/ @user-lw4ww3to5k 6 дней назад 25 лет назад в Хантах, 2 года назад у Волкова, год тому журналисты VK, потом Ирина Геннадьевна и, наконец, гр-н Земсков П.А. И ВСЕ как-то неуклюже "умножают на (х+1)^2"; Меня мучают смутные сомнения, почему не на (х+1)? 60 лет назад в 5классе легко умножали на (х+1). Кстати, 60 лет тому 12а:2а=6; 36:3(8-6)=6; И даже 2+2*2=6 не по "правилу", а по СМЫСЛУ! 2+2*2=2*1+2*2=2(1+2)=6; @user-lw4ww3to5k 8 дней назад Стесняюсь спросить, а коледж-то точно для одарённых? Что-то и учни не тянут и вучитель одиозный. Ведь задачка-то простенькая. "Из Кембриджа", для Портосов-детейГор. Ха-Ха-Ха. 2а:2а=а^2; /
Parabéns, Professor, pelo dia de hj. Ni Brasil, é o dia dos professores. Não entendo seu idioma mas acompanho seu raciocínio e desenvolvimento das questões.
@@DIBROV Гугль транслейт переводит "в Бразилии" как "no brasil" (да, с маленькой буквы), а "в России" как "na Rússia" (с большой). Оценить смысл (и даже банальную правильность употребления) предлогов я не могу - не владею португальским. Попробовал ещё разные варианты "в " - такое чувство, что, в основном, используется "na" (na China, na Grã-Bretanha, na Austrália), хотя встречаются ещё "no"и "em". А больше всего уважения к США, там всё капсом: NOS ESTADOS UNIDOS.
Нужно просто увидеть в уравнении основное гипергеометрическое тождество (ch t)^2 - (sh t)^2 = 1 и сделать замену 1/x = ch t, 1/(x+1) = sh t. Выражая x через t, получим уравнение 1/ch t =1/sh t - 1 (=x), которое легко решается переходом к гипертангенсу половинного угла. Далее производим обращение всех сделанных замен и получаем ответ.
Спасибо за это уравнение автору и за идеи решения комментаторам. Хотя, в видео решено неверно, но идея ясна. И в комментариях были прекрасные иде. Прорешав разными способами, у меня получились одинаковые результаты.
Сижу такой, делаю дз по алгебре (8 класс) Захожу на это видео и преисполняюсь в своем сознании настолько, что ничего не понимаю, и алгебру уже делать лень
мне скоро 70, следил и понимал до введения t -потом немного надоело напрягаться - целый день за компом работал. . Математику в школе любил, далее- гуманитарий. Автор - супер!!!
Я решал так. Произведем простую замену y= x+1. Приведя все к общему знаменателю, и открыв скобки получаем следующее уравнение: y^4 - 2y^3 + y^2 - 2y +1 = 0. Делим на y^2 и получаем y^2 - 2y + 1 - 2/y +1/y^2 = 0. Теперь делаем вторую замену: z = y +1/y. Тогда последнее уровнение можно записать как: z^2 - 2z = 1. => z1 = √2 +1 и z2 = 1-√2. Ну а теперь решаем два уравнения y +1/y = √2 +1 и y +1/y = 1-√2. Первое имеет два решения в действительных числах, а второе -- два решения в комплексных. Для полноты картины приведу действительные решения: x1= 1/2 * (√2 -1 + (2√2 -1)^(1/2)) и x2= 1/2 * (√2 -1 - (2√2 -1)^(1/2))
\ @user-lw4ww3to5k 1 день назад @user-ht7rd7py1m Понимаете, как-то очень странно, что вы умножаете на (х+1)^2 ??? Ведь ОЧЕВИДНО же (!!!), что надо умножать на (х+1). y=(x+1)/x^2; y-1/y-2=0; y=1+-sqrt2; Так и проще и прозрачней. Видимо, за Уралом суровые люди и не ищут лёгких путей. \ // @vladsparrowik5203 1 день назад получим два квадратных уравнения x^2 +(1+√2)(x+1) =0 и x^2 +(1-√2)(x+1) =0 первое не имеет решения, а из второго x = (√2 -1 +-√(2√2-1))/2 // \\\ @user-xz1zw9jx6u 18 часов назад Ответ: x={sqrt2-1 +/_ sqrt(2sqrt2-1)}/2; \\\
Ну, хоть кто-то правильные ответы написал. А то в видео до них так и не дошли 😂 Я решал ещё проще. Привёл к общему знаменателю, раскрыл скобки, выделил полный квадрат, получилось: (x^2+x+1)^2 = 2*(x+1)^2 Поиском комплексных корней решил не заниматься, поэтому извлёк корень из обеих частей и получилось: x^2-p*x-p = 0, где p = sqrt(2)-1
Неплохое уравнение. Но можно было сразу привести слагаемые к общему знаменателю и получить такое же квадратное уравнение. Для тех, кто спрашивает, какие корни, дорешайте его самостоятельно 😀
Наверное вы просто забыли этот тип уравнений после школы, т. к. их проходят в 10 классе (по крайней мере лично я помню что изучал эту тему в 10 классе)
@@МаксимТимощук-п7ж все было. Просто смысла запоминать все подобные приемы нет. Ваш учитель мог и не говорить слово "возвратные", а просто дал метод решения. таких уравнений. Прием ведь не новый ;-)
@@mkostya У квадратных 3-членов корни с радикалами - нормальное явление. При этом коэффициенты чаще всего целые. Но согласен, подбор целых коэффициентов может быть долгим, и не факт, что удастся их подобрать, так как сами коэффициенты могут оказаться в теории иррациональными.
Да уж ... . Напереносил члены без изменения знаков и приравнял к нулю ... ! Говорил что приравнил одно переменной , а на самом деле вышло что другое и разное в разных случаях ... . Надо деду сесть и пересмотреть самому что он натворил тут ... !
Всë проще. Я сделал две замены: сначала положил x=1/у. Тогда для у получаем уравнение 1/у^2+1/(у+1)^2=1, которое отличается от уравнения для х только знаком у второго слагаемого. Но это уравнение легко решается заменой у+1/2=z (то есть у=z-1/2, тогда у+1=z+1/2). При этом для z получаем биквадратное уравнение: z^4 -(5/2)z^2 -7/16=0... z=(+/-)(5/4+√2)^1/2= (+/-)1,632241882 х1=0,883203505... х2=-0,468989943...
Сделал первую замену и понял, что получил теорему Пифагора с 1 гипотенузой. До второй замены, к сожалению, не додумался, пришлось призвать всемогущую программу Вольфрама и смотреть step-by-step решение. Там немного муторней, но замена похожая. Еще пробовал в тригонометрию перевести, но там совсем грустно все было.
@@FastStyxделайте выкладку внимательней. Подозреваю, в чëм Ваша ошибка: если провести замену z=x+1/2, то есть в исходном уравнении 1/х^2 - 1/(х+1) ^2 = 1, то слагаемое линейное по z, действительно, останется. Если же сначала написать уравнение для у=1/х, то есть уравнение 1/у^2 + 1/(у+1) ^2 = 1, и уже в нем провести замену z=у+1/2, то для z получаем биквадратное z^4 - (5/2) z^2 - 7/16 = 0 ... (слагаемые, пропорциональные z, взаимно уничтожаются). Проверил, что z^2 = 5/4 + √2, z = (+/-) (5/4 + √2)^(1/2) = = (+/-) 1,632241882... В общем, задачка пустяковая. В интернете часто легкие задачки называют сложными. Пример - задача Лэнгли. Она имеет простое решение не только для углов А1=20°, А2=60°, В1=50° и В2=30°, но и для произвольных углов (даже когда А1+А2 не равно В1+В2 и не равно 80°). Надо лишь три раза записать теорему синусов (для трёх ∆-ков). Выкладка - на полстранички. Но задачу Лэнгли называют самой сложной головоломкой! А эту задачку - задачей года. Похоже на полную деградацию. Только что исходную задачу нашел у П.С. Моденова в Сборнике задач по специальному курсу элементарной математики (1957, стр. 70, N5 (*)). Но там - масса задач круче. Решение у П.С. на стр.422 не такое, как у меня. Ответ тоже не похож на мой, но совпадает численно. А еще у П.С. приведены комплексные решения! Вот какие задачи решали в наше время. Это вам не ЕГЭ.
x/=0, x/=-1 и функция пересекается с горизонтальной линией y=1 дважды. Получаем уравнение в четвертой степени. Классический способ решения уравнений четвертой степени не имеющих рациональных корней с применением метода Феррари. Немного корявой алгебры и решениес двумя корнями. Можно тригонометрической подстановкой попытаться в случае иррациональных корней в многочленах.
Когда то оно было на городской школьной олимпиаде. примерно 1997-98 год. Одно не помню, есть ли оно в Сканавии. Но, как потом оказалось, задание было с ошибкой, и его не признали за правильный ответ, хотя я его решил. Странное ощущение, как будто бы оказался за партой 25 лет назад. Год был морозный и снежный. В тот день -45 было, а мы идем на городскую олимпиаду через весь город, актированные дни это для детей а не для нас :)
@@Пытливый-ф4я Учитель, который переписывал задание с бумажки на доску, совершил ошибку в уравнении, и ответ не признали. Вот так бывает. Тогда никто не задумывался об какой то уникальности этого уравнения.
@@СанСанычЕп А с Ириной Геннадьевной знакомы? Какую подстановку вы применяли в -45, какое решение было и ответ, в чём была ошибка в вашем задании и в чём, по-вашему, ошибка гр. Земскова?
@@СанСанычЕп Так и не понял какое вы уравнение решили, ЭТО или другое, с ошибкой? Ну да пёс с ним с этим "уникальным". Вот как вы, стесняюсь спросить, решали в своё время такие примеры: 2а:2а=?; (8-2)(8-2)(8-7):(8-7)(8-6)(8-5)=?;
25 лет назад в Хантах, 2 года назад у Волкова, год тому журналисты VK, потом Ирина Геннадьевна и, наконец, гр-н Земсков П.А. И ВСЕ как-то неуклюже "умножают на (х+1)^2"; Меня мучают смутные сомнения, почему не на (х+1)? 60 лет назад в 5классе легко умножали на (х+1). Кстати, 60 лет тому 12а:2а=6; 36:3(8-6)=6; И даже 2+2*2=6 не по "правилу", а по СМЫСЛУ! 2+2*2=2*1+2*2=2(1+2)=6;
@@leonpelengator3754 Вы правы, точно. Тогда даже проще, если сделать замену t = x + 1, то исходное перепишется как 1/(t - 1)^2 - 1/t^2 = 1, откуда t/(t - 1)^2 = t + 1/t или 1/(t + 1/t - 2) = t + 1/t
Корни есть и они действительные: ~ - 0,46899 и ~ 0,883204. Других не должно быть, т.к. функция правой части при х -> к бесконечности, стремится к нулю.
1/x^2 = 1 + 1/(x+1)^2 приводим правую часть 1/x^2 = (x^2 +2x +2)/(x+1)^2 раскладываем и дополняем до квадрата суммы правую часть 1/x^2 = (x/(x+1))^2+ 2/(x+1) + 1/x^2- 1/x^2 получаем 2/x^2 = (x/(x+1) + 1/x)^2 или 2 = (x^2/ (x+1) + 1)^2 +-√2= x^2/(x+1)+1 получим два квадратных уравнения x^2 +(1+√2)(x+1) =0 и x^2 +(1-√2)(x+1) =0 первое не имеет решения, а из второго x = (√2 -1 +-√(2√2-1))/2
А у меня Ютюб решение не пропускает. Попробую разбавить словами. /Умножить слева и справа на (x+1) тогда получится такое (x+1)/x^2=1/(x+1) + (x+1)= далее равно =(x^2+2x+1+1)/(x+1)= опять далее равно =x^2/(x+1) + 2; и обозначить (х+1)/х^2 = y тогда перепишем как y=1/y+2; снова перепишем y^2-2y-1=0; получаем корни y=1 +/_ sqrt2; В случае знака плюс 1) (x+1)/x^2 = 1+sqrt2; домножим на сопряжённое x^2-(sqrt2-1)x-(sqrt2-1)=0; решаем в лоб по формуле x=(sqrt2-1)/2 +/_ sqrt((2-2sqrt2+1)/4+sqrt2-1)= преобразуем рутину =(sqrt2-1)/2+/_sqrt(2sqrt2-1)/2; Вот, собственно, и всё. x={sqrt2-1 +/_ sqrt(2sqrt2-1)}/2; В случае знака минус 2) (x+1)/x^2 = 1-sqrt2; те же яица - вид сбоку. x^2+(sqrt2+1)x+(sqrt2+1)=0; Под корнем меньше нуля, комплексные корни. (-2sqrt2-1)
Замена с корнем только всё усложняет. Достаточно просто и честно домножить обе части на произведение знаменателей и раскрыть скобки. Получится возвратное ур-е 4-й степени, для которого замена вполне стандартная, если знать идею.
Так и есть. только перед этим нужно сделать замену x = t + 1. Получим классическое возвратное уравнение. t^4 - 2t^3 + t^2 - 2t + 1=0 делим на t^2: (t^2 + 1/t^2) - 2(t + 1/t) + 1 = 0 y^2 -2y - 1=0 y = 1 +- sqr(2) = t + 1/t
Да и не говорите. Все опять разворовали. А если серьезно, то вам показали способ решения. Дальше - неинтересно, так как сводится к решению квадратных уравнений.
Кмк, можно было прийти чуть быстрее к результирующему уравнению даже без подстановок, путем рассмотрения первых двух слагаемы как разность квадратов, и тогда к итоговому возвратному уравнению 4й степени приходим за 3-4 шага.
Почему нельзя решить графически? 2 гиперболы в квадрате - одна сдвинута по оси у на 1 вниз, другая на 1 влево дают 2 точки пресечения на интервале (-1;1). Уже становится понятно, что корней всего 2 и явно не целые.
Красивая замена получается почти сразу, если начать сводить уравнение к системе: u = 1/x; v = 1/(x + 1). Тогда первое уравнение перепишется как u^2 + v^2 = 1, а вторым будет 1/v - 1/u = 1 или u - v = uv. Возводя второе уравнение в квадрат и подставляя первое, получим квадратное уравнение относительно uv: 1 - 2uv = (uv)^2. Дальнейшее очевидно.
@@Daniil_Chu Первое получается непосредственно, потому что исходное уравнение есть сумма квадратов u и v. Второе получается из того, что x = 1/u и x + 1 = 1/v = 1/u + 1.
@@АлександрЛуковенков-ф7сВ первом уравнении по условию ведь РАЗНОСТЬ квадратов, а следовательно в дальнейшем ЕДИНИЦА вместо СУММЫ квадратов не подставляется...
Методом Феррари: [x^4+2*x^3+x^2-2*x-1]=[x^2+x*(1-sqrt(2))+1-sqrt(2)]*[x^2+x*(1+sqrt(2))+1+sqrt(2)]. Первый квадратный трехчлен дает два действительных корня, второй - два мнимых.
На множестве где x не равно 0 и -1 оно равносильно x^4+2*x^3+x^2-2x-1=(x^2+px+p)*(x^2+qx+q)=0, откуда для p и q имеем систему: pq=-1, p+q=2, решение которой p=1-sqrt(2), q=1+sqrt(2). Одно уравнение имеет два действительных корня, другое имеет два комплексно сопряженных корня.
Симметрическое уравнение четвертой степени, которое сдвинули на 1 и оно стало нерешаемым. Самый верный способ - свести уравнение к основному тождеству (умножением на x^2). Получится (скобки для дробей ставить не буду) 1=x^2+(x/x+1)^2, sina=x, cosa=x/x+1=sin/sin+1, такая система легко решается x^2/x+1=sinacosa=\sqrt2-1 - квадратное уравнение. С известным ответом, несложно придумать короткое решение: добавьте к обоим частям уравнения 1/x^2+1/(x+1)^2 и извлеките корень из полных квадратов.
Такс Первое представляем как разность квадратов, приводим к общему знаменателю и все взаимовычитания вычеркиваем. Получается (2x+1)/(x^2*(x+1)^2)=1 Умножаем обе части на квадрат икса и раскрываем скобки в знаменателе левой части (2x+1)/(x^2+2x+1)=x^2 (x^2+2x+1-x^2)/(x^2+2x+1)=x^2 1-x^2/(x^2+2x+1)=x^2 -1= x^2+2x+1-(1/x^2) x^2+2x+2-1/x^2=0
А у меня Ютюб решение не пропускает. Попробую разбавить словами. //Умножить слева и справа на (x+1) тогда получится такое (x+1)/x^2=1/(x+1) + (x+1)= далее равно =(x^2+2x+1+1)/(x+1)= опять далее равно =x^2/(x+1) + 2; и обозначить (х+1)/х^2 = y тогда перепишем как y=1/y+2; снова перепишем y^2-2y-1=0; получаем корни y=1 +/_ sqrt2; В случае знака плюс 1) (x+1)/x^2 = 1+sqrt2; домножим на сопряжённое x^2-(sqrt2-1)x-(sqrt2-1)=0; решаем в лоб по формуле x=(sqrt2-1)/2 +/_ sqrt((2-2sqrt2+1)/4+sqrt2-1)= преобразуем рутину =(sqrt2-1)/2+/_sqrt(2sqrt2-1)/2; Вот, собственно, и всё. x={sqrt2-1 +/_ sqrt(2sqrt2-1)}/2; В случае знака минус 2) (x+1)/x^2 = 1-sqrt2; те же яица - вид сбоку. x^2+(sqrt2+1)x+(sqrt2+1)=0; Под корнем меньше нуля, комплексные корни. (-2sqrt2-1)
Надеюсь я не нарушу фундаментальные математические правила и не опозорюсь!!!) Имеет ли право на жизнь следующая идея решения выше указанного уравнения ? Левая часть уравнения - разность квадратов. Раскладываем и получаем произведение двух дробей, которое равно единице. 1/(х*(х+1)) * (2х+1)/(х*(х+1)) = 1; Произведение двух дробей равно единице в том случае, если они обратные, то есть числитель первой дроби будет равен знаменателю второй, а знаменатель первой - числителю второй. В итоге получаем два простых уравнения: х*(х+1) = 1 и 2х+1 = х*(х+1). Не судите строго! Школу закончил 15 лет назад!
ВУЗ закончил более 30 лет назад, сразу вижу, что разность квадратов равна 1. С Вами согласен полностью. Считаю, что Ваше решение самое рациональное и лёгкое. А все другие решения нерациональные. Вот и всё. 👍🤝
если ab=cd, то это не значит, что a=c, b=d. Почему, например, не x(x+1)=1/2, 2x+1=2x(x+1) ? Перемножая, получим то же самое уравнение 2x+1=x^2(x+1)^2. Даже если вы не поняли того, что я написал выше(раз уж школу вы закончили 15 лет назад), то просто заметьте, что из того, что x(x+1)=1 и 2x+1=x(x+1) следует, что 2x+1=1, т.е. x=0 - а такого быть вообще не может, .т.к в исходном уравнении x стоит в знаменателе.
Я наглядно доказал, что автор комментария не умеет решать такие уравнения и не помнит простейших логических связок. А уравнение, очевидно, корни имеет. Они указаны в видео.@@Sergey_Moskvichev
Задачка лёгкая! А вот если бы заменить (-) на (+), тогда решите? Даже если Ирину Геннадьевну привлечь? 1/х^2 + 1/(х-1)^2 = 1; Ну, или хотя бы ответ напишите.
Что-то после 10 минут решения дядька приуныл. Думаю, если я попрошу его озвучить физический смысл этого уравнения и привести пример из реальной жизни, он станет ещё грустнее... За то мы получили нахрен не нужное иррациональное решение!
Взялся решить его, влез в дебри со степенями, пытался ввести замены. Не вышло. А, думаю , дай до конца досмотрю. А тут тоже самое. Только у меня мозгов не хватило. 30 лет как тезникум закончил. Короче, не простое это уравнение для простого ученика.
Навіщо було множити на (x+1)^2, вгадувати з відніманням 2(х+1) від обох частин, щоб потім ділити на х+1 ? Досить було зразу помножити лише на х+1, залишити після цього перший доданок без змін, а два інші звести до спільного знаменника і почленним діленням розбити на два доданки, які отримані автором у відео. Погодьтесь, що так набагато простіше отримати той же ефект, який отримали ви.
А у меня Ютюб решение не пропускает. Попробую разбавить словами. //Умножить слева и справа на (x+1) тогда получится такое (x+1)/x^2=1/(x+1) + (x+1)= далее равно =(x^2+2x+1+1)/(x+1)= опять далее равно =x^2/(x+1) + 2; и обозначить (х+1)/х^2 = y тогда перепишем как y=1/y+2; снова перепишем y^2-2y-1=0; получаем корни y=1 +/_ sqrt2; В случае знака плюс 1) (x+1)/x^2 = 1+sqrt2; домножим на сопряжённое x^2-(sqrt2-1)x-(sqrt2-1)=0; решаем в лоб по формуле x=(sqrt2-1)/2 +/_ sqrt((2-2sqrt2+1)/4+sqrt2-1)= преобразуем рутину =(sqrt2-1)/2+/_sqrt(2sqrt2-1)/2; Вот, собственно, и всё. x={sqrt2-1 +/_ sqrt(2sqrt2-1)}/2; В случае знака минус 2) (x+1)/x^2 = 1-sqrt2; те же яица - вид сбоку. x^2+(sqrt2+1)x+(sqrt2+1)=0; Под корнем меньше нуля, комплексные корни. (-2sqrt2-1)
\\ 25 лет назад в Хантах, 2 года назад у Волкова, год тому журналисты VK, потом Ирина Геннадьевна и, наконец, гр-н Земсков П.А. И ВСЕ как-то неуклюже "умножают на (х+1)^2"; Меня мучают смутные сомнения, почему не на (х+1)? 60 лет назад в 5классе легко умножали на (х+1). Кстати, 60 лет тому 12а:2а=6; 36:3(8-6)=6; И даже 2+2*2=6 не по "правилу", а по СМЫСЛУ! 2+2*2=2*1+2*2=2(1+2)=6; \\
Задачка лёгкая! А вот если бы заменить (х+1) на (х-1), тогда решите? Даже если Ирину Геннадьевну привлечь? 1/х^2 - 1/(х-1)^2 =1; Ну, или хотя бы ответ напишите.
Ребята принесли Вам уравнение, которое Волков разбирал еще два года назад. Буквально в три строчки он перешел к квадратному уравнению. Рекомендую всем посмотреть. Вы сегодня "не в ударе". Лучше всего перезаписать ролик. Слишком много погрешностей. Начиная с 6.48 вообще ни о чем. Для чего это было? Придуманная Ириной Геннадиевной замена взята прямо с канала Волкова.
Мне такой метод напоминает поиск черной кошки в черной комнате, где свет выключен. Почему? да потому, что какое то хаотичное решение. КУча вопросов. Почему сделана такая замена, а не другая? Почему для замены выбрана дробь? Если это можно вытащить из старых знаний, то где ссылка на предыдущие знания Делая замену, не показаны перспективы движения, не сказана идея преобразований, куда движемся, что мы заметить должны и к чему это приедет... Просто сказано: а давайте заменим вот так.... Вот и получилось метание, авось придем к решению. Не люблю я так. Мне сразу хочется видеть почему и что это даст, а уж потом и к общему знаменателю и прочее.
моя лень конечно не позволит прямо сейчас взять и решить это, но ведь выглядит как будто можно спокойно привести к общему знаменателю и воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, проблем быть не должно
\ @user-lw4ww3to5k 1 день назад @user-ht7rd7py1m Понимаете, как-то очень странно, что вы умножаете на (х+1)^2 ??? Ведь ОЧЕВИДНО же (!!!), что надо умножать на (х+1). y=(x+1)/x^2; y-1/y-2=0; y=1+-sqrt2; Так и проще и прозрачней. Видимо, за Уралом суровые люди и не ищут лёгких путей. \ // @vladsparrowik5203 1 день назад получим два квадратных уравнения x^2 +(1+√2)(x+1) =0 и x^2 +(1-√2)(x+1) =0 первое не имеет решения, а из второго x = (√2 -1 +-√(2√2-1))/2 // \\\ @user-xz1zw9jx6u 18 часов назад Ответ: x={sqrt2-1 +/_ sqrt(2sqrt2-1)}/2; \\\
\ @user-lw4ww3to5k 1 день назад @user-ht7rd7py1m Понимаете, как-то очень странно, что вы умножаете на (х+1)^2 ??? Ведь ОЧЕВИДНО же (!!!), что надо умножать на (х+1). y=(x+1)/x^2; y-1/y-2=0; y=1+-sqrt2; Так и проще и прозрачней. Видимо, за Уралом суровые люди и не ищут лёгких путей. \ // @vladsparrowik5203 1 день назад получим два квадратных уравнения x^2 +(1+√2)(x+1) =0 и x^2 +(1-√2)(x+1) =0 первое не имеет решения, а из второго x = (√2 -1 +-√(2√2-1))/2 // \\\ @user-xz1zw9jx6u 18 часов назад Ответ: x={sqrt2-1 +/_ sqrt(2sqrt2-1)}/2; \\\
А зачем такое уравнение возвратное надо делением решать ? Я кнш понимаю что этот способ подходит, но тут группировка была хорошая из трёх первых одночленов вынес бы за скобку t и получается уравнение (t+1) (t-2√t+1)=0
Я неБог - поэтому могу и ошыбку допустить, но я хотел бы - узнать! Что ответилиб вы - когда к вам поступалиб учится и такое уровнение решылиб так: свелиб до знаменателя одного, а после - решыли при помощи системы!? Получилось бы так (х+1)^2-х^2=1 и х^2×(х+1)^2=1 ; первую систему решаем а на второй проверяем! х^2+2х+1-х^2=1; 2х+1=1 ; 2х=0 х=0 ; проверяем по второй формуле 0 ×(0+1)^2=0 должно получиться 1; эта функцыя сложыно неверно так как ответ несошолся! ( покрайни-мере я когда-то так считал и у меня правельный ответ получался!) Можно сложить какую нибуть функцыю и посчитать!
Как-то Вы все усложнили...Гораздо проще увидеть разность квадратов в левой части уравнения. Проведя соответствующие преобразования и учитывая ОДЗ переменной (х не равно 0 и х не равно -1), приходим к уравнению 2х+1=х(х+1). Решая полученное квадратное уравнение, получаем х1=(1+√5)/2 и х2=(1-√5)/2. Выполнив проверку полученных корней, остается один корень: х=(1-√5)/2. Поправьте, если в чем-то ошибаюсь.
Мое решение красивее, хоть и три замены. Тоже через биквадратное но не возвратное. Корни это двойка деленная на минус единицу плюс минус корень квадратный из пяти плюс четырех квадратных корней из двух 2/ (-1 +-sqrt(5+4*sqrt(2))) Если кому интересно- могу выложить
Дед, когда задачи задаёшь - оговаривай условия. В смысле с какими числами можем мы оперировать. Натуральными, иррацинолальными, положительными или отрицательными, ну или вообще комплексными(но в школах это рано, но дед должен знать это).
тут и так понятно, что либо действительные либо комплексные. Ход решения от этого не зависит. А так, то что в целых числах решений нет видно почти сразу.
Извините, поправлю Вас, писать нужно не 5.00, а 5:00 (разделять цифры двоеточием), тогда видео автоматически подгружается в данный момент времени, т.е. в 5 мин 00 сек и читателю комментария становится более понята Ваша мысль
Постоянно смотрю ваши видео ) хотя вообще ничего не понимаю от слова совсем математику никогда не учил (гуманитарий лютый) но дядька классно рассказывает ))) лучшее о пицце 2по 30 или 1 на 45 !!!!
Математика Новые книжки Алгебра book24.ru/r/StVtb и Геометрия book24.ru/r/tHmid лучшие объяснялки от Петра Земскова
решил сам за 40 секунд. 9 класс
@@НикитаРоманов-ф1й и чему у Вас получились равными корни? За 40 секунд ))
Как здорово у вас в лицее! Собрали всех в актовый зал, чтоб разобрать уравнение! Это восхитительно
Я не помню, как решать возвратное уравнение, но помню, что 35 лет назад в школе мы называли возвратные уравнения развратными.
Грязное поколение! Куда мир катится....
а училки ваши проказницы
@@teastrum Даже
@@GOLD-offче за прикол с даже
@@yuii4ka Просто подтверждение сказанного, типо согласен с его мнением
Первыми рассказали об этом уравнении журналисты группы ВК vk.com/chomli_news
Уравнение века
@@ilhamisgndrov6180ошибка в применении теор .Виета
/
@user-lw4ww3to5k
6 дней назад
25 лет назад в Хантах, 2 года назад у Волкова, год тому журналисты VK, потом Ирина Геннадьевна и, наконец, гр-н Земсков П.А. И ВСЕ как-то неуклюже "умножают на
(х+1)^2";
Меня мучают смутные сомнения, почему не на (х+1)?
60 лет назад в 5классе легко умножали на (х+1).
Кстати, 60 лет тому
12а:2а=6;
36:3(8-6)=6;
И даже 2+2*2=6 не по "правилу", а по СМЫСЛУ!
2+2*2=2*1+2*2=2(1+2)=6;
@user-lw4ww3to5k
8 дней назад
Стесняюсь спросить, а коледж-то точно для одарённых?
Что-то и учни не тянут и вучитель одиозный. Ведь задачка-то простенькая.
"Из Кембриджа", для Портосов-детейГор.
Ха-Ха-Ха.
2а:2а=а^2;
/
Думала почему икс в квадрате не может быть отрицательным.?. Отрицательно число в кв даёт положительное.
Parabéns, Professor, pelo dia de hj. Ni Brasil, é o dia dos professores. Não entendo seu idioma mas acompanho seu raciocínio e desenvolvimento das questões.
Pele or Maradona, that is the question!
Na Rússia, o Dia do Professor é em 5 de outubro.
@@math_and_magic 😂
@@vladimir945*на россии*... Люблю португальский язык!
@@DIBROV Гугль транслейт переводит "в Бразилии" как "no brasil" (да, с маленькой буквы), а "в России" как "na Rússia" (с большой). Оценить смысл (и даже банальную правильность употребления) предлогов я не могу - не владею португальским. Попробовал ещё разные варианты "в " - такое чувство, что, в основном, используется "na" (na China, na Grã-Bretanha, na Austrália), хотя встречаются ещё "no"и "em". А больше всего уважения к США, там всё капсом: NOS ESTADOS UNIDOS.
После фразы "Собрали актовый зал для разбора уравнения" - влепил лайк неглядя!
Нужно просто увидеть в уравнении основное гипергеометрическое тождество (ch t)^2 - (sh t)^2 = 1 и сделать замену 1/x = ch t, 1/(x+1) = sh t. Выражая x через t, получим уравнение 1/ch t =1/sh t - 1 (=x), которое легко решается переходом к гипертангенсу половинного угла. Далее производим обращение всех сделанных замен и получаем ответ.
Чево)
Это на русском языке?
Отлично!
...я не знаю что такое кайф, но я, балдю!
Спасибо за это уравнение автору и за идеи решения комментаторам. Хотя, в видео решено неверно, но идея ясна. И в комментариях были прекрасные иде. Прорешав разными способами, у меня получились одинаковые результаты.
Сижу такой, делаю дз по алгебре (8 класс)
Захожу на это видео и преисполняюсь в своем сознании настолько, что ничего не понимаю, и алгебру уже делать лень
Здесь ничего сверхъестественного нет
мне скоро 70, следил и понимал до введения t -потом немного надоело напрягаться - целый день за компом работал. . Математику в школе любил, далее- гуманитарий. Автор - супер!!!
Я решал так. Произведем простую замену y= x+1. Приведя все к общему знаменателю, и открыв скобки получаем следующее уравнение: y^4 - 2y^3 + y^2 - 2y +1 = 0. Делим на y^2 и получаем y^2 - 2y + 1 - 2/y +1/y^2 = 0. Теперь делаем вторую замену: z = y +1/y. Тогда последнее уровнение можно записать как: z^2 - 2z = 1. => z1 = √2 +1 и z2 = 1-√2. Ну а теперь решаем два уравнения y +1/y = √2 +1 и y +1/y = 1-√2. Первое имеет два решения в действительных числах, а второе -- два решения в комплексных. Для полноты картины приведу действительные решения: x1= 1/2 * (√2 -1 + (2√2 -1)^(1/2)) и x2= 1/2 * (√2 -1 - (2√2 -1)^(1/2))
Лучше без замены.
а вы пробовали решить через логарифмирование натуральным логарифмом?
\
@user-lw4ww3to5k
1 день назад
@user-ht7rd7py1m
Понимаете, как-то очень странно, что вы умножаете на (х+1)^2 ???
Ведь ОЧЕВИДНО же (!!!), что надо умножать на (х+1).
y=(x+1)/x^2;
y-1/y-2=0;
y=1+-sqrt2;
Так и проще и прозрачней.
Видимо, за Уралом суровые люди и не ищут лёгких путей.
\
//
@vladsparrowik5203
1 день назад
получим два квадратных уравнения
x^2 +(1+√2)(x+1) =0 и x^2 +(1-√2)(x+1) =0
первое не имеет решения, а из второго
x = (√2 -1 +-√(2√2-1))/2
//
\\\
@user-xz1zw9jx6u
18 часов назад
Ответ:
x={sqrt2-1 +/_ sqrt(2sqrt2-1)}/2;
\\\
Ну, хоть кто-то правильные ответы написал. А то в видео до них так и не дошли 😂
Я решал ещё проще. Привёл к общему знаменателю, раскрыл скобки, выделил полный квадрат, получилось:
(x^2+x+1)^2 = 2*(x+1)^2
Поиском комплексных корней решил не заниматься, поэтому извлёк корень из обеих частей и получилось:
x^2-p*x-p = 0, где p = sqrt(2)-1
@@ArquitectoRэто и есть высшая математика? (Да я тупой)
Здравствуйте, объясните пожалуйста наглядно НОД и НОК со степенями ,лайкните чтобы заметили 👍
@romic6-364ты чего, нет конечно
@romic6-364нет. нок здесь 6
@romic6-364 нет, нужно еще разделить на общий делитель. Нок(3;6) = 6
@romic6-364нет. У 3 и 6 нок будет равен 6
Эталонный пример плохого преподавателя.
Просто образец того, как нельзя преподавать.
Почему?
Неплохое уравнение. Но можно было сразу привести слагаемые к общему знаменателю и получить такое же квадратное уравнение.
Для тех, кто спрашивает, какие корни, дорешайте его самостоятельно 😀
Не такое же. Там линейное и кубическое слагаемые будут с разными знаками
Ошибка в записи теоремы Виета: произведение корней равно -1, а не 1.
согл
Эта ошибка сделана намеренно, чтобы вы написали комментарий. :))
И тут я задумался. Почему, отучившись 5 лет на математическом факультете, я аж 20 лет спустя слышу понятие возвратное уравнение...
Наверное вы просто забыли этот тип уравнений после школы, т. к. их проходят в 10 классе (по крайней мере лично я помню что изучал эту тему в 10 классе)
Ответ то какой?
@@k1LKA99 нет. Математику я любил со школы, поэтому и поступил на математический. Но не было такого понятия
@@МаксимТимощук-п7ж все было. Просто смысла запоминать все подобные приемы нет. Ваш учитель мог и не говорить слово "возвратные", а просто дал метод решения. таких уравнений. Прием ведь не новый ;-)
Возвратное уравнение называют также симметрическим.
Это фантастика! Даже в древних учебниках по магии и алхимии говорится, что сия задача не разрешима!
Можно ещё попробовать методом неопределенных коэффициентов разложить многочлен 4-й степени на произведение двух многочленов 2-й степени.
Это тягомотно. Можно сразу сделать замену.
@@ОлегМехов-в6р Ну как вариант, если не получаются симметричные коэффициенты
там корни с радикалами, вряд ли получится
@@mkostya У квадратных 3-членов корни с радикалами - нормальное явление. При этом коэффициенты чаще всего целые. Но согласен, подбор целых коэффициентов может быть долгим, и не факт, что удастся их подобрать, так как сами коэффициенты могут оказаться в теории иррациональными.
Тогда уж в лоб, методом Феррари. По крайней мере от x**3 освободиться сначала, всяко проще будет коэффициенты искать.
Дед намудрил сегодня 😅
😂😂😂
Бывает
Сегодня?!!)))
Да уж ... .
Напереносил члены без изменения знаков и приравнял к нулю ... !
Говорил что приравнил одно переменной , а на самом деле вышло что другое и разное в разных случаях ... .
Надо деду сесть и пересмотреть самому что он натворил тут ... !
Да не то слово! Чуть мозг не лопнул .. ..в итоге предпочел сдаться!😢😢😢 после просмотра решения убедился что не зря😂😂😂
Всë проще. Я сделал две замены: сначала положил x=1/у. Тогда для у получаем уравнение
1/у^2+1/(у+1)^2=1, которое отличается от уравнения для х только знаком у второго слагаемого. Но это уравнение легко решается заменой у+1/2=z (то есть у=z-1/2, тогда у+1=z+1/2). При этом для z получаем биквадратное уравнение:
z^4 -(5/2)z^2 -7/16=0...
z=(+/-)(5/4+√2)^1/2=
(+/-)1,632241882
х1=0,883203505...
х2=-0,468989943...
Сделал первую замену и понял, что получил теорему Пифагора с 1 гипотенузой. До второй замены, к сожалению, не додумался, пришлось призвать всемогущую программу Вольфрама и смотреть step-by-step решение. Там немного муторней, но замена похожая. Еще пробовал в тригонометрию перевести, но там совсем грустно все было.
Числа не подходят, если подставить в уравнение
@@GARRY76101 решите сами биквадратное уравнение. 🤓
Что-то у меня биквадратного уравнения во второй замене не выходит. Там есть член 2z
@@FastStyxделайте выкладку внимательней. Подозреваю, в чëм Ваша ошибка: если провести замену z=x+1/2, то есть в исходном уравнении
1/х^2 - 1/(х+1) ^2 = 1,
то слагаемое линейное по z, действительно, останется.
Если же сначала написать уравнение для у=1/х, то есть уравнение
1/у^2 + 1/(у+1) ^2 = 1,
и уже в нем провести замену z=у+1/2, то для z получаем биквадратное
z^4 - (5/2) z^2 - 7/16 = 0 ... (слагаемые, пропорциональные z, взаимно уничтожаются).
Проверил, что z^2 = 5/4 + √2,
z = (+/-) (5/4 + √2)^(1/2) =
= (+/-) 1,632241882...
В общем, задачка пустяковая.
В интернете часто легкие задачки называют сложными. Пример - задача Лэнгли. Она имеет простое решение не только для углов А1=20°, А2=60°, В1=50° и В2=30°, но и для произвольных углов (даже когда
А1+А2 не равно В1+В2 и не равно 80°). Надо лишь три раза записать теорему синусов (для трёх ∆-ков). Выкладка - на полстранички. Но задачу Лэнгли называют самой сложной головоломкой! А эту задачку - задачей года. Похоже на полную деградацию.
Только что исходную задачу нашел у П.С. Моденова в Сборнике задач по специальному курсу элементарной математики (1957, стр. 70, N5 (*)). Но там - масса задач круче.
Решение у П.С. на стр.422 не такое, как у меня. Ответ тоже не похож на мой, но совпадает численно. А еще у П.С. приведены комплексные решения! Вот какие задачи решали в наше время. Это вам не ЕГЭ.
1:29 - вот это да, событие! Собрались люди в актовом зале, активно и шумно корпят над уравнением (представил).
И это так!!
x/=0, x/=-1 и функция пересекается с горизонтальной линией y=1 дважды. Получаем уравнение в четвертой степени. Классический способ решения уравнений четвертой степени не имеющих рациональных корней с применением метода Феррари. Немного корявой алгебры и решениес двумя корнями. Можно тригонометрической подстановкой попытаться в случае иррациональных корней в многочленах.
Уравнение легко приводится к виду: (x^2+x-2)(x^2+x)=1.
Обозначив t=x^2+x, получаем квадратное уравнение t^2-2t-1=0, t=1+-√2.
x=(-1+-√(5+4√2))/2.
Красивое свойство корней:
( x-1) x (x+1) (x+2) = 1.
Когда то оно было на городской школьной олимпиаде. примерно 1997-98 год. Одно не помню, есть ли оно в Сканавии. Но, как потом оказалось, задание было с ошибкой, и его не признали за правильный ответ, хотя я его решил. Странное ощущение, как будто бы оказался за партой 25 лет назад. Год был морозный и снежный. В тот день -45 было, а мы идем на городскую олимпиаду через весь город, актированные дни это для детей а не для нас :)
Стесняюсь спросить, олимпиада в Кембридже?
@@Пытливый-ф4я :):):). Нет, Ханты-Мансийский Автономный Округ :).
@@Пытливый-ф4я Учитель, который переписывал задание с бумажки на доску, совершил ошибку в уравнении, и ответ не признали. Вот так бывает. Тогда никто не задумывался об какой то уникальности этого уравнения.
@@СанСанычЕп
А с Ириной Геннадьевной знакомы?
Какую подстановку вы применяли в -45, какое решение было и ответ, в чём была ошибка в вашем задании и в чём, по-вашему, ошибка гр. Земскова?
@@СанСанычЕп
Так и не понял какое вы уравнение решили, ЭТО или другое, с ошибкой?
Ну да пёс с ним с этим "уникальным". Вот как вы, стесняюсь спросить, решали в своё время такие примеры:
2а:2а=?;
(8-2)(8-2)(8-7):(8-7)(8-6)(8-5)=?;
Да-а, к Ирине Геннадьевне надо направлять лектора…пусть хоть на старости лет научится излагать свои мысли … Извините.
25 лет назад в Хантах, 2 года назад у Волкова, год тому журналисты VK, потом Ирина Геннадьевна и, наконец, гр-н Земсков П.А. И ВСЕ как-то неуклюже "умножают на
(х+1)^2";
Меня мучают смутные сомнения, почему не на (х+1)?
60 лет назад в 5классе легко умножали на (х+1).
Кстати, 60 лет тому
12а:2а=6;
36:3(8-6)=6;
И даже 2+2*2=6 не по "правилу", а по СМЫСЛУ!
2+2*2=2*1+2*2=2(1+2)=6;
Разве это не стандартное возвратное уравнение?
По разности квадратов, 1/(x(x+1))*(2x+1)/(x(x+1)) = 1 => x^4 - 2x^3 - x^2 +2x + 1 = 0. Делим на x^2, откуда (x^2 + 1/x^2) - 2(x - 1/x) - 1 = 0. Замена t = x - 1/x дает уравнение t^2 - 2 - 2t - 1 = 0 или t^2 - 2t - 3 = 0.
@@leonpelengator3754 Вы правы, точно.
Тогда даже проще, если сделать замену t = x + 1, то исходное перепишется как
1/(t - 1)^2 - 1/t^2 = 1,
откуда
t/(t - 1)^2 = t + 1/t
или
1/(t + 1/t - 2) = t + 1/t
Корни есть и они действительные: ~ - 0,46899 и ~ 0,883204. Других не должно быть, т.к. функция правой части при х -> к бесконечности, стремится к нулю.
Ты хоть проверял? Не подходит первый же корень.
Я проверял - корни правильные!!!
@@user8q45dl3s указанные корни верные.
Формулировка странная. Любое уравнение n-го порядка имеет ровно n корней. А так да, в данном случае, среди 4 корней есть 2 действительных.
@@ouTube20 Я чисто ради прикола скормил это уравнение Wolfram Alpha, корни получаются некрасивые, куча квадратных корней, да еще и корень из корня...
1/x^2 = 1 + 1/(x+1)^2
приводим правую часть
1/x^2 = (x^2 +2x +2)/(x+1)^2
раскладываем и дополняем до квадрата суммы правую часть
1/x^2 = (x/(x+1))^2+ 2/(x+1) + 1/x^2- 1/x^2
получаем
2/x^2 = (x/(x+1) + 1/x)^2
или
2 = (x^2/ (x+1) + 1)^2
+-√2= x^2/(x+1)+1
получим два квадратных уравнения
x^2 +(1+√2)(x+1) =0 и x^2 +(1-√2)(x+1) =0
первое не имеет решения, а из второго
x = (√2 -1 +-√(2√2-1))/2
А у меня Ютюб решение не пропускает.
Попробую разбавить словами.
/Умножить слева и справа на
(x+1)
тогда получится такое
(x+1)/x^2=1/(x+1) + (x+1)=
далее равно
=(x^2+2x+1+1)/(x+1)=
опять далее равно
=x^2/(x+1) + 2;
и обозначить
(х+1)/х^2 = y
тогда перепишем как
y=1/y+2;
снова перепишем
y^2-2y-1=0;
получаем корни
y=1 +/_ sqrt2;
В случае знака плюс
1) (x+1)/x^2 = 1+sqrt2;
домножим на сопряжённое
x^2-(sqrt2-1)x-(sqrt2-1)=0;
решаем в лоб по формуле
x=(sqrt2-1)/2 +/_
sqrt((2-2sqrt2+1)/4+sqrt2-1)=
преобразуем рутину
=(sqrt2-1)/2+/_sqrt(2sqrt2-1)/2;
Вот, собственно, и всё.
x={sqrt2-1 +/_ sqrt(2sqrt2-1)}/2;
В случае знака минус
2) (x+1)/x^2 = 1-sqrt2;
те же яица - вид сбоку.
x^2+(sqrt2+1)x+(sqrt2+1)=0;
Под корнем меньше нуля, комплексные корни.
(-2sqrt2-1)
Замена с корнем только всё усложняет. Достаточно просто и честно домножить обе части на произведение знаменателей и раскрыть скобки. Получится возвратное ур-е 4-й степени, для которого замена вполне стандартная, если знать идею.
Так и есть. только перед этим нужно сделать замену x = t + 1. Получим классическое возвратное уравнение.
t^4 - 2t^3 + t^2 - 2t + 1=0
делим на t^2: (t^2 + 1/t^2) - 2(t + 1/t) + 1 = 0
y^2 -2y - 1=0
y = 1 +- sqr(2) = t + 1/t
Теорему Виета записали неправильно. Корни уравнения не нашли. Получается, что видео это лишь реклама крутой доски.👎
а чё за фирма?
буржуйская конечно. А вы думали "Ростех-распил" такое сконстролил?
Да и не говорите. Все опять разворовали.
А если серьезно, то вам показали способ решения. Дальше - неинтересно, так как сводится к решению квадратных уравнений.
Кмк, можно было прийти чуть быстрее к результирующему уравнению даже без подстановок, путем рассмотрения первых двух слагаемы как разность квадратов, и тогда к итоговому возвратному уравнению 4й степени приходим за 3-4 шага.
также делал
Умножаем обе части уравнения на x^2 * (x+1)^2
Получаем
(1) (x+1)^2 - x^2 = x^2 * (x+1)^2
или
(x+1)^2 = x^2 * (x+1)^2 + x^2
Очевидно, что при |x| > 1
x^2 * (x+1)^2 > (x+1)^2
Т.е. исходное уравнение корней не имеет
Это приводит нас к замене
x = cos(a)
Тогда (1) примет вид
[cos(a)]^2 = [cos(a) + 1]^2 * (1 - [cos(a)]^2]
или
[cos(a)]^2 = [cos(a) + 1]^2 * [sin(a)]^2]
или
cos(a) = (cos(a) + 1)* sin(a)
или
(2) cos(a) - sin(a) = cos(a) * sin(a)
Возведем обе части (2) в квадрат и воспользуемся равенством [cos(a)]^2 + [sin(a)]^2 = 1
Получим
1 - 2 * [cos(a)] * [sin(a)] = [cos(a)]^2] * [sin(a)]^2]
Обозначим
t = cos(a) * sin(a)
Тогда (2) сведется к квадратному уравнению
1 - 2t = t^2
или
t^2 + 2t - 1 = 0 => (t + 1)^2 = 2
Откуда
t = -1 ± √2
Поскольку |t| = |cos(a) * sin(a)|
Когда в тригонометрическом уравнении избавились от квадратов, Вы потеряли второй случай с противоположным знаком.
@@ЕленаЛиненко-к7у Это не так, поскольку (3) получено возведением в квадрат, где знаки роли не играют.
Нельзя забывать определять область допустимых значений при заменах, используя √ t вместо (x+1) просто отсекли отрицательные значения
Почему нельзя решить графически? 2 гиперболы в квадрате - одна сдвинута по оси у на 1 вниз, другая на 1 влево дают 2 точки пресечения на интервале (-1;1). Уже становится понятно, что корней всего 2 и явно не целые.
Если а квадрат минус б квадрат равно единице ,то а равно у, а б единица, деленная на у.
На 13:50 откуда у единицы взялся минус? она была в правой части уравнения с минусом, значит при переносе знак меняется?
-1 было в левой части уравнения
@@Александра-э3ч8ф то есть в левую часть уравнения добавили и 1 и -1?
@@SuperFomich да, совершенно верно
Красивая замена получается почти сразу, если начать сводить уравнение к системе: u = 1/x; v = 1/(x + 1). Тогда первое уравнение перепишется как u^2 + v^2 = 1, а вторым будет 1/v - 1/u = 1 или u - v = uv. Возводя второе уравнение в квадрат и подставляя первое, получим квадратное уравнение относительно uv: 1 - 2uv = (uv)^2. Дальнейшее очевидно.
Капец! Ты гений!👍Красава! Как я до такого не догадался!?😅
Как ты эти 2 уравнения получил?
@@Daniil_Chu Первое получается непосредственно, потому что исходное уравнение есть сумма квадратов u и v. Второе получается из того, что x = 1/u и x + 1 = 1/v = 1/u + 1.
@@АлександрЛуковенков-ф7сВ первом уравнении по условию ведь РАЗНОСТЬ квадратов, а следовательно в дальнейшем ЕДИНИЦА вместо СУММЫ квадратов не подставляется...
@@ЧёрныйЛиманразве?
😊Подождите. А графическим методом?
Добрый вечер(или день) да,на вид несложно, а начнешь решать и не тут то было.наверняка и способов решения немало. Имею ввиду школьных способов.
В результате замены х на t получили то же уравнение четвертой степени. И смысл?
В конце при переноси с права минус 1 налево не поменял знак!!! Следовательно неверно решение
Методом Феррари: [x^4+2*x^3+x^2-2*x-1]=[x^2+x*(1-sqrt(2))+1-sqrt(2)]*[x^2+x*(1+sqrt(2))+1+sqrt(2)]. Первый квадратный трехчлен дает два действительных корня, второй - два мнимых.
Где ответ?
Ты в церкви просишь?
С корнями сложно, проще, если сразу привести к общему знаменателю:
1/x^2 - 1/(x+1)^2 = 1, сразу определимся, что х не равен 0 и -1
(x+1)^2 - x^2 = x^2*(x + 1)^2
x^2 + 2x + 1 - x^2 = x^4 + 2x^3 + x^2
2x + 1 = x^4 + 2x^3 + x^2
перенесем все в одну сторону:
x^4 + 2x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0
Дальше используем метод феррари: представим многочлен 4-й степени, как разность 2 квадратных трехчленов:
(x^2 + x + k)^2 = x^4 + x^2 + k^2 + 2x^3 + 2kx^2 + 2kx, где к - некоторое число не равное 0.
Видно, что что в вышеприведенном многочлене от нужного нам равнения есть x^4, 2x^3 и x^2. Тогда, чтобы ничего не изменилось, вычтем все ненужное:
x^4 + 2x^3 + x^2 - 2x - 1 = (x^2 + x + k)^2 - 2kx^2 - 2x - 2kx - 1 - k^2 = 0
(x^2 + x + k)^2 - 2kx^2 - (2 + 2k)x - (1 - k^2) = 0
(x^2 + x + k)^2 - (2kx^2 + (2 + 2k)x + (1 - k^2)) = 0
выделим во втором квадратном трехчлене полный квадрат, для этого сперва вынесем 2k за скобки:
(x^2 + x + k)^2 - 2k(x^2 + [(к + 1)/k]x + [(1 - k^2)/2k) = 0
Далее домножим и разделим множитель при х на 2, а затем прибавим и вычтем [( к + 1)/2k]^2
(x^2 + x + k)^2 - 2k(x^2 + 2[(к + 1)/2k]x + [( к + 1)/2k]^2 - [( к + 1)/2k]^2 + [(1 - k^2)/2k) = 0
Тогда первые 3 слагаемых дадут квадрат суммы, а последние 2 приведем к общему знаменателю:
(x^2 + x + k)^2 - 2k([x + (к + 1)/2]^2 - [(k+1)^2 - 2k(1 - k^2)]/4k^2) = 0
(x^2 + x + k)^2 - 2k([x + (к + 1)/2]^2 - [k^2 + 2k + 1 - 2k - 2k^3)]/4k^2) = 0
(x^2 + x + k)^2 - 2k([x + (к + 1)/2]^2 - [k^2 + 1 - 2k^3)]/4k^2) = 0
Теперь подберем такое k, чтобы выражение k^2 + 1 - 2k^3 было равно нулю, или решим уравнение 2k^3 - k^2 - 1 = 0. Один корень легко находится подбором: k = 1.
Убедимся, что других действительных корней нет: поделим 2k^3 - k^2 - 1 на K - 1, получим (k - 1)(2k^2 + k + 1). Дискриминант второго трехчлена меньше 0, значит берем k = 1
Тогда, подставляя k = 1, получаем:
(x^2 + x + 1)^2 - 2([x + 1]^2) = 0
Сворачиваем разность квадратов:
(x^2 + x + 1 - корень(2)(x + 1))(x^2 + x + 1 + корень(2)(x + 1)) = 0
(x^2 + x + 1 - корень(2)x - корень(2)))(x^2 + x + 1 + корень(2)x + корень(2))) = 0
(x^2 - (корень(2) - 1)x - (корень(2) -1))(x^2 + (корень(2) + 1)x + (корень(2) +1)) = 0
Посчитав дискриминанты, видим, что для 1 скобки дискриминант положителен, а для 2-й отрицателен, значит, решаем первое уравнение и получаем 2 корня:
x^2 - (корень(2) - 1)x - (корень(2) -1) = 0
x = [(корень(2) - 1) +- (корень(2*корень(2) - 1))]/2
На множестве где x не равно 0 и -1 оно равносильно x^4+2*x^3+x^2-2x-1=(x^2+px+p)*(x^2+qx+q)=0, откуда для p и q имеем систему: pq=-1, p+q=2, решение которой p=1-sqrt(2), q=1+sqrt(2). Одно уравнение имеет два действительных корня, другое имеет два комплексно сопряженных корня.
Объясните почему на 09:35 вы говорите что это уравнение 4-й степени? Потому что t = 1/(x + 1)^2, я правильно понимаю?
Симметрическое уравнение четвертой степени, которое сдвинули на 1 и оно стало нерешаемым.
Самый верный способ - свести уравнение к основному тождеству (умножением на x^2).
Получится (скобки для дробей ставить не буду) 1=x^2+(x/x+1)^2, sina=x, cosa=x/x+1=sin/sin+1, такая система легко решается x^2/x+1=sinacosa=\sqrt2-1 - квадратное уравнение.
С известным ответом, несложно придумать короткое решение: добавьте к обоим частям уравнения 1/x^2+1/(x+1)^2 и извлеките корень из полных квадратов.
Такс
Первое представляем как разность квадратов, приводим к общему знаменателю и все взаимовычитания вычеркиваем. Получается
(2x+1)/(x^2*(x+1)^2)=1
Умножаем обе части на квадрат икса и раскрываем скобки в знаменателе левой части
(2x+1)/(x^2+2x+1)=x^2
(x^2+2x+1-x^2)/(x^2+2x+1)=x^2
1-x^2/(x^2+2x+1)=x^2
-1= x^2+2x+1-(1/x^2)
x^2+2x+2-1/x^2=0
6:21 игрек не может быть отрицательным, т.к. модуль допустимых значений икса меньше единицы
можно было х + 1/2 заменить на что-то, а потом решать через приведение к общему знаменателю. Разность квадратов хорошо бы вышла
Стесняюсь спросить, а мы "разность квадратов" каких-то вычисляем или значение Х?
Сами-то вы ответ получили? Или как учитель, бла-бла-бла?
7:45
Очень долго думал после слов "и посмотрим чему это равно". Такие места подробнее надо. Ну или я не неправильно понял какое действие он там сделал
А у меня Ютюб решение не пропускает.
Попробую разбавить словами.
//Умножить слева и справа на
(x+1)
тогда получится такое
(x+1)/x^2=1/(x+1) + (x+1)=
далее равно
=(x^2+2x+1+1)/(x+1)=
опять далее равно
=x^2/(x+1) + 2;
и обозначить
(х+1)/х^2 = y
тогда перепишем как
y=1/y+2;
снова перепишем
y^2-2y-1=0;
получаем корни
y=1 +/_ sqrt2;
В случае знака плюс
1) (x+1)/x^2 = 1+sqrt2;
домножим на сопряжённое
x^2-(sqrt2-1)x-(sqrt2-1)=0;
решаем в лоб по формуле
x=(sqrt2-1)/2 +/_
sqrt((2-2sqrt2+1)/4+sqrt2-1)=
преобразуем рутину
=(sqrt2-1)/2+/_sqrt(2sqrt2-1)/2;
Вот, собственно, и всё.
x={sqrt2-1 +/_ sqrt(2sqrt2-1)}/2;
В случае знака минус
2) (x+1)/x^2 = 1-sqrt2;
те же яица - вид сбоку.
x^2+(sqrt2+1)x+(sqrt2+1)=0;
Под корнем меньше нуля, комплексные корни.
(-2sqrt2-1)
1/(х+1)^2 это (1/(х+1))^2 . Перенос единицы и расписание разницы в квадрате..и дальше дело техники (с заменой на t)
Тут стоит заметить a^2 - b^2 = (a-b)(a+b), после чего уравнение сводится к x^2 - x - 1 = 0
Согласен 🎉
сводится к 2х + 1 = (x * (x + 1))^2
Объясните, пожалуйста) Я пыталась по этой формуле разложить, но получился многочлен четвёртой степени.
@@tatiana8691 да не, в моей формуле ошибка. Сводится к 2х + 1 = (x * (x + 1))^2
у меня все свелось к x² + 2x + 1 = 0, тут x = -1, а такого корня быть не может по условию, т.к 1/(x+1)² при x = -1 получается 1/0
Взяло пару дней, но решил сам, с тремя заменами. Сейчас буду смотреть видео и сравнивать.
Почему на 5:02 произведение корней равно 1, а не -1? Там -1 в уравнении.
учителю можно ошибаться, а вот ученикам нет, тоже сразу бросилось в глаза
Там в теореме виете вы написали что y1 x y2 = 1, а должно быть минус АДЫН
Надеюсь я не нарушу фундаментальные математические правила и не опозорюсь!!!) Имеет ли право на жизнь следующая идея решения выше указанного уравнения ? Левая часть уравнения - разность квадратов. Раскладываем и получаем произведение двух дробей, которое равно единице. 1/(х*(х+1)) * (2х+1)/(х*(х+1)) = 1; Произведение двух дробей равно единице в том случае, если они обратные, то есть числитель первой дроби будет равен знаменателю второй, а знаменатель первой - числителю второй. В итоге получаем два простых уравнения: х*(х+1) = 1 и 2х+1 = х*(х+1). Не судите строго! Школу закончил 15 лет назад!
ВУЗ закончил более 30 лет назад, сразу вижу, что разность квадратов равна 1. С Вами согласен полностью. Считаю, что Ваше решение самое рациональное и лёгкое. А все другие решения нерациональные. Вот и всё. 👍🤝
если ab=cd, то это не значит, что a=c, b=d. Почему, например, не x(x+1)=1/2, 2x+1=2x(x+1) ? Перемножая, получим то же самое уравнение 2x+1=x^2(x+1)^2.
Даже если вы не поняли того, что я написал выше(раз уж школу вы закончили 15 лет назад), то просто заметьте, что из того, что x(x+1)=1 и 2x+1=x(x+1) следует, что 2x+1=1, т.е. x=0 - а такого быть вообще не может, .т.к в исходном уравнении x стоит в знаменателе.
@@АрктическийЗаяц-л9ы
Вот тем самым наглядно доказали, что уравнение не имеет решения.
Я наглядно доказал, что автор комментария не умеет решать такие уравнения и не помнит простейших логических связок. А уравнение, очевидно, корни имеет. Они указаны в видео.@@Sergey_Moskvichev
Задачка лёгкая!
А вот если бы заменить (-) на (+), тогда решите?
Даже если Ирину Геннадьевну привлечь?
1/х^2 + 1/(х-1)^2 = 1;
Ну, или хотя бы ответ напишите.
можно привлечь правление тсж
Что-то после 10 минут решения дядька приуныл. Думаю, если я попрошу его озвучить физический смысл этого уравнения и привести пример из реальной жизни, он станет ещё грустнее... За то мы получили нахрен не нужное иррациональное решение!
математика - наука абстрактная, впрочем как и понятие числа.
Решение в 2 строчки:
(1/x)^2 - (1/(x+1))^2 - разложить как разность квадратов. Получим (2х+1)/(х(х+1))=1
Значит 2х+1 = х(х+1) - квадратное уравнение.
Взялся решить его, влез в дебри со степенями, пытался ввести замены. Не вышло. А, думаю , дай до конца досмотрю. А тут тоже самое. Только у меня мозгов не хватило. 30 лет как тезникум закончил. Короче, не простое это уравнение для простого ученика.
Во второй строке справа допустили грубую ошибку при решении. Там квадрат суммы! А решение в третьей строке записали как квадрат разности.
Не стал смотреть все коменты, но на 5-й минуте косяк - навиетничал Дед с произведениями корней - как можно откорректировать?
Навіщо було множити на (x+1)^2, вгадувати з відніманням 2(х+1) від обох частин, щоб потім ділити на х+1 ? Досить було зразу помножити лише на х+1, залишити після цього перший доданок без змін, а два інші звести до спільного знаменника і почленним діленням розбити на два доданки, які отримані автором у відео. Погодьтесь, що так набагато простіше отримати той же ефект, який отримали ви.
А у меня Ютюб решение не пропускает.
Попробую разбавить словами.
//Умножить слева и справа на
(x+1)
тогда получится такое
(x+1)/x^2=1/(x+1) + (x+1)=
далее равно
=(x^2+2x+1+1)/(x+1)=
опять далее равно
=x^2/(x+1) + 2;
и обозначить
(х+1)/х^2 = y
тогда перепишем как
y=1/y+2;
снова перепишем
y^2-2y-1=0;
получаем корни
y=1 +/_ sqrt2;
В случае знака плюс
1) (x+1)/x^2 = 1+sqrt2;
домножим на сопряжённое
x^2-(sqrt2-1)x-(sqrt2-1)=0;
решаем в лоб по формуле
x=(sqrt2-1)/2 +/_
sqrt((2-2sqrt2+1)/4+sqrt2-1)=
преобразуем рутину
=(sqrt2-1)/2+/_sqrt(2sqrt2-1)/2;
Вот, собственно, и всё.
x={sqrt2-1 +/_ sqrt(2sqrt2-1)}/2;
В случае знака минус
2) (x+1)/x^2 = 1-sqrt2;
те же яица - вид сбоку.
x^2+(sqrt2+1)x+(sqrt2+1)=0;
Под корнем меньше нуля, комплексные корни.
(-2sqrt2-1)
\\
25 лет назад в Хантах, 2 года назад у Волкова, год тому журналисты VK, потом Ирина Геннадьевна и, наконец, гр-н Земсков П.А. И ВСЕ как-то неуклюже "умножают на
(х+1)^2";
Меня мучают смутные сомнения, почему не на (х+1)?
60 лет назад в 5классе легко умножали на (х+1).
Кстати, 60 лет тому
12а:2а=6;
36:3(8-6)=6;
И даже 2+2*2=6 не по "правилу", а по СМЫСЛУ!
2+2*2=2*1+2*2=2(1+2)=6;
\\
Ошибка по времени 09:05. Правая половина должна быть 1-2√t + t*t
Задачка лёгкая!
А вот если бы заменить (х+1) на (х-1), тогда решите?
Даже если Ирину Геннадьевну привлечь?
1/х^2 - 1/(х-1)^2 =1;
Ну, или хотя бы ответ напишите.
можно привлечь хабибуллину, это весомо
Чувак, я тебя обожаю. С какой ты нахрен планеты? У вас там квантовую механику в начальной школе проходят?
Ребята принесли Вам уравнение, которое Волков разбирал еще два года назад. Буквально в три строчки он перешел к квадратному уравнению.
Рекомендую всем посмотреть. Вы сегодня "не в ударе". Лучше всего
перезаписать ролик. Слишком много погрешностей. Начиная с 6.48 вообще ни о чем. Для чего это было?
Придуманная Ириной Геннадиевной замена взята прямо с канала Волкова.
ссылку с студию!
@@AlexanderUSSR1922ссылки удаляются, сами найдете, ролик называется
"Супер жесть с красивым ответом".
Нормально всё! Не ошибается только тот, кто ничего не делает! Дядька красава, как в театре побывал. Ему бы во МХАТе играть.
Можно было заменить x^2 = t и решить относительно t, просто у меня ощущение, что возможно решение неправильно
Не понял, куда знаки потеряли, при переносе всего в одну сторону
А разве в 7:27 не должно быть x+1= +-1/√t ?
Приведу аналогию
6 + 2 = 8
6 = 8 - 2
Далее, вторая анология
x + 1 = 3
x = 3 - 1
и наконец
x + 1 = 1/sqrt(t)
x = 1/sqrt(t) -1
Мне такой метод напоминает поиск черной кошки в черной комнате, где свет выключен. Почему? да потому, что какое то хаотичное решение.
КУча вопросов. Почему сделана такая замена, а не другая? Почему для замены выбрана дробь? Если это можно вытащить из старых знаний, то где ссылка на предыдущие знания
Делая замену, не показаны перспективы движения, не сказана идея преобразований, куда движемся, что мы заметить должны и к чему это приедет...
Просто сказано: а давайте заменим вот так.... Вот и получилось метание, авось придем к решению. Не люблю я так. Мне сразу хочется видеть почему и что это даст, а уж потом и к общему знаменателю и прочее.
Nice to meet you!❤❤❤
Mutually glad! By the way, I was in China in September, in Heihe
Где-то в середине потерялся. С наскока не понял) Надо вдумчиво посидеть.
моя лень конечно не позволит прямо сейчас взять и решить это, но ведь выглядит как будто можно спокойно привести к общему знаменателю и воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, проблем быть не должно
Сначала умножаете на (х+1)^2, потом на (х+1) делите. Умножайте сразу на (х+1), все получится в одно действие.
Можно сделать замену x+1/2=y
Мне кажется, будет проще
X=y-1/2
X+1=y-1/2
В школе я так решала
Я понимаю, что ответ длинный, но для приличия нужно было дорешать до конца)
Не. Дорешивать дурной тон.
решать нечего, решения нет
\
@user-lw4ww3to5k
1 день назад
@user-ht7rd7py1m
Понимаете, как-то очень странно, что вы умножаете на (х+1)^2 ???
Ведь ОЧЕВИДНО же (!!!), что надо умножать на (х+1).
y=(x+1)/x^2;
y-1/y-2=0;
y=1+-sqrt2;
Так и проще и прозрачней.
Видимо, за Уралом суровые люди и не ищут лёгких путей.
\
//
@vladsparrowik5203
1 день назад
получим два квадратных уравнения
x^2 +(1+√2)(x+1) =0 и x^2 +(1-√2)(x+1) =0
первое не имеет решения, а из второго
x = (√2 -1 +-√(2√2-1))/2
//
\\\
@user-xz1zw9jx6u
18 часов назад
Ответ:
x={sqrt2-1 +/_ sqrt(2sqrt2-1)}/2;
\\\
Почти все поняла,только не понятно,как 2√t/t=2/√t ??
Я решал отталкиваясь от замены 1/x = a, 1/(x+1) = b, следовательно добавим a*b и отнимаем a*b то есть школьная формула: a^2 - b^2 = (a-b)(a+b). После меняем назад:(1/x - 1/(x+1))(1/x + 1/(x+1))=1 => (x +1 -x)(x+1+x) = x(x+1) => 2x+1 = x^2 +x => x^2 -x -1 = 0.
Знаменатели x² и (x+1)².
Поэтому справа после умножения на произведение знаменателей будет
x²(x+1)²,
но не x(x+1).
Ужс.
@@Alexander_Goosev Просто кошмар.
@@НаполовинуПолон-м2ю Ютубовский математический horror. 😀
Браво! ❤
Так а какой корень или корни у уравнения то?
вот это я тоже не понял.
\
@user-lw4ww3to5k
1 день назад
@user-ht7rd7py1m
Понимаете, как-то очень странно, что вы умножаете на (х+1)^2 ???
Ведь ОЧЕВИДНО же (!!!), что надо умножать на (х+1).
y=(x+1)/x^2;
y-1/y-2=0;
y=1+-sqrt2;
Так и проще и прозрачней.
Видимо, за Уралом суровые люди и не ищут лёгких путей.
\
//
@vladsparrowik5203
1 день назад
получим два квадратных уравнения
x^2 +(1+√2)(x+1) =0 и x^2 +(1-√2)(x+1) =0
первое не имеет решения, а из второго
x = (√2 -1 +-√(2√2-1))/2
//
\\\
@user-xz1zw9jx6u
18 часов назад
Ответ:
x={sqrt2-1 +/_ sqrt(2sqrt2-1)}/2;
\\\
простите, вы несколько ошибок совершили в решении... не знаю, сказал уже об этом кто, или нет
А в чем проблема раскрыть (х+1)² по формуле,получить
х²+2х+1
1/х² и -1/х² сокращаются
И остаётся -1/2х+1=1
-1/2х-1=1
-1/2х=2
2х=-0,5
х=-0,25
1/2х : 1/3х = 1/6х^2 ?
Первое что надо сделать это увидеть разность квадратов ! Распишите ее
а обязательно делать замену, чтобы получить уравнение 4 степени? нельзя сделать просто как с домножением, типа
t²+...=0 | ²
t⁴+...=0²
А зачем такое уравнение возвратное надо делением решать ? Я кнш понимаю что этот способ подходит, но тут группировка была хорошая из трёх первых одночленов вынес бы за скобку t и получается уравнение (t+1) (t-2√t+1)=0
Я неБог - поэтому могу и ошыбку допустить, но я хотел бы - узнать! Что ответилиб вы - когда к вам поступалиб учится и такое уровнение решылиб так: свелиб до знаменателя одного, а после - решыли при помощи системы!? Получилось бы так (х+1)^2-х^2=1 и х^2×(х+1)^2=1 ; первую систему решаем а на второй проверяем! х^2+2х+1-х^2=1; 2х+1=1 ; 2х=0 х=0 ; проверяем по второй формуле 0 ×(0+1)^2=0 должно получиться 1; эта функцыя сложыно неверно так как ответ несошолся! ( покрайни-мере я когда-то так считал и у меня правельный ответ получался!) Можно сложить какую нибуть функцыю и посчитать!
Пример: 1/х^2-1/(х-1)^2=-5/36; (х-1)^2-х^2=-5; х^(х-1)^2=-36
А если левая часть это разность квадратов? Тогда и замен не потребуется. Или что-то упустил???
А дальше что? Она ж не 0 равна, а 1.
Поэтому чисто от того, что это разность квадратов толку мало. Всё равно дальше решать надо.
Решил это уравнение, отдохнул после диффуров и теормеха
Как-то Вы все усложнили...Гораздо проще увидеть разность квадратов в левой части уравнения. Проведя соответствующие преобразования и учитывая ОДЗ переменной (х не равно 0 и х не равно -1), приходим к уравнению 2х+1=х(х+1). Решая полученное квадратное уравнение, получаем х1=(1+√5)/2 и х2=(1-√5)/2. Выполнив проверку полученных корней, остается один корень: х=(1-√5)/2. Поправьте, если в чем-то ошибаюсь.
в том что вы потеряли x(x+1) -
должно получиться 2x + 1 = [x(x + 1)]^2 -
вы вправо перенесли только один знаменатель, а их там два
@@ИванИванович-л4з Точно, Иван Иванович, был неправ. 😕
Не пойму зачем искать икс если все что слево изначально равно 1
Мое решение красивее, хоть и три замены. Тоже через биквадратное но не возвратное.
Корни это двойка деленная на минус единицу плюс минус корень квадратный из пяти плюс четырех квадратных корней из двух
2/ (-1 +-sqrt(5+4*sqrt(2)))
Если кому интересно- могу выложить
На пятой минуте в теореме Виета ошибка: сумма корней с противоположным знаком, а произведение должно быть с исходным знаком.
А то, что 1 = sin²x + cos²x, а дальше - переход в e, и может быть в логарифмы, и даже, может быть, в комплексную плоскость - не?
А если попробовать методом обратного секанса?..
Дед, когда задачи задаёшь - оговаривай условия. В смысле с какими числами можем мы оперировать. Натуральными, иррацинолальными, положительными или отрицательными, ну или вообще комплексными(но в школах это рано, но дед должен знать это).
тут и так понятно, что либо действительные либо комплексные. Ход решения от этого не зависит.
А так, то что в целых числах решений нет видно почти сразу.
@@dmitry5319 Чел просто постебался (он так думает). На самом деле, ему глубоко насрать.
Школу закончила 20 лет назад. Ничегошеньки не помню уже. Нынешние школьники умнее меня сегодняшней😂
В школьной программе нет таких уравнений, и лет 20 назад не было.
@@ВячеславПопов-р6м
т. пОпов, 20 лет назад у функций не было корней.
А такие задачки использовались для теста,
правильно ли у вас ударяют.
на 5:00 мин ошибка, проиведение корней равно -1, а не 1
Извините, поправлю Вас, писать нужно не 5.00, а 5:00 (разделять цифры двоеточием), тогда видео автоматически подгружается в данный момент времени, т.е. в 5 мин 00 сек и читателю комментария становится более понята Ваша мысль
@@ovinnickoffandrej Спасибо за поправку.
Постоянно смотрю ваши видео ) хотя вообще ничего не понимаю от слова совсем математику никогда не учил (гуманитарий лютый) но дядька классно рассказывает ))) лучшее о пицце 2по 30 или 1 на 45 !!!!
Блин, а можете приветствовать словами "привет, мои маленькие любители математики"? Типа отсылка на Тесака, думаю некоторые оценят :D