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M. Ram Murty y Brandon Fodden , 📘Hilbert's Tenth Problem: An Introduction to Logic, Number Theory, and Computability (Student Mathematical Library) ➡️amzn.to/2XjwNnP Un libro sobre historia del infinito muy recomendable es: Brian Clegg, A 📘Brief History of Infinity: The Quest to Think the Unthinkable ➡️amzn.to/3pYjG7J Los enlaces incluidos en la bibliografía son enlaces de afiliado. Si compras alguno de los libros a través de estos enlaces, puede que recibamos una pequeña comisión de esa venta. Esto AYUDARÁ A que ARCHIMEDES TUBE siga adelante, pero esto no tendrá ningún efecto sobre el precio al que tú compres, que será el mismo.
Me encanta como planteas y explicas cuestiones difíciles que se vuelven obvias y fáciles al escucharte. Llevo tiempo siguiéndote con interés. ENHORABUENA por tu canal. Félix
Excelente vídeo, en especial por las definiciones explicitas de las biyecciones, son muy interesantes. Allí cuando se habló de los números triangulares, me vino a la cabeza la generalización de la sumas iteradas consecutivas con los polinomios de Bernoulli, creo que sería interesante que se tratara este tema.
Sobre los números de Bernoulli tengo cientos de ideas pensadas. De hecho gran parte de mi investigación reciente ha estado conectada con esos maravillosos números como este artículo: www.degruyter.com/view/journals/form/29/2/article-p277.xml
Este vídeo sobre el infinito me ha dejado mucho más que los que he visto sobre el mismo tema. La verdad muchas gracias por compartir ese conocimiento tan pedagógicamente.
Estudio psicoanálisis y seguro has escuchado que para aproximarse a fundamentos básicos en la lectura psicoanalítica se hace uso de teoría de conjuntos y de la topología (desde las entendederas que no expertos en matemáticas): tus videos son de gran utilidad. Gracias.
Hola Alejandro, Queremos seguir haciendo vídeos sobre teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas. Buscaré referencias sobre cardinales inaccesibles para ver donde y cuándo incluirlo. ¡Saludos!
muchas gracias por el contenido, y se nota que es buena persona por la manera tan atenta en que lo comunica, se preocupa por el alumno, gracias por todo
¿A poco, se acabarán los elementos/componentes de alguno de los conjuntos de cardinalidad/ordinalidad diferente, antes que los del otro? ¿enserio, se acabarán los de al menos uno de ellos?
Excelente video. Es decir que en cálculo estamos lidiando con un infinito potencial más no con el infinito actual, aunque en análisis no estandar se introducen los números hipereales... Necesito estudiar más. La hipótesis del continuo y su indemostrabilidad me aterra y me asombra.
Es que ya van dos veces, que al ver un video tuyo, resulta que aprendo algo crucial. Si ves un trabajo español, sobre teoría de conjuntos, en los próximos dos años, recuérdame, con todo mi permiso que tu canal debía estar en la bibliografía. Y si, no sé si se puede o no mencionar un canal de youtube, o si hace falta una referencia estandarizda. Tengo poco tiempo con la gente que me reuno y todavia no hemos llegado a los protocolos de publicacion
te comento que con tus videos hice un seminario en mi lugar de trabajo, y también en charlas con familiares, llamado: matemáticas puras para no matemáticos. Ha sido todo un éxito, lo entienden y ahora si alguien les pregunta qué son las matemáticas, van a tener una idea muy digna de éste hermoso lenguaje.
¡Muchas gracias por el comentario! Nuestra intención a la hora de hacer vídeos siempre ha sido hacer fáciles temas de matemática pura complejos. No hay matemática por más avanzada que sea que no se pueda explicar de forma clara. Gracias de nuevo por el comentario
Hola ✖️➕➖➗s soy estudiante universitario y ando en la onda matemática. Hay 4 saberes dentro del saber holistico matemático que se tienen que dominar en conjunto de lo contrario no nos formanos como buenos profesionales. 1: El saber CÓMO se hacen las cosas en matemática. También conocido como el saber PROCEDIMENTAL manual o ALGORITMO. 2: El saber el PORQUÉ de cada cosa que se hace en matemática. 3: El saber PARA QUÉ se hace lo que se hace en matemática, es decir en que se puede aplicar o posibles futuros usos el hacer matemático. 4: Este es un nuevo saber en el mundo actual computarizado. El saber ALGORITMICO COMPUTACIÓNAL es decir como llevar lo que se hace en el saber procedimental y manual a operaciones u órdenes matemáticas por computador, en otras palabras saber manejar paquetes matemáticos como Maxima, Maple, Mathematica, Xcas Dentro de estos paquetes están los paquetes númericos como MatLab, Numérico-Símbolico como los mencionados anteriormente, también conocidos como CAS o Computer Algebra System o en español también conocido como SAC o Sistema de Algebra Computaciónal Por favor puedes ahondar y exponer en un nuevo video sobre el tema de los saberes holisticos en matemática y crear un nueva serie exponiendo el 4to saber, es decir iniciar una serie de vídeos en algún paquete matemático. Yo recomiendo Máxima por que es gratuito Gracias totales 👍
En efecto, se puede definir como f(n)= [-1+(-1)^n (2n+1)] / 4. Si n es par se tiene f(n)=[-1+(2n +1)]/4 = 2n / 4 = n/2; Si n es impar se tiene f(n)=[-1-(2n+1)]/4 = [-2n-2 ]/4 = -2 [n+1]/4=- (n+1)/2 obteniendo la función a trozos del vídeo. Pero dudamos si incluirlo iba a aportar información o podía hacerse el vídeo mas arduo (de lo que ya es).
¿Podría hacer un video con una demostración sobre porque los números reales contienen un cardinal mayor al de los números naturales? En la mayoría de videos solo usan el ejemplo de la diagonal pero no lo desarrollan matemáticamente, me gustaría muchísimo. Y tal vez para mas adelante algún video sobre la hipótesis del continuo, dicho tema me fascina.
Hola Brandon, De hecho antes de este vídeo ya hicimos uno demostrando que el cardinal del continuo es mayor que aleph cero. Aquí te dejo el enlace: ua-cam.com/video/hePMBrVSZtw/v-deo.html La demostración de este vídeo utiliza el límite de una serie geométrica y la encontramos en un libro que nos gusta mucho "¿Qué es la matemática?" de Richard Courant. Respecto a la hipótesis del continuo, tenemos pensado seguir publicando algunos vídeos sobre cardinalidad y fundamentos de las matemáticas ¡Saludos!
Hola que tal saludos, buena explicación y tema interesante y wuuuau tus animaciones están increíbles, si se puede saber con qué programa o plataforma los realizas me ayudarías mucho con un proyecto que tengo
¡Gracias Benjamín! La parte matemática la hacemos directamente con PowerPoint, pero las animaciones con personajes, hacemos los dibujos de Adobe Illustrator y los animamos con After Effects. Saludos
@@ArchimedesTube pues la verdad q nunca m había preguntado de dónde venían los símbolos para los conjuntos de números, y m ha sorprendido: esperaba un motivo más internacional(?). Gracias! Sobre lo de Kernel, la verdad yo escribo y digo 'núcleo', pero si q se ve mucho.
Había leído antes que habían infinitos más grande que otros, argumentaban que, si a cada número natural le corresponde un racional siempre se podría crear otro racional entre dos de ellos. Pero aquí veo que se puede corresponder a cada racional un natural lo que implicaría que ambos conjuntos son iguales, o no??? Me pueden aclarar esto????
El conjunto de números racionales tiene el mismo cardinal que el de los naturales. En efecto, hay tantos números racionales como naturales. En el vídeo de hecho se define explícitamente la biyección entre ambos conjuntos. Hay otras formas no tan explícitas de ver esto escribiendo una tabla de doble entrada con infinitas filas y columnas en la que en la intersección dela columna m con la fila n situamos el racional m / n. Podemos ir recorriendo esta tabla que contiene a todos los racionales positivos empezando por la fila 1 columna 1, esto es, (1, 1) y asociarle el 1 y después ir recorriendo toda la tabla avanzando en zig-zag y asignando a cada racional un número natural 2, 3, 4, ... Esta función es sobreyectiva pero no inyectiva, es decir, algunos racionales los contamos dos veces. Por ejemplo 1/2 está en la columna 1 fila 2. Pero también está en la columna 2 fila 4 pues 2/4 = 1/2. Por eso en le vídeo si definimos explícitamente la función uno-a-uno entre los naturales y racionales. ¡Saludos!
Hola Nweorden, El cardinal de los irracionales es el cardinal del continuo. De hecho, Cantor probó que los números algebraicos, esto es, números que son solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros son numerables. Estos números algebraicos incluyen a todos los enteros ( pues son solución de la ecuación x-a=0 ) y los racionales ( que son solución de ax - b = 0 ) pero también a muchos irracionales ( x^2 - 2=0 tiene por solución las raices de 2 ). Los números trascendentes son aquellos que no son algebraicos, es decir, aquellos que no son solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Algunos números trascendentes son π o el número e, pero en general es bastante difícil probar que un número es trascendente. Sin embargo el conjunto de números reales ℝ tiene cardinal c, el cardinal del continuo y dado que ℝ es la unión disjunta de los conjuntos de números algeberaicos y los números trascendentes y los algebraicos son numerables, se deduce que el conjunto de números trascendetes (que están incluidos en los irracionales) tiene cardinal c. ¡Saludos!
@@ArchimedesTube claro profesor pero de lo que he entendido para probar si dos conjuntos tiene el mismo cardinal se debe encontrar una función biyectiva entre ambos, esto es por definición. Usted uso otro razonamiento para encontrar que tanto el conjunto de los trascendentes y el de los iracionales tiene como cardinal el continuo. Primero para probar que los iracionales su cardinal es el continuo, partió aceptando que los tracendentes tienen como cardinal el continuo y al ser estos un subconjunto de lo iracionales se probaría que también los iracionales tienen como cardinal el continuo. Pero yo le podría dar un contraejemplo donde esté razonamiento no funciona. Partiendo que el conjunto de los números naturalez tiene como cardinal aleph 0 y que también es un subconjunto de los reales entonces siguiendo el mismo razonamiento, se deducirá que los reales también tienen como cardinal a aleph 0, pero sabemos que no es así ya que la prueba real para saber que los reales y naturales tienen diferente cardinal es que es imposible encontrar una función biyectiva entre ambos conjuntos. Ahora para demostrar que el cardinal de los trascendentes es el continuo el razonamiento empleado fue que los reales es la unión de los conjuntos disjuntos tracendentes y algebraicos y al tener los reales cardinal el continuo y los algebraicos cardinal aleph 0 entonces implica que los tracendentes necesariamente su cardinal tiene que ser el continuo. Tal como lo veo esté razonamiento tendría que ser un teorema es decir se tendría que demostrar que al tener tres conjuntos A, B y C donde A es la unión de B y C y B y C son conjuntos disjuntos. Y A tiene como cardinal digamos un "a" y B como cardinal un "b" y siendo "a" mayor a "b" entonces esto implicaría que C tiene como cardinal a "a" el mismo cardinal que el conjunto A. Porque para mí la única manera de probar si dos conjuntos tienen el mismo cardinal es partiendo de la definición es decir que entre ambos conjuntos se pueda hallar una función biyectiva, los otros tipos de razonamiento tendría que demostrarse si no sería definiciones también.
Yo tengo una duda desde la universidad. Un profesor nos dijo que si teníamos dos conjuntos A y B y dos funciones suprayectivas, una de A a B y la otra de B a A, era posible construir una función biyectiva entre ambos conjuntos. Nunca entendí cómo, ni tampoco sé el nombre del susodicho teorema.
Hola Luis, El teorema al que te refieres es el Teorema de Schroeder-Bernstein (que también se conoce como el Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein porque Cantor lo utilizó incluso antes de que se demostrara por Schroeder y Bernstein por considerarlo obvio), pero no es exactamente como lo enuncias. El teorema dice que si tenemos dos conjuntos A y B y dos funciones inyectivas una de A en B y otra de B en A es posible construir una función biyectiva entre ambas. Sin embargo, uno se puede plantear la versión suprayectiva que tu comentas. Hace un tiempo estuve indagando si esto se podía demostrar y encontré algo bastante curioso. La versión suprayectiva es cierta pero requiere del axioma de elección (el último de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sobre el que existe cierta controversia), mientras que la versión inyectiva no necesita hacer uso de tal axioma para demostrarse. Este tipo de asimetrías en la "dualidad" inyectivo/suprayectivo siempre me ha parecido tremendamente misterioso. Un saludo, Urtzi
@@ArchimedesTube Gracias. Le daré una lectura y una pensada. No lo tengo tan fresco, pero recuerdo que una función es suprayectiva si tiene inversa derecha. Pero esa inversa tendría que ser inyectiva, no? ¿o la existencia de la inversa derecha requiere el axioma de elección para el caso infinito? Bueno, no me hagas mucho caso. Estoy pensando en ello. Gracias.
gran video, esa última biyección me dejó atónito. Tengo una pregunta, que no es sobre el tema, pero, ¿porque es tan difícil calcular el perímetro de una elipse?
¡Gracias por el comentario Carlos! Pues no se bien que responder a tu pregunta pues yo soy topólogo y para nosotros un donut y una taza son lo mismo y una elipse y un cuadrado también 🤣. Aparte de bromas es cierto que no conozco cuál es la razón de dicha dificultad pero si encuentro alguna buena referencia te escribo aquí. ¡Saludos!
Carlos el problema es que hay funciones continuas ( y por lo tanto integrables) de las cuales no podemos escribir su primitiva. Por ejemplo la integral de e^(-x^2) no se puede escribir como "combinacion" de funciones "normales" (piensa como calcularias la integral de 1/x si los humanos no le hubieramos dado un nombre a la funcion logaritmo). De manera similar, al querer calcular el perimetro de un elipse hay que calcular una integral de una funcion de estas. Si quieres ver que integral es busca en www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse-perimetro.html y baja hasta "la formula perfecta".
22:05 He estado mirando la formula de los polinomios de Cantor generalizados, y si entiendo bien Pk(4) = Pk(1,1) = 4...y si esto es cierto. TENGO ALGO QUE PUEDO PUBLICAR, sin necesidad que lo chequee nadie pq estaría en mi nivel poder decicir si es correcto o no. Una SIMPLIFICACIÓN de mi fórmula me permite crear UNA biyección en la que Pk(4) es distinto de Pk(1,1), y usando la misma formula, puedes asignar naturales UNICOS a toda posible tupla de k elementos. O sea, no siendo k un valor concreto, toda posible tupla de cualquier posible tamaño. La unión de la tuplas de tamaño 1, de tamaño 2, de tamaño 3.. así hasta el infinito. Necesito "simplificarla" para quitar el caso k= infinito :D. EDIT: Perdona que sea pesado, pero no soy matemático y necesito MUCHO TIEMPO de otros matemáticos para trabajar con ellos. NECESITO PUBLICAR ALGO que me otorgue el "valor" para demostrar que me merezco ese tiempo y frustración de trabajar con alguien que no es matemático. Y tener una alternativa "más flexible y potente" que los polinomios generalizados de Cantor tiene "pinta" de ser un resultado "mencionable"...
Es importante abordar los problemas (incluso los problemas abiertos) por uno mismo. De este modo uno va creando su propio arsenal de ideas matemáticas y aunque a veces uno piense que algo puede ser un resultado menor, es en los pequeños cálculos donde residen las ideas para teoremas importantes.
@@ArchimedesTube Nah, ya me acaban de recordar que lo tengo es una alternativa diferente, pero la descomposición en primos ya hace lo mismo. Si coges los exponentes de los primos, tienes una biyección entre todas las posible stuplas de cualquier tamaño y N... yo no uso numeros primos, pero no es nada significativo, solo mirando eso. GRACIAS POR RESPONDER! estas cosas me ayudan un montón a descartar opciones.
Muchas gracias María del Carmen! Yo conocía la forma tradicional de ver que los racionales son numerables contando la retículo N x N en zig zag, pero esto no da una biyección explicita al contarse los racionales varias veces 1 / 2 y 3 / 6 se cuenta dos veces pero son el mismo número racional. Pero la biyección del vídeo es totalmente explicita tanto ella como su inversa. Cuando descubrí la biyección me encantó! Gracias de nuevo por el comentario!
Hola Luis, En su momento hicimos un vídeo sobre el producto de Euler y origen de la teoría analítica de números y la hipótesis de Riemann. Pero un vídeo viendo implicaciones de la hipótesis de Riemann sería una buena idea. De hecho tengo una referencia muy buena para sacar buena información "The Riemann Hypothesis. A resource for the afficionado and virtuoso alike" de Peter Borwein, Stephen Choi, Brandan Rooney y Andrea Weirathmueller. Un enunciado equivalente de la hipótesis de Riemann que comenta este libro es que un número entero tiene igual probabilidad de tener una cantidad par de factores primos distintos que una cantidad impar. ¡Saludos!
Seria bueno un video explicando el problema del "concurso de elegir entre 3 puertas" o problema de Monty Hall. Es un problema de comprension de conceptos de probabilidades. Nos presentan 3 puertas, detras de una sabemos que hay un coche y detras de las otras 2 hay una cabra respectivamente. Elegimos una y el presentador nos hace una oferta, nos abre una de las otras dos puertas donde vemos que habia una cabra, esto puede hacerlo porque el presentador sabe lo que hay detras y nos dice : Ahora puedes cambiar tu eleccion inicial de entre las 2 puertas que aun quedan, una es la que elegiste y ahora puedes elegir la otra si lo deseas..... Se puede demostrar matematicamente que ES MEJOR cambiar a la puerta que nos ofrece el presentador. Cuando comprendi esto me lleve una sorpresa, puesto que muy pocas personas llegan a la solucion correcta y solo despues de razonar comprendes que ES MEJOR el cambio de puerta. Gracias por leer al menos mi sugerencia y enhorabuena por el canal, llevo ya mucho ,tiempo subscrito.
Gracias por la sugerencia. Conocía desde hace tiempo el problema de Monty Hall. He llegado a tener discusiones con otros matemáticos que no llegaban a ver que el cambio mejoraba las probabilidades el doble ( se pasa de 1/3 a 2/3 ). La mejor forma de verlo es cambiar el número de puertas. Me explico, el procedimiento es el siguiente: 1. Eliges una puerta (la probabilidad de conseguir el coche es 1/3 y la de conseguir una cabra 2/3). 2. El presentador (que conoce donde está el coche, dato importante) abre una puerta con una cabra y te da la opción de cambiar tu puerta por la que queda cerrada. 3. Dado que el presentador siempre va a poder elegir una puerta con cabra si cambias la puerta original por la que queda cerrada es cambiar tu puerta por las dos restantes y por tanto el cambio hace que la probabilidad de ganar el coche sea de 2/3. Vamos a repetir esto pero suponiendo que el juego es con 100 puertas, 1 coche y 99 cabras: 1. Eliges una puerta (la probabilidad de conseguir el coche es 1/100 y la de conseguir una cabra del 99/100). 2. El presentador (que conoce donde está el coche, dato importante) abre todas las puertas restantes (98) con cabras salvo una que deja cerrada y te da la opción de cambiar tu puerta por la que queda cerrada. 3. Si cambias la puerta original por la que queda cerrada es cambiar tu puerta por las 99 restantes y por tanto el cambio hace que la probabilidad de ganar el coche sea de 99/100. Sería interesante hacer un vídeo explicando esto. En unos meses nos gustaría retomar los vídeos sobre probabilidad y este es una buena opción. ¡Gracias!
Me parece que alguien ha borrado un comentario mío (al menos yo no lo encuentro) en el que alababa el vídeo pero señalaba algunos errores. Básicamente tres. Uno, dos conjuntos no son equivalentes si tienen el mismo nº de elementos sino si tienen los mismos elementos. Dos, a la hora de considerar los subconjuntos propios de un conjunto no hay que dejar de lado el conjunto vacío. Tres, no es correcto decir que Galileo se equivocaba al afirmar que los conjuntos infinitos no tienen cardinal: la comunidad matemática no es unánime respecto a eso; de hecho, muchos matemáticos, como Feferman, piensan que el problema del continuo de Cantor no está bien definido y a pesar de ser el primer problema de la famosa lista de Hilbert, no fue seleccionado por el Instituto Clay como uno de los grandes problemas irresueltos de las matemáticas.
Solo borramos comentarios que contengan algún tipo de insulto. No recuerdo haber leído el comentario al que te refieres. 1. Dos conjuntos A y B son iguales (A=B) si tienen los mismos elementos, esto es, si todo x ϵ A verifica que x ϵ B y recíprocamente si todo x ϵ B verifica que x ϵ A. La relación de igualdad es una relación de equivalencia, pero podemos definir otras relaciones de equivalencia como por ejemplo decir que A ≡ B si existe una biyección A --> B (que satisface las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva) que para el caso de conjuntos finitos es lo mismo que decir que A tiene el mismo número de elementos que B. A veces en los vídeos tenemos que dar un mensaje de forma sintetizada y puede dar lugar a ciertas ambigüedades o imprecisiones. 2. La definición de subconjunto propio de un conjunto X, es todo subconjunto Y que no sea ni el vacío ni el propio X. Esa es la definición. Es cierto que la desigualdad del vídeo |Y|
Hola! La segunda parte del vídeo es un poco difícil pero nos alegra que te haya gustado. En unos días publicaremos el siguiente vídeo de esta serie. Esperamos que también te guste!
Ahora entiendo por que cuando preguntaba en la primaria por el infinito solo me respondian: "El infinito es todo lo que no se puede contar". Creci por años pensando que el Azúcar y la Arena eran infinitas xD
@@mrjeoa Ser una cantidad implica encontrarse en el conjunto de números reales cuya denominación individual es finita Más bien es solo un concepto, si fuera real el infinito daría lugar a paradojas, mira el hotel infinito de hilbert
Tengo una duda que he planteado pero hasta ahora nadie me ha dado respuesta , seria un cambio en la definición de cardinal que eliminaría la paradoja de que las partes sean igual que el todo que se da en el.ejemplo del video entre números pares naturales y el conjunto de los naturales, y la duda es por qué se descartó la definición que voy a proponer, mi idea es que si yo la he pensado también debieron de pensarlo los matemáticos que nombras u otros. Bueno te propongo
Nuestro razonamiento funciona a través de relaciones. Toda la matemática que conocemos se comprta de manera perfecta con relciones. Si tu tomas como verdadero eso, casi estas desterrando a las relaciones, lo que implica que tendrías que buscar otros métodos para poder contar, para poder sumar, para todo. Si, no eres el único que lo ha pepnsado, pero matemáticamente no se ha encontrado algo consistente que pueda utilizarse bajo esa definición. Parafraseando a Hilbert: puedes crear cualquier geometría definiendo las cosas de manera diferente, pero ten encuenta que si defines una recta de una forma diferente, ya no podemos estar hablando de la misma recta, por lo tanto ni se hablaría de la misma geometría, salvo que encuentres una forma de que ambas geometrías sean consistentes y demuestres que son iguales. Leer un poco sobre la historia y construccion de las geometrías no euclideanas te ayudaría a responderte a ti mismo esa pregunta
@@hardiromero5520 es que se le cortó esto sin plantearte lo que había pensado, dejame que te lo cuente y me respondes, vale? De todas maneras muchas gracias por contestar. A ver , cuando dos conjuntos finitos tienen el mismo cardinal, todas las aplicaciones inyectivas en los dos sentidos son también biyectivas , a ver no digo que inyectividad implique biyevtividad , pues biyectivo implica inyectividad y sobreyectividad , sólo digo que cuando dos conjuntos finitos tienen el.midmo cardinal todas las aplicaciones inyectivas de un conjunto al otro o viceversa son biyectivas, por ejemplo, en ejemplo que propones del George Cantor prehistórico cada piedra la emparejaba con una oveja , lo que estoy diciendo es que cualquier piedra podría emparejarse con cualquier oveja mientras que en la definición actual el problema es que " se fuerza esta emparejacion" pues es como si cada piedra concreta estuviera asociada a una oveja concreta ... no se si me explico. Entonces...por qué no definirlo así. Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si ocurre alguna de estas dos cosas. 1. Son el mismo conjunto, es decir , lo conforman exactamente los mismos elementos 2. Todas las aplicaciones inyectivas de un conjunto al otro o viceversa son también biyectivas Así, se eliminaría la paradoja que el todo sea igual que las partes y otras paradojas del infinito. Entonces mi pregunta es que inconveniente tiene esta definición aquí planteada. Gracias.
@@davidnunez8668 Creo que el inconveniente es que esa definición aparte de ser más difícil de demostrar y no funciona para infinitos. Puedes encontrar entre naturales y racionales aplicaciones inyectivas que no son biyectivas. Además eso se aleja un poco de cómo cuenta el ser humano. El ser humano cuenta encontrando una función biyectiva si importar cuál sea, jamás he conocido a alguien que cuente estableciendo todas las posibles relaciones inyectivas y comprobando que cada una es biyectiva.
@@pablojairarandaperez5399 ¡¡¡claro que puedes encontrar aplicaciones inyectivas entre naturales y racionales que no son bitectivas, también entre el conjunto de los naturales y el de los naturales pares !!! Es una definición diferente a la existente , por eso dices que no funciona para los conjuntos infinitos y por eso creo que no has entendido la propuesta, ya sé que inyectividad no implica biyectividad aunque si ocurre algo contrario. La idea es justamente que no ocurra con los conjuntos infinitos para eliminar la paradoja de que la parte sea igual que el todo y otras paradojas , también creo que esta definición se ajusta más a contar que la otra , te pongo un ejemplo . Gente para entrar en un cine y los asientos que hay,por mi definición si hay El mismo número de gente que de asientos todos los asientos tendrán una persona y cada persona un asiento, pero , esta es la diferencia es que no importa cómo se asignen los asientos a las personas que van al cine , se haga como se haga cada persona tendrá un asiento y cada asiento una persona, sin embargo, tal como se define ahora es como si cada persona estuviera "obligada" a un asiento determinado, es lo que le pasa a la aplicación biyectiva f (x)= 2x de N a N par , si cada persona fuese un número natural y los asientos los pares , estaríamos " obligando" a la persona 1 a sentarse en el asiento 2, a la 2 en el 4 , etc. ¿ por qué? Sin embargo, Para saber si el número de personas y el de asientos es el mismo basta con que cada persona se siente en cualquier asiento libre y luego ver si quedan personas de pie o asientos vacíos o ninguna de ambas cosas. Luego la respuesta no puede ser por demostración sino por alguna otra causa, no sé si me explico, de todas maneras gracias por contestar.
@David Nunez creo que confundes lo que se define por contar. En ningún momento se obliga a que cada persona se siente en un asiento específico, simplemente con encontrar una forma basta. Así como relaciona los pares con los naturales por la función 2n, podría encontrar cualquier otra relación biyectiva. El punto es que basta con encontrar alguna, dada tu definición tendrían que probarse todas las inyecciones posibles y probar que son también biyecciones (véase que dices "todas").
Excelente video, solo palabras de gratitud a su labor. Pero le recomiendo que la ordene en una lista de reproducción para ser más fácil seguir la miniserie. Saludos desde Perú.
El infinito es el universo inclusivo de todo lo que existe, cómo siempre y por siempre abarcandose a su mismo es reflexividad del universo y todo lo que contiene.
Esa construcción de la biyección explícita entre N y Q es complicada, pero merece la pena verla pues normalmente sabemos que existe la biyección. Cuando la encontré por primera vez quedé en shock. ¡Saludos!
Hay un debate actual sobre usar las palabras existencia e infinito en la misma oración, sobre todo en física. Como objeto abstracto, idea, concepto...etc no hay duda que es "existe", así como existe el idioma español y el inglés. Pero existir, como existe un átomo o una nubecilla, no. Y al parecer tampoco hay objetos físicos que tengan asociadas cantidades medibles que sea infinitas. Es decir, un objeto no se extiende hasta "el infinito", o un sistema no posee "infinita energía"... etc. Ver por ejemplo: www.nature.com/articles/s41567-019-0748-5?proof=t www.nature.com/articles/s41567-018-0238-1 Salu2
Entiendo esas objeciones en física, pero en matemáticas considero que la definición de cardinal infinito es una generalización perfectamente válida de los números naturales, esto es, los cardinales finitos. ¡Gracias por el comentario!
Y realmente si colocamos definición a la eternidad atenuamos simultáneamente su carácter infinito y lo colocamos en la posición de un elemento finito, es por eso que la eternidad debería ser indefinible para darle la particularidad de infinitud, esto a si mismo ya es una paradoja por qué la idea de infinito ya la hace un elemento existente dentro de un conjunto más grande. La respuesta es más espiritual que científica, universo material el de lo tangible, y universo espiritual el de lo intangible, el mundo de las ideas, la reflexión humana, la inteligencia y creatividad, la suma de los dos universos nos da como resultado el cosmos infinito que pasa a ser infinito mientras nuestras mentes finitas no o puedan definir racionalmente, es infinito por qué a una definición propia de cualquier cosa la siguen otras para lograr su propia comprensión, nunca podremos llegar al descubrimiento pleno del conocimiento tan sólo hay una probabilidad en aumento de aproximación como en la probabilidad de desencriptacion del computador cuántico.
Claro que existe y además diferentes tipos de infinitos. No se trata de si ayuda. El descubrimiento de los diferentes cardinales infinitos pone de relieve que algunos conceptos son más complejos de lo que uno pensaba pero no se puede dar la espalda a una realidad matemática. ¡Saludos!
He pasado el vídeo. Ya esta bien de enseñar matemáticas como si fuese el coram. El dichoso libro de la estantería equivale al cardinal y este no puede pertenecer al conjunto. Ya que si metemos el cardinal en el conjunto tendríamos un cardinal que se va al infinito. Sigo con este churro.
Sigo sin ver dónde hay algo infinito más allá del concepto matemático. De hecho, aunque existiera, es un oxímoron conocer el infinito real, ya que somos finitos. ¿Ó acaso insinúas que la matemática predice la realidad? Porque es un tema complejo a discutir
Estoy un poco confundido. Hasta donde sé hay más números racionales que números naturales. Supongo que la clave es que la bisección es con los enteros. 😅
El conjunto de números naturales, el de los números enteros y el de los números racionales tienen el mismo cardinal ya que podemos definir biyecciones entre estos conjuntos. Un conjunto cuyo cardinal es mayor que el de estos tres es el de los números reales. En este vídeo ua-cam.com/video/hePMBrVSZtw/v-deo.html vimos una demostración de que NO es posible encontrar una biyección entre el conjunto de números naturales y el de los números reales. De hecho hay infinitos cardinales distintos pues si X es un conjunto, el conjunto formado por todos los subconjuntos de X (que se denomina conjunto potencia de X y se denota por P(X)) tiene cardinal estrictamente mayor que el de X. Este teorema se denomina TEOREMA DE CANTOR y en este vídeo dimos una demostración del mismo: ua-cam.com/video/ehlXpfFuLvI/v-deo.html Un saludo
Fantástica su explicación, me acaba de salvar un día muerto!, gracias, y como dicen ustedes : eres muy majo... (no se que putas significa pero suena bien, un cumplido, creo)
El infinito es relativo y depende de a quien le preguntes En electricidad si pongo en corto una pila de 1.5 volts se dice que l corriente se eleva al infinito, pero ese infinito no es tan grande como,para fundir un trozo de alambre, por el contrario, si ponemos en corto una fuente de 220 volts 2 fases, la corriente se eleva a tal punto de fundir el alambre que conecta los puntos, entonces, o el infinito de la pila de 1.5 es menos infinito que el de la corriente 220.?
Los números naturales son infinitos. Einstein dijo que había 2 cosas infinitas; el universo y la estupidez humana, aunque de la primera tenía sus dudas.
@German Todos los humanos somos falibles, Einstein tampoco sabía ordeñar , ni sacar muelas , ni sembrar coles, lo que demuestra que su decir acerca de la estupidez humana sigue vigente, la ciencia es una labor institucional, autocorregible, democrática y no apta para esótericos y religiosos, saludos.
@German Trato de decir lo mismo, tuvo ideas brillantes pero como buen ser humano cometió errores, quiero discrepar un poco entre las matemáticas y la física, por ejemplo en matemáticas las paralelas son dos líneas que nunca se interceptan, en el universo real no existe el paralelismo, ya que los objetos comban el espacio; cosas que existen en las matemáticas no existen en un universo, del que cada vez sabemos es complejo , de difícil acceso y entendimiento, saludos.
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FT customer
Yo digo que el infinito no existe porque no hay nada en el universo que sea infinito
@El tripulante morado A que no
@El tripulante morado tengo 12
Este vídeo es genial. Explicación más que perfecta y acompañada de unas animaciones increíbles. ¡Enhorabuena! :)
¡Muchas gracias Mike! El Cantor neolítico nos quedo chulo 🤣
@@ArchimedesTube está guapísimo!
[∞,-∞]ʃδ(x)Dx=1 .La famosa delta de Dirac relacionada con la transformada de Fourier.
Maestrxs
"una construcción sutil y bella", esa es la definición de las mates.
Soy de esa opinión también!
11:59 imagine presentar una tesis de esa forma.... woooowwww....... genial!!!
¡Muchas gracias!
Este canal es sumamente increíble :)
Estoy orgulloso de haberlo encontrado!
Nos alegra que te guste!!
Estos vídeos son los que uno quiere que nunca se acaben. Muy bonito el vídeo, gracias por compartir todo esto. Un abrazo.
¡Muchas gracias! Un abrazo
Me encantó el video!!!
Gracias por el esfuerzo de divulgación
Nadie nos podrá expulsar del paraíso que Cantor creó para nosotros
¡Gracias Ricardo! Yo también soy de la opinión de Hilbert 😃
Que excelente manera de explicar!!, no se como te superas en cada video profe..
¡Muchísimas gracias Juan! 😀
Grandioso video y nunca me cansaré de decir que este es mi canal favorito de matemáticas.
¡Muchas gracias migfed! Nos anima mucho a seguir adelante
Me encanta como planteas y explicas cuestiones difíciles que se vuelven obvias y fáciles al escucharte. Llevo tiempo siguiéndote con interés. ENHORABUENA por tu canal.
Félix
¡Muchas gracias Felix por el comentario!
Magnifico. La capacidad de explicar conceptos complejos de forma entendible es enorme en este canal. ¡Enhorabuena!
¡Muchas gracias Rubén! 😃
Excelente vídeo, en especial por las definiciones explicitas de las biyecciones, son muy interesantes. Allí cuando se habló de los números triangulares, me vino a la cabeza la generalización de la sumas iteradas consecutivas con los polinomios de Bernoulli, creo que sería interesante que se tratara este tema.
Sobre los números de Bernoulli tengo cientos de ideas pensadas. De hecho gran parte de mi investigación reciente ha estado conectada con esos maravillosos números como este artículo:
www.degruyter.com/view/journals/form/29/2/article-p277.xml
Este vídeo sobre el infinito me ha dejado mucho más que los que he visto sobre el mismo tema. La verdad muchas gracias por compartir ese conocimiento tan pedagógicamente.
Mil gracias por el comentario!
habría que poner el "me encanta" como boton en videos
¡Muchas gracias! 😊
Estudio psicoanálisis y seguro has escuchado que para aproximarse a fundamentos básicos en la lectura psicoanalítica se hace uso de teoría de conjuntos y de la topología (desde las entendederas que no expertos en matemáticas): tus videos son de gran utilidad. Gracias.
¡Wow! Nunca imaginé vivir para ver estás demostraciones.
¡Excelentes vídeos! Sigan así. 🤩🤩🤩
¡¡Muchísimas gracias TitO!!
Me encantó el video!! Un abrazo :)
¡Muchas gracias Juan Ignacio! En un par de días vamos a publicar la continuación de este vídeo viendo el Teorema de Cantor. Un abrazo
¿Podrías hablar sobre los cardinales inaccesibles, de Woodin, Ramsey, y grandes cardinales?
Hola Alejandro,
Queremos seguir haciendo vídeos sobre teoría de conjuntos y los fundamentos de las matemáticas. Buscaré referencias sobre cardinales inaccesibles para ver donde y cuándo incluirlo.
¡Saludos!
@@ArchimedesTube gracias por responder
Muy muy buen vídeo. Muchas gracias y enhorabuena!
¡Muchas gracias por el comentario!
Feliz de haber hallado este canal. Muchisimas gracias.
¡Gracias a ti por ver nuestros vídeos!
muchas gracias por el contenido, y se nota que es buena persona por la manera tan atenta en que lo comunica, se preocupa por el alumno, gracias por todo
Me encanto el video , gracias por dedicar tiempo a ello, espero con ansias el siguiente
¡Gracias! Estamos preparándolo
¿A poco, se acabarán los elementos/componentes de alguno de los conjuntos de cardinalidad/ordinalidad diferente, antes que los del otro? ¿enserio, se acabarán los de al menos uno de ellos?
Que pasada de video!! Amo como combinas el formalismo matemático con las animaciones :D
¡Muchas gracias! 😀
Excelente video. Es decir que en cálculo estamos lidiando con un infinito potencial más no con el infinito actual, aunque en análisis no estandar se introducen los números hipereales... Necesito estudiar más.
La hipótesis del continuo y su indemostrabilidad me aterra y me asombra.
Hay muchos temas realmente anti-intuitivos en matemáticas. Tenemos pensados varios vídeos para los meses próximos. ¡Saludos!
Genial. Excelente Video Gracias!!!
¡Muchas gracias por el comentario!
Es que ya van dos veces, que al ver un video tuyo, resulta que aprendo algo crucial.
Si ves un trabajo español, sobre teoría de conjuntos, en los próximos dos años, recuérdame, con todo mi permiso que tu canal debía estar en la bibliografía.
Y si, no sé si se puede o no mencionar un canal de youtube, o si hace falta una referencia estandarizda.
Tengo poco tiempo con la gente que me reuno y todavia no hemos llegado a los protocolos de publicacion
te comento que con tus videos hice un seminario en mi lugar de trabajo, y también en charlas con familiares, llamado: matemáticas puras para no matemáticos. Ha sido todo un éxito, lo entienden y ahora si alguien les pregunta qué son las matemáticas, van a tener una idea muy digna de éste hermoso lenguaje.
¡Muchas gracias por el comentario! Nuestra intención a la hora de hacer vídeos siempre ha sido hacer fáciles temas de matemática pura complejos. No hay matemática por más avanzada que sea que no se pueda explicar de forma clara. Gracias de nuevo por el comentario
Hola ✖️➕➖➗s
soy estudiante universitario y ando en la onda matemática.
Hay 4 saberes dentro del saber holistico matemático que se tienen que dominar en conjunto de lo contrario no nos formanos como buenos profesionales.
1: El saber CÓMO se hacen las cosas en matemática. También conocido como el saber PROCEDIMENTAL manual o ALGORITMO.
2: El saber el PORQUÉ de cada cosa que se hace en matemática.
3: El saber PARA QUÉ se hace lo que se hace en matemática, es decir en que se puede aplicar o posibles futuros usos el hacer matemático.
4: Este es un nuevo saber en el mundo actual computarizado.
El saber ALGORITMICO COMPUTACIÓNAL es decir como llevar lo que se hace en el saber procedimental y manual a operaciones u órdenes matemáticas por computador, en otras palabras saber manejar paquetes matemáticos como Maxima, Maple, Mathematica, Xcas
Dentro de estos paquetes están los paquetes númericos como MatLab, Numérico-Símbolico como los mencionados anteriormente, también conocidos como CAS o Computer Algebra System o en español también conocido como SAC o Sistema de Algebra Computaciónal
Por favor puedes ahondar y exponer en un nuevo video sobre el tema de los saberes holisticos en matemática y crear un nueva serie exponiendo el 4to saber, es decir iniciar una serie de vídeos en algún paquete matemático.
Yo recomiendo Máxima por que es gratuito
Gracias totales 👍
Excelente explicación, felicitaciones.
¡Muchas gracias Adrian!
Muy Buen Video!!!
Gracias!!
Sigue haciendo vídeos así, son una herramienta muy valiosa :).
¡Muchas gracias Kevin!
Que pulso, primer video y ya subscrito.
Gracias! 😊
8:01 creo si lo multiplicas por el resto cambiado de signo, al dividir los números entre dos... no hace falta definirla por partes... "creo"
En efecto, se puede definir como f(n)= [-1+(-1)^n (2n+1)] / 4.
Si n es par se tiene f(n)=[-1+(2n +1)]/4 = 2n / 4 = n/2;
Si n es impar se tiene f(n)=[-1-(2n+1)]/4 = [-2n-2 ]/4 = -2 [n+1]/4=- (n+1)/2
obteniendo la función a trozos del vídeo. Pero dudamos si incluirlo iba a aportar información o podía hacerse el vídeo mas arduo (de lo que ya es).
Me encanto este video. Muy claro e interesante👍
¡Muchas gracias Jose!
Genial vídeo, saludos
Gracias! Saludos!
Excelente
Gracias! 😊
hola, que maravilla ver estos temas muy bien explicados, gracias y un saludo desde bogota,,,
¡Muchas gracias! Saludos desde Málaga
Fantástico, muchas gracias!
Gracias!
¡Hermosas explicaciones! ♡
¡Muchas gracias Jaime! 😀
Gracias, muy interesante la exposición..
¡Muchas gracias Jaime!
¿Podría hacer un video con una demostración sobre porque los números reales contienen un cardinal mayor al de los números naturales? En la mayoría de videos solo usan el ejemplo de la diagonal pero no lo desarrollan matemáticamente, me gustaría muchísimo.
Y tal vez para mas adelante algún video sobre la hipótesis del continuo, dicho tema me fascina.
Hola Brandon,
De hecho antes de este vídeo ya hicimos uno demostrando que el cardinal del continuo es mayor que aleph cero. Aquí te dejo el enlace:
ua-cam.com/video/hePMBrVSZtw/v-deo.html
La demostración de este vídeo utiliza el límite de una serie geométrica y la encontramos en un libro que nos gusta mucho "¿Qué es la matemática?" de Richard Courant.
Respecto a la hipótesis del continuo, tenemos pensado seguir publicando algunos vídeos sobre cardinalidad y fundamentos de las matemáticas
¡Saludos!
Excelente vídeo, y lo de los polinomios generalizados de Cantor suena interesante.
A mi también me resultó interesante ese problema abierto. En cuanto se pone uno a indagar en cualquier tema encuentra tesoros.
Vaya, he visto una función biyectiva explicita de los naturales a los racionales. Ya puedo presumir :-)
Cuando yo encontré esa construcción pensé lo mismo 😀
No lo puedo creer.
No lo puedo creer!
Muy buen video, gracias y saludos de la CDMX.
¡Muchas gracias Ricardo! Saludos desde Málaga
Simplemente: excelente vídeo
¡Muchas gracias Nick! 😀
Hola que tal saludos, buena explicación y tema interesante y wuuuau tus animaciones están increíbles, si se puede saber con qué programa o plataforma los realizas me ayudarías mucho con un proyecto que tengo
¡Gracias Benjamín! La parte matemática la hacemos directamente con PowerPoint, pero las animaciones con personajes, hacemos los dibujos de Adobe Illustrator y los animamos con After Effects. Saludos
Gracias! porque encontré respuestas a muchas dudas!
Nos alegra mucho que nuestros vídeos sean de ayuda!
Menos mal lo habías dejado hasta ahí por que ya me iba a explotar la cabeza.
Como siempre, como la madera, calidad.
¡Gracias Emmanuel! La inversa de la función de Cantor pensé incluirla, pero como dices iba a ser demasiado para un solo vídeo.
¡Saludos!
6:45 de dónde sale eso? Jamás lo había oído, podríais indicármelo? Gracias :)
de donde sale qué cosa?
@@ArchimedesTube usar Z para denotar el conjunto de enteros debido a q en alemán número es «zhalen». Primera vez q lo oigo :0
Ah! Si. Mucha notación en matemáticas viene del alemán. Por ejemplo, para hablar del núcleo de una aplicación lineal usamos la palabra alemana Kernel.
@@ArchimedesTube pues la verdad q nunca m había preguntado de dónde venían los símbolos para los conjuntos de números, y m ha sorprendido: esperaba un motivo más internacional(?).
Gracias!
Sobre lo de Kernel, la verdad yo escribo y digo 'núcleo', pero si q se ve mucho.
Había leído antes que habían infinitos más grande que otros, argumentaban que, si a cada número natural le corresponde un racional siempre se podría crear otro racional entre dos de ellos. Pero aquí veo que se puede corresponder a cada racional un natural lo que implicaría que ambos conjuntos son iguales, o no??? Me pueden aclarar esto????
El conjunto de números racionales tiene el mismo cardinal que el de los naturales. En efecto, hay tantos números racionales como naturales. En el vídeo de hecho se define explícitamente la biyección entre ambos conjuntos. Hay otras formas no tan explícitas de ver esto escribiendo una tabla de doble entrada con infinitas filas y columnas en la que en la intersección dela columna m con la fila n situamos el racional m / n. Podemos ir recorriendo esta tabla que contiene a todos los racionales positivos empezando por la fila 1 columna 1, esto es, (1, 1) y asociarle el 1 y después ir recorriendo toda la tabla avanzando en zig-zag y asignando a cada racional un número natural 2, 3, 4, ...
Esta función es sobreyectiva pero no inyectiva, es decir, algunos racionales los contamos dos veces. Por ejemplo 1/2 está en la columna 1 fila 2. Pero también está en la columna 2 fila 4 pues 2/4 = 1/2.
Por eso en le vídeo si definimos explícitamente la función uno-a-uno entre los naturales y racionales.
¡Saludos!
@Jose Avila Ok, gracias.
@@ArchimedesTube 👍, gracias.
buen video
¡Gracias!
Y cual es el cardinal de números irracionales?
Hola Nweorden,
El cardinal de los irracionales es el cardinal del continuo. De hecho, Cantor probó que los números algebraicos, esto es, números que son solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros son numerables. Estos números algebraicos incluyen a todos los enteros ( pues son solución de la ecuación x-a=0 ) y los racionales ( que son solución de ax - b = 0 ) pero también a muchos irracionales ( x^2 - 2=0 tiene por solución las raices de 2 ). Los números trascendentes son aquellos que no son algebraicos, es decir, aquellos que no son solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Algunos números trascendentes son π o el número e, pero en general es bastante difícil probar que un número es trascendente. Sin embargo el conjunto de números reales ℝ tiene cardinal c, el cardinal del continuo y dado que ℝ es la unión disjunta de los conjuntos de números algeberaicos y los números trascendentes y los algebraicos son numerables, se deduce que el conjunto de números trascendetes (que están incluidos en los irracionales) tiene cardinal c.
¡Saludos!
@@ArchimedesTube claro profesor pero de lo que he entendido para probar si dos conjuntos tiene el mismo cardinal se debe encontrar una función biyectiva entre ambos, esto es por definición.
Usted uso otro razonamiento para encontrar que tanto el conjunto de los trascendentes y el de los iracionales tiene como cardinal el continuo.
Primero para probar que los iracionales su cardinal es el continuo, partió aceptando que los tracendentes tienen como cardinal el continuo y al ser estos un subconjunto de lo iracionales se probaría que también los iracionales tienen como cardinal el continuo.
Pero yo le podría dar un contraejemplo donde esté razonamiento no funciona. Partiendo que el conjunto de los números naturalez tiene como cardinal aleph 0 y que también es un subconjunto de los reales entonces siguiendo el mismo razonamiento, se deducirá que los reales también tienen como cardinal a aleph 0, pero sabemos que no es así ya que la prueba real para saber que los reales y naturales tienen diferente cardinal es que es imposible encontrar una función biyectiva entre ambos conjuntos.
Ahora para demostrar que el cardinal de los trascendentes es el continuo el razonamiento empleado fue que los reales es la unión de los conjuntos disjuntos tracendentes y algebraicos y al tener los reales cardinal el continuo y los algebraicos cardinal aleph 0 entonces implica que los tracendentes necesariamente su cardinal tiene que ser el continuo.
Tal como lo veo esté razonamiento tendría que ser un teorema es decir se tendría que demostrar que al tener tres conjuntos A, B y C donde A es la unión de B y C y B y C son conjuntos disjuntos. Y A tiene como cardinal digamos un "a" y B como cardinal un "b" y siendo "a" mayor a "b" entonces esto implicaría que C tiene como cardinal a "a" el mismo cardinal que el conjunto A.
Porque para mí la única manera de probar si dos conjuntos tienen el mismo cardinal es partiendo de la definición es decir que entre ambos conjuntos se pueda hallar una función biyectiva, los otros tipos de razonamiento tendría que demostrarse si no sería definiciones también.
Yo tengo una duda desde la universidad. Un profesor nos dijo que si teníamos dos conjuntos A y B y dos funciones suprayectivas, una de A a B y la otra de B a A, era posible construir una función biyectiva entre ambos conjuntos. Nunca entendí cómo, ni tampoco sé el nombre del susodicho teorema.
Hola Luis,
El teorema al que te refieres es el Teorema de Schroeder-Bernstein (que también se conoce como el Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein porque Cantor lo utilizó incluso antes de que se demostrara por Schroeder y Bernstein por considerarlo obvio), pero no es exactamente como lo enuncias.
El teorema dice que si tenemos dos conjuntos A y B y dos funciones inyectivas una de A en B y otra de B en A es posible construir una función biyectiva entre ambas.
Sin embargo, uno se puede plantear la versión suprayectiva que tu comentas. Hace un tiempo estuve indagando si esto se podía demostrar y encontré algo bastante curioso. La versión suprayectiva es cierta pero requiere del axioma de elección (el último de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sobre el que existe cierta controversia), mientras que la versión inyectiva no necesita hacer uso de tal axioma para demostrarse.
Este tipo de asimetrías en la "dualidad" inyectivo/suprayectivo siempre me ha parecido tremendamente misterioso.
Un saludo,
Urtzi
@@ArchimedesTube Gracias. Le daré una lectura y una pensada. No lo tengo tan fresco, pero recuerdo que una función es suprayectiva si tiene inversa derecha. Pero esa inversa tendría que ser inyectiva, no? ¿o la existencia de la inversa derecha requiere el axioma de elección para el caso infinito? Bueno, no me hagas mucho caso. Estoy pensando en ello. Gracias.
@Jose Avila ¡Gracias, José!
Que video mas hermoso
¡Muchas gracias Jose!
Qué nervios, voy a tener Análisis real el próximo semestre ya y se ve muy interesante cómo se puden usar funciones para todo
gran video, esa última biyección me dejó atónito.
Tengo una pregunta, que no es sobre el tema, pero, ¿porque es tan difícil calcular el perímetro de una elipse?
¡Gracias por el comentario Carlos! Pues no se bien que responder a tu pregunta pues yo soy topólogo y para nosotros un donut y una taza son lo mismo y una elipse y un cuadrado también 🤣.
Aparte de bromas es cierto que no conozco cuál es la razón de dicha dificultad pero si encuentro alguna buena referencia te escribo aquí.
¡Saludos!
Carlos el problema es que hay funciones continuas ( y por lo tanto integrables) de las cuales no podemos escribir su primitiva. Por ejemplo la integral de e^(-x^2) no se puede escribir como "combinacion" de funciones "normales" (piensa como calcularias la integral de 1/x si los humanos no le hubieramos dado un nombre a la funcion logaritmo). De manera similar, al querer calcular el perimetro de un elipse hay que calcular una integral de una funcion de estas. Si quieres ver que integral es busca en www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse-perimetro.html y baja hasta "la formula perfecta".
@@ArchimedesTube Jajaja siempre es bien recibido el humor, dale, esta bien, te agradesco
@@aurelosquino646 uyyy gracias por la información, voy a echarle un vistazo
Aleph cero es lo mismo que aleph subcero?
Si, solo cambia en si mencionamos que el cero es subíndice o omitimos ese detalle
@@ArchimedesTube Gracias
22:05 He estado mirando la formula de los polinomios de Cantor generalizados, y si entiendo bien Pk(4) = Pk(1,1) = 4...y si esto es cierto. TENGO ALGO QUE PUEDO PUBLICAR, sin necesidad que lo chequee nadie pq estaría en mi nivel poder decicir si es correcto o no. Una SIMPLIFICACIÓN de mi fórmula me permite crear UNA biyección en la que Pk(4) es distinto de Pk(1,1), y usando la misma formula, puedes asignar naturales UNICOS a toda posible tupla de k elementos. O sea, no siendo k un valor concreto, toda posible tupla de cualquier posible tamaño. La unión de la tuplas de tamaño 1, de tamaño 2, de tamaño 3.. así hasta el infinito. Necesito "simplificarla" para quitar el caso k= infinito :D.
EDIT: Perdona que sea pesado, pero no soy matemático y necesito MUCHO TIEMPO de otros matemáticos para trabajar con ellos. NECESITO PUBLICAR ALGO que me otorgue el "valor" para demostrar que me merezco ese tiempo y frustración de trabajar con alguien que no es matemático. Y tener una alternativa "más flexible y potente" que los polinomios generalizados de Cantor tiene "pinta" de ser un resultado "mencionable"...
Es importante abordar los problemas (incluso los problemas abiertos) por uno mismo. De este modo uno va creando su propio arsenal de ideas matemáticas y aunque a veces uno piense que algo puede ser un resultado menor, es en los pequeños cálculos donde residen las ideas para teoremas importantes.
@@ArchimedesTube Nah, ya me acaban de recordar que lo tengo es una alternativa diferente, pero la descomposición en primos ya hace lo mismo. Si coges los exponentes de los primos, tienes una biyección entre todas las posible stuplas de cualquier tamaño y N... yo no uso numeros primos, pero no es nada significativo, solo mirando eso. GRACIAS POR RESPONDER! estas cosas me ayudan un montón a descartar opciones.
Teoría al fin y al cabo ,
No había visto la demostración de que los racionales también tienen el mismo cardinal de N de esa forma. Muy buen trabajo.
Muchas gracias María del Carmen! Yo conocía la forma tradicional de ver que los racionales son numerables contando la retículo N x N en zig zag, pero esto no da una biyección explicita al contarse los racionales varias veces 1 / 2 y 3 / 6 se cuenta dos veces pero son el mismo número racional. Pero la biyección del vídeo es totalmente explicita tanto ella como su inversa. Cuando descubrí la biyección me encantó!
Gracias de nuevo por el comentario!
Excelente, mis felicitaciones. Me he vuelto fanático de tu canal. Saludos desde Perú.
¡Muchas gracias Néstor! 😊. Saludos desde España
Una peticion: un video sobre la hipótesis de Rieman, los números primos y las cosas que sescansan en este resultado sin que este demostrado
Hola Luis,
En su momento hicimos un vídeo sobre el producto de Euler y origen de la teoría analítica de números y la hipótesis de Riemann.
Pero un vídeo viendo implicaciones de la hipótesis de Riemann sería una buena idea. De hecho tengo una referencia muy buena para sacar buena información "The Riemann Hypothesis. A resource for the afficionado and virtuoso alike" de Peter Borwein, Stephen Choi, Brandan Rooney y Andrea Weirathmueller.
Un enunciado equivalente de la hipótesis de Riemann que comenta este libro es que un número entero tiene igual probabilidad de tener una cantidad par de factores primos distintos que una cantidad impar.
¡Saludos!
Magistral. Quiero más.
¡Muchas gracias!
pense que ibas a hablar del problema del continuo
Vamos poco a poco. Hay un montón de temas que estamos preparando
Seria bueno un video explicando el problema del "concurso de elegir entre 3 puertas" o problema de Monty Hall. Es un problema de comprension de conceptos de probabilidades. Nos presentan 3 puertas, detras de una sabemos que hay un coche y detras de las otras 2 hay una cabra respectivamente. Elegimos una y el presentador nos hace una oferta, nos abre una de las otras dos puertas donde vemos que habia una cabra, esto puede hacerlo porque el presentador sabe lo que hay detras y nos dice : Ahora puedes cambiar tu eleccion inicial de entre las 2 puertas que aun quedan, una es la que elegiste y ahora puedes elegir la otra si lo deseas..... Se puede demostrar matematicamente que ES MEJOR cambiar a la puerta que nos ofrece el presentador.
Cuando comprendi esto me lleve una sorpresa, puesto que muy pocas personas llegan a la solucion correcta y solo despues de razonar comprendes que ES MEJOR el cambio de puerta.
Gracias por leer al menos mi sugerencia y enhorabuena por el canal, llevo ya mucho ,tiempo subscrito.
Gracias por la sugerencia. Conocía desde hace tiempo el problema de Monty Hall. He llegado a tener discusiones con otros matemáticos que no llegaban a ver que el cambio mejoraba las probabilidades el doble ( se pasa de 1/3 a 2/3 ).
La mejor forma de verlo es cambiar el número de puertas. Me explico, el procedimiento es el siguiente:
1. Eliges una puerta (la probabilidad de conseguir el coche es 1/3 y la de conseguir una cabra 2/3).
2. El presentador (que conoce donde está el coche, dato importante) abre una puerta con una cabra y te da la opción de cambiar tu puerta por la que queda cerrada.
3. Dado que el presentador siempre va a poder elegir una puerta con cabra si cambias la puerta original por la que queda cerrada es cambiar tu puerta por las dos restantes y por tanto el cambio hace que la probabilidad de ganar el coche sea de 2/3.
Vamos a repetir esto pero suponiendo que el juego es con 100 puertas, 1 coche y 99 cabras:
1. Eliges una puerta (la probabilidad de conseguir el coche es 1/100 y la de conseguir una cabra del 99/100).
2. El presentador (que conoce donde está el coche, dato importante) abre todas las puertas restantes (98) con cabras salvo una que deja cerrada y te da la opción de cambiar tu puerta por la que queda cerrada.
3. Si cambias la puerta original por la que queda cerrada es cambiar tu puerta por las 99 restantes y por tanto el cambio hace que la probabilidad de ganar el coche sea de 99/100.
Sería interesante hacer un vídeo explicando esto. En unos meses nos gustaría retomar los vídeos sobre probabilidad y este es una buena opción.
¡Gracias!
Video supremo!
Parece el el cielo matemático puede esperar
Luego de llenar a este canal se que hay infinitos infinitos, y uno de ellos este cosmos.
Me parece que alguien ha borrado un comentario mío (al menos yo no lo encuentro) en el que alababa el vídeo pero señalaba algunos errores. Básicamente tres. Uno, dos conjuntos no son equivalentes si tienen el mismo nº de elementos sino si tienen los mismos elementos. Dos, a la hora de considerar los subconjuntos propios de un conjunto no hay que dejar de lado el conjunto vacío. Tres, no es correcto decir que Galileo se equivocaba al afirmar que los conjuntos infinitos no tienen cardinal: la comunidad matemática no es unánime respecto a eso; de hecho, muchos matemáticos, como Feferman, piensan que el problema del continuo de Cantor no está bien definido y a pesar de ser el primer problema de la famosa lista de Hilbert, no fue seleccionado por el Instituto Clay como uno de los grandes problemas irresueltos de las matemáticas.
Solo borramos comentarios que contengan algún tipo de insulto. No recuerdo haber leído el comentario al que te refieres.
1. Dos conjuntos A y B son iguales (A=B) si tienen los mismos elementos, esto es, si todo x ϵ A verifica que x ϵ B y recíprocamente si todo x ϵ B verifica que x ϵ A.
La relación de igualdad es una relación de equivalencia, pero podemos definir otras relaciones de equivalencia como por ejemplo decir que A ≡ B si existe una biyección A --> B (que satisface las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva) que para el caso de conjuntos finitos es lo mismo que decir que A tiene el mismo número de elementos que B.
A veces en los vídeos tenemos que dar un mensaje de forma sintetizada y puede dar lugar a ciertas ambigüedades o imprecisiones.
2. La definición de subconjunto propio de un conjunto X, es todo subconjunto Y que no sea ni el vacío ni el propio X. Esa es la definición. Es cierto que la desigualdad del vídeo |Y|
No se como llegue a este video y no entendí nada pero, Buen Video :)
Hola! La segunda parte del vídeo es un poco difícil pero nos alegra que te haya gustado.
En unos días publicaremos el siguiente vídeo de esta serie. Esperamos que también te guste!
Ahora entiendo por que cuando preguntaba en la primaria por el infinito solo me respondian: "El infinito es todo lo que no se puede contar". Creci por años pensando que el Azúcar y la Arena eran infinitas xD
Pues infinito no es un número, es una cantidad.
@@mrjeoa Ser una cantidad implica encontrarse en el conjunto de números reales cuya denominación individual es finita
Más bien es solo un concepto, si fuera real el infinito daría lugar a paradojas, mira el hotel infinito de hilbert
Los mejores
¡¡Gracias!! 😀😀😀
Tengo una duda que he planteado pero hasta ahora nadie me ha dado respuesta , seria un cambio en la definición de cardinal que eliminaría la paradoja de que las partes sean igual que el todo que se da en el.ejemplo del video entre números pares naturales y el conjunto de los naturales, y la duda es por qué se descartó la definición que voy a proponer, mi idea es que si yo la he pensado también debieron de pensarlo los matemáticos que nombras u otros. Bueno te propongo
Nuestro razonamiento funciona a través de relaciones. Toda la matemática que conocemos se comprta de manera perfecta con relciones. Si tu tomas como verdadero eso, casi estas desterrando a las relaciones, lo que implica que tendrías que buscar otros métodos para poder contar, para poder sumar, para todo.
Si, no eres el único que lo ha pepnsado, pero matemáticamente no se ha encontrado algo consistente que pueda utilizarse bajo esa definición.
Parafraseando a Hilbert: puedes crear cualquier geometría definiendo las cosas de manera diferente, pero ten encuenta que si defines una recta de una forma diferente, ya no podemos estar hablando de la misma recta, por lo tanto ni se hablaría de la misma geometría, salvo que encuentres una forma de que ambas geometrías sean consistentes y demuestres que son iguales.
Leer un poco sobre la historia y construccion de las geometrías no euclideanas te ayudaría a responderte a ti mismo esa pregunta
@@hardiromero5520 es que se le cortó esto sin plantearte lo que había pensado, dejame que te lo cuente y me respondes, vale? De todas maneras muchas gracias por contestar. A ver , cuando dos conjuntos finitos tienen el mismo cardinal, todas las aplicaciones inyectivas en los dos sentidos son también biyectivas , a ver no digo que inyectividad implique biyevtividad , pues biyectivo implica inyectividad y sobreyectividad , sólo digo que cuando dos conjuntos finitos tienen el.midmo cardinal todas las aplicaciones inyectivas de un conjunto al otro o viceversa son biyectivas, por ejemplo, en ejemplo que propones del George Cantor prehistórico cada piedra la emparejaba con una oveja , lo que estoy diciendo es que cualquier piedra podría emparejarse con cualquier oveja mientras que en la definición actual el problema es que " se fuerza esta emparejacion" pues es como si cada piedra concreta estuviera asociada a una oveja concreta ... no se si me explico. Entonces...por qué no definirlo así.
Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si ocurre alguna de estas dos cosas.
1. Son el mismo conjunto, es decir , lo conforman exactamente los mismos elementos
2. Todas las aplicaciones inyectivas de un conjunto al otro o viceversa son también biyectivas
Así, se eliminaría la paradoja que el todo sea igual que las partes y otras paradojas del infinito.
Entonces mi pregunta es que inconveniente tiene esta definición aquí planteada.
Gracias.
@@davidnunez8668 Creo que el inconveniente es que esa definición aparte de ser más difícil de demostrar y no funciona para infinitos. Puedes encontrar entre naturales y racionales aplicaciones inyectivas que no son biyectivas.
Además eso se aleja un poco de cómo cuenta el ser humano. El ser humano cuenta encontrando una función biyectiva si importar cuál sea, jamás he conocido a alguien que cuente estableciendo todas las posibles relaciones inyectivas y comprobando que cada una es biyectiva.
@@pablojairarandaperez5399 ¡¡¡claro que puedes encontrar aplicaciones inyectivas entre naturales y racionales que no son bitectivas, también entre el conjunto de los naturales y el de los naturales pares !!! Es una definición diferente a la existente , por eso dices que no funciona para los conjuntos infinitos y por eso creo que no has entendido la propuesta, ya sé que inyectividad no implica biyectividad aunque si ocurre algo contrario. La idea es justamente que no ocurra con los conjuntos infinitos para eliminar la paradoja de que la parte sea igual que el todo y otras paradojas , también creo que esta definición se ajusta más a contar que la otra , te pongo un ejemplo . Gente para entrar en un cine y los asientos que hay,por mi definición si hay El mismo número de gente que de asientos todos los asientos tendrán una persona y cada persona un asiento, pero , esta es la diferencia es que no importa cómo se asignen los asientos a las personas que van al cine , se haga como se haga cada persona tendrá un asiento y cada asiento una persona, sin embargo, tal como se define ahora es como si cada persona estuviera "obligada" a un asiento determinado, es lo que le pasa a la aplicación biyectiva f (x)= 2x de N a N par , si cada persona fuese un número natural y los asientos los pares , estaríamos " obligando" a la persona 1 a sentarse en el asiento 2, a la 2 en el 4 , etc. ¿ por qué? Sin embargo, Para saber si el número de personas y el de asientos es el mismo basta con que cada persona se siente en cualquier asiento libre y luego ver si quedan personas de pie o asientos vacíos o ninguna de ambas cosas. Luego la respuesta no puede ser por demostración sino por alguna otra causa, no sé si me explico, de todas maneras gracias por contestar.
@David Nunez creo que confundes lo que se define por contar. En ningún momento se obliga a que cada persona se siente en un asiento específico, simplemente con encontrar una forma basta. Así como relaciona los pares con los naturales por la función 2n, podría encontrar cualquier otra relación biyectiva. El punto es que basta con encontrar alguna, dada tu definición tendrían que probarse todas las inyecciones posibles y probar que son también biyecciones (véase que dices "todas").
Excelente video, solo palabras de gratitud a su labor. Pero le recomiendo que la ordene en una lista de reproducción para ser más fácil seguir la miniserie. Saludos desde Perú.
Si que existe, lo que no existe es la mente humana para comprenderlo y explicarlo
"2 conjuntos son indistinguibles si tienen la misma cantidad de elementos"
Vale , es suficiente, tengo prisa.
El infinito es el universo inclusivo de todo lo que existe, cómo siempre y por siempre abarcandose a su mismo es reflexividad del universo y todo lo que contiene.
Este vídeo no merece un like, ¡merece un súper like! Sin duda uno de tus mejores vídeos. Las animaciones son cada vez mejores, ¡enhorabuena!
¡Muchas gracias Julián!
Minuto 13 me perdí !!!!!!!!
Esa construcción de la biyección explícita entre N y Q es complicada, pero merece la pena verla pues normalmente sabemos que existe la biyección. Cuando la encontré por primera vez quedé en shock. ¡Saludos!
Hay un debate actual sobre usar las palabras existencia e infinito en la misma oración, sobre todo en física. Como objeto abstracto, idea, concepto...etc no hay duda que es "existe", así como existe el idioma español y el inglés. Pero existir, como existe un átomo o una nubecilla, no. Y al parecer tampoco hay objetos físicos que tengan asociadas cantidades medibles que sea infinitas. Es decir, un objeto no se extiende hasta "el infinito", o un sistema no posee "infinita energía"... etc. Ver por ejemplo:
www.nature.com/articles/s41567-019-0748-5?proof=t
www.nature.com/articles/s41567-018-0238-1
Salu2
Entiendo esas objeciones en física, pero en matemáticas considero que la definición de cardinal infinito es una generalización perfectamente válida de los números naturales, esto es, los cardinales finitos.
¡Gracias por el comentario!
@@ArchimedesTube Sí. Concuerdo. Es un tema fascinante que aun sigue dando de qué hablar!
Número en alemán está mal escrito, es "Zahlen" con la h después de la a indicando que se pronuncia alargando la a ("tsaalen")
Si si, nos lo indicó el cuñado de Miriam pero el error ya estaba :_( ¡Gracias por la indicación!
@@ArchimedesTube de todas formas es un video buenísimo que creo que voy a tener que ver de nuevo simplemente por gusto😂😂
Has anyone seen the behind-the-scenes?
😢😮🎉
En la mayoría de los contextos ingenieriles, el infinito es cualquier número mayor que mil. Jejeje
Y realmente si colocamos definición a la eternidad atenuamos simultáneamente su carácter infinito y lo colocamos en la posición de un elemento finito, es por eso que la eternidad debería ser indefinible para darle la particularidad de infinitud, esto a si mismo ya es una paradoja por qué la idea de infinito ya la hace un elemento existente dentro de un conjunto más grande. La respuesta es más espiritual que científica, universo material el de lo tangible, y universo espiritual el de lo intangible, el mundo de las ideas, la reflexión humana, la inteligencia y creatividad, la suma de los dos universos nos da como resultado el cosmos infinito que pasa a ser infinito mientras nuestras mentes finitas no o puedan definir racionalmente, es infinito por qué a una definición propia de cualquier cosa la siguen otras para lograr su propia comprensión, nunca podremos llegar al descubrimiento pleno del conocimiento tan sólo hay una probabilidad en aumento de aproximación como en la probabilidad de desencriptacion del computador cuántico.
Pero entonces el infito existe o no? En las matemáticas de hoy se probó que hay infitos más grandes que otros, y en definitiva eso no ayuda en nada.
Claro que existe y además diferentes tipos de infinitos. No se trata de si ayuda. El descubrimiento de los diferentes cardinales infinitos pone de relieve que algunos conceptos son más complejos de lo que uno pensaba pero no se puede dar la espalda a una realidad matemática. ¡Saludos!
Este video me causo pesadillas
El infinito tiene esa cualidad. Provocar pesadillas
Claro que existe
He pasado el vídeo. Ya esta bien de enseñar matemáticas como si fuese el coram. El dichoso libro de la estantería equivale al cardinal y este no puede pertenecer al conjunto. Ya que si metemos el cardinal en el conjunto tendríamos un cardinal que se va al infinito.
Sigo con este churro.
Sigo sin ver dónde hay algo infinito más allá del concepto matemático. De hecho, aunque existiera, es un oxímoron conocer el infinito real, ya que somos finitos. ¿Ó acaso insinúas que la matemática predice la realidad? Porque es un tema complejo a discutir
Estoy un poco confundido. Hasta donde sé hay más números racionales que números naturales. Supongo que la clave es que la bisección es con los enteros. 😅
El conjunto de números naturales, el de los números enteros y el de los números racionales tienen el mismo cardinal ya que podemos definir biyecciones entre estos conjuntos.
Un conjunto cuyo cardinal es mayor que el de estos tres es el de los números reales.
En este vídeo
ua-cam.com/video/hePMBrVSZtw/v-deo.html
vimos una demostración de que NO es posible encontrar una biyección entre el conjunto de números naturales y el de los números reales.
De hecho hay infinitos cardinales distintos pues si X es un conjunto, el conjunto formado por todos los subconjuntos de X (que se denomina conjunto potencia de X y se denota por P(X)) tiene cardinal estrictamente mayor que el de X.
Este teorema se denomina TEOREMA DE CANTOR y en este vídeo dimos una demostración del mismo:
ua-cam.com/video/ehlXpfFuLvI/v-deo.html
Un saludo
Fantástica su explicación, me acaba de salvar un día muerto!, gracias, y como dicen ustedes : eres muy majo... (no se que putas significa pero suena bien, un cumplido, creo)
¡Muchas gracias!
El infinito es relativo y depende de a quien le preguntes
En electricidad si pongo en corto una pila de 1.5 volts se dice que l corriente se eleva al infinito, pero ese infinito no es tan grande como,para fundir un trozo de alambre, por el contrario, si ponemos en corto una fuente de 220 volts 2 fases, la corriente se eleva a tal punto de fundir el alambre que conecta los puntos, entonces, o el infinito de la pila de 1.5 es menos infinito que el de la corriente 220.?
No entendi nada, pero buen Video👍
😅 Gracias!
Los números naturales son infinitos. Einstein dijo que había 2 cosas infinitas; el universo y la estupidez humana, aunque de la primera tenía sus dudas.
@German Todos los humanos somos falibles, Einstein tampoco sabía ordeñar , ni sacar muelas ,
ni sembrar coles, lo que demuestra que su decir acerca de la estupidez humana sigue vigente, la ciencia es una labor institucional, autocorregible, democrática y no apta para esótericos y religiosos, saludos.
@German Trato de decir lo mismo, tuvo ideas brillantes pero como buen ser humano cometió errores, quiero discrepar un poco entre las matemáticas y la física, por ejemplo en matemáticas las paralelas son dos líneas que nunca se interceptan, en el universo real no existe el paralelismo, ya que los objetos comban el espacio; cosas que existen en las matemáticas no existen en un universo, del que cada vez sabemos es complejo , de difícil acceso y entendimiento, saludos.
En matemática hay jerarquías de infinitos
Por eso hemos empezado por el primero Aleph_0...
¿Aleph no es el primer número hebreo?
1:35 eh eh!! El 0 SIEMPRE está en los naturales, no m toques el 0 q m pongo nervioso XD
🤣🤣🤣