Следовательно, красный угол 15
Во, круто!
круто. куда более красивое решение чем в ролике!
достраивать нас учили в школе. А канал "Этому не учат в школе"=))). PS приятно читать умных людей)
А я так и не понял что такое синусу-косинусы
Зачем что-то достраивать?
Один катет: 4*sin (x) (x - меньший угол) , второй катет 4*cos (x)
Площадь : 1/2 *4*4*sin(x)*cos(x)=2
sin(2x)=1/2
x=15
Решили очень быстро сами - советская Школа , которую окончили в 1979 году, 45 лет назад . Работаю врачом. Респект нашим преподавателям. Светлая память ……
Элементарная школьная задача. Начало решения не такое, как выше, но на синус = 0.5 вышел и далее так же
Можно решить проще, одна сторона треугольника равна 4*sin(α), а другая 4*cos(α) площадь треугольника равна 4*sin(α) 4*cos(α)/2 и из условия равна 2, тогда sin(α) cos(α)=1/4, то есть 2sin(α) cos(α)=1/2, слева формулу синуса двойного угла, поэтому sin(2α)=1/2, поэтому 2α=30 градусов, а искомый угол α=15 градусов
Также решил. Но решение автора легче
@@user-ph4iv9yd6t тут в одном уравнени, а там вспомни медиану, высоту...
@@janyshbek73 ну это легче, чем решать тригонометрическое уравнение
@@janyshbek73 тем более это задание из ОГЭ, а в 9 классе не проходят тригонометрические уравнения. Их проходят в 10.
@@user-ph4iv9yd6t "тем более это задание из ОГЭ"
Так это из ОГЭ или олимпиадная задача?
Кстати, а на экзаменах в школе запрещается применять то, что по программе не проходили?
Спасибо автору! Я в детстве очень любила геометрию, от стереометрии просто "тащилась". По образованию я гуманитарий, мне 70 лет, но я с удовольствием решаю предложенные задачи. Считаю, что эти упражнения тренируют мыслительные способности.
О, Вы - реальный гуманитарий, не из тех, которые «ниасилили» таблицу умножения в школе и только поэтому считают себя гуманитариями.
А что по вашему главное в жизни?
Я тоже из 60х мне тоже 69. Учителя были сильные. До сих пор что то решаю.
Теперь вот с внуками.
Учебники были хорошие, с полноценным объяснением, а не ознакомительные
для кого как. Но вообще счастье@@user-nh1lp8xt4j
Достроить вверх прямоугольник. Применить формулу площади прямоугольника как полупроизведение квадрата диагонали на синус угла между диагоналями. Этот угол получается 30 градусов. И дальше все находится сразу.
Во-во. Зачем такое сложное решение?
Это точно школьники знают? Когда-то такому не учили
@@n.662 яндекс утверждает, что это ЕГЭ-2023 базовый уровень.
@@Ga3elistв ЕГЭ есть уровни? 👀
@@virabhadra2ага базовый для тех кто не собирается поступать просто аттестат школы получить.
Профильный для поступления в вуз
Спасибо огромное нашим педагогам, которые дали нам блестящие знания в советской школе. Царствие им Небесное. К большому сожалению очень немногие из нынешних учеников могут с лёгкостью справиться с этой несложной задачей. Грустно, потому что дети перестают думать, на все вопросы есть ответы в интернете. А мы все ответы находили в книгах, много читали. Мои внуки удивлются, что я с возрастом не перестаю читать. Они даже по школьной программе не все читают. А ведь ещё Дидро сказал, что человек перестаёт мыслить, когда перестаёт читать.
Я не математик, геометрию в свое время не любил (возможно из-за учителей), но чисто ради интереса за 5 минут написал программу, которая методом перебора вычислила размер катетов 1.035 и b=3.864 соответственно, отсюда легко можно найти углы. Затем посмотрел ваше решение. Благодаря таким каналам, как ваш, постепенно просыпается интерес к геометрии.
сузествует аксиома: Гипетонуза триуголника равен два размера катета стоящего напротив 30-ти градусного угла.
@@user-pu2zq7di7lтакой аксиомы не существует
Учителя не любили учить!
@@user-pu2zq7di7lну как бы будет звучать лучше: напротив угла 30° лежит катет равный половине гипотенузы
@@user-pu2zq7di7lэто не аксиома
Интересно вспоминать спустя более .чем 4х десятков лет.Вы только начали.я дальше стала развивать:очень любила в школе такие задачки.благодаря Ангелине Дмитриевне Грабко(царство ей небесное)Уже и формулировки правил не вспомнила.а решала на автомате.а почему -не помню.вот такой интересный факт.!
Очень понравилось ! Сама не решила : геометрию забыла совсем , очень интересно наблюдать за решением
на олимпиаду ходило 2 % школьников.
думаю, поменьше
Обозначить стороны через a(меньшая) и b(бОльшая).Понять,что их произведение 4(т.к. площадь равна 2,это половина произведения).Если меньший угол α,то sinα=a/4,cosα=b/4((противо/при)лежащий катет к гипотенузе).Отсюда:
sinα*cosα=a*b/16.
sinα*cosα=1/4
2*sinα*cosα=1/2
Двойной синус:
sin2α=1/2
2α=(-1)^k*arcsin(1/2)+πk,k∈Z
2α=π/6 пояснение:другие углы нам ни к чему,так что можно выкинуть всё,кроме арксинуса
α=π/12
π/12=15°
180°-90°-15°=75°
Ответ:один угол равен 15°,другой 75°.
Также решал
Две минуты на решение, синус 30°=1/2 СЛЕДОВАТЕЛЬНО @=15°
@@ratmirgorbach5846 В две минуты, наверное, не уложился, но решил в уме перед просмотром ролика.
А просто достроил точно такой же треугольник но снизу сделав равнобедренный треугольник. Также обозначил красный угол за х. Тогда формулa нахождение площади треугольника преобразуется как S=½a²sin2x
Подставляем тогда sin2x=½ 2x=30° x=15°
еще вариант: проводим медиану, 2 равнобедренных треугольника. площадь каждого 1, равные стороны по 2. площадь треугольника 1/2 а*b*sin α . отсюда sin α= 1/2, α=30 или 150. ну и углы при основании прямоугольного треугольника 15 и 75
Проводим медиану из прямого угла. Получаем два равных равнобедренных треугольника по площади. (Произв. сторон на синус угла между ними. sin(alpha)=sin(180-alpha)). Берём нижний. 1=0.5^2^2^sin(alpha); sin(alpha)=0.5. alpha=150. Искомый 15 градусов.
Уж если в названии ролика ошибки, то и удивляться нечего что сейчас могут решить задачу только 2% школьников.
У Вас тоже с запятыми нестыковка
Перед что запятая
так и не поняли, где "ЗАПЯТАЯ".
@@spaceman3573где? Что за бред пишите?
@@v-blage мде. Я смотрю, тут немало малограмотных в русском.
Будем надеяться, что хоть с математикой будет получше.
достраиваем треугольник до прамоугольника с диагоналями 4. И по формуле площади прямоугольника через диагональ синус угламежду диагоналями равен 1/2, угол 30, нижний угол половина = 15 и тд
построим на продолжении катетов через вершину прямого угла ромб. Сторона ромба равна 4, а высота ромба равна двум длин высот треугольника т.е. 2. тогда в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 4 и катетом 2 угол при вершине ромба равен 30 градусам, а половина 15
Классная, интересная задача!!!! 😊
Отличная подача материала !
Спасибо, что учите размышлять не "запихиваться в шаблоны" как в школе
Решила!!!! Школу окончила в 1962г. Всегда любила геометрию!!!!! Готова решать хоть целый день!!! Спасибо УЧИТЕЛЯМ, которые нас учили и любили!!!!!
Достроим до прямоугольника состоящего из двух треугольников, его площадь S=1/2×dd×sina, через диагонали и угол между ними. То есть 2+2=1/2×4×4×sina, отсюда sina=1/2, a=30° Красный угол 15° как половина a, Синий 75°.
Задача дуде легко розв'язується , якщо добудувати ще один такий трикутник. Ійого площу через синус кута.
Точно! Красивое решение! Спасибо!
Спасибо огромное и автору, и тем, кто пишет свои решения в комментариях.
Решается в уме через половину произведения диагоналей на sin угла между ними
23 года.
Система уравнения с 2 неизвестными
Первое уравнение это площадь треугольника
Х×У/2=S=2
И терема пифагора
Х^2+ У^2=4^2
После нахождения сторон через arcsin или arccos находим угол а потом вычитаем из 90 и вот два угла.
Вооо! я так же делал, только через тангенсы углов ))) Хоть кто-то делал почти как я )))
Очень понравилось! супер! Я почему то начал алгебру применять и узнал а и в. с известно было и бросил. Посмотрел что вы сделали и стыдно стало!
Ничего плохого нет в анализе задачи и формальном подходе. И ничего хорошего в мастырках на манер индусов. От этого, как писал Литтлвуд, нет ничего, кроме чувства "глупенькой гордости за демонстрируемую виртуозность".
Школу закончила в 1973 году. И сразу вспомнила всё и как решить эту задачу тоже. Вот что значит советское образование!
Рассмотрим зеленый треугольник (прямоугольный), где гипотенуза - это медиана длиной 2, а один из катетов - высота треугольника длиной 1 (вычисли из площади). Но это значит, что этот самый катет лежит напротив угла 30°.
А теперь рассмотрим другой треугольник, равнобедренный (медиана равна половине гипотенузы), где этот же угол в 30° будет у вершины. Значит на остальные два угла (равных между собой) приходится в сумме 180° - 30° = 150°. Эти углы, значит каждый из них угол равен 150°/2 = 75°. Однако один из углов - искомый угол большого треугольника (заданного). Находим и другой искомый угол = 90° - 75° = 15°.
Чтобы решить геометрически, нужно не мало свойств помнить, так то)
Про описанную окружность я вообще не помнил
Очень красиво! Здорово!
Уважаю ваши видео. Очень нужные уроки😊
Можно было после проведения высоты найти отрезки, на которые она делит гипотерузу по формуле h²=1отр*(4-1отр), отсюда получается, что один больший отрезок гипотенузы 2+√3, и это же сторона среднего прямоугольного треугольника, у которого есть два катета, значит через арктангес находим 1 угол, а потом 90 минус этот угол будет второй. Все
Супер, очень красивая задача и ее решение
15 и 75 град. Симпатичная задачка. Много вариантов. Опробую на внуке!
Можно достроить до прямоугольника с площадью 4 и диагоналями 4. Отсюда синус острого угла между диагоналями = 1/2 а значит 30 градусов. Отсюда имеем верхний угол в 75 градусов, ну и 180-90-75=15
можно еще через формулу площади прямоугольника S=1/2(d^2*sina) (a-угол между диагоналями), достроить такой же треугольник сверху, диагонали прямоугольника равны 4, а угол между ними равен 2 меньших угла изначального треугольника, из формулы выходит что угол между диагоналями равен 30, значит меньший угол треугольника равен 15, второй равен 75
Красивый подход. Но на олимпиаде я не стал бы упарываться выискивать частный случай, а решал бы напролом через площадь
Я попробовал напролом. arcsin(1/sqrt((8+4*sqrt(3)))). Так себе ответ. Хотя правильный - посчитал на виндовом калькуляторе, он сказал "15 градусов".
Задача в общем-то простая а то что её решает только 2% учащихся говорит о том что образование ещё проще 😂
Шикарная задача! Спасибо за объяснение!
Классная задача! Понравилась) Сам смог решить. Как раз про прямоугольные треугольники в школе говорили. Приятно, что так же пооучилось все ;)
Достраиваем до прямоугольника с диагоналями по 4 и площадью соответственно 4. Из формулы площади прямоугольника S= 0.5 d * d * sin a (угол между диагоналями,) находим 4= 0,5*16*sin a, угол равен 30°. Почти все. Тупой угол тогда 150 - вершина равнобедренного. Тогда нижний 15, а верхний -75. Проще
Решил в уме, за рулём, через площадь. Спасибо, интересно.
Я тоже, но дело в том, что я, да и Вы тоже, давно уже не школьник. А вот дочка моя старшая, которая как раз школьница - не рашит от слова никак. И не потому что тупая. Просто мышление как то по другому работает... Посмотрим на младших, когда подрастут :)
Тоже решил в уме, но пришлось подсмотреть, что sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
За дорогой следи, умник
@@mz9zn быдлуем?
ну, ну...
Классная задача! Хочу решать именнт так, без синусов!
Супер решение! Аналогичную задачу решали через тангенс. У вас красиво решено и очень просто!!!
Получив угол в 30 градусов, можно было найти фиолетовый угол по свойству внешнего угла треугольника и свойству равнобедренного треугольника.Очень красивая задача. Спасибо за предложенное решение!!!
Даже больше скажу, он угол 30° не там отметил. Там где он отметил 30°, должно было быть 60° и тогда тупой угол красного треугольника должен был быть 120°(даже по рисунку можно понять эту ошибку), а 2 остальных по 30° градусов и тогда синий угол 60°
@@Lift11, 30° лежит против катета. Все верно,не знаю к чему вы прикопались
Больше скажу, ориентировать размеры углов по рисунку нельзя ни в коем случае. Чертеж не всегда точен и делается лишь для понимания
Ой, опять выдают 25е задание ОГЭ девятого класса, как что-то олимпиадное и не из школы...
ЕГЭ 16-е задание*
Для 5го класса это олимпиадная вполне задача.
@@julion2052геометрия в 7
(у математической школы в 6)
Я сел и за 3 минуты решил через систему уравнений (первая - теорема Пифагора, вторая - площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, а высота в прямоугольном треугольнике равна катету), мне показалось что задачка даже простовата , но видимо только в том случае если не лезть в «дочерчивание»))
P.S. Мне 17
Ну, да, ловко, однако это ж сколько помнить надо. Моих знаний хватает только для того, чтобы катеты найти через уравнения
Супер! Геометрические задачки нужно решать геометрически) сам не решил. Решение супер
Ага... а сложные детали должен вытачивать слесарь... напильником. Нафиг все эти ваши горячие штамповки :)
Вот чему не учат в школе и это плохо, так это то у, что алгебра и геометрия суть одно и то же. А методы "геометрические" не универсальные и, поэтому, малопригодные, превращают науку в набор трюков. А должен быть набор максимально мощных методов, как, собственно, и происходит в математике как науке)
@@user-nf7wx8bz7m ну, здесь как бы не уйти в дебри вероисповедания) чем же геометрия плоха, если в ребусе заложено геометрическое решение? И чем же алгебра плоха, коли можешь ею распоряжаться? А логика должна быть в каждом решении. Можешь проще - делай, можешь сложнее - делай. Главное - делай) знай и делай. Я думаю, тут не спорить надо, а принять ситуацию, что каждому свое и о вкусах не спорят)
@@sergeychepelev6589 Собственно, вопрос в скорости решения. Геометрическое решение, как правило, требует увидеть какие-то известные геометрические элементы, либо придумать дополнительное построение. Это требует определённого мышления и существенных затрат времени. Алгебраически же задачи часто решаются не думая по известной схеме. Можно, конечно, как Архимед, полжизни потратить на медитацию над задачей, чтобы потом построить простой наглядный красивый чертёж, где всё сразу станет понятно, и сказать: "Смотри". А можно сесть и за 5 минут, не вникая особо в суть, решить задачу.
Если важна красота решения, то, наверное, лучше использовать геометрические решения. Если же нужно побыстрее получить ответ, то алгебра рулит. Ну, или не алгебра, а аналитическая геометрия.
@@user-nm6zh5kj6d Это олимпиадная задача для школьников, которые тригонометрию не проходили. Самое ценное решение "методом первоклассника". За это высший балл. Так и в жизни нужно видеть красивое и детское решение. Ребёнок в феврале 2022 предсказал развитие событий гораздо точнее, чем предполагали политики тогда. Жизнь подтвердила его правоту в 2023. Простая арифметика и геометрия всегда рулит. Знаю выпускников Мехмата МГУ, не умеющих элементарно считать.
Математику не знаем...
Русский не знаем тоже, но зато клипы снимаем...
Нам это очень даже интересно,а ты не смотри не твое
Достраиваем до прямоугольника. Понимаем, что произведение катетов равно 4 ( 2 суммы площадей треугольников). Называем стороны треугольника буквами. Выражаем синус и косинус любого из углов ( но для понимая лучше тот, что поменьше). Применяем формулу синуса двойного угла. Понимаем, что в числителе произведение сторон катетов (равное 4). Синус двойного угла получается 0.5, из этого следует, что угол равен 15 градусам.
Достроить до прямоугольника. Воспользоваться формулой s=0,5*d^2*sin a. Выразить синус угла между диагоналями прямоугольника, получаем (0,5 - т.е 30 градусов). Дальше применяя свойство смежных углов, равнобедренного треугольника и теорему о сумме углов треугольника находим искомые углы.
С медианой и описанной окружностью красиво!
Привет от Волкова!
Valery Volkov replied: "Да, мне многие уже писали про этого человека, что он скопировал уже около 100 моих решений почти слово в слово. Это не хорошо, этому точно не учат в школе..."
Тоже угарнул
В школе не учат списывать, однако все списывают. Парадокс!
@@virabhadra2 Почему не учат? Я помню один единственный раз было на уроке русского именно "списывание".
До сих пор помню, что получил трояк, т.к. 2 описки допустил. Очень обидно было за свою невнимательность.
@@vasiliynkudryavtsev у меня тоже было, списывание текста с доски. 15 ошибок в одном абзаце, при списывании текста :}
Я имел в виду списывание, в смысле жульничество, а не упражнение.
Решение понравилось.
Высота h = 1
исходя из средне-геометрического :
Х × (4 - Х) = 1
Х = 2 +/- 3^.5
Значит имеем прямоугольный треугольник с катетами 1 и Х, Искомый угол лежит напротив высоты, и равен
Arctg (1/Х) = 15° или 75°
закончила школу в в 1978 году. до сих пор интересно смотрю решения. что то забыла, но с вашей помощью вспомнила. очень интересно. вот что значит советская система обучения. ура! я не даня милохин!
Это не заслуга 😁. Прямохождение, умение читать и писать - и уже не вышеупомянутый персонаж.
Планку поднимайте выше!😆
@@dmxumrrk332 Насчёт планки не соглашусь...Сенека Младший: Беден не тот у кого мало ,а кто хочет большего...🥰😍🤩
Сложно будет но мне понравилось
Может ли быть у прямоугольника площадью 4 диагональ с длиною 4?
В сильно сплюснутом прямоугольнике со сторонами примерно 1 и 4 см
То есть корень из пяти равен четырем ?
@@user-yf1zu3jz5y а откуда вы корень из 5 взяли?
@@user-yf1zu3jz5y а че, катеты в квалюдрат возводить уже не надо?
@@user-yf1zu3jz5yоу, оу, оу. Корень из: 1кв+4кв=17. Корень из 17, не из пяти.
Супер! Красивое решение!👍👍👍
После первого же шага, после определения высоты треугольника, можно через тангенс определить угол, а так же с помощью теоремы пифагора длину большей стороны, а потом и меньшей.
Это самый быстрый способ. Но вот угол получается 14 градусов, а не 15. external-content.duckduckgo.com/iu/?u=https%3A%2F%2Fi.pinimg.com%2Foriginals%2F00%2Fb1%2Fbd%2F00b1bdf8ce2a7524e14e087348ac29e0.jpg&f=1&nofb=1&ipt=03ec1a38dfe0461deef47cda45628a95a1f40649803355804f3367a55fcb3573&ipo=images
можешь объяснить как найти угол через тангенс?
@@nobotru Тангенс одного из углов равен подозрительно корень(3) + 2. Кто не помнит, можно пошаманить. Далее это = корень(3) + 2 = (9 + 6корень(3) + 3)/(9 - 3) = (3+корень 3)*2 / ((3 + корень 3)*(3 - корень 3)) = (3 + корень 3) / (3 - корень 3) = (корень3 / 3 + 1)/(1 - корень3 / 3) = (тан 30 + тан 45)/(1 - тан 30* тан 45) = тангенс 75. (последнее - формулы тангенс суммы: он равен сумме тангенсов делить на (1 минус их произведение)).
я лично через систему уравнений решил минут за 5, но это красивее выглядит
Как? Я попробовал и запоролся на этом:
(x и y - это квадраты катетов)
√(x * y) = 2² = 4 - площадь прмоугольника
x + y = 4² = 16 - квадрат гипотенузы
x * y = 16
x + y = 16
(16 - y) * y = 16
16y - y² = 16
16y - y² - 16 = 0
Дальше надо дискриминант искать, а мне влом. ЧЯДНТ?
Не правильно, 3:10 во внутреннем треугольнике угол не 30 градусов, а 60 -- и это видно визуально.
Иначе получаем 180-90-30=60 -- т.е. более острый угол этого треугольника получился у вас 60 градусов, что в корне не верно -- и это видно визуально. Непонятно насколько нужно быть невнимательным чтоб это не видеть.
Причем тут визуально? Это схематичный чертеж. Нарисуйте прямоугольный треугольник с катетами 1 и 4. Разделите диагональ на 2, опустите высоту и вы увидите угол близкий к 30 градусам.
Решение этой задачи может быть с длинным описанием и использованием геометрических и тригонометрических знаний, с циркулем, линейкой, вычислениями сторон, углов и описанной окружности треугольника.
Используем линейку и циркуль. Проводим горизонтально отрезок-гипотенузу треугольника длиной 4.
Делим циркулем, линейкой отрезок-гипотенузу наполовину (а он у нас и гипотенуза и будет еще диаметром описанной окружности с центром радиуса 2).
Из точки центра радиуса проводим перпендикуляр и с нее же радиусом 2 (половина длины гипотенузы) рисуем окружность, которая по свойствам будет описанной вокруг заданного треугольника, то есть с точками прямого угла расположенными на окружности.
Далее без вычислений никак. По известным гипотенузе, площади и формулы вычисления площади треугольника находим высоту от гипотенузы: 2=(1/2)*4*h. То есть высота от гипотенузы будет h=1.
С использованием циркуля и линейки рисуем параллельно гипотенузе на расстоянии высоты h=1 сверху и снизу прямые до пересечения с окружностью в точках, которые являются точками четырех вариантов расположения прямого угла треугольника.
Мы будем рисовать один - левый верхний.
К точке вершины левого прямого угла треугольника от концов гипотенузы проводим прямые (катеты) треугольника, а из центра окружности к точке прямого угла - радиус (она же медиана прямого угла) и из этой же точки на гипотенузу рисуем высоту (h=1).
Один из вариантов расположения треугольников построен.
Далее по школьным знаниям геометрии и тригонометрии рассматриваем треугольник: «медиана (длина 2 как половина гипотенузы) -высота (размер по высоте 1)-часть гипотенузы». То есть отношение высоты к медиане равно ½ и из тригонометрии вытекает, что угол (это угол медиана-часть гипотенузы треугольника, противоположный высоте) есть 30 градусов. При угле медиана - левая часть диаметра равном 30 градусов, угол медиана - правая часть диаметра будет 180-30= 150 градусов. А в треугольнике медиана-правая часть треугольника два других угла будут по 15 градусов (180-150=30 и на 2 угла, то есть по 15 градусов)
Соответственно в исходном заданном и построенном прямоугольном треугольнике третий угол равен 180-90-15=75 градусов.
После 3:01:
Угол 30° образован 2 радиусами - это центральный угол, опирающийся на жугу отсеканмую вертикальнвм катетом исходного тр-ка. Гипотенуза и нижний катет тоже опираются на эту же дугу, следовательно искомый угол между ними равен половине центрального = 15°.Соотв. верхний угол 90 - 15 = 75°
Ваше решение через свойство центрального угла самое Красивое!!! Рад за Вас!!! Дерзайте...
Любитель геометрии.
Великий и могучий Русский язык "сегодня решить только 2% школьников" 🙃
Грех это... смеяться над болезнью человека...
Называется 🤣 "КличкоБолезнь" - выпадающие слова, словосочетания, предложения.
Очевидно же, выпало слово "могут" перед "сегодня" или "решить".
Это не его главная проблема.
Главная проблема что он около 100 задач и их решений почти слово в слово скоммуниздил у Валерия Волкова.
Изящно! Я решал в лоб: через систему уравнений нашёл квадраты катетов, затем их отношение, т.е. тангенс угла, затем пришлось доказать, что тангенс 75° равен 2+sqrt(3) 😃
Если решать сложным путем, через систему уравнений, то одна сторона прямоугольного треугольника с гипотенузой 4 будет равна 1,035276, а другая - 3,8637. Соответственно синус красного угла будет равен отношению меньшей стороны к гипотенузе, то есть 0,258819, что соответствует углу 15 градусов...
@@alexz6810Ну да, а другой угол равен 90°-15°=75°.
Вообще, нам не нужны размеры катетов. Для нахождения углов при катетах нам нужно их отношение. Прямые вычисления там тоже не годятся - в результате иррациональные числа получаются. Я просто привёл систему к квадратному уравнению, решил его, получив два корня, симметричных относительно 8: 8+sqrt(48) и 8-sqrt(48). Если мы их сложим, то получим 16, т.е. квадрат гипотенузы нашего треугольника. По сути это означает, что оба корня - это и есть квадраты катетов. Далее, используя полученные корни, получаем, что отношение квадратов катетов равно (2+sqrt(3))^2, т.е. отношение самих катетов получается 2+sqrt(3), а это тангенс 75°. Т.к. корни в уравнении симметричные, то обратное отношение катетов будет равно 2-sqrt(3), что есть тангенс 15°.
А почему сложно-то?
Обозначим катеты, как X и Y, тогда площадь треугольника X*Y/2 = 4, отсюда X*Y = 4, a 2XY = 8;
Запишем теорему Пифагора: X² + Y² = 4² или X² + Y² = 16;
Вычтем из левой части уравнения 2XY, а из правой 8, т.к. 2XY = 8 (см. выше);
X² - 2XY + Y² = 16 - 8; X² - 2XY + Y² = 8;
По формуле сокращённого умножения (X - Y)² = 8 откуда X - Y = ±√8 или X - Y = ±2√2;
Выразив X через Y получим X = Y ± 2√2;
Подставим выражение в формулу удвоенной площади треугольника: (Y ± 2√2)*Y = 4;
В каноническом виде Y² ± 2√2 - 4 = 0;
Запишем формулу корней квадратного уравнения: Y₁,₂,₃,₄ = (±2√2 ± √24)/2 = ±√2 ± 2√6;
Соответственно X₁,₂,₃,₄ = ±√2 ± 2√6 ± 2√2;
Вспомним, что X*Y = 4 т.е. X/Y = 4/Y² или X/Y = 4/(±√2 ± 2√6) соответственно X/Y = 4/(2 ± 2√12 +6);
Таким образом X/Y = 4/(8 ± 2√12), а после сокращения X/Y = 1/(2 ± √3);
Приглядевшись к знаменателю вспоминаем, что tg15 = 2 - √3, а ctg15 = 2 + √3; Если в нашем алгебраическом выражении мы обозначили больший катет как Y, то речь идет о котангенсе, а если меньший, то о тангенсе. В любом случае поскольку tg и ctg есть обратные друг от друга функции (tg = 1/ctg; ctg = 1/tg) то угол при большем катете и гипотенузе α = 15°, соответственно угол при меньшем катете и гипотенузе β = 180° - 90° - 15° = 75°.
@@alexz6810
Там получается ещё одно решение ~69 градусов
Вы не все варианты посчитали
Очень понравилось 👍
Красиво! ❤
Решается в уме за 20 секунд. Высота из прямого угла равна 1 (потому что площадь 2 и гипотенуза 4). А если высота в 4 раза меньше гипотенузы, то острые углы сразу 15 и 75. Собственно, вот и все:-)
Это даже изящнее.
@@user-gf6co6gp8o Ой !Молодцы !Завидуем от души !
Откуда такие сведения? Если высота в 4 раза меньше - сразу отсюда ничего не следует, на олимпиаде таким сразу проведут салом по сусалам.
@@iradeourum ну есть такое известное свойство (оно в две строчки доказывается - и прямое, и обратное утверждение). Известные факты на олимпиадах использовать можно вроде как....
Такие простые задачи в СССР были разве что на районных олимпиадах. На уровне города и выше - нет. Да и сейчас, в профильном ЕГЭ по математике, сложнее есть, с 16-й по 18-ю задачи.
не было - задачу можно решить кучей тупых способов и она не имеет *красивого* решения.
А я всё-таки решил находя стороны.
Ищем катеты в виде a = sqrt(x)-sqrt(y), b = sqrt(x)+sqrt(y);
Из теоремы пифагора получаем 2x+2y=4*4; => x+y=8;
По формуле площади (x-y)/2=2; => x-y=4; Складываем уравнения => x=6, y=2.
Соответственно, длины катетов: sqrt(6) +/- sqrt(2);
Дальше мучительно считаем арксинус, арккосинус или арктангенс. Получаем заветные ~15/75 градусов и вуаля.
После того как сказал что надо решать красиво,у меня сразу прямоугольник нарисовался,но и там по синусам и диагоналям всё решилось)))
Визуально создаётся непонятная вещь. Если в зелёном треугольнике прямоугольный угол естественно равен 90 градусов а указанный вами 30 то выходит третий здесь угол будет равен 60 градусов НО НА ВИД он в два раза острее чем верхний. Не может ли быть всё наоборот. Нижний равен 30 градусов а верхний уж 60 и тогда арифметика пойдёт совсем другая. Прилегающий к нему угол будет равен не 150 а 180-60 равно 120 Два красных угла будут равны 180-120=60 делим на 2 красные углы равны по 30 гр. Фиолетовый угол будет равен 60гр. и выходит что прямоугольный чёрный угол равен трём углам по 30 градусов. С вида на рисунок так подходит наглядней а как вы рассказали выходит что зелёный нижний угол равен 60 градусов и на вид совсем не смотрится правдоподобно ( в математике я разбираюсь не очень и если что то не так то приношу свои извинения.
НА ВИД
Взрослая геометрическая задача. "Геометрия любви не любит треугольников - в ней все стороны несчастливы"
😂😂😂
достроить точно такой же
У нас получается трек состоронами 4 и 4 и при этом площадью 4
То есть все что нам нужно сделать
S=absin(2a)/2
4=4*4*sin2a/2
8/16=sin2a
sin2a=1/2
2a=30°
a=15°
Для тех, кто забыл, что середина гипотенузы равноудалена от вершин, есть еще один простой вариант - отложить вниз равный прямоугольный треугольник, из новой вершины опустить перпендикуляр на гипотенузу исходного (тогда высота длиной 1 окажется средней линией ). И есть способ "ветерана" - найти катеты из биквадратного уравнения, поделить их друг на друга и вспомнить, что "два минус корень из трех" это тангенс 15 градусов.
Я не помню про гипотенузу. И твои рассуждения не понял. Я построил высоту как у автора, нначерил круг, где гипотенуза стала диаметром. Потом пошел смотреть ролик. 🙃
Про внешний угол треугольника что нибудь слышали или этому не учат в школе? 😊
Його цього не навчили у школі.
a x b =4
a² + b² = 16
Можно и так формально, но тогда ответ с арксинусом корня, если вбить в калькулятор, то выдаст те самые 15 и 75 градусов, но красивее решить как показал автор, либо вниз зеркальный треугольник отложить и применить формулу площади с синусом, и сразу хороший ответ получается)
Все теряют корень при подстановке a=4/b в другое уравненин.
Получается б квадратное уравнение,после замены
При решении получим корни 8+√48 и 8-√48, второй при возврате к исходной
Даёт углы 15 и 75градусов ,а вот второй
Решал сложно и долго по самым базовым формулам, в конце использовал калькулятор нахождения арктангенса. Дорисовал высоту из прямого угла, потом через подобие трех треугольников и прочее нашел тангенсы углов, один вышел 15 градусов, второй, соответственно - 75. Интересно посмотреть как у вас решено. Уверен - можно было проще, судя по длительности ролика.
Шикарно! За что и люблю геометрию, но не всегда могу "увидеть" всё, что нужно. После высоты тоже подумал про медиану и описанную окружность, но еще один лишний треугольник показался мне сложным нагромождением. А ведь он так прекрасно всё решил! Спасибо! Таки я за полчаса решил верно, но с излишними трудозатратами.
Автор, если уж объясняешь решение, то рисуй треугольник исходя из условий задачи. А то в треугольнике обозначенный угол в 30 градусов значительно больше угла в 60 градусов
Зачастую в геометри чертёж это всего лишь эскиз. И вовсе не обязательно чтобы угол 30 градусов был 30 градусам. Его можно хоть тупым начертить (утрирую). Напротив, мы всегда стараемся не идеализировать чертёж, чтобы решать задачи опираясь именно на аксиомы и теоремы, а не из рисунка видно.
Так как определил угол в 30°-на основании теоремы пифагора- уважаемый на вид этот угол в 60° а во вторых езжай в свой Оксфорд и изучай математику🎉🎉.А если хочешь знать как нас обучали в ССССР,то знай что нас учили проставлять латинские буквы на рисунке ,и если возникнет вопрос о угле в 30°то проставь буквы и увидишь свою ошибку
Удивительно красивое решение. 🎉🎉🎉
Как по мне, то проще всего эта задачка решается через площадь ромба из четырёх этих треугольников - S=а^2*sin
где S=2*4треугольника=8, а=4 по условию.
Тогда получается 8=16*sin и сразу видно, что sin=1/2, а это 30°
Решение получается очень простое, с минимумом рисования и расчётов, а значит, с минимальной вероятностью ошибиться.
Понравилась, просто проблема в том, что я ещё не прохожу геометрию😅 На следующий год уже пройду
Вот блин... А я сперва нашел все стороны (в уме), дополняя треугольниками до квадрата с квадратом посередине. От сюда тангенс угла. А надо было то углы искать... :) Вот балда, а еще и победителем олимпиад был... Спасибо за задачку !
Красота!
Найти стороны, составив два уравнения: теорема Пифагора и площадь. Зная стороны найти значение какой-нибудь триг функции угла. Потом угол по значению функции.
Точка, как абстрактный объект, не имеющий измерительных характеристик, но лишь местоположение, делает неевклидовы геометрии, фундаментально - квазиевклидовыми. С евклидовой они имеют тождественную основу - «безразмерную» точку без указания точности координат. Такое положение физически и математически не представляется вполне корректным, т.к. при указании любых координат точка фактически будет иметь, размер, хотя и неопределенный. Для решения проблемы предложена минимальная длина- константа, ниже которой более высокая точность координат уже не будет иметь физического смысла. Т.е. координаты двух соседних точек не могут быть меньше данной константы. Эта математическая и физическая константа принята равной примерно планковской длине (допускается уточнение, например, в процессах аннигиляции). Введены также понятия чисел-объектов и чисел-действий (операторов) над числами-объектами для формирования числовых осей. В междисциплинарном смыле константы-неоатомы можно считать математическими единицами и частицами праматерии с бесконечным временем жизни. Это позволяет физический объект представить и натуральным числом. Единицы-неоатомы-частицы могут быть представлены и структурными частицами физического вакуума и как реально самые элементарные частицы. В междисциплинарном контексте единой науки методологические проблемы стратегии развития математики с учетом представленных положений также могут получить новое толкование, включая и междисциплинарные границы аксиоматик, теорем и математических констант.
Решил задачу чисто алгебраически. Преимущество моего метода вижу в том, что он работает для любых значений площади и длины гипотенузы, какие ни возьми, а не только для некоторых частных.
Итак, обозначим катеты х и у, для определенности считаем х>у. Длина гипотенузы равна 4, поэтому пишем уравнение (1) :
х^2+у^2=16
Площадь треугольника равна 2, удвоенная площадь равна 4, пишем уравнение (2) :
х*у=4
Отлично! Теперь прибавим к уравнению (1) уравнение (2), умноженное на 2: х^2+2*х*у+у^2=24. Это означает (х+у)^2=24, отсюда х+у=2√6.
Чудесно. Теперь из уравнения (1) вычтем уравнение (2), умноженное на 2: х^2-2*х*у+у^2=8, (х-у)^2=8, х-у=2√2.
Теперь мы знаем, что х+у=2√6, х-у=2√2, отсюда уже легко выводим х=√6 + √2, у=√6 - √2. Дальше ищем углы через косинусы. Косинус меньшего угла равен отношению большего катета к гипотенузе, то есть cos(a) =(√6 + √2) / 4. Это значение кто-то знает, кто-то нет. Я вспомнил, что это косинус 15 градусов. Но если это не знать, то можно сообразить, что это выражение сильно похоже на косинус половинного угла. Тогда попробуем поискать, чему равно cos(2a) =2*cos(a) ^2-1=2*(6+2+4√3) /16 - 1 =... =√3/2. Это косинус угла 30 градусов. Значит, наш в два раза меньше и равен 15 градусов. Второй тогда 75 градусов.
Повторюсь, мой способ, возможно, и покажется сложнее, зато работает для любых чисел!
Катеты обозначить за х и у. 1/2*х*у=2 и х^2 + у^2 = 4^2
Система решается элементарно. Через знание катетов и гиппотенузы найдет синус и арксинус, соответственно
Красиво!
Составляем систему
1/2ab=2
a^2+b^2=16
Отсюда a, b =sqrt(6) ± sqrt(2)
Тогда углы арктангенс и арккотангенс 2+sqrt(3).
Хотя творческую составляющую решения явно не оценили бы
Доброго дня!
Не соглашусь с решением задачи.
С данных 15°, 75°, гипотенузы 4, площадь прямоугольника 4 найдите ширину и длину прямоугольника.
Перемножьте ширину и длину, чтобы получилось 4.
Элементарная задача достраиваем до прямоугольника и получаем систему простых уравнений а^2+b^2=16 и a*b=4 находим стороны а потом углы
Excellent, simple solution. No quadratic equations are needed ❤
Можно было просто до прямоугольника достроить, найти угол между диоганалями, по теореме о площади в выпуклом четыркх угольнике и посчитать уголки
Ещё со школы очень люблю геометрию за подобные красивые задачи
Спасибо 👍
За Вами, надо ещё успеть понять! :)
Тут некоторым вообще въехать проблема...🥰😍🤩
Через интегралы тоже можно 😊