Ciao Gaetano, sono contento di trovare di nuovo il tuo interessante canale attivo. Molto bello questo integrale che assieme a suo corrispondente con cos(x^2), conoscevo come integrale di Fresnell che compare nello studio dei fenomeni di diffrazione. Voglio solo segnalare un passaggio che richiede attenzione. Il lemma che proponi nasconde un'insidia e va maneggiato con cautela. Basta osservare che applicando direttamente il lemma al caso a=-1 si giungerebbe ad un assurdo, in cui un integrale reale chiaramente divergente assumerebbe invece il valore -i*radq(p/4). Il problema nasce quando si effettua il cambio di variabile passando da x a t = radq(a) * x, in quanto bisogna notare che i percorsi d'integrazione sul piano complesso cambiano e l'integrale nella nuova variabile non va più calcolato lungo la semiretta reale positiva, ma va invece calcolato lungo la semiretta spiccata dall'origine nella direzione dell'angolo di radq(a) secondo la determinazione scelta. Ad esempio nel caso di a=-1 l'integrale va calcolato nella direzione della semiretta immaginaria positiva se si vuole assumere per radq(-1) la determinazione i, oppure la semiretta immaginaria negativa se si vuole assumere la determinazione -i ed è facile vedere che così continua ad essere divergente. Nel caso del problema, per a=i e a=-i scegliendo rispettivamente le determinazioni ad angolo p/4 e -p/4, l'integrale di exp(-t^2) dt in queste direzioni coincide con l'integrale lungo il semiasse positivo e dunque effettivamente vale sempre radq(p/4). Si può dimostrare che per tutte le direzioni comprese tra -p/4 e p/4 l'integrale mantiene questo valore (si integra su un percorso chiuso formato dal semiasse reale positivo, un cerchio con raggio infinito, la semiretta compresa tra -p/4 e p/4 e poiché la funzione è priva di poli su tutto C l'integrale su un percorso chiuso è nullo, inoltre l'integrale su un arco di cerchio di raggio R contenuto nel settore tra -p/4 e p/4 tende a 0 al crescere di R). Viceversa se la semiretta è al di fuori del settore -p/4 p/4 allora il valore dell'integrale è diverso e può non esistere o divergere. Io sono abituato a scegliere la fase nell'intervallo tra 0 e 2p e a prendere come prima determinazione per le radici il primo valore che si trova andando da 0 a 2p, così per me l'angolo della radice di i ha come prima determinazione p/4 (e seconda 5p/4), mentre l'angolo della radice di -i ha come prima determinazione 3p/4 (e seconda 7p/4), ma con tali valori, seguendo il procedimento che hai esposto giungevo a risultati inconsistenti nel calcolo del valore finale. Il motivo era che il secondo integrale andava fatto in direzione 3p/4, per mantenere la coerenza con queste determinazioni scelte e in questa direzione il valore del secondo integrale cambia di segno e vale -radq(p/4), capito questo si arriva allo stesso risultato indifferentemente dalla convenzione scelta per le determinazioni delle radici come deve essere, basta solo rispettare la coerenza della convenzione scelta.
Ciao Andrea, sono totalmente d'accordo, le tue osservazioni sono assolutamente corrette, lo stile del video è molto stringato, la risoluzione è da considerarsi solo una "traccia". Grazie, come sempre, della tua attenzione (e della tua preparazione)
Bell'esercizio e ben spiegato Gae. Siamo mentalmente collegati, mentre pubblicavi questo video ne ho fatto uno sui numeri complessi in fisica e tu hai mostrato un'applicazione matematica.
@@GaetanoDiCaprio per chi conosce un po' di ottica, questo è l'integrale di Fresnel (it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_Fresnel) e può essere calcolato senza usare i numeri complessi utilizzando lo stesso metodo dell'integrale doppio dell'integrale di Gauss ma usando come funzione base sin(x^2+y^2) (it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_Gauss)
Il titolo mi ha fatto venire in mente due libri editi dalla Springer: "(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series" e il seguito, "More (Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series: A New Collection of Fiendish Problems and Surprising Solutions".
Tutto questo è confuso e pasticciato. Anzitutto, quando ricava il valore dell'integrale di Gauss generalizzato non si preoccupa di precisare qual è la determinazione della radice quadrata di alpha che adopera (ce ne sono due, come è ben noto). Inoltre quando eleva al quadrato uno su radice di -i meno uno su radice di i fa il quadrato del numeratore ma non quello del denominatore. Da vecchio professore di Analisi Matematica non avrei accettato questa risoluzione da un mio studente.
Ha perfettamente ragione. Ero al corrente della prima imprecisione (era "voluta") ma la seconda è un refuso bello e buono. Grazie per la segnalazione! Cerco di correggere
Sarai stato il classico mediocre professore saccente e antipatico. Il collega, essendo umano e non un robot, avrà fatto i suoi errori di distrazione ma evidenziarlo con tale lessico antipatico e irritante è davvero segno di mediocrità da parte tua. Addirittura concludere mettendo l'autore di questo video sullo stesso piano di un tuo alunno. Ma chi ti credi di essere? Meno male che hai smesso di fare sto lavoro, la scuola è fin troppo piena di antipatici saccenti.
Mmmm, hai trascurato problemi di convergenza. In Gauss la convergenza è assicurata perchè alfa= 1, ovvero alfa è positivo, se lo vuoi sostituire con quantità complesse devi fare altre considerazioni per mostrare la convergenza. Ti conviene scegliere un cammino chiuso e farlo andare all'infinito, come si fa con integrali simili
Secondo me si può semplificare ancora. Scrivo il tuo integrale come Integrale tra 0 e inf di parte immaginaria di e^(i*x^2) dx. Dal tuo integrale di Gauss generalizzato ottengo che l'integrale fa parte immaginaria di 1/Sqrt(-i) * sqrt(Pi/4)=Sqrt(pi/8). E' giusto?
![Lp. Сердце Вселенной #60 РОЖДЕНИЕ ЛОЛОЛОШКИ [Финал] • Майнкрафт](http://i.ytimg.com/vi/YoR0pAV9FVQ/mqdefault.jpg)
Ciao Gaetano, sono contento di trovare di nuovo il tuo interessante canale attivo.
Molto bello questo integrale che assieme a suo corrispondente con cos(x^2), conoscevo come integrale di Fresnell che compare nello studio dei fenomeni di diffrazione.
Voglio solo segnalare un passaggio che richiede attenzione.
Il lemma che proponi nasconde un'insidia e va maneggiato con cautela.
Basta osservare che applicando direttamente il lemma al caso a=-1 si giungerebbe ad un assurdo, in cui un integrale reale chiaramente divergente assumerebbe invece il valore -i*radq(p/4).
Il problema nasce quando si effettua il cambio di variabile passando da x a t = radq(a) * x, in quanto bisogna notare che i percorsi d'integrazione sul piano complesso cambiano e l'integrale nella nuova variabile non va più calcolato lungo la semiretta reale positiva, ma va invece calcolato lungo la semiretta spiccata dall'origine nella direzione dell'angolo di radq(a) secondo la determinazione scelta. Ad esempio nel caso di a=-1 l'integrale va calcolato nella direzione della semiretta immaginaria positiva se si vuole assumere per radq(-1) la determinazione i, oppure la semiretta immaginaria negativa se si vuole assumere la determinazione -i ed è facile vedere che così continua ad essere divergente.
Nel caso del problema, per a=i e a=-i scegliendo rispettivamente le determinazioni ad angolo p/4 e -p/4, l'integrale di exp(-t^2) dt in queste direzioni coincide con l'integrale lungo il semiasse positivo e dunque effettivamente vale sempre radq(p/4). Si può dimostrare che per tutte le direzioni comprese tra -p/4 e p/4 l'integrale mantiene questo valore (si integra su un percorso chiuso formato dal semiasse reale positivo, un cerchio con raggio infinito, la semiretta compresa tra -p/4 e p/4 e poiché la funzione è priva di poli su tutto C l'integrale su un percorso chiuso è nullo, inoltre l'integrale su un arco di cerchio di raggio R contenuto nel settore tra -p/4 e p/4 tende a 0 al crescere di R). Viceversa se la semiretta è al di fuori del settore -p/4 p/4 allora il valore dell'integrale è diverso e può non esistere o divergere.
Io sono abituato a scegliere la fase nell'intervallo tra 0 e 2p e a prendere come prima determinazione per le radici il primo valore che si trova andando da 0 a 2p, così per me l'angolo della radice di i ha come prima determinazione p/4 (e seconda 5p/4), mentre l'angolo della radice di -i ha come prima determinazione 3p/4 (e seconda 7p/4), ma con tali valori, seguendo il procedimento che hai esposto giungevo a risultati inconsistenti nel calcolo del valore finale.
Il motivo era che il secondo integrale andava fatto in direzione 3p/4, per mantenere la coerenza con queste determinazioni scelte e in questa direzione il valore del secondo integrale cambia di segno e vale -radq(p/4), capito questo si arriva allo stesso risultato indifferentemente dalla convenzione scelta per le determinazioni delle radici come deve essere, basta solo rispettare la coerenza della convenzione scelta.
Ciao Andrea, sono totalmente d'accordo, le tue osservazioni sono assolutamente corrette, lo stile del video è molto stringato, la risoluzione è da considerarsi solo una "traccia". Grazie, come sempre, della tua attenzione (e della tua preparazione)
Bell'esercizio e ben spiegato Gae.
Siamo mentalmente collegati, mentre pubblicavi questo video ne ho fatto uno sui numeri complessi in fisica e tu hai mostrato un'applicazione matematica.
E' vero, l'ho notato!!!
Molto interessante questo risultato. Sorge spontanea la domanda se sia possibile ottenere lo stesso teorema senza coinvolgere i numeri complessi.
Bella domanda, io non sono riuscito a trovare un modo di dimostrarlo senza i complessi, ma non so se effettivamente siano indispensabili.
@@GaetanoDiCaprio per chi conosce un po' di ottica, questo è l'integrale di Fresnel (it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_Fresnel) e può essere calcolato senza usare i numeri complessi utilizzando lo stesso metodo dell'integrale doppio dell'integrale di Gauss ma usando come funzione base sin(x^2+y^2) (it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_Gauss)
Il titolo mi ha fatto venire in mente due libri editi dalla Springer: "(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series" e il seguito, "More (Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series: A New Collection of Fiendish Problems and Surprising Solutions".
Devo trovare questo libro...
@@francescosmerilli5384 Si trovano facilmente in rete.
A prescindere dal video (che non ho ancora visto), le dico che è davvero bello avere un suo nuovo contenuto.
Grazie ☺️
Tutto questo è confuso e pasticciato. Anzitutto, quando ricava il valore dell'integrale di Gauss generalizzato non si preoccupa di precisare qual è la determinazione della radice quadrata di alpha che adopera (ce ne sono due, come è ben noto). Inoltre quando eleva al quadrato uno su radice di -i meno uno su radice di i fa il quadrato del numeratore ma non quello del denominatore. Da vecchio professore di Analisi Matematica non avrei accettato questa risoluzione da un mio studente.
Ha perfettamente ragione. Ero al corrente della prima imprecisione (era "voluta") ma la seconda è un refuso bello e buono. Grazie per la segnalazione! Cerco di correggere
Sarai stato il classico mediocre professore saccente e antipatico. Il collega, essendo umano e non un robot, avrà fatto i suoi errori di distrazione ma evidenziarlo con tale lessico antipatico e irritante è davvero segno di mediocrità da parte tua. Addirittura concludere mettendo l'autore di questo video sullo stesso piano di un tuo alunno. Ma chi ti credi di essere? Meno male che hai smesso di fare sto lavoro, la scuola è fin troppo piena di antipatici saccenti.
Mmmm, hai trascurato problemi di convergenza. In Gauss la convergenza è assicurata perchè alfa= 1, ovvero alfa è positivo, se lo vuoi sostituire con quantità complesse devi fare altre considerazioni per mostrare la convergenza. Ti conviene scegliere un cammino chiuso e farlo andare all'infinito, come si fa con integrali simili
Sì certo hai ragione, ma il video è solo una traccia della soluzione. Chiedo venia
Piu video come questi! Grazie
Sugli integrali intendi?
Buonasera, noto che se alfa = 0 l'integrale diverge...
Assolutamente corretto, alfa deve essere diverso da zero
Secondo me si può semplificare ancora. Scrivo il tuo integrale come Integrale tra 0 e inf di parte immaginaria di e^(i*x^2) dx. Dal tuo integrale di Gauss generalizzato ottengo che l'integrale fa parte immaginaria di 1/Sqrt(-i) * sqrt(Pi/4)=Sqrt(pi/8). E' giusto?
sì OTTIMO