Ho ulteriormente sviscerato il problema, ed ho trovato un modo per costruire infinite equazioni del tipo n^2 + B.n + C = K^2. Scelti la soluzione n e K e il coefficiente B (con B>1 e K>=n) il coefficiente C deve essere C = (-B + 2.(K-n)).n + (K-n)^2. Ad es. n = 7, K = 10, B = 7, C = (-7 +2.(10-7)).7 +(10-7)^2 = 2, come nel problema proposto. A cosa possa servire tutto questo.... rimane un impenetrabile mistero. Però mi sono divertito.
Il metodo di per sé non è banale, ma allo stesso tempo è qualcosa che si studia persino alle scuole superiori in quanto non è altro appunto che il metodo utilizzato per calcolare le radici quadrate di un numero qualsiasi, in quanto si prendono due numeri, di solito decimali e vediamo se approssimano il numero di cui vogliamo calcolare la radice quadrata per eccesso e per difetto. Successivamente andiamo ad aggiungere una successiva cifra decimale al numero il cui quadrato approssima il numero principale per difetto, e quindi cambiamo l'ultima cifra decimale per trovare i due numeri che approssimano meglio il valore quadratico e così via. Qui vogliamo avere due numeri naturali, quindi niente cifre decimali, ma solo prendere due numeri che sono uno il più grande dell'altro :P
Esattamente! Il punto centrale che rende le cose difficili in un qualsiasi quesito matematico è quando il problema è posto senza sapere meccanicamente quale metodo usare. Una volta che sai che metodo usare, questo tipo di problema diventa semplicemente un esercizio, ma all'inizio è un vero problema, come quelli della vita di tutti i giorni, ma una volta risolto se ti si ripresenta in futuro saprai subito che strada prendere!
ma veramente un metodo generale per risolvere questo tipo di problemi esiste. Una espressione del tipo an^2+bn+c, se a è un quadrato perfetto (1,4,9,16,25 ecc), ha come soluzioni questa formula n=(-b ± sqrt(Δ+[(d-f)/2]^2))/2a. Δ è il solito delta delle equazioni di secondo grado b^2-4ac, mentre d ed f sono i fattori di delta. Vediamo come esempio l'equazione del video: n^2+7n+2 Δ=41 che è un numero primo, per cui ci sono solo d=41 ed f=1. n=(-7 ± sqrt(41+400))/2=7. Quando il Δ è negativo bisogna considerare d ed f con il segno giusto. Per esempio se l'espressione fosse 4n^2-7n+4 sarebbe Δ=-15 quindi d=(-15,-5) e f=(1,3) e quindi ((d-f)/2)^2=(64,16) da cui n=(7 ± sqrt(-15+(64,16))/8=(1.75,0,1,3/4) Le soluzioni accettabili sono quindi solo (0,1). Se a non è un quadrato perfetto si può dimostrare che non esiste una formula risolutiva.
Ciao! Non ho mai detto che non esista un metodo generale. Nel video ho proposto un metodo risolutivo che trovo interessante, lungi da me dal ritenere che sia unico! Ha il vantaggio di non utilizzare una formula che richiede una dimostrazione a sé e non è molto nota. Il metodo portato nel video fa solo uso dell'algebra di base, anche se l'uso non è elementare. Grazie comunque del commento!
dopo aver trovato la soluzione banalmente per tentativi, e aver capito che poteva non essere unica (e non lo sapevo dimostrare) ho pensato ad una soluzione geometrica: un quadrato di lato n quadrati unitari, bordato con due strisce da 3 x n quadrati unitari su due lati adiacenti. Avanza un quadratino per formare un quadrato più grande di lato k: nel quadratino posso mettere n + 2 quadrati unitari. e così ho utilizzato tutti i quadrati unitari previsti dall'equazione. Ma il quadratino deve avere area 9 (3x3) quadrati unitari. Per cui n + 2 = 9; n =7, k = n + 3 =10. La bordatura sui due lati può essere fatta solo con tre strisce per lato perché ne ho 7 e quello che avanza serve per riempire il quadratino.
Ciao Attilio! Mi piace molto la tua soluzione! La visualizzazione geometrica offre un modo diverso di vedere lo stesso problema e lo arricchisce notevolmente! A titolo di curiosità, la figura esterna al quadrato formata dai due rettangoli più il quadratino storicamente era chiamata gnomone ed era una rappresentazione molto sfruttata per vari risultati da molti matematici del Medioevo quali Fibonacci. Grazie del commento!
Altro procedimento: se n^2+7n+2 deve essere quadrato perfetto, allora si può scrivere n^2+7n+2=a^2 o meglio n^2+7n+2-a^2=0.. tale equazione deve avere almeno una soluzione appartenente ai numeri naturali e la condizione necessaria - ma non sufficiente- affinché ciò si verifichi è che il suo delta sia un quadrato perfetto.. si trova delta =4a^2+41 .. tale delta deve essere un quadrato perfetto, cioè 4a^2+41=b^2, ossia 4a^2-b^2=41 , con a numero naturale e b intero.. scomponendo si ottiene: ( b-2a)(b+2a)=41.. poiché 41 è un numero primo, uno dei due fattori deve essere 1, l'altro 41.. esaminando le due possibilità si ottiene b=21 ed a=10, oppure b=21 ed a=-10 .. in ogni caso il delta risulta 441 e, risolvendo l'equazione rispetto a n si ottiene n=7 ed n=-14.. l'unica soluzione accettabile è n=7
Che bello questo metodo di restringere le soluzioni. Wow!
Bellissimo svolgimento!
Grazie per il complimento!
Ho ulteriormente sviscerato il problema, ed ho trovato un modo per costruire infinite equazioni del tipo n^2 + B.n + C = K^2.
Scelti la soluzione n e K e il coefficiente B (con B>1 e K>=n) il coefficiente C deve essere C = (-B + 2.(K-n)).n + (K-n)^2.
Ad es. n = 7, K = 10, B = 7, C = (-7 +2.(10-7)).7 +(10-7)^2 = 2, come nel problema proposto.
A cosa possa servire tutto questo.... rimane un impenetrabile mistero. Però mi sono divertito.
Ok nel momento in cui fissi n B e K hai un'equazione di primo grado nella variabile C, da cui C=-Bn -n^2 +k^2
Ottimo video!
Matematiha per toshani ?
La h aspirata su matematica è corretta, la seconda no, quando c'è una consonante che precede la c in quel caso non si aspira 😂
@@deepmath95 lo sospettavo, avevo però appositamente esagerato 😅
Il metodo di per sé non è banale, ma allo stesso tempo è qualcosa che si studia persino alle scuole superiori in quanto non è altro appunto che il metodo utilizzato per calcolare le radici quadrate di un numero qualsiasi, in quanto si prendono due numeri, di solito decimali e vediamo se approssimano il numero di cui vogliamo calcolare la radice quadrata per eccesso e per difetto. Successivamente andiamo ad aggiungere una successiva cifra decimale al numero il cui quadrato approssima il numero principale per difetto, e quindi cambiamo l'ultima cifra decimale per trovare i due numeri che approssimano meglio il valore quadratico e così via. Qui vogliamo avere due numeri naturali, quindi niente cifre decimali, ma solo prendere due numeri che sono uno il più grande dell'altro :P
Esattamente! Il punto centrale che rende le cose difficili in un qualsiasi quesito matematico è quando il problema è posto senza sapere meccanicamente quale metodo usare. Una volta che sai che metodo usare, questo tipo di problema diventa semplicemente un esercizio, ma all'inizio è un vero problema, come quelli della vita di tutti i giorni, ma una volta risolto se ti si ripresenta in futuro saprai subito che strada prendere!
ma veramente un metodo generale per risolvere questo tipo di problemi esiste. Una espressione del tipo an^2+bn+c, se a è un quadrato perfetto (1,4,9,16,25 ecc), ha come soluzioni questa formula n=(-b ± sqrt(Δ+[(d-f)/2]^2))/2a. Δ è il solito delta delle equazioni di secondo grado b^2-4ac, mentre d ed f sono i fattori di delta.
Vediamo come esempio l'equazione del video: n^2+7n+2 Δ=41 che è un numero primo, per cui ci sono solo d=41 ed f=1. n=(-7 ± sqrt(41+400))/2=7. Quando il Δ è negativo bisogna considerare d ed f con il segno giusto. Per esempio se l'espressione fosse 4n^2-7n+4 sarebbe Δ=-15 quindi d=(-15,-5) e f=(1,3) e quindi ((d-f)/2)^2=(64,16) da cui n=(7 ± sqrt(-15+(64,16))/8=(1.75,0,1,3/4) Le soluzioni accettabili sono quindi solo (0,1). Se a non è un quadrato perfetto si può dimostrare che non esiste una formula risolutiva.
Ciao! Non ho mai detto che non esista un metodo generale. Nel video ho proposto un metodo risolutivo che trovo interessante, lungi da me dal ritenere che sia unico! Ha il vantaggio di non utilizzare una formula che richiede una dimostrazione a sé e non è molto nota. Il metodo portato nel video fa solo uso dell'algebra di base, anche se l'uso non è elementare. Grazie comunque del commento!
@@deepmath95 In realtà un metodo generale non esiste, esiste nel caso particolare in cui a sia un quadrato perfetto.
dopo aver trovato la soluzione banalmente per tentativi, e aver capito che poteva non essere unica (e non lo sapevo dimostrare) ho pensato ad una soluzione geometrica: un quadrato di lato n quadrati unitari, bordato con due strisce da 3 x n quadrati unitari su due lati adiacenti. Avanza un quadratino per formare un quadrato più grande di lato k: nel quadratino posso mettere n + 2 quadrati unitari. e così ho utilizzato tutti i quadrati unitari previsti dall'equazione. Ma il quadratino deve avere area 9 (3x3) quadrati unitari. Per cui n + 2 = 9; n =7, k = n + 3 =10.
La bordatura sui due lati può essere fatta solo con tre strisce per lato perché ne ho 7 e quello che avanza serve per riempire il quadratino.
Ciao Attilio! Mi piace molto la tua soluzione! La visualizzazione geometrica offre un modo diverso di vedere lo stesso problema e lo arricchisce notevolmente!
A titolo di curiosità, la figura esterna al quadrato formata dai due rettangoli più il quadratino storicamente era chiamata gnomone ed era una rappresentazione molto sfruttata per vari risultati da molti matematici del Medioevo quali Fibonacci.
Grazie del commento!
Altro procedimento: se n^2+7n+2 deve essere quadrato perfetto, allora si può scrivere n^2+7n+2=a^2 o meglio n^2+7n+2-a^2=0.. tale equazione deve avere almeno una soluzione appartenente ai numeri naturali e la condizione necessaria - ma non sufficiente- affinché ciò si verifichi è che il suo delta sia un quadrato perfetto.. si trova delta =4a^2+41 .. tale delta deve essere un quadrato perfetto, cioè 4a^2+41=b^2, ossia 4a^2-b^2=41 , con a numero naturale e b intero.. scomponendo si ottiene:
( b-2a)(b+2a)=41.. poiché 41 è un numero primo, uno dei due fattori deve essere 1, l'altro 41.. esaminando le due possibilità si ottiene b=21 ed a=10, oppure b=21 ed a=-10 .. in ogni caso il delta risulta 441 e, risolvendo l'equazione rispetto a n si ottiene n=7 ed n=-14.. l'unica soluzione accettabile è n=7