El contenido de este canal nunca descuida su calidad. Es un bonito testimonio a la belleza de las mates. Les apoyo compartiendo el contenido en redes sociales para dar a conocerlo. Estos vídeos deben llegar al mayor número de personas posibles.
Me ha gustado bastante el video, se explica las nociones de manera intuitiva, pero la esencia del formalismo está presente. Gracias a la axiomatización de la Teoría de Conjuntos logramos liberarnos de las paradojas que habían surgido entre 1895 y 1910, fue Von Neumann quien nos invitó a distinguir entre dos tipos de clases: elementos y clases propias (basándose en la axiomatización previa dada por Zermelo). Además la creación del lenguaje matemático formal (uno de los desarrollos mas importantes de las matemáticas modernas) se ha encargado de eliminar las paradojas semánticas. Quiero proponerte un reto muy divertido: 1. Demostrar que la clase de todos los conjuntos no numerables no es un conjunto. 2. Demostrar la implicación: Si la clase de todos los conjuntos numerables es un conjunto entonces este es un conjunto no numerable. Me he divertido mucho probando estos dos puntos, a pesar de que no he logrado probar que tipo de clase es la clase de todos los conjuntos numerables. ¡Espero sus respuestas comunidad matemática !
1) Si aplicar el argumento de la diagonal de Cantor en los naturales con los enteros positivos (los naturales también) llegas a la misma conclusión, que el conju to de los enteros positivos no son enumerables. Este argumento de la diagonal donde se construye un nuevo número o subconjunto que en tu explicación son los de color rojo cae en lo que se conoce una isla godeliana o en una paradoja de Russell... Este es un ejemplo en Matemática que nos conduce, si lo afirmamos, a una paradoja (no tiene valor de verdad: ni falso ni verdadero). El criterio de la diagonal de Cantor sirve para construir números en un conjunto e irlos agregando, pero me sirve para verificar en un conjunto infinito si dicho número está o no, pues conduce a fallos. 2) Y esto es tan crítico que si aplicarás el criterio o argumento de la diagonal de Cantor en (0,1) x (0,1) te encontraría con la misma falla, es decir, que es posible construir un número en (0,1) que no está asignado en (0,1) sólo basta que cada número no esté relacionado consigo mismo y esto es paradójico
Mil gracias por el video, aquí si doy seguido el razonamiento lógico de la demostración... La mayoría de videos que lo intentan explicar recurren a la diagonal de Cantor, cosa que nunca entendí o la explicación estaba demasiado simplificada. La que hace referencia a la diagonal de los números naturales, sumando uno a los números de la diagonal, etc etc... pero por ese mismo principio podría decir que el conjunto infinito de los naturales, es mas grande que el de los propios infinitos naturales...Me explico si en vez de empezar en el intervalo (0,1) uno hace diagonales para producir nuevos números naturales, sin necesidad de que sean decimales... Por esa misma argumentación, también estoy produciendo naturales que no están en la lista de los propios naturales.
Llevo viendo 7 videos de a 15 minutos cada uno, y mi mente apenas y da la chispa para entender en qué momento vine a meterme en el tema de los infinitos... 🤣🤣
🤣🤣🤣 Pues esta semana queremos publicar otro vídeo de 15 minutos sobre el infinito que es bastante sorprendente. Trata del descubrimiento de Cantor de que hay tantos puntos en un intervalo como en un cuadrado.
Qué decir que no hayan dicho ya en este caso. Estoy absolutamente embelesado. La animación es cada vez mejor y los temas que tratas son absolutamente bellos y elegantes. Es imposible no amar a las matemáticas. Muchas gracias por el trabajo
O sea la cantidad de subconjuntos posibles siempre va a ser mayor al del subconjunto |X|=n, o lo que sea, por n veces posibles probables subconjuntos de elementos (¿infinitos elementos, se elevarían a n=infinito, o n elevado n, o 2 elevado a n=infinito, o con infinito al cuadrado ya alcanza?) pero en tal caso habría que determinar cual de los infinitos probables es n, si el más grande o el mas chico ja ja. ya que un cardinal infinito es menor a su conjunto potencia habría que determinar si es infinitamente menor, es una redundancia de n, porque n es o puede ser un número natural pero infinito no es un número, es que infinito puede ser, el conjunto de todos los conjuntos, y no hay funciones inyectivas a otro o a un conjunto de subconjuntos mayor a |X| entonces zaz, paradoja de Cantor. MUY BUENO EL VIDEO.
Te podría sorprender lo que te podría enseñar un "mecánico" y lo equivocado que puedes estar al "creer" que una demostración es absolutamente correcta.
@@pelayosuarez6620 En cualquier momento me puede llegar un email diciendo que he conseguido demostrarlo o que soy un crankery más del montón. Ya veremos. Lo bonito debla verdad es que no se rompe por manosearla... Pero si se rompe...
Enhorabuena por sus vídeos. Admiro la elegancia con que se cuida los detalles de las demostraciones, para hacérnosla más entendible y a la vez que no se queda en la superficie, sino que profundiza para los que somos más ambiciosos en conocimiento. Deseando que llegue el video de esa demostración. Saludos.
¡Muchas gracias Enrique! Esta semana o la próxima vamos a publicar un vídeo sobre la teoría d ela dimensión con el argumento con el que Cantor descubrió que el cardinal de los puntos de un intervalo y de un cuadrado son idénticos. Para poder demostrarlo se utilizará el Teorema de Cantor-Schröeder-Bernstein (que dice que si A y B son conjuntos tales que existe una función inyectiva de A en B y una función inyectiva de B en A entonces existe una función biyectiva entre ambos y tienen el mismo cardinal) que también utilizaremos en el futuro para demostrar que 2 elevado a alef cero y el continuo tienen el mismo cardinal. ¡Saludos!
Muchas gracias como siempre por la gran belleza que le dan a sus videos y toda la información que proporcionan, siempre me quedo con la sensación de que quiero ver mas temas así y espero que pronto lleguen mas videos de estos temas o de topología ya que son los mas interesantes para mi y con una gran claridad que ustedes les dan. Saludos de la CDMX.
¡Muchas gracias Ricardo! Tenemos algunos vídeos en proceso de edición sobre temas diversos de los que comentas. Esperamos tenerlos listos pronto para publicarlos. ¡Saludos!
¡Muchas gracias TitO! Este vídeo no es la continuación del de la paradoja de Russell pero es la precuela. El episodio -2, digamos. Vamos a hacer también algún episodio -1 más y después seguiremos con el episodio 1, o sea la continuación de Russell. ¡Saludos!
¡Muchas gracias Ricardo! Estamos trabajando en un vídeo sobre El principio del Palomar, y después continuaremos con más vídeos sobre teoría de conjuntos en la línea de este. ¡Saludos!
Hola Raimundo, Queremos que esa sea nuestra seña identificativa. En nuestros vídeos contamos un poco de historia e incluimos aplicaciones y datos curiosos de los diferentes temas pero intentamos que siempre se aporten demostraciones explicadas de la forma más visual posible de los teoremas que utilizamos. Saludos desde España!!
Es una buena aproximación para la hipotesis del continuo, con el conjunto potencia de los numeros naturales, es la parte que mas me interesa investigar. Genial
Excelente video, la didáctica y las animaciones son buenísimas. Tienes información sobre números hiperreales y supra reales del analisis no estándar de Robinson?.
¡Gracias Sergio! No estoy muy al tanto de lo que me comentas de los números hiperreales y en análisis no estándar. Si tienes una buena referencia para que le eche un vistazo. ¡Saludos!
@@ArchimedesTube Hola, buscando sobre números transfinitos llegué a articulos de wikipedia sobre los números hiperreales que por lo que entendí son una extensión de los números reales con infinitos mayores e infinitesimal más chicos que el modelo del análisis real estandar. La teoría de Cantor habla de infinitos para N , esta teoria analiza infinitos para R. Teoría desarrollado en los 60 del siglo pasado por Robison y Nelson. Hasta aquí mis conocimientos sobre el tema. Lo más serio que encontré es este libro de Carlos Ivorra Castillo. www.uv.es/ivorra/Libros/ANE.pdf Me gustaría conocer tu opinion. Gracias
Excelente vídeo, gracias. Solo por completar: la definición que das de conjunto infinito, es la de ser Dedekind-infinito. No es la única, también está la Tarski-infinito o ser condominio de una función inyectiva con dominio el conjunto de los números naturales (entre otras varías definiciones). Todas estas definiciones son equivalentes bajo el axioma de elección. Sin embargo, en ZF, no lo son, en cuyo caso se puede hacer una jerarquía entre estas definiciones, dependiendo cuál es más fuerte (en el sentido de que impliquen a las demás). Saludos!
¡Gracias por el comentario! En nuestro anterior vídeo es cuando definimos conjunto infinito y de hecho hizo aparición el propio Dedekind para dar su definición. En los próximos vídeos iremos introduciendo algunos de los temas de tu comentario. Hay tantas cosas interesantes que contar que a veces uno no sabe si ha incluido poco o demasiado en cada vídeo. ¡Saludos!
Hola, Si se encuentra una función inyectiva desde el intervalo (0, 1) en los números naturales ¿se podría concluir que el tamaño de ambos infinitos es el mismo? La función sería la siguiente: A todo número su imagen sería el número natural espejo. Por ejemplo: f(0,4567)=7654. Teniendo en cuenta que los ceros a la derecha equivaldrían a ceros a la izquierda. El problema lo veo en los Reales que terminan en 99999 periódico.
Hola Miguel Ángel, Según el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que tratamos en estos dos vídeos: ua-cam.com/video/IoCcZ5CjuGc/v-deo.html ua-cam.com/video/bwI3MSWQ-po/v-deo.html si tienes una función inyectiva de A en B y otra inyectiva de B en A entonces existe una biyección entre ambos conjuntos y por tanto ambos conjuntos tendrían el mismo cardinal. El problema de la función espejo f : (0, 1) --> ℕ no son los números con infinitos 9 periódicos pues estos números se pueden escribir como decimales exactos y siempre puedes elegir la forma para definir tu función. El problema es que existen números con infinitos decimales en el intervalo (ya sean racionales o irracionales). Por ejemplo 0,333333... tiene expresión decimal única, pero ¿qué número natural asocias por la función f a este número. O, por ejemplo 0,14159... (la parte decimal de Pi) ¿Qué numero natural corresponde a este número del intervalo (0, 1)? En estos casos no hay una última cifra decimal y no puedes aplicar tu idea de número a través del espejo. Un saludo
¿Será posible poner en correspondencia biunívoca, una superficie con una línea recta, de forma que a cada punto de la superficie le correspondiera un único punto de la recta y recíprocamente? Pues, según Cantor; sí es posible definir una correspondencia biunívoca entre recta y plano. Básicamente, su demostración consiste en representar cada punto de un cuadrado por un par ordenado de coordenadas en notación decimal. Siendo que, dichas representaciones decimales, son entremezcladas conforme a unprocedimiento reversible - ej.: intercalando un decimal de cada par de coordenadas, a fin de construir un único desarrollo decimal, que se asocia a un único punto del segmento rectilíneo -. ¡Lo veo, pero no lo creo!, dijo Cantor {de momento, yo tampoco}. Claro que, para Cantor, tomar dos construcciones numéricas de infinitos decimales - no nulos - y con ellas construir numéricamente su singular concatenación; son operaciones aritméticas que cualquiera puede finalizarlas en un tiempo finito. Haciendo lo anterior a un lado, en esencia, este método, consiste en imponer subrepticia e injustificadamente - no siendo ello consecuencia de las propiedades del conjunto al que pertenece - una densidad diferencial y dimensionalidad diferencial - una resolución diferencial - a las coordenadas de la superficie, respecto de las de la línea recta. Teniendo como consecuencia vedada - en esta relación improcedentemente replanteada -, el hacer inalcanzables desde la superficie, un infinito número de coordenadas de la línea recta - siendo ambos conjuntos: igualmente densos -. En consecuencia, no puede establecerse una correspondencia biunívoca entre ambos conjuntos, dado que: o no es una función sobreyectiva o no es una función total - [f: (área^DD→línea^DD+)] ® no-sobreyectiva y [f: (línea^DD+→área^DD)] ® no-total -. Nota.1: (¿absurdo original?) si proponemos, la existencia de idéntica cantidad de puntos geométricos - ¿cantidad propiamente numérica? - en el borde de una figura geométrica, así como, en su totalidad: ¿por qué razón, se nos obliga a emplear, respecto de una misma tendencia indetenible - constituida, tanto respecto de sus bordes, como del resto de la figura geométrica (es decir, poseyendo idénticas propiedades de conjunto) -, diferente resolución infinita? Nota.2: (¿trasnochada-comprobación geométrica del absurdo original?) existe un análogo geométrico de este irreconocido diferencial de resolución entre los subconjuntos comparados. Donde. Por ejemplo: teniendo un mismo centro geométrico y disponiendo un/a circulo/circunferencia dentro de otro/a. Se conectan, mediante segmentos, dicho centro geométrico y cada punto geométrico del circulo/circunferencia mayor - radio mayor -. Es decir. Geométricamente hablando, necesariamente se estarían conectado cada punto geométrico del circulo/circunferencia de menor radio con el de mayor. Ergo: la cantidad de puntos geométricos del circulo/circunferencia de menor radio es la misma que la de mayor radio. Claro que. Lo que no te precisan estos trasnochados, es que: una cosa, es un punto geométrico (adimensional) y la confusión que su siempre imprecisa representación geométrica introduce y otra, es dotar de idéntica dimensionaldad/idéntica resolución (finita/infinita - aunque, a sabiendas, de nivel de insensibilidad a los absurdos que suelen presentar estos trasnochados, no me extrañaría que, ni así reconozcan el absurdo de su propuesta -) a cada punto de las figuras. Siendo que: tan solo, dotando de idéntica dimensionalidad a cada punto dimensional de ambas figuras geométricas, nos percataríamos de que, por cada punto dimensional de la figura geométrica de menor radio pasa más de un segmento - es decir: no se constituiría una función no-inyectiva - o restarían puntos dimensionales de la figura geométrica de mayor radio por alcanzar - es decir: no se constituiría una función total -. § PCC: Procedimiento de concatenación de Cantor. ¿a poco, se acabarán los elementos/componentes de alguno de los conjuntos de cardinalidad/ordinalidad diferente, antes que los del otro? ¿enserio, se acabarán los de al menos uno de ellos?
¡Qué gran video! Si no es de su molestia podrías compartir el programa que usas para realizar las animaciones con toda la simbología matemática? Un gran saludo y espero no abusar con mi pregunta.
¡Muchas gracias! La parte matemática de este vídeo esta hecha en PowerPoint. Las ilustraciones en Adobe Illustrator y las animaciones con After Effects.
Felicitaciones sólo los maestros parten de lo más simple para avanzar a lo más complejo...su exposición es una escalera que avanza de demostración en demostración para comprender el universo del infinito compuesto de infinitos pequeños hasta infinitos más grandes ... Usted vive en el universo de Platón...Saludos de Perú,Tierra de los Incas .
¡Hola Archimedetube! Estoy siguiendo los videos sobre el infinito, que por cierto están muy buenos e interesantes, y me da la sensación de que en la lista de reproducción no están los videos a lo que hacen referencia en los minutos 3:11 y 3:55 de este video. Entiendo que el video o videos que faltan es sobre el cardinal del continuo (Aclaro que vi el video del cardinal del contínuo con la explicación extraída de un libro que recomendaron) Tal vez sea porque estoy viendo estos videos 2 años tarde y se borraron. ¿es así o estoy equivocado? Me tomé el atrevimiento de enviar este comentario con la esperanza de poder ver esos videos. Es que está muy bueno el canal y me interesa mucho el tema. Felicitaciones por divulgar algo tan lindo como las mates y de una manera tan accesible.
Un conjunto infinito es el de los puntos de un segmento de recta de longitud 2L. Y otro conjunto infinito es el de los puntos de un segmento de recta cuya longitud es L. Si se hacen coincidir los extremos izquierdos de los segmentos, el punto medio del segmento de mayor longitud coincide con el extremo derecho del segmento menor: A..............................B C...............D Si llamamos M el punto medio del segmento AB, entonces los segmentos AM y CD son de la misma longitud y tienen la misma cantidad de puntos. Por tanto, los puntos del segmento MB hacen evidente que AB tiene mas puntos que CD.
Hola muy buen material. Estoy buscando información acerca de la paradoja de los ancestros. La cual indica que nuestros antepasado se doblan por cada generación (padres 2+abuelos 4 tatarabuelos 8 y asi. Si admitimos una generación cada 25 años. Llegamos a un numero de personas hacia el año mil de 36.mil millones de personas y ojo que solo es la estimación de una sola persona viva actualmente y no todas las personas que estan vivas actualmente... Esto es una paradoja en cuanto a las estimaciones oficiales que dicen que en el año mil no había mas de trescientos millones (aprox) he leido que en estos cálculos influiría una curva de inflexión pero aún asi reduciendo por tolerancia a un tercio quedaria la cantidad de habitantes en doce mil millones para el siglo 10 o el año mil de la era común... (?)... Me parece una paradoja bastante desafiante intelectualmente y si acaso ustedes la pueden desarrollar en sus videos..... Saludos desde Chile.
@@ArchimedesTube hola. Gracias por responder ya que la mayoria de los canales de UA-cam no toman mucha atención a la caja de comentarios.... aqui dejo un link del libro que trata del tema al que se le llama la "paradoja de los bisabuelos"....si bien aqui se responde por el hecho de tener los mismos antepasados en común. Pero aun así personalmente no quedo muy convencido de las posibles explicaciones. "Genes y genealogías..." de susana manrubia. books.google.cl/books?id=EtxoBAAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Genes+y+genealogias&hl=es-419&sa=X&ved=2ahUKEwi5k7zOwsHuAhWkF7kGHfqtBy8Q6AEwAHoECAYQAg#v=onepage&q=Genes%20y%20genealogias&f=false
En conjuntos de cardinal infinito, la relación de biyección hace operativo el cálculo, pero no deja de ser un truco de ilusionista. Un número infinito de elementos no sólo es imposible de cuantificar por extensión, sino también por comprensión. La trampa "onanista" en el solitario se la inventó Cantor hallando propiedades en sus infinitos tipos de conjuntos infinitos, que hacían posible ese emparejamiento biyectivo. Pero esa comprensión ignoró deliberadamente la propiedad esencial que define lo infinito como aquello que no es finito, y no cuantificable o enumerable, no delimitado y por tanto no abarcable dentro de un conjunto. La contradicción matemática parte de una errónea interpretación del concepto filosófico. El lenguaje no permite una comprensión afirmativa del infinito, no puede definir lo que es, sino tan sólo aquello que no es. Puedo decir de él que no es finito, y ante cualquier conjunto que pretenda contenerlo o delimitarlo, podré afirmar que no contiene toda su infinitud. Es decir, tan sólo podré negar el límite que se le pretenda introducir. Pero entonces no estoy refiriéndome a ningún infinito actual, sino tan sólo al infinito potencial. Mi hipótesis es que el infinito actual no ha existido, no existe y no existirá jamás. Si lo hiciera se negaría a sí mismo. Y esta tautología identitaria elemental debe prevalecer frente a cualquier teorema matemático, por muy intelectualmente brillantes que sean los polinomios emparejables y sus funciones biyectivas. La clara incompletitud o inconsistencia que pone de manifiesto la no existencia de un infinito cuyo cardinal fuera intermedio entre los números naturales y reales, siendo >N y
Y comoquiera que el responsable del canal no se digna responderme, transcurrido un tiempo prudencial, no me queda otra que responderme a mí mismo. En mi comentario anterior, he incluído ciertas confusiones que podrían interpretarse como errores de concepto. Mi espectativa era contribuir a provocar alguna respuesta por parte del docente que, caso de entenderlo así, corrigiera mi supuesto error y aclarara con argumentos y pedagogía mi probable confusión. Lamentablemente no ha sido así. La hipótesis del continuo que Cantor intentó probar y no pudo, afirmo que es una clara incompletitud goëdeliana, ya que fue ese matemático el que concibió dicho teorema. No porque en el caso concreto de la Hipótesis del Continuo, fuera quien demostrars su inconsistencia, puesto que más bien, fue al contrario. Lo que demostró en 1940, es decir unos 52 años después de que Cantor formulara su hipótesis, fue su consistencia, es decir, que no podía refutarse. Fue Cohen en 1963 quien demostró que no podía probarse. Y que se demuestre la independencia o indecibilidad de esa hipótesis del continuo, con respecto a los axiomas de la teoría de conjuntos, y que esa independencia nos permita concluir que dicha hipótesis no puede ser refutada, pero que tampoco puede ser probada, me consta que ha bastado a muchos eminentes matemáticos, pero con todos los debidos respetos, sin menospreciar el trabajo intelectual de ninguna de esas eminencias del gremio, a mí, francamente me sigue pareciendo conceptualmente una demostración incompleta, inconsistente, o si se prefiere un término que no se presta a tanta confusión , insuficiente. Y si el responsable de este canal hubiera aceptado entrar en este debate, podría haberle respondido que según mi criterio, la demostración matemática no podrá completarse jamás pues parte de una premisa errónea: identificar una cardinalidad infinita con un número, Aleph 0, que conviene para poder "auparlo" en los Reales como exponencial. Y si un número es una abstracción de cantidad, pretender identificar al infinito con un número, tanto si se llama Aleph, Alex o Perico de los Palotes, es una contradicción. O es número, esto es, una representación de una cantidad cuantificable, o es infinito, esto es, por definición no cuantificable, y por tanto imposible de representar con ningún número. Por grande que quiera hacerse mediante una abrumadora serie de factoriales y exponenciales, siempre será un número finito. O nos referimos al infinito, o a un número, o lo uno o lo otro, pero número infinito es filosóficamente una contradicción, matemáticamente una inconsistencia fundamental, y lingüísticamente un oxímoron que incluye significados opuestos e incompatibles. Exactamente igual que lo que afirmaba en el comentario anterior sobre los conjuntos infinitos. O nos referimos a una serie de infinitos elementos inabarcables cuantitativamente en extensión, o a un conjunto que los abarca, engloba, delimita en una cardinalidad cuantificable. Pero conjunto de infinitos elementos es nuevamente una contradicción, una inconsistencia y un oxímoron. Pretender solventar este obstáculo insalvable de la extensión infinita, con una comprensión que deliberadamente ignora la propiedad esencial de ese infinito que dice comprender o definir, es hacer un juego de manos trilero, propio de un brillante y elegante mago ilusionista, pero no de un riguroso y coherente matemático.
Bien, han transcurrido 2 meses desde mi primer comentario, y continúo sin obtener respuesta alguna ni pedagógica ni siquiera reprobadora, por parte del responsable de este canal. Aún así, en mi pertinaz búsqueda de respuestas, me sigo preguntando a qué se debe este silencio o indiferencia. Y la única respuesta que se me ocurre, dejando al margen la excesiva ocupación o falta de tiempo que como excusa puede servir pero no como verdadero argumento, es mi posicionamiento sobre el fondo de la cuestión. En el secular debate de los matemáticos entre los formalistas como Hilbert y los intuicionistas como Poincaré, este canal se ha posicionado con descaro a favor de los primeros. Y mis objeciones claramente se posicionan con los segundos. No sólo las propiedades de los elementos y sus interrelaciones son lo único importante, sino que las definiciones han sido, son y serán esenciales. Igualmente, una tautología identitaria ha de prevalecer sobre cualquier paradoja, pues un ente no puede ser él y su negación. Desde esta premisa de lógica fundamental, que el teorema de Goëdel nos remita a la incompletitud, inconsistencia e indecibilidad de un sistema axiomático formalista es sencillamente irrelevante. Cuando dicho sistema ignora su definición esencial, poco o nada importa si se puede refutar o demostrar y llevar hasta el final la veracidad de sus enunciados y deducciones axiomática. En el caso que nos atañe, referido a los conjuntos infinitos de Cantor, es irrelevante la comprensión de las propiedades en las relaciones biyectivas que se puedan conjugar entre sus respectivos elementos, si se ignora o elimina de la ecuación el significado esencial de lo infinito: lo que se define como lo no finito, no delimitado y por ende, no cuantificable. Ningún número en cuanto abstracción de cantidad, puede representar al infinito, se llame con el nombre con el que se le quiera nombrar o el icono con el que se le quiera figurar. Un número, por grande que sea, sólo puede medir una cantidad finita. El infinito en cuanto inabarcable, por definición, no puede ser un número. Lo cual, en cuanto fundamento incoherente, invalida todo el castillo de naipes que sobre él se quiera edificar. Insisto, por brillante, intelectualmente hablando, que sea la construcción conceptual. De ahí mi calificación como ejercicio de "paja mental", pues se ajusta perfectamente a un acto que en su brillante y elegante construcción matemática produce cierta satisfacción, pero por su inconsistencia fundamental, condenado a la esterilidad que le imposibilita devenir en veraz o cierto, esto es, un placer que no va a fecundar nada que pueda llegar a traspasar los límites de lo meramente imaginario, al contrario de otras teorías matemáticas que sí han resultado imprescindibles para progresar en el conocimiento de la compleja realidad. Y la falta de respuestas ante mi cuestionamiento, sin duda algo lamentable. Es impropio de una mente científica rehuir un debate tan sólo porque propone conclusiones indeseables.
Y comienza un nuevo año, pero continúa enmudecido el responsable de este canal, sin dignarse a responderme. La verdad, no me extraña. Los postulados que defiende con vehemencia dogmática el formalismo matemático, son no sólo endebles, sino esencialmente paradójicos o contradictorios. Cuando la paradoja de Rusell pareció asestar un golpe definitivo a la coherencia de su lógica axiomática, tanto que provocó la jubilación anticipada de Frege, uno de sus más acérrimos defensores, y cuando Hilbert se empeñaba en resolver el problema axiomatizándolo absolutamente todo, ese formalismo creyó hallar una solución en el teorema de Gõdel. Lo que a priori parecía ser un bombazo, un iceberg que perforó el casco de su flamante "Titanic" y éste parecía irremediablemente condenado a naufragar, en vez de aceptar que esa construcción formalista que desde Euclides fue deliberadamente ignorada por matemáticos sensatos durante nada menos que 23 siglos, prefirieron rizar el rizo, enrocarse en su castillo imaginario, y utilizaron torticeramente el Teorema de Gõdel para escapar de la contradicción irresoluble que planteó Rusell, negando la mayor. ¿ Que tú me vienes refutando razonablemente, esto es, con una lógica matemática, la validez de mi deducción axiomática? Pues en vez de resolver el problema que me planteas en el que la pertenencia y la no pertenencia a un conjunto no pueden referirse a un mismo elemento, de la misma forma que A no puede ser al mismo tiempo su propia negación, pues le echo un par y voy y te descalifico, por así decirlo, tu autoridad para refutar mi propuesta. Y no sólo a tí en esta ocasión puntual, sino la autoridad de cualquiera que en el futuro se atreva a refutarme. Mi enunciado seguirá siendo verdadero aunque no pueda probarlo, y siempre que lo necesite ante cualquiera que evidencie mi flagrante contradicción, esa misma condición de indecidibilidad podrá argumentar que es irrefutable. A eso se le llama blindarse en una cámara acorazada a prueba de intrusos. Algo semejante a lo que hizo el Vaticano en el siglo XIX, cuando para acallar de un plumazo todos los razonables cuestionamientos que pudieran argumentar incoherencias acerca de sus dogmas de fe, autoproclamaron que el Espíritu Santo les había otorgado la infalibilidad en esas materias. Autoproclamar una autoridad absoluta o infalible, o despojar de cualquier autoridad a todo aquél que intente refutar la tuya, viene a ser exactamente lo mismo. Pero claro, estas estrategias institucionales que caben dentro del "misterio insondable" de una creencia religiosa, no deberían tener cabida dentro del rigor científico que se le presupone a las matemáticas. Ese teorema de incompletitud de Gõdel venía a certificar que en todo sistema consistente y recursivo, acabará apareciendo un enunciado indemostrable e indecidible. E incluso la propia lógica axiomática se demostraba ella misma como indecidible. Sin embargo, esa indecibilidad no impedía que el enunciado siguiera siendo verdadero. Y de esta forma mantuvieron su infundado castillo de naipes en pie. La matemática de su lógica axiomática la reconocían incompleta, inconsistente e indecidible, pero no negaba la veracidad de,sus enunciados, y esa misma laguna de indecibilidad, inconsistencia o incompletitud, según sus fieles adeptos, les servía para evadir el problema que les planteaba la paradoja de Russell, sembrando la confusión e invalidando tanto la afirmación como la negación de sus deducciones. Primero esa corriente formalista elimina las definiciones de los intuicionistas, haciéndolas innecesarias para que no perturben sus enunciados, y después se apoyan en su propia inconsistencia para superar una paradoja que les condujo a un callejón sin salida. Trucos trileros que recuerdan también a los utilizados por los viejos filósofos sofistas, actualizados 25 siglos después por los llamados filósofos posmodernos, retorciendo el lenguaje hasta hacerlo totalmente ininteligible. Y cuando alguno de sus discípulos creía entender algo de sus enrevesados laberintos conceptuales, le cambiaban el cubilete y le decían que casi, pero no. Aún te queda mucho por aprender. Y a esos fieles seguidores, no les quedaba más que aceptar que sus maestros entendían lo que ellos aún no estaban capacitados para entender. Y así seguían viviendo de ese cuento los elegidos iluminados en esas verdades reveladas que ellos sí aseguraban entender. Un truco tan trilero como el que pretende eliminar la definición del infinito como lo no cuantificable o inabarcable, convirtiéndolo en un conjunto singular autoreferenciado. ¿ Y qué diablos modifica ese truco tramposo con el que el conjunto del infinito se incluye a sí mismo como un elemento más de su propia conjunción? ¿ Es que en esa inclusión de su propia infinitud va comprender la Verdad de su propio Ser emergiendo una especie de Conciencia de sí mismo? XD, vaya chorrada! Sigue siendo el infinito, lo no finito, lo no cuantificable y lo inabarcable, como tal, no puede ser un objeto matemático. Ni puede ser un número en cuanto abstracción de cantidad, ni tampoco un conjunto en cuanto algo contenido o abarcable dentro de unos límites. A menos que negando su definición, lo convirtáis formalmente en un felpudo al que podáis pisotear, y despojado de cualquier semántica, de su concepto eidético y su propiedad más esencial, podáis darle la forma que más os convenga para poder operar con él. Sencillamente infumable. Impropio de "hijos" descendientes de Aristóteles, Descartes, Galileo o Leibniz...Con tales argumentaciones, no me extraña que se rehuya el debate. En fin, por lo demás, feliz año.
Aún no está demostrado que el conjunto potencia de los naturales sea aleph_1 de hecho es parte de la hipótesis del continuo el saber si tal igualdad es cierta.
¡Exacto! Pero eso lo hemos dejado para otro vídeo. De hecho, aquí solo hemos mencionado que el cardinal del continuo y el conjunto potencia de los naturales si son iguales, pero la demostración también la veremos en vídeos futuros. ¡Saludos!
Hola! Me llamo Fernando. Descubrí un método que permite descomponer absolutamente todo número en todos sus factores, si es compuesto, o demuestra que es primo de modo determinante. Es un método que no tiene nada que ver con la criba de Eratóstenes, y no requiere disponer de ninguna tabla de números primos, y ni siquiera hace falta saber qué son los números primos. Si quieres, trataré de hacer un video por UA-cam (no tengo ninguna experiencia grabando videos) para enviártelo.
tengo una duda, si X es subconjunto propio de su conjunto potencia, ¿no deberían tener mismo cardinal para cumplir con que son conjuntos infinitos?. es obvio que estoy mal, pero eso no me cuadra
Y la respuesta a tu pregunta es no. No deberían tener el mismo cardinal para cumplir que son infinitos. La definición de conjunto infinito es que es infinito si un subconjunto de este también es infinito es decir solo basta que una de sus partes sea infinita, no todas las partes.
Que buen video. Se me ocurre la idea de Si aplicamos el conjunto de todos los conjuntos al universo me doy cuenta que este sería infinito porque no habria un conjunto que lo contenga. Universo infinito daria esto. El conjunto mas grande de todos creo yo seria el universo.
Excelente video,tengo una inquietud,leyendo la carta robada de Edgar Allan Poe,se cuestiona que,en ciertas ocasiones,(a+b)2puede no equivaler estritactamente a a2+2ab+b2,porfavor aclareme ese razonamiento de Dupin,el personaje de Poe.
Si el cardinal del conjunto abierto{0,1} es el conjunto potencia de aleph sub 0, es el cardinal de los reales el conjunto potencia de c? Necesito un vídeo sobre los números reales y tengo curiosidad por los complejos
Hola Fernando, El cardinal del continuo c, es por definición el cardinal del intervalo abierto (0, 1), que puede probarse que coincide con el cardinal del conjunto potencia de los naturales, esto es 2^aleph_0. Pero el cardinal de todos los reales es también c, puesto que se puede dar una biyección explícita entre el intervalo (0, 1) y todos los reales ℝ. ¡Saludos!
entonces uno puede decir que el número de infinitos que hay es infinito (por lo menos contable, porque hay una recursión indexada por naturales de infinitos por la operación anidada del conjunto de partes de cualquier conjunto infinito)... pero ¿es esta cantidad de infinitos contable?
y si un conjunto genera a un conjunto que tiene un cardinal ,mayor que el conjunto generador, y el proceso puede continuar indefinidamente......en que momento , se contradice con el teorema de cantor ?
La contradicción se tiene si suponemos que existe U el conjunto de todos los conjuntos. Si consideramos P(U) el conjunto potencia de U, cuyos elementos son todos los subconjuntos de U, tendríamos que al ser los elementos de P(U) conjuntos también son elementos de U y podemos definir una aplicación inyectiva P(U) ---> U, por tanto | P(U) | ≤ | U |. Pero el teorema de Cantor afirma justo lo contrario, esto es, que el cardinal de todo conjunto es menor que el cardinal de su conjunto potencia | U | < | P (U) |.
Muy buen video, me gusto mucho :) tengo una pregunta ¿Qué pasaria si el conjunto de todos los elementos rojos es vacío en la demostración del teorema de Cantor?
¡¡Que buena pregunta!! De hecho el caso de que el conjunto de todos los elementos rojos fuera el vacío habría que considerarlo por separado. Supongamos que B = { conjunto de todos los elementos rojos } = Ø Tal como decimos en el vídeo, dado que Ø ∈ P ( X ), y f : X --> P (X) es una biyección, tiene que haber algún elemento ☆ ∈ X, tal que f ( ☆ ) = Ø. ¿De qué color es ☆ ? No puede ser rojo porque suponemos que B = Ø, es decir, no existen elementos rojos. Por tanto ☆ ha de ser verde. Pero si es verde eso quiere decir que ☆ ∈ f ( ☆ ) = Ø lo que también constituye una contradicción. Por tanto si B = Ø también llegamos a contradicción. ¡Saludos!
Tengo una duda, si se define al infinito como el conjunto que es equivalente a una de sus partes y por ejemplo el conjunto de números reales tiene un cardinal mayor respecto al cardinal de los naturales, si los reales son infinitos a que parte suya son equivalentes?
Hola Marcos, Por ejemplo la exponencial f : ℝ ---> (0, ∞) definida por f(x)=2^x es una función biyectiva del conjunto de números reales en el subconjunto propio (0, ∞). Su inversa es g: (0, ∞) -->ℝ dada por g(x)=log_2 (x). De hecho, ℝ es del mismo cardinal del intervalo (0, 1). Para definir una biyección entre ℝ y dicho intervalo podemos componer dos funciones biyectivas (lo que nosa da otra función biyectiva): La primera es la función F(x)=π ( x - ½, ) que establece una biyección entre el intervalo (0,1) y el intervalo (-π/2, π/2 ). Es bien sencillo demostrar que esta función es biyectiva, es decir, que pone en correspondencia uno a uno a esos dos intervalo. La segunda es G(x)=tg(x). Esta función es una biyección entre el intervalo (-π/2, π/2 ) y ℝ. Un saludo
El infinito es uno solo. Paso 1. El conjunto potencia de n, o numeros naturales y sus partes, es numerable y acá muestro el método. El conjunto vacio lo numero como el 1, agrego el 1 1 es el 2, agrego el 2 2 es el 3 1-2 es el 4, agrego el 3 3 el 5 1-3 el 6 2-3 el 7 1-2-3 el 8, y así sucesivamente. Conclusión: el conjunto n es cardinal n y el conjunto potencia es 2 elevado a la n, que es mayor.Cuando n tiende a infinito los dos tienden a infinito pero son del mismo cardinal.Contadictorio no? El infinito es uno solo. Paso 2. Método de la diagonal de Cantor. La lista de números reales de n elementos por fila, tendrá 10 elevado a la n filas, por lo tanto esa diagonal no pasa por todas las filas sino que deja afuera (10**n - n) filas y la cantidad de filas que quedan afuera tiende a infinito cuando n tiende a infinito, por lo tanto el método de la diagonal es en este caso incorrecto, pues esa nueva fila obtenida por el método diagonal está realmente en la lista, en alguna fila que quedó fuera El infinito es uno solo. Paso 3. Encontré un método para generar los infinitos números reales del intervalo (0,1),y numerarlos. el 0 es 0,0000....000, el 1 es 0,100000..0 el 2 es 0,200000...000, el 3 es 0,3000....0000, ............................. el 9 es 0,9000....0000, el 10 es 0,0100000...000, Escribo 10 de derecha a izquierda de manera que el 0 del 10 , ultima cifra significativa sea la primera despues de la coma decimal, y todos los siguientes, del mismo modo: el 11 es 0,1100000...000, el 12 es 0,2100000...000, .......... el 56295141 es 0,141592650000.....00, si tiene razón son las primeras cifras de pi y asi sucesivamente, terminarán por aparecer todos. Infinito hay uno solo y es suficientemente grande para contener a todos. my email si alguien quiere contactarme es jeliasmeijide@yahoo.es
"hay una cantidad infinita de diferentes infinitos" En aquella frase la palabra "infinito" se repite dos veces entonces cual seria el cardinal de ese primer Infinito nombrado? 🙄
@@LordMiraakedits2142 por la frase "hay una cantidad infinita de infinitos" me refiero a un conjunto formado por todo los conjuntos infinitos, es decir por aleph 0, aleph 1 y asi todos los transfinitos. Y preguntaba cual seria el cardinal de ese supuesto conjunto. Pero ahora ya se que ese supuesto conjunto no es un conjunto en realidad, por tanto no tiene cardinal.
Hola! Lo que más frustro en vida a Cantor fue no ser capaz de demostrar la hipótesis del continuo, esto es, que entre el cardinal de los números naturales ℕ, que denotamos aleph cero y el cardinal de los números reales ℝ, que denotamos por c, no existe ningún otro cardinal. Esto es, no existe ningún conjunto infinito X tal que | ℕ | < | X | < | ℝ |. De hecho, probablemente lo que más pudo deteriorar la salud mental de Cantor fue el rechazo de gran parte de la comunidad matemática capitaneada por Leopold Kronecker a sus ideas. Kroneker de hecho presionó a las revistas especializadas para que no publicaran sus resultados y fue gracias al apoyo de matemáticos como Gottlob Frege y David Hilbert que finalmente pudo ver su obra publicada, ¡Saludos!
@@ArchimedesTube muchas gracias por tu respuesta. A veces, esos hechos, me refiero a lo que Kronecker hizo, engrandece más a todo lo que Cantor hizo y nos dejó. Admiro mucho lo que haces, saludos desde Perú.
Déjame hacerte un par de comentarios: Yo creo que no era necesario asumir que el conjunto debía ser infinito para demostrar que el conjunto potencia era mayor. El mismo argumento para los conjuntos infinitos puede ser usado para los conjuntos finitos distintos del vacío. Es decir, sólo había que demostrar para el vacío y para conjuntos distintos del vacío. La segunda observación es: Todos los cardinales parceen ser construidos a partir de algún predecesor ¿Acaso podrían existir dos conjuntos infinitos para los que no pueda existir una inyección de uno a otro ni visceversa? En cuyo caso, esos conjuntos no serían comparables.
Hola Luis, Sobre la primera cuestión: habíamos demostrado que para un conjunto finito X con |X|=n su conjunto potencia tenía cardinal 2^n y por tanto |X|
Esa explicación puede ser universalmente aceptada en este momento por los matemáticos, pero yo pienso (y aclaro, simplemente es mi opinión) que hay una biyección entre todos los conjuntos infinitos. En este teorema, creo que asumir que se pueden colorear todos los elementos es un error, y así como la paradoja de Russell nos muestra que no puede existir un libro que liste todos los libros que no se referencian a sí mismos, en este caso no se pueden colorear todos los elementos. Desafortunadamente, no tengo las habilidades matemáticas aún para llegar a una demostración, pero señor Cantor discrepo de sus supuestos y conclusión. Si estoy equivocado me encantarían links a otros videos con demostraciones para aprender más.
Hola Pablo, Seguiremos haciendo vídeos sobre el tema. ¿A qué te refieres con "hay una biyección entre todos los conjuntos infinitos"? ¿No te parece convincente la demostración de que entre los naturales y los números reales del intervalo (0, 1) no puede existir una biyección dada por Cantor? Un saludo
@@ArchimedesTube Gracias por la respuesta, no he visto el video que se referencia en 3:50, tal vez esa es la demostración que me falta ver, me envías el link por favor, que interesante es este tema.
En cuanto a la refutación a la diagonal de Cantor, búscalo con ese nombre en yt. Los vídeos que mensionen el hotel de Hilbert ,son los más acertados, Aunque existen videos recientes más acertados.
Excelente video Muchas gracias, si para que un conjunto sea infinito, el conjunto total debe ser igual a una de sus partes, entonces el conjunto de los números reales no es infinito, Por qué el conjunto de los números reales tiene una parte de él que sería el conjunto de los números naturales Y en este caso el todo es más grande que su parte, por lo tanto el conjunto de los números reales no es infinito, que tal? Muchas gracias por estos videos y un saludo
No es que sea equivalente a cualquier parte de él, sino que debe existir una parte equivalente. En el caso de los números reales, podemos ver una equivalencia con el subintervalo (-π/2 , π/2) mediante la función biyectiva tangente tan(x).
😂😂😂 ¡Eso pensamos nosotros! por eso le llegamos hasta a dedicar una camiseta: www.camisetasdematematicas.com/collections/hilbert-y-el-paraiso-que-cantor-creo-para-nosotros
"existen infinitos infinitos" una frase más precisa sería que "existen infinitos conjuntos cuyo cardinal son diferentes infinitos" Ahora si me preguntó cuál es el cardinal de este primer Infinito nombrado, primero habría que responder si es un conjunto, es decir si existe un conjunto cuyos elementos sean todos los tipos diferentes de infinitos que tienen cardinal. Si la respuesta es no, entonces este primer Infinito no tendría cardinal por lo extraño que parezca. O en todo caso cuál es el cardinal de este primer Infinito nombrado?
Para resumir si alguien no entendió, en la oracion "existen infinitos infinitos" ahí la palabra infinito está siendo usada 2 veces, mi pregunta es cuál sería el cardinal del primer Infinito nombrado en la oración.
Haber ya que la teoría de conjuntos sirve para sustentar los procedimientos lógicos aquí les dejo dos preguntas acaso el mismo vacío que colocan como elemento no es en si infinito y el guarismo 0 no es algo complicado para buscar relación en la teoría de números Y será que la teoría de conjuntos sirve para saber Que si con la regla y el compás puedo saber cuál es el valor de los ángulos internos de cualquier triángulo Pues si construyó un triángulo equilátero si puedo saber que tengo ángulos de 60° con saber que la medida de los lados a quedado con la misma medida o al menos teóricamente pues en la realidad esto no es posible 180° / 3 = 60° a y me refiero a sin usar transportado ni funciones trigonométricas Atte Jhonny Angarita
Doy mi opinión, respetando las ideas de los demás y asumiendo que es un tema muy complejo desde cualquier punto de vista: Sólo existe infinito. Ni uno, ni dos, ni distintos, ni particiones infinitas ni ningún otro atributo. Es un concepto matemático pero sobre todo filosófico. El infinito no es un número. Es un límite al que se tiende, una idea nunca alcanzable en el universo por una razón, y es que el infinito no es del universo, mientras que las matemáticas y la razón humana sí lo son. Nunca se podrá ni demostrar, ni cuantificar, ni valorar, ni partir, ni establecer tipos de infinitos desde las matemáticas. ¿Y por qué no? Porque las matemáticas y la razón humana son del universo, pero el infinito no lo es, es de otra dimensión, espectro, ámbito, o lo que sea, como queramos llamarlo, distinto al universo y con las leyes de éste no se puede saber nada de él en esa otra "dimensión". Ningún teorema matemático del pasado, del presente, o del futuro, puede hacer entender, partir, acotar, dividir, imaginar el infinito. Ya he indidado por qué. ¿Puedo equivocarme?. Sí, claro, por supuesto, pero expongo mi idea. Me atrevo. Para terminar mi opinión: EL INFINITO ES DIOS. Inalcanzable, indefinible, irracional, sobrenatural, mlilagroso. Nunca desde las matematicas, ni desde las leyes de la ciencia, ni desde la razón humana se podrá entender, interpretar, alcanzar o cuaquier otro verbo para demostrar cosas del infinito. Es inalcanzable cualquier cosa o ámbito de él para el ser humano. Y además por siempre. Fuerte lo que digo sí. Para mí sólo se puede aproximar, acercarse a entender el infinito (Dios) desde la irracionalidad de la mente humana, desde lo sobrenatural. Y algunos seres humanos lo lograron: santos, místicos, mártires. Y dieron testimonio de ello a lo largo de los siglos. Muchos fueron. Sólo hay que creerles.
El contenido de este canal nunca descuida su calidad. Es un bonito testimonio a la belleza de las mates. Les apoyo compartiendo el contenido en redes sociales para dar a conocerlo. Estos vídeos deben llegar al mayor número de personas posibles.
¡Muchas gracias migfed! No sabes cuanto agradecemos que compartas nuestros vídeos. ¡Saludos!
Me ha gustado bastante el video, se explica las nociones de manera intuitiva, pero la esencia del formalismo está presente. Gracias a la axiomatización de la Teoría de Conjuntos logramos liberarnos de las paradojas que habían surgido entre 1895 y 1910, fue Von Neumann quien nos invitó a distinguir entre dos tipos de clases: elementos y clases propias (basándose en la axiomatización previa dada por Zermelo). Además la creación del lenguaje matemático formal (uno de los desarrollos mas importantes de las matemáticas modernas) se ha encargado de eliminar las paradojas semánticas. Quiero proponerte un reto muy divertido:
1. Demostrar que la clase de todos los conjuntos no numerables no es un conjunto.
2. Demostrar la implicación: Si la clase de todos los conjuntos numerables es un conjunto entonces este es un conjunto no numerable.
Me he divertido mucho probando estos dos puntos, a pesar de que no he logrado probar que tipo de clase es la clase de todos los conjuntos numerables.
¡Espero sus respuestas comunidad matemática !
1) Si aplicar el argumento de la diagonal de Cantor en los naturales con los enteros positivos (los naturales también) llegas a la misma conclusión, que el conju to de los enteros positivos no son enumerables. Este argumento de la diagonal donde se construye un nuevo número o subconjunto que en tu explicación son los de color rojo cae en lo que se conoce una isla godeliana o en una paradoja de Russell... Este es un ejemplo en Matemática que nos conduce, si lo afirmamos, a una paradoja (no tiene valor de verdad: ni falso ni verdadero). El criterio de la diagonal de Cantor sirve para construir números en un conjunto e irlos agregando, pero me sirve para verificar en un conjunto infinito si dicho número está o no, pues conduce a fallos.
2) Y esto es tan crítico que si aplicarás el criterio o argumento de la diagonal de Cantor en (0,1) x (0,1) te encontraría con la misma falla, es decir, que es posible construir un número en (0,1) que no está asignado en (0,1) sólo basta que cada número no esté relacionado consigo mismo y esto es paradójico
El apoyo grafico a esta demostración es estupendo y ayuda enormemente a su comprensión. Excelente!!
¡Muchas gracias Diego!
Gracias por dar todas las demostraciones necesarias en tus videos. eso es algo que muy pocos hacen. gracias por tu esfuerzo
¡Muchas gracias Omar por el comentario!
Mil gracias por el video, aquí si doy seguido el razonamiento lógico de la demostración... La mayoría de videos que lo intentan explicar recurren a la diagonal de Cantor, cosa que nunca entendí o la explicación estaba demasiado simplificada. La que hace referencia a la diagonal de los números naturales, sumando uno a los números de la diagonal, etc etc... pero por ese mismo principio podría decir que el conjunto infinito de los naturales, es mas grande que el de los propios infinitos naturales...Me explico si en vez de empezar en el intervalo (0,1) uno hace diagonales para producir nuevos números naturales, sin necesidad de que sean decimales... Por esa misma argumentación, también estoy produciendo naturales que no están en la lista de los propios naturales.
Llevo viendo 7 videos de a 15 minutos cada uno, y mi mente apenas y da la chispa para entender en qué momento vine a meterme en el tema de los infinitos... 🤣🤣
🤣🤣🤣 Pues esta semana queremos publicar otro vídeo de 15 minutos sobre el infinito que es bastante sorprendente. Trata del descubrimiento de Cantor de que hay tantos puntos en un intervalo como en un cuadrado.
Qué decir que no hayan dicho ya en este caso. Estoy absolutamente embelesado. La animación es cada vez mejor y los temas que tratas son absolutamente bellos y elegantes. Es imposible no amar a las matemáticas. Muchas gracias por el trabajo
¡¡Muchísimas gracias por tu comentario Julián!!
En tu serie de vídeos sobre el infinito he podido entender mucho más que otros que tocan el mismo tema. Eres un excelente y dedicado profesor.
El arte de contar algo complejo de manera sencilla, sin perder rigor y con mucha vistosidad. Enhorabuena!
¡Muchísimas gracias Beatriz! 😊
Muy bueno, compagináis la didáctica con el rigor de manera magistral :)
¡¡Muchas gracias Diego!! 😊
Un trabajo increíble el que hacéis en este canal, no dejáis de sorprender y sobretodo de enseñar.
¡Muchas gracias Borja!
Como siempre ha sido genial, esa demostración sí que es elegante, ya quiero ver como las clases solucionan las paradojas, suena interesante.
Muchísimas gracias!
O sea la cantidad de subconjuntos posibles siempre va a ser mayor al del subconjunto |X|=n, o lo que sea, por n veces posibles probables subconjuntos de elementos (¿infinitos elementos, se elevarían a n=infinito, o n elevado n, o 2 elevado a n=infinito, o con infinito al cuadrado ya alcanza?) pero en tal caso habría que determinar cual de los infinitos probables es n, si el más grande o el mas chico ja ja. ya que un cardinal infinito es menor a su conjunto potencia habría que determinar si es infinitamente menor, es una redundancia de n, porque n es o puede ser un número natural pero infinito no es un número, es que infinito puede ser, el conjunto de todos los conjuntos, y no hay funciones inyectivas a otro o a un conjunto de subconjuntos mayor a |X| entonces zaz, paradoja de Cantor. MUY BUENO EL VIDEO.
Una maravilla!!!....el infinito siempre me ha confundido me gustaría mucho ver ese vídeo sobre las clases de conjuntos. Buen trabajo!
¡Gracias Miguel Angel! Seguiremos haciendo vídeos de esta serie. Saludos
Nunca salgo decepcionado de los videos de este canal. Muchísimas gracias por el tiempo que dedicas a la divulgación matemática de calidad.
¡Muchísimas gracias Marck por tu comentario!
Muy buen video!, que importante la advertencia de que contiene demostraciones, asi ya corren los mecanicos jajaja
A partir de ahora en vez del anterior ¡Empezamos! nuestros vídeos comenzaran con esta advertencia 🤣
Te podría sorprender lo que te podría enseñar un "mecánico" y lo equivocado que puedes estar al "creer" que una demostración es absolutamente correcta.
@@FistroMan como es eso de las demostraciones no absolutamente correctas?
@@pelayosuarez6620 En cualquier momento me puede llegar un email diciendo que he conseguido demostrarlo o que soy un crankery más del montón.
Ya veremos. Lo bonito debla verdad es que no se rompe por manosearla... Pero si se rompe...
@@ArchimedesTube غض
7:09 Very clever argument about the number of elements of the power set 🙂👍
Enhorabuena por sus vídeos. Admiro la elegancia con que se cuida los detalles de las demostraciones, para hacérnosla más entendible y a la vez que no se queda en la superficie, sino que profundiza para los que somos más ambiciosos en conocimiento. Deseando que llegue el video de esa demostración. Saludos.
¡Muchas gracias Enrique!
Esta semana o la próxima vamos a publicar un vídeo sobre la teoría d ela dimensión con el argumento con el que Cantor descubrió que el cardinal de los puntos de un intervalo y de un cuadrado son idénticos. Para poder demostrarlo se utilizará el Teorema de Cantor-Schröeder-Bernstein (que dice que si A y B son conjuntos tales que existe una función inyectiva de A en B y una función inyectiva de B en A entonces existe una función biyectiva entre ambos y tienen el mismo cardinal) que también utilizaremos en el futuro para demostrar que 2 elevado a alef cero y el continuo tienen el mismo cardinal.
¡Saludos!
El mejor canal de matemáticas de todo youtube! Muchas gracias por tu trabajo! :D
¡¡Muchísimas gracias por el comentario!!
Ya me han convertido en un fan esperando siempre el nuevo video. Excelente como siempre!!
¡Muchas gracias Camilo!
Muchas gracias como siempre por la gran belleza que le dan a sus videos y toda la información que proporcionan, siempre me quedo con la sensación de que quiero ver mas temas así y espero que pronto lleguen mas videos de estos temas o de topología ya que son los mas interesantes para mi y con una gran claridad que ustedes les dan. Saludos de la CDMX.
¡Muchas gracias Ricardo!
Tenemos algunos vídeos en proceso de edición sobre temas diversos de los que comentas. Esperamos tenerlos listos pronto para publicarlos.
¡Saludos!
Increible explicación 🙌🏻🙌🏻
¡Qué lindo descubrimiento este video! Quiero que este canal siga creciendo
¡Gracias José Luis! Pronto publicaremos nuevos vídeos sobre diferentes áreas de las matemáticas. ¡Saludos!
¡Qué increíble vídeo! Definitivamente ustedes son el mejor canal de mates de UA-cam.
¿Y qué pasó con la paradoja de Russel? :(
¡Muchas gracias TitO!
Este vídeo no es la continuación del de la paradoja de Russell pero es la precuela. El episodio -2, digamos. Vamos a hacer también algún episodio -1 más y después seguiremos con el episodio 1, o sea la continuación de Russell.
¡Saludos!
Hicieron un excelente video, ya espero con ansias más sobre teoría de conjuntos!!
¡Muchas gracias Ricardo! Estamos trabajando en un vídeo sobre El principio del Palomar, y después continuaremos con más vídeos sobre teoría de conjuntos en la línea de este.
¡Saludos!
Hola Archimedes Tube... Años que no revisaba demostraciones. Me recuerdan mis primeros años de Ingeniería... Saludos desde Chile!!!
Hola Raimundo,
Queremos que esa sea nuestra seña identificativa. En nuestros vídeos contamos un poco de historia e incluimos aplicaciones y datos curiosos de los diferentes temas pero intentamos que siempre se aporten demostraciones explicadas de la forma más visual posible de los teoremas que utilizamos.
Saludos desde España!!
QUE BIEN EXPLICADO. FELICIDADES. me gustan tus videos
¡Muchas gracias! 😊
¿cada elemento no encierra la totalidad (como se ve en los fractales)? ¿que sucede si se considerarse un tercer estado De "incertidumbre " (3 a la Ñ)?
Es una buena aproximación para la hipotesis del continuo, con el conjunto potencia de los numeros naturales, es la parte que mas me interesa investigar. Genial
¡Muchas gracias!
Excelente video, la didáctica y las animaciones son buenísimas.
Tienes información sobre números hiperreales y supra reales del analisis no estándar de Robinson?.
¡Gracias Sergio! No estoy muy al tanto de lo que me comentas de los números hiperreales y en análisis no estándar. Si tienes una buena referencia para que le eche un vistazo. ¡Saludos!
@@ArchimedesTube Hola, buscando sobre números transfinitos llegué a articulos de wikipedia sobre los números hiperreales que por lo que entendí son una extensión de los números reales con infinitos mayores e infinitesimal más chicos que el modelo del análisis real estandar. La teoría de Cantor habla de infinitos para N , esta teoria analiza infinitos para R. Teoría desarrollado en los 60 del siglo pasado por Robison y Nelson. Hasta aquí mis conocimientos sobre el tema. Lo más serio que encontré es este libro de Carlos Ivorra Castillo.
www.uv.es/ivorra/Libros/ANE.pdf
Me gustaría conocer tu opinion. Gracias
Una maravilla, felicitaciones por tan excelente aporte...
¡Muchas gracias Alex!
Excelente vídeo, gracias. Solo por completar: la definición que das de conjunto infinito, es la de ser Dedekind-infinito. No es la única, también está la Tarski-infinito o ser condominio de una función inyectiva con dominio el conjunto de los números naturales (entre otras varías definiciones). Todas estas definiciones son equivalentes bajo el axioma de elección. Sin embargo, en ZF, no lo son, en cuyo caso se puede hacer una jerarquía entre estas definiciones, dependiendo cuál es más fuerte (en el sentido de que impliquen a las demás). Saludos!
¡Gracias por el comentario!
En nuestro anterior vídeo es cuando definimos conjunto infinito y de hecho hizo aparición el propio Dedekind para dar su definición. En los próximos vídeos iremos introduciendo algunos de los temas de tu comentario. Hay tantas cosas interesantes que contar que a veces uno no sabe si ha incluido poco o demasiado en cada vídeo.
¡Saludos!
Muy buenas animaciones, espero con ansias un video de la Teoría de Tipos Lógicos 👏
¡Gracias!
Hola, Si se encuentra una función inyectiva desde el intervalo (0, 1) en los números naturales ¿se podría concluir que el tamaño de ambos infinitos es el mismo? La función sería la siguiente: A todo número su imagen sería el número natural espejo. Por ejemplo: f(0,4567)=7654. Teniendo en cuenta que los ceros a la derecha equivaldrían a ceros a la izquierda.
El problema lo veo en los Reales que terminan en 99999 periódico.
Hola Miguel Ángel,
Según el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que tratamos en estos dos vídeos:
ua-cam.com/video/IoCcZ5CjuGc/v-deo.html
ua-cam.com/video/bwI3MSWQ-po/v-deo.html
si tienes una función inyectiva de A en B y otra inyectiva de B en A entonces existe una biyección entre ambos conjuntos y por tanto ambos conjuntos tendrían el mismo cardinal.
El problema de la función espejo f : (0, 1) --> ℕ no son los números con infinitos 9 periódicos pues estos números se pueden escribir como decimales exactos y siempre puedes elegir la forma para definir tu función. El problema es que existen números con infinitos decimales en el intervalo (ya sean racionales o irracionales).
Por ejemplo 0,333333... tiene expresión decimal única, pero ¿qué número natural asocias por la función f a este número.
O, por ejemplo 0,14159... (la parte decimal de Pi) ¿Qué numero natural corresponde a este número del intervalo (0, 1)?
En estos casos no hay una última cifra decimal y no puedes aplicar tu idea de número a través del espejo.
Un saludo
@@ArchimedesTube muchas gracias por la aclaración. Yo iba poniendo decimales hacia la izquierda pero no pensé en Pi, o e que no acaban nunca.
¿Será posible poner en correspondencia biunívoca, una superficie con una línea recta, de forma que a cada punto de la superficie le correspondiera un único punto de la recta y recíprocamente?
Pues, según Cantor; sí es posible definir una correspondencia biunívoca entre recta y plano. Básicamente, su demostración consiste en representar cada punto de un cuadrado por un par ordenado de coordenadas en notación decimal. Siendo que, dichas representaciones decimales, son entremezcladas conforme a unprocedimiento reversible - ej.: intercalando un decimal de cada par de coordenadas, a fin de construir un único desarrollo decimal, que se asocia a un único punto del segmento rectilíneo -. ¡Lo veo, pero no lo creo!, dijo Cantor {de momento, yo tampoco}.
Claro que, para Cantor, tomar dos construcciones numéricas de infinitos decimales - no nulos - y con ellas construir numéricamente su singular concatenación; son operaciones aritméticas que cualquiera puede finalizarlas en un tiempo finito.
Haciendo lo anterior a un lado, en esencia, este método, consiste en imponer subrepticia e injustificadamente - no siendo ello consecuencia de las propiedades del conjunto al que pertenece - una densidad diferencial y dimensionalidad diferencial - una resolución diferencial - a las coordenadas de la superficie, respecto de las de la línea recta. Teniendo como consecuencia vedada - en esta relación improcedentemente replanteada -, el hacer inalcanzables desde la superficie, un infinito número de coordenadas de la línea recta - siendo ambos conjuntos: igualmente densos -. En consecuencia, no puede establecerse una correspondencia biunívoca entre ambos conjuntos, dado que: o no es una función sobreyectiva o no es una función total - [f: (área^DD→línea^DD+)] ® no-sobreyectiva y [f: (línea^DD+→área^DD)] ® no-total -.
Nota.1: (¿absurdo original?) si proponemos, la existencia de idéntica cantidad de puntos geométricos - ¿cantidad propiamente numérica? - en el borde de una figura geométrica, así como, en su totalidad: ¿por qué razón, se nos obliga a emplear, respecto de una misma tendencia indetenible - constituida, tanto respecto de sus bordes, como del resto de la figura geométrica (es decir, poseyendo idénticas propiedades de conjunto) -, diferente resolución infinita?
Nota.2: (¿trasnochada-comprobación geométrica del absurdo original?) existe un análogo geométrico de este irreconocido diferencial de resolución entre los subconjuntos comparados. Donde. Por ejemplo: teniendo un mismo centro geométrico y disponiendo un/a circulo/circunferencia dentro de otro/a. Se conectan, mediante segmentos, dicho centro geométrico y cada punto geométrico del circulo/circunferencia mayor - radio mayor -. Es decir. Geométricamente hablando, necesariamente se estarían conectado cada punto geométrico del circulo/circunferencia de menor radio con el de mayor. Ergo: la cantidad de puntos geométricos del circulo/circunferencia de menor radio es la misma que la de mayor radio. Claro que. Lo que no te precisan estos trasnochados, es que: una cosa, es un punto geométrico (adimensional) y la confusión que su siempre imprecisa representación geométrica introduce y otra, es dotar de idéntica dimensionaldad/idéntica resolución (finita/infinita - aunque, a sabiendas, de nivel de insensibilidad a los absurdos que suelen presentar estos trasnochados, no me extrañaría que, ni así reconozcan el absurdo de su propuesta -) a cada punto de las figuras. Siendo que: tan solo, dotando de idéntica dimensionalidad a cada punto dimensional de ambas figuras geométricas, nos percataríamos de que, por cada punto dimensional de la figura geométrica de menor radio pasa más de un segmento - es decir: no se constituiría una función no-inyectiva - o restarían puntos dimensionales de la figura geométrica de mayor radio por alcanzar - es decir: no se constituiría una función total -.
§ PCC: Procedimiento de concatenación de Cantor.
¿a poco, se acabarán los elementos/componentes de alguno de los conjuntos de cardinalidad/ordinalidad diferente, antes que los del otro? ¿enserio, se acabarán los de al menos uno de ellos?
Impresionante el vídeo, impecable en construcción y contenido.
Muchas gracias David! 😊
¡Qué gran video! Si no es de su molestia podrías compartir el programa que usas para realizar las animaciones con toda la simbología matemática? Un gran saludo y espero no abusar con mi pregunta.
¡Muchas gracias!
La parte matemática de este vídeo esta hecha en PowerPoint.
Las ilustraciones en Adobe Illustrator y las animaciones con After Effects.
@@ArchimedesTube Muchísimas gracias
Hola, aquí un nuevo suscriptor, tu contenido es excepcional!!
Gracias! 😊
Exelente video , ansioso esperando el próximo
¡Esperamos tenerlo listo pronto!
Felicitaciones sólo los maestros parten de lo más simple para avanzar a lo más complejo...su exposición es una escalera que avanza de demostración en demostración para comprender el universo del infinito compuesto de infinitos pequeños hasta infinitos más grandes ... Usted vive en el universo de Platón...Saludos de Perú,Tierra de los Incas .
¡Muchas gracias por tu comentario Narciso!
Advertencia... Demostraciones. Excelente. :)
Hay que avisar de posibles efectos secundarios :)
Felicitaciones me gusto mucho la didáctica de un razonamiento tan complejo, saludos desde Argentina, es un gran trabajo!
¡Muchas gracias Jorge! Saludos desde España
oooooooh siiii, ESTADO ESPERANDO LA SEGUNDAA PARTEEE POR SEMANAASSS
¡Hola Archimedetube! Estoy siguiendo los videos sobre el infinito, que por cierto están muy buenos e interesantes, y me da la sensación de que en la lista de reproducción no están los videos a lo que hacen referencia en los minutos 3:11 y 3:55 de este video. Entiendo que el video o videos que faltan es sobre el cardinal del continuo (Aclaro que vi el video del cardinal del contínuo con la explicación extraída de un libro que recomendaron) Tal vez sea porque estoy viendo estos videos 2 años tarde y se borraron. ¿es así o estoy equivocado? Me tomé el atrevimiento de enviar este comentario con la esperanza de poder ver esos videos. Es que está muy bueno el canal y me interesa mucho el tema. Felicitaciones por divulgar algo tan lindo como las mates y de una manera tan accesible.
1:30 ahora se viene lo bueno :D
Un conjunto infinito es el de los puntos de un segmento de recta de longitud 2L. Y otro conjunto infinito es el de los puntos de un segmento de recta cuya longitud es L.
Si se hacen coincidir los extremos izquierdos de los segmentos, el punto medio del segmento de mayor longitud coincide con el extremo derecho del segmento menor:
A..............................B
C...............D
Si llamamos M el punto medio del segmento AB, entonces los segmentos AM y CD son de la misma longitud y tienen la misma cantidad de puntos. Por tanto, los puntos del segmento MB hacen evidente que AB tiene mas puntos que CD.
Hola muy buen material.
Estoy buscando información acerca de la paradoja de los ancestros. La cual indica que nuestros antepasado se doblan por cada generación (padres 2+abuelos 4 tatarabuelos 8 y asi. Si admitimos una generación cada 25 años. Llegamos a un numero de personas hacia el año mil de 36.mil millones de personas y ojo que solo es la estimación de una sola persona viva actualmente y no todas las personas que estan vivas actualmente... Esto es una paradoja en cuanto a las estimaciones oficiales que dicen que en el año mil no había mas de trescientos millones (aprox) he leido que en estos cálculos influiría una curva de inflexión pero aún asi reduciendo por tolerancia a un tercio quedaria la cantidad de habitantes en doce mil millones para el siglo 10 o el año mil de la era común... (?)... Me parece una paradoja bastante desafiante intelectualmente y si acaso ustedes la pueden desarrollar en sus videos..... Saludos desde Chile.
¡Gracias José! ¿Qué dice exactamente esa paradoja? Por ese nombre no he encontrado información
@@ArchimedesTube hola. Gracias por responder ya que la mayoria de los canales de UA-cam no toman mucha atención a la caja de comentarios....
aqui dejo un link del libro que trata del tema al que se le llama la "paradoja de los bisabuelos"....si bien aqui se responde por el hecho de tener los mismos antepasados en común. Pero aun así personalmente no quedo muy convencido de las posibles explicaciones.
"Genes y genealogías..." de susana manrubia.
books.google.cl/books?id=EtxoBAAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Genes+y+genealogias&hl=es-419&sa=X&ved=2ahUKEwi5k7zOwsHuAhWkF7kGHfqtBy8Q6AEwAHoECAYQAg#v=onepage&q=Genes%20y%20genealogias&f=false
Ese Urtzi! Que buenos vídeos. Un abrazo.
¡Muchas gracias! 😊 Un abrazo
Muy bueno, como todos los que hacéis, seguir así, un aleph 3 de gracias, desde Euskadi. Andoni
Muchas gracias Andoni!!
Impresionante!
Otro video magistral!
¡¡Muchas gracias!! 😃
En conjuntos de cardinal infinito, la relación de biyección hace operativo el cálculo, pero no deja de ser un truco de ilusionista. Un número infinito de elementos no sólo es imposible de cuantificar por extensión, sino también por comprensión. La trampa "onanista" en el solitario se la inventó Cantor hallando propiedades en sus infinitos tipos de conjuntos infinitos, que hacían posible ese emparejamiento biyectivo. Pero esa comprensión ignoró deliberadamente la propiedad esencial que define lo infinito como aquello que no es finito, y no cuantificable o enumerable, no delimitado y por tanto no abarcable dentro de un conjunto. La contradicción matemática parte de una errónea interpretación del concepto filosófico. El lenguaje no permite una comprensión afirmativa del infinito, no puede definir lo que es, sino tan sólo aquello que no es. Puedo decir de él que no es finito, y ante cualquier conjunto que pretenda contenerlo o delimitarlo, podré afirmar que no contiene toda su infinitud. Es decir, tan sólo podré negar el límite que se le pretenda introducir. Pero entonces no estoy refiriéndome a ningún infinito actual, sino tan sólo al infinito potencial. Mi hipótesis es que el infinito actual no ha existido, no existe y no existirá jamás. Si lo hiciera se negaría a sí mismo. Y esta tautología identitaria elemental debe prevalecer frente a cualquier teorema matemático, por muy intelectualmente brillantes que sean los polinomios emparejables y sus funciones biyectivas. La clara incompletitud o inconsistencia que pone de manifiesto la no existencia de un infinito cuyo cardinal fuera intermedio entre los números naturales y reales, siendo >N y
Y comoquiera que el responsable del canal no se digna responderme, transcurrido un tiempo prudencial, no me queda otra que responderme a mí mismo. En mi comentario anterior, he incluído ciertas confusiones que podrían interpretarse como errores de concepto. Mi espectativa era contribuir a provocar alguna respuesta por parte del docente que, caso de entenderlo así, corrigiera mi supuesto error y aclarara con argumentos y pedagogía mi probable confusión. Lamentablemente no ha sido así. La hipótesis del continuo que Cantor intentó probar y no pudo, afirmo que es una clara incompletitud goëdeliana, ya que fue ese matemático el que concibió dicho teorema. No porque en el caso concreto de la Hipótesis del Continuo, fuera quien demostrars su inconsistencia, puesto que más bien, fue al contrario. Lo que demostró en 1940, es decir unos 52 años después de que Cantor formulara su hipótesis, fue su consistencia, es decir, que no podía refutarse. Fue Cohen en 1963 quien demostró que no podía probarse. Y que se demuestre la independencia o indecibilidad de esa hipótesis del continuo, con respecto a los axiomas de la teoría de conjuntos, y que esa independencia nos permita concluir que dicha hipótesis no puede ser refutada, pero que tampoco puede ser probada, me consta que ha bastado a muchos eminentes matemáticos, pero con todos los debidos respetos, sin menospreciar el trabajo intelectual de ninguna de esas eminencias del gremio, a mí, francamente me sigue pareciendo conceptualmente una demostración incompleta, inconsistente, o si se prefiere un término que no se presta a tanta confusión , insuficiente.
Y si el responsable de este canal hubiera aceptado entrar en este debate, podría haberle respondido que según mi criterio, la demostración matemática no podrá completarse jamás pues parte de una premisa errónea: identificar una cardinalidad infinita con un número, Aleph 0, que conviene para poder "auparlo" en los Reales como exponencial. Y si un número es una abstracción de cantidad, pretender identificar al infinito con un número, tanto si se llama Aleph, Alex o Perico de los Palotes, es una contradicción. O es número, esto es, una representación de una cantidad cuantificable, o es infinito, esto es, por definición no cuantificable, y por tanto imposible de representar con ningún número. Por grande que quiera hacerse mediante una abrumadora serie de factoriales y exponenciales, siempre será un número finito. O nos referimos al infinito, o a un número, o lo uno o lo otro, pero número infinito es filosóficamente una contradicción, matemáticamente una inconsistencia fundamental, y lingüísticamente un oxímoron que incluye significados opuestos e incompatibles.
Exactamente igual que lo que afirmaba en el comentario anterior sobre los conjuntos infinitos. O nos referimos a una serie de infinitos elementos inabarcables cuantitativamente en extensión, o a un conjunto que los abarca, engloba, delimita en una cardinalidad cuantificable. Pero conjunto de infinitos elementos es nuevamente una contradicción, una inconsistencia y un oxímoron. Pretender solventar este obstáculo insalvable de la extensión infinita, con una comprensión que deliberadamente ignora la propiedad esencial de ese infinito que dice comprender o definir, es hacer un juego de manos trilero, propio de un brillante y elegante mago ilusionista, pero no de un riguroso y coherente matemático.
Bien, han transcurrido 2 meses desde mi primer comentario, y continúo sin obtener respuesta alguna ni pedagógica ni siquiera reprobadora, por parte del responsable de este canal. Aún así, en mi pertinaz búsqueda de respuestas, me sigo preguntando a qué se debe este silencio o indiferencia.
Y la única respuesta que se me ocurre, dejando al margen
la excesiva ocupación o falta de tiempo que como excusa puede servir pero no como verdadero argumento, es mi posicionamiento sobre el fondo de la cuestión. En el secular debate de los matemáticos entre los formalistas como Hilbert y los intuicionistas como Poincaré, este canal se ha posicionado con descaro a favor de los primeros. Y mis objeciones claramente se posicionan con los segundos. No sólo las propiedades de los elementos y sus interrelaciones son lo único importante, sino que las definiciones han sido, son y serán esenciales. Igualmente, una tautología identitaria ha de prevalecer sobre cualquier paradoja, pues un ente no puede ser él y su negación. Desde esta premisa de lógica fundamental, que el teorema de Goëdel nos remita a la incompletitud, inconsistencia e indecibilidad de un sistema axiomático formalista es sencillamente irrelevante. Cuando dicho sistema ignora su definición esencial, poco o nada importa si se puede refutar o demostrar y llevar hasta el final la veracidad de sus enunciados y deducciones axiomática. En el caso que nos atañe, referido a los conjuntos infinitos de Cantor, es irrelevante la comprensión de las propiedades en las relaciones biyectivas que se puedan conjugar entre sus respectivos elementos, si se ignora o elimina de la ecuación el significado esencial de lo infinito: lo que se define como lo no finito, no delimitado y por ende, no cuantificable. Ningún número en cuanto abstracción de cantidad, puede representar al infinito, se llame con el nombre con el que se le quiera nombrar o el icono con el que se le quiera figurar. Un número, por grande que sea, sólo puede medir una cantidad finita. El infinito en cuanto inabarcable, por definición, no puede ser un número. Lo cual, en cuanto fundamento incoherente, invalida todo el castillo de naipes que sobre él se quiera edificar. Insisto, por brillante, intelectualmente hablando, que sea la construcción conceptual.
De ahí mi calificación como ejercicio de "paja mental", pues se ajusta perfectamente a un acto que en su brillante y elegante construcción matemática produce cierta satisfacción, pero por su inconsistencia fundamental, condenado a la esterilidad que le imposibilita devenir en veraz o cierto, esto es, un placer que no va a fecundar nada que pueda llegar a traspasar los límites de lo meramente imaginario, al contrario de otras teorías matemáticas que sí han resultado imprescindibles para progresar en el conocimiento de la compleja realidad.
Y la falta de respuestas ante mi cuestionamiento, sin duda algo lamentable. Es impropio de una mente científica rehuir un debate tan sólo porque propone conclusiones indeseables.
Y comienza un nuevo año, pero continúa enmudecido el responsable de este canal, sin dignarse a responderme. La verdad, no me extraña. Los postulados que defiende con vehemencia dogmática el formalismo matemático, son no sólo endebles, sino esencialmente paradójicos o contradictorios. Cuando la paradoja de Rusell pareció asestar un golpe definitivo a la coherencia de su lógica axiomática, tanto que provocó la jubilación anticipada de Frege, uno de sus más acérrimos defensores, y cuando Hilbert se empeñaba en resolver el problema axiomatizándolo absolutamente todo, ese formalismo creyó hallar una solución en el teorema de Gõdel. Lo que a priori parecía ser un bombazo, un iceberg que perforó el casco de su flamante "Titanic" y éste parecía irremediablemente condenado a naufragar, en vez de aceptar que esa construcción formalista que desde Euclides fue deliberadamente ignorada por matemáticos sensatos durante nada menos que 23 siglos, prefirieron rizar el rizo, enrocarse en su castillo imaginario, y utilizaron torticeramente el Teorema de Gõdel para escapar de la contradicción irresoluble que planteó Rusell, negando la mayor. ¿ Que tú me vienes refutando razonablemente, esto es, con una lógica matemática, la validez de mi deducción axiomática? Pues en vez de resolver el problema que me planteas en el que la pertenencia y la no pertenencia a un conjunto no pueden referirse a un mismo elemento, de la misma forma que A no puede ser al mismo tiempo su propia negación, pues le echo un par y voy y te descalifico, por así decirlo, tu autoridad para refutar mi propuesta. Y no sólo a tí en esta ocasión puntual, sino la autoridad de cualquiera que en el futuro se atreva a refutarme. Mi enunciado seguirá siendo verdadero aunque no pueda probarlo, y siempre que lo necesite ante cualquiera que evidencie mi flagrante contradicción, esa misma condición de indecidibilidad podrá argumentar que es irrefutable. A eso se le llama blindarse en una cámara acorazada a prueba de intrusos. Algo semejante a lo que hizo el Vaticano en el siglo XIX, cuando para acallar de un plumazo todos los razonables cuestionamientos que pudieran argumentar incoherencias acerca de sus dogmas de fe, autoproclamaron que el Espíritu Santo les había otorgado la infalibilidad en esas materias. Autoproclamar una autoridad absoluta o infalible, o despojar de cualquier autoridad a todo aquél que intente refutar la tuya, viene a ser exactamente lo mismo. Pero claro, estas estrategias institucionales que caben dentro del "misterio insondable" de una creencia religiosa, no deberían tener cabida dentro del rigor científico que se le presupone a las matemáticas.
Ese teorema de incompletitud de Gõdel venía a certificar que en todo sistema consistente y recursivo, acabará apareciendo un enunciado indemostrable e indecidible. E incluso la propia lógica axiomática se demostraba ella misma como indecidible. Sin embargo, esa indecibilidad no impedía que el enunciado siguiera siendo verdadero. Y de esta forma mantuvieron su infundado castillo de naipes en pie. La matemática de su lógica axiomática la reconocían incompleta, inconsistente e indecidible, pero no negaba la veracidad de,sus enunciados, y esa misma laguna de indecibilidad, inconsistencia o incompletitud, según sus fieles adeptos, les servía para evadir el problema que les planteaba la paradoja de Russell, sembrando la confusión e invalidando tanto la afirmación como la negación de sus deducciones. Primero esa corriente formalista elimina las definiciones de los intuicionistas, haciéndolas innecesarias para que no perturben sus enunciados, y después se apoyan en su propia inconsistencia para superar una paradoja que les condujo a un callejón sin salida. Trucos trileros que recuerdan también a los utilizados por los viejos filósofos sofistas, actualizados 25 siglos después por los llamados filósofos posmodernos, retorciendo el lenguaje hasta hacerlo totalmente ininteligible. Y cuando alguno de sus discípulos creía entender algo de sus enrevesados laberintos conceptuales, le cambiaban el cubilete y le decían que casi, pero no. Aún te queda mucho por aprender. Y a esos fieles seguidores, no les quedaba más que aceptar que sus maestros entendían lo que ellos aún no estaban capacitados para entender. Y así seguían viviendo de ese cuento los elegidos iluminados en esas verdades reveladas que ellos sí aseguraban entender.
Un truco tan trilero como el que pretende eliminar la definición del infinito como lo no cuantificable o inabarcable, convirtiéndolo en un conjunto singular autoreferenciado. ¿ Y qué diablos modifica ese truco tramposo con el que el conjunto del infinito se incluye a sí mismo como un elemento más de su propia conjunción? ¿ Es que en esa inclusión de su propia infinitud va comprender la Verdad de su propio Ser emergiendo una especie de Conciencia de sí mismo? XD, vaya chorrada! Sigue siendo el infinito, lo no finito, lo no cuantificable y lo inabarcable, como tal, no puede ser un objeto matemático. Ni puede ser un número en cuanto abstracción de cantidad, ni tampoco un conjunto en cuanto algo contenido o abarcable dentro de unos límites. A menos que negando su definición, lo convirtáis formalmente en un felpudo al que podáis pisotear, y despojado de cualquier semántica, de su concepto eidético y su propiedad más esencial, podáis darle la forma que más os convenga para poder operar con él. Sencillamente infumable. Impropio de "hijos" descendientes de Aristóteles, Descartes, Galileo o Leibniz...Con tales argumentaciones, no me extraña que se rehuya el debate.
En fin, por lo demás, feliz año.
Aún no está demostrado que el conjunto potencia de los naturales sea aleph_1 de hecho es parte de la hipótesis del continuo el saber si tal igualdad es cierta.
¡Exacto! Pero eso lo hemos dejado para otro vídeo. De hecho, aquí solo hemos mencionado que el cardinal del continuo y el conjunto potencia de los naturales si son iguales, pero la demostración también la veremos en vídeos futuros. ¡Saludos!
De hecho eso prueba que no están demostrados los transfinitos
Este video es uno de los mejores que he visto de divulgación matemática.
Lo menos que puedo hacer es compartir.
¡¡Muchísimas gracias!! 😃😃😃
Hola! Me llamo Fernando. Descubrí un método que permite descomponer absolutamente todo número en todos sus factores, si es compuesto, o demuestra que es primo de modo determinante. Es un método que no tiene nada que ver con la criba de Eratóstenes, y no requiere disponer de ninguna tabla de números primos, y ni siquiera hace falta saber qué son los números primos. Si quieres, trataré de hacer un video por UA-cam (no tengo ninguna experiencia grabando videos) para enviártelo.
Hola Fernando,
Pues si puedes subir el vídeo a tu canal sería magnífico ¡Estoy deseando verlo!
Saludos
Excelente video... El conjunto de todos los conjuntos es tan grande que no podemos con él.
Totalmente! La teoría de conjuntos se mostraría más peliaguda de lo que parece a primera vista
tengo una duda, si X es subconjunto propio de su conjunto potencia, ¿no deberían tener mismo cardinal para cumplir con que son conjuntos infinitos?. es obvio que estoy mal, pero eso no me cuadra
X no es subconjunto propio de su conjunto potencia. X solo es un elemento del conjunto potencia de X
Es más ahora que me doy cuenta el conjunto A con su conjunto potencia son disjuntos esto es no tiene elementos en común.
Y la respuesta a tu pregunta es no. No deberían tener el mismo cardinal para cumplir que son infinitos.
La definición de conjunto infinito es que es infinito si un subconjunto de este también es infinito es decir solo basta que una de sus partes sea infinita, no todas las partes.
Impresionante, como siempre.
Gracias! 😊
Que buen video. Se me ocurre la idea de Si aplicamos el conjunto de todos los conjuntos al universo me doy cuenta que este sería infinito porque no habria un conjunto que lo contenga. Universo infinito daria esto. El conjunto mas grande de todos creo yo seria el universo.
Excelente video,tengo una inquietud,leyendo la carta robada de Edgar Allan Poe,se cuestiona que,en ciertas ocasiones,(a+b)2puede no equivaler estritactamente a a2+2ab+b2,porfavor aclareme ese razonamiento de Dupin,el personaje de Poe.
Muy bellos tus videos, sería interesante si hicieras uno sobre Numeros Surreales
Genial como siempre.
Gracias! 😊
Si el cardinal del conjunto abierto{0,1} es el conjunto potencia de aleph sub 0, es el cardinal de los reales el conjunto potencia de c? Necesito un vídeo sobre los números reales y tengo curiosidad por los complejos
Hola Fernando,
El cardinal del continuo c, es por definición el cardinal del intervalo abierto (0, 1), que puede probarse que coincide con el cardinal del conjunto potencia de los naturales, esto es 2^aleph_0. Pero el cardinal de todos los reales es también c, puesto que se puede dar una biyección explícita entre el intervalo (0, 1) y todos los reales ℝ.
¡Saludos!
@@ArchimedesTube Gracias!
entonces uno puede decir que el número de infinitos que hay es infinito (por lo menos contable, porque hay una recursión indexada por naturales de infinitos por la operación anidada del conjunto de partes de cualquier conjunto infinito)... pero ¿es esta cantidad de infinitos contable?
¡Que buenos videos!
¡Muchas gracias! 😊
Francamente bueno y francamente ameno....enhorabuena
Muchas Gracias!! 😊
Que buen descubrimiento de este canal
y si un conjunto genera a un conjunto que tiene un cardinal ,mayor que el conjunto generador, y el proceso puede continuar indefinidamente......en que momento , se contradice con el teorema de cantor ?
La contradicción se tiene si suponemos que existe U el conjunto de todos los conjuntos. Si consideramos P(U) el conjunto potencia de U, cuyos elementos son todos los subconjuntos de U, tendríamos que al ser los elementos de P(U) conjuntos también son elementos de U y podemos definir una aplicación inyectiva P(U) ---> U, por tanto | P(U) | ≤ | U |.
Pero el teorema de Cantor afirma justo lo contrario, esto es, que el cardinal de todo conjunto es menor que el cardinal de su conjunto potencia | U | < | P (U) |.
Muy buen video, me gusto mucho :) tengo una pregunta ¿Qué pasaria si el conjunto de todos los elementos rojos es vacío en la demostración del teorema de Cantor?
¡¡Que buena pregunta!!
De hecho el caso de que el conjunto de todos los elementos rojos fuera el vacío habría que considerarlo por separado.
Supongamos que B = { conjunto de todos los elementos rojos } = Ø
Tal como decimos en el vídeo, dado que Ø ∈ P ( X ), y f : X --> P (X) es una biyección, tiene que haber algún elemento ☆ ∈ X, tal que f ( ☆ ) = Ø.
¿De qué color es ☆ ?
No puede ser rojo porque suponemos que B = Ø, es decir, no existen elementos rojos.
Por tanto ☆ ha de ser verde.
Pero si es verde eso quiere decir que ☆ ∈ f ( ☆ ) = Ø lo que también constituye una contradicción.
Por tanto si B = Ø también llegamos a contradicción.
¡Saludos!
Buenazo!
excelente video
Tengo una duda, si se define al infinito como el conjunto que es equivalente a una de sus partes y por ejemplo el conjunto de números reales tiene un cardinal mayor respecto al cardinal de los naturales, si los reales son infinitos a que parte suya son equivalentes?
Hola Marcos,
Por ejemplo la exponencial f : ℝ ---> (0, ∞) definida por f(x)=2^x es una función biyectiva del conjunto de números reales en el subconjunto propio (0, ∞). Su inversa es g: (0, ∞) -->ℝ dada por g(x)=log_2 (x).
De hecho, ℝ es del mismo cardinal del intervalo (0, 1). Para definir una biyección entre ℝ y dicho intervalo podemos componer dos funciones biyectivas (lo que nosa da otra función biyectiva):
La primera es la función F(x)=π ( x - ½, ) que establece una biyección entre el intervalo (0,1) y el intervalo (-π/2, π/2 ). Es bien sencillo demostrar que esta función es biyectiva, es decir, que pone en correspondencia uno a uno a esos dos intervalo.
La segunda es G(x)=tg(x). Esta función es una biyección entre el intervalo (-π/2, π/2 ) y ℝ.
Un saludo
@@ArchimedesTube muchas gracias por explicar!
El infinito es uno solo. Paso 1.
El conjunto potencia de n, o numeros naturales y sus partes, es numerable y
acá muestro el método.
El conjunto vacio lo numero como el 1, agrego el 1
1 es el 2, agrego el 2
2 es el 3
1-2 es el 4, agrego el 3
3 el 5
1-3 el 6
2-3 el 7
1-2-3 el 8, y así sucesivamente.
Conclusión: el conjunto n es cardinal n y el conjunto potencia es 2 elevado
a la n, que es mayor.Cuando n tiende a infinito los dos tienden a infinito
pero son del mismo cardinal.Contadictorio no?
El infinito es uno solo. Paso 2.
Método de la diagonal de Cantor.
La lista de números reales de n elementos por fila, tendrá 10 elevado a la n
filas, por lo tanto esa diagonal no pasa por todas las filas sino que deja
afuera (10**n - n) filas y la cantidad de filas que quedan afuera tiende a
infinito cuando n tiende a infinito, por lo tanto el método de la diagonal
es en este caso incorrecto, pues esa nueva fila obtenida por el
método diagonal está realmente en la lista, en alguna fila que quedó fuera
El infinito es uno solo. Paso 3.
Encontré un método para generar los infinitos números reales del intervalo
(0,1),y numerarlos.
el 0 es 0,0000....000,
el 1 es 0,100000..0
el 2 es 0,200000...000,
el 3 es 0,3000....0000,
.............................
el 9 es 0,9000....0000,
el 10 es 0,0100000...000,
Escribo 10 de derecha a izquierda de manera que el 0 del 10 ,
ultima cifra significativa sea la primera despues de la coma decimal,
y todos los siguientes, del mismo modo:
el 11 es 0,1100000...000,
el 12 es 0,2100000...000,
..........
el 56295141 es 0,141592650000.....00, si tiene razón son las primeras cifras
de pi y asi sucesivamente, terminarán por aparecer todos.
Infinito hay uno solo y es suficientemente grande para contener a todos.
my email si alguien quiere contactarme es jeliasmeijide@yahoo.es
"hay una cantidad infinita de diferentes infinitos"
En aquella frase la palabra "infinito" se repite dos veces entonces cual seria el cardinal de ese primer Infinito nombrado? 🙄
Aleph 0 para infinito
Aleph 1 para el primer transfinito
@@LordMiraakedits2142 por la frase "hay una cantidad infinita de infinitos" me refiero a un conjunto formado por todo los conjuntos infinitos, es decir por aleph 0, aleph 1 y asi todos los transfinitos. Y preguntaba cual seria el cardinal de ese supuesto conjunto.
Pero ahora ya se que ese supuesto conjunto no es un conjunto en realidad, por tanto no tiene cardinal.
@@radiohead18832 Hay un montón de conjuntos, una cantidad infinita de infinitos es un aleph omega
Quiero una playera como la de vos. Viva Cantor, Viva Hilbert. Vivan las mates.
¿Es verdad, qué está paradoja, sea la posible causa de llevar a la locura a Cantor O simplemente un mito?
Hola!
Lo que más frustro en vida a Cantor fue no ser capaz de demostrar la hipótesis del continuo, esto es, que entre el cardinal de los números naturales ℕ, que denotamos aleph cero y el cardinal de los números reales ℝ, que denotamos por c, no existe ningún otro cardinal. Esto es, no existe ningún conjunto infinito X tal que | ℕ | < | X | < | ℝ |.
De hecho, probablemente lo que más pudo deteriorar la salud mental de Cantor fue el rechazo de gran parte de la comunidad matemática capitaneada por Leopold Kronecker a sus ideas. Kroneker de hecho presionó a las revistas especializadas para que no publicaran sus resultados y fue gracias al apoyo de matemáticos como Gottlob Frege y David Hilbert que finalmente pudo ver su obra publicada,
¡Saludos!
@@ArchimedesTube muchas gracias por tu respuesta. A veces, esos hechos, me refiero a lo que Kronecker hizo, engrandece más a todo lo que Cantor hizo y nos dejó. Admiro mucho lo que haces, saludos desde Perú.
@@MICHELO1284 Saludos desde España
Esto me parece semejante a la paradoja de Russell... Queda para investigar
Exacto! En el argumento diagonal está el germen de la paradoja de Russell
Excelente!!
Gracias!
esta muy cool omg
¡Gracias Isabel!
Excelente video !
Gracias! 😊
Déjame hacerte un par de comentarios:
Yo creo que no era necesario asumir que el conjunto debía ser infinito para demostrar que el conjunto potencia era mayor. El mismo argumento para los conjuntos infinitos puede ser usado para los conjuntos finitos distintos del vacío. Es decir, sólo había que demostrar para el vacío y para conjuntos distintos del vacío.
La segunda observación es: Todos los cardinales parceen ser construidos a partir de algún predecesor ¿Acaso podrían existir dos conjuntos infinitos para los que no pueda existir una inyección de uno a otro ni visceversa? En cuyo caso, esos conjuntos no serían comparables.
Hola Luis,
Sobre la primera cuestión: habíamos demostrado que para un conjunto finito X con |X|=n su conjunto potencia tenía cardinal 2^n y por tanto |X|
Excelente video solo falta el teorema de incomplitud de godel
¡Todo llegará! 😂
Esa explicación puede ser universalmente aceptada en este momento por los matemáticos, pero yo pienso (y aclaro, simplemente es mi opinión) que hay una biyección entre todos los conjuntos infinitos. En este teorema, creo que asumir que se pueden colorear todos los elementos es un error, y así como la paradoja de Russell nos muestra que no puede existir un libro que liste todos los libros que no se referencian a sí mismos, en este caso no se pueden colorear todos los elementos. Desafortunadamente, no tengo las habilidades matemáticas aún para llegar a una demostración, pero señor Cantor discrepo de sus supuestos y conclusión. Si estoy equivocado me encantarían links a otros videos con demostraciones para aprender más.
Hola Pablo,
Seguiremos haciendo vídeos sobre el tema. ¿A qué te refieres con "hay una biyección entre todos los conjuntos infinitos"? ¿No te parece convincente la demostración de que entre los naturales y los números reales del intervalo (0, 1) no puede existir una biyección dada por Cantor?
Un saludo
@@ArchimedesTube Gracias por la respuesta, no he visto el video que se referencia en 3:50, tal vez esa es la demostración que me falta ver, me envías el link por favor, que interesante es este tema.
Este es el link:
ua-cam.com/video/hePMBrVSZtw/v-deo.html
En cuanto a la refutación a la diagonal de Cantor, búscalo con ese nombre en yt. Los vídeos que mensionen el hotel de Hilbert ,son los más acertados, Aunque existen videos recientes más acertados.
Excelente
buen video te felicito
Gracias! 😊
perdona, me explicas que es esto? f\left(n
ight)=\infty \div 2n+1
GRACIAAAS
De nada!
Buscar tambien teoría de infinitos, FOUIRIAK y Teoría y ley universal del amor
EREEES UN CRACK
¡Muchas gracias!
Jajaja, lo voy a tener que ver de nuevo
Excelente video Muchas gracias, si para que un conjunto sea infinito, el conjunto total debe ser igual a una de sus partes, entonces el conjunto de los números reales no es infinito, Por qué el conjunto de los números reales tiene una parte de él que sería el conjunto de los números naturales Y en este caso el todo es más grande que su parte, por lo tanto el conjunto de los números reales no es infinito, que tal?
Muchas gracias por estos videos y un saludo
No es que sea equivalente a cualquier parte de él, sino que debe existir una parte equivalente. En el caso de los números reales, podemos ver una equivalencia con el subintervalo (-π/2 , π/2) mediante la función biyectiva tangente tan(x).
HERMOSO
¡Solo aplausos!
¡Muchas gracias!
oh si!!
Que Dios alabe el paraíso que Cantor creó para nosotros
😂😂😂 ¡Eso pensamos nosotros! por eso le llegamos hasta a dedicar una camiseta:
www.camisetasdematematicas.com/collections/hilbert-y-el-paraiso-que-cantor-creo-para-nosotros
Que buena la camiseta!!!!!
"existen infinitos infinitos" una frase más precisa sería que "existen infinitos conjuntos cuyo cardinal son diferentes infinitos"
Ahora si me preguntó cuál es el cardinal de este primer Infinito nombrado, primero habría que responder si es un conjunto, es decir si existe un conjunto cuyos elementos sean todos los tipos diferentes de infinitos que tienen cardinal.
Si la respuesta es no, entonces este primer Infinito no tendría cardinal por lo extraño que parezca.
O en todo caso cuál es el cardinal de este primer Infinito nombrado?
Para resumir si alguien no entendió, en la oracion "existen infinitos infinitos" ahí la palabra infinito está siendo usada 2 veces, mi pregunta es cuál sería el cardinal del primer Infinito nombrado en la oración.
(1+1)^n= suma i=0 a i=n de C(n,r)= 2^n., saludos
Haber ya que la teoría de conjuntos sirve para sustentar los procedimientos
lógicos
aquí les dejo dos preguntas
acaso el mismo vacío que colocan como elemento no es en si infinito y el guarismo
0 no es algo complicado para buscar relación en la teoría de números
Y será que la teoría de conjuntos sirve para saber
Que si con la regla y el compás puedo saber cuál es el valor de los ángulos internos de cualquier triángulo
Pues si construyó un triángulo equilátero si puedo saber que tengo ángulos de 60° con saber que la medida de los lados a quedado con la misma medida o al menos
teóricamente pues en la realidad esto no es posible
180° / 3 = 60°
a y me refiero a sin usar transportado ni funciones trigonométricas
Atte Jhonny Angarita
Doy mi opinión, respetando las ideas de los demás y asumiendo que es un tema muy complejo desde cualquier punto de vista:
Sólo existe infinito. Ni uno, ni dos, ni distintos, ni particiones infinitas ni ningún otro atributo. Es un concepto matemático pero sobre todo filosófico.
El infinito no es un número. Es un límite al que se tiende, una idea nunca alcanzable en el universo por una razón, y es que el infinito no es del universo, mientras que las matemáticas y la razón humana sí lo son.
Nunca se podrá ni demostrar, ni cuantificar, ni valorar, ni partir, ni establecer tipos de infinitos desde las matemáticas. ¿Y por qué no? Porque las matemáticas y la razón humana son del universo, pero el infinito no lo es, es de otra dimensión, espectro, ámbito, o lo que sea, como queramos llamarlo, distinto al universo y con las leyes de éste no se puede saber nada de él en esa otra "dimensión".
Ningún teorema matemático del pasado, del presente, o del futuro, puede hacer entender, partir, acotar, dividir, imaginar el infinito. Ya he indidado por qué. ¿Puedo equivocarme?. Sí, claro, por supuesto, pero expongo mi idea. Me atrevo.
Para terminar mi opinión: EL INFINITO ES DIOS. Inalcanzable, indefinible, irracional, sobrenatural, mlilagroso. Nunca desde las matematicas, ni desde las leyes de la ciencia, ni desde la razón humana se podrá entender, interpretar, alcanzar o cuaquier otro verbo para demostrar cosas del infinito. Es inalcanzable cualquier cosa o ámbito de él para el ser humano. Y además por siempre. Fuerte lo que digo sí.
Para mí sólo se puede aproximar, acercarse a entender el infinito (Dios) desde la irracionalidad de la mente humana, desde lo sobrenatural. Y algunos seres humanos lo lograron: santos, místicos, mártires. Y dieron testimonio de ello a lo largo de los siglos. Muchos fueron. Sólo hay que creerles.