Обозначим точкой О пересечение MB и AC. Обозначим точкой P пересечение AC и BD. Тогда треугольники OBP и CBP равны по двум углам и стороне(BPO прямой, BP общая, OBP=MDB=CBD) значит OB=BC. Также это значит что треугольник AMO равнобедреный, а значит AM=MO. Площадь искомой трапеции S=(AD+BC)/2*h, подставим AD=AM+MD. S=(AM+MD+BC) /2 * h. Но так как AM=MO, а BC=OB получаем S=(MO+MD+OB)/2*3 = (4+4)/2*3=12
Или енто не олимпиядная задача, или я свой олимпиадный дух пронес через десятилетия. На основе угла ВМД достраиваем ромб ВМДК. В силу перпендикулярности АС и ВД, диагональ МК, перпендикулярная ВД по свойству ромба, параллельна АС. АМ=СК и треугольники АВМ и СДК равновелики по высоте и основанию. Задача решена: ромб равновелик искомой трапеции. Высота =3, основание =4 Ответ:12
Путь O точка пересечения AC и BM. Т.к. тр-к BMD равнобедренный, то ∠MBD=∠MDB. ∠ ADB=∠CBD (как накрест лежащие). В тр-ке OBC высота из точки B является биссектрисой, значит тр-к OBC равнобедренный: OB=BC и ∠BOC=∠BCO. ∠AOM=∠BOC (как вертикальные). ∠CAD=∠ACB (как накрест лежащие). Т.е. в тр-ке AMO ∠OAM=∠AOM, т.е. тр-к AMO равнобедренный (AM=OM). Обозначим AM (=OM) за X, тогда BO (=BC)=4-X. Сумма BC (4-X) и AD (4+X) равна 8. Площадь трапеции 1/2*8*3=12.
6:15. Я бы доказал через окружность с центром в точке сечения гипотенузы радиусом , равным чевиане. Она проходит через две точки треугольника, но чтобы оставаться прямоугольным, все вершины должны лежать на окружности и гипотенуза суть диаметр =двум радиусам
Вот еще вариант. Из точки М опускаем перпендикуляр на BD и продлеваем до пересечения с продолжением ВС, пусть в точке О, тогда параллельно АС, но и АD || BO, то АВОМ параллегограмм и МВОD тоже параллелограмм и в нагрузку еще и ромб, т.к. диагонали перпендикулярны. Треугольники АМВ и СОD имеют равные высоты и основания, стало быть их площади равны, а значит площать трапеции равна площади ромба МВОD, где мы имеем сторону 4 и высоту 3, откуда получаем площадь 12. Ответ получается уже в самом уловии ))
Задачу решил в уме, проведя из точки М прямую параллельную АС до пересечения с ВС, полученную точку соединил прямой с точкой D и получил равновеликий ромб с трапецией (по равным диагоналям под прямым углом). Но способ, который в видео понравился. Прям, ну, очень понравился. Казакову респект.🙂
Площадь - половина произведения диагоналей на синус угла между ними. В нашем случае - просто половина произведения диагоналей. А эта половина произведения, в свою очередь, равна площади треугольника PDB и равна (1/2)*2MD*h = 4*3=12.
Проведём прямую параллельную диагонали из начала отрезка 4. Она отсечет на верхней стороне маленький отрезок нижнего основания. И превратит трапецию в ромб со сторонами 4, и высотй 3. Площадь 12.
Мой способ (кажется, такого в комментах еще нет): 1) СК II ВD. S(АСК)=S(трап.). 2) Высота МН. В подобных тр-ках АСК и МНD CK вдвое больше НD, значит, АК вдвое больше МD и = 8. S(трап.)=12.
*Вполне можно обойтись рисунком без дополнительных построений и с привлечением минимальных знаний тригонометрии на уровне* *прямоугольного треугольника.* Обозначим: ∡MBD = ∡MDB = α ⟹ ∡CAD = 90° - α . Из треугольника MBD: BD = 8∙cosα. Из треугольника АСЕ (Е-основание высоты, опущенной из точки С) : АС = 3/ cosα. Площадь трапеции равна: S = (1/2)∙AC∙BD = (1/2)∙ (3/ cosα)∙ (8∙cosα) = 12 . *В общем случае: S = MD∙CE .*
BMD равнобедренный ,проведем высоту МН, HD=x, площадь трапеции =х*АС причем длинну АС искать не придется , из подобия MD/x=АС/3 и х=3*MD/АС=12/АС и площадь АС*12/АС=12 !
Я решил сам!!! Ура!!! Спасибо!!! АС пересекает ВМ в точке К. Углы МДВ = МВД = МВС (как углы при основании равнобедренного и как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит ВД - биссектриса МВС. Она же высота треугольника КВС. Значит треугольник равнобедренный. Треугольники КВС и КМА подобны по двум углам. Значит АМ = МК. Проводим МТ параллельную АС, точка Т лежит на продолжении ВС. СТ = МК =АМ, следовательно треугольники АМВ и СВТ равновелики и площадь трапеции равна площади ромба со стороной 4 и высотой 3 или 12.
Вообще по другому решил и гораздо легче. Маленький треугольник AML схож чуть бальшому.LBC и тоже равнобедренный.ML=AM=x ; BL=BC=4-x ; Сумма основании - x+4+4-x=8 .
Красивейшая задача, красивейшее решение.Даже не хочется искать что-то другое. Спасибо, что обратили внимание на интереснейшее свойство отрезка, проведенного к гипотенузе...
Хмм.. Если перевернуть АМВ так что отрезок АМ станет продолжением ВС и тогда МД=В"М", то получим два треугольника(МВД и ДВ"М") с основанием 4 и высотой 3, в сумме равных исходной трапеции.
Так доказали же именно это в ходе решения задачи. Когда показали, что треугольник РВМ равнобедренный (равные зелёные уголочки- это углы при основании ). РМ=ВМ
Я перенес BD вправо до CF и расмтрел прямоугольный треугольник с катетами диагоналями, гипотенузой 8 и высотой 3. Спасибо за поддрежку в комменттах. Досадная оговорка.
@GeometriaValeriyKazakov Спасибо Валерий. Как говорил мой Папа, радоваться надо. Если бы не было этой оговорки, Вы бы не узнали сколько у Вас настоящих ценителей. Спасибо Вашим критикам за то, что делают Ваш канал интересным не только для любителей математики. Думаю, огромная палитра эмоций подписчиков украсила Ваш ролик и привлечет внимание новых зрителей.
@@GeometriaValeriyKazakov Помните? У Райкина есть песня: я споткнулся у всех на виду, только Браво кричал почему-то добрый зритель в десятом ряду. Побольше Вам зрителей в десятом ряду.
Обозначим точкой О пересечение MB и AC. Обозначим точкой P пересечение AC и BD. Тогда треугольники OBP и CBP равны по двум углам и стороне(BPO прямой, BP общая, OBP=MDB=CBD) значит OB=BC. Также это значит что треугольник AMO равнобедреный, а значит AM=MO. Площадь искомой трапеции S=(AD+BC)/2*h, подставим AD=AM+MD. S=(AM+MD+BC) /2 * h. Но так как AM=MO, а BC=OB получаем S=(MO+MD+OB)/2*3 = (4+4)/2*3=12
Или енто не олимпиядная задача, или я свой олимпиадный дух пронес через десятилетия.
На основе угла ВМД достраиваем ромб ВМДК. В силу перпендикулярности АС и ВД, диагональ МК, перпендикулярная ВД по свойству ромба, параллельна АС. АМ=СК и треугольники АВМ и СДК равновелики по высоте и основанию. Задача решена: ромб равновелик искомой трапеции. Высота =3, основание =4
Ответ:12
Путь O точка пересечения AC и BM. Т.к. тр-к BMD равнобедренный, то ∠MBD=∠MDB. ∠ ADB=∠CBD (как накрест лежащие). В тр-ке OBC высота из точки B является биссектрисой, значит тр-к OBC равнобедренный: OB=BC и ∠BOC=∠BCO. ∠AOM=∠BOC (как вертикальные). ∠CAD=∠ACB (как накрест лежащие). Т.е. в тр-ке AMO ∠OAM=∠AOM, т.е. тр-к AMO равнобедренный (AM=OM). Обозначим AM (=OM) за X, тогда BO (=BC)=4-X. Сумма BC (4-X) и AD (4+X) равна 8. Площадь трапеции 1/2*8*3=12.
6:15. Я бы доказал через окружность с центром в точке сечения гипотенузы радиусом , равным чевиане. Она проходит через две точки треугольника, но чтобы оставаться прямоугольным, все вершины должны лежать на окружности и гипотенуза суть диаметр =двум радиусам
Вот еще вариант. Из точки М опускаем перпендикуляр на BD и продлеваем до пересечения с продолжением ВС, пусть в точке О, тогда параллельно АС, но и АD || BO, то АВОМ параллегограмм и МВОD тоже параллелограмм и в нагрузку еще и ромб, т.к. диагонали перпендикулярны. Треугольники АМВ и СОD имеют равные высоты и основания, стало быть их площади равны, а значит площать трапеции равна площади ромба МВОD, где мы имеем сторону 4 и высоту 3, откуда получаем площадь 12. Ответ получается уже в самом уловии ))
Красота!
Согласен.
Задачу решил в уме, проведя из точки М прямую параллельную АС до пересечения с ВС, полученную точку соединил прямой с точкой D и получил равновеликий ромб с трапецией (по равным диагоналям под прямым углом). Но способ, который в видео понравился. Прям, ну, очень понравился. Казакову респект.🙂
Гениально
Площадь - половина произведения диагоналей на синус угла между ними. В нашем случае - просто половина произведения диагоналей. А эта половина произведения, в свою очередь, равна площади треугольника PDB и равна (1/2)*2MD*h = 4*3=12.
Проведём прямую параллельную диагонали из начала отрезка 4. Она отсечет на верхней стороне маленький отрезок нижнего основания. И превратит трапецию в ромб со сторонами 4, и высотй 3. Площадь 12.
Уже после просмотра ролика ещё идея такая: окр-ть с центром в т. М радиусом 4. Тогда сразу получаем, что PD=BC+AD=8
у меня такая мысль была ДО. Но я чойта бросил и построил ромб
Мой способ (кажется, такого в комментах еще нет):
1) СК II ВD. S(АСК)=S(трап.).
2) Высота МН. В подобных тр-ках АСК и МНD CK вдвое больше НD, значит, АК вдвое больше МD и = 8. S(трап.)=12.
*Вполне можно обойтись рисунком без дополнительных построений и с привлечением минимальных знаний тригонометрии на уровне*
*прямоугольного треугольника.* Обозначим: ∡MBD = ∡MDB = α ⟹ ∡CAD = 90° - α . Из треугольника MBD: BD = 8∙cosα. Из треугольника АСЕ
(Е-основание высоты, опущенной из точки С) : АС = 3/ cosα. Площадь трапеции равна: S = (1/2)∙AC∙BD = (1/2)∙ (3/ cosα)∙ (8∙cosα) = 12 .
*В общем случае: S = MD∙CE .*
Да, тригонометрией нормально.
Предположительно S= половине произведения диагоналей трапеции, но добраться пока не могу, погрязла в вычислениях...
BMD равнобедренный ,проведем высоту МН, HD=x, площадь трапеции =х*АС причем длинну АС искать не придется , из подобия MD/x=АС/3 и х=3*MD/АС=12/АС и площадь АС*12/АС=12 !
Я решил сам!!! Ура!!! Спасибо!!!
АС пересекает ВМ в точке К. Углы МДВ = МВД = МВС (как углы при основании равнобедренного и как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит ВД - биссектриса МВС. Она же высота треугольника КВС. Значит треугольник равнобедренный. Треугольники КВС и КМА подобны по двум углам. Значит АМ = МК. Проводим МТ параллельную АС, точка Т лежит на продолжении ВС. СТ = МК =АМ, следовательно треугольники АМВ и СВТ равновелики и площадь трапеции равна площади ромба со стороной 4 и высотой 3 или 12.
Позд!
Вообще по другому решил и гораздо легче. Маленький треугольник AML схож чуть бальшому.LBC и тоже равнобедренный.ML=AM=x ; BL=BC=4-x ; Сумма основании - x+4+4-x=8 .
Красивейшая задача, красивейшее решение.Даже не хочется искать что-то другое. Спасибо, что обратили внимание на интереснейшее свойство отрезка, проведенного к гипотенузе...
Ура! Второй ролик.
Завтра 3 будет!
1. sin(BMD)=3/4; тогда cos(BMD)=√7/4
2.BD^2=16+16-2*4*4*√7/4=32-8√7=4(8-2√7); BD=2√(8-2√7)
3. sin(BMD/2)=(BD/2)/4=BD/8=(1/4)√(8-2√7)
4. sin(BMD/2)=3/AC; AC=12/√(8-2√7)
5. S=AC*BD/2=12
Очень интересное решение.
@@ИраДжи Да, конечно. Спасибо, подправил.
Вы сделали много лишней работы. Численные значения триг. функций совершенно не нужны. Посмотрите моё решение, без вычислений.
Хмм.. Если перевернуть АМВ так что отрезок АМ станет продолжением ВС и тогда МД=В"М", то получим два треугольника(МВД и ДВ"М") с основанием 4 и высотой 3, в сумме равных исходной трапеции.
Идея интересная, до окнца не въехал, но у на же BM не параллельно CD. Что значит "перевернуть"? Вклеить такой же в левый верхний угол?
@@GeometriaValeriyKazakovДа не параллельны, я ошибся. То, что ВС+АМ=4 это уже послезнание.
А доказать это свойство можно? Я про отрезок на гипотенузу, что если он равен одной части гипотенузы, то он медиана? Просто интересно
Так вроде все доказано.
Так доказали же именно это в ходе решения задачи. Когда показали, что треугольник РВМ равнобедренный (равные зелёные уголочки- это углы при основании ). РМ=ВМ
@ИраДжи спасибо, я был не внимателен. Наверное отвлëкся
Мы решении же именно это и доказали!
Как проверить существование трапеции?
Я перенес BD вправо до CF и расмтрел прямоугольный треугольник с катетами диагоналями, гипотенузой 8 и высотой 3. Спасибо за поддрежку в комменттах. Досадная оговорка.
@GeometriaValeriyKazakov Спасибо Валерий. Как говорил мой Папа, радоваться надо. Если бы не было этой оговорки, Вы бы не узнали сколько у Вас настоящих ценителей. Спасибо Вашим критикам за то, что делают Ваш канал интересным не только для любителей математики. Думаю, огромная палитра эмоций подписчиков украсила Ваш ролик и привлечет внимание новых зрителей.
Проверяю при помощи циркуля. Интересно было бы вывести формулу. Завтра снова семь уроков. Капут.
@@GeometriaValeriyKazakov Помните? У Райкина есть песня: я споткнулся у всех на виду, только Браво кричал почему-то добрый зритель в десятом ряду. Побольше Вам зрителей в десятом ряду.