Найдем интеграл из дифференциального уравнения!
Вставка
- Опубліковано 19 чер 2021
- В этом видео найдем сложный несобственный интеграл от e^(-x^2-1/x^2), сведя его к решению простого дифференциального уравнения, используя при этом излюбленный прием Фейнмана: дифференцирование по параметру под знаком интеграла.
Интеграл от e^(-x^2) найден в этом видео: • Интеграл Эйлера-Пуассо...
А здесь еще 2 видео, в которых используется трюк с дифференцированием:
• Определенный интеграл ...
• Интеграл с арктангенсо...
Если у вас есть возможность, поддержите канал материально,
карта Тинькофф: 5536 9140 7597 3911
Лишний раз убеждаюсь, что Ричард Фейнман - один из лучших умов ХХ века 🤩
Вообще то этот метод придумал Лейбниц, а Фейнман его часто использовал, решал многие интегралы, которые другими методами не решались.
Великолепное решение. Большое Спасибо за интересное видео.
UVAJOUKHA!!!!!PROSTO SUPER!!!!
Находить интеграл через решение дифференциального уравнения, получившегося после дифференцирования по параметру под знаком интеграла - просто балдёж
Как всегда превосходно. Спасибо Вам за Ваш труд
Браво! Без лишней воды, но все прозрачно и понятно
Спасибо. Реально крутой трюк
Классно! Красивейший интеграл будет при t = 1/2.
Потрясающе!
Спасибо. Великолепно!
Красота! Впрочем, как всегда
Огонь
Очень полезный и неотъемлемый метод) Особенно для интегралов Фурье и преобразованиях
Вот что трюк животворящий делает
Интегральные фокусы
Всегда было интересно: где вы берёте такие балдёжные примеры? Из книжек, или с зарубежных каналов по математике?
В задачнике Демидовича вроде такое было. Только без Антидемидовича, они не кажутся такими балдежными, как правило))
В книгах есть примеры, на других каналах, конечно, тоже смотрю, ну и еще есть справочники с интегралами (в них есть интегралы с ответами и по ним хотя бы понятно, что конкретный интеграл имеет красивый ответ, а дальше уже можно пробовать его найти).
А еще есть Градштейн-Рыжик
Оаааааа
Как это красиво...
Спасибо за видео.
Но вопрос. Мы же изначально и так знаем у(0). И необходимо просто решить задачу Коши
даа, но в середине, когда делаем замену, используем, что t>0 (там нижний предел -> +бесконечности, если t>0), поэтому и нужно, строго говоря, рассматривать потом предел при t->+0...
ну там же весь смысл решения, чтобы как-то прийти обратно после дифференцирования к тому же интегралу (для этого пределы в интеграле должны получится от 0 до бесконечности). Когда делаем замену: при x->+0 u->+бесконечности только если t>0 (так что в этом месте, строго говоря, используем факт, что t>0)
@@Hmath Точно! Спасибо.
Зачем я это смотрю, если недавно сдал ЕГЭ и интегралы изучал на очень базовом уровне
Подскажите, пжл, почему мы условились считать t>0?
там, где делается замена: u=t/x пределы интегрирования получатся от 0 до +бесконечности, только если t>0
@@Hmath понял, спасибо
А если принять, что t
Решил пересмотреть старые видео)
Через призму нового опыта увидел элегантное и более простое для понимания решение)
Однако, нужно *заметить что* ...
J = S[0, +oo) e^-(x² + 1/x²) dx
Замена: x = 1/t.
S(+oo, 0] e^-(t² + 1/t²) d(1/t) =
S(+oo, 0] - e^-(t² + 1/t²) /t² dt =
Замена t = x
S[0, +oo) e^-(x² + 1/x²) /x² dx
Итого теперь
2J = S[0, +oo) e^-(x² + 1/x²) (1 + 1/x²)dx
*Заметим что* d(x - 1/x) = 1 + 1/x²
(x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2
Замена u = x - 1/x
2J = S[-oo, +oo) e^-(u² + 2) d(u) =
e^-2 * S[-oo, +oo) e^-u² du
А это уже интеграл Пуассона)
2J = e`² √π
J = √π / 2e
да, я тогда знал про этот способ (сначала именно им решил, а потом мне попался тот, что в видео), он мне показался значительно интереснее: тут приводится к диф. уравнению, что более необычно и расширяет горизонты :) а в этом просто очередной раз серия замен :) я другой похожий сделаю потом этим способом ради разнообразия ;)
А можете решить этот диференциальное уравнение
f'(x)=1+xf(x) но его можно решить с рядами
довольно интересное. может когда-нибудь сделаю такое видео :)
Когда я считал этот интеграл
Интеграл от 0 до бесконечность e^(-x²)sin(x) , с трюком Фейнмана надо било решить этот уравнение, и меня удалось решит её.
Было бы неплохо, если бы мы знали откуда и зачем возникают те или иные формулы и интегралы.
Это уже часто видно в физике, интеграл Эйлера-Пуассона нужен для вывода функции распределения Максвелла, например
А разве нет никаких проблем от того, что мы берем частную производную, а не полную?
тут одна переменная, по которой дифференцирование (t), а другая - переменная интегрирования. Посмотрите подробнее в книгах про дифференцирование интеграла по параметру.
@@Hmath А можно книжку посоветовать, где эта тема хорошо освещена? Буду очень благодарен)
Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления». Сейчас любят говорить, что это устаревшая книжка, но в ней очень много разных примеров (скорее всего и этот есть, но точно не помню).
@@Hmath А как вы к Зоричу относитесь ?
никак не отношусь, не читал. Когда я учился, мне как-то было не до книжек по мат.анализу - обходился лекциями. Книги по мат.анализу открыл впервые уже через много лет, после того, как закончил учится и интересовали меня какие-то конкретные вопросы, красивые примеры, результаты к которым ведут теоремы, а не строгие их доказательства и фундаментальные основы, на которых они держатся. И мне кажется, Зорич как раз не про задачки, а про основы.
В чем логика решения? Как догадаться какой из десятков способов подойдет?
если бы для интегралов существовал такой же алгоритм нахождения, как для производных (пару правил, а дальше делай одни и те же шаги), то не было бы никакой интриги, загадки и красоты и нечего было бы и рассказывать :) Поэтому у меня куча разных интегралов на канале и ни одного видео с производной.
@@Hmath Помню как на первом курсе в выводили формулы диверенцирования из определения - предел отношений приращения функции и аргумента. Потом вывод формул правил дифференцирования, то было прям вау! И основной вау был в том что Ньютон идею о производных - отношение приращений бесконечно малых вытащил из богословия (если можно так сказать), может из рассуждений о бесконечности.
А интегрирование - это не просто "площади" и "объемы". Это предсказания будущего!!! и именно это больше всего поразило его современников.
Простой пример - функция скорости и уравнение движения - предсказывается положение точки в будущем, если известна функция скорости !
Кстати, вроде именно так и ориентируются подлодки.
Почему так важно уточнять, что t>0?
при замене x->+0 u->+бесконечности (если t>0)
иначе было бы минус бесконечность (если t
@@Hmath иными словами, при отрицательных t несобственный интеграл расходится :)