Розмір відео: 1280 X 720853 X 480640 X 360
Показувати елементи керування програвачем
Автоматичне відтворення
Автоповтор
問題文は『三角形ABCにおいて，∠B=60°,Bの対辺の長さbは整数，他の2辺の長さa,cはいずれも素数である。このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ。』 です！範囲の絞り方は色々あるとwakatteもらえたら嬉しいです
ヤメロオマエ
詩文な匂いがする
私は大学で金融工学を学んだのですが、この動画を見るとああ、同じ事やってるなと思う部分が度々あります結局全ての学問は通じ合う部分があるのですね
∠B=60°という情報が与えられているので、あとはa=cさえ示せれば「頂角60°の二等辺三角形なので正三角形」と言えそうですね
三角不等式使うのは分かったけど最後の絞り込みが無理だった対称性上手く利用できるようにしたい
サムネが一瞬高田ふーみん
綺麗にしすぎた高田ふーみん
私はひねくれてるので、素数は6で割った余りが±1になることを用いて6を法とした合同式で形を絞って、積の形に直して三角不等式で選択肢を絞ってという風にめちゃくちゃ面倒な方法で解いてみました()
これまでのパスラボ見てたからほぼ解けた。見てなかったら解けてなかった。パスラボの皆さんありがとう。
自己整理証明する時は完成系、つまり何をいえたら証明する時出来たことになるかを意識する式×式=整数範囲を絞るべし
a≠cとして背理法でもいけます‼余弦定理からb^2=a^2+c^2-ac=a(a-c)+c^2とします。(aとcはaを大きい方としてもaとcはウェイトが同じだから一般性を失わない)a-c≠0だとユークリッドから(途中省きます)gcd(a-c,c)=1なので右辺は括れない‼b^2だから右辺は積の形じゃないとおかしいから矛盾a=cとしたらb^2=c^2=a^2だからa>0b>0c>0よりa=b=cで正三角形
右辺が括れなくても、積の形にならならいわけでは無いと思います💦例えば、a＝7、c＝2だったら右辺＝39＝3×13 になりますし(間違ってたらすみません💦
@@光希中村-b5s ご指摘ありがとうございます。確かに間違っております。コメント欄に新しく背理法の証明をのせました。お目通しいただければ幸いです。
あいだまんさんの声いい声やわー！！
リサイタルズ好きだからちょっと嬉しい笑
この問題は本当に良問ですね。模試では出せないような完成度をほこりますね。
こちらのチャンネル、最近小学生で数学検定一級合格してた子もたぶんチャンネル登録してるんでしょうね。。。
わーできたーwパスラボ見続けてきて良かった😭
うわー三角不等式で範囲絞れなかった
私立文系と東大生の会話は見応えがあるね
本番の問題は正三角形であることを示せって書いてくれてるんだね。
何三角形？という問いだと正三角形を示さなくても正解になってしまいますからね極端な例だと「∠B=60°の三角形」でも正解になってしまう
教え方うまい^_^
カメラ位置が左にズレてるのか、ホワイトボードの右に空間がある一方、左は画面ギリギリまで書き込みがあり見にくい。また、画面いっぱい使っているため、indicatorなどと重なって見にくい時があります。こういう動画においては内容と同じくらい見やすさが重要です。
マイナス記号と掛け算記号の違いが分かりづらいです。はっきり書いた方が見やすいです！
12:06練っておいしいねるねるねーるね
わかりやすかったです！あいだまん可愛い
角度が60°って与えられてるからa=bだけ示せばいける気が
そうなんですか？説明してくださると嬉しいです。
@@ドーモン勉強用 もし、a=bだったらABCは角Aと角Bが等しい二等辺三角形になります。なので、角Bは60度となり、残りの角Cは180-(60+60)=60度となります。
ドーモン勉強用 私で申し訳ないけど、余弦定理c^2＝a^2+a^2-2a^2cos60° ＝a^2c>0 a>0で、c=aになるからかなって思いました。
@@かえで-c7i それ∠Cが60度ってまだ分かってなくない？
疲労感。 いや分かってますよ
さすが、歌のおにいさん
お兄さんのキャラいい
教え方上手すぎる…
図形、整数が融合した京大らしい良問ですね。
幾何が題材の問題は、幾何のまま進むのか、それとも座標や辺を文字として代数的に進むのか、大きく分ければ分かれますが、今回はどう見ても後者ですね笑しかしどの様に求めるべき状況を立式し、(同値)変形の末に求めるべきものを示せるかというのは、あり程度選択によりけりで、今回でいうところの角に注目するか辺に注目するかということですね。ここでは情報量の違いから多い方に寄せていくということで辺に合わせていくのでした。数学的には状況をきちんと同値に過不足なく表現できればよいので、余弦定理以外にも初等幾何の定理を使うなり、座標に落とし込んでガリガリいくなり、ベクトルを用いたり、複素平面の中で正三角形の成立条件:比がcos60°±isin60°(+の方だけで良いのは対称性を崩して一般性を失わないことに対応できる)として計算に帰着する、などアプローチは様々ですね。要は状況の立式さえ済めば後は全て等価です。三十年前(？)でしたか、この問題だけ見ると今の整数の方が幅も広がり難しくなっているかも知れませんね笑中でも京大一橋の問題のセンスは群を抜いてますから練習にはいいですよね。面白かったです、ありがとうございました
備忘録3周目 80V"【 a, c ∈素数 に注意して、 余弦定理より、b²＝ a²＋c²－a･c 】〖 Q(最強戦略) 素数の単項化 〗 ☆☆☆ b²＝ ( a－c )² ＋ a･c ⇔ a･c ＝ ( b －a＋c )( b ＋a－c ) 三角形の成立条件より、右辺の 二つの因数は正である。a と c の 対称性( 大小関係を付けよ )より、 a ≧ c として一般性を失わない。 このとき、 ( b －a＋c, b ＋a－c )＝ ( 1, a･c ), ( c, a )( ⅰ ) b－a＋c＝ 1, b＋a－c＝ a･c のとき、········ a＝c＝1 ( ∉素数 ) となって適さない。( ⅱ ) b－a＋c＝ c, b＋a－c＝ a のとき、 a＝b＝c 以上より、 正三角形である。■
【 素数 2, 3, 5, 7, 11, 13, ･･･ 】 2以上で、｢ 自分自身と 1｣以外に 約数をもたない自然数■
動画内の因数分解や範囲絞り込みが最適解ですが、力技でゴリ押しした場合の解法を見つけたのでご紹介まで。余弦定理よりb^2=a^2+c^2-ac…①。よって(b+a)(b-a)=c(c-a)だが、三角不等式よりb-a0と①よりa=b=c.(B)の時、ある自然数mを用いてl+1=mc, k+1=maと書ける。これを用いて②の式を変形すると、acm=a+b+c、よってm=(a+b+c)/acここで三角不等式より、2/a2(a+c)となり自然数mが存在しない。従って(a-2)(c-2)≦4を得る。これを満たすような(a,c)の組合せは(a,c)=(2,p),(3,3),(3,5),(5,3),(p,2) (pは素数)の5通り。(1)(a,c)=(2,p),(p,2)の時、①よりb^2=p^2-2p+4=(p-1)^2+3であるが、pが奇数のとき右辺は4で割った余りが3となり不適。従ってp=2, ゆえにb=2(2)(a,c)=(3,5),(5,3)の時、②よりb^2=19となるが、そのような整数bは存在しないため不適。(3)(a,c)=(3,3)の時は(A)に帰着される。以上よりa=b=c.
D Hasegawa 読むのやめた
よりシンプルな解法を思い付きました。①を因数分解したところから、a=cならばa=b=c.a=cでないならば、a>cの時のみ考えればよく、この時因数分解した式よりa>b>cを得る。さて、三角不等式よりb-cb+cなので、a=b+c.すると①を因数分解したうちの第二式はb-c=a-cとなりa=b. これを第一式に代入するとa-c=0、即ちa=cとなるため仮定に矛盾。したがってa=b=c.
毎日の習慣やわーーー
あいだまん尊いん☺️
bが整数である条件を使っていないですよね？ 確かにbが整数でなければ、a,cが異なる素数長でもいくらでもいろんなパターンの三角が作れてしまうので、正三角形に特定させるならbが整数である条件が必要なのでしょうけども。。。不思議な感じがします。
出来た！ってかこれまで出してた動画のまとめみたいな問題ですね
a=cの時、b+a-c=b+c-aとなるけど、この時a=b=cとなるのは当たり前だから場合分けしなくてもいいのかな?
私も全く同じことを考えました計算上は必要ないけど論述が無かったら減点されかねないような気もします…
角Bが60°なんだからa=c、b=c、a=bいずれか1つでも示せれば証明終了ですよ。また、a≧cはa＝cの場合を含みます。
a と c が対称っていうのは、問題文に a と c が素数としか書かれていないのと、三角形の辺の位置からですか？どうも、そういうところを自信をもって言いきれなくて。なぜ対称なのに気づけたのでしょうか？また、対称の場合は勝手に a ≧ c のようにしてしまっていいというのは対称式が出てきたら普通に使う技術なのでしょうか？対称式が出てきたら出来る事、他には何かありますか？対称式に関する知識量が少なすぎて、せっかく対称だってわかってもどうしていいのかわからないので、対称式だとわかった時に出来る事、全て教えていただけませんか？私は、整数問題も苦手意識は確かにありますが、それ以上に苦手意識が強くてまず解けないのは証明問題です。いわゆる、帰納法とかで簡単に証明できるような問題は難関国立大学ではまず出ないですよね。だから、何からはじめていいのかさえわかりません。ほぼ、白紙 0 点です。証明問題は、定型的にならないで、ありとあらゆる方向から問題を出される感覚です。整数問題の場合はこのチャンネル登録してる人ならもうあらかじめ問題を解く方向性みたいなものは見えると思うんです。ですが、証明問題の場合はなにからやればいいのかすらわからないです。問題文は 1 行くらいしかありませんし、それだけの情報でどう進めていけばいいのか、本当に毎回悩まされます。確か、 2004 年度の大阪大学理系前期日程数学は大問 5 問中、 4 問が証明問題でした。大問 1 は、なんとかかろうじて方向性はあっていました。ですがめちゃめちゃ難しかった記憶があります。そして大問 2 。これが白紙 0 点です。全く、何からどう進めていいのかさえわかりませんでした。ですので、パスラボ数学担当先生方、対称式が出てきた時に使える事全てと、この問題のように対称だって言いきれる目をつけるためにはどうしたらいいのかと、証明問題の考え方を教えてください。私は今年受験ではなく、来年かさらいねん受験するつもりでいますので、とことん勉強していくつもりです。パスラボは、そのための準備運動のような気分で見させていただいてました。ですが、もう準備運動は終わりで、そろそろ真剣に勉強始めたいと思っています。理系で、医学部志望なのですが、過去に 1 度、大学は卒業しています。そのときの学部は工学部。ですので、生物の勉強は高校生の頃から全くしていません。物理と化学だけ勉強してきました。そんな事もあるので受験できそうなら来年受験しますがおそらく来年じゃ間に合わないと思っています。生物だけではなくて、英単語もほとんど忘れてしまっています。1 年間、生物だけ勉強出来るなら来年受験しに行きますが、現在の私の実力で合格できるほど大学受験は甘くないのはわかっていますので、 2 年計画で脱サラして、もう 1 度、大学受験に臨みたいと思っています。大学卒業する頃には、浪人していた頃よりも学力は確実に落ちていました。そんな全ての自己分析も踏まえての 2 年計画です。3 浪以上は就職に響きますが、医学部で医師免許を取得して、そのままどこかの病院か、できれば大学で研究員になりたいと思っています。もう、大学受験を受けてから相当時間が経ってしまっていますが、それでも、パスラボの数学の日はなんとなく解答方法の方向性や、解答を聞いてわかりやすくてすごく勉強になった事などたくさんありました。2 浪して臨んだ大学受験の時と比べてしまったら天と地ほどの学力に差がありますが、それでも未だにパスラボの数学の問題、理解できてこれたとは思います。ただ、知らなかった事。今回説明を求めております対称式が出てきた時に出来る事や、不完全な理解のままだった mod の使い方など、勉強になった事もたくさんあります。やっぱり、好きな科目の勉強は楽しいです。お忙しいとは思いますが、ご説明よろしくおねがいいたします。長々書いてしまいましたので、もう 1 度、質問部分だけ記入しておきます。1 つ目はこの問題で a と c が対称だとどうしてわかったのか。2 つ目は、対称式が出てきた時に使える技法、全て教えていただきたい事。3 つ目は、証明問題、特に問題文が 1 行くらいしかない、難関国立大学必須の証明問題に、どう立ちむかっていけばいいのか。この 3 つの質問にできたらお返事いただけませんでしょうか？ついでなのですが、すばるさんに質問したのですが、お返事をいただけなかったので、それも書いておきます。有理数と聞いたらまず頭に浮かぶのは、 p と q を互いに素な整数とすると、 p / q ( q ≠ 0 ) と置けるってことはさすがに覚えていたのですが、すばるさんはさらに、 p ≧ 0 という条件も入れていました。すばるさんがパスラボ最後の数学問題と言ってあげていた問題です。なぜ、その条件も必要なのかわかりませんでした。この動画を見て、おそらくその条件は対称だから入れられるって事だと思うのですが、問題文からだけでどうしてその条件を入れられたのかわかりませんでした。p ≧ q ならわかるんですけど。この質問にも、お答えしていただけませんでしょうか？よろしくおねがいいたします。失礼いたします。
条件を満たす三角形の一つとして正三角形があることって言われたらすぐに分かるけど自分では全然気付けないもんなんだな〜
これはすげーいいもんだい！
見てて気持ちよかったー
複素数平面や確率漸化式について詳しくやってほしいです
三平方を拡張したのが余弦定理という解釈でいいですかa*2=b*2+c*2-2bc0度
a^2=b^2+c^2-2bc cosAですね（文字とcosの区別が付きやすいよう空白を入れておきました）三平方の拡張って認識でいいと思います
良問ですなぁぁ
途中識間違ってますよーac-2a+2c=1の因数分解(a+2)(c-2)=-3ですよー
2乗引く2乗を作るのを忘れないようにしたいな三角不等式で二変数関数にするかと思って苦戦してたわ
これは何がだめでしょうか。解）図の条件はb^2=a^2+c^2-ac （i）(i)を変形して、(b+a)(b-a) = c^2 -ac (ii)(b+c)(b-c) = a^2 -ac (iii)(ii) - (iii) より(a+b)(b-a) + (b+c)(c-b) + (c+a)(a-c) = 0 (iv)(iv)の解はa=b=c以下、命題: b^2=a^2+c^2-ac => a≠b or b≠c or c≠a を否定する。a≠b≠cは(iv)に矛盾a≠bのみ成り立つ場合は、a=cと(i)を用いてa=bが示され矛盾（対称性よりc≠bの場合も同様）a≠cのみ成り立つ場合は、a=bと(i)を用いてa=cが示され矛盾よって三角形ABCは正三角形である。//あれ、素数条件は？
自分が解いたはずの問題なので興味深く見ました。こういうの大好きだったのでとても面白かったのですが、問題自体も当時どう解いたのかも全く覚えていませんでした；(初手余弦定理なのは今でもすぐ思いついたのでたぶん解けていたと思いたい・・・)ところで今証明のときに「不適」ってあんまり使わない表現なのですか？私はかなり使っていた記憶があります。
下の方の数式が見えないのと、ーと•の区別をしっかりつけてくれるとありがたい
点Aから直線BCに垂線を下ろし、交点をDと置くと、三角形ABDは30:60:90の直角三角形になる。BD=xと置くとAB=2x,AD=√3xである。ここでABは素数より、xは有理数である必要がある。次に、三角形ACDについて考える。角C=αと置く（0
sinα=√3/2とは限らないと思います。例えばsinα=√3/4とならない根拠がないので。。
D Hasegawa やはり根拠が弱いですよね、ありがとうございます
12:18のところ、(a-2)(c+2)じゃなくて(a+2)(c-2)じゃないですか？
多分その前のac-2a+2c=1が違いますね
爆散マルマイン懲役。 そこは合ってますよ
あいだまんさんの顔すき
acなのが嬉しそう
くぁないさん癒し
最初リサイタルズで笑う
6:26 このときって1,21は「どちらも整数じゃない」かな？
60度を見落としていて、直角三角形にならないことはわかったけど、それ以外はどうかな？と考えていて殆どが鋭角三角形だった。鈍角ないかな？と思ったけど、今のところ(2,2,3)しか思いつかない。これはもう少し考えて見ようかなと思う。まぁ60度を見落としたときの話なので、この問題とは関係ないけど……
気持ち良すぎだろ
別解見つけました！頂点A,Cの角度をA、Cとすると、A+C＝１２０度対称性より、A
でもこれだと各辺が整数であり、一つの角度が６０であれば必ず正三角形になる気がします
２ａｂCosA が整数であると迄は言えますが、２CosA が整数と迄は言えないかと思います。
場合分けの(ⅰ)って、(a+2)(c-2)=-3 にならないですか？
せやね
整数問題って言われてなかったら60度探しにいってたわ
京大整数問題渋いです。これは防衛医大一次あたりで出そうなタイプと思いました。
12:19の因数分解っぽい操作、プラスマイナス逆？今回は解に絡んできませんが^^;(-a+b+c)(a+b-c)=acのマイナスの可能性ですが、三角不等式が思いつかなくても実は排除できます。一旦a≧cと対称性を崩してしまえば、左辺の2数の内1つa+b-cは1以上と分かります(bが整数より)。あとは右辺がどう見ても正なのでもう片方も正でなければならなくなります。三角不等式思いつかんかったけどな。うん。
｢示す｣だから背理法でもいけますね
背理法でもいけますが、直角三角形と二等辺三角形と不等辺三角形の3つを同時背理しなければならないため大変かと思いますよ。
正弦定理よりasinC=csinAでa=cでないと仮定したらsinCがcの倍数でsinCが整数だと矛盾って感じでいけそうだけどな
筆算も計算、キツカッタ筆算も計算機使った
これはまじで神問
余弦定理を変形してb^2-a^2=c^2-ac ↓(b+a)(b-a)=c(c-a)cは素数かつc＞c-aよりb≠aのときb+a=cかつb-a=c-aだからa=0となり不適b=aのときc-a=0よりa=b=cとなる以上より三角形ABCは正三角形と解きました。
c-aが素数になるとは限らんくない？
@@もるち作曲してます 大小関係の必要条件で考えてるだけだからc-aの値が素数かは関係ないのでは？
整数好き
素数でなければ、8・7・5、8・7・3も1つの角が60度になりますね
整数しゅきしゅき〜^
この問題の条件で、ｃ＝２しかありませんか？
対称性のところなのですが、仮定としてa≧cの場合で解いてa=b=cを証明した後、｢対称性よりa≦cのときも同様のことがいえる｣みたいな内容を記述するべきではないのでしょうか？
高田ふーみんこんな所にいたんだ。最後まで解説ありがとう！！！
背理法で証明をしました‼(先に載せたものはご指摘いただいた通り間違っております💦)a≠cとする。a>cとしても一般性を失わない。(aとcのウェイトが同じだから)余弦定理よりb^2=a^2+c^2-acであるから(b+a)(b-a)=c(c-a)…①b^2=a(a-c)+c^2…②①において三角不等式(三角形の成立条件)よりc(c-a)=(b+a)(b-a)>c(b-a)c>0よりc-a>b-a ∴c>bここで②よりb^2=a(a-c)+c^2>c^2b>0, c>0よりb>cしかしb>cかつc>bであることはあり得ない。よって矛盾したがってa=cが必要b^2=a^2+a^2-a×a=a^2b>0, a>0よりb=a∴b=a=cよって△ABCが正三角形であることが十分したがってa=b=cであることが必要十分
(b+a)(b-a)>c(b-a)この不等式が成り立つのは b>a の時だけですよ。場合分けが足りていませんね。
高田ふーみんかと思った…
面白い
問題の明示がないままに突然解説に入って、正三角形であることを証明するんです！はすんなりと聞きにくいです。なぜこのような進行にしたのですか。果たしてくぁないさんが二等辺三角形とか言う流れは本当に必要だったのですか？「どうして正三角形を証明するのか分からない」というコメントが出るのもうなずけます。最初に茶番をやるくらいだったら、ちゃんと問題を明示してくださった方がありがたいです。
ちなみに問題文は概要欄に貼ってありますよ。
初めてこのチャンネルの動画を見た者ですが、凄くわかりやすく、自分でも解けそうだなと思いました（そう思い込んでるだけの可能性大ですが）ですが１つ質問です12:25のときにくくる式は（a+2）(c-2)ではないでしょうか？動画の式を展開するとac+2a-2c=1になってしまい、2aと2cの符号が逆転してしまうと思いますこの動画の本質がそこではないのは承知していますが、気になったのでコメントさせて頂きました（私の計算ミスだったらスルーして頂いて結構です）長文ですみませんが、お時間がありましたら読んでくださいあと、チャンネル登録しましたこれからも我々にご教示願います
その通りですね！細部まで動画を見てくれてありがとう！！
マイナスも含めて一通り調べ終わってから、三角形の成立条件に気付いたよ、トホホ…。
正弦定理使ったら一瞬じゃないですか？
６０度の直角三角形と三平方の定理を使ってa=cを示したんですけどこれは別解になりますか？
すみません動画見ながら考えたんですけど点AからBCに下ろした垂線の足をH、∠ACB=θとする。このとき・√3/2*c=b*sinθ=AH …①条件:∠ABC=60°より・a-c/2=b*cosθ …②①と②を両辺二乗して足すと3/4*c^2+(a-c/2)^2=b^2^sin^2θ+b^2*cos^2θa^2+c^2-ac=b^2以降は動画と同じこれでも証明できていますか？
a,b,cが全て自然数であるため、2乗の操作が同値変形なので大丈夫なはずです。が、そのことは一言言及すると安心というか、それを書かずにやると京大レベルでは印象悪いかなぁと思います。
場合わけ1個目の(a-2)(c+2)=－3って(a+2)(c-2)=－3じゃないんですか？
あっ、一応コメント遡ってたら一応他に指摘してるかたもおられるみたいですね。わざわざ僕が書く必要はなかったみたい……
家事えもん頑張って
サムネがwakatte高田に見えた
最後に対称性を崩さなくて良い理由ってなんですか？
三角不等式って、三角関数の不等式のことだと今まで思ってました。
AとCが対称な理由を教えて下さい。。
3角不等式とか5億年ぶりに見た
三角不等式知らんのはガチの私文かよ！
(;´∀｀)
草
三角不等式に関しては知ってるか知らないかじゃないでしょその場で気づける
三角形の問題で整数となると使ってって言ってるよね
(a+C)^2-3ac＝b^2で場合分けした
お世話になってま～す。まさに、このときの現役・・・当時は理系だけどね（笑）
素数かけ素数は残す
aとcが対照だから自分でa≧cが設定できる(対照じゃないなら不可)の意味がわからん(>
aとcの区別をなくせるっていう説明の方がわかりやすいかな？順列と組み合わせの違いみたいな
ga len 例えばa=3、c=2の場合があったとして、このときc=3、a=2でも同じ三角形を表しますよね。(入れ替え可能)なので一旦形式的に長さが大きい方がa、短い方がcと設定することができます。(その後もちろんaが常に大きいとは限らないのでa、cの入れ替えを考慮します)
aとcを入れ替えても式に影響を与えなければaとcは対称といいます。この動画の(b+a-c)(b+c-a)=acのaとcを入れ替えても式は変わりませんよね？ならば仮にですが、この式でa=1,c=2が成り立つなら、a=2,c=1も成り立ちますよね？(仮にです)それを求めるときの場合分けをする手間を省くために、自分で勝手にa≧cと置いたわけです。なので、場合分けをして求めた後は、a≧cという関係性はないものなので、省いた方も解答しないといけないです。長文失礼しました。
あいだまんにコメ見てほしいけど、まじ頭いいっていうか思考回路どうなっとるんやろ数学全然できん自分からしてみたら天才的に見えるまあ、東大やから、当たり前なんやろうけど、自分もこんだけ頭良かったらもっと良い就職で出来て美人で巨乳の子と付き合えるのに…なんていう、痛い妄想してます笑
わい｢60°ってことは正三角形！( ᐙ )｣
マイナス考え忘れて減点食らったぁ
なぜ正三角形を証明するの？？
そういう問題です
やり方違ったけど解けました
私文笑って感じる発言が随所に見られるねまぁネタかもしれんけど笑
サムネだけ見て二等辺三角形と直角三角形でない事を示して解いた｡
不等辺三角形の背理は?
1は素数ではないです
問題文は
『三角形ABCにおいて，∠B=60°,Bの対辺の長さbは整数，他の2辺の長さa,cはいずれも素数である。
このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ。』 です！
範囲の絞り方は色々あるとwakatteもらえたら嬉しいです
ヤメロオマエ
詩文な匂いがする
私は大学で金融工学を学んだのですが、この動画を見るとああ、同じ事やってるなと思う部分が度々あります
結局全ての学問は通じ合う部分があるのですね
∠B=60°という情報が与えられているので、あとはa=cさえ示せれば「頂角60°の二等辺三角形なので正三角形」と言えそうですね
三角不等式使うのは分かったけど最後の絞り込みが無理だった
対称性上手く利用できるようにしたい
サムネが一瞬高田ふーみん
綺麗にしすぎた高田ふーみん
私はひねくれてるので、素数は6で割った余りが±1になることを用いて6を法とした合同式で形を絞って、積の形に直して三角不等式で選択肢を絞ってという風にめちゃくちゃ面倒な方法で解いてみました()
これまでのパスラボ見てたからほぼ解けた。見てなかったら解けてなかった。パスラボの皆さんありがとう。
自己整理
証明する時は完成系、つまり何をいえたら証明する時出来たことになるかを意識する
式×式=整数
範囲を絞るべし
a≠cとして背理法でもいけます‼
余弦定理からb^2=a^2+c^2-ac=a(a-c)+c^2とします。
(aとcはaを大きい方としてもaとcはウェイトが同じだから一般性を失わない)
a-c≠0だとユークリッドから(途中省きます)
gcd(a-c,c)=1
なので右辺は括れない‼
b^2だから右辺は積の形じゃないとおかしいから矛盾
a=cとしたらb^2=c^2=a^2だからa>0b>0c>0よりa=b=cで正三角形
右辺が括れなくても、積の形にならならいわけでは無いと思います💦
例えば、a＝7、c＝2だったら
右辺＝39＝3×13 になりますし
(間違ってたらすみません💦
@@光希中村-b5s ご指摘ありがとうございます。確かに間違っております。
コメント欄に新しく背理法の証明をのせました。お目通しいただければ幸いです。
あいだまんさんの声いい声やわー！！
リサイタルズ好きだからちょっと嬉しい笑
この問題は本当に良問ですね。模試では出せないような完成度をほこりますね。
こちらのチャンネル、最近小学生で数学検定一級合格してた子もたぶんチャンネル登録してるんでしょうね。。。
わーできたーw
パスラボ見続けてきて良かった😭
うわー三角不等式で範囲絞れなかった
私立文系と東大生の会話は見応えがあるね
本番の問題は正三角形であることを示せって書いてくれてるんだね。
何三角形？という問いだと正三角形を示さなくても正解になってしまいますからね
極端な例だと「∠B=60°の三角形」でも正解になってしまう
教え方うまい^_^
カメラ位置が左にズレてるのか、ホワイトボードの右に空間がある一方、左は画面ギリギリまで書き込みがあり見にくい。また、画面いっぱい使っているため、indicatorなどと重なって見にくい時があります。こういう動画においては内容と同じくらい見やすさが重要です。
マイナス記号と掛け算記号の違いが分かりづらいです。はっきり書いた方が見やすいです！
12:06
練っておいしいねるねるねーるね
わかりやすかったです！
あいだまん可愛い
角度が60°って与えられてるからa=bだけ示せばいける気が
そうなんですか？説明してくださると嬉しいです。
@@ドーモン勉強用 もし、a=bだったらABCは角Aと角Bが等しい二等辺三角形になります。なので、角Bは60度となり、残りの角Cは180-(60+60)=60度となります。
ドーモン勉強用 私で申し訳ないけど、余弦定理
c^2＝a^2+a^2-2a^2cos60°
＝a^2
c>0 a>0で、c=aになるからかなって思いました。
@@かえで-c7i それ∠Cが60度ってまだ分かってなくない？
疲労感。 いや分かってますよ
さすが、歌のおにいさん
お兄さんのキャラいい
教え方上手すぎる…
図形、整数が融合した京大らしい良問ですね。
幾何が題材の問題は、幾何のまま進むのか、それとも座標や辺を文字として代数的に進むのか、大きく分ければ分かれますが、今回はどう見ても後者ですね笑
しかしどの様に求めるべき状況を立式し、(同値)変形の末に求めるべきものを示せるかというのは、あり程度選択によりけりで、今回でいうところの角に注目するか辺に注目するかということですね。ここでは情報量の違いから多い方に寄せていくということで辺に合わせていくのでした。
数学的には状況をきちんと同値に過不足なく表現できればよいので、余弦定理以外にも初等幾何の定理を使うなり、座標に落とし込んでガリガリいくなり、ベクトルを用いたり、複素平面の中で正三角形の成立条件:比がcos60°±isin60°(+の方だけで良いのは対称性を崩して一般性を失わないことに対応できる)として計算に帰着する、などアプローチは様々ですね。
要は状況の立式さえ済めば後は全て等価です。
三十年前(？)でしたか、この問題だけ見ると今の整数の方が幅も広がり難しくなっているかも知れませんね笑
中でも京大一橋の問題のセンスは群を抜いてますから練習にはいいですよね。
面白かったです、ありがとうございました
備忘録3周目 80V"【 a, c ∈素数 に注意して、 余弦定理より、b²＝ a²＋c²－a･c 】
〖 Q(最強戦略) 素数の単項化 〗 ☆☆☆ b²＝ ( a－c )² ＋ a･c ⇔
a･c ＝ ( b －a＋c )( b ＋a－c ) 三角形の成立条件より、右辺の 二つの因数は正である。
a と c の 対称性( 大小関係を付けよ )より、 a ≧ c として一般性を失わない。 このとき、
( b －a＋c, b ＋a－c )＝ ( 1, a･c ), ( c, a )
( ⅰ ) b－a＋c＝ 1, b＋a－c＝ a･c のとき、········ a＝c＝1 ( ∉素数 ) となって適さない。
( ⅱ ) b－a＋c＝ c, b＋a－c＝ a のとき、 a＝b＝c 以上より、 正三角形である。■
【 素数 2, 3, 5, 7, 11, 13, ･･･ 】
2以上で、｢ 自分自身と 1｣以外に 約数をもたない自然数■
動画内の因数分解や範囲絞り込みが最適解ですが、力技でゴリ押しした場合の解法を見つけたのでご紹介まで。
余弦定理よりb^2=a^2+c^2-ac…①。
よって(b+a)(b-a)=c(c-a)だが、三角不等式よりb-a0と①よりa=b=c.
(B)の時、ある自然数mを用いてl+1=mc, k+1=maと書ける。これを用いて②の式を変形すると、
acm=a+b+c、よってm=(a+b+c)/ac
ここで三角不等式より、2/a2(a+c)となり自然数mが存在しない。
従って(a-2)(c-2)≦4を得る。これを満たすような(a,c)の組合せは(a,c)=(2,p),(3,3),(3,5),(5,3),(p,2) (pは素数)の5通り。
(1)(a,c)=(2,p),(p,2)の時、①よりb^2=p^2-2p+4=(p-1)^2+3であるが、pが奇数のとき右辺は4で割った余りが3となり不適。
従ってp=2, ゆえにb=2
(2)(a,c)=(3,5),(5,3)の時、②よりb^2=19となるが、そのような整数bは存在しないため不適。
(3)(a,c)=(3,3)の時は(A)に帰着される。
以上よりa=b=c.
D Hasegawa 読むのやめた
よりシンプルな解法を思い付きました。
①を因数分解したところから、
a=cならばa=b=c.
a=cでないならば、a>cの時のみ考えればよく、この時因数分解した式よりa>b>cを得る。
さて、三角不等式よりb-cb+cなので、a=b+c.
すると①を因数分解したうちの第二式は
b-c=a-cとなりa=b. これを第一式に代入するとa-c=0、即ちa=cとなるため仮定に矛盾。
したがってa=b=c.
毎日の習慣やわーーー
あいだまん尊いん☺️
bが整数である条件を使っていないですよね？ 確かにbが整数でなければ、a,cが異なる素数長でもいくらでもいろんなパターンの三角が作れてしまうので、正三角形に特定させるならbが整数である条件が必要なのでしょうけども。。。不思議な感じがします。
出来た！
ってかこれまで出してた動画のまとめみたいな問題ですね
a=cの時、b+a-c=b+c-aとなるけど、この時a=b=cとなるのは当たり前だから場合分けしなくてもいいのかな?
私も全く同じことを考えました
計算上は必要ないけど論述が無かったら減点されかねないような気もします…
角Bが60°なんだからa=c、b=c、a=b
いずれか1つでも示せれば証明終了ですよ。
また、a≧cはa＝cの場合を含みます。
a と c が対称っていうのは、問題文に a と c が素数としか書かれていないのと、三角形の辺の位置からですか？
どうも、そういうところを自信をもって言いきれなくて。
なぜ対称なのに気づけたのでしょうか？
また、対称の場合は勝手に a ≧ c のようにしてしまっていいというのは対称式が出てきたら普通に使う技術なのでしょうか？
対称式が出てきたら出来る事、他には何かありますか？
対称式に関する知識量が少なすぎて、せっかく対称だってわかってもどうしていいのかわからないので、対称式だとわかった時に出来る事、全て教えていただけませんか？
私は、整数問題も苦手意識は確かにありますが、それ以上に苦手意識が強くてまず解けないのは証明問題です。
いわゆる、帰納法とかで簡単に証明できるような問題は難関国立大学ではまず出ないですよね。
だから、何からはじめていいのかさえわかりません。
ほぼ、白紙 0 点です。
証明問題は、定型的にならないで、ありとあらゆる方向から問題を出される感覚です。
整数問題の場合はこのチャンネル登録してる人ならもうあらかじめ問題を解く方向性みたいなものは見えると思うんです。
ですが、証明問題の場合はなにからやればいいのかすらわからないです。
問題文は 1 行くらいしかありませんし、それだけの情報でどう進めていけばいいのか、本当に毎回悩まされます。
確か、 2004 年度の大阪大学理系前期日程数学は大問 5 問中、 4 問が証明問題でした。
大問 1 は、なんとかかろうじて方向性はあっていました。
ですがめちゃめちゃ難しかった記憶があります。
そして大問 2 。
これが白紙 0 点です。
全く、何からどう進めていいのかさえわかりませんでした。
ですので、パスラボ数学担当先生方、対称式が出てきた時に使える事全てと、この問題のように対称だって言いきれる目をつけるためにはどうしたらいいのかと、証明問題の考え方を教えてください。
私は今年受験ではなく、来年かさらいねん受験するつもりでいますので、とことん勉強していくつもりです。
パスラボは、そのための準備運動のような気分で見させていただいてました。
ですが、もう準備運動は終わりで、そろそろ真剣に勉強始めたいと思っています。
理系で、医学部志望なのですが、過去に 1 度、大学は卒業しています。
そのときの学部は工学部。
ですので、生物の勉強は高校生の頃から全くしていません。
物理と化学だけ勉強してきました。
そんな事もあるので受験できそうなら来年受験しますがおそらく来年じゃ間に合わないと思っています。
生物だけではなくて、英単語もほとんど忘れてしまっています。
1 年間、生物だけ勉強出来るなら来年受験しに行きますが、現在の私の実力で合格できるほど大学受験は甘くないのはわかっていますので、 2 年計画で脱サラして、もう 1 度、大学受験に臨みたいと思っています。
大学卒業する頃には、浪人していた頃よりも学力は確実に落ちていました。
そんな全ての自己分析も踏まえての 2 年計画です。
3 浪以上は就職に響きますが、医学部で医師免許を取得して、そのままどこかの病院か、できれば大学で研究員になりたいと思っています。
もう、大学受験を受けてから相当時間が経ってしまっていますが、それでも、パスラボの数学の日はなんとなく解答方法の方向性や、解答を聞いてわかりやすくてすごく勉強になった事などたくさんありました。
2 浪して臨んだ大学受験の時と比べてしまったら天と地ほどの学力に差がありますが、それでも未だにパスラボの数学の問題、理解できてこれたとは思います。
ただ、知らなかった事。
今回説明を求めております対称式が出てきた時に出来る事や、不完全な理解のままだった mod の使い方など、勉強になった事もたくさんあります。
やっぱり、好きな科目の勉強は楽しいです。
お忙しいとは思いますが、ご説明よろしくおねがいいたします。
長々書いてしまいましたので、もう 1 度、質問部分だけ記入しておきます。
1 つ目はこの問題で a と c が対称だとどうしてわかったのか。
2 つ目は、対称式が出てきた時に使える技法、全て教えていただきたい事。
3 つ目は、証明問題、特に問題文が 1 行くらいしかない、難関国立大学必須の証明問題に、どう立ちむかっていけばいいのか。
この 3 つの質問にできたらお返事いただけませんでしょうか？
ついでなのですが、すばるさんに質問したのですが、お返事をいただけなかったので、それも書いておきます。
有理数と聞いたらまず頭に浮かぶのは、 p と q を互いに素な整数とすると、 p / q ( q ≠ 0 ) と置けるってことはさすがに覚えていたのですが、すばるさんはさらに、 p ≧ 0 という条件も入れていました。
すばるさんがパスラボ最後の数学問題と言ってあげていた問題です。
なぜ、その条件も必要なのかわかりませんでした。
この動画を見て、おそらくその条件は対称だから入れられるって事だと思うのですが、問題文からだけでどうしてその条件を入れられたのかわかりませんでした。
p ≧ q ならわかるんですけど。
この質問にも、お答えしていただけませんでしょうか？
よろしくおねがいいたします。
失礼いたします。
条件を満たす三角形の一つとして
正三角形があることって
言われたらすぐに分かるけど
自分では全然気付けないもんなんだな〜
これはすげーいいもんだい！
見てて気持ちよかったー
複素数平面や確率漸化式について詳しくやってほしいです
三平方を拡張したのが余弦定理という解釈でいいですかa*2=b*2+c*2-2bc0度
a^2=b^2+c^2-2bc cosAですね（文字とcosの区別が付きやすいよう空白を入れておきました）
三平方の拡張って認識でいいと思います
良問ですなぁぁ
途中識間違ってますよー
ac-2a+2c=1の因数分解
(a+2)(c-2)=-3
ですよー
2乗引く2乗を作るのを忘れないようにしたいな
三角不等式で二変数関数にするかと思って苦戦してたわ
これは何がだめでしょうか。
解）
図の条件は
b^2=a^2+c^2-ac （i）
(i)を変形して、
(b+a)(b-a) = c^2 -ac (ii)
(b+c)(b-c) = a^2 -ac (iii)
(ii) - (iii) より
(a+b)(b-a) + (b+c)(c-b) + (c+a)(a-c) = 0 (iv)
(iv)の解はa=b=c
以下、命題: b^2=a^2+c^2-ac => a≠b or b≠c or c≠a を否定する。
a≠b≠cは(iv)に矛盾
a≠bのみ成り立つ場合は、a=cと(i)を用いてa=bが示され矛盾（対称性よりc≠bの場合も同様）
a≠cのみ成り立つ場合は、a=bと(i)を用いてa=cが示され矛盾
よって三角形ABCは正三角形である。//
あれ、素数条件は？
自分が解いたはずの問題なので興味深く見ました。こういうの大好きだったのでとても面白かったのですが、問題自体も当時どう解いたのかも全く覚えていませんでした；
(初手余弦定理なのは今でもすぐ思いついたのでたぶん解けていたと思いたい・・・)
ところで今証明のときに「不適」ってあんまり使わない表現なのですか？私はかなり使っていた記憶があります。
下の方の数式が見えないのと、ーと•の区別をしっかりつけてくれるとありがたい
点Aから直線BCに垂線を下ろし、交点をDと置くと、三角形ABDは30:60:90の直角三角形になる。BD=xと置くとAB=2x,AD=√3xである。ここでABは素数より、xは有理数である必要がある。次に、三角形ACDについて考える。角C=αと置く（0
sinα=√3/2とは限らないと思います。例えばsinα=√3/4とならない根拠がないので。。
D Hasegawa やはり根拠が弱いですよね、ありがとうございます
12:18のところ、(a-2)(c+2)じゃなくて
(a+2)(c-2)じゃないですか？
多分その前の
ac-2a+2c=1
が違いますね
爆散マルマイン懲役。 そこは合ってますよ
あいだまんさんの顔すき
acなのが嬉しそう
くぁないさん癒し
最初リサイタルズで笑う
6:26 このときって1,21は「どちらも整数じゃない」かな？
60度を見落としていて、直角三角形にならないことはわかったけど、それ以外はどうかな？と考えていて殆どが鋭角三角形だった。
鈍角ないかな？と思ったけど、今のところ(2,2,3)しか思いつかない。これはもう少し考えて見ようかなと思う。まぁ60度を見落としたときの話なので、この問題とは関係ないけど……
気持ち良すぎだろ
別解見つけました！
頂点A,Cの角度をA、Cとすると、
A+C＝１２０度
対称性より、A
でもこれだと各辺が整数であり、一つの角度が６０であれば必ず正三角形になる気がします
２ａｂCosA が整数であると迄は言えますが、２CosA が整数と迄は言えないかと思います。
場合分けの(ⅰ)って、(a+2)(c-2)=-3 にならないですか？
せやね
整数問題って言われてなかったら60度探しにいってたわ
京大整数問題渋いです。これは防衛医大一次あたりで出そうなタイプと思いました。
12:19の因数分解っぽい操作、プラスマイナス逆？今回は解に絡んできませんが^^;
(-a+b+c)(a+b-c)=acのマイナスの可能性ですが、三角不等式が思いつかなくても実は排除できます。
一旦a≧cと対称性を崩してしまえば、左辺の2数の内1つa+b-cは1以上と分かります(bが整数より)。
あとは右辺がどう見ても正なのでもう片方も正でなければならなくなります。
三角不等式思いつかんかったけどな。うん。
｢示す｣だから背理法でもいけますね
背理法でもいけますが、直角三角形と二等辺三角形と不等辺三角形の3つを同時背理しなければならないため大変かと思いますよ。
正弦定理よりasinC=csinAでa=cでないと仮定したらsinCがcの倍数でsinCが整数だと矛盾って感じでいけそうだけどな
筆算も計算、キツカッタ
筆算も計算機使った
これはまじで神問
余弦定理を変形して
b^2-a^2=c^2-ac
↓
(b+a)(b-a)=c(c-a)
cは素数かつc＞c-aより
b≠aのとき
b+a=cかつb-a=c-aだから
a=0となり不適
b=aのときc-a=0より
a=b=cとなる
以上より三角形ABCは正三角形
と解きました。
c-aが素数になるとは限らんくない？
@@もるち作曲してます 大小関係の必要条件で考えてるだけだからc-aの値が素数かは関係ないのでは？
整数好き
素数でなければ、8・7・5、8・7・3も1つの角が60度になりますね
整数しゅきしゅき〜^
この問題の条件で、ｃ＝２しかありませんか？
対称性のところなのですが、仮定としてa≧cの場合で解いてa=b=cを証明した後、｢対称性よりa≦cのときも同様のことがいえる｣みたいな内容を記述するべきではないのでしょうか？
高田ふーみんこんな所にいたんだ。
最後まで解説ありがとう！！！
背理法で証明をしました‼(先に載せたものはご指摘いただいた通り間違っております💦)
a≠cとする。a>cとしても一般性を失わない。(aとcのウェイトが同じだから)
余弦定理よりb^2=a^2+c^2-acであるから
(b+a)(b-a)=c(c-a)…①
b^2=a(a-c)+c^2…②
①において三角不等式(三角形の成立条件)より
c(c-a)=(b+a)(b-a)>c(b-a)
c>0よりc-a>b-a ∴c>b
ここで②より
b^2=a(a-c)+c^2>c^2
b>0, c>0よりb>c
しかしb>cかつc>bであることはあり得ない。
よって矛盾
したがってa=cが必要
b^2=a^2+a^2-a×a=a^2
b>0, a>0よりb=a
∴b=a=c
よって△ABCが正三角形であることが十分
したがってa=b=cであることが必要十分
(b+a)(b-a)>c(b-a)
この不等式が成り立つのは b>a の時だけですよ。場合分けが足りていませんね。
高田ふーみんかと思った…
面白い
問題の明示がないままに突然解説に入って、正三角形であることを証明するんです！はすんなりと聞きにくいです。なぜこのような進行にしたのですか。果たしてくぁないさんが二等辺三角形とか言う流れは本当に必要だったのですか？「どうして正三角形を証明するのか分からない」というコメントが出るのもうなずけます。最初に茶番をやるくらいだったら、ちゃんと問題を明示してくださった方がありがたいです。
ちなみに問題文は概要欄に貼ってありますよ。
初めてこのチャンネルの動画を見た者ですが、凄くわかりやすく、自分でも解けそうだなと思いました（そう思い込んでるだけの可能性大ですが）
ですが１つ質問です
12:25のときにくくる式は（a+2）(c-2)ではないでしょうか？
動画の式を展開するとac+2a-2c=1になってしまい、2aと2cの符号が逆転してしまうと思います
この動画の本質がそこではないのは承知していますが、気になったのでコメントさせて頂きました（私の計算ミスだったらスルーして頂いて結構です）
長文ですみませんが、お時間がありましたら読んでください
あと、チャンネル登録しました
これからも我々にご教示願います
その通りですね！細部まで動画を見てくれてありがとう！！
マイナスも含めて一通り調べ終わってから、三角形の成立条件に気付いたよ、トホホ…。
正弦定理使ったら一瞬じゃないですか？
６０度の直角三角形と三平方の定理を使ってa=cを示したんですけどこれは別解になりますか？
すみません動画見ながら考えたんですけど
点AからBCに下ろした垂線の足をH、∠ACB=θとする。このとき
・√3/2*c=b*sinθ=AH …①
条件:∠ABC=60°より
・a-c/2=b*cosθ …②
①と②を両辺二乗して足すと
3/4*c^2+(a-c/2)^2
=b^2^sin^2θ+b^2*cos^2θ
a^2+c^2-ac=b^2
以降は動画と同じ
これでも証明できていますか？
a,b,cが全て自然数であるため、2乗の操作が同値変形なので大丈夫なはずです。が、そのことは一言言及すると安心というか、それを書かずにやると京大レベルでは印象悪いかなぁと思います。
場合わけ1個目の
(a-2)(c+2)=－3
って
(a+2)(c-2)=－3
じゃないんですか？
あっ、一応コメント遡ってたら
一応他に指摘してるかたも
おられるみたいですね。
わざわざ僕が書く必要は
なかったみたい……
家事えもん頑張って
サムネがwakatte高田に見えた
最後に対称性を崩さなくて良い理由ってなんですか？
三角不等式って、三角関数の不等式のことだと今まで思ってました。
AとCが対称な理由を
教えて下さい。。
3角不等式とか5億年ぶりに見た
三角不等式知らんのはガチの私文かよ！
(;´∀｀)
草
三角不等式に関しては知ってるか知らないかじゃないでしょ
その場で気づける
三角形の問題で整数となると使ってって言ってるよね
(a+C)^2-3ac＝b^2で場合分けした
お世話になってま～す。
まさに、このときの現役・・・当時は理系だけどね（笑）
素数かけ素数は残す
aとcが対照だから自分でa≧cが設定できる(対照じゃないなら不可)
の意味がわからん(>
aとcの区別をなくせるっていう説明の方がわかりやすいかな？
順列と組み合わせの違いみたいな
ga len 例えばa=3、c=2の場合があったとして、このときc=3、a=2でも同じ三角形を表しますよね。(入れ替え可能)
なので一旦形式的に長さが大きい方がa、短い方がcと設定することができます。
(その後もちろんaが常に大きいとは限らないのでa、cの入れ替えを考慮します)
aとcを入れ替えても式に影響を与えなければaとcは対称といいます。この動画の(b+a-c)(b+c-a)=acのaとcを入れ替えても式は変わりませんよね？ならば仮にですが、この式でa=1,c=2が成り立つなら、a=2,c=1も成り立ちますよね？(仮にです)それを求めるときの場合分けをする手間を省くために、自分で勝手にa≧cと置いたわけです。なので、場合分けをして求めた後は、a≧cという関係性はないものなので、省いた方も解答しないといけないです。
長文失礼しました。
あいだまんにコメ見てほしいけど、まじ頭いいっていうか思考回路どうなっとるんやろ数学全然できん自分からしてみたら天才的に見えるまあ、東大やから、当たり前なんやろうけど、自分もこんだけ頭良かったらもっと良い就職で出来て美人で巨乳の子と付き合えるのに…なんていう、痛い妄想してます笑
わい｢60°ってことは正三角形！( ᐙ )｣
マイナス考え忘れて減点食らった
ぁ
なぜ正三角形を証明するの？？
そういう問題です
やり方違ったけど解けました
私文笑って感じる発言が
随所に見られるね
まぁネタかもしれんけど笑
サムネだけ見て二等辺三角形と直角三角形でない事を示して解いた｡
不等辺三角形の背理は?
1は素数ではないです