Комплексные числа: коротко и понятно - Алексей Савватеев | Лекции по математике | Научпоп
Вставка
- Опубліковано 1 вер 2023
- Как появились комплексные числа, что это такое и как математики пришли к необходимости их изучения? Какое отношение имеют комплексные числа к уравнениям со всеми вещественными корнями? Как они представляются геометрически и какие операции с ними можно производить?
Об этом рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского математического центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Канал Алексея Савватеева «Маткульт-привет!»:
/ Маткультпривет
Плейлист «Алексей Савватеев»:
• Алексей Савватеев (Лек...
Плейлист «Лекции по математике»:
• Лекции по математике
#НаукаPRO #Савватеев #АлексейСавватеев
Ролик создан при поддержке Ассоциации волонтёрских центров в рамках Международной премии #МЫВМЕСТЕ. - Наука та технологія
Плейлист «Алексей Савватеев»:
ua-cam.com/play/PL_8xXS9VcXHzuiCXZLcAUiSmcsvm3FSgv.html
Плейлист «Лекции по математике»:
ua-cam.com/play/PL_8xXS9VcXHxyIF4hcIux1FS6FCihfbYg.html
Подписывайтесь на наши страницы на других ресурсах! 🤘🏻
vk.com/nauka_pro_rnd
dzen.ru/naukapro
ok.ru/naukapro
t.me/naukaproo
Всем, кто хочет узнать, что же на самом деле написано в Библии (ну, вдруг), нужно прочесть трилогию:
- "Анализ молитвы "Отче наш",
- "Доказательство мифологичности Иисуса Христа",
- "Четвероевангелие атеиста"
В. Пантелеева
Общий объём 1.5 млн зсп.
Специалисты, разрешите наивный вопрос.
В ролике понятно объясняется произведение дву комплексных чисел. По умолчанию это скалярное произведение. А возможно ли определить векторное произведение комплексных чисел?
@@user-ns1zi8hh6wя, конечно, не специалист совсем. Но вот что-то про векторам помню, что произведение векторов может быть числом, а вот произведение чисел, вектором никак.
@@user-ns1zi8hh6w В результате скалярного произведения векторов получается число (скаляр), равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Произведение комплексных чисел - это снова комплексное число (вектор), у которого модуль (длина вектора) равен произведению модулей, а аргумент (угол) равен сумме аргументов перемножаемых комплексных чисел. А векторное произведение комплексных чисел - это векторное произведение векторов, которые эти комплексные числа представляют.
1.Я не люблю математику потому, что ее часто объясняют так, что кажется, что специально хотят, чтобы я ничего не понял. Было бы замечательно, если бы вы стали таким редким(а может быть и первым) математиком на ютюбе, который объясняет понятно. Понятно не для тех, кто это уже знает, а для тех кто не знает, для обычных людей. Я не говорю, что вы плохо объясняете, я еще не оценил, видел только ролик про деление на 0.
2.Этот ролик я не посмотрел, потому, что в комплексных числах нет ничего интересного для меня.
3.Я, бы вам рекомендовал сосредоточиться на самом интересном и самом востребованным в жизни обычного человека разделе математики на ютюбе, а именно: Теория вероятности и математическая статистика. Вот это было бы круто.
В институте был комплексный обед в столовке. Вещественная стоимость, мнимая польза
8))
А ещё комплексный обед включает в себя первое действительное и второе мнимое )
В каком смысле? Борщ-
+ Салат + второе с мясом + компот/морс клюквенный + булочка?
@@LEA_82 Борщ без мяса+второе из тухлой тушеной капусты, перловки и головой хека, плюс компот из одной дольки сухофрукта за 60 советских копеек. И после такого обеда контрольная по ТФКП. За это ненавижу математику.
@@barackobama2910 А зачем было это есть? Чай, желудок не казенный.
А ведь когда то я это щёлкал как орешки, а теперь понимаю, как деградировал за 20 лет))спасибо за напоминалочку, мне б в вузе такого позитивного препода, уважение Вам, господин гуру
Люблю слушать математиков, нихрена не понятно, но очень интересно 😅
О подвигах 300 спартанцев помните? Их предводитель цар Леонид, когда пришли послы в Спарте просить помощи против персов, и затянули витиеватую речь, ответил так: "Ваша речь была настолько продолжительной, что пока дошли до середине, я забыл начало, а когда закончили, я забыл и середину." Это по сути был отказ.
Многие математики как этих послов и выражаются, а чтобы понять краткие записи с кванторов и др. нужно прочитать довольно много. Поэтому Вы их и не понимаете. Кстати, чтобы понять математику, лучше читать акад. Зельдович и Мышкис, Смирнов, Погорелов, Выгодский, Эйлер, Колмогоров, Краснов, Микусински и Сикорски и ... прошу прощения что не называю всех.
Ну рассмешили Вы меня,спасибо.
@@sasaal1459 не хочу читать. хочу, чтобы такой чувак мне так прикольно рассказывал
Очень позитивная и грамотная лекция, плюс бонус история математики!
Ставлю комплексный лайк из 2х аккаунтов!
Это не комплексный, а лживый. Настолько заврались, что уже даже азов не понимают.
Всегда уважал людей, способных просто рассказать о сложном.
Скорее материально об абстрактном...., просто-сложно это тоже абстракции не материальные... (В звуке и графически на доске..)
Ничего личного, просто люблю логику и философию.
Братик, я могу сложно о простом. Это как тебе такое?
@@user-qk6fw6bz4lэк тебя торкнуло... Можно почитать Теорию функций комплексного переменного, или для "отпускания" Т.Ф.Д.П.
Там проще... Не так эффектно но проще, если в Анализ не заглядывать. Хотя там тоже КРАСИВО.
это значит, что человек очень хорошо понимает то, о чем рассказывает
Да без этих чисел я бы сейчас этот ролик не смотрел.
Тоже 1 курс?
@@rustam46297 нет. Просто кучу технологий не разработать без этих чисел.
Поинтересуйтесь, что такое множества Жюлиа и Мандельброта.
Где-то на 4й минуте начинаю выпадать и моей гуманитарной башке не хватает абстракции следить за его харизматичным рассказом! 😢 Как счастливы должны быть математики, имея лишнюю вселенную, куда в любой момент могут удрать из нашей депрессухи!
Как счастливы гуманитарии, у них на любую математическую вселенную найдётся вселенная вселенных, то есть они всегда мощнее. ;-)
Математика, это наркотик, доступный только избранным. Как же на него ,,подсесть,,?
По одному из определений комплексные числа это такие, что любой многочлен с комплексными коэфициентами представляется в виде (x-a0)(x-a1)..., где a0, a1... это все нули многочлена. Это самое полезное определение и по сути ровно то что сделали итальянцы в 16 веке. А если взять немного шире, тоже свойство распространяется не только на многочлены, но и на некоторый класс функций - тн произведение Адамара, откуда например вытекает важность нулей зета-функции. Да, математика требует много усилий на освоение, но это лучший антидепресант! Если хотите изучать математику - начинайте с Евгения Дашкова и будет вам счастье!
@@LWWWP Не хотелось бы меряться пиписьками, но теорема Гёделя о неполноте формальных систем любую вашу "мощность" перебьёт.
@@alexlinde6695 Ой, а я разве? Я как раз наоборот, полностью за. Судиться можно либо бесконечно, либо "по понятиям", то есть искать значение в цепи определений, либо принять значение приданное извне. Это вот, кстати, нужно законодателям рассказать, но, боюсь, это займёт бесконечное время.
Прошло уже 10 минут лекции, а комплексных чисел всё ещё нет, волнуюсь 😢
Я тоже жду, особенно хочу узнать, где ударение будет😅
@@user-cs1wt9wf4u Ударение будет по башке.🤣
@@user-cs1wt9wf4u Ударение правильное на первый слог. Но есть много людей сознательно коверкающие произношение слов чтобы казаться якобы умнее (компле'ксный, ато'мный, рапо'рт)
Математик-красавец! Всегда ненавидел математику, но это потому, что мне не встретился учитель как Савватеев! Сейчас я наслаждаюсь математикой в его преподавании. Спасибо за видео!
Какой замечательный пример жизненной позиции в математике! Лайк вещественно, без всяких мнимостей!
Респект вам, очень интересно
9 класс, работаем💪
В школе нам пудрят мозги этим ОДЗ, мол корня чётной степени из отрицательного числа не бывает, причём даже не уточняя, что подобных выражений не существует в области действительных чисел.Я считаю, что школьников нужно знакомить с этим,хотя бы с основами комплексных чисел, что оно вообще из себя представляет, чтобы не формировать у них ложные убеждения. Нужно знать правду. Решил на этом видео закрепить мои знания о комплексных числах, на них не останавливаюсь, моя следующая цель - кватернионы. Вам спасибо огромное за видео
Тут дело не в правде и убеждениях, а в принятых правилах и соглашений. Если оставаться в рамках вещественных чисел, то корней чётной степени из отрицательных чисел и не будет.
Если принять за правило, что i равно корню из -1, то это корни из отрицательных чисел появляются, но это уже в рамках других соглашений.
@@Dronzord так суть тут в другом. Он говорит, что тебя вгоняют в одни рамки, но при этом тебе ни слова не говорят, что есть другие. И вместо того, чтобы понимать ограниченность системы на данный момент, ты думаешь что вцелом система ограничена, надсистемы никакой нет.
Другими словами, формируют искажения. А потом приходят студенты на пары, и у них мозги плывут от того, что: "оказывается можно взять корень из -1????!!! И на ноль делить, если постараться????!!". Учить они эти темы не готовы, они первые пары избавлятся от старой парадигмы, и уже потом готовы к получению новой.
Чтобы нормально ввести комплексные числа нужны некоторые усилия, так легко, как с действительными(в рамках школы), не получится. А так, в принципе, в конце 11 класса обычно дают какие-то поверхностные знания про комплексные числа, по крайней мере почти в каждом учебнике за 11 класс они есть. Проблема в том, что многие учителя не знают комплексные числа достаточно хорошо(а некоторые и просто не знают), чтобы их преподавать, да и особо смысла время на них тратить нет - кто не пойдет на технические специальности, тем они не понадобятся, им бы ЕГЭ на проходной сдать, а тем, кто пойдет, все равно все заново будут объяснять в ВУЗе.
@@randomcraft2345 мы в школе проходили комплексные числа в старших классах. В итоге лично у меня это в итоге вызывало дополнительные вопросы, когда был тот же ЕГЭ или другие экзамены, где спрашивалось: а сколько корней имеет уравнение? Так как я знал про комплексные числа, а в условии не говорилось, что речь о строго действительных корнях, то иногда в ступор вводило.
Есть и другие темы за рамками школы. Типа неевклидовой геометрии, где параллельных прямых может не быть. Есть вообще куча отдельных математических дисциплин. И всё это в идеале неплохо бы хоть как-то понимать, но в реальности это только запутает большинство учеников, да и студентов.
@@Dronzord не запутает, если систему реформировать. Наше образование не менялось с тех пор, когда большинство дисципилн только зарождались. Есть сделать реформы, организовать цельную систему, а не просто в старьё пихать новое, то и работать это будет лучше.
Сразу возникает вопрос, а как делать реформы, если это сложно? Требует много средств.
Ответ простой: чем раньше начать делать, тем меньше объем реформы потребуется в краткосрочной и с реднесрочной перспективе; реформы, так и или иначе, всё равно нужны, математический аппарат далеко вперёд шагнул, а обучают ещё старому, фактически в школах нет смысла (кроме социального), т.к. все знания там поверхностные и задрачиваемые. Ну и самое главное, у нас в стране на систему образования приходится больше 4 многоэтажных зданий, где люди фактически ничем не занимаются, поувольнять и освободившийся бюджет направить на найм высококвалифиуированных специалистов и на реформу. Сейчас, единственные действия системы образование - попытки впихнуть новые наративно подходящие под политику государства предметы - всё, предметы даже не проробатываются (тоесть просто имитируют бурную деятельность).
Лучшее, что я видел в математике. Это очень красиво 🤩
Это улыбка чего только стоит 😊
Алексей, ты красавчик!
Учил комплексные числа много лет назад и профессора нас мотивировали только отметками. Решение кубических уравнений - классный пример приложения комплексных чисел. Но мне больше нравятся примеры из физики
А какие примеры из физики?
@@Andrei_S708 ну, гармонические колебания, теория дифракции света, квантовая физика, давно это было. Сейчас я - биологией занимаюсь. 😀
@@Andrei_S708 Траектории движения тел вокруг массивного гравитационного центра - эллипс, парабола, гипербола. В идеале.
@Andrei_S708 электротехника. трёхфазные напряжения и токи через них описываются.
Спасибо за ответы! Даже не знал что комплексные числа настолько полезны
Большое спасибо!
Низкий поклон человеку, который несёт людям знания. Беда в том, что надо смотреть и писать, так что придется посмотреть ещё раз 😊
С наскока только шишки на лбу растут
Очень интересная и занимательная лекция, спасибо! Пример про джигита супер!
Я аж захотел вспомнить что там было с комплексными числами из универа. Браво🎉 очень захватывающиая история
Савватеев лучший!
Спасибо!
Двадцать пять лет назад я помню это понял, потом напрочь забыл, теперь понял снова и ... Кайф
Очень понятно… Спасибо
А можно теперь такой же ролик с короткими и понятными пояснениями на ролик с короткими и понятными объяснениями комплексных чисел?
Благодарю за интересную тему.
Super! Very interesting!
Thank you very much!
Я видел, как их мотивируют из предположения, что показательные функции и тригонометрические - похожи, ибо их формулы для сумм аргументов выглядят так:
*sin(α+β) = sin(α) × cos(β) + sin(β) × cos(α)* , и *b^(α+β) = (b^α)×(b^β)* . Автор говорил, что такая идея вполне может привести к поиску такого ε, что
*ε^x = Asin(x) + Bcos(x)* . Дальше подставить сумму аргументов и можно получить требование к существованию A, что *А² = -B, B=1.*
Я думаю, что тут даже не нужно знать, что *ε=exp( i )* , можно просто подставить x=1 и получить *ε = i sin(1) + cos(1)* . Формула уже фактически позволяет получить кучу всего.
И решения уравнений отчасти тоже)
Как Вы вставили формулы в коммент?!
@@Rexsinger греческая раскладка + доступ к символам юникода в браузере Хром.(правый клик > смайлы и потыкайте кнопки). Ещё если в ютубе окружить текст звёздочками, то он станет жирным, а если минусами, то зачёркнутым: *АМОГУС* , -АМОГУС-
@@nartoomeon9378 Строго говоря, браузер здесь ни при чём, хотя если доступ есть, можно и так. Греческие буквы и символы математических операций берутся из любого справочника Unicode, включая оригинальные таблицы стандарта. И для Windows и для Linux имеются приложения типа Character Map.
@@Micro-Moo Edge имеет функцию ввода символов юникода через меню по правому клику. Эта функция теперь уже давно есть в хромика. С него печатал. Ещё есть клавиатура StylishText такое зелёное - даёт возможность на андроиде создавать свои раскладки клавы с символами юникода. Суперполезное, но просит рекламу смотреть за это.
Самое понятное объяснение для нематематика.
8:06 - скажите пожалуйста как мы перешли от верхней строки к этому... и куда делся коэфицент 'с'. не могу понять
Спасибо, всё очень интересно, а можно ли всё это на примере рубля.
Кайфанул👍
Подача великолепная. Такого учителя надо в каждую школу
А мне вот, как раз именно подача не понравилась. Противнейший типок, чОкающий и несущий местами полнейшую ахинею
Ох, просто в молодость окунулась. Когда - то с этими комплексными числами по небу летала. 😀🙋♀️
Красавчег!
Вау! Как все оказывается просто и естественно... Почему же в школе от меня это скрывали.
29:42 а вот это гениально и красиво 😍
Видео смотрю , потому что я сейчас в колледже ЕПК, Елабуга. У нас в первые дни сразу же начали обучать теме Комплексные числа, с чей причиной я и смотрю это видео , потому что я не допонимаю слегка тему. Но за видео спасибо.
Чё там понимать? Комплексное число это двумерный вектор, вот и всё. А дальше работа с векторами по теореме Пифагора. Всё.
@@KpeBegko Семён Семёнович абсолютно прав. Это обычные векторы, для которых ввели одну дополнительную операцию интересным способом: умножение.
Действительное число можно легко представить как вектор на прямой с началом в точке 0.
Умножение действительных чисел - это растяжение длины одного числа кратно длине второго числа: 2*3 = 2+2+2.
А умножение комплексных векторов - это
1. растяжение длины одного вектора на длину другого вектора
и после этого дополнительный
2. поворот угла первого вектора на угол второго вектора.
Почему и как так случилось, что алгебраическое умножение чисел вида (a+bi) и (с+di), с принятием i*i = -1 с одной стороны и умножение комплексных векторов через операцию "кручу-верчу" с другой стороны - дают один и тот же результат? И при этом без исключений - это происходит всегда, т.е. они абсолютно идентичны. Как такое возможно: эти 2 операции - алгебраическая и геометрическая, как представляются на первый взгляд абсолютно из разных опер, а возможно даже из оперы и балета?!
Ответ простой: повезло.
Повезло, что в этот день на сцене были и танцоры балнта и оперные певцы - вместе они поставили спектакль нового формата - так появился мюзикл.
Повезло, что синусы и косинусы углов суммируются определённым способом - причина того, что сложная гемотрия так легко поддалась простой алгебре кроется:
1. в формулах cos(a+b) и sin(a+b)
2. не важно какой из векторов повернуть (можно повернуть первый вектор на угол второго или второй на угол первого): а+b = b+a, здесь a и b - углы векторов.
3. если есть три вектора, то не важно с какого вектора начнём операцию умножения, т.е.: (a*b)*c = a*(b*c), здесь a, b, c - комплексные вектора, а * - операция растяжения вектора с последующим поворотом.
А могло бы не повезти и не получилось бы комплексных векторов. Например, комплексные вектора в трехмерном пространстве не существуют именно по причине номер 3. Там нет полной ассоциативности. А вот в 4-мерном ассоциативность опять появляется.
Для того, чтобы комплексные вектора стали для Вас абсолютно "своими в доску" на доске проделайте следующую операцию:
1. возьмите два вектора,
2. умножьте их между собой по правилу "кручу-верчу"
3. по правилам суммы углов через синусы и косинусы найдите координаты получившегося вектора;
4. сгруппируйте получившиеся выражения (они очень длинные) по координатам
5. сравните с получившейся алгебраической формулой
и вуаля - они совпадут!
Проделайте это с векторами длины единица (и тогда Вы не покинете окружность радиуса единица - вычисления станут проще; а получить любой вектор из координат единичного - тееорема Пифагора).
По этой формуле можно также идти и справа налево: т.е. простое алгебраическое умножение, переходя через формулы суммы углов, и есть поворот одного вектора на угол второго вектора.
В математике, как в достаточно сложном языке, много совпадений и ещё больше несовпадений (вторых должно быть больше - из следствия теоремы Гёделя). Например,
ab - двузначное число, к примеру 23, если вычесть из ab его составляющие a и b, то обязательно получится число делящееся на 9.
Совпадение? И да, и нет:
ab = a*10 + b
ab - a - b = a*10 + b - a - b = a*9
В этом и заключается работа математика: неявное сделать явным.
Это позволяет разрешить парадоксы, например, один из простых - "ошибка выжившего". К комплексным векторам это искажение восприятия вполне применима.
@@vitalysarmaev Мощный коммент!
Коротко и понятно..... Об этом я говорить не смогу!
В книге "Что такое число" прочитал, что "многие чисто вещественные факты невозможно понять без продолжения в комплексную область, например, почему ряды для sin(x) и cos(x) сходятся везде, а arctg(x) только для |х|
Комплексные числа удобны тем что позволяют корректно представлять физические процессы. Переменные токи, напряжения, электромагнитные волны, все легко можно представить в виде вращающихся векторов (роторов) и лучше здесь подходит показательная форма A*exp(jx), про которую в ролике не было рассказано. При перемножении вращающихся векторов частота их вращений складывается, и показательная форма как раз удобна этим, что можно умножать вектора путем сложения аргументов комплексной экспоненты. В комплексной форме частота вращения вектора (скорость изменения фазы) может быть как положительной (против часовой стрелки), так и отрицательной (по часовой стрелке), поэтому если при перемножении сигналов ожидается, что частота может уйти в минус и важно учитывать этот знак, то нужно использовать квадратурное представление сигнала - алгебраическая форма в виде двух компонент - реальной и мнимой. А зачем вообще это нужно? Перемножать вращающиеся вектора? А как раз затем, чтобы делать перенос частот. Вся современная радиотехника использует этот подход и там сигналы состоят из двух компонент - действительной и мнимой (I, Q). Так переносят сигналы на несущую частоту (на которой ведется передача) и обратно (например, с несущей в область звуковых частот). Самое широко используемое преобразование - преобразование Фурье также использует комплексные числа для переноса частот сигнала на нулевую частоту. Путем перемножения на опорные квадратуры делается перенос для каждой компоненты спектра, полученные при перемножении комплексные отсчеты складываются и делятся на количество отсчетов. В результате сложения получается опять комплексное число (для каждой компоненты спектра). Возведя в квадрат мнимую и действительную части этого числа, сложив эти квадраты и взяв корень находят амплитуду (для каждой компоненты спектра). Прямо сейчас ваш Wi-Fi модем перемножает и складывает тысячи комплексных чисел в секунду, чтобы вы смогли прочитать этот текст
Вы, сударь, гурман! Согласен полностью.
А уж сколько комплексных чисел перемалывается при распаковке видео и аудио и выводе данных изображения на экран и звуковую карту, когда вы смотрите это видео - вообще ни в сказке сказать, ни пером описать.
Комплексные числа связаны с энергией и временем. Теория электрических цепей переменного тока. Как линейные так и нелинейные. i - крутая штука
Определять i как корень из (-1) - плохая идея. Правельнее определять ее так: "i - это такое число, квадрат которого равен -1".
Трушин труу 🤘
А как тогда быть с числом -j? Его квадрат тоже равен -1
@@user-qr9is8xw9s, а что с ним не так? Если за j взять -j, то ничего не поменяется, просто все отразится относительно оси реальных чисел. Математика от этого не поменяется.
@@aranarus не так то, что вашему определению соответствуют два числа, а не одно
@@user-qr9is8xw9s, у вас нарушена логическая цепочка. Чтобы понять что такое -j нужно сначала определить что это такое j. И в этот момент вы путаете причину и следствие. Вы пытаетесь воткнуть в определение j агрегат, вытекающий из j.
Я знал, что этот видос есть в формате подкаста на Яндекс музыке!!!
Алексей просто КРАСССССССССССССАВЧИК!!!
Очень живое, интересное изложение )) Спасибо!
Да, когда-то меня комплексные числа приводили в ступор, - "это шо еще?!"
Но, кстати, именно на исторических примерах быстро дошло, что вещественные числа, это просто не все существующие числа. И тот, кто этого не понимает, много чего просто не будет уметь считать. Именно история проблемы и ее осмысления быстро движет к пониманию обнаруженного, в конце концов, истинного положения вещей. Это всегда так.
«Именно история проблемы и ее осмысления быстро движет к пониманию обнаруженного, в конце концов, истинного положения вещей. Это всегда так.» Вот только не всегда это так. В традиционном школьном преподавании химии исторический подход только запутывает.
Это смотря как видеть историю проблемы. Вся масса накопленных знаний в области химии, ко времени Менделеева уже явно подталкивала химиков к пониманию существования системы. Надо было только ее увидеть.@@Micro-Moo
@@andreyshnt3637 «Вся масса накопленных знаний в области химии, ко времени Менделеева уже явно подталкивала химиков к пониманию существования системы.» Я не об этом. Пример неудачный. Вот, например, в школе преподаётся понятие валентности таким образом, как будто атомистики и теории связи ещё не существует. Химиков это такой валентности аж корёжит. Это примерно как изложить почти всю астрономию на основе геоцентрической модели, а потом сказать, ну вот, а вообще есть ещё геоцентрическая модель, более продвинутая и современная, поэтому излагаем её после. В то время как излагать понятие о химической связи с современных позиций, со всякими электронными облаками и логичнее и проще. В своё время да, валентность была великим изобретением, хитрой абстракцией, позволяющей более или менее предсказывать поведение элементов в реакциях без знания о свойствах атомов, такой инвариант. И при этом нужна куча оговорок, мол, валентность это константа, но вот такие-то элементы обладают и такой и такой валентностью, это их хитрая особенность. Но зачем сейчас-то проходить такие зады? Им место на кружке по истории химии. Просто традиция такая сложилась.
К примеру, атом водорода. Электронное облако находится в "энергетической яме" за пределами которой вероятность нахождения электрона равна нулю. Так как энергия является штучной вещью, электрон не может терять ее постепенно и по этой причине не способен упасть на ядро. Схабав же конкретную штуку энергии, просто улетает куда-то вдаль. Получаем ион водорода. Вас не интересует, как в голову могла вдруг прийти мысль, что энергию правильнее всего измерять в штуках?@@Micro-Moo
Очень круто по мнимые числа объяснили на канале vert dider
Все намного проще. Математику всегда использовали в практических приложениях, например, в механике. И одной из задач в механике была задача описания вращательного движения точки в плоскости. И комплексная i очень легко и просто это делает: вектор (1,0) при умножении на i поворачивается на 90 градусов против часовой стрелки, что делает его вектором (0,1), ещё умножить на i и получим (-1,0). Вот и ответ, почему i^2 =-1 - единица развернулась на 180 градусов и стала -1.
Но история на этом не заканчивается. А как описывать вращение в трёхмерном пространстве? Гамильтон в середине 19века предложил использовать кватернионы. Практическое применение их было успешным, поэтому их преподавали в школах вплоть до 20х годов 20 века. Но история науки сложилась таким образом, что их исключили из преподавания, и многие задачи физики не получили своего точного решения.
Ещё комплексный ток и напряжение в электротехнике
Комплексные числа нужны в дискретном преобразовании Фулье чтобы радиоприемники могли прочитать частоту и фазу синус сигнала и преобразовать это в биты байты и текст.
Ваш смартфон это делает пока вы в интернете капаетесь по WiFi.
Комплексные числа умножаются и складываются чтобы ты мог котов на ютубе смотреть.
"что тебе надо ,собака.." на 2 минуте оценил. Объяснять компл. числа с юмором это искусство. Лайк однозначно. Спсб.
Спасибо огромное вам за видео, очень помогли, я какраз не понел тему на уроке. Всё очень хорошо объяснили, очень подробно, спасибо, храни вас Бог!
русский еще учить надо
Судя по построению фразы этот ученик ещё в прошлом тысячелетии школу закончил. В советском союзе
Включила, на 15й минуте уснула ❤ спасибо
29:55 напомнило скалярную математику/ геометрию, хотя учёбу закончил давно.
Чёт я не совсем понял на 12:40
"покрайней мере", это получается не все решения... А если он равные по модулю и разные по знаку?
Ни черта в конце не понял, но очень интересно. Работаем над этим.
Супер! Спасибо! Лет 15 наверное этого дела не касался и приятно было посмотреть и освежить :)
Вот думаю 6-летке своему показать, интересно поймет ли и будет ли интересно, пока у него только сложение и вычитание, вроде умножение примерно понимает, но тут вроде всего пара шагов вперёд
Ну да, что там такого. Даже в университетах пропускают построения целых, рациональных и вещественных. Переходят сразу к множеству комплексных
@@romanh219 «Даже в университетах пропускают построения целых, рациональных и вещественных.» Не верю. Или это какой-то совсем ублюдочный университет. Или вы что-то пропустили?
Мне тоже так кажется, всего пара шагов. Вот попробуйте и напишите, что получилось, будет очень интересно узнать. К сожалению, у меня в данных момент никаких шестилетних граждан под рукой не имеется.
Предпоследний шаг это объяснить почему минус на минус дает плюс. Не помню где вычитал, но вот хорошая аналогия:
В комнату входит добрый человек, доброта комнаты увеличилась. Входит злой человек, доброта уменьшалась. Добрый человек выходит, доброта уменьшилась. Злой человек выходит, доброта увеличилась.
@@Darkness_7193 «В комнату входит добрый человек, доброта комнаты увеличилась.» Какие же благоглупости! Вспомнил, как-то встретил школьника, который рассказал, что его учительница, очевидно полная дура, «объясняла» это так: «друг моего друга мой друг, враг моего врага мой друг...», ну, все сочетания. Наверное, если перебить всех педагогов и оставить одних учителей, математика расцветёт. 🙂
Интересны результаты поиска «практическое применение кубического уравнения»😮
Интересно как чат GPT отреагирует на зарос "абсолютно бесполезные математические фокусы"
Очень понятно про комплексные числа (начиная с 22:00). МАСТВОТЧ ДЛЯ ПЕРВАКОВ! Узнал и понял больше чем за первый месяц уника!
23:00 перейдя от вещественной числовой прямой (1D ) на плоскость, т.е на 2D мы получаем отображение комплексных чисел.
А вот если добавить ещё одну ось, перпендикулярную доске, тем самым перейдя уже в 3D, можно ли будет отобразить ещё какие-нибудь числа? Если да, то какие?
Кроме комплексных(2D) я больше ни о каких не слышал.((
Можно доказать, что каких-то интересных трёхмерных чисел определить не получится, у них будут не очень хорошие свойства (например, делить на ненулевое число не всегда будет можно). Вот четырёхмерные интересные числа есть, называются кватернионы a+bi+cj+dk (i, j и k дают в квадрате -1). Кватернионы некоммутативные, то есть в них ab не всегда равно ba. Для большего конечного числа измерений будут теряться и другие свойства. (А вот бесконечномерные расширения вещественных чисел могут тоже обладать хорошими свойствами).
@@clopendoor поражают люди, которые во всём этом могут разобраться.
Математики как и историки заходят издалека)).. спасибо!
Ничего не понял, но почему-то очень интересно)
Вот это для меня уже дико)))
Комплексные числа на курсе "вышки" и ТОЭ тоже одолевали этими числами, в части переменного тока. Помнится были курсовые задания по ТОЭ решение задач методом КЧ и другими методами, сравнение результатов.
И вроде все понятно, и в тоже время не понятно. А так в принципе понятно.
06:52 вот мне тоже с моей памятью всегда было проще понимать и выводить формулы, нежели их учить 😅 пошел смотреть кватернионы 😏 спасибо за занимательную алгебру 💗
ЗачЁт автоматом, так тепло стало, как будто опять на вышке сижу. Спасибо за флэшбэк!
Была упомянута теорема о полноте для вещественных чисел. Есть аналогичная для комплексных?
Полнота множества комплексных чисел автоматически следует из полноты множества действительных.
Вопрос😮 А поделитесь, пожалуйста, ссылкой на те видеролики, о которых Савватеев говорит? Я их уже полтора часа ищу на его бездонном канале и всевозможных веток-производных от него
Да, мне тоже интересно послушать более подробно про комплексные части корня кубического уравнения, почему они должны взаимоуничтожаться, давая только чисто вещественную часть.
@@FastStyx там оказывается от корней к углам переходят
@@FastStyx то есть танг угла фи равен мнимая часть поделить на действительную.
@@FastStyx m.ua-cam.com/video/4ttNyeqLdHY/v-deo.html&pp=ygU60YHQsNCy0LLQsNGC0LXQtdCyINC60YPQsdC40YfQtdGB0LrQvtC1INGD0YDQsNCy0L3QtdC90LjQtQ%3D%3D
@@RuslanKamchatka, да вот про это и хотелось поглядеть - о каком ролике речь?
Про непрерывность и разрывы хотелось- бы послушать хорошую лекцию.( И роль комплексных чисел в данном вопросе)!
Диофант первым додумал про х как сумму простых чисел.?
непрерывность и плотность числового ряда не зависит от от комплексных векторов никак.
они могут применяться вместе, но друг на друга влияния не имеют - т.е. одно из другого никак не вытекает.
как варежки и валенки. их можно носить вместе - будет теплее, но можно и по отдельности - смотря какая прогулка.
@@vitalysarmaev а аналитическое продолжение?
Я в этом мало что понимаю , тем более, Римана.)))
@@user-ju9bv4sd2j поле комплексных чисел является плотной (в топологии задаваемой метрикой длины вектора). Т.е. плотность определяется топологией (метрикой) комплексных векторов, а не самими векторами как объектами, наделёнными свойствами манипуляции над ними "умножение через кручу-верчу".
n.b. очень длинное nb.
Правда при рассмотрении функций комплексных переменных и значений появляется как минимум одна особая точка - "бесконечность" - её можно представить как вершину шара, а саму поверхность шара как комплексную плоскость.
Что это такое: положите голбус на стол северным полюсом строго вверх, соответственно, южный полюс касается стола - и это единственная точка соприкосновения со столом - эту точку примем за начало координат как на столе, так и на глобусе.
И представьте что стол - это комплексная плоскость. Теперь в воображении протяните луч от северного полюса к любой точке стола (посветите лазером из северного полюса в сторону стола). Если вы нарисуете луч строго вниз, то Вы попадёте в начало координат, т.е. южный полюс, если же протянете под углом, то при прохождении от северного полюса до стола луч обязательно проткнёт глобус в какой то точке (луч начинается внутри глобуса а заканчивается снаружи - на столе). Таким (не-)хитрым способом можно плоскость полностью спроецировать на поверхность шара. При этом близкие-сосдение точки будут спроецированы на близкие- соседние точки, т.е. такая проекция будет непрерывной. А теперь возьмём любое направление на столе от начальной точки и проведём луч на столе в бесконечность от начальной точки. У нас получились 2 луча: один лежит на столе и уходит в бесконечность - он фиксирован, а другой луч проективный - он начинается на северном полюсе и заканчивается на столе. Если проводить проективный луч к любой точке фиксированного на столе луча, то получится картина как в шпионских фильмах: когда луч лазера проходит от начаьной точки и устремляется в бесконечность - лазер установленный на северном полюсе (это проективный луч) убегает по фиксированному лучу на столе от точки соприкосновения глобуса со столом в бесконечность. А точка, где лазер в любой момент времени протыкает глобус - это и есть проекция комплексного вектора на поверхность шара. Посмотрите что происходит тогда, когда мы всё дальше и дальше отдалились от центра - луч будет протыкать глобус все ближе ближе к северному полюсу, и когда уходит (стремится) в бесконечность на столе, то луч лазера становится строго горизонтальным, т.е. в этот момент луч протыкает глобус в самой точке проецирования - в северном полюсе.
Это значает, что бесконечному удалению по следу конкретного луча на столе, соответствует сам северный полюс. Т.е. северный полюс и проецируется в бесконечность.
Далее ещё интересней: на обычной числовой прямой только 2 бесконечности: налево и направо, т.е. минус и плюс бесконечности. А на комплексной плоскости бесконечностей бесконечно много - берём любой направление от центра и уходим вдаль - а там своя уникальная бесконечность. Проецирование на шар позволяет это бесконечное количество бесконечностей собрать в одну осязаемую точку на шаре - на северный полюс глобуса. Так как в каком бы направление мы не уходили в бесконечность, то все равно при проецировании лазерным лучом в итоге придём к северному полюсу.
Это и есть особая точка комплексной плоскости - проецирование на глобус позволила весь бесконечно удалённый горизонт собрать о одну точку. С этой точкой, несмотря на то что она вся такая сборная и вся такая фельдипёрсово-бесконечная, можно работать как с обычной точкой (она ничем не отличается от других точек на глобусе). Эту штуку тоже ввёл Риман.
nb окончено.
А теперь перейдем к аналитическому продолжению: ... продолжение следует 😊
@@user-ju9bv4sd2j
продолжение. аналитическое продолжение (в парк! в зоопарк!): в поле действительных чисел, если функция достаточно хорошая (а лучше даже, чтобы оооочень хорошая и возможно прихорошенькая - т.е. достаточно много, а лучше всего бесконечно дифференцируема), то её можно представить в виде ряда Тейлора: т.е. зная значение функции в конкретной точке и зная все производные в этой точке можно в пределе узнать точное значение функции в любой точке.
Это кажется фантастикой на первый взгляд. У нас есть функция и есть значение этой функции и всех её производных в данной конкретной точке, предположим в начальной точке x=0. И теперь мы можем не двигаясь с места сказать какое точное значение функции будет при x=10⁹ или x=10⁵⁰⁰. Это как если бы Вы сидя дома удобно на диване считывали бы мысленно свойства объекта на Марсе или на Юпитере. Но ничего магического и/или парадоксального в этом естественно нет, даже ловкости рук не нужно. Будет время "на пальцах" объясню в чем там дело.
Магии нет, но факт есть. Мы можем, зная значение "достаточно хорошей" функции и её производных в данной конкретной точке, расширить эту функцию на всю числовую прямую и быть уверенными что исходная функция и наша расширенная с конкретной точки на всю прямую функция совпадают один в один (совпадение даже больше чем Галкин в Жириновского). Это и есть прообраз аналитического расширения на комплексной плоскости (в данном случае слово прообраз - это форма речи, а не математический термин).
Т.е. если комплексная функция достаточно хорошая, то можно, не покидая нашу любимую точку, сказать, что же там творится с функцией на дальних окраинах.
Но есть засада ...
И это засада называется особая точка функции. Особая точка - это точка в которой она не определена по какой-либо причине (например, принимает значение бесконечность или принимает любое значение - бесконечно много значений, такое тоже бывает). Функция 1/x в точке 0 имеет особенность - она там уходит в бесконечность. Так вот, для такой функции просто так аналитическое расширение не построить. "Достаточно хорошенькая" функция так себя не ведёт - не уходит в несознанку/в бесконечность ни в одной точке комплексной плоскости. А 1/x по субботам уходит в точку 0, и ей там крышу сносит: видели ночь, гуляли всю ночь до утра.
n. b. есть сексисткий анекдот и он тут очень в тему:
- чем отличается хорошая девочка от плохой девчонки?
- хорошая девочка умеет то же самое, что и плохая девчонка, но очень хорошо.
Так вот, тут все наоборот плохая функция умеет то же самое, что и хорошая, но очень своеобразно.
Что же это такое, почему это произошло и как теперь с этим жить?
продолжение следует...
А есть какие то уравнения для решения которых требуется еще большее расширение множества чисел? Или комплексных напрочь хватает?
гиперкомплексные числа, такие как кватернионы, октонионы, седенионы, дуальные числа, дуальные кватернионы и прочее. А еще можно вспомнить про различные системы счисления - хоть там цифры в виде символов те же самые, но числа устроены по-другому.
Комплексных хватает для решения всевозможных уравнений вида f(x) = 0, где f(x) есть функция вещественнозначная, а x переменная, которая изначально выглядит как вещественная, но при решении уравнения ищется в комплексной плоскости. Например для решения уравнения sin х = 5.
зависит от уравнения. есть уравнения на функции, которые и в комплексных сложно решить. Фактически остаются только те проблемы, которые либо нерешаемы без расширения основ математики, либо невозможные. *Но есть в этих числах изъян - нельзя построить порядок.* То есть - нормальной системы сравнения "больше/меньше" -- не построить, никогда. Даже не пробуйте. Уверен, для части от всех может и получится, но не для всех.
Если занудно: комплексные вектора - это поле - там действуют правила раскрытия скобок как в обычных числах - это называется поле - т.е. куда не кинь - везде посевы.
А все что выше размерности - это тела и ещё более слабые системы, там скобки просто так не раскроешь - в этом вся трабла.
@@nartoomeon9378 «Но есть в этих числах изъян - нельзя построить порядок.» Тоже мне изъян. Во-первых, в общем случае рассматриваются не упорядоченные множества, а частично упорядоченные. И тогда в комплексными числами всё в порядке (каламбур ненамеренный). 🙂Во-вторых, «те проблемы, которые либо нерешаемы без расширения основ математики, либо невозможные» - это не по теме. Вопрос был не о расширении основ математики, а более конкретно, о расширении множества чисел. И здесь даже всякие там кватернионы ни при чём. Комплексные числа можно рассматривать как обобщение действительных чисел для решения уравнений в вещественных чисел. Аналогия с обобщением положительных чисел путём введения отрицательных просматривается. А с кватернионами - нет. Или я её не вижу.
Раньше подступался к комплексным но нисего не понял, здорово что есть такой наглядный материалл и математик)🎉
Здравствуйте, как найти производную такого логарифма, в котором основание переменная, а логарифмируемое число константа ?
Спасибо всем заранее
Блин, глаза зацепились за x,y,i.. Как это развидеть?)))))))))
Лекция шикарная!
Ему повезло. Природа дала ему возможность видеть мир в цифрах. Можно позавидовать и попробовать увидеть то, о чем он говорит.
Здравствуйте, оч интересно, посмотрел и возник вопрос, а есть числа где j^2=-i?
хороший вопрос
в комплексной плоскости это уравнение имеет решение, т.е. новых чисел не требуется для его решения
таким способом (т.е. требуя чтобы это уравнение имело решение) за пределы комплексных чисел не выйдешь
0,71-i0,71
Неплохо, неплохо, но с применением мне кажется будет понятней. Мне кажется необходимо начинать с применения!
Так с него и начали - решение кубических уравнений.
Благодаря комплексными числам можно с полпинка доказать или вывести любое тригонометрическое тождество.
25:40 мысль: если в математике (в мат. логике) появилась альтернатива положительности и отрицательности числа (в форме комплексного числа), то почему не рассматривать альтернативу равенству и неравенству двух чисел? В этом направлении можно расширить базис и тоже что-то вывести.
Да сколько угодно... Стоит только немножко подумать.
Альтернатив много может быть. И даже чисел со знаком. Используя гомоморфизм сколько угодно альтернатив создаётся.
@@rubcovovy «Альтернатив много может быть. И даже чисел со знаком. Используя гомоморфизм, сколько угодно альтернатив создаётся.» Совершенно верно. В таких случаях я говорю: «дурное дело нехитрое». 🙂
Теперь все понятно
Различные доказательства алгебраической замкнутости поля комплексных чисел есть в замечательной статье
В. М. Тихомиров, В. В. Успенский. Десять доказательств основной теоремы алгебры.
Многие доказательства состоят из не более чем дюжины строчек с привлечением теорем топологии, комплексного анализа, а также других областей математики.
Удивительно, что результат, над которым много лет трудился великий К. Ф. Гаусс, сегодня доступен студенту второго курса любого матфака/физфака... Воистину стоим на плечах гигантов.
22:22 чтото очень красивое и не очевидное, а по факту база)
Есть ещё трюк для решения всяко более чем квадратных уравнений когда изменением масштаба собирают все корни ближе к нулю, хвосты всё равно улетают в бесконечность и не интересны, и заменяют потом икс на синус, и потом решают полученную тригонометрию. А тригонометрия всё равно комплексная по формулам Эйлера. Замечательно, спасибо за лекцию.
вы про какие-то численные методы
@@nartoomeon9378 Да, это всё в большинстве случаев сводится к вычислению какой-нибудь иррациональности. Дело не в этом, дело в красоте. Я пока не знал суть метода, не понимал откуда из многочлена появляются арксинусы, а они могут. Если Алексей Владимирович расскажет нам лекцию как это бывает, то это тоже будет замечательная лекция.
@@LWWWP я видел формулу корней для уравнения 5й степени через специальный тэта-функции от коэффициентов. А уже они наверное могут быть получены тригонометрическими рядами.
Великолепно! Снимаю шляпу!
Когда-то давно в школе у нас был чем-то похожий преподаватель, который так же блестяще объяснял. А вот в вузе, увы. желание заниматься математикой было отбито напрочь совершенно бездарным преподаванием...
Интересное наблюдение. Каждый студент знаком с ситуацией, когда во время лекции в какой-то момент перестаёшь понимать. Типа, понятно-понятно-понятно, затем Щёлк! - и непонятно. Во время просмотра я тоже столкнулся с этим. Но это ж видео, можно отмотать! И выяснилось, что перематываю я на самый перематываемый момент. То есть я не один такой!
Как посчитать i в степени i? i^i=?
Почему две части комплексного числа суммируются, а не пишутся через запятую, как например координаты точки на плоскости?
Суммируются не части комплексного числа, а комплексные числа, у каждого из которых одна из компонент нулевая. Комплексное число можно запиcать через запятую, но можно и через сумму. Например, (5,7)=5+i*7, здесь записано, что число (5,7) это сумма двух чисел, (5,0) + (0,1)*(7,0). При записи через сумму используются обычные действительные числа вместе числом i=(0,1). Такой способ записи позволяет избежать использования запятых, потому что запятые могут смутить читателя - что же тут эти запятые означают ...?
Спасибо, очень доступное и подробное объяснение, показал пацанам, им тоже понравилось. Блин, если бы у меня был такой учитель в школе или в университете, я бы не пошел в бандиты, а стал бы математиком.
Как известно, киллеру математика нужна, чтобы правильно подсчитать патроны. Рэкетиру - чтобы подсчитать оптимальную дань с коммерса. И по вашей части найдется, где талант применить. Например, оптимальную температуру и глубину погружения паяльника.
Или требуемую площадь подошвы утюга, для достижения точки екстремума, в функции слива информации.@@sobolzeev
Пиво в магазах надо продавать не по паспорту, а по решению кубических уравнений прямо на кассе. Вот это был бы мотиватор😂
А правда что, во вселенной любого квадратного уравнения, вот эти два числа, которые являются его решением, равны между собой? В рамках этого уравнения?
Интересно, существуют ли сейчас решения уравнений более высоких степеней, где проходится обращаться уже к полю чисел не на плоскости а в объëме и т.д. в большей размерности? Или комплексных чисел на плоскости хватает уже для любых задач?
Существует разумеется и "комплексные числа" более "высоких степеней" - кватернионы тому пример.
Но в подавляющем большинстве практических задач обычных комплексных чисел на плоскости хватает за глаза.
А кватернионы это не более чем любопытный казус.
@@Hobbitangleне верно. Грубо комплексы операции на плоскости , кварт. Это операции на 3х мерной сфере, т.е в пространстве.
@@user-bidesliker
"не верно"
Не верно, собственно говоря, что? Что обычных комплексных чисел за глаза хватает для решения большинства практических задач?
Полчаса на отдном дыхании смотрятся. Очень просто и понятно о сложном. Савватеев гений популяризации
Про использование букв вместо цифр есть неточность. Когда учились решать кубические уравнения, ещё рисовали объёмы, кубики...
Если коротко, то комплексные числа нужны, чтобы решать кубические уравнения с тремя вещественными корнями, в процессе решения придется зайти в область комплексных чисел, чтобы вычислить корень из отрицательных чисел. вся гидродинамика стоит на комплексных числах))
И теория колебаний
Электротехника, сплошные комплексные числа
А есть ли числа, заполняющие объем?
Если они есть в принципе, то какое практическое применение они имеют?
Таких нет. Но есть четырехмерные числа - кватернионы.
Ничего не понятно, но очень интересно.
С комплексными числами теорема Пифагора расширяется и имеет тот же вид для всех (любых) треугольников, а не только прямоугольных.
Нет.
Корень из корня меня убил😊😊😊
27:46 Представление числа преналежащего пространству, плоскости, полю - суть "профанация".
Любое число из N, R, Q, либо Z можно представить в форме проекции на всё той же прямой, но направленной не поперёк, тогда мы распологаем проекцией "задуманного" числа отмеченного на мнимой прямой из пересечения перпендикуляра к таковой проходящего через наблюдателя, нас. Отсюда прочие числа пренадлежат, либо треугольнику, если число чёткое, либо "градиенту, если "комплексное". Если прямая состоит из равноценых точек с равноценным диапазоном равноценных "не мнимых" отрезков между числами, то либо мы, как наблюдатель находимся единовременно в каждой точке по отношению ко множеству каждого из чисел и "наблюдатель" является абсоллютно параллельной прямой, что есть "бесконечность", либо множество "чисел" пренадлежит к "окружности" с бесконечным радиусом по отношению к наблюдателю, что есть противоречие определения "прямая" и определения "множество чисел" и "бесконечность" в частности.
Комплексные числа возможно определить, как инверсию по отношению к "определяемому" числу. Так, как корень из минус единицы не извлекаем, тогда его можно представить, как несуществующий корень всех чисел, кроме корня из единицы, которая явно противоречит инверсии самой себя и пренадлежит диапазону содержащему в том числе и "ноль".
Ничего не понял, но интересно.
Однажды я купил себе конструктор лего-техник и мне надо было рассчитать коробку передач. Легко считать, когда все шестерни в одной плоскости. Одна вращается по часовой стрелке (со знаком плюс), а другая в обратную сторону (со знаком минус) но когда валы ответвились вбок на 90 и 45 градусов (появился знак i), я понял зачем мне нужны комплексные числа.
Комплексные числа - это как феи - понять можно, но понятия с нулевым объёмом, фикция. Есть инновационный метод ГРАФИЧЕСКАЯ КАРТА ПРЕДПРИЯТИЯ. ТАМ ПРО ПРОДАННУЮ ДОБАВЛЕННУЮ СТОИМОСТЬ (е +), необходимую для получения прибыли (П). Рекомендую для понимания базовой экономики