Una pregunta, estuve mirando con tu enlace de amazon el libro de ¿Que es la matematica? i aparece en inglés. Sabes alguna forma conseguirlo en español?
¡Que casualidad! Acabo de ver tu saga sobre el infinito y está genial. Hemos enlazado en nuestro vídeo tu demostración usando el argumento de la diagonal para que se pueda ver la demostración original. Me ha gustado mucho la parte sobre las paradojas del infinito y Aristóteles. Estamos de hecho preparando un vídeo sobre aleph sub cero también con algo de intersección con el segundo vídeo de tu saga y aprovecharemos para enlazar tus vídeos con las tarjetas y que se complemente. ¡Habría que hacer algo conjunto 🤣!
Buen video, me sorprende que un canal tan pequeño tenga tanta calidad. Espero que el canal crezca y que otras personas descubran estos videos tan geniales.
¡Hola Sergio! Llevamos tiempo preparando un vídeo sobre los teoremas de incompletitud pero aun estamos trabajando en el guion. Tardaremos un tiempo en terminarlo pues queremos hacer animaciones trabajadas como en el víde que tenemos sobre la paradoja de Russell. ¡Saludos y felices fiestas!
Acabo de descubrir tu canal y me encantó!! Soy estudiante de matemáticas y me parece genial la forma en la que explicas cada cosa, además, me sirve para tener una visión menos abstracta de algunos temas. Sigue así!! 😁💯
¡Muchas gracias Andrés! Precisamente la idea de nuestro canal es dar un visión de muchos conceptos que se estudian de forma abstracta dentro del contexto en que fueron creados. ¡Un saludo!
¡Gracias Arnaldo! Iremos publicando más vídeos con detalles interesantes que encontremos en este libro y otros recomendados que iremos añadiendo a nuestra librería de Amazon: www.amazon.es/shop/archimedestube ¡Saludos!
Al tipo que se le ocurrió esa demostración es demasiado crack. Si estaba la clave en nuestras narices todo el tiempo y no (o al menos yo) nos dimos cuenta.
Hola Urtzi, ¿podrías explicar con más detalle en 1:56 por qué no importa en el argumento que estés "midiendo demás infinitas veces" con todas las bolas que se salen del intervalo o que se intersecan?
¡Hola Diego! Por que la afirmación que nos lleva a la contradicción es que 1 es menor o igual que la suma de todos los diámetros. Esto se tiene porque los intervalos alrededor de cada punto a_n recubren el intervalo (0, 1) al haber una biyección de ℕ en (0, 1). Es decir tan solo los centros a_n de todos los intervalos de diámetro 1/10^n ya llenan, esto es, recubren el intervalo (0,1) y como alrededor de cada uno de estos puntos tenemos un intervalo de longitud 1/10^n sumar todas estas longitudes aseguran que 1
Yo me hice con la versión en inglés también que incluye el prefacio y un capítulo extra con descubrimientos más recientes posteriores a la edición antigua como el teorema de los 4 colores o el último teorema de Fermat que aparecen todavía como conjeturas en la edición antigua.
¡Gracias Josermi! De hecho, la demostración tiene implicaciones en Teoría de la medida como el propio Courant comenta tras la demostración del libro: "El razonamiento del párrafo anterior sirve para establecer un teorema de gran importancia en la teoría moderna de la medida. Reemplazando los anteriores intervalos por otros más pequeños de longitud ε / 10^n, donde ε es un número positivo arbitrariamente pequeño, se ve que los puntos de todo conjunto numerable de la recta pueden ser incluidos en un conjunto de intervalos de longitud total igual a ε/9. Puesto que ε es arbitrario, dicha longitud total puede ser tan pequeña como se quiera. En la terminología de la teoría de la medida expresamos este hecho diciendo que un conjunto numerable de puntos tiene medida nula." ¡Saludos!
Yo solo conocia dos tipos de demostraciones para demostrar la innumerabilidad de los numeros reales. El metodo de la diagonal de Cantor y el metodo de los intervalos encajados, ambos hacen uso del metodo de reducción al absurdo. Hay dos detalles que me hace un poco de ruido con la demostración presentada en el video y es la siguiente: Todos sabemos que los numeros reales y los numeros racionales son densos, osea que entre dos numeros cualesquiera de un conjunto denso pueden encontrarse infinitos numeros que pertenecen a dicho conjunto. En esta demostración se asume como hipotesis el negado de la tesis, osea que asumimos que los reales son numerables y por lo tanto podemos crearnos una lista infinita emparejando cada numero real con cada numero natural. Luego se le asocia a cada punto en el intervalo 0-1 una bola cerrada con radio igual a 1/10^n donde n es el natural que empareja a dicho punto real, despues se suman todos los segmentos, aqui todo bien, el primer detalle esta en dar por hecho que la union de todos esos intervalos cubre todo el intervalo, digo esto porque cuando se trata de sumar segmentos finitos es trivial e intuitivo pensar eso, pero cuando se trata de una union infinita de segmentos con longitudes cada vez mas pequenas no es facil de imaginarselo, por lo tanto no veo mucha seguridad en establecer que su suma deba ser necesariamente mayor o igual que 1. En la demostración la suma de todos esos intervalos dio como resultado 1/9 que es menor que 1 por lo tanto se llega a una contradicció porque se contradice con la desigualdad anterior que fue asumida como cierta. Por lo tanto se concluye que los reales son inumerables. Hay veces que puede pasar que se llegue a una conclusión correcta a traves de un razonamiento o demostración incorrecto. Ahora el segundo detalle es el siguiente: Yo puedo llegar a la misma conclusión con los numeros racionales debido a que ambos son densos. Osea que yo puedo demostrar con el mismo razonamiento expuesto en el video que los numeros racionales son inumerables, cosa que no es verdad ya que esta demostrado que existe una función biyectiva que asocia a cada natural con cada racional.
Me parece muy interesante lo que comentas: “el primer detalle está en dar por hecho que la unión de todos esos intervalos cubre todo el intervalo” Esto se tiene pues en la unión U (a_n - 1/10^n , a_n + 1/10^n) están en particular todos los centros de los intervalos, esto es, todos los números reales a_n. Pero al suponer que tenemos una función biyectiva ℕ --> (0, 1) cualquier número real x del intervalo es de la forma a_m para algún número natural m y por tanto todo número real x del intervalo está en la unión U (a_n - 1/10^n , a_n + 1/10^n) . “Yo puedo llegar a la misma conclusión con los números racionales debido a que ambos son densos” Eso no lo tengo tan claro pues el anterior argumento para garantizar que la unión de todos los intervalos recubre el intervalo (0, 1) utilizando que los centros de los intervalos ya lo recubren no funciona. Tomemos un número irracional z en el intervalo (0,1), es cierto que existe una sucesión de números racionales q_n que converge al número z pero cómo sabemos que los intervalos asignados por la biyección entre ℕ y los racionales de (0,1) verifica que z pertenece a alguno de estos intervalos. ¿Cómo podemos asegurar que todo irracional z está en alguno de los intervalos asignados a los números racionales por medio de la biyección con ℕ? No veo cómo el hecho de que el conjunto de números racionales sea denso lo garantiza. ¡Un saludo!
No he profundizado sobre esta demostración, pero que tal si en vez de 1/10 el cual evidentemente me conduce a un error, se ubiese tomado 1/2, o 6/10... No nos llevaría al mismo error. Espero revisar esta idea
Pero que 1/2 no lleve a contradicción solo significa que con 1/2 no podemos demostrar la tesis buscada. De hecho el razonamiento más fructífero en terminos de obtener una conclusión más fuerte es sustituir 1/10 por valores más pequeños. El propio Richard Courant comenta en el libro "¿Qué es la matemática?" tras la demostración lo siguiente: "El razonamiento del párrafo anterior sirve para establecer un teorema de gran importancia en la teoría moderna de la medida. Reemplazando los anteriores intervalos por otros más pequeños de longitud ε / 10^n, donde ε es un número positivo arbitrariamente pequeño, se ve que los puntos de todo conjunto numerable de la recta pueden ser incluidos en un conjunto de intervalos de longitud total igual a ε/9. Puesto que ε es arbitrario, dicha longitud total puede ser tan pequeña como se quiera. En la terminología de la teoría de la medida expresamos este hecho diciendo que un conjunto numerable de puntos tiene medida nula." Un saludo
@@ArchimedesTube gracias por responder... Piensa en esto, 1) supongamos que el intervalo que hubiesemos tomado fuera (0, 0.1) el cual tiene el mismo cardinal en la prueba de Cantor que (0,1), ahora que, si tomamos 1/10 nos da que: En intervalo (0, 0.1) cumple que: 0.1
@@ArchimedesTube sobre esta idea que me expresaste del libro de Richard: "En la terminología de la teoría de la medida expresamos este hecho diciendo que un conjunto numerable de puntos tiene medida nula" que importancia tiene este hecho ya que el Conjunto de Cantor tiene medida nula y este tiene el cardinal del continuo. Necesito algo más para discriminar, tengo dos conjuntos diferentes y diferentes alef, pero con medida nula. No funciona como criterio.
Claro, al hacer corresponder un intervalo de radio diferente de cero sobre cada punto de un conjunto qua ya cubrían todo el intervalo (0 ,1), esa suma de intervalos debe ser mayor que o igual al intervalo (0,1), cosa que no se cumple, contradiciendo la condición de biyección. ¡Si me encantó!, gracias.
Farid Badillo. Efectivamente esta demostrado. Cantor creia que no era posible pero años mas tarde logró demostrarlo y tuvo que abandonar su antigua e intuitiva creencia.
@@danielandreshernandezflori9899 Interesante! Entonces me daré la tarea de investigarlo. Llevo dos años estudiando matemáticas y la verdad es hermoso encontraste con este tipo de teoremas...
No es difícil de demostrar. De hecho esa biyección dio también lugar a una crisis en las matemáticas al poner en cuestión el concepto de dimensión. Los trabajos posteriores del propio Cantor, Peano, Poincaré y Brouwer (entre otros) son el origen de hecho de la Topología que culmina con el Teorema probado por Brouwer en 1910 de la invarianza del dominio. Pronto publicaremos un vídeo hablando de todos estos temas. ¡Saludos y felices fiestas!
Wow! Ese Libro tiene un nivel superior. Me preguntaba si es posible conseguir su correo; porque acabo de leer el capítulo 3 de ese libro y tengo una pregunta puntual.
@@ArchimedesTube. Tiene toda la razón, el correo está en "Más información", pero en días pasado lo había buscado y no aparecía. De todos modos, muchas gracias por responder y por la información. Feliz Navidad y un próspero 2021...
La contradiccion esta en suponer que puedes recubir el intervalo (0,1) con bolas de razon 1/10. Con razon 1/2 en adelante se puede recubrir el intervalo.
¡Cierto! De hecho, tras la demostración, Courant comenta en el libro: "El razonamiento del párrafo anterior sirve para establecer un teorema de gran importancia en la teoría moderna de la medida. Reemplazando los anteriores intervalos por otros más pequeños de longitud ε / 10^n, donde ε es un número positivo arbitrariamente pequeño, se ve que los puntos de todo conjunto numerable de la recta pueden ser incluidos en un conjunto de intervalos de longitud total igual a ε/9. Puesto que ε es arbitrario, dicha longitud total puede ser tan pequeña como se quiera. En la terminología de la teoría de la medida expresamos este hecho diciendo que un conjunto numerable de puntos tiene medida nula."
Es una buena pregunta. La demostración utiliza cuatro elementos: 1) La hipótesis de partida de que existe una biyección entre el conjunto de números naturales ℕ y el conjunto de puntos del intervalo (0, 1), f : ℕ ---> (0, 1) f(n)=a_n 2) Que la familia de intervalos de diámetro 1/10^n y centro a_n recubre el intervalo (0, 1). Esto es, (0, 1) ⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n). Esto es así pues para todo número real x ∈ (0 , 1) por ser f una biyección se tiene que f(N) = a_N = x para cierto N ∈ ℕ y por tanto x ∈(a_N - 1/2 10^N , a_N + 1/2 10^N)⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n). 3) Que la suma de los diámetros de todos los intervalos anteriores es 1/ 9, ya que forman una serie geométrica de primer término 1/10 y razón 1/10. 4) Que la medida del intervalo (0, 1) es 1. De este modo la inclusión (0, 1) ⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n) implicaría que 1 ≤ 1 / 9 lo que supone una contradicción fruto de suponer que existe la biyección f. Podríamos tratar de adaptar esta demostración para probar que dada una biyección f : ℕ ---> (0, 1) \ 𝕁 del conjunto de números naturales en los números racionales del intervalo (0 , 1) llegamos también a una contradicción. Pero el paso 2) no está garantizado. Si los puntos f(n) = a_n representan ahora todos los racionales del intervalo (0, 1), dado un número z ∈ (0, 1) irracional arbitrario, es cierto que existe una subsucesión de a_σ(n) que converge z, pero no podemos asegurar que alguno de los intervalos (a_σ(n) - 1/2 10^σ(n) , a_σ(n) + 1/2 10^σ(n)) contenga a z. Es cierto que la unión de todos los intervalos U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n) recubre (0, 1) \ 𝕁 el conjunto de racionales del intervalo (0 , 1), pero entonces el punto que falla es el 4) ya que la medida de (0, 1) \ 𝕁 es nula y la desigualdad 0 ≤ 1 / 9 no supone una contradicción. De hecho, el mismo Richard Courant comenta en el libro "¿Qué es la matemática?" tras la demostración lo siguiente: "El razonamiento del párrafo anterior sirve para establecer un teorema de gran importancia en la teoría moderna de la medida. Reemplazando los anteriores intervalos por otros más pequeños de longitud ε / 10^n, donde ε es un número positivo arbitrariamente pequeño, se ve que los puntos de todo conjunto numerable de la recta pueden ser incluidos en un conjunto de intervalos de longitud total igual a ε/9. Puesto que ε es arbitrario, dicha longitud total puede ser tan pequeña como se quiera. En la terminología de la teoría de la medida expresamos este hecho diciendo que un conjunto numerable de puntos tiene medida nula." ¡Un saludo y felices fiestas!
Me gustó mucho esta "simple" solución, es increible que con un poco de análisis matemático y lógica con rigor se descarte algo tan discreto como el cardinal de los naturales jaja, y descartar la relación con otro conjunto
Hola Sebastián José! La demostración parte de suponer que existe una biyección f : ℕ --> (0, 1) de modo que para todo x ∈ (0 , 1) existe un único un número natural N_x ∈ ℕ tal que f ( N_x ) = x. Tomamos un subintervalo de centro a_n = f(n) para todo n ∈ ℕ de modo que los centros de los subintervalos ya recubren todo el intervalo (0, 1) y por tanto los subintervalos con más razón cubren todo (0, 1). Un saludo!
El argumento presupone que si cubrimos todos los puntos del intervalo con segmentos (de longitud no nula -por si admitimos segmentos tipo (a, a)-), reconstruimos un super-intervalo del intervalo. Uno diría que si uno cubre con segmentos de longitud no nula todos los racionales en (0, 1), uno reconstruye también un super-intervalo de (0, 1); sin embargo, como sí que hay una biyección entre los naturales y los racionales en (0, 1), el mismo argumento puede usarse para demostrar que no. Confieso que no veo claro.
Hola Laureano, Es una buena pregunta, pues parecería que con el argumento del vídeo se puede probar que los racionales del intervalo (0, 1) no son numerables. La demostración utiliza cuatro elementos: 1) La hipótesis de partida de que existe una biyección entre el conjunto de números naturales ℕ y el conjunto de puntos del intervalo (0, 1), f : ℕ ---> (0, 1) f(n)=a_n 2) Que la familia de intervalos de diámetro 1/10^n y centro a_n recubre el intervalo (0, 1). Esto es, (0, 1) ⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n). Esto es así pues para todo número real x ∈ (0 , 1) por ser f una biyección se tiene que f(N) = a_N = x para cierto N ∈ ℕ y por tanto x ∈(a_N - 1/2 10^N , a_N + 1/2 10^N)⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n). 3) Que la suma de los diámetros de todos los intervalos anteriores es 1/ 9, ya que forman una serie geométrica de primer término 1/10 y razón 1/10. 4) Que la medida del intervalo (0, 1) es 1. De este modo la inclusión (0, 1) ⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n) implicaría que 1 ≤ 1 / 9 lo que supone una contradicción fruto de suponer que existe la biyección f. Podríamos tratar de adaptar esta demostración para probar que dada una biyección f : ℕ ---> (0, 1) \ 𝕁 del conjunto de números naturales en los números racionales del intervalo (0 , 1) llegamos también a una contradicción. Pero el paso 2) no está garantizado. Si los puntos f(n) = a_n representan ahora todos los racionales del intervalo (0, 1), dado un número z ∈ (0, 1) irracional arbitrario, es cierto que existe una subsucesión de a_σ(n) que converge a z, pero no podemos asegurar que alguno de los intervalos (a_σ(n) - 1/2 10^σ(n) , a_σ(n) + 1/2 10^σ(n)) contenga a z. Es cierto que la unión de todos los intervalos U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n) recubre (0, 1) \ 𝕁 el conjunto de racionales del intervalo (0 , 1), pero entonces el punto que falla es el 4) ya que la medida de (0, 1) \ 𝕁 es nula y la desigualdad 0 ≤ 1 / 9 no supone una contradicción. De hecho, el mismo Richard Courant comenta en el libro "¿Qué es la matemática?" tras la demostración lo siguiente: "El razonamiento del párrafo anterior sirve para establecer un teorema de gran importancia en la teoría moderna de la medida. Reemplazando los anteriores intervalos por otros más pequeños de longitud ε / 10^n, donde ε es un número positivo arbitrariamente pequeño, se ve que los puntos de todo conjunto numerable de la recta pueden ser incluidos en un conjunto de intervalos de longitud total igual a ε/9. Puesto que ε es arbitrario, dicha longitud total puede ser tan pequeña como se quiera. En la terminología de la teoría de la medida expresamos este hecho diciendo que un conjunto numerable de puntos tiene medida nula." Un saludo
@@ArchimedesTube Muchas gracias. Creo que esta es la clave: "Pero el paso 2) no está garantizado. Si los puntos f(n) = a_n representan ahora todos los racionales del intervalo (0, 1), dado un número z ∈ (0, 1) irracional arbitrario, es cierto que existe una subsucesión de a_σ(n) que converge a z, pero no podemos asegurar que alguno de los intervalos (a_σ(n) - 1/2 10^σ(n) , a_σ(n) + 1/2 10^σ(n)) contenga a z". Esos racionales se acercan a z tanto como queramos, de modo que podríamos pensar que sea cual sea n en 1/10^n, habrá alguno que esté a menos distancia de z que eso, por tanto z quedará cubierto. Pero eso no está garantizado: conforme los racionales se acerquen a z los intervalos correspondientes pueden igualmente hacerse arbitrariamente cortos. Un saludo.
Yo creo que la contradicción viene de suponer que un intervalo de 9/10 No puede dividirse infinitamente y reacomodarse para cubrir un intervalo mayor. Pensemos en el teorema de Banach Tarsky.
Yo hice una teoría de esto y me gustaría que le heches un ojo, espero no estar diciendo una tontería, esta se basa en la cualidad de los números decimales que decrecen poniendo ceros a su izquierda y se mantienen igual poniendo ceros a su derecha, y por el contrario los números naturales aumentan poniendo ceros a su derecha y se mantienen igual poniendo ceros a su izquierda; Yo lo llamo "el espejo decimal", que consiste en poner 2 espejos uno frente al otro y en uno de ellos escribir los números naturales del 1 al infinito, mientras que en el otro un "0." se sumará antes del reflejo de cada número natural; de esta manera tendremos un decimal del conjunto (0,1) para cada natural existente, pero escrito al revés, convirtiendo los números que son múltiplos de 10 en números decimales con ceros a su izquierda, y si escribimos un número decimal de el conjunto (0 ,1) en el segundo espejo, nos mostrará un número natural escrito al revés en el primer espejo, de esta manera tendremos un número natural para cada decimal (0,1) incluyendo el nuevo número que se crea usando la "diagonalización de Cantor", y demostrando que la infinidad de números reales entre 0 y 1 es igual a la infinidad de números naturales
No me convence la demostración. Si en lugar de partir del conjunto ℕ cojes el conjunto ℝ y aplicas la misma lógica la conclusión es la misma; que ℝ no llena el intervalo (0,1). Muy buen canal. (Esto es una conclusión mía, no una valoración de tu trabajo).
Gracias por el comentario. Como indicas, parece que con el argumento del vídeo se puede probar que los racionales del intervalo (0, 1) no son numerables. La demostración utiliza cuatro elementos: 1) La hipótesis de partida de que existe una biyección entre el conjunto de números naturales ℕ y el conjunto de puntos del intervalo (0, 1), f : ℕ ---> (0, 1) f(n)=a_n 2) Que la familia de intervalos de diámetro 1/10^n y centro a_n recubre el intervalo (0, 1). Esto es, (0, 1) ⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n). Esto es así pues para todo número real x ∈ (0 , 1) por ser f una biyección se tiene que f(N) = a_N = x para cierto N ∈ ℕ y por tanto x ∈(a_N - 1/2 10^N , a_N + 1/2 10^N)⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n). 3) Que la suma de los diámetros de todos los intervalos anteriores es 1/ 9, ya que forman una serie geométrica de primer término 1/10 y razón 1/10. 4) Que la medida del intervalo (0, 1) es 1. De este modo la inclusión (0, 1) ⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n) implicaría que 1 ≤ 1 / 9 lo que supone una contradicción fruto de suponer que existe la biyección f. Podríamos tratar de adaptar esta demostración para probar que dada una biyección f : ℕ ---> (0, 1) \ 𝕁 del conjunto de números naturales en los números racionales del intervalo (0 , 1) llegamos también a una contradicción. Pero el paso 2) no está garantizado. Si los puntos f(n) = a_n representan ahora todos los racionales del intervalo (0, 1), dado un número z ∈ (0, 1) irracional arbitrario, es cierto que existe una subsucesión de a_σ(n) que converge a z, pero no podemos asegurar que alguno de los intervalos (a_σ(n) - 1/2 10^σ(n) , a_σ(n) + 1/2 10^σ(n)) contenga a z. Es cierto que la unión de todos los intervalos U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n) recubre (0, 1) \ 𝕁 el conjunto de racionales del intervalo (0 , 1), pero entonces el punto que falla es el 4) ya que la medida de (0, 1) \ 𝕁 es nula y la desigualdad 0 ≤ 1 / 9 no supone una contradicción. De hecho, el mismo Richard Courant comenta en el libro "¿Qué es la matemática?" tras la demostración lo siguiente: "El razonamiento del párrafo anterior sirve para establecer un teorema de gran importancia en la teoría moderna de la medida. Reemplazando los anteriores intervalos por otros más pequeños de longitud ε / 10^n, donde ε es un número positivo arbitrariamente pequeño, se ve que los puntos de todo conjunto numerable de la recta pueden ser incluidos en un conjunto de intervalos de longitud total igual a ε/9. Puesto que ε es arbitrario, dicha longitud total puede ser tan pequeña como se quiera. En la terminología de la teoría de la medida expresamos este hecho diciendo que un conjunto numerable de puntos tiene medida nula." Un saludo!
Hola Pablo, Pero lo que quieres dar es una biyección entre el conjunto de números naturales ℕ y el conjunto de números racionales ℚ. Esto si es cierto, de hecho en el vídeo del enlace damos dicha biyección explícita: ua-cam.com/video/itw1K0BOzKw/v-deo.html Lo que no es cierto y se prueba en el vídeo de estos comentarios es que los números REALES entre 0 y 1 se puedan poner en biyección con los números naturales. De todos modos la función que das en el comentario tiene algunos problemas. Fijate que 1 1/2 pero también 11 3/6 = 1/2, por lo que tu función no es inyectiva y por tanto no es biyectiva. Saludos
Pero esto es una variante desordenada del problema de aquiles y la tortuga. Generas una serie que sabes que en infinitos pasos NO va a llegar a un punto. La distancia a la que se aleje es arbitraria según la creatividad aritmetica. Bien sea 1/2 o 1/10. Curioso que el resultado final este cerca de la razón 1/10 vs 1/9. Pon los intervalos ordenados... Y el 1/100 ponlo a partir de 1/10, y el 1/1000 a partir de 1/100... Nunca tocarás 1/9 y todos los intervalos, consecutivos, están en (0, 1/9). Solo es una reformulación ingeniosa del problema de aquiles y la tortuga. Con un factor de division que te aleja AUN mas de la meta final. No es concluyente, pues deberías demostrar, que lo contrario es imposible. Dado lo paradojico del concepto de infinito, no basta con demostrar que hay dos naturales por cada par, para decir que los pares tienen menos elementos. Me explico? Recuerdo que una vez hice lo contrario, cogí un conjunto con el mismo cardinal que el continuo, y meti todos sus elementos en una estructura donde estaban TODOS. Luego lo estudié nivel por nivel, teniendo la estructura aleph_0 niveles, lo cual se presta a la induccion. La misma estructura contenia TODOS los elementos de otro conjunto, esta vez enumerable. Y resulta,que en TODOS los infinitos niveles, en ninguno, habían mas elementos del primero, "continuo", que del segundo, "enumerable". Estos "trucos" se pueden hacer a la inversa, y no son concluyentes. Y lo puedo hacer para el conuunto (0,1)... y te hago lo inverso... te demuestro que te va a resultar imposible demostrar que hay mas puntos reales en esa linea, que puntos naturales. POR ESO se debe demostrar que lo contrario es imposible. Y al no haberlo intentado, no se ha buscado lo suficiente. El infinito es muy paradójico, encontrar un absurdo o una contradicción es "fácil"... o al menos no imposible. Basar una demostración en eso es "hacer trampas".
Bueno, tu error parte de suponer que la tortuga nunca llega. Hay series que son convergentes y otras que son divergentes. En este caso cuando tenemos una serie geométrica de |r|
Y no, cuando defines con rigor el infinito no es nada paradójico, se convierte en una herramienta tremendamente poderosa. Gracias a eso hoy tenemos la tecnología que existe. Mira, perder un creencia es muy complicado, pero si estas dispuesto a dejar tus prejuicios, puedes tomar los cursos universitarios de khan academy, no son rigurosos, pero sin duda te ayudara a comprender como los matemáticos, físicos e ingenieros usan estas herramientas. Un saludo,
@@triple-integral Pregunta: ¿Acaso no hay la misma cantidad de elementos reales en ( 0 , 1/9 ) que en (0,1)? Escribí esto hace 4 meses, no me refiero a llegar a la tortuga o no, me refiero a llegar a 1, PRECISAMENTE, hay muchas series convergentes que no llegan a 1. Este es un caso. Crear una, no es una prueba de nada, solo de que existen series convergentes. Por eso te pregunto, si el objetivo era "cubrir" un intervalo con una cantidad aleph_1 de puntos, acaso (0, 1/9) No tiene aleph_1 puntos también? Y tu mismo, al expresarme mal, has dicho que la tortuga "llega", asi que según tu propias palabras, (0,1/9) estaría cubierto de la misma forma que se pretendía "intentar" cubrir (0,1). Por eso esta demostración está mal. Hablando de cambiar de creencias: ua-cam.com/play/PLcEv5UNDUdw68yFXf2kYGDZVyIGpCfGdy.html Déjame tu opinión por favor, falta el último video que lo subiré hoy o mañana, si llegas la tercer video sin encontrar errores, por muy raro que parezca, tendrás que abandonar tu posible creencia en que la diagonalización no es una demostración dudosa.
@@FistroMan En efecto, no hay la misma cantidad porque todos son racionales. El objetivo era cubrirlo, pero no se puede, debido a que aún teniendo infinitos elementos, que cubren más espacio que un punto, se llega a una contradicción, ergo un infinito es más grande que otro. Tu otro error es el de suponer que al contar (0,1/9) estamos contando reales, no es así, contamos los elementos de una serie geométrica exclusivamente. edit: Sí habías cometido el error de que la serie no llegaba a ningún punto, tu mismo escribiste: "Generas una serie que sabes que en infinitos pasos NO va a llegar a un punto" edit2: " que según tu propias palabras, (0,1/9) estaría cubierto de la misma forma que se pretendía "intentar" cubrir (0,1)." aquí hay un error, (0,1/9) no se está intentado cubrir, es el resultado de sumar todos los intervalos que intentaron cubrir (0,1), se llega a una contradicción, por suponer que tienen el mismo (o mayor) tamaño.
Míralo de otra, con una cantidad aleph_0 cubres (0, 1/9), pero un infinito enumerable puedes dividirlo en infinitos "infinitos" enumerables, de forma recursiva... O sea, en vez de usar TODOS los naturales, usamos un subconjunto de cardinalidad infinita, me quedan infinitos subconjuntos... cada elemento de ese subconjunto lo asociamos con cada intervalo decreciente de esa serie. ¿Tengo un subconjunto de N por cada serie convergente que se te pueda ocurrir? Si necesitas "aclarar" ese punto ya de por sí, a la demostración le faltan cosas. Y siempre puedo coger alguno de los que ya tengo y volver a dividirlo en infinitos subconjuntos con cardinal aleph_0. Así, tal cual, le falta contundencia al argumento central, lo expreses con rigor o no.
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Una pregunta, estuve mirando con tu enlace de amazon el libro de ¿Que es la matematica? i aparece en inglés. Sabes alguna forma conseguirlo en español?
Yo ya los he leído
¿Nos hemos puesto de acuerdo para subir un vídeo sobre el mismo tema? Súper guay el vídeo :3
Yo acabé de ver ambos y pensé exactamente lo mismo jajajaja. ¡Saludos!
Acabo de verlos ambos también jajaksksjsjsjss
Pense lo mismo
Vengo de ver tu último video! Te amo M^2
¡Que casualidad! Acabo de ver tu saga sobre el infinito y está genial. Hemos enlazado en nuestro vídeo tu demostración usando el argumento de la diagonal para que se pueda ver la demostración original.
Me ha gustado mucho la parte sobre las paradojas del infinito y Aristóteles. Estamos de hecho preparando un vídeo sobre aleph sub cero también con algo de intersección con el segundo vídeo de tu saga y aprovecharemos para enlazar tus vídeos con las tarjetas y que se complemente. ¡Habría que hacer algo conjunto 🤣!
Buen video, me sorprende que un canal tan pequeño tenga tanta calidad.
Espero que el canal crezca y que otras personas descubran estos videos tan geniales.
¡¡Muchas gracias!!
Podrías hacer un video acerca del teorema de incompletitud de Goedel? O del teorema de Noether?
Gracias por tus videos.
¡Hola Sergio!
Llevamos tiempo preparando un vídeo sobre los teoremas de incompletitud pero aun estamos trabajando en el guion. Tardaremos un tiempo en terminarlo pues queremos hacer animaciones trabajadas como en el víde que tenemos sobre la paradoja de Russell.
¡Saludos y felices fiestas!
:o :o ¡muy buena esta demostración!, me pareció bastante más ilustrativa que la de la diagonal
¡Gracias!
Acabo de descubrir tu canal y me encantó!! Soy estudiante de matemáticas y me parece genial la forma en la que explicas cada cosa, además, me sirve para tener una visión menos abstracta de algunos temas. Sigue así!! 😁💯
¡Muchas gracias Andrés! Precisamente la idea de nuestro canal es dar un visión de muchos conceptos que se estudian de forma abstracta dentro del contexto en que fueron creados. ¡Un saludo!
Excelente, el lenguaje y explicaciones son bastante accesibles, con maestros como usted quizás hubiese sido matemático en vez de ingeniero.
¡Muchas gracias Luis!
Sencilla y curiosa la demostración. Y también magnífica la explicación. Muchas gracias.
A mi me pareció realmente sorprendente
¡Saludos y felices fiestas!
Es una demostración genial. ¡Gracias!
Me sirve para enriquecer la lectura del libro ya que se me hace más llevadero gracias a estos aportes. Muchas gracias.
¡Gracias Arnaldo!
Iremos publicando más vídeos con detalles interesantes que encontremos en este libro y otros recomendados que iremos añadiendo a nuestra librería de Amazon: www.amazon.es/shop/archimedestube
¡Saludos!
Tremenda la demostración, e igualmente lo sencilla e intuitiva que es la hace fabulosa.
¡Hola David!
A mi me sorprendió mucho cuando la leí en "¿Qué es la Matemática?" de Courant
Que maravilla creativa, simple y contundente...
A mi me resultó muy soprendente esta demostración que encontré en el libro de Courant ¿Qué es la Matemática? ¡Saludos!
Al tipo que se le ocurrió esa demostración es demasiado crack. Si estaba la clave en nuestras narices todo el tiempo y no (o al menos yo) nos dimos cuenta.
Es una idea bastante curiosa
Que buenas animaciones para esta elegante demostración. El mismo argumento funciona cualquier longitud inicial entre 0 y 0.5.
¡Gracias Higinio! ¡Saludos y felices fiestas!
Genial! No conocía esta demostración, y estuvo muy bien explicada
¡Muchas gracias Bastián!
Excelente video, la demostración es simplemente genial!!!
¡Gracias Gastón! A mi me sorprendió mucho esta demostración
Me gustan mucho estos videos. Eres muy buen divulgador
Muchísimas gracias!! 😊
Que buena demostración!!
Eso pensé cuando lo vi por primera vez en el libro de Courant "¿Qué es la Matemática?"
Hola Urtzi, ¿podrías explicar con más detalle en 1:56 por qué no importa en el argumento que estés "midiendo demás infinitas veces" con todas las bolas que se salen del intervalo o que se intersecan?
¡Hola Diego!
Por que la afirmación que nos lleva a la contradicción es que 1 es menor o igual que la suma de todos los diámetros. Esto se tiene porque los intervalos alrededor de cada punto a_n recubren el intervalo (0, 1) al haber una biyección de ℕ en (0, 1). Es decir tan solo los centros a_n de todos los intervalos de diámetro 1/10^n ya llenan, esto es, recubren el intervalo (0,1) y como alrededor de cada uno de estos puntos tenemos un intervalo de longitud 1/10^n sumar todas estas longitudes aseguran que
1
hay una versión del fondo de cultura económica que tiene un prefacio de Ian Stewart y es hermoso ese libro
Confirmo. Solo por el video anterior consegui ese libro que mencionas.
Yo me hice con la versión en inglés también que incluye el prefacio y un capítulo extra con descubrimientos más recientes posteriores a la edición antigua como el teorema de los 4 colores o el último teorema de Fermat que aparecen todavía como conjeturas en la edición antigua.
Esta demostración es más formal que la del método de la diagonal de Cantor. Excelente!
¡Gracias Josermi!
De hecho, la demostración tiene implicaciones en Teoría de la medida como el propio Courant comenta tras la demostración del libro: "El razonamiento del párrafo anterior sirve para establecer un teorema de gran importancia en la teoría moderna de la medida. Reemplazando los anteriores intervalos por otros más pequeños de longitud ε / 10^n, donde ε es un número positivo arbitrariamente pequeño, se ve que los puntos de todo conjunto numerable de la recta pueden ser incluidos en un conjunto de intervalos de longitud total igual a ε/9. Puesto que ε es arbitrario, dicha longitud total puede ser tan pequeña como se quiera. En la terminología de la teoría de la medida expresamos este hecho diciendo que un conjunto numerable de puntos tiene medida nula."
¡Saludos!
Buen video como siempre. Y ahora tengo mucha curiosidad por obtener el libro. Saludos!
El libro está genial ¡Saludos!
Que demostración tan simple y bella!!!
A mi me resultó sorprendente el argumento ¡Saludos y felices fiestas!
¡Una belleza!
Muchas gracias por subir buenos vídeos.
Saludos.
¡Muchas gracias Kevin! Saludos
Bella la demostración. En menos de 3.5 minutos!
A mi me encantó esta demostración aunque la original de Cantor también es bellísima. ¡Saludos y felices fiestas!
¿Recomiendas algún libro de lógica?
Genial!! Me encantó.
¡Muchas gracias Anderson!
¡Qué demostración más hermosa!
¡¿ Verdad que es sorprendente ?!
No conocía esta demostración. Me ha gustado mucho el vídeo.
Muchas gracias Sergio! A mi me resultó sorprendente esta demostración
Yo solo conocia dos tipos de demostraciones para demostrar la innumerabilidad de los numeros reales. El metodo de la diagonal de Cantor y el metodo de los intervalos encajados, ambos hacen uso del metodo de reducción al absurdo. Hay dos detalles que me hace un poco de ruido con la demostración presentada en el video y es la siguiente: Todos sabemos que los numeros reales y los numeros racionales son densos, osea que entre dos numeros cualesquiera de un conjunto denso pueden encontrarse infinitos numeros que pertenecen a dicho conjunto. En esta demostración se asume como hipotesis el negado de la tesis, osea que asumimos que los reales son numerables y por lo tanto podemos crearnos una lista infinita emparejando cada numero real con cada numero natural. Luego se le asocia a cada punto en el intervalo 0-1 una bola cerrada con radio igual a 1/10^n donde n es el natural que empareja a dicho punto real, despues se suman todos los segmentos, aqui todo bien, el primer detalle esta en dar por hecho que la union de todos esos intervalos cubre todo el intervalo, digo esto porque cuando se trata de sumar segmentos finitos es trivial e intuitivo pensar eso, pero cuando se trata de una union infinita de segmentos con longitudes cada vez mas pequenas no es facil de imaginarselo, por lo tanto no veo mucha seguridad en establecer que su suma deba ser necesariamente mayor o igual que 1. En la demostración la suma de todos esos intervalos dio como resultado 1/9 que es menor que 1 por lo tanto se llega a una contradicció porque se contradice con la desigualdad anterior que fue asumida como cierta. Por lo tanto se concluye que los reales son inumerables. Hay veces que puede pasar que se llegue a una conclusión correcta a traves de un razonamiento o demostración incorrecto.
Ahora el segundo detalle es el siguiente: Yo puedo llegar a la misma conclusión con los numeros racionales debido a que ambos son densos. Osea que yo puedo demostrar con el mismo razonamiento expuesto en el video que los numeros racionales son inumerables, cosa que no es verdad ya que esta demostrado que existe una función biyectiva que asocia a cada natural con cada racional.
Me parece muy interesante lo que comentas:
“el primer detalle está en dar por hecho que la unión de todos esos intervalos cubre todo el intervalo”
Esto se tiene pues en la unión U (a_n - 1/10^n , a_n + 1/10^n) están en particular todos los centros de los intervalos, esto es, todos los números reales a_n. Pero al suponer que tenemos una función biyectiva ℕ --> (0, 1) cualquier número real x del intervalo es de la forma a_m para algún número natural m y por tanto todo número real x del intervalo está en la unión U (a_n - 1/10^n , a_n + 1/10^n) .
“Yo puedo llegar a la misma conclusión con los números racionales debido a que ambos son densos”
Eso no lo tengo tan claro pues el anterior argumento para garantizar que la unión de todos los intervalos recubre el intervalo (0, 1) utilizando que los centros de los intervalos ya lo recubren no funciona.
Tomemos un número irracional z en el intervalo (0,1), es cierto que existe una sucesión de números racionales q_n que converge al número z pero cómo sabemos que los intervalos asignados por la biyección entre ℕ y los racionales de (0,1) verifica que z pertenece a alguno de estos intervalos. ¿Cómo podemos asegurar que todo irracional z está en alguno de los intervalos asignados a los números racionales por medio de la biyección con ℕ? No veo cómo el hecho de que el conjunto de números racionales sea denso lo garantiza.
¡Un saludo!
@@ArchimedesTube , Muchas gracias por la respuesta, me resolvistes las dos dudas que tenia, Saludos y feliz navidad :)
¡Feliz Navidad!
Espectacular vídeo
Muchas gracias! 😊
No he profundizado sobre esta demostración, pero que tal si en vez de 1/10 el cual evidentemente me conduce a un error, se ubiese tomado 1/2, o 6/10... No nos llevaría al mismo error. Espero revisar esta idea
Pero que 1/2 no lleve a contradicción solo significa que con 1/2 no podemos demostrar la tesis buscada. De hecho el razonamiento más fructífero en terminos de obtener una conclusión más fuerte es sustituir 1/10 por valores más pequeños.
El propio Richard Courant comenta en el libro "¿Qué es la matemática?" tras la demostración lo siguiente:
"El razonamiento del párrafo anterior sirve para establecer un teorema de gran importancia en la teoría moderna de la medida. Reemplazando los anteriores intervalos por otros más pequeños de longitud ε / 10^n, donde ε es un número positivo arbitrariamente pequeño, se ve que los puntos de todo conjunto numerable de la recta pueden ser incluidos en un conjunto de intervalos de longitud total igual a ε/9. Puesto que ε es arbitrario, dicha longitud total puede ser tan pequeña como se quiera. En la terminología de la teoría de la medida expresamos este hecho diciendo que un conjunto numerable de puntos tiene medida nula."
Un saludo
@@ArchimedesTube gracias por responder... Piensa en esto,
1) supongamos que el intervalo que hubiesemos tomado fuera (0, 0.1) el cual tiene el mismo cardinal en la prueba de Cantor que (0,1), ahora que, si tomamos 1/10 nos da que:
En intervalo (0, 0.1) cumple que:
0.1
@@ArchimedesTube sobre esta idea que me expresaste del libro de Richard: "En la terminología de la teoría de la medida expresamos este hecho diciendo que un conjunto numerable de puntos tiene medida nula" que importancia tiene este hecho ya que el Conjunto de Cantor tiene medida nula y este tiene el cardinal del continuo. Necesito algo más para discriminar, tengo dos conjuntos diferentes y diferentes alef, pero con medida nula. No funciona como criterio.
Qué buena demostración, no la conocía.❤
Claro, al hacer corresponder un intervalo de radio diferente de cero sobre cada punto de un conjunto qua ya cubrían todo el intervalo (0 ,1), esa suma de intervalos debe ser mayor que o igual al intervalo (0,1), cosa que no se cumple, contradiciendo la condición de biyección. ¡Si me encantó!, gracias.
¡Gracias Nicolás! Es sorprendente el argumento de esta demostración.
¡Saludos y felices fiestas!
Hermoso video como siempre. Gracias!
¡Muchas gracias Karen!
Un hecho importante es que cualquier espacio de n dimensiones, tiene la misma cantidad de puntos que una recta
Entonces se formaría una biyeccion entre R y R^n... Como sabes que eso es verdad? Dónde leíste eso?
Farid Badillo. Efectivamente esta demostrado. Cantor creia que no era posible pero años mas tarde logró demostrarlo y tuvo que abandonar su antigua e intuitiva creencia.
@@danielandreshernandezflori9899 Interesante! Entonces me daré la tarea de investigarlo.
Llevo dos años estudiando matemáticas y la verdad es hermoso encontraste con este tipo de teoremas...
No es difícil de demostrar. De hecho esa biyección dio también lugar a una crisis en las matemáticas al poner en cuestión el concepto de dimensión. Los trabajos posteriores del propio Cantor, Peano, Poincaré y Brouwer (entre otros) son el origen de hecho de la Topología que culmina con el Teorema probado por Brouwer en 1910 de la invarianza del dominio. Pronto publicaremos un vídeo hablando de todos estos temas.
¡Saludos y felices fiestas!
Que me disculpe Courant. Pero tu lo explicas mucho mejor. Excelente como siempre. Saludos
🤣🤣🤣 ¡Muchas gracias amigo!
Ótimo canal. Adorei!
¡Gracias!
Wow! Ese Libro tiene un nivel superior. Me preguntaba si es posible conseguir su correo; porque acabo de leer el capítulo 3 de ese libro y tengo una pregunta puntual.
Hola! En la pestaña de "Más información" tienes nuestro correo. ¡Saludos y felices fiestas!
@@ArchimedesTube. Tiene toda la razón, el correo está en "Más información", pero en días pasado lo había buscado y no aparecía.
De todos modos, muchas gracias por responder y por la información. Feliz Navidad y un próspero 2021...
¡Felices fiestas!
Me encantó
Esta demostración me pareció muy sencilla y elegante.
La contradiccion esta en suponer que puedes recubir el intervalo (0,1) con bolas de razon 1/10. Con razon 1/2 en adelante se puede recubrir el intervalo.
Esta demostracion me recuerda mucho a las demostraciones de conjuntos de medida cero
¡Cierto! De hecho, tras la demostración, Courant comenta en el libro: "El razonamiento del párrafo anterior sirve para establecer un teorema de gran importancia en la teoría moderna de la medida. Reemplazando los anteriores intervalos por otros más pequeños de longitud ε / 10^n, donde ε es un número positivo arbitrariamente pequeño, se ve que los puntos de todo conjunto numerable de la recta pueden ser incluidos en un conjunto de intervalos de longitud total igual a ε/9. Puesto que ε es arbitrario, dicha longitud total puede ser tan pequeña como se quiera. En la terminología de la teoría de la medida expresamos este hecho diciendo que un conjunto numerable de puntos tiene medida nula."
¿Por qué esto mismo no serviría para demostrar que N no es biyectivo con los números racionales del intervalo (0, 1)?
Es una buena pregunta. La demostración utiliza cuatro elementos:
1) La hipótesis de partida de que existe una biyección entre el conjunto de números naturales ℕ y el conjunto de puntos del intervalo (0, 1), f : ℕ ---> (0, 1) f(n)=a_n
2) Que la familia de intervalos de diámetro 1/10^n y centro a_n recubre el intervalo (0, 1). Esto es, (0, 1) ⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n). Esto es así pues para todo número real x ∈ (0 , 1) por ser f una biyección se tiene que f(N) = a_N = x para cierto N ∈ ℕ y por tanto x ∈(a_N - 1/2 10^N , a_N + 1/2 10^N)⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n).
3) Que la suma de los diámetros de todos los intervalos anteriores es 1/ 9, ya que forman una serie geométrica de primer término 1/10 y razón 1/10.
4) Que la medida del intervalo (0, 1) es 1.
De este modo la inclusión (0, 1) ⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n) implicaría que 1 ≤ 1 / 9 lo que supone una contradicción fruto de suponer que existe la biyección f.
Podríamos tratar de adaptar esta demostración para probar que dada una biyección f : ℕ ---> (0, 1) \ 𝕁 del conjunto de números naturales en los números racionales del intervalo (0 , 1) llegamos también a una contradicción.
Pero el paso 2) no está garantizado. Si los puntos f(n) = a_n representan ahora todos los racionales del intervalo (0, 1), dado un número z ∈ (0, 1) irracional arbitrario, es cierto que existe una subsucesión de a_σ(n) que converge z, pero no podemos asegurar que alguno de los intervalos (a_σ(n) - 1/2 10^σ(n) , a_σ(n) + 1/2 10^σ(n)) contenga a z.
Es cierto que la unión de todos los intervalos U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n) recubre (0, 1) \ 𝕁 el conjunto de racionales del intervalo (0 , 1), pero entonces el punto que falla es el 4) ya que la medida de (0, 1) \ 𝕁 es nula y la desigualdad 0 ≤ 1 / 9 no supone una contradicción.
De hecho, el mismo Richard Courant comenta en el libro "¿Qué es la matemática?" tras la demostración lo siguiente:
"El razonamiento del párrafo anterior sirve para establecer un teorema de gran importancia en la teoría moderna de la medida. Reemplazando los anteriores intervalos por otros más pequeños de longitud ε / 10^n, donde ε es un número positivo arbitrariamente pequeño, se ve que los puntos de todo conjunto numerable de la recta pueden ser incluidos en un conjunto de intervalos de longitud total igual a ε/9. Puesto que ε es arbitrario, dicha longitud total puede ser tan pequeña como se quiera. En la terminología de la teoría de la medida expresamos este hecho diciendo que un conjunto numerable de puntos tiene medida nula."
¡Un saludo y felices fiestas!
Me gustó mucho esta "simple" solución, es increible que con un poco de análisis matemático y lógica con rigor se descarte algo tan discreto como el cardinal de los naturales jaja, y descartar la relación con otro conjunto
A mi me resultó sorprendente cuando la encontré en el libro de Courant
Los mejores 👏🏻👏🏻
¡Gracias Ronny! 😊
Con todo respeto. Pero que video tan chingon 😮
Gracias profe :)
De nada Esteffany ¡Saludos y felices fiestas!
@@ArchimedesTube felices fiestas ❤
gracias amigos siempre me sacan de apuros auque llege tarde
No queda claro porque los subintervalos sumados deben cubrir todo (0,1)
Hola Sebastián José!
La demostración parte de suponer que existe una biyección f : ℕ --> (0, 1) de modo que para todo x ∈ (0 , 1) existe un único un número natural N_x ∈ ℕ tal que f ( N_x ) = x.
Tomamos un subintervalo de centro a_n = f(n) para todo n ∈ ℕ de modo que los centros de los subintervalos ya recubren todo el intervalo (0, 1) y por tanto los subintervalos con más razón cubren todo (0, 1).
Un saludo!
Tengo que hacerme con un ejemplar del libro
El libro vale mucho la pena ¡Saludos y felices fiestas!
El argumento presupone que si cubrimos todos los puntos del intervalo con segmentos (de longitud no nula -por si admitimos segmentos tipo (a, a)-), reconstruimos un super-intervalo del intervalo. Uno diría que si uno cubre con segmentos de longitud no nula todos los racionales en (0, 1), uno reconstruye también un super-intervalo de (0, 1); sin embargo, como sí que hay una biyección entre los naturales y los racionales en (0, 1), el mismo argumento puede usarse para demostrar que no. Confieso que no veo claro.
Hola Laureano,
Es una buena pregunta, pues parecería que con el argumento del vídeo se puede probar que los racionales del intervalo (0, 1) no son numerables. La demostración utiliza cuatro elementos:
1) La hipótesis de partida de que existe una biyección entre el conjunto de números naturales ℕ y el conjunto de puntos del intervalo (0, 1), f : ℕ ---> (0, 1) f(n)=a_n
2) Que la familia de intervalos de diámetro 1/10^n y centro a_n recubre el intervalo (0, 1). Esto es, (0, 1) ⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n). Esto es así pues para todo número real x ∈ (0 , 1) por ser f una biyección se tiene que f(N) = a_N = x para cierto N ∈ ℕ y por tanto x ∈(a_N - 1/2 10^N , a_N + 1/2 10^N)⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n).
3) Que la suma de los diámetros de todos los intervalos anteriores es 1/ 9, ya que forman una serie geométrica de primer término 1/10 y razón 1/10.
4) Que la medida del intervalo (0, 1) es 1.
De este modo la inclusión (0, 1) ⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n) implicaría que 1 ≤ 1 / 9 lo que supone una contradicción fruto de suponer que existe la biyección f.
Podríamos tratar de adaptar esta demostración para probar que dada una biyección f : ℕ ---> (0, 1) \ 𝕁 del conjunto de números naturales en los números racionales del intervalo (0 , 1) llegamos también a una contradicción.
Pero el paso 2) no está garantizado. Si los puntos f(n) = a_n representan ahora todos los racionales del intervalo (0, 1), dado un número z ∈ (0, 1) irracional arbitrario, es cierto que existe una subsucesión de a_σ(n) que converge a z, pero no podemos asegurar que alguno de los intervalos (a_σ(n) - 1/2 10^σ(n) , a_σ(n) + 1/2 10^σ(n)) contenga a z.
Es cierto que la unión de todos los intervalos U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n) recubre (0, 1) \ 𝕁 el conjunto de racionales del intervalo (0 , 1), pero entonces el punto que falla es el 4) ya que la medida de (0, 1) \ 𝕁 es nula y la desigualdad 0 ≤ 1 / 9 no supone una contradicción.
De hecho, el mismo Richard Courant comenta en el libro "¿Qué es la matemática?" tras la demostración lo siguiente:
"El razonamiento del párrafo anterior sirve para establecer un teorema de gran importancia en la teoría moderna de la medida. Reemplazando los anteriores intervalos por otros más pequeños de longitud ε / 10^n, donde ε es un número positivo arbitrariamente pequeño, se ve que los puntos de todo conjunto numerable de la recta pueden ser incluidos en un conjunto de intervalos de longitud total igual a ε/9. Puesto que ε es arbitrario, dicha longitud total puede ser tan pequeña como se quiera. En la terminología de la teoría de la medida expresamos este hecho diciendo que un conjunto numerable de puntos tiene medida nula."
Un saludo
@@ArchimedesTube Muchas gracias. Creo que esta es la clave: "Pero el paso 2) no está garantizado. Si los puntos f(n) = a_n representan ahora todos los racionales del intervalo (0, 1), dado un número z ∈ (0, 1) irracional arbitrario, es cierto que existe una subsucesión de a_σ(n) que converge a z, pero no podemos asegurar que alguno de los intervalos (a_σ(n) - 1/2 10^σ(n) , a_σ(n) + 1/2 10^σ(n)) contenga a z". Esos racionales se acercan a z tanto como queramos, de modo que podríamos pensar que sea cual sea n en 1/10^n, habrá alguno que esté a menos distancia de z que eso, por tanto z quedará cubierto. Pero eso no está garantizado: conforme los racionales se acerquen a z los intervalos correspondientes pueden igualmente hacerse arbitrariamente cortos. Un saludo.
qué elegancia la de Francia
jajaja
Me llama la atención que no se llegue a una contradicción variando el primer termino (P) y la razon (r) , cumpliéndose por ejemplo que
(1/2)
Yo ya lo sabía
¡Por supuesto!
Yo creo que la contradicción viene de suponer que un intervalo de 9/10 No puede dividirse infinitamente y reacomodarse para cubrir un intervalo mayor.
Pensemos en el teorema de Banach Tarsky.
Me parece que el teorema de Banach-Tarski solo vale para dimensiones mayores que 2.
fino mi rey
Yo hice una teoría de esto y me gustaría que le heches un ojo, espero no estar diciendo una tontería, esta se basa en la cualidad de los números decimales que decrecen poniendo ceros a su izquierda y se mantienen igual poniendo ceros a su derecha, y por el contrario los números naturales aumentan poniendo ceros a su derecha y se mantienen igual poniendo ceros a su izquierda; Yo lo llamo "el espejo decimal", que consiste en poner 2 espejos uno frente al otro y en uno de ellos escribir los números naturales del 1 al infinito, mientras que en el otro un "0." se sumará antes del reflejo de cada número natural; de esta manera tendremos un decimal del conjunto (0,1) para cada natural existente, pero escrito al revés, convirtiendo los números que son múltiplos de 10 en números decimales con ceros a su izquierda, y si escribimos un número decimal de el conjunto (0 ,1) en el segundo espejo, nos mostrará un número natural escrito al revés en el primer espejo, de esta manera tendremos un número natural para cada decimal (0,1) incluyendo el nuevo número que se crea usando la "diagonalización de Cantor", y demostrando que la infinidad de números reales entre 0 y 1 es igual a la infinidad de números naturales
No me convence la demostración. Si en lugar de partir del conjunto ℕ cojes el conjunto ℝ y aplicas la misma lógica la conclusión es la misma; que ℝ no llena el intervalo (0,1).
Muy buen canal. (Esto es una conclusión mía, no una valoración de tu trabajo).
Gracias por el comentario.
Como indicas, parece que con el argumento del vídeo se puede probar que los racionales del intervalo (0, 1) no son numerables. La demostración utiliza cuatro elementos:
1) La hipótesis de partida de que existe una biyección entre el conjunto de números naturales ℕ y el conjunto de puntos del intervalo (0, 1), f : ℕ ---> (0, 1) f(n)=a_n
2) Que la familia de intervalos de diámetro 1/10^n y centro a_n recubre el intervalo (0, 1). Esto es, (0, 1) ⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n). Esto es así pues para todo número real x ∈ (0 , 1) por ser f una biyección se tiene que f(N) = a_N = x para cierto N ∈ ℕ y por tanto x ∈(a_N - 1/2 10^N , a_N + 1/2 10^N)⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n).
3) Que la suma de los diámetros de todos los intervalos anteriores es 1/ 9, ya que forman una serie geométrica de primer término 1/10 y razón 1/10.
4) Que la medida del intervalo (0, 1) es 1.
De este modo la inclusión (0, 1) ⊂ U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n) implicaría que 1 ≤ 1 / 9 lo que supone una contradicción fruto de suponer que existe la biyección f.
Podríamos tratar de adaptar esta demostración para probar que dada una biyección f : ℕ ---> (0, 1) \ 𝕁 del conjunto de números naturales en los números racionales del intervalo (0 , 1) llegamos también a una contradicción.
Pero el paso 2) no está garantizado. Si los puntos f(n) = a_n representan ahora todos los racionales del intervalo (0, 1), dado un número z ∈ (0, 1) irracional arbitrario, es cierto que existe una subsucesión de a_σ(n) que converge a z, pero no podemos asegurar que alguno de los intervalos (a_σ(n) - 1/2 10^σ(n) , a_σ(n) + 1/2 10^σ(n)) contenga a z.
Es cierto que la unión de todos los intervalos U (a_n - 1/2 10^n , a_n + 1/2 10^n) recubre (0, 1) \ 𝕁 el conjunto de racionales del intervalo (0 , 1), pero entonces el punto que falla es el 4) ya que la medida de (0, 1) \ 𝕁 es nula y la desigualdad 0 ≤ 1 / 9 no supone una contradicción.
De hecho, el mismo Richard Courant comenta en el libro "¿Qué es la matemática?" tras la demostración lo siguiente:
"El razonamiento del párrafo anterior sirve para establecer un teorema de gran importancia en la teoría moderna de la medida. Reemplazando los anteriores intervalos por otros más pequeños de longitud ε / 10^n, donde ε es un número positivo arbitrariamente pequeño, se ve que los puntos de todo conjunto numerable de la recta pueden ser incluidos en un conjunto de intervalos de longitud total igual a ε/9. Puesto que ε es arbitrario, dicha longitud total puede ser tan pequeña como se quiera. En la terminología de la teoría de la medida expresamos este hecho diciendo que un conjunto numerable de puntos tiene medida nula."
Un saludo!
Y si lo hacemos asi? No tendrían el mismo cardinal?
1 1/2
2 1/3
3 2/3
4 1/4
5 3/4
6 1/5
7 2/5
8 3/5
9 4/5
10 1/6
11 3/6
12 5/6
13 1/7
14 2/7
15 3/7
16 4/7
17 5/7
18 6/7
19 1/8
20 3/8
21 5/8
22 7/8
23 1/9
24 2/9
25 4/9
26 5/9
27 7/9
28 8/9
29 1/10
30 3/10
31 5/10
32 7/10
33 9/10
34 1/11
.
.
.
Hola Pablo,
Pero lo que quieres dar es una biyección entre el conjunto de números naturales ℕ y el conjunto de números racionales ℚ. Esto si es cierto, de hecho en el vídeo del enlace damos dicha biyección explícita:
ua-cam.com/video/itw1K0BOzKw/v-deo.html
Lo que no es cierto y se prueba en el vídeo de estos comentarios es que los números REALES entre 0 y 1 se puedan poner en biyección con los números naturales.
De todos modos la función que das en el comentario tiene algunos problemas. Fijate que 1 1/2 pero también 11 3/6 = 1/2, por lo que tu función no es inyectiva y por tanto no es biyectiva.
Saludos
¿Sos español? ¿Y qué carrera estudiaste?😃
Hola Frank,
Soy español de nacimiento y por parte de madre. Estudié matemáticas en Málaga y Granada. ¡Saludos y felices fiestas!
@@ArchimedesTube ah, qué bueno. Yo todavía no me decido si estudiar física o matemáticas jaja
Pero esto es una variante desordenada del problema de aquiles y la tortuga.
Generas una serie que sabes que en infinitos pasos NO va a llegar a un punto.
La distancia a la que se aleje es arbitraria según la creatividad aritmetica. Bien sea 1/2 o 1/10.
Curioso que el resultado final este cerca de la razón 1/10 vs 1/9.
Pon los intervalos ordenados... Y el 1/100 ponlo a partir de 1/10, y el 1/1000 a partir de 1/100... Nunca tocarás 1/9 y todos los intervalos, consecutivos, están en (0, 1/9).
Solo es una reformulación ingeniosa del problema de aquiles y la tortuga. Con un factor de division que te aleja AUN mas de la meta final.
No es concluyente, pues deberías demostrar, que lo contrario es imposible.
Dado lo paradojico del concepto de infinito, no basta con demostrar que hay dos naturales por cada par, para decir que los pares tienen menos elementos.
Me explico?
Recuerdo que una vez hice lo contrario, cogí un conjunto con el mismo cardinal que el continuo, y meti todos sus elementos en una estructura donde estaban TODOS.
Luego lo estudié nivel por nivel, teniendo la estructura aleph_0 niveles, lo cual se presta a la induccion.
La misma estructura contenia TODOS los elementos de otro conjunto, esta vez enumerable.
Y resulta,que en TODOS los infinitos niveles, en ninguno, habían mas elementos del primero, "continuo", que del segundo, "enumerable".
Estos "trucos" se pueden hacer a la inversa, y no son concluyentes.
Y lo puedo hacer para el conuunto (0,1)... y te hago lo inverso... te demuestro que te va a resultar imposible demostrar que hay mas puntos reales en esa linea, que puntos naturales.
POR ESO se debe demostrar que lo contrario es imposible. Y al no haberlo intentado, no se ha buscado lo suficiente.
El infinito es muy paradójico, encontrar un absurdo o una contradicción es "fácil"... o al menos no imposible. Basar una demostración en eso es "hacer trampas".
Bueno, tu error parte de suponer que la tortuga nunca llega.
Hay series que son convergentes y otras que son divergentes.
En este caso cuando tenemos una serie geométrica de |r|
Y no, cuando defines con rigor el infinito no es nada paradójico, se convierte en una herramienta tremendamente poderosa. Gracias a eso hoy tenemos la tecnología que existe.
Mira, perder un creencia es muy complicado, pero si estas dispuesto a dejar tus prejuicios, puedes tomar los cursos universitarios de khan academy, no son rigurosos, pero sin duda te ayudara a comprender como los matemáticos, físicos e ingenieros usan estas herramientas. Un saludo,
@@triple-integral Pregunta: ¿Acaso no hay la misma cantidad de elementos reales en ( 0 , 1/9 ) que en (0,1)?
Escribí esto hace 4 meses, no me refiero a llegar a la tortuga o no, me refiero a llegar a 1, PRECISAMENTE, hay muchas series convergentes que no llegan a 1. Este es un caso. Crear una, no es una prueba de nada, solo de que existen series convergentes.
Por eso te pregunto, si el objetivo era "cubrir" un intervalo con una cantidad aleph_1 de puntos, acaso (0, 1/9) No tiene aleph_1 puntos también?
Y tu mismo, al expresarme mal, has dicho que la tortuga "llega", asi que según tu propias palabras, (0,1/9) estaría cubierto de la misma forma que se pretendía "intentar" cubrir (0,1).
Por eso esta demostración está mal.
Hablando de cambiar de creencias: ua-cam.com/play/PLcEv5UNDUdw68yFXf2kYGDZVyIGpCfGdy.html
Déjame tu opinión por favor, falta el último video que lo subiré hoy o mañana, si llegas la tercer video sin encontrar errores, por muy raro que parezca, tendrás que abandonar tu posible creencia en que la diagonalización no es una demostración dudosa.
@@FistroMan En efecto, no hay la misma cantidad porque todos son racionales.
El objetivo era cubrirlo, pero no se puede, debido a que aún teniendo infinitos elementos, que cubren más espacio que un punto, se llega a una contradicción, ergo un infinito es más grande que otro.
Tu otro error es el de suponer que al contar (0,1/9) estamos contando reales, no es así, contamos los elementos de una serie geométrica exclusivamente.
edit: Sí habías cometido el error de que la serie no llegaba a ningún punto, tu mismo escribiste: "Generas una serie que sabes que en infinitos pasos NO va a llegar a un punto"
edit2: " que según tu propias palabras, (0,1/9) estaría cubierto de la misma forma que se pretendía "intentar" cubrir (0,1)." aquí hay un error, (0,1/9) no se está intentado cubrir, es el resultado de sumar todos los intervalos que intentaron cubrir (0,1), se llega a una contradicción, por suponer que tienen el mismo (o mayor) tamaño.
Míralo de otra, con una cantidad aleph_0 cubres (0, 1/9), pero un infinito enumerable puedes dividirlo en infinitos "infinitos" enumerables, de forma recursiva... O sea, en vez de usar TODOS los naturales, usamos un subconjunto de cardinalidad infinita, me quedan infinitos subconjuntos... cada elemento de ese subconjunto lo asociamos con cada intervalo decreciente de esa serie.
¿Tengo un subconjunto de N por cada serie convergente que se te pueda ocurrir? Si necesitas "aclarar" ese punto ya de por sí, a la demostración le faltan cosas.
Y siempre puedo coger alguno de los que ya tengo y volver a dividirlo en infinitos subconjuntos con cardinal aleph_0.
Así, tal cual, le falta contundencia al argumento central, lo expreses con rigor o no.