Угол между указанными отрезками - это угол между смежными сторонами правильного 6-ти угольника сечения куба плоскостью, ⟂ диагонали куба и проходящей через его центр.
@@qdrs68 а что там доказывать все диагонали 6 угольника равны, т.к. равны диагоналям граней куба. Попарно компланарны. И стороны равны. Значит правильный 6 угольник
Спасибо за 2 варианта! По теореме косинусов м.б. даже проще. АВ=ВС=\/2. Опустим АС на 1 (полребра) вниз. Проекция АС на нижнюю грань - гипотенуза \/5, тогда сам отрезок АС=\/6. Запишем теорему косинусов для треугольника АВС: АС² = АВ² + ВС² - 2 × АВ × ВС × cos
Пусть B начало координат, и единица измерения половина ребра куба, тогда координаты векторов BA=(-1;-1;0) и BC=(1;0;-1), а их длины по т. Пифагора |BA|=|BC|=√2. Скалярное произведение этих векторов |BA||BC|cosABC=(-1)×1+(-1)×0+0×(-1), или √2×√2cosABC=-1, откуда cosABC=-1/2, то есть угол ABC=120°
Рассечём плоскостью ABC весь куб. В сечении получим правильный шестиугольник, а угол ABC есть одна из вершин правильного шестиугольника. Сумма углов шестиугольника = 180 * 4 (4 треугольника по 180 градусов). Величина одного угла = 180 * 4 / 6 = 120 градусов. Задача решена.
@@andrewdronsson9028 Равенство сторон недостаточно, надо ещё доказать равенство углов. Нетрудно же ведь взять правильный 6-угольник, и перекосить его, не все углы будут 120 градусов.
Решил двумя способами: 1) Скалярное произведение двух векторов, делённое на произведение их длин, даёт cos угла между ними. Он оказался равным -0.5. => угол равен 120°. 2) Сечение куба, построенное на заданных отрезках, представляет собой правильный шестиугольник, каждый угол которого равен 120°.
Шестиугольник в сечении не увидел, а равнобокая трапеция со сторонами 2½ и основаниями 2½ и 2*2½ очевидна. У равнобокой трапеции(1,1и1,2) углы равны 120° и 60°
срез куба по серединам ребер имеет форму правильного шестиугольника. по-моему проще его достроить и всё становится очевидным даже без букв и вспомогательных треугольниов.
не математически - соединяем точку С с серединой самой правой грани и далее соединяем эту точку с А. Получаем наклоненную в пространстве трапецию, длинная сторона которой равна 2 ВС, а короткая и боковые равны ВС. Ничто не противоречит разделению трапеции на три равносторонних треугольника, а, значит, искомый угол = 120 гр.
Если из точек А, В, С провести прямые к центру куба (например точка О) получатся два равных треугольника, которые равносторонние, но я не могу это доказать😢. Если они равносторонние, значит и равноугольные и углы АВО и ОВС по 60° в сумме 120.
До просмотра видео: 120 градусов. Плоскость, режущая куб по точкам, лежащим на середине рёбер, и сам куб в пересечении дают правильный шестиугольник. Надо бы это доказать, но... Чес-слово, сильно не до того, и вообще тут работает начертательная геометрия.
Делается стандартно через векторы. Задаёте систему координат и три базисных вектора, выражаете векторы ВА и ВС через них, считаете скалярное или векторное произведение векторов. Получите или косинус или синус угла между ними.
Всегда решал такое долгим, но самым простым для меня методом. Брал сторону куба в данном случае за 2, достраивал всё до треугольников и находил все неизвестные отрезки через теорему Пифагора. А дальше теорема косинусов. В уме за две минуты всё решилось
@@user-pr3rp3cz5dесли брать сторону куба за два, то по рисунку из видео АК - это гипотенуза треугольника с катетами 1 и 2, значит АК = √5. В треугольнике АКС катет АК = √5, а катет КС = 1, значит гипотенуза АС = √6
Ищем косинус угла между векторами (1,1,0) и (1,0,1). Скалярное произведение 1, длина каждого √2. Итого, косинус 1/2, угол 60. А смежный с ним 120. Решается в уме за 20 сек.
А если провести параллельно ВС диагональ верхней грани и параллельно АВ диагональ задней грани, получим равносторонний треугольник, угол 60 градусов. А угол АВС 120 градусов ( как углы со сторонами - одна сонаправленная, а другая противонаправленная)
Валерий, а как быть с углом ABE в самом конце? Выяснили, что угол DBC = 60°, тогда и ABE = DBC = 60° как вертикальный, но АВE находится в равнобедренном (по условию задачи) прямоугольном треугольнике, а потому обязан быть равен 45°. Неувязка получается, либо я что-то напутал.
То ли с эпюрами уже переработал, то ли уже дурка, Но , я пошел по легкому пути, представил вид сбоку прям на плоскость где лежит точка С, и получается угол в 90*, у меня все. Хочу услышать еще мнения по поводу моего решения все-таки прав я или нет
Такие задачки очень удобно и легко координатным методом решаются. Прилежащие стороны окажутся xsqrt2, а противолежащая xsqrt6. Сокращаем за счёт признаков подобия и имеем теорему косинусов в таком исполнении: 3=2(1-cosa) => cosa=-0,5 => a=120
@@Vladimir73ish люди здесь математику обсуждают, а ты со своими проблемами с головой нарисовался, да ещё кидаешься и обзываешься без повода - так кто из нас псина?) Это даже забавно - тявкни ещё что-нибудь. Интересно узнать границы твоей болезни) Ну и не прочь узнать, а чего тебе вообще от меня надо, но это уж задачка со звёздочкой, не утруждай себя ею - в твоём психическом состоянии разговаривать - уже достижение. Ты молодец)
Такую задачу можно предлагать как задачу повышенной сложности или даже олимпиадную до того, как школьник освоит векторный метод, который вмиг разруливает эту задачу. А после этого предложить её же, где она уже будет возведена в ранг типовой.
Угол между указанными отрезками - это угол между смежными сторонами правильного 6-ти угольника сечения куба плоскостью, ⟂ диагонали куба и проходящей через его центр.
А теперь докажи, что это правильный 6-ти угольник
@@qdrs68 все стороны 6-угольника равны друг другу, т.к. они все являются гипотенузами одинаковых треугольников с равными катетами.
@@user-nm2se7jm7o «все стороны 6-угольника равны друг другу...»
И что из этого следует?
@@qdrs68 а что там доказывать все диагонали 6 угольника равны, т.к. равны диагоналям граней куба. Попарно компланарны. И стороны равны. Значит правильный 6 угольник
Это просто сказочные воспоминания о школе!!! Мне 61. Скучаю! Спасибо Вам!❤️
Спасибо за 2 варианта! По теореме косинусов м.б. даже проще. АВ=ВС=\/2. Опустим АС на 1 (полребра) вниз. Проекция АС на нижнюю грань - гипотенуза \/5, тогда сам отрезок АС=\/6. Запишем теорему косинусов для треугольника АВС: АС² = АВ² + ВС² - 2 × АВ × ВС × cos
Пусть B начало координат, и единица измерения половина ребра куба, тогда координаты векторов BA=(-1;-1;0) и BC=(1;0;-1), а их длины по т. Пифагора |BA|=|BC|=√2. Скалярное произведение этих векторов |BA||BC|cosABC=(-1)×1+(-1)×0+0×(-1), или √2×√2cosABC=-1, откуда cosABC=-1/2, то есть угол ABC=120°
Спасибо!!! Шедевральное решение задачи!!! Люблю Ваши интересные нестандартные задачи и ещё более удивительные решения.❤❤❤Спасибо Вам за ваш труд.
Рассечём плоскостью ABC весь куб. В сечении получим правильный шестиугольник, а угол ABC есть одна из вершин правильного шестиугольника. Сумма углов шестиугольника = 180 * 4 (4 треугольника по 180 градусов). Величина одного угла = 180 * 4 / 6 = 120 градусов. Задача решена.
так же подумал,. только надо доказать что все отрезки предполагаемого шестиугольника лежат в одной плоскости
@@sergeymesky535использовать развёртку куба.
@@sergeymesky535 Я так же решил. Что касается одной плоскости - тут уже рулит начертательная геометрия.
@@andrewdronsson9028 , это не важно что рулит - главное доказать, хоть с помощью алгебры или географии, если получится.
@@sergeymesky535постройте пирамидки и все увидите
Очень красивое решение. Спасибо.
Задача решается еще быстрее, если достроить сечение куба заданной плоскостью АВС. Получаем правильный шестиугольник и следовательно угол 120 градусов.
да, но придется доказать правильность 6-угольника: равенство всех сторон и углов.
@@user-qw4hb7vj7t Стороны и углы равны..
@@user-qw4hb7vj7t Равенство всех сторон очевидно: у каждого треугольника, образуемого половинками рёбер и стороной шестиугольника, одинаковые катеты.
@@andrewdronsson9028 Равенство сторон недостаточно, надо ещё доказать равенство углов. Нетрудно же ведь взять правильный 6-угольник, и перекосить его, не все углы будут 120 градусов.
Я думал щас скажет 0,5😂 а он взял и и туда единицу
векторный метод убивает задачу
Не доказано, что точки А, B, D, C лежат в одной плоскости.
Поддержу, это не очевидно и следует доказать !
Это очевидно. Т.к. точки А, В и D лежат на одной прямой. Прямая и любая точка вне её ( точка С) всегда лежат в одной плоскости.
Правильно - не доказано. Куб же на земле стоит, а земля круглая - значит сторона куба не плоская 😂😂😂😂😂
А ещё проще - точка В находится на стороне АD треугольника ADC. Из чего следует, что все четыре точки лежат в одной плоскости.
Всегда говорил - учитесь решать треугольники
По теореме арктангенсов)))
Решил двумя способами:
1) Скалярное произведение двух векторов, делённое на произведение их длин, даёт cos угла между ними. Он оказался равным -0.5. => угол равен 120°.
2) Сечение куба, построенное на заданных отрезках, представляет собой правильный шестиугольник, каждый угол которого равен 120°.
-Какой угол?
-Вот такой!
Шестиугольник в сечении не увидел, а равнобокая трапеция со сторонами 2½ и основаниями 2½ и 2*2½ очевидна.
У равнобокой трапеции(1,1и1,2) углы равны 120° и 60°
срез куба по серединам ребер имеет форму правильного шестиугольника. по-моему проще его достроить и всё становится очевидным даже без букв и вспомогательных треугольниов.
не математически - соединяем точку С с серединой самой правой грани и далее соединяем эту точку с А. Получаем наклоненную в пространстве трапецию, длинная сторона которой равна 2 ВС, а короткая и боковые равны ВС. Ничто не противоречит разделению трапеции на три равносторонних треугольника, а, значит, искомый угол = 120 гр.
Если из точек А, В, С провести прямые к центру куба (например точка О) получатся два равных треугольника, которые равносторонние, но я не могу это доказать😢. Если они равносторонние, значит и равноугольные и углы АВО и ОВС по 60° в сумме 120.
До просмотра видео: 120 градусов. Плоскость, режущая куб по точкам, лежащим на середине рёбер, и сам куб в пересечении дают правильный шестиугольник. Надо бы это доказать, но... Чес-слово, сильно не до того, и вообще тут работает начертательная геометрия.
Делается стандартно через векторы. Задаёте систему координат и три базисных вектора, выражаете векторы ВА и ВС через них, считаете скалярное или векторное произведение векторов. Получите или косинус или синус угла между ними.
Всегда решал такое долгим, но самым простым для меня методом. Брал сторону куба в данном случае за 2, достраивал всё до треугольников и находил все неизвестные отрезки через теорему Пифагора. А дальше теорема косинусов. В уме за две минуты всё решилось
можете сказать как нашли длину AC, пожалуйста
@@user-pr3rp3cz5dесли брать сторону куба за два, то по рисунку из видео АК - это гипотенуза треугольника с катетами 1 и 2, значит АК = √5.
В треугольнике АКС катет АК = √5, а катет КС = 1, значит гипотенуза АС = √6
Ищем косинус угла между векторами (1,1,0) и (1,0,1). Скалярное произведение 1, длина каждого √2. Итого, косинус 1/2, угол 60. А смежный с ним 120. Решается в уме за 20 сек.
Какое же элегантное решение, именно за это и обожаю геометрию
А если провести параллельно ВС диагональ верхней грани и параллельно АВ диагональ задней грани, получим равносторонний треугольник, угол 60 градусов. А угол АВС 120 градусов ( как углы со сторонами - одна сонаправленная, а другая противонаправленная)
Валерий, а как быть с углом ABE в самом конце? Выяснили, что угол DBC = 60°, тогда и ABE = DBC = 60° как вертикальный, но АВE находится в равнобедренном (по условию задачи) прямоугольном треугольнике, а потому обязан быть равен 45°.
Неувязка получается, либо я что-то напутал.
Вертикальные углы там ABE и DBK.
Точно, спасибо, показалось
Дык, если продолжить сечение куба по плоскости угла АВС получается правильный шестиугольник же! 😂
Метод координат.. Просто техническая работа, и всё доказано.
То ли с эпюрами уже переработал, то ли уже дурка, Но , я пошел по легкому пути, представил вид сбоку прям на плоскость где лежит точка С, и получается угол в 90*, у меня все. Хочу услышать еще мнения по поводу моего решения все-таки прав я или нет
А нахождение точнк А, В, С, Д в одной плосколсти не требует доказательства?
120° очевидно уже на превью видео, тоже достроил ребро и всё стало видно, зашёл за доказательством)
Я просто посмотрел на рисунок и сказал правильный ответ
...
❤
Такие задачки очень удобно и легко координатным методом решаются. Прилежащие стороны окажутся xsqrt2, а противолежащая xsqrt6.
Сокращаем за счёт признаков подобия и имеем теорему косинусов в таком исполнении: 3=2(1-cosa) => cosa=-0,5 => a=120
Лечи голову.
@@Vladimir73ish давайте сами - я не возьмусь лечить вашу голову. Я не академик Павлов
@@alexey_latyshev Естественно, не академик Павлов, а собака Павлова.
Ты скорее с о б а к а Павлова, а не академик.
@@Vladimir73ish люди здесь математику обсуждают, а ты со своими проблемами с головой нарисовался, да ещё кидаешься и обзываешься без повода - так кто из нас псина?)
Это даже забавно - тявкни ещё что-нибудь. Интересно узнать границы твоей болезни)
Ну и не прочь узнать, а чего тебе вообще от меня надо, но это уж задачка со звёздочкой, не утруждай себя ею - в твоём психическом состоянии разговаривать - уже достижение. Ты молодец)
Такую задачу можно предлагать как задачу повышенной сложности или даже олимпиадную до того, как школьник освоит векторный метод, который вмиг разруливает эту задачу. А после этого предложить её же, где она уже будет возведена в ранг типовой.
лайк
Красиво получилось !!!
Стереометрия, беспокойная юность моя