Комплексные числа: коротко и понятно - Алексей Савватеев | Лекции по математике | Научпоп
Вставка
- Опубліковано 1 вер 2023
- Как появились комплексные числа, что это такое и как математики пришли к необходимости их изучения? Какое отношение имеют комплексные числа к уравнениям со всеми вещественными корнями? Как они представляются геометрически и какие операции с ними можно производить?
Об этом рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского математического центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Канал Алексея Савватеева «Маткульт-привет!»:
/ Маткультпривет
Плейлист «Алексей Савватеев»:
• Алексей Савватеев (Лек...
Плейлист «Лекции по математике»:
• Лекции по математике
#НаукаPRO #Савватеев #АлексейСавватеев
Ролик создан при поддержке Ассоциации волонтёрских центров в рамках Международной премии #МЫВМЕСТЕ. - Наука та технологія
Плейлист «Алексей Савватеев»:
ua-cam.com/play/PL_8xXS9VcXHzuiCXZLcAUiSmcsvm3FSgv.html
Плейлист «Лекции по математике»:
ua-cam.com/play/PL_8xXS9VcXHxyIF4hcIux1FS6FCihfbYg.html
Подписывайтесь на наши страницы на других ресурсах! 🤘🏻
vk.com/nauka_pro_rnd
dzen.ru/naukapro
ok.ru/naukapro
t.me/naukaproo
Всем, кто хочет узнать, что же на самом деле написано в Библии (ну, вдруг), нужно прочесть трилогию:
- "Анализ молитвы "Отче наш",
- "Доказательство мифологичности Иисуса Христа",
- "Четвероевангелие атеиста"
В. Пантелеева
Общий объём 1.5 млн зсп.
Специалисты, разрешите наивный вопрос.
В ролике понятно объясняется произведение дву комплексных чисел. По умолчанию это скалярное произведение. А возможно ли определить векторное произведение комплексных чисел?
@@user-ns1zi8hh6wя, конечно, не специалист совсем. Но вот что-то про векторам помню, что произведение векторов может быть числом, а вот произведение чисел, вектором никак.
@@user-ns1zi8hh6w В результате скалярного произведения векторов получается число (скаляр), равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Произведение комплексных чисел - это снова комплексное число (вектор), у которого модуль (длина вектора) равен произведению модулей, а аргумент (угол) равен сумме аргументов перемножаемых комплексных чисел. А векторное произведение комплексных чисел - это векторное произведение векторов, которые эти комплексные числа представляют.
1.Я не люблю математику потому, что ее часто объясняют так, что кажется, что специально хотят, чтобы я ничего не понял. Было бы замечательно, если бы вы стали таким редким(а может быть и первым) математиком на ютюбе, который объясняет понятно. Понятно не для тех, кто это уже знает, а для тех кто не знает, для обычных людей. Я не говорю, что вы плохо объясняете, я еще не оценил, видел только ролик про деление на 0.
2.Этот ролик я не посмотрел, потому, что в комплексных числах нет ничего интересного для меня.
3.Я, бы вам рекомендовал сосредоточиться на самом интересном и самом востребованным в жизни обычного человека разделе математики на ютюбе, а именно: Теория вероятности и математическая статистика. Вот это было бы круто.
В институте был комплексный обед в столовке. Вещественная стоимость, мнимая польза
8))
А ещё комплексный обед включает в себя первое действительное и второе мнимое )
В каком смысле? Борщ-
+ Салат + второе с мясом + компот/морс клюквенный + булочка?
@@LEA_82 Борщ без мяса+второе из тухлой тушеной капусты, перловки и головой хека, плюс компот из одной дольки сухофрукта за 60 советских копеек. И после такого обеда контрольная по ТФКП. За это ненавижу математику.
@@barackobama2910 А зачем было это есть? Чай, желудок не казенный.
Как приятно видеть человека с блеском в глазах и массой желания и энергии донести мысли о математике. На душе радостно. Что есть такие целеустремлённые люди.
А ведь когда то я это щёлкал как орешки, а теперь понимаю, как деградировал за 20 лет))спасибо за напоминалочку, мне б в вузе такого позитивного препода, уважение Вам, господин гуру
Люблю слушать математиков, нихрена не понятно, но очень интересно 😅
О подвигах 300 спартанцев помните? Их предводитель цар Леонид, когда пришли послы в Спарте просить помощи против персов, и затянули витиеватую речь, ответил так: "Ваша речь была настолько продолжительной, что пока дошли до середине, я забыл начало, а когда закончили, я забыл и середину." Это по сути был отказ.
Многие математики как этих послов и выражаются, а чтобы понять краткие записи с кванторов и др. нужно прочитать довольно много. Поэтому Вы их и не понимаете. Кстати, чтобы понять математику, лучше читать акад. Зельдович и Мышкис, Смирнов, Погорелов, Выгодский, Эйлер, Колмогоров, Краснов, Микусински и Сикорски и ... прошу прощения что не называю всех.
Ну рассмешили Вы меня,спасибо.
@@sasaal1459 не хочу читать. хочу, чтобы такой чувак мне так прикольно рассказывал
Математик-красавец! Всегда ненавидел математику, но это потому, что мне не встретился учитель как Савватеев! Сейчас я наслаждаюсь математикой в его преподавании. Спасибо за видео!
Очень позитивная и грамотная лекция, плюс бонус история математики!
Ставлю комплексный лайк из 2х аккаунтов!
Это не комплексный, а лживый. Настолько заврались, что уже даже азов не понимают.
Можно ничего в математике не понимать, но слушать Алексея большое удовольствие.
Всегда уважал людей, способных просто рассказать о сложном.
Скорее материально об абстрактном...., просто-сложно это тоже абстракции не материальные... (В звуке и графически на доске..)
Ничего личного, просто люблю логику и философию.
Братик, я могу сложно о простом. Это как тебе такое?
@@user-qk6fw6bz4lэк тебя торкнуло... Можно почитать Теорию функций комплексного переменного, или для "отпускания" Т.Ф.Д.П.
Там проще... Не так эффектно но проще, если в Анализ не заглядывать. Хотя там тоже КРАСИВО.
это значит, что человек очень хорошо понимает то, о чем рассказывает
отвратительно он обясняет. полистал комменты и ... все как всегда, никто почти ничего не понял, типичная саватеевщина, сам не разбирается в физическом смысле того о чем рассказывает. ну задачки наверное вы научитесь решать (детей своих он вроде натаскал на решения задач) как робот.
Да без этих чисел я бы сейчас этот ролик не смотрел.
Тоже 1 курс?
@@rustam46297 нет. Просто кучу технологий не разработать без этих чисел.
Поинтересуйтесь, что такое множества Жюлиа и Мандельброта.
Где-то на 4й минуте начинаю выпадать и моей гуманитарной башке не хватает абстракции следить за его харизматичным рассказом! 😢 Как счастливы должны быть математики, имея лишнюю вселенную, куда в любой момент могут удрать из нашей депрессухи!
Как счастливы гуманитарии, у них на любую математическую вселенную найдётся вселенная вселенных, то есть они всегда мощнее. ;-)
Математика, это наркотик, доступный только избранным. Как же на него ,,подсесть,,?
По одному из определений комплексные числа это такие, что любой многочлен с комплексными коэфициентами представляется в виде (x-a0)(x-a1)..., где a0, a1... это все нули многочлена. Это самое полезное определение и по сути ровно то что сделали итальянцы в 16 веке. А если взять немного шире, тоже свойство распространяется не только на многочлены, но и на некоторый класс функций - тн произведение Адамара, откуда например вытекает важность нулей зета-функции. Да, математика требует много усилий на освоение, но это лучший антидепресант! Если хотите изучать математику - начинайте с Евгения Дашкова и будет вам счастье!
@@LWWWP Не хотелось бы меряться пиписьками, но теорема Гёделя о неполноте формальных систем любую вашу "мощность" перебьёт.
@@alexlinde6695 Ой, а я разве? Я как раз наоборот, полностью за. Судиться можно либо бесконечно, либо "по понятиям", то есть искать значение в цепи определений, либо принять значение приданное извне. Это вот, кстати, нужно законодателям рассказать, но, боюсь, это займёт бесконечное время.
"что тебе надо ,собака.." на 2 минуте оценил. Объяснять компл. числа с юмором это искусство. Лайк однозначно. Спсб.
Учил комплексные числа много лет назад и профессора нас мотивировали только отметками. Решение кубических уравнений - классный пример приложения комплексных чисел. Но мне больше нравятся примеры из физики
А какие примеры из физики?
@@Andrei_S708 ну, гармонические колебания, теория дифракции света, квантовая физика, давно это было. Сейчас я - биологией занимаюсь. 😀
@@Andrei_S708 Траектории движения тел вокруг массивного гравитационного центра - эллипс, парабола, гипербола. В идеале.
@Andrei_S708 электротехника. трёхфазные напряжения и токи через них описываются.
Спасибо за ответы! Даже не знал что комплексные числа настолько полезны
Интересное наблюдение. Каждый студент знаком с ситуацией, когда во время лекции в какой-то момент перестаёшь понимать. Типа, понятно-понятно-понятно, затем Щёлк! - и непонятно. Во время просмотра я тоже столкнулся с этим. Но это ж видео, можно отмотать! И выяснилось, что перематываю я на самый перематываемый момент. То есть я не один такой!
Это улыбка чего только стоит 😊
Какой замечательный пример жизненной позиции в математике! Лайк вещественно, без всяких мнимостей!
Пиво в магазах надо продавать не по паспорту, а по решению кубических уравнений прямо на кассе. Вот это был бы мотиватор😂
Прошло уже 10 минут лекции, а комплексных чисел всё ещё нет, волнуюсь 😢
Я тоже жду, особенно хочу узнать, где ударение будет😅
@@user-cs1wt9wf4u Ударение будет по башке.🤣
@@user-cs1wt9wf4u Ударение правильное на первый слог. Но есть много людей сознательно коверкающие произношение слов чтобы казаться якобы умнее (компле'ксный, ато'мный, рапо'рт)
Респект вам, очень интересно
Низкий поклон человеку, который несёт людям знания. Беда в том, что надо смотреть и писать, так что придется посмотреть ещё раз 😊
С наскока только шишки на лбу растут
Лучшее, что я видел в математике. Это очень красиво 🤩
Подача великолепная. Такого учителя надо в каждую школу
А мне вот, как раз именно подача не понравилась. Противнейший типок, чОкающий и несущий местами полнейшую ахинею
Двадцать пять лет назад я помню это понял, потом напрочь забыл, теперь понял снова и ... Кайф
Интереснейший человек, легкий, светлый, воодушевляющий, эрудированный, а главное с обостренным чувством гражданской ответственности за то, чем занимается, в данном случае это образование.
Видео смотрю , потому что я сейчас в колледже ЕПК, Елабуга. У нас в первые дни сразу же начали обучать теме Комплексные числа, с чей причиной я и смотрю это видео , потому что я не допонимаю слегка тему. Но за видео спасибо.
Чё там понимать? Комплексное число это двумерный вектор, вот и всё. А дальше работа с векторами по теореме Пифагора. Всё.
@@KpeBegko Семён Семёнович абсолютно прав. Это обычные векторы, для которых ввели одну дополнительную операцию интересным способом: умножение.
Действительное число можно легко представить как вектор на прямой с началом в точке 0.
Умножение действительных чисел - это растяжение длины одного числа кратно длине второго числа: 2*3 = 2+2+2.
А умножение комплексных векторов - это
1. растяжение длины одного вектора на длину другого вектора
и после этого дополнительный
2. поворот угла первого вектора на угол второго вектора.
Почему и как так случилось, что алгебраическое умножение чисел вида (a+bi) и (с+di), с принятием i*i = -1 с одной стороны и умножение комплексных векторов через операцию "кручу-верчу" с другой стороны - дают один и тот же результат? И при этом без исключений - это происходит всегда, т.е. они абсолютно идентичны. Как такое возможно: эти 2 операции - алгебраическая и геометрическая, как представляются на первый взгляд абсолютно из разных опер, а возможно даже из оперы и балета?!
Ответ простой: повезло.
Повезло, что в этот день на сцене были и танцоры балнта и оперные певцы - вместе они поставили спектакль нового формата - так появился мюзикл.
Повезло, что синусы и косинусы углов суммируются определённым способом - причина того, что сложная гемотрия так легко поддалась простой алгебре кроется:
1. в формулах cos(a+b) и sin(a+b)
2. не важно какой из векторов повернуть (можно повернуть первый вектор на угол второго или второй на угол первого): а+b = b+a, здесь a и b - углы векторов.
3. если есть три вектора, то не важно с какого вектора начнём операцию умножения, т.е.: (a*b)*c = a*(b*c), здесь a, b, c - комплексные вектора, а * - операция растяжения вектора с последующим поворотом.
А могло бы не повезти и не получилось бы комплексных векторов. Например, комплексные вектора в трехмерном пространстве не существуют именно по причине номер 3. Там нет полной ассоциативности. А вот в 4-мерном ассоциативность опять появляется.
Для того, чтобы комплексные вектора стали для Вас абсолютно "своими в доску" на доске проделайте следующую операцию:
1. возьмите два вектора,
2. умножьте их между собой по правилу "кручу-верчу"
3. по правилам суммы углов через синусы и косинусы найдите координаты получившегося вектора;
4. сгруппируйте получившиеся выражения (они очень длинные) по координатам
5. сравните с получившейся алгебраической формулой
и вуаля - они совпадут!
Проделайте это с векторами длины единица (и тогда Вы не покинете окружность радиуса единица - вычисления станут проще; а получить любой вектор из координат единичного - тееорема Пифагора).
По этой формуле можно также идти и справа налево: т.е. простое алгебраическое умножение, переходя через формулы суммы углов, и есть поворот одного вектора на угол второго вектора.
В математике, как в достаточно сложном языке, много совпадений и ещё больше несовпадений (вторых должно быть больше - из следствия теоремы Гёделя). Например,
ab - двузначное число, к примеру 23, если вычесть из ab его составляющие a и b, то обязательно получится число делящееся на 9.
Совпадение? И да, и нет:
ab = a*10 + b
ab - a - b = a*10 + b - a - b = a*9
В этом и заключается работа математика: неявное сделать явным.
Это позволяет разрешить парадоксы, например, один из простых - "ошибка выжившего". К комплексным векторам это искажение восприятия вполне применима.
@@vitalysarmaev Мощный коммент!
Я видел, как их мотивируют из предположения, что показательные функции и тригонометрические - похожи, ибо их формулы для сумм аргументов выглядят так:
*sin(α+β) = sin(α) × cos(β) + sin(β) × cos(α)* , и *b^(α+β) = (b^α)×(b^β)* . Автор говорил, что такая идея вполне может привести к поиску такого ε, что
*ε^x = Asin(x) + Bcos(x)* . Дальше подставить сумму аргументов и можно получить требование к существованию A, что *А² = -B, B=1.*
Я думаю, что тут даже не нужно знать, что *ε=exp( i )* , можно просто подставить x=1 и получить *ε = i sin(1) + cos(1)* . Формула уже фактически позволяет получить кучу всего.
И решения уравнений отчасти тоже)
Как Вы вставили формулы в коммент?!
@@Rexsinger греческая раскладка + доступ к символам юникода в браузере Хром.(правый клик > смайлы и потыкайте кнопки). Ещё если в ютубе окружить текст звёздочками, то он станет жирным, а если минусами, то зачёркнутым: *АМОГУС* , -АМОГУС-
@@nartoomeon9378 Строго говоря, браузер здесь ни при чём, хотя если доступ есть, можно и так. Греческие буквы и символы математических операций берутся из любого справочника Unicode, включая оригинальные таблицы стандарта. И для Windows и для Linux имеются приложения типа Character Map.
@@Micro-Moo Edge имеет функцию ввода символов юникода через меню по правому клику. Эта функция теперь уже давно есть в хромика. С него печатал. Ещё есть клавиатура StylishText такое зелёное - даёт возможность на андроиде создавать свои раскладки клавы с символами юникода. Суперполезное, но просит рекламу смотреть за это.
хмм, интересная идея
Я аж захотел вспомнить что там было с комплексными числами из универа. Браво🎉 очень захватывающиая история
ДЯКУЮ. СПАСИБО.ЗА ЛЕКЦІЮ ПО МАТЕМАИЦІ. ВСІМ -МИР ДІМ . МИР -ВАШИМ РОДИНАМ . ЗДОРОВЯ - УДАЧІ -Б Л А Г О В І С Т Е Й - ВЗАІМОПІДТРИМКИ ВІД ОДНОДУМЦІВ . ВІТА - ВІКТОРІЯ .
Самое понятное объяснение для нематематика.
Благодарю за интересную тему.
Большое спасибо!
Очень интересная и занимательная лекция, спасибо! Пример про джигита супер!
Комплексные числа нужны в дискретном преобразовании Фулье чтобы радиоприемники могли прочитать частоту и фазу синус сигнала и преобразовать это в биты байты и текст.
Ваш смартфон это делает пока вы в интернете капаетесь по WiFi.
Комплексные числа умножаются и складываются чтобы ты мог котов на ютубе смотреть.
Теоретические Основы Электротехники. Там эти комплексные числа расцвели во всей красе, и отравили столько студенческих мозгов )))
=) Я знал, что в комментариях под этим роликом должны найтись жертвы Льва Бессонова!
Ну почему-же отравили? Вы мой студент?
Алексей, ты красавчик!
Super! Very interesting!
Thank you very much!
Очень живое, интересное изложение )) Спасибо!
Да, когда-то меня комплексные числа приводили в ступор, - "это шо еще?!"
Но, кстати, именно на исторических примерах быстро дошло, что вещественные числа, это просто не все существующие числа. И тот, кто этого не понимает, много чего просто не будет уметь считать. Именно история проблемы и ее осмысления быстро движет к пониманию обнаруженного, в конце концов, истинного положения вещей. Это всегда так.
«Именно история проблемы и ее осмысления быстро движет к пониманию обнаруженного, в конце концов, истинного положения вещей. Это всегда так.» Вот только не всегда это так. В традиционном школьном преподавании химии исторический подход только запутывает.
Это смотря как видеть историю проблемы. Вся масса накопленных знаний в области химии, ко времени Менделеева уже явно подталкивала химиков к пониманию существования системы. Надо было только ее увидеть.@@Micro-Moo
@@andreyshnt3637 «Вся масса накопленных знаний в области химии, ко времени Менделеева уже явно подталкивала химиков к пониманию существования системы.» Я не об этом. Пример неудачный. Вот, например, в школе преподаётся понятие валентности таким образом, как будто атомистики и теории связи ещё не существует. Химиков это такой валентности аж корёжит. Это примерно как изложить почти всю астрономию на основе геоцентрической модели, а потом сказать, ну вот, а вообще есть ещё геоцентрическая модель, более продвинутая и современная, поэтому излагаем её после. В то время как излагать понятие о химической связи с современных позиций, со всякими электронными облаками и логичнее и проще. В своё время да, валентность была великим изобретением, хитрой абстракцией, позволяющей более или менее предсказывать поведение элементов в реакциях без знания о свойствах атомов, такой инвариант. И при этом нужна куча оговорок, мол, валентность это константа, но вот такие-то элементы обладают и такой и такой валентностью, это их хитрая особенность. Но зачем сейчас-то проходить такие зады? Им место на кружке по истории химии. Просто традиция такая сложилась.
К примеру, атом водорода. Электронное облако находится в "энергетической яме" за пределами которой вероятность нахождения электрона равна нулю. Так как энергия является штучной вещью, электрон не может терять ее постепенно и по этой причине не способен упасть на ядро. Схабав же конкретную штуку энергии, просто улетает куда-то вдаль. Получаем ион водорода. Вас не интересует, как в голову могла вдруг прийти мысль, что энергию правильнее всего измерять в штуках?@@Micro-Moo
Ох, просто в молодость окунулась. Когда - то с этими комплексными числами по небу летала. 😀🙋♀️
Ни черта в конце не понял, но очень интересно. Работаем над этим.
Савватеев лучший!
Блин, глаза зацепились за x,y,i.. Как это развидеть?)))))))))
Лекция шикарная!
Комплексные числа удобны тем что позволяют корректно представлять физические процессы. Переменные токи, напряжения, электромагнитные волны, все легко можно представить в виде вращающихся векторов (роторов) и лучше здесь подходит показательная форма A*exp(jx), про которую в ролике не было рассказано. При перемножении вращающихся векторов частота их вращений складывается, и показательная форма как раз удобна этим, что можно умножать вектора путем сложения аргументов комплексной экспоненты. В комплексной форме частота вращения вектора (скорость изменения фазы) может быть как положительной (против часовой стрелки), так и отрицательной (по часовой стрелке), поэтому если при перемножении сигналов ожидается, что частота может уйти в минус и важно учитывать этот знак, то нужно использовать квадратурное представление сигнала - алгебраическая форма в виде двух компонент - реальной и мнимой. А зачем вообще это нужно? Перемножать вращающиеся вектора? А как раз затем, чтобы делать перенос частот. Вся современная радиотехника использует этот подход и там сигналы состоят из двух компонент - действительной и мнимой (I, Q). Так переносят сигналы на несущую частоту (на которой ведется передача) и обратно (например, с несущей в область звуковых частот). Самое широко используемое преобразование - преобразование Фурье также использует комплексные числа для переноса частот сигнала на нулевую частоту. Путем перемножения на опорные квадратуры делается перенос для каждой компоненты спектра, полученные при перемножении комплексные отсчеты складываются и делятся на количество отсчетов. В результате сложения получается опять комплексное число (для каждой компоненты спектра). Возведя в квадрат мнимую и действительную части этого числа, сложив эти квадраты и взяв корень находят амплитуду (для каждой компоненты спектра). Прямо сейчас ваш Wi-Fi модем перемножает и складывает тысячи комплексных чисел в секунду, чтобы вы смогли прочитать этот текст
Вы, сударь, гурман! Согласен полностью.
А уж сколько комплексных чисел перемалывается при распаковке видео и аудио и выводе данных изображения на экран и звуковую карту, когда вы смотрите это видео - вообще ни в сказке сказать, ни пером описать.
Я знал, что этот видос есть в формате подкаста на Яндекс музыке!!!
В восторге от комментариев! Ржака! Спасибо профессор!
Очень понятно про комплексные числа (начиная с 22:00). МАСТВОТЧ ДЛЯ ПЕРВАКОВ! Узнал и понял больше чем за первый месяц уника!
Ничего не понял, но почему-то очень интересно)
Полчаса на отдном дыхании смотрятся. Очень просто и понятно о сложном. Савватеев гений популяризации
Спасибо!
Алексей просто КРАСССССССССССССАВЧИК!!!
Спасибо, очень доступное и подробное объяснение, показал пацанам, им тоже понравилось. Блин, если бы у меня был такой учитель в школе или в университете, я бы не пошел в бандиты, а стал бы математиком.
Как известно, киллеру математика нужна, чтобы правильно подсчитать патроны. Рэкетиру - чтобы подсчитать оптимальную дань с коммерса. И по вашей части найдется, где талант применить. Например, оптимальную температуру и глубину погружения паяльника.
Или требуемую площадь подошвы утюга, для достижения точки екстремума, в функции слива информации.@@sobolzeev
@@sobolzeev комплексные числа ни для чего из ваших примеров не нужны.
Очень понятно… Спасибо
А можно теперь такой же ролик с короткими и понятными пояснениями на ролик с короткими и понятными объяснениями комплексных чисел?
Кайфанул👍
И вроде все понятно, и в тоже время не понятно. А так в принципе понятно.
Вопрос😮 А поделитесь, пожалуйста, ссылкой на те видеролики, о которых Савватеев говорит? Я их уже полтора часа ищу на его бездонном канале и всевозможных веток-производных от него
Да, мне тоже интересно послушать более подробно про комплексные части корня кубического уравнения, почему они должны взаимоуничтожаться, давая только чисто вещественную часть.
@@FastStyx там оказывается от корней к углам переходят
@@FastStyx то есть танг угла фи равен мнимая часть поделить на действительную.
@@FastStyx m.ua-cam.com/video/4ttNyeqLdHY/v-deo.html&pp=ygU60YHQsNCy0LLQsNGC0LXQtdCyINC60YPQsdC40YfQtdGB0LrQvtC1INGD0YDQsNCy0L3QtdC90LjQtQ%3D%3D
@@RuslanKamchatka, да вот про это и хотелось поглядеть - о каком ролике речь?
Интересны результаты поиска «практическое применение кубического уравнения»😮
Интересно как чат GPT отреагирует на зарос "абсолютно бесполезные математические фокусы"
Неплохо, неплохо, но с применением мне кажется будет понятней. Мне кажется необходимо начинать с применения!
Так с него и начали - решение кубических уравнений.
С комплексными числами теорема Пифагора расширяется и имеет тот же вид для всех (любых) треугольников, а не только прямоугольных.
Нет.
Без истории про промежуточные мнимые числа при нахождении действительных корней кубического уравнения полноты нет.
Ан-нет, досмотрел. Всё на месте)
@@vp_arth Это вы классно выступили. Вот и я так же: начинаю писать комментарий, на фоне этого слышу аудио канал видео и вдруг понимаю, что пишу зря. 🙂(Но чаще получается, что не совсем зря.)
Лучше не удаляйте ваш комментарий, он хорошо смотрится.
Алексей Владимирович - нам в школе учитель говорила формулы для решения квадратного уравнения просто буквально в текстовом виде:
1) квадрат второго коэффициента без учетверённого произведения первого коэффициента на свободный член
2) второй коэффициент с противоположным знаком плюс минус корень из дискриминанта делённое на удвоенный первый коэффициент.
Не представляю как их можно запомнить иначе, если не иметь с ними дело каждый день. Я 79 года рождения, квадратные уравнения не решал со школы а эти "стихотворения" помню до сих пор. Формулы по любому забыл бы.
Вот например теорему синусов забыл, теорему косинусов забыл - ну примерно помню что там в теореме синусов три частных с углами в, теореме косинусов квадраты, удвоенное произведение на какую-то тригонометрическую функцию, вероятнее всего на косинус. Но вот точно воспроизвести без заглядывания в книгу и поручиться что правильно не рискнул бы.
Комплексные числа связаны с энергией и временем. Теория электрических цепей переменного тока. Как линейные так и нелинейные. i - крутая штука
А есть какие то уравнения для решения которых требуется еще большее расширение множества чисел? Или комплексных напрочь хватает?
гиперкомплексные числа, такие как кватернионы, октонионы, седенионы, дуальные числа, дуальные кватернионы и прочее. А еще можно вспомнить про различные системы счисления - хоть там цифры в виде символов те же самые, но числа устроены по-другому.
Комплексных хватает для решения всевозможных уравнений вида f(x) = 0, где f(x) есть функция вещественнозначная, а x переменная, которая изначально выглядит как вещественная, но при решении уравнения ищется в комплексной плоскости. Например для решения уравнения sin х = 5.
зависит от уравнения. есть уравнения на функции, которые и в комплексных сложно решить. Фактически остаются только те проблемы, которые либо нерешаемы без расширения основ математики, либо невозможные. *Но есть в этих числах изъян - нельзя построить порядок.* То есть - нормальной системы сравнения "больше/меньше" -- не построить, никогда. Даже не пробуйте. Уверен, для части от всех может и получится, но не для всех.
Если занудно: комплексные вектора - это поле - там действуют правила раскрытия скобок как в обычных числах - это называется поле - т.е. куда не кинь - везде посевы.
А все что выше размерности - это тела и ещё более слабые системы, там скобки просто так не раскроешь - в этом вся трабла.
@@nartoomeon9378 «Но есть в этих числах изъян - нельзя построить порядок.» Тоже мне изъян. Во-первых, в общем случае рассматриваются не упорядоченные множества, а частично упорядоченные. И тогда в комплексными числами всё в порядке (каламбур ненамеренный). 🙂Во-вторых, «те проблемы, которые либо нерешаемы без расширения основ математики, либо невозможные» - это не по теме. Вопрос был не о расширении основ математики, а более конкретно, о расширении множества чисел. И здесь даже всякие там кватернионы ни при чём. Комплексные числа можно рассматривать как обобщение действительных чисел для решения уравнений в вещественных чисел. Аналогия с обобщением положительных чисел путём введения отрицательных просматривается. А с кватернионами - нет. Или я её не вижу.
Определять i как корень из (-1) - плохая идея. Правельнее определять ее так: "i - это такое число, квадрат которого равен -1".
Трушин труу 🤘
А как тогда быть с числом -j? Его квадрат тоже равен -1
@@user-qr9is8xw9s, а что с ним не так? Если за j взять -j, то ничего не поменяется, просто все отразится относительно оси реальных чисел. Математика от этого не поменяется.
@@aranarus не так то, что вашему определению соответствуют два числа, а не одно
@@user-qr9is8xw9s, у вас нарушена логическая цепочка. Чтобы понять что такое -j нужно сначала определить что это такое j. И в этот момент вы путаете причину и следствие. Вы пытаетесь воткнуть в определение j агрегат, вытекающий из j.
Вау! Как все оказывается просто и естественно... Почему же в школе от меня это скрывали.
Ему повезло. Природа дала ему возможность видеть мир в цифрах. Можно позавидовать и попробовать увидеть то, о чем он говорит.
Интересно, существуют ли сейчас решения уравнений более высоких степеней, где проходится обращаться уже к полю чисел не на плоскости а в объëме и т.д. в большей размерности? Или комплексных чисел на плоскости хватает уже для любых задач?
Существует разумеется и "комплексные числа" более "высоких степеней" - кватернионы тому пример.
Но в подавляющем большинстве практических задач обычных комплексных чисел на плоскости хватает за глаза.
А кватернионы это не более чем любопытный казус.
@@Hobbitangleне верно. Грубо комплексы операции на плоскости , кварт. Это операции на 3х мерной сфере, т.е в пространстве.
@@user-bidesliker
"не верно"
Не верно, собственно говоря, что? Что обычных комплексных чисел за глаза хватает для решения большинства практических задач?
Ни чего непонятно, но очень интересно!
Тебе и с русским языком так же было, походу...
Коротко и понятно..... Об этом я говорить не смогу!
Очень круто по мнимые числа объяснили на канале vert dider
Не хватает очевидного указания, что корень кубического уравнения *обязан быть*, так как кубическая парабола в любом случае пересекает ось абсцисс!
это самое главное. Предположение существования ε, что верно ε^x = Asin(x) + Bcos(x) для некоторых А, В - остаётся предположением, оно слабо подкреплено.
сначала сами придумали, что нельзя извлекать корни из отрицательных чисел ("ведь нет такого числа, при возведении в квадрат которого получится отрицательное число"), а потом придумали целую систему для решения своей придуманной проблемы, просто введя число, при умножении на которое под квадратом появляется минус )) ох уж эти люди.
они понимали умножение, как кратное сложение. От этого ноги расли. Едва ли кто думал, что умножение может не иметь такого свойства, что 3+3=2*3 -- просто совпадение, а не необходимость.
@@nartoomeon9378 всё-таки речь о том, когда спокойно перемножали отрицательные числа, а не о заре появления арифметики)
@@Achmd даже тут. Условно говоря, произведение чисел может вести себя иначе и давать другие значения, при том была бы замкнутость.
- На том стоим.
Человек. 🙂
@@nartoomeon93783+3=3*2, а не 2*3=2+2+2. Хотя результат 6 и там и там, но математика любит точность.
Комплексные числа на курсе "вышки" и ТОЭ тоже одолевали этими числами, в части переменного тока. Помнится были курсовые задания по ТОЭ решение задач методом КЧ и другими методами, сравнение результатов.
Красавчег!
У да, ну да, как корень из - 1 не извлекается, так выкрутились. А на ноль по прежнему "делить нельзя"? Требую какой-то аналогичной i штуки!
Почему нельзя? Можно, "аналогичная штука" есть:) При делении конечного числа на ноль получается бесконечность, и это свой раздел математики - операции с бесконечными числами. Мне посчастливилось учиться в математическом классе, и со всей этой экзотикой: бесконечными, иррациональными и прочими, нас знакомили.
@@natalial8792ой, вы не правы, это предел, но там на 0 никто не делит, даже в определении написано
на 0 делить нельзя, потому что это никому не нужно, из за этого много противоречий выходило бы, операции над числами сломались бы и тд
да, при извлечении корня из -1 имеется возможность расширить числовые системы. Но при делении на 0 можно строго доказать, что эта операция в принципе невозможна((
Тогда я требую, чтоб вы не ходили, а летали, причем строго "конем"!
Деление на ноль просто не имеет смысла. Нуль и есть такакя фишка, что ввели в дополнение к остальным числам. Потому у него и свои правила.
В тривиальных полях возможно деление на 0. В нетривиальных полях деление на аддитивную единицу (в поле вещественных чисел ей соответствует 0) невозможно в силу несимметричности дистрибутивного закона относительно сложения и умножения.
Ответа на вопрос "Что такое комплексные числа?", заявленный в аннотации к видео, не приведено. Вместо этого озвучен стандартный математический набор, присутствующий в любом учебнике: сначала, первые 24 минуты, -- история возникновения комплексных чисел, потом -- их математика, т.е. операции и геометрическая интерпретация. Отдельного упоминания заслуживает тезис "Мы хотим превратить комплексные числа в поле (?!)" (24:17), доказательство единственности на 25:35 и апофеозом -- утверждение "Комплексные числа заполняют обычную плоскость" (34:21) -- вы это все серьезно? вы ТАК объясняете, ЧТО такое комплексные числа?..
А как бы вы объяснили ?
Согласен
@@user-zy4io4fw2sНапример, так, как в «Теории функций комплексного переменного» М.Лаврентьева и Б.Шабата. Очень логичное введение в комплексные числа с нуля.
Надо же, кто-то с ником Конь Впальто спросил меня (про книгу Лаврентьева и Шабата): "А как там объяснено , в двух словах?"
Пока писал ему ответ, его сообщение уже пропало.
Ну что я зря писал? Вот мой ответ на его вопрос.
________________________________________
Вначале человеку, ничего не слышавшему о комплексных числах, мнимой единице и тп., сообщают, что есть специальные числа z, отличные от действительных, форма записи которых z = x+iy, где x - действительная (вещественная) часть, а y - мнимая. На этом этапе не говорят, что i - корень из -1: это позволяет избежать недоумённых вопросов в будущем. Говорят, что i - это специальный символ, смысл которого станет ясен позднее. Даже знак + пока не означает операцию арифметического сложения, т.к. непонятно, что складывать. Это пока просто крестик, ещё один чёрный ящик. Далее рассказывают, что каждому числу соответствует точка на координатной плоскости (x,y), и становится ясно, что привычные действительные числа - часть комплексных (y = 0). Далее рассказывают о свойствах комплексных чисел, определяют операцию сложения. Если z1 = x1 + iy1, и z2 = x2 + iy2, то z1+z2 ≡ (x1+x2) + i(y1+y2). (Три черты - знак определения). Это определение можно принять, по-прежнему не зная смысл значка i и не зная смысл крестика. Просто сложили отдельно вещественную и мнимую части - получилось новое комплексное число, записанное по тем же правилам. Определяют операцию умножения: z1·z2 ≡ (x1·x2 - y1·y2) + i(x1·y2 + y1·x2). (Опять не знак равенства, а знак определения). Тут читатель может удивиться: зачем так наворотили? Такому читателю можно ответить (это уже моё, не авторов): полный смысл тебе раскроется, когда ты пройдёшь весь курс ТФКП, и всё разляжется по полочкам, а пока можно заметить, что так получится, если алгебраически перемножить два числа, представив их обычными двучленами, и заменить произведение i·i на -1. По-прежнему странно? Зачем? Что ж, мы вольны давать любые определения, не противоречащие логике, если на то есть веские причины, которые станут ясны потом. Определение не доказывается, не получается на выходе логической цепочки умозаключений. Определение есть определение - прошу любить и жаловать. А на основании этого определения уже получается, что если положить x1 = x2 = 0, и у1 = y2 = 1, то оказывается, что i·i = -1. (Возведение в квадрат объясняется потом).
Если же пойти по другому пути и сразу рассказывать, что i квадрат равно минус единице, а крестик обозначает операцию сложения, возникает законное недоумение: как это мы вдруг складываем x и y? Сложить их квадраты для получения квадрата модуля числа - это понятно. А сумма действительной и мнимой частей (да еще и корень из -1 прикреплён к мнимой) - это нонсенс.
Как-то так... В двух словах не получается.
@@yurigeshelin3659 спасибо за подробный ответ я по ошибке стёр свой собственный, прошу прощения.
29:42 а вот это гениально и красиво 😍
Умный человек рассказывает что-то сложное.
Что вижу я на доске? xyi
😅
На биологии та же фигня.
Учитель пишет, что у самок половые хромосомы XX, а у самцов XY.
Ученик видит, что самца от самки отличает ХУ
Очередное подтверждение превосходства математиков над людьми.
попросите любого математика исправить дверь. построить что-либо. Единицы сделают. Да, математики и физики в своей сфере есть очень умные, но, чтобы им жить, сколько не очень умных, должны создавать и создавать от памперсов до мыла, хлеба..
@@olgarakvest8881 вы не распознали юмор в моих словах и напрасно начали поучать.
@@user-xs1yd7uc1d МАТЕМАТИКОВ над ЛЮДЬМИ)))
Натуральные числа используются для счёта числа президентов. Тогда множество N есть 1 и 0. Вот и всё. )
немного спорно... вопрос "существует ли математика без людей?" - действительно сложный.
Включила, на 15й минуте уснула ❤ спасибо
Супер! Спасибо! Лет 15 наверное этого дела не касался и приятно было посмотреть и освежить :)
Вот думаю 6-летке своему показать, интересно поймет ли и будет ли интересно, пока у него только сложение и вычитание, вроде умножение примерно понимает, но тут вроде всего пара шагов вперёд
Ну да, что там такого. Даже в университетах пропускают построения целых, рациональных и вещественных. Переходят сразу к множеству комплексных
@@romanh219 «Даже в университетах пропускают построения целых, рациональных и вещественных.» Не верю. Или это какой-то совсем ублюдочный университет. Или вы что-то пропустили?
Мне тоже так кажется, всего пара шагов. Вот попробуйте и напишите, что получилось, будет очень интересно узнать. К сожалению, у меня в данных момент никаких шестилетних граждан под рукой не имеется.
Предпоследний шаг это объяснить почему минус на минус дает плюс. Не помню где вычитал, но вот хорошая аналогия:
В комнату входит добрый человек, доброта комнаты увеличилась. Входит злой человек, доброта уменьшалась. Добрый человек выходит, доброта уменьшилась. Злой человек выходит, доброта увеличилась.
@@Darkness_7193 «В комнату входит добрый человек, доброта комнаты увеличилась.» Какие же благоглупости! Вспомнил, как-то встретил школьника, который рассказал, что его учительница, очевидно полная дура, «объясняла» это так: «друг моего друга мой друг, враг моего врага мой друг...», ну, все сочетания. Наверное, если перебить всех педагогов и оставить одних учителей, математика расцветёт. 🙂
Натуральные числа используются для счёта числа президентов. Тогда множество N есть 1 и 0. Вот и всё. 😊
Так считать можно по-разному. В конкретный момент момент можно, а можно, например, по их количеству накопленному. Плюс, если в какой-то стране придумают закон, что можно двух президентов иметь, как было с двумя главными тренерами в одной футбольной сборной как-то, то уже 0, 1, 2. Ну а если президент мнимый? Или если считать его не по количеству людей на посту, а по его электорату, выраженному в дробях проголосовавших за него от общего количества проголосовавших, то президент будет рациональным. Ну а корень президента - это его и.о., т.е. когда за него исполняют обязанности, то есть возможность, что президент может быть даже иррациональным.
@@user-ts1kn7xx6j
Нашего резидента считают только в двоичной системе 1 и 0, а на выборах только мнимыми числами. Считают действительно по-разному, применяя двойную бухгалтерию. ))
Так плохо объяснять такие вкусные вещи. и не суметь доступно в 10-и простых предложениях для 5-и классника объяснить досточную плотность числовой прямой и тем самым компактность любого отрезка - это значит человек сам не очень понимает в математике.
Савватеев как обычно пытается объяснить математику тем, кто уже и так знает математику. А кто не знает - ничего не поймёт.
Не слушаейте Савватеева - не тратьте время.
Если вам про комплексные числа говорят "под квадратным корнем минус один", то бегите от такого преподавателя - он не учитель, он недоразумение в педагогике.
Никогда не думал, что такое скажу: получается, лучшее, что можно сделать для математики это калёным железом выжечь из неё любые следы педагогики. 🙂
@@Micro-Moo железо кали́ли, кали́ли, да не вы́калили.
- Национальность?
- Татарин.
- Профессия?
- Калю.
Математики как и историки заходят издалека)).. спасибо!
Если еще проще, то корень из -1 это не невозможное число, а просто число отсутствующее на шкале действительных.
И его можно вернуть в область действительных, возведя обратно в квадрат.
И в некоторых формулах это придется делать, поэтому получив в качестве результата корень из -1 его нельзя выбрасывать со словами "нет ответа", потому что с этим результатом можно, а регулярно и нужно работать.
Вот с этого стоило начать и тогда действительно было б просто и понятно.
А вот дальше можно уже добавить всю эту заумь уже просто в качестве примера для тех, кому хочется конкретики.
PS. Некоторые просто спрашивают, если вроде бы отсутствующее число корень из -1 заменяют значком j и называют ответом, то почему бы такой же вроде бы несуществующий результат как 1/бесконечность не заменить так же на какую-нибудь букву и не назвать ответом.
А суть в том, что j можно вернуть обратно в область действительных чисел, а 1/беск - нет, поэтому оно даже мнимым числом не является.
Есть ещё трюк для решения всяко более чем квадратных уравнений когда изменением масштаба собирают все корни ближе к нулю, хвосты всё равно улетают в бесконечность и не интересны, и заменяют потом икс на синус, и потом решают полученную тригонометрию. А тригонометрия всё равно комплексная по формулам Эйлера. Замечательно, спасибо за лекцию.
вы про какие-то численные методы
@@nartoomeon9378 Да, это всё в большинстве случаев сводится к вычислению какой-нибудь иррациональности. Дело не в этом, дело в красоте. Я пока не знал суть метода, не понимал откуда из многочлена появляются арксинусы, а они могут. Если Алексей Владимирович расскажет нам лекцию как это бывает, то это тоже будет замечательная лекция.
@@LWWWP я видел формулу корней для уравнения 5й степени через специальный тэта-функции от коэффициентов. А уже они наверное могут быть получены тригонометрическими рядами.
Спасибо огромное вам за видео, очень помогли, я какраз не понел тему на уроке. Всё очень хорошо объяснили, очень подробно, спасибо, храни вас Бог!
русский еще учить надо
Судя по построению фразы этот ученик ещё в прошлом тысячелетии школу закончил. В советском союзе
Вот это для меня уже дико)))
Теорема о "возможной длине пути для хомяка в колесе".
Для поля еще нужно доказать, что частное является единственным. :) Т.е., пусть Y != 0, тогда если X=Y*Z1 и X=Y*Z2, то тогда Z1=Z2.
P.S. На мехмате МГУ в 94 вводили комплексные числа как множество упорядоченных пар действительных чисел, над которыми введены операции кольца. Тогда оказывается, что C является еще и полем, можно брать пределы, производные, итд. Т.е. C напрямую конструируется из R, не нужно привлекать никаких новых аксиом.
P.P.S. Вот для перехода от Q к R, там да, новая аксиома нужна.
29:55 напомнило скалярную математику/ геометрию, хотя учёбу закончил давно.
27:46 Представление числа преналежащего пространству, плоскости, полю - суть "профанация".
Любое число из N, R, Q, либо Z можно представить в форме проекции на всё той же прямой, но направленной не поперёк, тогда мы распологаем проекцией "задуманного" числа отмеченного на мнимой прямой из пересечения перпендикуляра к таковой проходящего через наблюдателя, нас. Отсюда прочие числа пренадлежат, либо треугольнику, если число чёткое, либо "градиенту, если "комплексное". Если прямая состоит из равноценых точек с равноценным диапазоном равноценных "не мнимых" отрезков между числами, то либо мы, как наблюдатель находимся единовременно в каждой точке по отношению ко множеству каждого из чисел и "наблюдатель" является абсоллютно параллельной прямой, что есть "бесконечность", либо множество "чисел" пренадлежит к "окружности" с бесконечным радиусом по отношению к наблюдателю, что есть противоречие определения "прямая" и определения "множество чисел" и "бесконечность" в частности.
Комплексные числа возможно определить, как инверсию по отношению к "определяемому" числу. Так, как корень из минус единицы не извлекаем, тогда его можно представить, как несуществующий корень всех чисел, кроме корня из единицы, которая явно противоречит инверсии самой себя и пренадлежит диапазону содержащему в том числе и "ноль".
Не совсем понятно, но хорошо, что коротко.
06:52 вот мне тоже с моей памятью всегда было проще понимать и выводить формулы, нежели их учить 😅 пошел смотреть кватернионы 😏 спасибо за занимательную алгебру 💗
Ничего не понятно, но очень интересно.
Больше всего меня радует, не поняв что есть -1 мы переходим к комплексным числам...Внимание вопрос!!!! "А был ли мальчик?"жизнь Клима....
Ну так поймите сначала, потом переходите. Вы куда-то спешите?:)
8:06 - скажите пожалуйста как мы перешли от верхней строки к этому... и куда делся коэфицент 'с'. не могу понять
Великолепно! Снимаю шляпу!
Когда-то давно в школе у нас был чем-то похожий преподаватель, который так же блестяще объяснял. А вот в вузе, увы. желание заниматься математикой было отбито напрочь совершенно бездарным преподаванием...
Корень из корня меня убил😊😊😊
Раньше подступался к комплексным но нисего не понял, здорово что есть такой наглядный материалл и математик)🎉
Корень из минус единицы равен половине нуля.
Ведь функция игрек равно i квадрат не имеет своим значением минус единицу.
Однако при игрек, стремящемся к минус единице, i стремится к нулю.
Возьмём производную левой и правой части. Получим два i равно нулю. Таким образом i равен ноль разделить на 2.
Лекция классная. И профессор предельно оптимистичный. Но почему-то я никак не мог отделаться от клешовой мысли о фанатиках-ученый. А про комплексные числа еще сам Карл Маркс долго раздумывал, но пришел к простому выводу, что это затейлевая игра умов математиков и не более.