DEMOSTRACIÓN - El Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein
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- Опубліковано 3 жов 2024
- Explicada paso a paso, de forma sencilla pero detallada, esta demostración consigue darle al teorema todavía más profundidad.
El Teorema de CANTOR-SCHRÖDER-BERNSTEIN que afirma que si tenemos dos conjuntos A y B (finitos o infinitos), una aplicación inyectiva de A en B y otra aplicación inyectiva de B en A entonces existe una biyección entre ambos conjuntos.
Este teorema es superútil para demostrar que dos conjuntos poseen el mismo cardinal (por ejemplo, los puntos de un intervalo y los de un cuadrado como vimos en nuestro vídeo anterior).
Este vídeo lleno de diagramas y animaciones permitirá entender la demostración de este teorema como si de un mero ejercicio se tratara.
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Profe usted alegra mi corazón con estos vídeos, para mi es lo más hermoso de la Matemática el demostrar. Los admiro mucho no sé detengan de seguir compartiendo su conocimiento.
¡Muchas gracias Esteffany!
Seguiremos preparando más vídeos con demostraciones detalladas.
¡Saludos!
@@ArchimedesTube los espero con ancias🥰
De las mejores explicaciones que he visto. Estoy muy agradecido de que al fin exista contenido en castellano que satisfaga de forma consistente los estándares de calidad del contenido anglosajón.
Muchas gracias. No sabes cuánto nos alegra leer tu comentario. Saludos
El rigor, los detalles, la exposicion. Son cosas imprescindibles para entender las matematicas pero que a veces los profesores se las saltan. BRAVO! Solo tengo palabras de agradecimiento y halagos por esta faena, trabajo y dedicación que le poneis. Porfavor no dejeis de publicar estas obras de arte taaan bonitas.
Quiero recalcar una vez mas que estos detalles y sutilezas con este rigor se encuentra muy pocas veces y se agradece muchisimo este contenido. QUE CALIDAD!
¡Muchísmas gracias! 😃
Dedicamos muchas horas a preparar el guion y hacer las animaciones para que sea lo más transparente y visual posible.
¡Saludos!
Creo que nunca había visto ningún canal explicar cuestiones matemáticas de forma tan clara y sin perder el rigor ni el detalle en ningún momento, ¡excelente! 👏✨️
¡Muchas gracias! Mañana tenemos nuevo vídeo al que hemos dedicado mucho tiempo y creo que es el mejor que hemos hecho hasta ahora en el canal ¡No te lo pierdas!
@@ArchimedesTube 👍👍
Muchas gracias , tengo una enciclopedia antigua, y tenía demostraciones , de conjuntos, para mí seguían siendo misterios que no pude entender en la universidad, su canal es una inspiración.
¡Muchas gracias!
@Farkas WolfDietrich enciclopedia de las matemáticas vinogradov
gran contenido, espero el próximo estreno!!
¡Muchas gracias Fabian!
Ahora necesitamos algunas semanas de trabajo para terminar el próximo vídeo, pero nos estamos dejando la piel para hacerlo muy dinámico!
Esto pudo haber sido de gran ayuda si hubiese estos tipos de videos en mis tiempos de estudiante de matemáticas, estás visualizaciones son bastante intuitivas, diferente de como me enseñaron en mis tiempos
¡Muchas gracias luz! Justamente esa es nuestra idea en el canal. Facilitar la comprensión de resultados complejos a través de animaciones y demostraciones visuales.
¡Saludos!
haz hecho un excelente trabajo , se que no muchos ven este contenido y eso puede desanimar, pero espero que estos animos te ayuden a continuar con este extraordinario trabajo que haces.
Ya lo comparti con todos mis amigos de la facultad! justo estamos viendo calculo multivariable y teniamos que ver esta demotracion... pero tu la explicas mucho mejor que nuestro profesor jajaja
¡Muchas gracias Daniel!
Nos anima mucho saber que resultan de utilidad nuestros vídeos. A lo largo de la semana próxima queremos publicar el siguiente vídeo de esta serie que nos ha llevado bastante tiempo terminarlo pues está lleno de ilustraciones y animaciones además de contener matemáticas muy chulas.
Te voy a acusar con Bucio, Amaury, JAJAJAJA
@@calderonortizkevin9470 😂😂🤣😂
Excelente la demostración, felicitaciones
Vuestros videos valen oro !!! Michael gracias
¡Muchas Gracias!
Aquí esperando al estreno!!!! Que ganas de demostrar el paraíso que Cantor creo para nosotros!!!!
Pd: Llevo la camiseta ahora mismo xd
Jajajaja yo también llevo puesta esa!
Magnífico video, una vez más.
Felicidades por el gran trabajo que estáis haciendo.
Se echan de menos los siguientes videos de estructuras de grupos
Uno de mis teoremas favoritos, en primer semestre de matemáticas fue probablemente una de las cosas que más me sorprendió y me hizo enamorarme un poco más de las mates, gran contenido como siempre ❤️
La verdad es que es un resultado sorprendente y más aun cuando se ven las aplicaciones tan importantes que tiene. En el vídeo anterior lo utilizamos para ver que el conjunto de puntos de un intervalo y el conjunto de puntos de un cuadrado tienen el mismo cardinal pero me parece más soprendente aún su uso para ver que el conjunto de puntos de un intervalo y el conjunto potencia de ℕ son biyectivos.
¡Saludos!
Nosotros lo utilizamos aquella vez para probar que el conjunto partes de N y los números reales tienen el mismo cardinal, fue precioso.
Claro y bien explicado. Gracias
¡Muchas gracias!
💘💘💘💘 Me encanta. Qué nostalgia de primero del grado...
Gran vídeo. Claro y directo :)
Gracias! 😊
Me encanta tu canal, me encantó darme cuenta que la mayoria de tu contenido esta fuera de mi dominio, osea que me servirá para aprender muchas cosas.
Bueno, dicho lo anterior, estaba viendo la portada del canal y me la encontre muy bonita, pero no pude evitar darme cuenta de un pequeño "error": el fulcro esta mas cerca de arquimedes que de la tierra, por lo cual tendria que pensar que no es arquimedes sino Dios, que usa una palanca inversa para que la tierra pueda sostener su pie. 😂
😂😂😂😂😂 ¡Que bueno!
Si que se trata de un error, pero tu explicación es tan graciosa que estoy pensando dejarlo como está.
¡Saludos!
@@ArchimedesTube
Jajaja, aunque pensandolo bien, esa imagen muestra lo fuerte que es arquimedes. Ya de eso no cabe duda😎
Saludos para ti tambien 👍
Hermosos videos!
Gracias!
Pucha yo lo vi de manera directa, pero fué chevere que lo partiera en un lema... guarda la esencia de la prueba... hubiera sido genial hacer un pequeño prologo para explicar la idea... pero si se entiende la prueba... y gracias al lema, se hace mucho mas simple de entender
Muchas gracias Elvis! Es cierot que hay diferentes demostraciones, pero esta es la que me pareció más fácil de seguir. Saludos!
Este video me pone de buenas
😀
Tengo una duda muy fuerte, y es que en 2:56 dice "si x no pertenece a ningún Dn entonces en particular x no pertenece a D0 por lo tanto x pertenece a B" y esa es mi duda, se puede suponer que si x no pertenece a ningún Dn entonces x pertenece a B?... En mi opinión, es interesante ver que si n tiende a infinito el conjunto B se puede ver como la unión de todos los Dn desde n igual a 1 hasta infinito. y se podría probar que en efecto la intersección de todos los Dn desde n igual a 1 hasta infinito es vacía. Por lo tanto tendríamos que B es la unión de "infinitos subconjuntos disjuntos" de manera que todos los elementos de todos esos subconjuntos tienen una única contraimagen en A. Si esto es cierto, no solo se demostraría que existe una biyección sino que la propia función f tiene que ser a fuerza biyectiva. Me gustaría saber la respuesta, porque la verdad no se si esto es verdaderamente cierto, pero yo sospecho que si.
No sé como lo haces, xo a menudo cuelgas videos que me resuelven dudas que no sabía dónde buscar. Con esta duda puedo llevar un par de años tranquilamente.
?Qué opinas de esto? Para cardinales transfinitos. Si demuestras que el cardinal de A, no es mayor que el cardinal de B, y viceversa... dado que los números transfinitos tienen un orden respecto a la relación ?binaria de orden? "menor que"... hay una propiedad que te dice que la única posibilidad que existe es que sean iguales
Creo que lo que afirmas es correcto. Para ello tan solo hace falta probar que dados dos conjuntos A y B siempre existe una función inyectiva de A en B o una función inyectiva de B en A, es decir que los cardinales cumplen la "propiedad de orden total", a saber, dados dos cardinales a y b o bien a ≤ b o bien b ≤ a. Creo recordar haberme planteado esta cuestión y haberlo encontrado en unos apuntes en pdf de Teoría de Conjuntos de Enrique Arrondo que a su vez están basados en el libro "Introduction to Set Theory" de Karel Hrbacek y Thomas Jech
@@ArchimedesTube Posiblemente el mismo pdf que me pasó mi socio, o uno similar. Pero... y si hubiese "otra forma" de demostrar que B no tuviese un cardinal mayor que A? Existiendo una función inyectiva tipo A -> B.
SOLO con las propiedades del orden de los cardinales, y "ese posible hecho demostrado"... sin una función inyectiva. Se podría afirmar, no? OJO, que depende de encontrar otro método que no sea ni una función inyectiva, ni una función biyectiva.
@@ArchimedesTube Aprovecho este otro comentario para agradecerte tu trabajo. No suelo tener acceso a matemáticos y tienes el don de publicar cosas que resuelven mis dudas.
Siempre me pregunté si la demostración de ese teorema se basada en construir de facto una biyección o no.
Es de agradecer encontrar explicaciones matemáticas que no dejan huecos y, a pesar de ello, se entienden en su totalidad, sin hacer referencias a contenidos que quedan fuera de la explicación en sí.
Pero, por suerte, instigan preguntas. ;)
Ahí va una: ¿a partir de 6:35 se demuestra que D0 es conjunto vacío? Es que no veo la necesidad de que lo sea para igualar la cardinalidad de dos conjuntos infinitos.
Hola Jon,
¡Gracias por el comentario!
Quizás no quedo claro.
Para ver la sobreyectividad de la función g : A --> B tenemos que ver que para todo b ϵ B se verifica que existe un a ϵ A tal que g(a)=b. Esto se ve considerando todos los casos posibles para b. Empezamos viendo qué ocurre si b no pertenece a ningúno de los conjuntos D_n. En ese caso por la forma en que se ha definido g tendríamso que el propio b visto como elemento de A, esto es, b ϵ A verifica que g(b)=b. Después se considera el caso en que b ϵ D_n para n ≥ 1, en cuyo caso existe b' ϵ D_{n-1} tal que f(b')=b por definición de los conjuntos D_* y por la definición de g tendríamos que viendo b' ϵ A se verifica que g(b')=f(b')=b.
Parace que nos hemos quedado un caso sin verificar que sería b ϵ D_n para n=0.
Pero lo que se observa es que ese caso no hay que considerarlo pues estábamos partiendo de b ϵ B y si además se tuviese que b ϵ D_0 = A\B se tendría que b no pertenece a B lo que sería una contradicción. Es decir si partimos de b ϵ B el caso D_0 no es uno de los casos a considerar.
¡Un saludo!
solo una pequeña observación. En los diagramas de D1, D2, se sugiere que pueden tener una intersección no vacía, pero al ser f inyectiva, Di int Di+1 es siempre vacío
Hola Nacho,
Cierto. Digamos que es una errata gráfica que aparece en el vídeo. Nos lo comentaron hace tiempo cuando publicamos el vídeo pero como UA-cam no permite editar los vídeos ha quedado tal cual.
¡Muchas gracias por el comentario!
Hola algún libro que recomienden para aprender mas sobre el tema?
Hola,
La referencia que hemos utilizado para el vídeo es:
Hilbert's Tenth Problem de M. Ram Murty
El libro no es fácil de conseguir (ni barato), pero también es un buen libro
Naive Set Theory de Paul Halmos
Te dejo el enlace a nuestra librería de Amazon con muchas recomendaciones bibliográficas matemáticas:
www.amazon.es/shop/archimedestube
Estuvo duro este video, tuve que verlo sin distraccion para seguirlo.
¡Hola Cesar!
Es un vídeo ciertamente un poco técnico.
En el vídeo anterior vimos la idea de este Teorema, su historia y un ejemplo de aplicación con importancia teórica. Pero nos gusta ser lo más exhaustivos posible y dejamos al demostración para este vídeo.
Esta demostración descomponiendo el resultado en dos partes me pareció la más fácil de seguir de forma visual. Primero un Lema para el caso particular en que B sea un subconjunto de A y después el caso general reduciéndolo al Lema.
¡Saludos!
Pues no me imaginaba que la demostración nos diera una biyección de forma explícita. He probado a aplicar los pasos de la demostración a un caso sencillo: f:[0,1]->[0,1) donde f(x)=x/2 y el resultado es realmente intuitivo. En término sencillos: la biyección que obtenemos hace f(1)=1/2, f(1/2)=1/4, f(1/4)=1/8,.... y para el resto de puntos f(x)=x. De esta manera logra "colocar" el punto problematico x=1 dentro del intervalo abierto, ¡¡exactamente como en la paradoja del hotel del infinito!!
¡¡Es muy curioso!! Justo estaba dándole vueltas a cómo de constructiva era la demostración y el ejemplo que comentas y el parecido con el hotel del infinito es muy simple y elegante!
Además este ejemplo permite ver de forma clara cómo este Teorema es una herramienta útil para encontrar biyecciones entre conjuntos pero pierde la continuidad.
Habían dejado una pregunta en los Comentarios planteando si existía una versión continua y/o diferenciable de este teorema, es decir, si además se exige que las funciones inyectivas sean continuas y/o diferenciables si la biyección heredaba esas propiedades. Pero este ejemplo además es un contraejemplo claro a dicha conjetura pues f:[0,1]->[0,1) donde f(x)=x/2 y la inclusión son continuas y diferenciables pero la biyección obtenida no lo es.
¡Alucinante!
Aunque ahora que lo pienso no se trata de un contraejemplo ya que esto solo probaría que ESTA demostración del Teorema de CSB no se adapta a un hipotético teorema continuo/diferenciable 🤔
@@ArchimedesTube De todas formas, es fácil ver que en el ejemplo concreto que he puesto no puede existir una biyección continua, por lo que el teorema no nos puede garantizar una biyección continua, sea cual sea la construcción, si no añadimos alguna hipótesis más a los conjuntos A y B.
Estoy dándole vueltas a la demostración para ver si se puede ilustrar en su caso general como una versión del hotel del infinito, donde los D_n serían las habitaciones (donde cabrian muchas personas). Si me sale algo decente te lo mando.
Que idea tan buena lo del hotel del infinito y las habitaciones! Cierto lo que dices. Claramente no es posible dar una versión del Teorema de CSB continua/diferenciable sin añadir más hipótesis
pero a youtube le rogo que me recomiende canales como estos gracias por escucharme youtube
¡Gracias bastian!
Entonces la inyectividad de A->B y de B ->A implica biyectividad AB, yo pensé que esto era una definición es decir la definición de biyectividad, no sabía que era un teorema y que se demostrará tanto para conjunto finitos como infinitos.
Ahora mi pregunta es la inyectividad y sobreyectividad implican biyectividad, esto es una definición, la definición de biyectividad, o es un teorema?
Por definición una función A --> B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. El teorema de Cantor-Schröder-Bernstein dice que si existe una función inyectiva A --> B y otra inyectiva de B -->A entonces (aunque ninguna de las dos anteriores sea biyectiva) existirá una función biyectiva entre A y B
@@ArchimedesTube buena esa aclaración de que las dos funciones inyectivas no tiene que ser biyectivas. Gracias por la respuesta.
Ey,como mola!!
¡Gracias!
Muy bien video
¡Gracias!
Muy buena demostración. Será que existe alguna versión continúa o diferenciable??
¡Que interesante cuestión! La verdad es que no lo sé. La construcción de la función g a trozos habría que verificar si es continua
Estoy estudiando cálculo y aún así no entiendo nada.
Haz uno sobre el teorema de incompletitud de gödel
¡Pero el cálculo es más difícil que la teoría de conjuntos!
Estamos haciendo esta serie sobre los fundamentos de las matemáticas de forma casi cronológica (aunque empezamos con el vídeo sobre el Teorema de Russell) y acabará inevitablemente en los teoremas de Gödel.
¡Un saludo Albar!
@@ArchimedesTube muchísimas gracias y felicidades por su labor tanto de divulgación, como creativa. Sí el cálculo lo estoy estudiando desde una óptica básico y operativa. Ustedes como matemáticos puros, no les importa. Así que comparándolo no puedo decir "estudiar". Mucho respeto, quisiera algún día tener esa capacidad de abstracción que logran ustedes por ahora para mí es ininteligible. Mucho respeto y felicidades de nuevo.
Hola amigo, saludos desde Ecuador. Puedes analizar el libro de Álgebra superior de Hall y Knight?
¡Hola Alex! Saludos desde España
En un primer vistazo me ha parecido muy interesante. De hecho me ha gustado que dedique mucha atención a demostrar el teorema de la serie Binomial de Newton
Calidad extrema
😊
lo veo y si lo creo
me parece que el señor Cantor se complicó y le complicó la vida a los demás
con eso de la dimensiones pues cuando uno dibuja sea un segmento de línea recta o curva o un cuadrado que el
depende el área que ocupé
en la superficie de la hoja de
Papel o dónde sea dibujado
del tamaño de su cuadratura
Y esto de marcar un punto y
de demarcar un punto usando el plano cartesiano
Para darle un valor numérico
3,14159 y tratar de esplicar
lo de las dimensiones
con teorías de conjuntos
me parece que se asé es una
mezcla de conceptos
Pues no sé tiene en cuenta que cuando uno ase un punto
si es el casó en la superficie de una hoja de papel este será una marca plana y sería
solo como demarcar un traso
más corto
y un grafema numérico depende más de su uso
piensen lo que pasa con el
0 por dar un ejemplo
Atte Jhonny Angarita
😬(emoticón ansiedad)
jajajaja
No entendí ni mergas 🤷🏻♂️
Desde la formulación del propio lema uno debería exigir (en el rigor de la verdad) que B se diga o conjunto o subconjunto, no ambos.
Pero eso implicaría el fin de la 'demostración'.
No es una demostración sino una paradoja que resulta de la falta de rigurosidad en las definiciones
Si digo Dos conjuntos A y B, tales que B es subconjunto de A, digo que B es conjunto y subconjunto al mismo tiempo
Con lo que al mismo tiempo una
f: A -> B
es también f:A -> A,
ya que f: A -> (B que pertenece a A) = f: A-> A
Luego: Existe una biyectividad g: A -> A.
Pero por definición la biyectividad se da entre dos conjuntos, no en un conjunto respecto de si mismo.
Casi 11 minutos para enredar el asunto y que parezca una verdad.
mafs
es.wikipedia.org/wiki/Efecto_Dunning-Kruger
@@davidgutierrezrubio9418
es.wikipedia.org/wiki/Falacia_de_la_verdad_a_medias
@@davidgutierrezrubio9418 es.wikipedia.org/wiki/Argumento_ad_hominem
@@diegotentor8444 Esa misma falacia es la que usas en tu razonamiento. No tienes claro lo que significa el término "conjunto" y "subconjunto". Un elemento A no es "subconjunto" a secas, sino que representa la relación "ser subconjunto de". Una relación definida entre 2 conjuntos cualesquiera, con sus propiedades (es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binaria). Así esa supuesta dicotomía que planteas no existe. Y eso se estudia en cualquier curso básico de teoría de conjuntos.
De tu desconocimiento deduces algo que a todas luces es incorrecto. Eso no es censurable. Lo que sí lo es tu tono despectivo, lo que sinceramente me ha hecho enfadar. Tu ignorancia y tu soberbia. Eso es el efecto Dunning-Kruger.
Estimado Urtzi, quizás estoy mezclando peras con manzanas, pero encontré un teorema de Netto, que indica: "Una función continua definida del intervalo unidad al cuadrado unidad no puede ser biyectiva".
¿Contradice esto la biyección de Cantor?
idus.us.es/bitstream/handle/11441/90006/Gandul%20Jim%C3%A9nez%20Mirian%20TFG.pdf?sequence=1&isAllowed=y
Un abrazo y gracias por tus enseñanzas
Hola Raúl,
Precisamente ese resultado es la continuación del descubrimiento de Cantor. La comunidad matemática pronto reconoció que el problema de la biyección de Cantor es que no es continua. Los puntos del intervalo se reorganizan para formar un cuadrado pero puntos cercanos del intervalo NO van a parar a puntos cercanos del cuadrado. Dado que las biyecciones con respetan la noción de dimensión la cuestión era probar que las biyecciones continuas SI respetaban esta noción. Es decir, una función continua del intervalo en el cuadrado no puede ser biyectiva.
El teorema más general que afirma que entre dos variedades topológicas M y N de dimensiones m y n solo puede existir una biyección continua si m=n tardó aun algunas decadas en probarse. La demostración rigurosa y general es de 1912 (si no recuerdo mal) y se debe a Brouwer.
Pero antes incluso se planteó la cuestión siguiente. Si no es posible definir una biyección continua del intervalo en el cuadrado, ¿es posible definir una función continua del intervalo en el cuadrado que No sea inyectiva? Es decir ¿podemos definir una curva que llene el cuadrado? La respuesta la dio Peano con su curva que llena el cuadrado y que es el tema de un próximo vídeo.
@@ArchimedesTube ADVERTENCIA: Este canal es adictivo!!
Muchas gracias por dar profundidad a temas tan trascendentales
Un abrazo Urtzi