Fantastico video. La matematica è un linguaggio, e come tale ha i suoi formalismi e la sua sintassi. Spesso, come in ogni linguaggio, si fa ricorso ad abbreviazioni o semplificazioni espositive, ma il concetto è invariante. Complimenti!
Il sui canale tratta argomenti in modo molto intelligente e soprattutto comprensibile, perché cala il tutto nella realtà, nel motivo per cui certe operazioni e certi concetti si sono sviluppati; la loro necessità nel mondo reale. Era questo che io avrei voluto durante il corso dei miei studi. Ho fatto lo scientifico 50 anni fa e le posso assicurare che gli esercizi di matematica li eseguivo in modo automatico e poco ragionato. Grazie ancora, mi sto riappassionando alla matematica.
Bel video! Mi piace molto questo percorso che parte da concetti intuitivi ed elementari ed arriva alla definizione formale di limite. Spero proprio che alla fine molti si sentano "confusi" perché, come dici tu, da quella confusione potrà nascere il desiderio di approfondimento... La conoscenza vera deve passare necessariamente attraverso un po' di "sofferenza". Complimenti, forse uno dei tuoi migliori video!
@@ValerioPattaro Infatti cerco sempre di trovare "il pelo nell'uovo" 😉 ma questa volta nulla da eccepire. Si vede bene che è un campo (quello dell'analisi matematica) che ti piace... Alla fine nessuno di noi insegnanti può essere un "tuttologo", gli argomenti che ci piacciono di più sono anche quelli in cui diamo il meglio. Bene così!
@@GaetanoDiCaprio Valerio è riuscito a far appassionare un neofita come me, mi viene subito da domandare una spiegazione: se divido per zero il risultato è zero, perché non si può fare?
@@ValerioPattaro complimenti, vorrei farle una domanda come è possibile che una laureata in matematica possa essere una totale ignorante della fisica più elementare e che oggi inondi la sua pagina Facebook di notizie complottiste, anti scientifiche e superstiziose? parlo ovviamente di una mia ex insegnante di liceo.
Diplomato da 30 anni, ma tantissima nebbia in questa disciplina! Grazie per darmi la possibilità attraverso i tuoi video di rivedere tantissimi argomenti visti con superficialità! Complimenti per il canale, ciao!
Le definizioni, in matematica, sono arbitrarie e si possono giudicare non in maniera assoluta ma in base alla convenienza. L'ambito scolastico utilizza una notazione un po' antiquata (diciamo pre-bourbakista) nel trattare le funzioni e necessita di togliere assolutezza all'operatore di uguaglianza (si definisce il concetto di limite uguale ad infinito senza dare significato al simbolo "infinito"). In realtà si può benissimo dire che 1/0 = oo senza avere da questo nessuna contraddizione: basta essere pronti ad accettare che non tutte le regole algebriche sulle manipolazioni delle operazioni rimangano valide. E' in realtà anche molto utile farlo, in particolare nel campo dei numeri complessi. Si può estendere C (il campo dei complessi) con un punto all'infinito ed ottenere quella che si chiama "sfera di Riemann". Bisogna fare un minimo di attenzione a quello che si può e non si può fare, ma si può guadagnare molto dal punto di vista dell'intuizione. Capisco che uno non voglia definire l'operazione 1/0 perché il risultato certamente non è un numero reale. Però l'idea intuitiva che 1/0 = oo è una idea che tutti i matematici hanno in mente. E visto che si può formalizzare senza contraddizioni e che (con le dovute cautele) può essere utile, penso non si debba dire che è sbagliata.
Ottima delucidazione, molte persone accettano l'idea che 1/0= oo basti pensare che molte calcolatrici, soprattutto quelle di alcuni telefoni, calcolano la divisione diviso 0 restituendo oo come risultato.
Giusto. E si può anche aggiungere un singolo punto all'infinito all'insieme |R, ottenendo la compattificazione di Alexandrov di |R (o retta proiettiva): in questo ambito, definire 1/0=oo serve ad estendere per continuità la funzione 1/x
Chiaro ed efficace, con un errore di forma che fanno i miei alunni: il limite non è di x ma di y, e lo è se, quando, per x che tende al punto di accumulazione. Si conviene di scegliere la particella "per". Limite della funzione f PER x che tende a c.
È significativo il ragionevole pensiero espresso alla fine.. cioè, non si deve avere paura nel sentirsi "confusi" da concetti nuovi o poco familiari.. o non temere di dover mettere da parte i nostri preconcetti, e rivalutare le cose col ragionamento logico e da prospettive diverse, prospettive che altri possono aiutarci ad acquisire.. Al di là di ciò, anch'io sono stato fortunato ad avere prof che mi hanno insegnato esattamente quanto detto in questo eccellente video!
Ho letto tempo fa che "la matematica non si capisce, alla matematica ci si abitua" e concordo assolutamente, è sempre una questione di definizioni "precedenti" ... a piacere... senza offesa, anzi mi interessano moltissimo questi video e mi aiutano a capire qualcosa. Grazie
Secondo me un altro ottimo metodo per chiarire il concetto è quello grafico, mostrando gli asintoti. Questo spiega anche molto bene il discorso del tendere da destra o da sinistra a x0. Quando ero all'università e davo lezioni private a ragazzi di medie e superiori, restavano sempre incantati quando spiegavo le disequazioni di secondo grado con l'ausilio della parabola :)
Giài ero iscritto al canale e ti seguivo apprezzando le tue spiegazioni, ma qui ti sei veramente suerato e hai chiarito benissimo una "diatriba" facendo capire chiaramente da dove nasceva il malinteso. Complimenti davvero.
Molto interessante questo video. La mia insegnante delle superiori ci ha sempre detto la stessa cosa, come anche i vari libri usati. Non si divide per zero e lo abbiamo capito studiano i limiti, asintoti, come dici.
Fiuuuuu Meno male!!!!! Quando ho sentito "non sta sbagliando nessuno" ho iniziato a tremare. Meno male che sono arrivati i limiti in soccorso... Sono bellissime le Sue spiegazioni. Grazie
Grazie, professore, per questo video meraviglioso. Il calculus è una delle più belle conquiste dell'ingegno umano, le cui profondità devono essere ancora sondate. Attualmente sto studiando l'Analisi Non-Standard alla Robinson, che ho conosciuto partendo dagli studi su Leibniz, e trovo che l'approccio sia una vera delizia per l'intelletto. Infatti, l'infinito H è il reciproco dell'infinitesimo 1/ε, i quali, come avvenne per i numeri trascendenti, sarebbe meglio comprenderli nella loro pura essenza, senza tradurli con il linguaggio numerico ordinario. Inoltre, gli infiniti non sono in potenza, bensì in atto, come sono in atto gli infinitesimi. Come ho scritto, questo argomento è un vertice anche in filosofia, siccome Platone vi ha dedicato il Parmenide al riguardo. Cari saluti.
No no, è molto chiaro. Mi piace come spiega. Io lo vedevo pensando allo o come o+ o o -, con più e meno poste all'apice. Comunque molto chiara la spiegazione.
Ho fatto per vari anni corsi universitari di matematica di base. Non so cosa rimanesse delle nozioni che cercavo di impartire con molta fatica. Ma una era il must. NON si può dividere per zero e 1/0 compare solo nei limiti! Più o meno facevo lezione come hai fatto tu. E ripetevo e ripetevo...riflettevano e imparavano. Credo sarà lo stesso anche con te. Complimenti!
Brava, è bello leggere un commento del genere. Resta comunque da stabilire di quali elementi sia composto l'insieme esteso dei numeri reali: se include anche "più" e "meno" infinito, anche gli altri elementi come "1", "2", "3"... etc. numeri non possono di certo essere.
Buonasera, vagavo per UA-cam alla ricerca di un refresh ( o upgrade) per mio figlio ed ho trovato il suo video. Io mi son diplomato secoli orsono ma mai, e dico mai, ho sentito di 1/0= infinito. Però ha sempre girato una storiella che spiegava questa cosa con un grafico. Cioè, se io divido 1 per un numero infinitamente piccolo, prossimo allo zero, il risultato assomiglia parecchio ad infinito. E già ai miei tempi spiegare una divisione per zero era un continuo spiegare che zero, matematicamente, non è il nulla ma zero. Il video però è davvero bello. Complimenti!
Una notazione semplice potrebbe essere n/(-->0) dove "--> 0" significa "per il denominatore tendente a zero". Ma non l'ho vista da nessuna parte. Io comunque nei miei appunti personali d'ora in poi userò questa convenzione. Anche perché nei libri di calculus si usa la definizione formale di limiti che lei ha accennato. Ed è veramente ostica per me....anche se ho capito il concetto di limite e lo trovo normalmente nelle equazioni in fisica, tutte le volte devo rileggerla almeno tre volte e comunque per me non è intuitiva, nel senso che non mi fa capire il succo della questione. Questo video invece mi è stato utilissimo. Grazie come sempre.
Adoro la matematica, anche se, e può sembrare strano, non ci vado molto d'accordo. Comunque, finalmente ho iniziato a comprendere qualcosa. Soprattutto, il simbolo dell'infinito ora mi è più chiaro. Grazie mille!
Salve professore, per prima cosa volevo ringraziarla per le sue spiegazioni esaustive ed interessanti. Guardando il video mi è sorta spontanea una domanda: se seguissimo il suo ragionamento tale che 6:2 = 3 perchè 3x2 = 6 e così via... 0:0 non dovrebbe essere uguale a 0 poichè 0x0 = 0? Grazie mille.
È proprio questo il fatto: il concetto di infinito è un concetto puramente matematico. Se ti chiedessi di dirmi nell'universo qualcosa di infinito, sono sicuro che non sapresti rispondermi (perché non c'è niente di infinito) se non i numeri
Grazie per la spiegazione. Devo dire che in modo piuttosto empirico, non essendo un matematico, quando anni fa per motivi di calcolo ero costretto a dividere per 0, (dove 0 era per esempio la concentrazione nulla di un soluto in un solvente usato come "bianco" di paragone) per evitare il blocco del programma sostituivo lo 0 con il numero più piccolo che il processore matematico riconoscesse, nel mio caso 10^-35... ed ha sempre funzionato! Mi rimane invece il dubbio della divisione 0/0 che da alcune parti ho letto = 1 considerandola come divisione tra numeri uguali, oppure "Infinito" o "indefinito" considerando che un mumero qualsiasi moltiplicato 0 = 0
Ottima spiegazione. Semplice, ma chiara ed efficace. Magari in 1ª media l'avessero spiegata così a me quando mi spiegarono che non si può dividere per 0. Complimenti davvero. Con la 1ª spiegazione che hai dato, si potrebbe dire che la divisione per 0 è impossibile perché di fatto non si opera alcuna divisione,
Super professore ... al minuto 4:15 si fa l'operazione inversa della divisione per verificare se la divisione stessa abbia dato il risultato corretto. Per questa verifica si potrebbe anche ripetere "la tabellina" dei divisori per controllare quante volte il divisore "sta" nel dividendo; ad esempio: 6/3 ... 3x1=3; 3x2=6 ==> quindi il 3 sta 2 volte nel 6; 6/2 ... 2x1=2; 2x2=4; 2x3=6 ==> quindi il 2 sta 3 volte nel 6; 6/1 ... 1x1=1; 1x2=2; 1x3=3; 1x4=4; 1x5=5; 1x6=6 ==> quindi l' 1 sta 6 volte nel 6; allora, mi viene da proporre, si potrebbe controllare anche quante volte lo 0 (zero) sta nel 6: 6/0 ... 0x1=0; 0x2=0; 0x3=0; ecc. ... si evincerebbe, da quest'ultimo ragionamento, che lo 0 (zero) stia infinite volte nel 6 ... questa mia elucubrazione ha qualcosa di attendibile ?
Il due sta 3 volte nel 6 poiché 2+2+2=6. Il 6 deve essere raggiunto per dire che il 2 ci sta tre volte. Però una somma di infiniti zeri non arriverà mai a 6.
Forse rappresentando graficamente una funzione con asintoto e quindi che tende ad infinito si potrebbe anche capire e fare capire melgio concetto di limite
Bel video nulla da eccepire, e ottima dimostrazione. Allora si potrebbe discutere anche delle forme di indecisione dei limiti zero/zero oppure infinito/infinito? Grazie mille
Video molto bello; potresti trattare 0⁰ ? Ho sentito dire sia che è indeterminato sia che è uguale a 1 e non sono sicuro su quale sia la risposta corretta, grazie
Infatti si tratta dello studio della convergenza e divergenza, che hanno molte applicazioni come la fisica, elettronica, meccanica ecc. Esempio la Trasformata di Laplace lavora molto su questo, il calcolo degli zeri e poli: per l'andamento in frequenza o anche poli e residui per il calcolo dell'antitrasformata, 1/x in zero ha il polo del primo ordine 1/x in x=0 vale infinito Esempio calcolo dell'antitrasformata di (s+2)/(s²+3s+1) z0+z1=3 z0·z1=1 (z0+z1)/2=-3/2 z0=-3/2+m z1=-3/2-m z0·z1=(-3/2+m)(-3/2-m)=1 9/4-m²=1 m²=9/4-1=9/4-4/4=5/4 ± non serve è superfluo m=√5/2 z0=-3/2+√5/2=(-3+√5)/2 z1=-3/2-√5/2=(-3-√5)/2 (s+2)/(s²+3s+1)= =(s+2)/[(s+(3+√5)/2)(s+(3-√5)/2)] (s+2)/(s+(3-√5)/2) in s=(-3-√5)/2 (-3/2+4/2-√5/2)/(-2√5/2)= [(1-√5)/2]/(-√5)= =(5-√5)/10 (s+2)/(s²+3s+1)= =(s+2)/[(s+(3+√5)/2)(s+(3+√5)/2)] (s+2)/(s+(3+√5)/2) in s=(-3+√5)/2 (-3/2+4/2+√5/2)/(2√5/2)= [(1+√5)/2]/(√5)= =(5+√5)/10 (s+2)/(s²+3s+1)= =(5-√5)/10·1/[s+(3+√5)/2]+ +(5+√5)/10·1/[s+(3-√5)/2]
Io devo ringraziarla: amavo la matematica al liceo e devo dire che ancora adesso i suoi video mi confermano che ho le idee ben chiare. È comunque sempre un piacere tenersi in allenamento! 😉👍
Due rette parallele si incontrano all'infinito negli spazi proiettivi, lo stesso viene in questo caso x+1 ed x assumono lo stesso valore ad infinito Lo scopo è sostituire x con x/t Viene: x/t+1=x/t Moltiplicando a destra ed a sinistra per t otteniamo x+t=x è soddisfatta con t=0 che corrisponde ad x=∞ si può dividere per zero negli spazi proiettivi, due rette parallele possono avere punti in comune negli spazi proiettivi.
prof Valerio, Vorrei integrare il mio precedente intervento per ragionare sulla relazione che ha proposto : 6/0 = x che si può scrivere anche nella forma
Esiste anche la Jordanizzazione che è la generazione della diagonalizzazione di matrici, la Jordanizzazione aggira l'ostacolo di matrici non diagonalizzabili, e se vedi aggira l'ostacolo proprio con la divisione per zero, una matrice del genere || 1 1 || || 0 1 || Ha autovalori 1 contato due volte ma avente molteplicità geometrica uguale a 1 da cui non è diagonalizzabile però si può aggirare l'ostacolo con la forma canonica di Jordan || 1 1 || || 0 1 || Questa a tutti gli effetti è una forma di Jordan Nel caso della matrice di Vandermonde 1 x x² x³ ... 1 y y² y³ ... Con x=y la matrice ha determinante uguale a zero ma si può aggirare l'ostacolo introducendo le derivate 1 x x² x³ ... 0 1 2x 3x² ... Così via quando compaiono n variabili C'è un altro caso in cui bisogna aggirare l'ostacolo della divisione per zero Quando bisogna ridurre la matrice a scalini 2 4 6 2 3 4 5 1 Per far comparire uno zero sotto al 2 devo fare la seconda meno 3/2 la prima Se però il pivot è zero 0 1 2 1 3 2 4 2 Si può aggirare l'ostacolo scambiando le due righe.
Buonasera. Sarebbe molto gradito se nei prossimi video trovasse posto il teorema di Cantor e la dimostrazione tramite la diagonale portante il suo nome. Tanti auguri di buone feste
Grazie Professore. L'insegnamento per cui un numero diviso zero da come risultato infinito risale per me alle medie, e per dimostrare ciò la Professoressa aveva fatto fare da una studentessa la prova della moltiplicazione. Siccome che ovviamente nessun numero moltiplicato per zero da un risultato diverso da zero allora ha concluso che un numero diviso zero da come risultato infinito. Oltre a ciò aveva detto che zero diviso zero da come risultato "indeterminato"... a questo punto mi domando, e Le domando "sarà vero?" Di certo ha ragione a dire che ci sarebbero state persone che dopo questo video avrebbero avuto le idee più confuse di prima... eccomi! A parte ciò, non so se lo ha già spiegato in qualche altro video, ma se no, le dispiacerebbe spiegare perché un qualunque numero elevato alla zero da come risultato uno? Grazie infinite.
Buongiorno Professore. Qualche tempo addietro mi sono imbattuto in una pagina dove uno studioso di matematica sosteneva che: si può sempre pensare ad una matematica nella quale 'qualunque' operazione è ammissibile, purché se ne 'sopportino' le conseguenze, e citava proprio una matematica nella quale la divisione per zero è ammessa, anzi è un caposaldo di quel tipo di matematica: Wheel theory ( en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory ). Pensando sia ai numeri negativi che ai numeri complessi (che mi erano stati 'venduti' come inesistenti o impossibili fino ad un certo grado di studio), il ragionamento di cui sopra mi è sembrato corretto. Lei cosa ne pensa ? Ho male interpretato il ragionamento ?
Mi laureai a 22 anni in Matematica, ora sono diversamente giovane. Abiurai la stessa estate quando la sera seduto sulla spiaggia guardando il mare e le sue increspature mi sono accorto (come dico io mi si è manifestata una dea -non una idea-) che la matematica è una isoletta di riducibilità in un mare irriducibile di proposizioni ed in un inferno estensionale. E la villana pretesa che la realtà sia scrivibile come una parola su un foglio di carta (Pensavo alle Navier Stokes) . Allora mi sono ri-laureato in ingegneria informatica. L'informazione da un senso alla realtà la matematica forgia la mente la rende trascendente, aiuta a capire, ma è una eccezione.
Un numero che tende a zero. es: 1/0,1=10, 1/0,01=100, 1/0,001=1000, etc.. (0,001 è più vicino allo zero di 0,1). Dunque più, zeri ci sono dopo la virgola più il numero si avvicina allo zero, e maggiore sarà il risultato che, con infiniti zeri dopo la virgola, tenderà a infinito. Non so se l'esempio può essere calzante.
Se ho 2 mele e le divido o le moltiplico per zero, ho sempre due mele! In seconda elementare io scrivevo 2x0=2 e mai nessuno negli anni successivi, compresa l'università è riuscito a spiegarmi come cazzo fanno a sparire le mele!
Uno fratto zero... 《Napoleone andiede a Mosca per divenir sovrano... tornò da Mosca colle mosche in mano》 Uno diviso zero = o un'infinità di mosche o manco una mosca. A parte l'associazion d'idea, (che in vero non vi sta bene), da balzano che sono, le fo una grande scappellata per il suo interessantissimo video: "Chapeau!!!"
1/0= ∞, ricordo di averlo visto scritto sulla lavagna dalla professoressa in seconda liceo.l'ho sempre preso per buono perché incapace di figurarmi cosa vuol dire dividere per zero. Guarderò questo video con molto interesse. Visto. Complimenti e grazie per aver sciolto un mistero quasi trentennale
Quando devo spiegare questo argomento agli studenti (specialmente quelli del professionale indirizzo Sociosanitario) preferisco usare un metodo meno rigoroso, ma più pratico specificando che nel limite il numero non è quello, ma un numero vicinissimo (ad esempio zero virgola un milione di zeri e poi uno) ed ovviamente il numero di zeri può aumentare
c’è tuttavia una cosa interessante… un non definito per infinito fa qualsiasi numero infinito compreso secondo la geometria, essendo un punto non definito ed essendo sia un segmento finito sia una retta infinita formati da infiniti punti che per definizione sono indefiniti.
se non ricordo male dai miei studi succede quando uno passa dal limite al non limite... estende il tutto erroneamente.. infatti mi pare che è vera qualcosa del tipo limite 1/x per x che tende a 0 = infinito... poi molti tolgono limite e la tendenza è scrivono 1/0=infinito, ovviamente sbagliando... giusto?
allora ovviamente anche nelle serie convergenti tipo 1 + 1/2 + 1/4 ..... + 1/2*n dove n=2 il risultato tende a 2 ma non ci arriva mai , non mi dite che non è stato risolto il paradosso di Zenone , Achille e la Tartaruga .
La mia prof ha parlato di limiti e funzioni con x/0 = infinito e ha detto che è giusto, avevo capito che parlava di quel campo ma le ho chiesto se in tutta la matematica facesse infinito e mi ha risposto di si, cosa falsa. Penso che le mostrerò questo video il prima possibile, grazie mille professore💪
@@ValerioPattaro Esatto, però il problema sta alla base del divisore "0", lei ha detto che non è proprio uno 0, ma un'altra cosa che appunto fa confondere
La soluzione con il passaggio al limite è tipica dell'analisi matematica, dove c'è la fobia del concetto di infinito. Nella matematica di Cantor non solo esiste infinito come valore attuale, ma anche infinito elevato a potenza e ha senso la divisione per 0 e anche per 0^n
Molte cose le diamo per scontate o perché altri lo hanno scritto nei libri, ad esempio il terzo principio della dinamica siamo sicuri che è giusto? Se io do un pugno in un muro sicuramente avrò una reazione uguale e contraria ma se io do lo stesso pugno in un muro fatto con un foglio di giornale non potrò mai avere una reazione uguale e contraria, allora in questo caso avrò la definizione sarà AD OGNI AZIONE CORRISPONDE UNA REAZIONE UGUALE E CONTRARIA SE ESSO È SOGGETTO DI DARLA.
Se dai un pugno a un foglio di giornale imprimerai poca forza a quel pugno. Quando si parla di "principio" in fisica significa che non si può dimostrare in termini più semplici ma che è stato osservato miliardi di volte e non c'è mai stato un controesempio.
Già conoscevo questo fatto perché me lo spiegò la mia professoressa di matematica. Infatti, semplicisticamente, mi disse che si trattava di una forma "contratta" di scrivere un limite al denominatore di una frazione. Caro Prof vorrei chiederti anche un parere: dal punto di vista matematico scrivere "5x0 o 0x5" è la stessa cosa per la proprietà invariantiva della moltiplicazione. Secondo me è concettualmente sbagliato scrivere "Nx0" (il valore di N non ha importanza), per te Prof?
6/3=2significa che il 3 va 2 volte nel sei, 6/0 vuol dire che lo 0 zero va infinite volte. Se prendo 3 oggetti per riempire la tasca che può contenere 6 oggetti devo fare due movimenti;se prende 0 oggetti devo fare infinite volte per riempire la tasca
Io lavoro da anni con ragazzi di 1° o 2° superiore, e quando si ritrovano a imporre le condizioni di esistenza di una funzione spesso non capiscono perché vada impedita la divisione per 0. Dire loro che é un'espressione priva di significato, o impossibile, o non ammissibile, non funziona quasi mai. Quindi io dico sempre loro che qualunque numero diviso per 0 fa ∞, e che ∞ non é compreso nei numeri reali. Con lo stesso ragionamento dico loro che vanno impediti radicali di indice pari con radicando negativo perché non appartengono ai numeri reali. Il fatto che ci sia in entrambi i casi un risultato effettivo, che peró cade fuori dall'insieme numerico in esame, risulta molto piú comprensibile rispetto a dire che n/0 é priva di significato. Ci sarà tempo poi in 4° o 5° superiore per parlare dei limiti di funzione e spiegare loro che in realtà la questione é leggermente diversa, ma in quel momento bisogna badare piú alla comprensione dei ragazzi che al formalismo matematico.
@@TMineCraftL Non è una cosa sbagliata: in molte algebre si può definire senza problemi 1/0 = infinito (in questo caso infinito viene usato come simbolo per intendere un "numero" con proprietà specifiche, analogamente ad i per la radice di -1), come per esempio nella retta proiettiva complessa, tuttavia come op ha specificato ciò non si può fare nell'insieme dei numeri reali, esattamente come non si può estrarre la radice di un numero negativo.
Scusa se mi intrometto, ma considerato che lavori con studenti forse è il caso di fare un'osservazione. Dire in quel modo che 1/0 è uguale a infinito è lo stesso che dirgli che 1/0 è uguale a un cavallo, il che e è didatticamente scorretto. È facile (in generale lo è) spiegare a un alunno del biennio perché non ha senso dividere per 0 in R. Basta spiegargli che la *divisione* per un numero reale "a" è (per definizione, come ricorderai dall'Università) nient'altro che la *moltiplicazione* per il numero "b" tale che ab=1 (ossia 1/a è l'inverso di a rispetto alla moltiplicazione). Siccome non esiste b tale che 0b=1, non ha senso scrivere 1/0. Non è trattando gli alunni da fessi che si contribuisce alla loro formazione.
@@juliovernier3396 Hai perfettamente ragione, infatti il punto fondamentale é quel "in generale lo é". Se fossi insegnante di matematica al liceo farei esattamente questo che dici e spiegherei la questione passando per la moltiplicazione. Il problema é che faccio lezioni private, solitamente a ragazzi che hanno problemi a scuola, quindi cerco di non aggiungere troppi elementi e di lavorare su pochi concetti e fissarli bene. Se poi vedo che il ragazzo recepisce bene aggiungo spiegazioni o ragionamenti, altrimenti rischio solo di confondergli le idee nel poco tempo a disposizione.
Anche all' universita' in analisi matematica per matematici e fisici danno il risultato infinito come soluzione. Si usano troppi dogmi nella matematica scolastica
io ricordo (ahimè...si tratta di mezzo secolo fa) che i professori più che dire n/0 "fa" infinito dicevano "va all' infinto" e che, infatti, negli studi di funzione fratte, quando il denominatore tendeva a zero, si formava il cosiddetto "asintoto", l'altra coordinata si avvicinava al punto sempre di più senza mai toccarlo, in una y=1/x nel punto x= 0 la funzione non esisteva e nel suo "intorno" la y si impennava, su, su su...per poi, un chiamiamolo così, un infinitesimo dopo lo 0, ricadere dall'alto e al crescere del valore di x, avvicinarsi sempre più al valore di y= 0. mi sembra che tra dire n/0 FA infinito e n/0 VA ALL' infinito ci sia una certa differenza e che la seconda opzione sia sicuramente più corretta.
AMEN, Valerio. Infinito. In atto e in potenza : questo video potrebbe attrarre anche i filosofi e i teologi 😉😏 Vecchi orrori sempreverdi . 1/n con n --> 0+ (zero da destra) *tende* a +inf . L'Amerio in 3 volumi aveva il brutto vizio di scrivere infinito (simbolo e basta) mentre il Pagani-Salsa scriveva +infinito .
Una dimostrazione a livello trigonometrico di questa cosa: sappiamo che la funzione tangente è una funzione trigonometrica definita come la proiezione sull'asse y del punto di incontro tra il prolungamento del secondo lato dell'angolo orientato e la retta che tange la circonferenza goniometrica nel punto (1,0). Facendo tendere l'argomento di questa funzione all'angolo retto, il risultato tenderà ad infinito, ma se l'argomento è uguale all'angolo retto, il prolungamento del secondo angolo orientato e la retta che tange la circonferenza goniometrica nel punto (1,0) diventano paralleli, ovvero non s'incontrano mai, rendendo la funzione priva di senso. Ma la funzione tangente è definita anche come il rapporto fra il seno e il coseno, e se x è angolo retto, il coseno è 0.
Mi piace molto le tue curiosità perché infatti il risultato sembra misterioso (non ha senso dividere per 0), comunque le tue curiosità sono sempre al TOP e mi sono iscritto😉
Che bello! In certo qual modo e dal mio punto di vista, si potrebbe concludere che anche in fisica il vuoto assoluto non esiste. Lo zero (conteso tra numeri positivi e negativi, senza raporesentare ne uno ne l'altro) , come il vuoto, é dunque un'astrazione mentale, paradigmatica per la descrizione dei fenomeni? Analogamente, gli infiniti, negativi o positivi, che nella realtà fattuale possiamo considerarli incommensurabili, ma giamnai senza fine? E beh, in fondo, come diceva Galilei, la matematica è il. linguaggio della fisica e quindi, ciò che non esiste nell'una, non può esistere nell'altra... Allora, se questo è, potrebbe significare cge davvero, il vuoto assoluto non esiste? vi possiamo solo tendere, senza mai raggiungere l'assenza di materia o degli stessi campi? Forse, ciò potrebbe accadere nel "pozzo" di un buco nero? ua-cam.com/video/B7YoJzjNrCE/v-deo.html
Aggiungerei che è falso in matematica e vero in fisica in quanto in fisica lo zero non esiste. In matematica 1+1 è uguale a 2 in fisica è "circa" 2. E così in fisica non esiste lo zero ma solo più o meno zero e la frazione porterà al risultato di più infinito o meno infinito.
nell'empio riportato, se x tende a 3 da sinistra, vuol dire che non arriverà mai a 3, al denominare della funzione avrò un valore negativo e quindi il limite della funzioe dovrebbe essere meno infinito non più infinito
Per caso capito a leggere questo filmato. Provengo dalla matematica universitaria degli anni 60 (polito) e queste cose le dicevano tutti i docenti di analisi I . Magari in analisi III FACOLTATIVA, ci insegnavano a far sparire il simbolo di infinito spiegandoci la "nuova teoria di integrazione" (secolo XIX°), teoria delle funzioni analitiche, calcolo dei residui e serie di Laurent nel piano complesso. Ma poco si dice che il numero è in generale un grande sconosciuto: lo si può conoscere solo tramite la sua rappresentazione in serie di potenze di una base prefissata, per es. 10. E allora le cifre che identificano un numero altro non sono che la presenza di una determinata potenza. Pertanto lo zero altro non è che assenza di una determinata potenza di quella base prescelta. Esempio: N = 102 significa: Una volta 10 elevato a 2 più Assenza di 10 elevato a 1 più due presenze di 10 elevato a zero. Quindi 0 (zero) non è un numero di volte di presenze di una potenza, ma assenza di quella potenza: N = 1x100 + 0x10 + 2x1. Naturalmente bisogna capire cosa voglia dire 10 elevato a zero. L'elevazione a potenza è una semplificazione di prodotti successivi di una base 10 per se stessa. Es.: 10^3 = 10*10*10 . Si deve definire pure la potenza negativa: 10^(-3) per convenzione = 1/(10^3); Ora se scrivo il prodotto tra due potenze, una con esponente positivo e una per esponente negativo, ottengo: K=(10^3)*(10^-3) equivale per quanto convenzionalmente definito su alla frazione: K=(10^3)/(10^3) che ovviamente fa sempre 1 (uno). Da qui risulta congruo ritrovare la proprietà delle potenze: Il prodotto di due potenze con uguale esponente, uno positivo e uno negativo, equivale alla potenz con esponente la somma algebrica degli esponenti. Altra storia è quella del simbolo di infinito oo , che non è un numero e che da 150 anni sia la matematica che la fisica si sforzano di eliminare, direi con successo. Esso è solo un concetto astratto che dovrebbe derivare da indefinibili, come pure quello di infinitesimo.
Provo a dire la mia... 1) Nel senso pratico: 6/3. Se ho sei mele e siamo in 3 ce ne pappiamo 2 ciascuno; 6/0. Se non c'è nessuno a mangiarsi le mele non ha proprio senso dividerle! 2) Lim x->0 di 1/x =∞ indica la presenza di un asintoto verticale ovvero una retta a cui le funzione si avvicina senza mai raggiungerla poiché per un valore di 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 1 metri, ad esempio, (e non so se esiste in natura qualcosa di così piccolo) otteniamo un valore in ordinata che dovrebbe trovarsi in un'altra galassia e potremmo aggiungere zeri fino ai confini dell'universo senza MAI raggiungere l'asintoto. Questo perché i valori in x saranno infinitesimi di ordini superiori e quindi anche l'accostamento della funzione all'asintoto sarà infinitesimo nonostante la lunga distanza in ordinata. Allora quanto è grande l'infinito? Infinito! 😂😂😂 3) Che senso ha portarsi dietro tutti quegli zeri se stiamo parlando di un concetto? Al limite parliamo di ordini superiori noo?
Ma per quanto riguarda l'interpretazione delle divisioni con la frase "quante volte sta il divisore nel dividendo" ?? In questo caso avrebbe anche senso che un numero diviso 0 faccia infinito, poiché lo 0 sta infinite volte in qualsiasi numero... infatti, all'interno dell'informatica per giustificare il risultato in qualche modo, generalmente i software restituiscono infinito.
Io ho un dilemma, che si fonda su una nozione che mi pare corretta, prendiamo ad esempio 0,9 di cuoi 9 periodico, esso è uguale a 1. Stessa cosa vale per 1,9 9 periodico e così via, nel caso dell'esempio fatto, per cui nella funzione al minuto 10:30 è possibile avere un risultato arbitrariamente grande con 2,9 ò periodico? Cioè, cosa succede se noi introduciamo questo numero? Non mi è chiaro
2,9 periodico non è un numero determinato, ma cresce sempre sino a diventare 3. Ossia stabilito un numero a piacere vicinissimo a tre, ossia preso 2,99999....9, deve essere possibile prendere un nuovo numero tra il 3 ed il precedente 2,99999.....9. Se tu prendi 2,9 periodico l'operazione precedente è impossibile in quanto 2,9 periodico tende a tre e quindi la sua distanza dal numero 3 sarà sempre minore rispetto a quella di qualsiasi altro numero si prenda vicino al 3. In quanto 2,9 periodico, significa 2, infiniti 9, ossia 3. Infatti lo 0,9 periodico altro che la somma degli infiniti termini 1/9 + 1/9^2 + ....... + 1/9^n , con n numero naturale che tende ad infinito. E che quindi converge ad 1. Di conseguenza anche 2,9 periodico altro non è che 3.
Fantastico video. La matematica è un linguaggio, e come tale ha i suoi formalismi e la sua sintassi. Spesso, come in ogni linguaggio, si fa ricorso ad abbreviazioni o semplificazioni espositive, ma il concetto è invariante. Complimenti!
Il sui canale tratta argomenti in modo molto intelligente e soprattutto comprensibile, perché cala il tutto nella realtà, nel motivo per cui certe operazioni e certi concetti si sono sviluppati; la loro necessità nel mondo reale.
Era questo che io avrei voluto durante il corso dei miei studi. Ho fatto lo scientifico 50 anni fa e le posso assicurare che gli esercizi di matematica li eseguivo in modo automatico e poco ragionato.
Grazie ancora, mi sto riappassionando alla matematica.
Tra le voci più chiare che abbia mai ascoltato su questi argomenti. Complimenti 👍🏼
Grazie mille
Bel video! Mi piace molto questo percorso che parte da concetti intuitivi ed elementari ed arriva alla definizione formale di limite. Spero proprio che alla fine molti si sentano "confusi" perché, come dici tu, da quella confusione potrà nascere il desiderio di approfondimento... La conoscenza vera deve passare necessariamente attraverso un po' di "sofferenza". Complimenti, forse uno dei tuoi migliori video!
Grazie Gae, i tuoi complimenti sono oro perché ti conosco bene e so che sei un giudice severo 😉
@@ValerioPattaro Infatti cerco sempre di trovare "il pelo nell'uovo" 😉 ma questa volta nulla da eccepire. Si vede bene che è un campo (quello dell'analisi matematica) che ti piace... Alla fine nessuno di noi insegnanti può essere un "tuttologo", gli argomenti che ci piacciono di più sono anche quelli in cui diamo il meglio. Bene così!
@@GaetanoDiCaprio Valerio è riuscito a far appassionare un neofita come me, mi viene subito da domandare una spiegazione: se divido per zero il risultato è zero, perché non si può fare?
@@ValerioPattaro complimenti, vorrei farle una domanda come è possibile che una laureata in matematica possa essere una totale ignorante della fisica più elementare e che oggi inondi la sua pagina Facebook di notizie complottiste, anti scientifiche e superstiziose? parlo ovviamente di una mia ex insegnante di liceo.
Prof.non ho capito tutta la spiegazione rappresentata,ma una cosa è certa:6:0=a 0.molte grazie,prof.
Diplomato da 30 anni, ma tantissima nebbia in questa disciplina!
Grazie per darmi la possibilità attraverso i tuoi video di rivedere tantissimi argomenti visti con superficialità!
Complimenti per il canale, ciao!
Le definizioni, in matematica, sono arbitrarie e si possono giudicare non in maniera assoluta ma in base alla convenienza. L'ambito scolastico utilizza una notazione un po' antiquata (diciamo pre-bourbakista) nel trattare le funzioni e necessita di togliere assolutezza all'operatore di uguaglianza (si definisce il concetto di limite uguale ad infinito senza dare significato al simbolo "infinito"). In realtà si può benissimo dire che 1/0 = oo senza avere da questo nessuna contraddizione: basta essere pronti ad accettare che non tutte le regole algebriche sulle manipolazioni delle operazioni rimangano valide. E' in realtà anche molto utile farlo, in particolare nel campo dei numeri complessi. Si può estendere C (il campo dei complessi) con un punto all'infinito ed ottenere quella che si chiama "sfera di Riemann". Bisogna fare un minimo di attenzione a quello che si può e non si può fare, ma si può guadagnare molto dal punto di vista dell'intuizione.
Capisco che uno non voglia definire l'operazione 1/0 perché il risultato certamente non è un numero reale. Però l'idea intuitiva che 1/0 = oo è una idea che tutti i matematici hanno in mente. E visto che si può formalizzare senza contraddizioni e che (con le dovute cautele) può essere utile, penso non si debba dire che è sbagliata.
Ottima delucidazione, molte persone accettano l'idea che 1/0= oo basti pensare che molte calcolatrici, soprattutto quelle di alcuni telefoni, calcolano la divisione diviso 0 restituendo oo come risultato.
Giusto. E si può anche aggiungere un singolo punto all'infinito all'insieme |R, ottenendo la compattificazione di Alexandrov di |R (o retta proiettiva): in questo ambito, definire 1/0=oo serve ad estendere per continuità la funzione 1/x
Chiaro ed efficace, con un errore di forma che fanno i miei alunni: il limite non è di x ma di y, e lo è se, quando, per x che tende al punto di accumulazione. Si conviene di scegliere la particella "per". Limite della funzione f PER x che tende a c.
Vero
È significativo il ragionevole pensiero espresso alla fine.. cioè, non si deve avere paura nel sentirsi "confusi" da concetti nuovi o poco familiari.. o non temere di dover mettere da parte i nostri preconcetti, e rivalutare le cose col ragionamento logico e da prospettive diverse, prospettive che altri possono aiutarci ad acquisire.. Al di là di ciò, anch'io sono stato fortunato ad avere prof che mi hanno insegnato esattamente quanto detto in questo eccellente video!
Ho letto tempo fa che "la matematica non si capisce, alla matematica ci si abitua" e concordo assolutamente, è sempre una questione di definizioni "precedenti" ... a piacere... senza offesa, anzi mi interessano moltissimo questi video e mi aiutano a capire qualcosa. Grazie
Secondo me un altro ottimo metodo per chiarire il concetto è quello grafico, mostrando gli asintoti.
Questo spiega anche molto bene il discorso del tendere da destra o da sinistra a x0.
Quando ero all'università e davo lezioni private a ragazzi di medie e superiori, restavano sempre incantati quando spiegavo le disequazioni di secondo grado con l'ausilio della parabola :)
😂qqqq
Giài ero iscritto al canale e ti seguivo apprezzando le tue spiegazioni, ma qui ti sei veramente suerato e hai chiarito benissimo una "diatriba" facendo capire chiaramente da dove nasceva il malinteso. Complimenti davvero.
Molto interessante questo video.
La mia insegnante delle superiori ci ha sempre detto la stessa cosa, come anche i vari libri usati. Non si divide per zero e lo abbiamo capito studiano i limiti, asintoti, come dici.
Fiuuuuu
Meno male!!!!!
Quando ho sentito "non sta sbagliando nessuno" ho iniziato a tremare.
Meno male che sono arrivati i limiti in soccorso...
Sono bellissime le Sue spiegazioni. Grazie
Grazie, professore, per questo video meraviglioso. Il calculus è una delle più belle conquiste dell'ingegno umano, le cui profondità devono essere ancora sondate. Attualmente sto studiando l'Analisi Non-Standard alla Robinson, che ho conosciuto partendo dagli studi su Leibniz, e trovo che l'approccio sia una vera delizia per l'intelletto. Infatti, l'infinito H è il reciproco dell'infinitesimo 1/ε, i quali, come avvenne per i numeri trascendenti, sarebbe meglio comprenderli nella loro pura essenza, senza tradurli con il linguaggio numerico ordinario. Inoltre, gli infiniti non sono in potenza, bensì in atto, come sono in atto gli infinitesimi. Come ho scritto, questo argomento è un vertice anche in filosofia, siccome Platone vi ha dedicato il Parmenide al riguardo. Cari saluti.
L'infinito in atto non può esistere nell'Universo reale.
@@pwg510, infatti, gli infinitesimi e gli infiniti sono oggetti del pensiero, non sono realtà sensibili.
mamma mia come mi sono innamorato di questo canale !
Credevo di avere già chiari questi concetti ma in realtà un paio di passaggi cruciali erano confusi. Grazie!
Bravo. Un ragionamento che mi piace.
No no, è molto chiaro. Mi piace come spiega. Io lo vedevo pensando allo o come o+ o o -, con più e meno poste all'apice. Comunque molto chiara la spiegazione.
Ho fatto per vari anni corsi universitari di matematica di base. Non so cosa rimanesse delle nozioni che cercavo di impartire con molta fatica. Ma una era il must. NON si può dividere per zero e 1/0 compare solo nei limiti! Più o meno facevo lezione come hai fatto tu. E ripetevo e ripetevo...riflettevano e imparavano. Credo sarà lo stesso anche con te. Complimenti!
Grazie Silvia
Brava, è bello leggere un commento del genere. Resta comunque da stabilire di quali elementi sia composto l'insieme esteso dei numeri reali: se include anche "più" e "meno" infinito, anche gli altri elementi come "1", "2", "3"... etc. numeri non possono di certo essere.
Buonasera, vagavo per UA-cam alla ricerca di un refresh ( o upgrade) per mio figlio ed ho trovato il suo video. Io mi son diplomato secoli orsono ma mai, e dico mai, ho sentito di 1/0= infinito. Però ha sempre girato una storiella che spiegava questa cosa con un grafico. Cioè, se io divido 1 per un numero infinitamente piccolo, prossimo allo zero, il risultato assomiglia parecchio ad infinito. E già ai miei tempi spiegare una divisione per zero era un continuo spiegare che zero, matematicamente, non è il nulla ma zero. Il video però è davvero bello. Complimenti!
Già la divisione per 1 è un concetto un po' ambiguo, perchè non dividi un bel niente e ti tieni tutto il malloppo ...😄
Una notazione semplice potrebbe essere n/(-->0) dove "--> 0" significa "per il denominatore tendente a zero". Ma non l'ho vista da nessuna parte. Io comunque nei miei appunti personali d'ora in poi userò questa convenzione. Anche perché nei libri di calculus si usa la definizione formale di limiti che lei ha accennato. Ed è veramente ostica per me....anche se ho capito il concetto di limite e lo trovo normalmente nelle equazioni in fisica, tutte le volte devo rileggerla almeno tre volte e comunque per me non è intuitiva, nel senso che non mi fa capire il succo della questione. Questo video invece mi è stato utilissimo. Grazie come sempre.
Adoro la matematica, anche se, e può sembrare strano, non ci vado molto d'accordo. Comunque, finalmente ho iniziato a comprendere qualcosa. Soprattutto, il simbolo dell'infinito ora mi è più chiaro. Grazie mille!
Salve professore, per prima cosa volevo ringraziarla per le sue spiegazioni esaustive ed interessanti. Guardando il video mi è sorta spontanea una domanda: se seguissimo il suo ragionamento tale che 6:2 = 3 perchè 3x2 = 6 e così via... 0:0 non dovrebbe essere uguale a 0 poichè 0x0 = 0? Grazie mille.
0:0 è uguale a qualsiasi numero
0:0 non è uguale a zero ne a qualsiasi altro numero, perché *non puoi dividere per zero* .
Devo dire di non avere un concetto d' infinito se non quello puramente matematico. E qui é spiegato alla grande!
È proprio questo il fatto: il concetto di infinito è un concetto puramente matematico. Se ti chiedessi di dirmi nell'universo qualcosa di infinito, sono sicuro che non sapresti rispondermi (perché non c'è niente di infinito) se non i numeri
Ottimo video, si lascia guardare piacevolmente anche se ho già dato l'esame di Analisi I!
Grazie.
Come sempre!
Grazie per la spiegazione. Devo dire che in modo piuttosto empirico, non essendo un matematico, quando anni fa per motivi di calcolo ero costretto a dividere per 0, (dove 0 era per esempio la concentrazione nulla di un soluto in un solvente usato come "bianco" di paragone) per evitare il blocco del programma sostituivo lo 0 con il numero più piccolo che il processore matematico riconoscesse, nel mio caso 10^-35... ed ha sempre funzionato! Mi rimane invece il dubbio della divisione 0/0 che da alcune parti ho letto = 1 considerandola come divisione tra numeri uguali, oppure "Infinito" o "indefinito" considerando che un mumero qualsiasi moltiplicato 0 = 0
Puoi divideremo per un numero piccilissimo ma non per zero
La verità è ciò che resiste alla prova dell'esperienza....da non dimenticare.
Spiegazione perfetta, grazie
Video molto stimolante!!
Bella curiosità... pensavo che era infinito!!! Grazie
Veramente chiaro. Grande
Avrei voluto un prof così
Amo questo canale
Molto chiaro. Bel video
Buongiorno prof, grazie mille
Ottima spiegazione. Semplice, ma chiara ed efficace. Magari in 1ª media l'avessero spiegata così a me quando mi spiegarono che non si può dividere per 0.
Complimenti davvero.
Con la 1ª spiegazione che hai dato, si potrebbe dire che la divisione per 0 è impossibile perché di fatto non si opera alcuna divisione,
Nessun numero è il risultato. Invece per 0/0 ogni numero è il risultato.
Super professore ...
al minuto 4:15 si fa l'operazione inversa della divisione per verificare se la divisione stessa abbia dato il risultato corretto.
Per questa verifica si potrebbe anche ripetere "la tabellina" dei divisori per controllare quante volte il divisore "sta" nel dividendo; ad esempio:
6/3 ... 3x1=3; 3x2=6 ==> quindi il 3 sta 2 volte nel 6;
6/2 ... 2x1=2; 2x2=4; 2x3=6 ==> quindi il 2 sta 3 volte nel 6;
6/1 ... 1x1=1; 1x2=2; 1x3=3; 1x4=4; 1x5=5; 1x6=6 ==> quindi l' 1 sta 6 volte nel 6;
allora, mi viene da proporre, si potrebbe controllare anche quante volte lo 0 (zero) sta nel 6:
6/0 ... 0x1=0; 0x2=0; 0x3=0; ecc. ... si evincerebbe, da quest'ultimo ragionamento, che lo 0 (zero) stia infinite volte nel 6
... questa mia elucubrazione ha qualcosa di attendibile ?
Il due sta 3 volte nel 6 poiché 2+2+2=6.
Il 6 deve essere raggiunto per dire che il 2 ci sta tre volte.
Però una somma di infiniti zeri non arriverà mai a 6.
@@ValerioPattaro ... chiaro ... mi sono lasciato confondere dal ragionamento sulla "funzione che tende a zero"
Bellisimo video. Al minuto tre sarebbe stato utile fare anche l'esempio con una divisione per contenimento oltre che per ripartizione.
Forse rappresentando graficamente una funzione con asintoto e quindi che tende ad infinito si potrebbe anche capire e fare capire melgio concetto di limite
Bel video nulla da eccepire, e ottima dimostrazione.
Allora si potrebbe discutere anche delle forme di indecisione dei limiti zero/zero oppure infinito/infinito?
Grazie mille
giusto bravo , e come se sommassimo 1 all infinito o sottraessimo 1 all meno infinito o moltiplicassimo un numero per l'infinito
Pregiatissimo,prof.non capisco il linguaggio matematico .In modo particolare l'ultimo passaggio.Come devo fare?Grazie.
Video molto bello; potresti trattare 0⁰ ? Ho sentito dire sia che è indeterminato sia che è uguale a 1 e non sono sicuro su quale sia la risposta corretta, grazie
0^0= (0^1)*(0^-1)=0*(1/0)=0/0 forma indeterminata.
@@certosino2267 è 1, non indeterminata
@@1l_moro Se lo dici tu sarà così, e che ti devo dire.
Se si parla di valori che si avvicinano allo 0 allora è indeterminata.
Infatti si tratta dello studio della convergenza e divergenza, che hanno molte applicazioni come la fisica, elettronica, meccanica ecc.
Esempio la Trasformata di Laplace lavora molto su questo, il calcolo degli zeri e poli: per l'andamento in frequenza o anche poli e residui per il calcolo dell'antitrasformata, 1/x in zero ha il polo del primo ordine 1/x in x=0 vale infinito
Esempio calcolo dell'antitrasformata di
(s+2)/(s²+3s+1)
z0+z1=3
z0·z1=1
(z0+z1)/2=-3/2
z0=-3/2+m
z1=-3/2-m
z0·z1=(-3/2+m)(-3/2-m)=1
9/4-m²=1
m²=9/4-1=9/4-4/4=5/4
± non serve è superfluo
m=√5/2
z0=-3/2+√5/2=(-3+√5)/2
z1=-3/2-√5/2=(-3-√5)/2
(s+2)/(s²+3s+1)=
=(s+2)/[(s+(3+√5)/2)(s+(3-√5)/2)]
(s+2)/(s+(3-√5)/2) in s=(-3-√5)/2
(-3/2+4/2-√5/2)/(-2√5/2)=
[(1-√5)/2]/(-√5)=
=(5-√5)/10
(s+2)/(s²+3s+1)=
=(s+2)/[(s+(3+√5)/2)(s+(3+√5)/2)]
(s+2)/(s+(3+√5)/2) in s=(-3+√5)/2
(-3/2+4/2+√5/2)/(2√5/2)=
[(1+√5)/2]/(√5)=
=(5+√5)/10
(s+2)/(s²+3s+1)=
=(5-√5)/10·1/[s+(3+√5)/2]+
+(5+√5)/10·1/[s+(3-√5)/2]
Io devo ringraziarla: amavo la matematica al liceo e devo dire che ancora adesso i suoi video mi confermano che ho le idee ben chiare. È comunque sempre un piacere tenersi in allenamento! 😉👍
Bravo. Da una semplice frazione al più fine formalismo...in modo ,almeno per me,facile,quasi intuitivo.ancora complimenti.
Nel campo dei numeri complessi estesi con l'infinito, invece (non ricordo questo insieme come si chiama)?
Due rette parallele si incontrano all'infinito negli spazi proiettivi, lo stesso viene in questo caso
x+1 ed x assumono lo stesso valore ad infinito
Lo scopo è sostituire x con x/t
Viene:
x/t+1=x/t
Moltiplicando a destra ed a sinistra per t otteniamo
x+t=x è soddisfatta con t=0 che corrisponde ad x=∞ si può dividere per zero negli spazi proiettivi, due rette parallele possono avere punti in comune negli spazi proiettivi.
prof Valerio,
Vorrei integrare il mio precedente intervento per ragionare sulla relazione che ha proposto : 6/0 = x che si può scrivere anche nella forma
una domanda: se 0,9 periodico=1, il limite per x--->1+ di x è comunque uguale a 0,9 periodico?
Se 0.9 = 1
Lim per x tendente a 1+ di f(1) = [1/1+] = 1
quindi sì no?
Si
bellissimi i collegamenti con altri video.....
Attento a non finire sul rogo. ;-)
Esiste anche la Jordanizzazione che è la generazione della diagonalizzazione di matrici, la Jordanizzazione aggira l'ostacolo di matrici non diagonalizzabili, e se vedi aggira l'ostacolo proprio con la divisione per zero, una matrice del genere
|| 1 1 ||
|| 0 1 ||
Ha autovalori 1 contato due volte ma avente molteplicità geometrica uguale a 1 da cui non è diagonalizzabile però si può aggirare l'ostacolo con la forma canonica di Jordan
|| 1 1 ||
|| 0 1 ||
Questa a tutti gli effetti è una forma di Jordan
Nel caso della matrice di Vandermonde
1 x x² x³ ...
1 y y² y³ ...
Con x=y la matrice ha determinante uguale a zero ma si può aggirare l'ostacolo introducendo le derivate
1 x x² x³ ...
0 1 2x 3x² ...
Così via quando compaiono n variabili
C'è un altro caso in cui bisogna aggirare l'ostacolo della divisione per zero
Quando bisogna ridurre la matrice a scalini
2 4 6 2
3 4 5 1
Per far comparire uno zero sotto al 2 devo fare la seconda meno 3/2 la prima
Se però il pivot è zero
0 1 2 1
3 2 4 2
Si può aggirare l'ostacolo scambiando le due righe.
Buonasera. Sarebbe molto gradito se nei prossimi video trovasse posto il teorema di Cantor e la dimostrazione tramite la diagonale portante il suo nome. Tanti auguri di buone feste
Grazie Professore. L'insegnamento per cui un numero diviso zero da come risultato infinito risale per me alle medie, e per dimostrare ciò la Professoressa aveva fatto fare da una studentessa la prova della moltiplicazione. Siccome che ovviamente nessun numero moltiplicato per zero da un risultato diverso da zero allora ha concluso che un numero diviso zero da come risultato infinito. Oltre a ciò aveva detto che zero diviso zero da come risultato "indeterminato"... a questo punto mi domando, e Le domando "sarà vero?" Di certo ha ragione a dire che ci sarebbero state persone che dopo questo video avrebbero avuto le idee più confuse di prima... eccomi!
A parte ciò, non so se lo ha già spiegato in qualche altro video, ma se no, le dispiacerebbe spiegare perché un qualunque numero elevato alla zero da come risultato uno? Grazie infinite.
Uno diviso zero da "nessun numero", non infinito.
Zero diviso zero è indeterminato
Buongiorno Professore. Qualche tempo addietro mi sono imbattuto in una pagina dove uno studioso di matematica sosteneva che: si può sempre pensare ad una matematica nella quale 'qualunque' operazione è ammissibile, purché se ne 'sopportino' le conseguenze, e citava proprio una matematica nella quale la divisione per zero è ammessa, anzi è un caposaldo di quel tipo di matematica: Wheel theory ( en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory ).
Pensando sia ai numeri negativi che ai numeri complessi (che mi erano stati 'venduti' come inesistenti o impossibili fino ad un certo grado di studio), il ragionamento di cui sopra mi è sembrato corretto.
Lei cosa ne pensa ? Ho male interpretato il ragionamento ?
Esistono infinite matematiche poiché sono dei costrutti della mente.
Mi laureai a 22 anni in Matematica, ora sono diversamente giovane. Abiurai la stessa estate quando la sera seduto sulla spiaggia guardando il mare e le sue increspature mi sono accorto (come dico io mi si è manifestata una dea -non una idea-) che la matematica è una isoletta di riducibilità in un mare irriducibile di proposizioni ed in un inferno estensionale. E la villana pretesa che la realtà sia scrivibile come una parola su un foglio di carta (Pensavo alle Navier Stokes) . Allora mi sono ri-laureato in ingegneria informatica. L'informazione da un senso alla realtà la matematica forgia la mente la rende trascendente, aiuta a capire, ma è una eccezione.
Un numero che tende a zero. es: 1/0,1=10, 1/0,01=100, 1/0,001=1000, etc.. (0,001 è più vicino allo zero di 0,1). Dunque più, zeri ci sono dopo la virgola più il numero si avvicina allo zero, e maggiore sarà il risultato che, con infiniti zeri dopo la virgola, tenderà a infinito. Non so se l'esempio può essere calzante.
Se ho 2 mele e le divido o le moltiplico per zero, ho sempre due mele! In seconda elementare io scrivevo 2x0=2 e mai nessuno negli anni successivi, compresa l'università è riuscito a spiegarmi come cazzo fanno a sparire le mele!
Uno fratto zero...
《Napoleone andiede a Mosca per divenir sovrano... tornò da Mosca colle mosche in mano》
Uno diviso zero = o un'infinità di mosche o manco una mosca.
A parte l'associazion d'idea, (che in vero non vi sta bene), da balzano che sono, le fo una grande scappellata per il suo interessantissimo video:
"Chapeau!!!"
1/0= ∞, ricordo di averlo visto scritto sulla lavagna dalla professoressa in seconda liceo.l'ho sempre preso per buono perché incapace di figurarmi cosa vuol dire dividere per zero.
Guarderò questo video con molto interesse.
Visto. Complimenti e grazie per aver sciolto un mistero quasi trentennale
Quando devo spiegare questo argomento agli studenti (specialmente quelli del professionale indirizzo Sociosanitario) preferisco usare un metodo meno rigoroso, ma più pratico specificando che nel limite il numero non è quello, ma un numero vicinissimo (ad esempio zero virgola un milione di zeri e poi uno) ed ovviamente il numero di zeri può aumentare
c’è tuttavia una cosa interessante… un non definito per infinito fa qualsiasi numero infinito compreso secondo la geometria, essendo un punto non definito ed essendo sia un segmento finito sia una retta infinita formati da infiniti punti che per definizione sono indefiniti.
Ciao Valerio, potresti per favore consigliarmi dei libri di logica e di matematica approcciabili per un non addetto ai lavori ?
Lorenzo, scusa, posso sapere di dove sei con quel cognome che mi ricorda qualcosa?
Una domanda: ma se in un esercizio mi uscisse una frazione che ha al denominatore 0 che cosa dovrei fare?
Se é una espressione allora il testo iniziale è privo di significato.
se non ricordo male dai miei studi succede quando uno passa dal limite al non limite... estende il tutto erroneamente.. infatti mi pare che è vera qualcosa del tipo
limite 1/x per x che tende a 0 = infinito... poi molti tolgono limite e la tendenza è scrivono 1/0=infinito, ovviamente sbagliando... giusto?
Moooooooolto interessante, soprattutto come si "espongono" i concetti!!!! B R A V OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO!!!!!!!!!!!!!!!!
allora ovviamente anche nelle serie convergenti tipo 1 + 1/2 + 1/4 ..... + 1/2*n dove n=2 il risultato tende a 2 ma non ci arriva mai , non mi dite che non è stato risolto il paradosso di Zenone , Achille e la Tartaruga .
La mia prof ha parlato di limiti e funzioni con x/0 = infinito e ha detto che è giusto, avevo capito che parlava di quel campo ma le ho chiesto se in tutta la matematica facesse infinito e mi ha risposto di si, cosa falsa. Penso che le mostrerò questo video il prima possibile, grazie mille professore💪
Probabilmente non vi siete capiti
@@ValerioPattaro Esatto, però il problema sta alla base del divisore "0", lei ha detto che non è proprio uno 0, ma un'altra cosa che appunto fa confondere
Top video
L'ottica ha il concetto dell'infinito o è un fatto irrazionale per la razionalità non nota alla otticizzazione?.
La soluzione con il passaggio al limite è tipica dell'analisi matematica, dove c'è la fobia del concetto di infinito. Nella matematica di Cantor non solo esiste infinito come valore attuale, ma anche infinito elevato a potenza e ha senso la divisione per 0 e anche per 0^n
Molte cose le diamo per scontate o perché altri lo hanno scritto nei libri, ad esempio il terzo principio della dinamica siamo sicuri che è giusto? Se io do un pugno in un muro sicuramente avrò una reazione uguale e contraria ma se io do lo stesso pugno in un muro fatto con un foglio di giornale non potrò mai avere una reazione uguale e contraria, allora in questo caso avrò la definizione sarà AD OGNI AZIONE CORRISPONDE UNA REAZIONE UGUALE E CONTRARIA SE ESSO È SOGGETTO DI DARLA.
Se dai un pugno a un foglio di giornale imprimerai poca forza a quel pugno.
Quando si parla di "principio" in fisica significa che non si può dimostrare in termini più semplici ma che è stato osservato miliardi di volte e non c'è mai stato un controesempio.
Resta cmq da capire perche, nei limiti, non si usi la freccia "anche" per il valore del limite.. cioè [1/(3-x)] --> + inf.
Bravissimo. Anche a Ramanujan piaceva dividere per zero ;)
Già conoscevo questo fatto perché me lo spiegò la mia professoressa di matematica. Infatti, semplicisticamente, mi disse che si trattava di una forma "contratta" di scrivere un limite al denominatore di una frazione. Caro Prof vorrei chiederti anche un parere: dal punto di vista matematico scrivere "5x0 o 0x5" è la stessa cosa per la proprietà invariantiva della moltiplicazione. Secondo me è concettualmente sbagliato scrivere "Nx0" (il valore di N non ha importanza), per te Prof?
È la stessa cosa. Proprietà commutativa.
6/3=2significa che il 3 va 2 volte nel sei,
6/0 vuol dire che lo 0 zero va infinite volte.
Se prendo 3 oggetti per riempire la tasca che può contenere 6 oggetti devo fare due movimenti;se prende 0 oggetti devo fare infinite volte per riempire la tasca
Dopo infinite volte la tasca è sempre vuota
A un certo punto mi sono perso. Quindi Alla fine quanto fa? oppure semplicemente non si può fare?
Bello bello bello!
Io lavoro da anni con ragazzi di 1° o 2° superiore, e quando si ritrovano a imporre le condizioni di esistenza di una funzione spesso non capiscono perché vada impedita la divisione per 0. Dire loro che é un'espressione priva di significato, o impossibile, o non ammissibile, non funziona quasi mai. Quindi io dico sempre loro che qualunque numero diviso per 0 fa ∞, e che ∞ non é compreso nei numeri reali. Con lo stesso ragionamento dico loro che vanno impediti radicali di indice pari con radicando negativo perché non appartengono ai numeri reali. Il fatto che ci sia in entrambi i casi un risultato effettivo, che peró cade fuori dall'insieme numerico in esame, risulta molto piú comprensibile rispetto a dire che n/0 é priva di significato. Ci sarà tempo poi in 4° o 5° superiore per parlare dei limiti di funzione e spiegare loro che in realtà la questione é leggermente diversa, ma in quel momento bisogna badare piú alla comprensione dei ragazzi che al formalismo matematico.
Quindi visto che non capiscono, gli spieghi una cosa sbagliata. Okay
@@TMineCraftL Non è una cosa sbagliata: in molte algebre si può definire senza problemi 1/0 = infinito (in questo caso infinito viene usato come simbolo per intendere un "numero" con proprietà specifiche, analogamente ad i per la radice di -1), come per esempio nella retta proiettiva complessa, tuttavia come op ha specificato ciò non si può fare nell'insieme dei numeri reali, esattamente come non si può estrarre la radice di un numero negativo.
@@sharp9974 ah ok allora chiedo venia
Scusa se mi intrometto, ma considerato che lavori con studenti forse è il caso di fare un'osservazione.
Dire in quel modo che 1/0 è uguale a infinito è lo stesso che dirgli che 1/0 è uguale a un cavallo, il che e è didatticamente scorretto.
È facile (in generale lo è) spiegare a un alunno del biennio perché non ha senso dividere per 0 in R. Basta spiegargli che la *divisione* per un numero reale "a" è (per definizione, come ricorderai dall'Università) nient'altro che la *moltiplicazione* per il numero "b" tale che ab=1 (ossia 1/a è l'inverso di a rispetto alla moltiplicazione). Siccome non esiste b tale che 0b=1, non ha senso scrivere 1/0.
Non è trattando gli alunni da fessi che si contribuisce alla loro formazione.
@@juliovernier3396 Hai perfettamente ragione, infatti il punto fondamentale é quel "in generale lo é". Se fossi insegnante di matematica al liceo farei esattamente questo che dici e spiegherei la questione passando per la moltiplicazione. Il problema é che faccio lezioni private, solitamente a ragazzi che hanno problemi a scuola, quindi cerco di non aggiungere troppi elementi e di lavorare su pochi concetti e fissarli bene. Se poi vedo che il ragazzo recepisce bene aggiungo spiegazioni o ragionamenti, altrimenti rischio solo di confondergli le idee nel poco tempo a disposizione.
Utilissimi questi video per migliorare la: efficacia della didattica. Grazie.
Che ne dici di lim 1/(x*sin(1/x)) per x che tende a 0? Il denominatore tende a 0, ma tutta la funzione... caso interessante.
chiarissimo👍
Grazie
Si può dividere per zero sia nei numeri reali estesi che in quelli complessi estesi, la cosiddetta sfera di Riemann, 1/0=∞
Anche all' universita' in analisi matematica per matematici e fisici danno il risultato infinito come soluzione. Si usano troppi dogmi nella matematica scolastica
io ricordo (ahimè...si tratta di mezzo secolo fa) che i professori più che dire n/0 "fa" infinito dicevano "va all' infinto" e che, infatti, negli studi di funzione fratte, quando il denominatore tendeva a zero, si formava il cosiddetto "asintoto", l'altra coordinata si avvicinava al punto sempre di più senza mai toccarlo, in una y=1/x nel punto x= 0 la funzione non esisteva e nel suo "intorno" la y si impennava, su, su su...per poi, un chiamiamolo così, un infinitesimo dopo lo 0, ricadere dall'alto e al crescere del valore di x, avvicinarsi sempre più al valore di y= 0. mi sembra che tra dire n/0 FA infinito e n/0 VA ALL' infinito ci sia una certa differenza e che la seconda opzione sia sicuramente più corretta.
AMEN, Valerio.
Infinito. In atto e in potenza : questo video potrebbe attrarre anche i filosofi e i teologi 😉😏
Vecchi orrori sempreverdi .
1/n con n --> 0+ (zero da destra) *tende* a +inf .
L'Amerio in 3 volumi aveva il brutto vizio di scrivere infinito (simbolo e basta) mentre il Pagani-Salsa scriveva +infinito .
Una dimostrazione a livello trigonometrico di questa cosa: sappiamo che la funzione tangente è una funzione trigonometrica definita come la proiezione sull'asse y del punto di incontro tra il prolungamento del secondo lato dell'angolo orientato e la retta che tange la circonferenza goniometrica nel punto (1,0). Facendo tendere l'argomento di questa funzione all'angolo retto, il risultato tenderà ad infinito, ma se l'argomento è uguale all'angolo retto, il prolungamento del secondo angolo orientato e la retta che tange la circonferenza goniometrica nel punto (1,0) diventano paralleli, ovvero non s'incontrano mai, rendendo la funzione priva di senso. Ma la funzione tangente è definita anche come il rapporto fra il seno e il coseno, e se x è angolo retto, il coseno è 0.
Due rette parallele si incontrano nel punto infinito nel piano proiettivo. Piano che poi è una superficie sferica.
Potresti fare un video sugli autovalori e sugli autovettori?
Me lo segno 😉
Mi piace molto le tue curiosità perché infatti il risultato sembra misterioso (non ha senso dividere per 0), comunque le tue curiosità sono sempre al TOP e mi sono iscritto😉
adoro questa serie
Che bello!
In certo qual modo e dal mio punto di vista, si potrebbe concludere che anche in fisica il vuoto assoluto non esiste.
Lo zero (conteso tra numeri positivi e negativi, senza raporesentare ne uno ne l'altro) , come il vuoto, é dunque un'astrazione mentale, paradigmatica per la descrizione dei fenomeni?
Analogamente, gli infiniti, negativi o positivi, che nella realtà fattuale possiamo considerarli incommensurabili, ma giamnai senza fine?
E beh, in fondo, come diceva Galilei, la matematica è il. linguaggio della fisica e quindi, ciò che non esiste nell'una, non può esistere nell'altra...
Allora, se questo è, potrebbe significare cge davvero, il vuoto assoluto non esiste? vi possiamo solo tendere, senza mai raggiungere l'assenza di materia o degli stessi campi?
Forse, ciò potrebbe accadere nel "pozzo" di un buco nero?
ua-cam.com/video/B7YoJzjNrCE/v-deo.html
Se ho ben capito il "numero 0 " è solo un modo per esprimere ad es, il risultato di 5x8, è così?
Aggiungerei che è falso in matematica e vero in fisica in quanto in fisica lo zero non esiste.
In matematica 1+1 è uguale a 2 in fisica è "circa" 2.
E così in fisica non esiste lo zero ma solo più o meno zero e la frazione porterà al risultato di più infinito o meno infinito.
nell'empio riportato, se x tende a 3 da sinistra, vuol dire che non arriverà mai a 3, al denominare della funzione avrò un valore negativo e quindi il limite della funzioe dovrebbe essere meno infinito non più infinito
Attenzione, tre meno "tre meno" fa zero più. Quindi il limite tende a più infinito.
Complimenti. L'argomento è molto delicato e l'esposizione è chiara
Per caso capito a leggere questo filmato.
Provengo dalla matematica universitaria degli anni 60 (polito) e queste cose le dicevano tutti i docenti di analisi I .
Magari in analisi III FACOLTATIVA, ci insegnavano a far sparire il simbolo di infinito spiegandoci la "nuova teoria di integrazione" (secolo XIX°), teoria delle funzioni analitiche, calcolo dei residui e serie di Laurent nel piano complesso.
Ma poco si dice che il numero è in generale un grande sconosciuto: lo si può conoscere solo tramite la sua rappresentazione in serie di potenze di una base prefissata, per es. 10.
E allora le cifre che identificano un numero altro non sono che la presenza di una determinata potenza.
Pertanto lo zero altro non è che assenza di una determinata potenza di quella base prescelta.
Esempio:
N = 102 significa:
Una volta 10 elevato a 2 più
Assenza di 10 elevato a 1 più
due presenze di 10 elevato a zero.
Quindi 0 (zero) non è un numero di volte di presenze di una potenza, ma assenza di quella potenza:
N = 1x100 + 0x10 + 2x1.
Naturalmente bisogna capire cosa voglia dire 10 elevato a zero.
L'elevazione a potenza è una semplificazione di prodotti successivi di una base 10 per se stessa.
Es.: 10^3 = 10*10*10 .
Si deve definire pure la potenza negativa:
10^(-3) per convenzione = 1/(10^3);
Ora se scrivo il prodotto tra due potenze, una con esponente positivo e una per esponente negativo, ottengo:
K=(10^3)*(10^-3) equivale per quanto convenzionalmente definito su alla frazione:
K=(10^3)/(10^3) che ovviamente fa sempre 1 (uno).
Da qui risulta congruo ritrovare la proprietà delle potenze:
Il prodotto di due potenze con uguale esponente, uno positivo e uno negativo, equivale alla potenz con esponente la somma algebrica degli esponenti.
Altra storia è quella del simbolo di infinito oo , che non è un numero e che da 150 anni sia la matematica che la fisica si sforzano di eliminare, direi con successo. Esso è solo un concetto astratto che dovrebbe derivare da indefinibili, come pure quello di infinitesimo.
Provo a dire la mia...
1) Nel senso pratico: 6/3. Se ho sei mele e siamo in 3 ce ne pappiamo 2 ciascuno; 6/0. Se non c'è nessuno a mangiarsi le mele non ha proprio senso dividerle!
2) Lim x->0 di 1/x =∞ indica la presenza di un asintoto verticale ovvero una retta a cui le funzione si avvicina senza mai raggiungerla poiché per un valore di 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 1 metri, ad esempio, (e non so se esiste in natura qualcosa di così piccolo) otteniamo un valore in ordinata che dovrebbe trovarsi in un'altra galassia e potremmo aggiungere zeri fino ai confini dell'universo senza MAI raggiungere l'asintoto.
Questo perché i valori in x saranno infinitesimi di ordini superiori e quindi anche l'accostamento della funzione all'asintoto sarà infinitesimo nonostante la lunga distanza in ordinata. Allora quanto è grande l'infinito? Infinito! 😂😂😂
3) Che senso ha portarsi dietro tutti quegli zeri se stiamo parlando di un concetto? Al limite parliamo di ordini superiori noo?
È stato già fatto un video sul significa di x*0 ? Canale bellissimo, grazie.
Ma per quanto riguarda l'interpretazione delle divisioni con la frase "quante volte sta il divisore nel dividendo" ?? In questo caso avrebbe anche senso che un numero diviso 0 faccia infinito, poiché lo 0 sta infinite volte in qualsiasi numero... infatti, all'interno dell'informatica per giustificare il risultato in qualche modo, generalmente i software restituiscono infinito.
Io avrei fatto vedere il grafico della funzione f(x)=1/(3-x) mostrando l'asintoto verticale: secondo me così è molto più chiaro
una domanda priva di significato era come dire impossibile ?
Io ho un dilemma, che si fonda su una nozione che mi pare corretta, prendiamo ad esempio 0,9 di cuoi 9 periodico, esso è uguale a 1. Stessa cosa vale per 1,9 9 periodico e così via, nel caso dell'esempio fatto, per cui nella funzione al minuto 10:30 è possibile avere un risultato arbitrariamente grande con 2,9 ò periodico? Cioè, cosa succede se noi introduciamo questo numero? Non mi è chiaro
2,9periodico è uguale a 3. Non puoi metterlo.
2,9 periodico non è un numero determinato, ma cresce sempre sino a diventare 3.
Ossia stabilito un numero a piacere vicinissimo a tre, ossia preso 2,99999....9, deve essere possibile prendere un nuovo numero tra il 3 ed il precedente 2,99999.....9.
Se tu prendi 2,9 periodico l'operazione precedente è impossibile in quanto 2,9 periodico tende a tre e quindi la sua distanza dal numero 3 sarà sempre minore rispetto a quella di qualsiasi altro numero si prenda vicino al 3.
In quanto 2,9 periodico, significa 2, infiniti 9, ossia 3.
Infatti lo 0,9 periodico altro che la somma degli infiniti termini 1/9 + 1/9^2 + ....... + 1/9^n , con n numero naturale che tende ad infinito.
E che quindi converge ad 1.
Di conseguenza anche 2,9 periodico altro non è che 3.