Innanzitutto grazie mille del tuo prezioso commento e del tempo che hai dedicato per scriverlo! Io penso che nella SOSTANZA siamo assolutamente d'accordo, quando parli di "dividere lo spazio d'integrazione in due parti" credo che la tua osservazione sia esattamente in linea con quanto viene mostrato nel video. Nella FORMA invece, continuo a pensare che quella scrittura "compatta" sia solo un'abbreviazione comoda ma FORMALMENTE non rigorosa. Grazie ancora, e spero di vedere altri tuoi commenti su altri video del canale.
Tecnicamente c è una costante (o una variabile parametrica), e come tale, una volta scelto il suo valore quello rimane, quindi in realtà pensare c come qualcosa che può assumere due valori distinti contemporaneamente non è corretto da un punto di vista strettamente logico, dato che un simbolo ha sempre la stessa interpretazione. Se non fosse così, sarebbe complicatissimo anche solo programmare un interprete di linguaggi di programmazione...
Qui però non si parla dibprogrammazione, ma di matematica, e a decidere il valore di c sono le condizioni al contorno E dato che l'intervallo ha un "buco" in x=o, le condizioni al contorno, che possono essere quelle di un problema di cauchy, possono determinare 2 valori diversi di c. Questo succede perché nel caso del problema di cauchy, ovvero di una eq differenziale, la costante c non ha effetti sull'eq differenziale
@@matteoalighieri1879 ma c non può avere due valori diversi, altrimenti avremmo c≠c. L'unico modo per istanziare due valori diversi è trattarli come due contesti diversi, ma allora è meglio usare due nomi diversi, c1 e c2, altrimenti si fa confusione.
Video molto interessante! Attorno a questa primitiva, c’è anche da notare che sia ln(x), sia ln(2x), ln(3x) e così via hanno tutti come derivata 1/x. All’inizio anch’io mi chiesi come fosse possibile, poi ho capito che accade perché per esempio ln(2x) lo si potrebbe scrivere, sulla base delle proprietà dei logaritmi, come ln(x)+ln(2). Per cui, nel fare l’integrale, la parte costante di ln(2) verrebbe inclusa o corrisponderebbe proprio alla costante c in generale non specificata, non troppo diversamente da quello che accade per l’integrale di cosx*sinx, che, a seconda di come lo si svolge, porta a due risultati apparentemente diversi, ma che anche lì differiscono in realtà per una costante di 1/2 sulla base delle regole trigonometriche. Tuttavia, non essendo un matematico, scrivo anche per avere conferma di ciò che sto dicendo. Grazie mille dell’attenzione!
Video davvero molto interessante! È un fatto così curioso e di cui non sapevo nulla che ho cercato anche altre fonti per approfondire, ma non sono riuscito a trovare nulla a parte una piccola sezione di Wikipedia nell'articolo sulle antiderivate in cui si afferma che una funzione il cui dominio è unione di intervalli disgiunti ha come primitiva insiemi di funzioni definite a tratti con diverse costanti di integrazione (esattamente come nel caso del video). Lei dove ha potuto imparare questi fatti così (apparentemente) trascurati dai più?
In nessun testo di mia conoscenza di analisi matematica è riportato questo "problema". L'ho scoperto per caso grazie a un collega (che cito alla fine del video), che a sua volta lo aveva scoperto da un altro collega. A posteriori l'unica fonte in cui ho trovato conferma è proprio quella che ha individuato lei: Wikipedia in lingua inglese. Quindi mi sento di raccomandare caldamente Wikipedia, in particolare in lingua inglese, le voci di matematica sono estremamente approfondite. Grazie per il commento, se ne avesse altri per gli altri video del canale non esiti a inserirli
@@GaetanoDiCaprio la ringrazio caldamente per la risposta, appoggio completamente il supporto a Wikipedia (in particolare quella inglese): è estremamente ben curata, piena di fonti per approfondire e giustificare ciò che si sta leggendo (casomai non fosse così dei banner avviserebbero del "pericolo") e, laddove vi fossero dubbi su un articolo, si può sempre osservarne la sezione "discussioni", dove vi è anche inserita una valutazione dei criteri di qualità della pagina ed eventuali dubbi da parte di altri interessati. È veramente un peccato a mio parere che non sia ancora vista di buon'occhio da parte di alcuni esperti (la mia prof di Analisi Matematica 1 non adorava l'idea di informarsi lì, ad esempio). È stato molto gentile e spero di vedere altri suoi video su fatti altrettanto sconosciuti in futuro! Assolutamente iscritto.
Se si distinguono le C nei due casi ( x positive ed x negative ) è ancora più corretto ovvero ponendo C1 per un caso e C2 per l'altro. E' utile per esplicitare il fatto che le due costanti aggiunte sono indipendenti l'una dall'altra ed, all'occorrenza, posson essere uguali ( nel caso scritto nei libri ). = ln x + C1 per x > 0 & ln ( -x ) + C2 per x < 0
@@GaetanoDiCaprio l'intervallo è presente, anzi sono l'unione di 2 intervalli che coprono tutta R escluso lo 0. " ... + C1 per x > 0 e ... + C2 per x < 0 "
@@GaetanoDiCaprio Mi sa che non hai capito che la soluzione che ti sto dicendo è la stessa che hai dato te con l'aggiunta che bisogna definire le due C diverse in C1 e C2. Perchè sennò è inutile parlare della primitiva con due bracci a diversa altezza. Ti sto rettificando quello che hai messo nel video al minuto 9 sul SI. Le C devono essere diverse... forse è piu chiaro
@@GaetanoDiCaprio riguardo alla risposta dell'unione di 2 intervalli non è un intervallo, oltre che c'è scritto "anzi", comunque il problema non sussiste poichè di fatto l'integrare la funzione 1/x implica che nel punto x=0 non è definita la divisione con denominatore nullo, ergo bisogna comunque integrare escludendo il punto di non definizione e questo comporta l'integrazione in 2 intervalli distinti ( quello in R- e quello in R+ ) per escluderlo. Queste due integrazioni portano ad avere C1 e C2 indipendenti tra loro che all'occorrenza possono essere uguali. Segnalare C1 e C2 è più preciso oltre che da una comprensione più immediata per chi non ha forti conoscenze matematiche.
Grande! Uno se ne va con queste convinzioni errate dal liceo e poi non ci pensa più. Molto interessante il video. PS: abbiamo avuto entrambi lo stesso prof. Ferruccio Colombini. Hai studiato anche tu a Pisa allora😉
bel video, forse un po' fumoso nella conclusione, non si può semplicemente dire che le primitive di 1/x sono log|x| + a * 1_(x > 0) + b * 1_(x < 0) dove 1_A è la funzione indicatrice dell'insieme A?
@@GaetanoDiCaprio ciao, scusami ma la primitiva F(x) di una funzione f(x) è una funzione derivabile tale che la sua derivata sia uguale a f(x) quindi il dominio di derivabilità deve coincidere col dominio di f(x) e non è detto che tale insieme sia un intervallo ma anche l'unione disgiunta di piu intervalli. L'importante è che sia in grado di "ricostruire" la funzione f(x) derivando solo negli intervalli di derivabilità e nel caso di 1/x che log|x| non sia derivabile in x=0 è proprio quello che voglio perchè sia a destra che a sinistra derivando ottengo la funzione di partenza proprio nell'intero dominio.
Altra considerazione assolutamente giusta. Perché lo studente del primo anno di Ingegneria memorizza la formuletta senza capirci granché e questo contribuisce a creare confusione intorno a concetti belli, eleganti e in realtà comprensibili anche in un biennio del Liceo (lo scrivo a ragion veduta).
@@DaveJ6515 Quale sarebbe la fregnaccia? Che l'integrale di 1/x non è ln(|x|) + c c che "c" è una costante qualsiasi (c numero reale altrimenti i matematici iniziano a mettere i puntini sulle i) e che x0 Oppure la "novità" sarebbe che posso fare c1=0 pex x>0 e c2=1 per x
affinché l'integrale F(x) di una funzione f(x) sia uguale al logaritmo si deve avere F(a) + F(b)= F(ab) in molte dimostrazioni c'è scritto che questa funzione è 1/x perché [ integrale da 1 ad a di (1/x) ]+ [ integrale da a ad ab di (1/x) ]= [ integrale da 1 ad ab di (1/x) ] che è uguale a [F(1)-F(a)] + [F(a)-F(ab)] = [F(1)-F(ab)] che restituisce F(1)-F(ab) = F(1)-F(ab) apparte che tutte le funzioni continue soddisfano questa proprietà.... La mia domanda è: invece non si dovrebbe avere [ integrale da 1 ad a di f(x) ]+ [integrale da 1 a b di f(x) ]= [ integrale da 1 ad ab di f(x) ] [F(1)-F(a)] + [F(1)-F(b)] = [F(1)-F(ab)] in questo modo essendo F(1) = ln(1) = 0 si ottiene F(a) + F(b)= F(ab) (dove F(x) è la primitiva) che è appunto la proprietà del logaritmo? la funzione 1/x non soddisfa questa proprietà perché [ integrale da 1 ad a di 1/x ]+ [ integrale da 1 a b di (1/x) ]= 2[ integrale da 1 a a di (1/x) ] + [ integrale da (b-a) a b di (1/x) ]+
Ciao, nel tuo commento ci sono molti errori. Innanzitutto l'integrale da a a b è uguale a F(b)-F(a) e non il viceversa. Inoltre nella prima parte ottieni una banale identità perché l'uguaglianza che imposti con gli integrali non corrisponde alla proprietà F(a) + F(b)= F(ab). Nella seconda parte "termini" il ragionamento con un'espressione che non è quanto vuoi dimostrare ma non significa che non puoi dimostrarlo in altro modo. In conclusione, l'idea è interessante ma non sei riuscito a svilupparla.
Molto interessante. In effetti l'avevo sempre vista nella forma classica col modulo. Se non mi sfugge qualcosa, la forma corretta potrebbe anche essere scritta come ln |x| + c + d•u(x) dove u(x) è la funzione gradino unitario che vale: 0 per x < 0 1 per x ≥ 0 mentre d è un'altra costante arbitraria. Variando i due parametri c et d dovremmo essere in grado di descrivere *tutte* le primitive, dico bene? --- Inizialmente l'avevo pensata come ln |x| + c•u(-x) + d•u(x) in modo che c fosse esplicitamente il parametro che alza o abbassa la parte sinistra e d il parametro che alza o abbassa la parte destra, ma direi che è equivalente a come l'ho scritta sopra a meno di una trasformazione lineare di parametri, per cui come l'ho scritta sopra è equivalente ma meno verbosa
Sì, può essere un'idea assolutamente sensata. Il problema (secondo me) è che l'insieme delle primitive di una funzione dovrebbe essere descritto in modo da avere UNA sola costante arbitraria perché, più in generale, l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale del primo ordine ha 1grado di libertà. Detto in altri termini il problema di cauchy del primo ordine ha 1 sola condizione iniziale
@@GaetanoDiCaprio eh, ma ponendo quel limite puoi solo descrivere l'insieme delle primitive di una funzione definita su un intervallo. Lo hai appena dimostrato tu. Perché due primitive di una funzione possono differire solo per una costante solo se la funzione è definita su un intervallo. Ma la definizione di primitiva non fa riferimento a un intervallo. Primitiva di f(x) è qualsiasi F(x) tale che F'(x) = f(x) per ogni x appartenente all'insieme di definizione di f(x) Dopodiché dato che l'integrale indefinito è definito (scusa il bisticcio) come l'insieme di tutte le primitive, se l'insieme di definizione della funzione integranda è costituito da più di un intervallo... Non possiamo che introdurre un parametro costante per ciascun intervallo, se vogliamo descriverle tutte. Il fatto di ridurci a due intervalli mi soddisfa poco, perché sembra lasciare intendere che possiamo (nel caso in esempio) calcolare una primitiva solo per il singolo ramo d'iperbole sinistro e un'altra primitiva per il ramo d'iperbole destro, ma non una primitiva per l'intera iperbole su tutto il suo insieme di definizione, cioè (-inf, 0) U (0, +inf)... Ma invece esistono funzioni definite su tutto R tranne lo zero che sono primitive di tutta l'iperbole che a sua volta è definita su tutto R tranne lo zero. --- Inoltre, a prima vista e senza guardare tutto il video di spiegazione, se uno si trovasse nella tabella la forma con x0 divisi in due, entrambi con il suo +C potrebbe essere portato a pensare che visto che il parametro C ha lo stesso nome nei due casi è un unico parametro, e quindi si ricondurrebbe tutto a ln |x| + C escludendo dalla rappresentazione le primitive che hanno una costante nell'intervallo sinistro diversa da quella dell'intervallo destro. --- Insomma: per far capire al liceale il succo che hai spiegato nel video, IMHO, sarebbe utile rimarcare anche nella formula conclusiva (che per esperienza personale è l'unica cosa che rimane impressa a fuoco nella memoria) che la costante è una PER CIASCUN INTERVALLO su cui è definita la funzione integranda. --- Senza voler complicare la notazione con l'introduzione della funzione u(x), si potrebbe rendere più chiara la cosa lasciando la soluzione divisa in due come l'hai enunciata tu, ma chiamando C1 la costante sul semipiano sinistro e C2 la costante sul semipiano destro. Ovvero rendere evidente che dove c'è una discontinuità nell'integranda ci può essere "un gradino nella costante" che - per quanto orripilante - è una sorta di abuso di linguaggio per dire che sostanzialmente le costanti sono due 😅
Credo dovresti riguardare il video più attentamente. Io ho fatto del mio meglio per spiegare questa sottigliezza, di più non riesco. Grazie mille per l'attenzione!
Si potrebbe provare a pensarla così: G(x) = ln x + C1 se x > 0, ln (-x) + C2 se x < 0, il punto è che la costante C1 potrebbe essere diversa da C2, mentre con la formula ln |x| + C questo non può accadere. Ad esempio al minuto 7:00 c'è una primitiva dove C1=0 e C2=1, questa non potrebbe uscire dalla formula ln |x| + C.
Perdonate, ma... dovremmo ricordare che tutti i teoremi senza le opportune ipotesi, sono falsi. TUTTI. Se anziché al minuto 8.20 o giù di lì le corrette ipotesi sugli intervalli fossero state introdotte da subito, non ci sarebbero stati tanti problemi strani. Problemi che vengono anche e soprattutto dal fare uso dell'integrale indefinito, che un integrale non lo è, ma e una classe di funzioni: per il bene di chi apprende, va assolutamente lasciato stare dove è. Stiamo certi che se si parla solo di integrali definiti su intervalli di R, e di funzioni primitive su intervalli, e si introducono le corrette ipotesi, tutto questo polverone non esce fuori. Restando entro le ipotesi di validità dei teoremi, non si da luogo ad ambiguità. Presentando invece queste stranezze che possono verificarsi, e che ci vuole il professore "mago" per uscirne fuori, l'allievo ha l'impressione di muoversi in un campo minato, ove non ce la potrà mai fare, perché sempre una nuova ne può venire fuori, e "farlo fesso". Invece no, la strada è difficile, ma i problem, rispettando con rigore le regole cioe i teoremi CON LE CORRETTE IPOTESI, non si creano dal nulla, e l'edificio sta in piedi, cioè la promessa di un teorema viene sempre mantenuta. Per il bene degli studenti, rigore e rigore, fin dall'inizio. Ciò detto, apprezzo molto il lavoro del professore, ed i casi che propone, le mie osservazioni hanno carattere assolutamente generico.
Per parlare male del integrale indefinito (qui i.i. , che qui abbrevio con il simbolo operativo S), proviamo a integrare per parti S[-1/x]dx , che posso scrivere come S[x(-1/x^2)]dx . Assumo f.f.=x e f.d.=(--1/x^2) ==> S[-1/x]dx = S[x(-1/x^2)]dx = = x(1/x) - S[1(1/x)]dx , dunque infine S[-1/x]dx = 1 + S[-1/x]dx , che vista così è palesemente una uguaglianza falsa, che potrebbe diventare vera a patto di specificare tante cose in più, che nella "teoria" (ma quale?) degli i.i. non vengono per nulla specificate. Dunque, siamo seri, lasciamo stare quella roba lì, che altrimenti... "ci incasiniamo", come dicono giustamente gli studenti ;-)
Tutte osservazioni giuste, non volevo dare l'impressione di "professore mago", sinceramente ho fatto una riflessione su questa cosa e mi sono stupito. Volevo condividere questo stupore. Il punto è che il "rigore" non può mai essere assoluto, qualsiasi testo di matematica (inclusi i testi sacri) deve per forza dare per scontate certe ipotesi oppure utilizzare qualche notazione non proprio precisa. Qualsiasi opera umana, in qualsiasi ambito, deve necessariamente fare affidamento ad un CONTESTO, altrimenti sarebbe pressoché impossibile comunicare con un numero ragionevole di pagine. Quindi, quello che gli studenti dovrebbero cogliere è che la matematica è un prodotto umano e in quanto tale la sua comunicazione deve passare attraverso qualche forma di ambiguità.
Grazie della risposta, e condivido le Sue puntualizzazioni. La metafora del "professore mago" non era per il caso specifico, ma era del tutto generica, e voleva esprimere che lo studente a mio parere non dovrebbe farsi l'idea che a fronte di un "caso strano" se ne esca soltanto con la intuizione che potrebbe avere "un mago della matematica", che lui proprio non si sente di essere. Ecco, no, volevo dire che deve imparare che dal caso strano ne può "uscire vivo" anche lui, con i suoi mezzi, a patto di usare con rigore gli enunciati dei teoremi, senza "allargarli un po, che tanto dovrebbe valere uguale"; dunque senza fare valere quei teoremi dove valere non possono. E per fare questo ho visto che è molto importante intervenire subito, a fronte di un enunciato mal recitato, e mostrare subito un esempio ove il teorema così enunciato è falso! E allora vediamo che poi cominciano a "recitare" gli enunciati con i dovuti puntini sulle i, e dunque comonciano a non dimenticare piu che i limiti si fanno solo nei punti di accumulazione, le derivate solo nei punti interni, che occorre specificare quando il dominio deve essere un intervallo, o al più un intervallo forato, ecc. Quando hanno qs armi in mano, divengono loro stessi dei maghi! ;-)
Il problema che ti poni non è un vero e proprio problema, dato che dire x appartiene a R/{0} oppure dire ×>0 e x
Innanzitutto grazie mille del tuo prezioso commento e del tempo che hai dedicato per scriverlo! Io penso che nella SOSTANZA siamo assolutamente d'accordo, quando parli di "dividere lo spazio d'integrazione in due parti" credo che la tua osservazione sia esattamente in linea con quanto viene mostrato nel video. Nella FORMA invece, continuo a pensare che quella scrittura "compatta" sia solo un'abbreviazione comoda ma FORMALMENTE non rigorosa. Grazie ancora, e spero di vedere altri tuoi commenti su altri video del canale.
Tecnicamente c è una costante (o una variabile parametrica), e come tale, una volta scelto il suo valore quello rimane, quindi in realtà pensare c come qualcosa che può assumere due valori distinti contemporaneamente non è corretto da un punto di vista strettamente logico, dato che un simbolo ha sempre la stessa interpretazione. Se non fosse così, sarebbe complicatissimo anche solo programmare un interprete di linguaggi di programmazione...
Qui però non si parla dibprogrammazione, ma di matematica, e a decidere il valore di c sono le condizioni al contorno E dato che l'intervallo ha un "buco" in x=o, le condizioni al contorno, che possono essere quelle di un problema di cauchy, possono determinare 2 valori diversi di c. Questo succede perché nel caso del problema di cauchy, ovvero di una eq differenziale, la costante c non ha effetti sull'eq differenziale
@@matteoalighieri1879 ma c non può avere due valori diversi, altrimenti avremmo c≠c. L'unico modo per istanziare due valori diversi è trattarli come due contesti diversi, ma allora è meglio usare due nomi diversi, c1 e c2, altrimenti si fa confusione.
@@matteoalighieri1879 comunque, la programmazione è matematica
Video molto interessante! Attorno a questa primitiva, c’è anche da notare che sia ln(x), sia ln(2x), ln(3x) e così via hanno tutti come derivata 1/x. All’inizio anch’io mi chiesi come fosse possibile, poi ho capito che accade perché per esempio ln(2x) lo si potrebbe scrivere, sulla base delle proprietà dei logaritmi, come ln(x)+ln(2). Per cui, nel fare l’integrale, la parte costante di ln(2) verrebbe inclusa o corrisponderebbe proprio alla costante c in generale non specificata, non troppo diversamente da quello che accade per l’integrale di cosx*sinx, che, a seconda di come lo si svolge, porta a due risultati apparentemente diversi, ma che anche lì differiscono in realtà per una costante di 1/2 sulla base delle regole trigonometriche. Tuttavia, non essendo un matematico, scrivo anche per avere conferma di ciò che sto dicendo. Grazie mille dell’attenzione!
Certo, assolutamente corretto!
@@GaetanoDiCaprio grazie mille davvero ancora!
a volte diamo per scontate cose che poi scopriamo andare diversamente. Va beh, mai abbassare la guardia, avanti così prof !
Grazie!
Le formule di integrazione valgono per componenti connesse. E cosa dovremmo scrivere per l'integrale di 1fratto cosquadrox?
Giusta osservazione! Non ci avevo mai pensato
Video davvero molto interessante! È un fatto così curioso e di cui non sapevo nulla che ho cercato anche altre fonti per approfondire, ma non sono riuscito a trovare nulla a parte una piccola sezione di Wikipedia nell'articolo sulle antiderivate in cui si afferma che una funzione il cui dominio è unione di intervalli disgiunti ha come primitiva insiemi di funzioni definite a tratti con diverse costanti di integrazione (esattamente come nel caso del video). Lei dove ha potuto imparare questi fatti così (apparentemente) trascurati dai più?
In nessun testo di mia conoscenza di analisi matematica è riportato questo "problema". L'ho scoperto per caso grazie a un collega (che cito alla fine del video), che a sua volta lo aveva scoperto da un altro collega. A posteriori l'unica fonte in cui ho trovato conferma è proprio quella che ha individuato lei: Wikipedia in lingua inglese. Quindi mi sento di raccomandare caldamente Wikipedia, in particolare in lingua inglese, le voci di matematica sono estremamente approfondite. Grazie per il commento, se ne avesse altri per gli altri video del canale non esiti a inserirli
@@GaetanoDiCaprio la ringrazio caldamente per la risposta, appoggio completamente il supporto a Wikipedia (in particolare quella inglese): è estremamente ben curata, piena di fonti per approfondire e giustificare ciò che si sta leggendo (casomai non fosse così dei banner avviserebbero del "pericolo") e, laddove vi fossero dubbi su un articolo, si può sempre osservarne la sezione "discussioni", dove vi è anche inserita una valutazione dei criteri di qualità della pagina ed eventuali dubbi da parte di altri interessati. È veramente un peccato a mio parere che non sia ancora vista di buon'occhio da parte di alcuni esperti (la mia prof di Analisi Matematica 1 non adorava l'idea di informarsi lì, ad esempio).
È stato molto gentile e spero di vedere altri suoi video su fatti altrettanto sconosciuti in futuro! Assolutamente iscritto.
Se si distinguono le C nei due casi ( x positive ed x negative ) è ancora più corretto ovvero ponendo C1 per un caso e C2 per l'altro. E' utile per esplicitare il fatto che le due costanti aggiunte sono indipendenti l'una dall'altra ed, all'occorrenza, posson essere uguali ( nel caso scritto nei libri ).
= ln x + C1 per x > 0 & ln ( -x ) + C2 per x < 0
Sì è una possibilità ma comunque a rigore non si tratterebbe di primitiva perché non definita su un intervallo
@@GaetanoDiCaprio l'intervallo è presente, anzi sono l'unione di 2 intervalli che coprono tutta R escluso lo 0.
" ... + C1 per x > 0 e ... + C2 per x < 0 "
@@filippocontiberas l'unione di due intervalli disgiunti NON è un intervallo
@@GaetanoDiCaprio Mi sa che non hai capito che la soluzione che ti sto dicendo è la stessa che hai dato te con l'aggiunta che bisogna definire le due C diverse in C1 e C2.
Perchè sennò è inutile parlare della primitiva con due bracci a diversa altezza.
Ti sto rettificando quello che hai messo nel video al minuto 9 sul SI. Le C devono essere diverse... forse è piu chiaro
@@GaetanoDiCaprio riguardo alla risposta dell'unione di 2 intervalli non è un intervallo, oltre che c'è scritto "anzi", comunque il problema non sussiste poichè di fatto l'integrare la funzione 1/x implica che nel punto x=0 non è definita la divisione con denominatore nullo, ergo bisogna comunque integrare escludendo il punto di non definizione e questo comporta l'integrazione in 2 intervalli distinti ( quello in R- e quello in R+ ) per escluderlo. Queste due integrazioni portano ad avere C1 e C2 indipendenti tra loro che all'occorrenza possono essere uguali. Segnalare C1 e C2 è più preciso oltre che da una comprensione più immediata per chi non ha forti conoscenze matematiche.
Grande! Uno se ne va con queste convinzioni errate dal liceo e poi non ci pensa più. Molto interessante il video. PS: abbiamo avuto entrambi lo stesso prof. Ferruccio Colombini. Hai studiato anche tu a Pisa allora😉
Sì ho studiato anche io a Pisa!!!
bel video, forse un po' fumoso nella conclusione, non si può semplicemente dire che le primitive di 1/x sono log|x| + a * 1_(x > 0) + b * 1_(x < 0) dove 1_A è la funzione indicatrice dell'insieme A?
A rigore una primitiva dovrebbe essere una funzione derivabile in un intervallo.
@@GaetanoDiCaprio ciao, scusami ma la primitiva F(x) di una funzione f(x) è una funzione derivabile tale che la sua derivata sia uguale a f(x) quindi il dominio di derivabilità deve coincidere col dominio di f(x) e non è detto che tale insieme sia un intervallo ma anche l'unione disgiunta di piu intervalli. L'importante è che sia in grado di "ricostruire" la funzione f(x) derivando solo negli intervalli di derivabilità e nel caso di 1/x che log|x| non sia derivabile in x=0 è proprio quello che voglio perchè sia a destra che a sinistra derivando ottengo la funzione di partenza proprio nell'intero dominio.
@@Johnny-iy2eu Riguarda il video dal minuto 8.24. Il nocciolo del video è che la definizione di primitiva non è quella che hai dato tu
Altra considerazione assolutamente giusta.
Perché lo studente del primo anno di Ingegneria memorizza la formuletta senza capirci granché e questo contribuisce a creare confusione intorno a concetti belli, eleganti e in realtà comprensibili anche in un biennio del Liceo (lo scrivo a ragion veduta).
Perché all'ingegnere serve per produrre risultati non per farsi le pippe tipiche dei matematici!
@@ZioGastone Complimenti per aver detto una fregnaccia grande come una casa.
Un record come un altro.
@@DaveJ6515 Quale sarebbe la fregnaccia?
Che l'integrale di 1/x non è ln(|x|) + c
c che "c" è una costante qualsiasi (c numero reale altrimenti i matematici iniziano a mettere i puntini sulle i) e che x0
Oppure la "novità" sarebbe che posso fare c1=0 pex x>0 e c2=1 per x
@@ZioGastone meglio fermarci qui, già mi ha reso divertente il risveglio, non chiedo di più.
Buona giornata.
@@DaveJ6515 Già, perché non sa che rispondere...
affinché l'integrale F(x) di una funzione f(x) sia uguale al logaritmo si deve avere
F(a) + F(b)= F(ab)
in molte dimostrazioni c'è scritto che questa funzione è 1/x perché
[ integrale da 1 ad a di (1/x) ]+ [ integrale da a ad ab di (1/x) ]= [ integrale da 1 ad ab di (1/x) ]
che è uguale a
[F(1)-F(a)] + [F(a)-F(ab)] = [F(1)-F(ab)]
che restituisce
F(1)-F(ab) = F(1)-F(ab)
apparte che tutte le funzioni continue soddisfano questa proprietà....
La mia domanda è: invece non si dovrebbe avere
[ integrale da 1 ad a di f(x) ]+ [integrale da 1 a b di f(x) ]= [ integrale da 1 ad ab di f(x) ]
[F(1)-F(a)] + [F(1)-F(b)] = [F(1)-F(ab)]
in questo modo essendo F(1) = ln(1) = 0 si ottiene
F(a) + F(b)= F(ab)
(dove F(x) è la primitiva)
che è appunto la proprietà del logaritmo?
la funzione 1/x non soddisfa questa proprietà perché
[ integrale da 1 ad a di 1/x ]+ [ integrale da 1 a b di (1/x) ]= 2[ integrale da 1 a a di (1/x) ] + [ integrale da (b-a) a b di (1/x) ]+
Per caso il tuo commento è troncato? Finisce con un "+"
@@GaetanoDiCaprio no non è troncato: è un errore, ho dimenticato di cancellarlo
Ciao, nel tuo commento ci sono molti errori. Innanzitutto l'integrale da a a b è uguale a F(b)-F(a) e non il viceversa. Inoltre nella prima parte ottieni una banale identità perché l'uguaglianza che imposti con gli integrali non corrisponde alla proprietà F(a) + F(b)= F(ab). Nella seconda parte "termini" il ragionamento con un'espressione che non è quanto vuoi dimostrare ma non significa che non puoi dimostrarlo in altro modo. In conclusione, l'idea è interessante ma non sei riuscito a svilupparla.
Molto interessante. In effetti l'avevo sempre vista nella forma classica col modulo.
Se non mi sfugge qualcosa, la forma corretta potrebbe anche essere scritta come
ln |x| + c + d•u(x)
dove u(x) è la funzione gradino unitario che vale:
0 per x < 0
1 per x ≥ 0
mentre d è un'altra costante arbitraria.
Variando i due parametri c et d dovremmo essere in grado di descrivere *tutte* le primitive, dico bene?
---
Inizialmente l'avevo pensata come
ln |x| + c•u(-x) + d•u(x)
in modo che c fosse esplicitamente il parametro che alza o abbassa la parte sinistra e d il parametro che alza o abbassa la parte destra, ma direi che è equivalente a come l'ho scritta sopra a meno di una trasformazione lineare di parametri, per cui come l'ho scritta sopra è equivalente ma meno verbosa
Sì, può essere un'idea assolutamente sensata. Il problema (secondo me) è che l'insieme delle primitive di una funzione dovrebbe essere descritto in modo da avere UNA sola costante arbitraria perché, più in generale, l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale del primo ordine ha 1grado di libertà. Detto in altri termini il problema di cauchy del primo ordine ha 1 sola condizione iniziale
@@GaetanoDiCaprio eh, ma ponendo quel limite puoi solo descrivere l'insieme delle primitive di una funzione definita su un intervallo. Lo hai appena dimostrato tu.
Perché due primitive di una funzione possono differire solo per una costante solo se la funzione è definita su un intervallo.
Ma la definizione di primitiva non fa riferimento a un intervallo.
Primitiva di f(x) è qualsiasi F(x) tale che F'(x) = f(x) per ogni x appartenente all'insieme di definizione di f(x)
Dopodiché dato che l'integrale indefinito è definito (scusa il bisticcio) come l'insieme di tutte le primitive, se l'insieme di definizione della funzione integranda è costituito da più di un intervallo... Non possiamo che introdurre un parametro costante per ciascun intervallo, se vogliamo descriverle tutte.
Il fatto di ridurci a due intervalli mi soddisfa poco, perché sembra lasciare intendere che possiamo (nel caso in esempio) calcolare una primitiva solo per il singolo ramo d'iperbole sinistro e un'altra primitiva per il ramo d'iperbole destro, ma non una primitiva per l'intera iperbole su tutto il suo insieme di definizione, cioè (-inf, 0) U (0, +inf)...
Ma invece esistono funzioni definite su tutto R tranne lo zero che sono primitive di tutta l'iperbole che a sua volta è definita su tutto R tranne lo zero.
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Inoltre, a prima vista e senza guardare tutto il video di spiegazione, se uno si trovasse nella tabella la forma con x0 divisi in due, entrambi con il suo +C potrebbe essere portato a pensare che visto che il parametro C ha lo stesso nome nei due casi è un unico parametro, e quindi si ricondurrebbe tutto a ln |x| + C escludendo dalla rappresentazione le primitive che hanno una costante nell'intervallo sinistro diversa da quella dell'intervallo destro.
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Insomma: per far capire al liceale il succo che hai spiegato nel video, IMHO, sarebbe utile rimarcare anche nella formula conclusiva (che per esperienza personale è l'unica cosa che rimane impressa a fuoco nella memoria) che la costante è una PER CIASCUN INTERVALLO su cui è definita la funzione integranda.
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Senza voler complicare la notazione con l'introduzione della funzione u(x), si potrebbe rendere più chiara la cosa lasciando la soluzione divisa in due come l'hai enunciata tu, ma chiamando C1 la costante sul semipiano sinistro e C2 la costante sul semipiano destro.
Ovvero rendere evidente che dove c'è una discontinuità nell'integranda ci può essere "un gradino nella costante" che - per quanto orripilante - è una sorta di abuso di linguaggio per dire che sostanzialmente le costanti sono due 😅
@@daniele7929 infatti
non ho capito. 1/x= ln X + C, S1/x= ln (-x)+C, quale la diferenza rispetto S1/x= ln|x|+C? non ci arrivo.
Ho provato a spiegarlo nel video...
@@GaetanoDiCaprio vedendo il video mi è sorta la domanda, non capisco il perchè... voglio dire S(1/x+C)dx, S(-1/x)dx, fuzionano bene uguale, o no?
Credo dovresti riguardare il video più attentamente. Io ho fatto del mio meglio per spiegare questa sottigliezza, di più non riesco. Grazie mille per l'attenzione!
@@GaetanoDiCaprio Grazie di cuore. Io rigurderò...
Si potrebbe provare a pensarla così: G(x) = ln x + C1 se x > 0, ln (-x) + C2 se x < 0, il punto è che la costante C1 potrebbe essere diversa da C2, mentre con la formula ln |x| + C questo non può accadere. Ad esempio al minuto 7:00 c'è una primitiva dove C1=0 e C2=1, questa non potrebbe uscire dalla formula ln |x| + C.
Perdonate, ma... dovremmo ricordare che tutti i teoremi senza le opportune ipotesi, sono falsi. TUTTI. Se anziché al minuto 8.20 o giù di lì le corrette ipotesi sugli intervalli fossero state introdotte da subito, non ci sarebbero stati tanti problemi strani. Problemi che vengono anche e soprattutto dal fare uso dell'integrale indefinito, che un integrale non lo è, ma e una classe di funzioni: per il bene di chi apprende, va assolutamente lasciato stare dove è. Stiamo certi che se si parla solo di integrali definiti su intervalli di R, e di funzioni primitive su intervalli, e si introducono le corrette ipotesi, tutto questo polverone non esce fuori. Restando entro le ipotesi di validità dei teoremi, non si da luogo ad ambiguità. Presentando invece queste stranezze che possono verificarsi, e che ci vuole il professore "mago" per uscirne fuori, l'allievo ha l'impressione di muoversi in un campo minato, ove non ce la potrà mai fare, perché sempre una nuova ne può venire fuori, e "farlo fesso".
Invece no, la strada è difficile, ma i problem, rispettando con rigore le regole cioe i teoremi CON LE CORRETTE IPOTESI, non si creano dal nulla, e l'edificio sta in piedi, cioè la promessa di un teorema viene sempre mantenuta. Per il bene degli studenti, rigore e rigore, fin dall'inizio.
Ciò detto, apprezzo molto il lavoro del professore, ed i casi che propone, le mie osservazioni hanno carattere assolutamente generico.
Per parlare male del integrale indefinito (qui i.i. , che qui abbrevio con il simbolo operativo S), proviamo a integrare per parti
S[-1/x]dx , che posso scrivere come
S[x(-1/x^2)]dx .
Assumo f.f.=x e f.d.=(--1/x^2) ==>
S[-1/x]dx = S[x(-1/x^2)]dx =
= x(1/x) - S[1(1/x)]dx ,
dunque infine
S[-1/x]dx = 1 + S[-1/x]dx ,
che vista così è palesemente una uguaglianza falsa, che potrebbe diventare vera a patto di specificare tante cose in più, che nella "teoria" (ma quale?) degli i.i. non vengono per nulla specificate.
Dunque, siamo seri, lasciamo stare quella roba lì, che altrimenti... "ci incasiniamo", come dicono giustamente gli studenti ;-)
Tutte osservazioni giuste, non volevo dare l'impressione di "professore mago", sinceramente ho fatto una riflessione su questa cosa e mi sono stupito. Volevo condividere questo stupore. Il punto è che il "rigore" non può mai essere assoluto, qualsiasi testo di matematica (inclusi i testi sacri) deve per forza dare per scontate certe ipotesi oppure utilizzare qualche notazione non proprio precisa. Qualsiasi opera umana, in qualsiasi ambito, deve necessariamente fare affidamento ad un CONTESTO, altrimenti sarebbe pressoché impossibile comunicare con un numero ragionevole di pagine. Quindi, quello che gli studenti dovrebbero cogliere è che la matematica è un prodotto umano e in quanto tale la sua comunicazione deve passare attraverso qualche forma di ambiguità.
Grazie della risposta, e condivido le Sue puntualizzazioni. La metafora del "professore mago" non era per il caso specifico, ma era del tutto generica, e voleva esprimere che lo studente a mio parere non dovrebbe farsi l'idea che a fronte di un "caso strano" se ne esca soltanto con la intuizione che potrebbe avere "un mago della matematica", che lui proprio non si sente di essere.
Ecco, no, volevo dire che deve imparare che dal caso strano ne può "uscire vivo" anche lui, con i suoi mezzi, a patto di usare con rigore gli enunciati dei teoremi, senza "allargarli un po, che tanto dovrebbe valere uguale"; dunque senza fare valere quei teoremi dove valere non possono. E per fare questo ho visto che è molto importante intervenire subito, a fronte di un enunciato mal recitato, e mostrare subito un esempio ove il teorema così enunciato è falso! E allora vediamo che poi cominciano a "recitare" gli enunciati con i dovuti puntini sulle i, e dunque comonciano a non dimenticare piu che i limiti si fanno solo nei punti di accumulazione, le derivate solo nei punti interni, che occorre specificare quando il dominio deve essere un intervallo, o al più un intervallo forato, ecc.
Quando hanno qs armi in mano, divengono loro stessi dei maghi! ;-)