Я как-то ночью проснулся, весь день решал математику и тут пришла мысль возвести число в нецелую степень. Начал возводить с помощью инженерного калькулятора, сначала думал, что выкинет ошибку, а появлялись страшные числа. Пришла идея как учёному вывести закономерность. Естественно ничего не получилось. Показал маме, одноклассникам никто не мог объяснить. Хотел уже спросить у учителя но побоялся. Через почти 2 месяца увидел это видео. Теперь всё стало понятно. Спасибо вам за такие видео!
Жизааа. Я помню, мне кто-то сказал, что извлечение квадратного корня эквивалентно возведению числа в 0,5 степень. Я чуть не помер тогда, пытаясь просто возвести число в любую нецелую степень. Ух...
все проще чем кажется (сам не давно это понял). 2^2,5 это по сути 2^2*√2 сам искал закономерность, но потом понял, что искал не там, и стал обращать внимание на детали. Я не понимал не целые степени, все время спрашивал как могут быть не целые степени?, ведь степень это количество раз умножения числа на самого себя. Так как можно например умножить число на само себя умножить на половину, ведь вот у нас число 2 в степени 0,5... это как 2 умноженное на 2 но не полностью? :-) Потом вспомнил про работу со степенями (правило сложения/вычитания)... и записал пример уже иначе: дано 2^2,5 решаем. 2^2,5/2^2 это дает нам как раз 2^0,5 посчитал на калькуляторе и числа мне показались очень знакомыми... сделал тоже самое с другими основания и увидел, что это правило везде соблюдается. При этом это (результат) легко проверяется. то есть ведь например 2 это 2^0,5*2^0,5=2^1.... таким образом 1,414~*1,414~=2 (ну если решать столбиком то результат будет стремится к 2, так как 2^0,5 иррациональное число. То есть то что 2^0,5=√2 подтвержадется расчетами в ручную. С отрицательной степенью сильно проще было, там вообще в конце задал себе вопрос какого Х я вообще задался вопросом, ведь ответ и так на поверхности ведь 4:8=1/2 а в степенной записи это выглядит как 2^2:2^3=2^(-1)
Мне 40 лет. Я работаю программистом и с математикой у меня более чем ОК. Я как маленький ребенок прыгаю и хлопаю в ладошки от этого (да, именно этого, я посмотрел не одно ваше видео) видео. Вот теперь точно - лайк, подписка и колокольчик. Спасибо!!!
Сегодня я нашла ваш канал! Божечки, как это интересно. Хочу стать автотестером, нужно знать алгоритмы, чтобы знать алгоритмы нужно вспомнить всю математику, наверстываю благодаря вам!
Может быть я чего-то не понимаю, но почему если формула возведения положительного числа в рациональную степень неверна для отрицательных чисел, то мы не можем возводить отрицательные числа в рациональную степень? Если формула "квадратный корень из a^2 равно a" неверна для отрицательного "a", это же не значит, что мы не можем извлекать квадратный корень из квадрата отрицательного числа. Это значит, что для отрицательных чисел существует другая формула, а именно "квадратный корень из a^2 равно -a". Значит, при возведении отрицательного числа в рациональную степень нужна другая формула. Ну и последняя задача меня мучает до сих пор. Нам поставили задачу: найти x среди действительных(вещественных) чисел; а "-1", что, не действительное? "Мы не можем возводить отрицательные числа в действительную степень"-тогда, получается, мы не можем "-1" возвести в квадрат, потому что "-1"-отрицательное число, "2"-действительное. Почему если мы не можем возводить отрицательные числа в одни действительные числа, то от этого должны страдать другие действительные числа-целые? P.S. Учитель:"Мы не можем возводить отрицательные числа в действительную степень" Ученик:"Но подождите, ведь мы можем "-1" возвести в квадрат?" Учитель:"Да, можем." Ученик:"Но ведь "2"-дейст.." Учитель:"Не-не-не, "2"-целое число, а мы сейчас говорим про действительные числа..." Ученик: Учитель:"ээээ : | "
@@finelight6615 я вас отлично понимаю, сам этим страдал, однако правило о котором вы говорите является просто упрощением или обобщением действительного: мы не можем возвести отрицательное число в *любую* действительную степень, ведь простой пример √(-1) не является членом действительного множества чисел. Чтобы не возникал уход результата из области действительных чисел принято запрещать возведение отрицательных чисел в любую степень. Да, (-1) можно возвести в квадрат, однако в половину рациональных чисел нельзя; т. к. действительные числа включают в себя и целые и рациональные, правило обобщают. Надеюсь достаточно понятно описал
И ещё, целые числа все входят в рациональные и действительные (целиком), однако не всякое действительное число целое, для этого обобщение на все действительные числа, да, можно было бы точнее описать, например α^β α-R, β-R/Q{m/n, n-Z, m-R}
Спасибо. Из всех на кого я подписана только вы объясняете всё доступным языком и такие моменты которые все просто опускают. Сразу стало понятнее как находить ОДЗ, почему, например, х>0, хотя на первый взгляд кажется ну может же быть и отрицательным.
Если уравнение x^x=-1 имеет корень в целых числах, но не имеет в действительных, то получается, что целые числа не принадлежат множеству действительных. Однако если рассматривать действительные числа, как предел, то и целые числа нужно рассматривать, как предел, иначе появятся разрывы. Но числа с одинаковыми свойствами должны принадлежать одному множеству, что противоречит вышесказанному. Значит x^x=-1 не имеет решения, и вообще возведение отрицательных чисел в степень это другая операция, нежели возведение положительных. это если обойтись без комплексных чисел
Если мы возьмём отрицательное основание и целую степень. То для действительного числа у нас не будет того самого предела. В самой точке есть значение, а в её окрестности нет. А для целой степени нам не нужны пределы. Мы просто умножаем.
а по-моему ноль на ноль очень даже делится, ответ дает совершенно правильный, единица. Это же два одинаковых числа, при делении должна быть единица. Считаю что надо положить конец гонениям и дискриминации нуля, он же очень маленький их нельзя обижать
Да.Изложение отличается тем,что не на пальчиках,а на основе мат.законов,чего не хватает многим учителям,особенно не старших классов(зачастую доминирует принцип Марьванны,ввиду того ,что и сама Марьванна "плавает" в этом вопросе,особенно в вопросе независимости подходящих последовательностей.Да и не мудрено.Тут без Вейерштрасса не обойтись,а это уже ВУЗ).
Борис, благодарю за видео! Можно добавить "отсебятину" ? Кроме арифметического корня (не только квадратного) вместе с ним вводится "арифметическое возведение в степень" (для всех промежуточных между натуральными). Обе функции ("операции", если хотите) мирно живут вместе в тёплом и уютном мирке ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ действительных чисел. Да, Вы не ослышались: a^b определена только для положительных (про ноль отдельный разговор, но точно без отрицательных). По той же причине, по которой убрали левую ветвь параболы, нужно отпилить лево-нижнюю ветвь и у x^3 (и всех остальных). И говоря про эту вещественную парочку, напрочь забыть о существовании отрицательных чисел. Тогда всё будет хорошо: оставшаяся ветка от степенной функции будет четко соответствовать (см "обратная", точнее "взаимно-биективно-обратная") оставшейся ветки у "арифметического" ("подпиленного") корня. Если ВДРУГ кто-то вспомнит про отрицательные, то нужно пожертвовать своим мировоззрением и чуть порушить тёплый и уютный мирок, раздвигая его рамки. Но тут появятся неоднозначности. Во-первых, надо принять "особый вид" чисел: "положительно-отрицательные", а также "особые" функции, которые их возвращают. Теперь Корень( x, 2 ) - это уже не тот знакомый "арифметический" ("подпиленный") квадратный корень, который раньше по одному вещественному выдавал одно вещественное. Это нечто другое, что возвращает сразу два значения как одно (кортеж/множество из двух чисел). Теперь Корень(1, 2) = (-1, 1) или "плюс-минус 1". В начальной школе, чтобы не разорвало мозг ("стены мирка"), говорят "что у уравнения есть два решения". Это эвфемизм для "у уравнения есть одно решение, составленное из двух частей". Поэтому при введении отрицательных чисел в "арифметическое возведение в степень" (например, у x^2) у его друга-корня тоже отрастёт ветвь! Надо смириться, что новый "обычный" "неарифметический" корень (как пара к "обычному" "неарифметическому возведению в степень" на всей действительной оси) - многозначная функция. Более того, этих значений ровно столько, какова и степень корня. Да, такая вот плата за то, чтобы можно было сказать, что КОРЕНЬ( -8, 3) = -2, вернее: {-2, a, b} (мы же помним, что ответ сложный и из нескольких компонент; случай может быть вырожденный, когда компоненты вдруг оказываются одинаковые, а также могут не являться действительными, т.е. "как бы мы их не можем увидеть, но они есть" - всё надо учитывать правильно). Да и с ветками тоже неоднозначно! Кто так уверен в том, что расширением "арифметического возведения в степень" на область неположительных будет именно x^n, а не |x|^n ? (mind the abs!) Графически говоря, почему это у графика "неарифметического возведения в степень" обе ветви не будут ВСЕГДА направлены вверх? Как для чётных, так и для нечётных n ? Вообще говоря, о какой вообще чётности может идти речь, если n - тоже действительное число? ( 2/1 - чётно? а 2/10 ?? а 75/25 ?? :) ) Мы же арифметическую пару определяли именно для вещественных! (Что x, что n, оба вещественные: как x меняется плавно, так и n меняется плавно, а ветви на графике плавно вытягиваются вверх при росте n.) Тогда, получается, что вместо "привычных" школьных примеров y=x^3, того самого, у которого (-2)^3 = -8, и корня rt(x, 3), того самого, у которого rt(-8, 3)=-2, которые "красиво" выглядят, надо брать другую пару, которая вписывается в новую схему (для x^2 и sqrt(x)): |x|^3 и "плюс-минус" rt(|x|, 3). Теперь "корень" "упал": либо надо его ограничивать на положительные, ведь обратная |x|^3 не может быть отрицательной, либо, принимая за определение R3(x) = "плюс-минус" rt(|x|, 3), "доделывать" "возведения в степень": P3(x) = "плюс-минус" |x|^3. Тогда будёт всё хорошо в царстве действительных чисел, будут два взаимнообратных друга Змей Горыныча с 4-мя головами (ветвями). В частных случаях, дабы не пугать гостей, две головы будем отпиливать, исходя из разных "логик". 1) считаем, что n - сугубо натуральное и учитываем его чётность. Тогда остаются красивые "двухветвенные" варианты y=x^3 и y=КОРЕНЬ(x, 3). Зовём гостей по только нечётным числам, если они не готовы видеть двузначные функции. 2) над первым змеем проводим операцию по обрезанию нижних ветвей: y=|x|^3, а второму, кроме удаления левых ветвей, делаем "располовинивание". И говорим: вот первому змию соответствует два других полу-змия: один "+", другой "-". 3) выбираем компромисс между 1) и 2). По нечётным "щадящий режим" (у первого удаляем левоверхнюю и правонижнюю, а второго делаем симметричным отражением относительно y=x), а по чётным - "жёсткий" ( В x^2 убираем всё нижнее, а root "располовиниваем" на "+" и "-"). 4*) вообще отказываемся от идеи расширения и возвращаемся обратно в мир двух недо-змиев. Предлагаю совместно написать статью или выпустить в современном виде (совместный видеоролик) про эту тему. Буду рад Вашему ответу по эл. почте AndreyBaluevsky@gmail.com .
здесь под y=x^3 подразумевается класс всех y=x^(2k-1), под y=x^2 подразумевается класс всех y=x^(2k), где k - натуральное. Аналогично им парные root( x, 3) и sqrt( x ). Добавлю, что можно ещё вырожденные варианты { y=x , y=1 } добавить в тему, но лучше это сделать в специальной (совместной) публикации.
Друзья! Ещё хочу обратить внимание на скрытый смысл моего послания: "Два недо-змия - это не две отдельные сущности, а это две части ОДНОЙ сущности". Т.е. нет отдельного "возведения в степень" и нет отдельного "корня", а есть единая двуместная функция ("бинарный оператор", если так больше нравится), которая выполняет оба этих действия в зависимости от второго параметра. И вместо двух взаимно-обратных есть ОДНА, которая обратна сама себе. Т.е. пусть это будет f(x, y). Тогда pw(x, n) := f( x, n), rt(x, n) := f( x, 1/n). Т.е. rt( x, n) = pw( x, 1/n), pw( x, n) = rt( x, 1/n). А также: pw( rt(x,n), n) = x = rt( pw( x, n), n). А также для дробных чисел выполняется правило "перекидывания" множителей: pw( x, a/b) = pw( pw(x,a), 1/b) = rt( pw(x,a), b) = = rt( x, b/a ) = rt( pw(x, a), b) = rt( rt(x, 1/a), b) . Что именно принимает и возвращает f(x,y) - это отдельный вопрос (т.е. как понимать выражения выше). Для удобства, можете считать, что f(x,y) - "арифметическое" действие на положительных вещественных. Проверка данных правил (а также обобщение на любые дроби, в т.ч. с вещественными a и b) - домашнее задание.
Так если мы хотим работать с показателями как с числами, то, по идее, должны быть вернуы следующие рассуждения: (-1/2)^2 = (-1/2)^(-0.5+2.5) =(-1/2)^(-0.5) * (-1/2)^(2.5) Но это не определено 😁
"у вас не может возникнуть ситуация, когда нужно ноль возводить в нулевую степень", отмотаем лет на 500 назад - "не может возникнуть ситуация, когда надо брать корень и -1", но те не менее возникли, аж целый ТФКП разработали
Спасибо за хорошее видео! У меня как раз возник вопрос о том, как вообще числа возводятся в иррациональную степень (по моей памяти, в школе, как-будто бы, не учили этому)
так и есть, в обычных школах этому не учат, там просто говорят "а давайте все операции с целыми степенями будем проделывать и с вещественными, не понимая как это работает", это хорошо изучается на 1 курсе
19:49 подождите, если х=х^√-1 и х=-1, то х=-1^√-1? вроде если возвести это число в степень -1, то получим подкоренное выражение, но в интернете мнения разнятся, а в учебниках ничего не говорят об отрицательной степени корня, существует ли тогда такой ответ и в принципе корни отрицательной степени?
Борис, в вашем рассуждении про уравнение в самом конце ощущаю противоречие. Решить уравнение на множества А - значит найти все х из А, при которых оно превращается в верное равенство, либо доказать, что их нет. Но невозможно доказать, что среди действительных чисел нет такого, которое обращает в равенство, потому что оно есть: это число -1, оно действительное. То есть правильнее говорить, что когда мы решаем это уравнение и считаем х действительным, то необходимо раздельно рассматривать два случая: а) х целые (в тч и отрицательные), б) х рациональные и иррациональные, тогда х>0. Как думаете?
Супер ролик. Не все понятно, но очень интересно. И самое главное весь ролик ждал ответа на вопрос как не пользуясь инженерным калькулятором решить неравенство что больше e^π или π^e. Задачка хоть и олимпиадная, но хотелось бы знать подход к её решению. Разберите её на своём канале.
А существует ли степени где показатель комплексное число? И не решит ли это проблему невозможности отрицательного основания при действительных числах. И, пожалуйста, не бейте меня сразу тапком, я в математике профан, но восхищаюсь этой наукой, потому как считаю, что она описывает существующий мир и математика это и есть мир. И ошибся, не показатель комплексное, а основание.
тезис о большем количестве действительных чем целых чисел весьма спорен,; 0⁰=0/0=слон/слон=&/&=1 мне кажется. Да и предел k в степени k, когда k->0 будет 1.
15:00 Согласен, что в школе делают очевидным то, что далеко не очевидно. А потом такой на первом курсе видишь задачу: Доказать, что 1>0. И такой "Опа! Это же очевидно!" Кстати, думаю, мало кто вот так навскидку сможет это доказать :) А я тоже забыл :) P. S. доказывать, что 1>0 нужно исходя из аксиоматики. А в аксиоматике НЕТУ такого, что 1>0. Поэтому нужно доказывать :-) Интересно, есть такое на Ютубе? На первом курсе вуза точно есть :)
Не понятно, как это, это что вроде ноль разделить на один, потом из аксиоматики сказать что полученное меньше единицы, значит ноль меньше единицы, масло масляное, или из нуля вычесть один, получим отрицательное значение, значит ноль меньше единицы, но опять отрицательное значение мы получили именно из-за того что ноль меньше единицы, хреновина какая то, нельзя доказать утверждение, если в доказательстве ты используешь то, что доказывается, это очевидно аксиома, когда один больше нуля, а два меньше трёх, это тоже самое, что доказывать два плюс один это три, чудачество.
9:00 Просто принять что корень из 4 может быть не только 2 но и -2, и никаких проблем. Ошибки я не вижу, я вижу только путаницу в определениях и попытку математиков её избежать ничего не делая.
Вы так и нтересно рассказывайте про математику, побольше бы таких учитилей😅Есть еще такая просьба, не могли бы вы разобрать неопределенность в пределах, 1 в степени бесконечность?Я просто не могу понять , почему это неопределенность)
В видео об этом как раз сказано. . Допустим у тебя есть чисто (-8) Ты не можешь найти из него квадратный корень. Если находишься в множестве действительных чисел. . Но можешь найти корень кубический из этого же числа -8^1/3=-2. . Чтобы таких казусов не случалось, говорят что формула а^n/m работает только для положительного основания
Обожаю вопросы школьного уровня... Вынесло мозг в тот момент, когда понял, что иррациональное число на то и иррационально, что не имеет рационального приближения хД Парадокс в том, что если множество целых чисел полностью входит в множество вещественных чисел, то логично было бы предположить, что и решение на множестве целых чисел будет входить в множество решений на множестве действительных чисел, а опа, и нема))
Математика - это подсчёт физических явлений. И здесь можно объяснить это обычными физическими жизненными примерами. Например: У вас в карманах ПУСТО, то есть *НОЛЬ* . Вам корефан *подарил* 2 $ . И естественно в кармане у вас стало 0+2=2 $ . Это понятно. Вы конечно сразу же потратили эти деньги (2-2=0 $) . Вы пошли опять к этому другу и говорите - дай мне ещё пару баксов. А корефан отвечает - ну друг, это уж слишком, если надо, то *бери в займы* . Вы *взяли в займы* 2 $ (0-2= *-2* $). Деньги есть, но они не ваши. То есть теперь когда вам мама даст 2 $ и у вас вроде бы появятся СВОИ *2* $, но вы их автоматически отдадите как долг другу (-2+2=0 $ ) и в кармане опять воцарится ПУСТОТА, то есть НОЛЬ. Это вроде бы понятно. А если вы *уже* должны другу *4* $ (-4), а не хватает ещё 4 $ на то что бы купить наушники, то вы опять же возьмёте у корефана *4* $ (-4*2= *-8* $). То есть вы УДВОИЛИ свой долг( -4 умножили на 2 и получилось -8 $ ), или по другому - у вас в кармане есть 8 $ но не своих, а при появлении своих, вы автоматически их отдадите другу как долг (-8+8=0 $). Другими словами: если друг ДАЁТ деньги, это +, а забирает деньги это МИНУС. Если друг ДАЁТ в *долг* 4 $ ,это *+* (-4 $,) Если друг ПРОЩАЕТ *долг* , это *МИНУС* (-4 $,) А если друг тебе ПРОСТИЛ ДВА по 4 $ (-2)*(-4 $,)=8 . То есть у вас в кармане теперь эти же 8 $, но уже СВОИХ !!!
Такое ощущение что я сдал егэ на 3 и попал в университет к человеку который просто родился в математике! Это очень интересно! Интересно, сколько лет вы посвятили математики?
В школьной математике много довольно бессмысленных соглашений и условностей, которые нет необходимости знать математику, но нужно знать человеку, от которого могут потребовать продемонстрировать владение школьной математикой.
прекрасное, исчерпывающее объяснение, один только комментарий: про 0^0 можно гораздо нагляднее сказать то же, что Вы говорили про любое ненулевое число в степени 0. Если хочется оставить все свойства действий со степенями, то 0^0 = 0^(k-k) = (0^k)/(0^k) = 0/0, где k, например, любое натуральное число. Т.е. 0^0 сводится к неопределённому в математике понятию и, следовательно, сам не может быть определён.
Не согласен. По такой логике можно сказать, что 0 ни в какую степень нельзя возводить. 0^5 = 0^(7-2) = (0^7)/(0^2) = 0/0 Так что аргумент не защитывается! :-)
>то, что 0^7/0^2 не определен не означает, что и 0^5 не определен Согласен. Потому и привёл этот пример. То, что (0^k)/(0^k) не определено, не означает, что и 0^0 не определено. Нужен какой-то иной аргумент, чем тот, что привёл топикстартер.
Вы философ математический без ошибок..Но убойная ваша информация...Главное умение в простоте изьяснить..Эх,разорачевалс, в своих суждений..Ошибся ..Спасибо что вы есть...А так еще раз про анализирую вашу мощную информацию..Очень задело...Ошибаюсь
Такая задача: решить в целых числах уравнение x^(x+5) = 0. Невозможность возведения нуля в отрицательную степень помешает ли вам считать 0 корнем этого уравнения? Очень надеюсь получить ответ.
Если a^b - степень с целым основанием и целым показателем, то верны следующие утверждения: 1) Если b>0, то 0^b = 0. 2) Если b≤0, то выражение 0^b не имеет смысла. 3) Если a ≠ 0, то выражение a^b имеет смысл. *** В уравнении x^(x+5) = 0, где x - целое число, 0 является корнем. В уравнении x^(x+5) = 0, где x - рациональное число, 0 является корнем. *** Это очень тонкий теоретический момент! Я сейчас во втором комментарии скину 2 фото из учебника "Алгебра и начала анализа" Алимова, Колягина и др.
Вот фото страниц из учебника: ibb.co/G0DhX9D ibb.co/k0BYxsR На второй странице прямо на уровне определения задаётся равенство 0^r = 0 при всех рациональных r > 0.
@@yakovlichevau То есть 0 разрешается возводить в некоторые рациональные степени (а именно - в положительные). Почему вдруг нельзя отрицательные числа возводить в некоторые рациональные степени (а именно - в целые)? Кроме того, раньше мы это делать умели (до того, как изучили степень с рациональным показателем).
@@trushinbv То есть невозможность возводить 0 в некоторые целые степени (а именно - в отрицательные) не причина выбрасывать его из списка корней данного уравнения. Почему же тогда невозможность возведения -1 в некоторые вещественные степени (а именно - в нецелые) заставляет вас выбрасывать -1 из списка корней уравнения x^x = -1?
Что-то я не поняла, множество действительных включает в себя мн.целых, так почему решения нет? Решения нет в множестве "действительные без целых", а такому мн. просто имени отдельного не дали.
Односторонний предел x^x при x стремящемуся к нулю справа существует. И равен он 1. А вот значения функции в нуле не существует. Вообще для многих функций принимающих в определенной точке значение вида 0/0 существует односторонний предел. Но он может быть и нулём и бесконечностью и любым другим числом, в зависимости от скорости, с которой числитель и знаменатель стремятся к нулю.
Не вижу порадокса. Ноль в любой степени ноль, ноль в нулевой 1. Деление это сокращеная запись вычитания. Сколько раз можно из нуля отнять ноль? Один раз.
Ответьте пожалуйста на вопрос. Если число в рациональной степени должно быть строго положительным то значит основание корня из нечётной степени так же должен быть строго положительным но почему тогда например мы можем извлечь кубический корень из -8 ?
А если у меня пример : корень шестой степени из (-8)^2 . Могу ли я делать какие либо действия в этом случае или это правило 9:30 ограничивается только степенями ?
@@allasky7703 Перепишите рациональный показатель в виде дроби, пусть для простоты(лучше посокращать), у вас получится 1825/1000. Тогда исходное выражение = корню 1000-й степени извлечённому из (1.000136986^1825)
Вы говорите, что нигде не встречается 0^0. Но разве мы не хотим считать, что для всех a и b выполнено равенство: (a + b)^5 = \sum_{k=0}^5{5\choose k}a^{5-k}b^k Ведь если подставить a = b = 0, там будет 0^0.
В степенных рядах считают 0^0=1^ но это только для облегчения записи. Никакого глубинного смысла в этом нет. Фактически, это воспринимается как предел x^0, при x --> 0.
Вопрос про отсутствие решения уравнения x^x = -1 в действительных числах. Я воспринимаю степень с действительным показателем просто как продолжение операции возведения в степень с рациональным показателем. А последнюю - как продолжение операции возведения в степень с целым показателем. ru.wikipedia.org/wiki/Продолжение_функции В этом смысле не бывает такого, чтобы на более узком множестве решение было, а на более широком - нет. Вы же, если я правильно понимаю, воспринимаете степень как четыре разные операции, которые одинаково обозначаются, но у каждой своя область определения, причём эти области определения находятся в общем положении друг относительно друга (кроме пары "рациональный показатель" и "действительный показатель"). Правильно ли я вас понял? И не кажется ли вам подход с продолжением более разумным, чем подход с разными, но одинаково обозначаемыми операциями?
Короче, я считаю, что уравнение x^x = -1 имеет решение в действительных числах. Пусть в меня первым бросит камень тот, кто скажет, что равенство (-1)^(-1) = -1 неверно или бессмысленно. Или что -1 не действительное число!
Вы пишите: степень с рациональным показателем - это продолжение операции возведения в степень с целым показателем. Но как вы это "продолжение" задаёте? То есть чему равно (-8)^(1/3)? и чему равно (-8)^(2/6)? И почему если 2/6 и 1/3 равные числа, то (-8)^(2/6) и (-8)^(1/3) - это неравные числа?
Андрей, то, что степень с рациональным показателем это продолжение степени с целым показателем, не означает, что отрицательные числа можно возводить в дробную степень. Пусть f_1(a, b) = a^b -- степень с целым показателем. f_2(a, b) = a^b -- степень с рациональным показателем. Обозначения: R - вещественные N - натуральные (целые положительные) Z - целые Q - рациональные x - декартово произведение множеств \ - разность множеств U - объединение множеств Тогда область определения f_1 это множество А: RxN U (R\{0})xZ Область определения f_2 это множество Б: RxN U (R\{0})xZ U {t | t > 0}xQ А - подмножество Б. На множестве А функции f_1 и f_2 совпадают. Это и означает, что f_2 является продолжением f_1. Ваш пример таков: a = -8, b = 1/3. Но пара (-8, 1/3) не входит в множество Б. Так что f_2(-8, 1/3) не определено. Надеюсь, я ответил на ваш вопрос. Если что-то не понятно, я готов пояснить.
@@IraklyG, Вы ответили на мой вопрос частично. Просто в уравнении х^х=-1 (х€R) возникает такой вопрос: где ошибка в следующей записи? f_2(x, x) = х^х =x^(2x/2) = √((x^2)^x) ≥ 0.
@@IraklyG, я хочу сказать, что согласно вашему описанию функции f_2 получается, что если x€R, то f_2(x, x) не определена. Точнее определена для положительных х. Значит, x^x=-1 не имеет действительных корней.
вы меня как будто заново учите математике . это просто суперинтерсно
У вас хороший канал, вы рассказываете понятным и доступным языком, продолжайте это делать, ведь это действительно надо людям.
Я как-то ночью проснулся, весь день решал математику и тут пришла мысль возвести число в нецелую степень. Начал возводить с помощью инженерного калькулятора, сначала думал, что выкинет ошибку, а появлялись страшные числа. Пришла идея как учёному вывести закономерность. Естественно ничего не получилось. Показал маме, одноклассникам никто не мог объяснить. Хотел уже спросить у учителя но побоялся. Через почти 2 месяца увидел это видео. Теперь всё стало понятно. Спасибо вам за такие видео!
Ты, что Гений? :D
Жизааа. Я помню, мне кто-то сказал, что извлечение квадратного корня эквивалентно возведению числа в 0,5 степень. Я чуть не помер тогда, пытаясь просто возвести число в любую нецелую степень. Ух...
@@dmxumrrk332 ?? Рациональная степень в школьной программе.
все проще чем кажется (сам не давно это понял).
2^2,5 это по сути 2^2*√2
сам искал закономерность, но потом понял, что искал не там, и стал обращать внимание на детали. Я не понимал не целые степени, все время спрашивал как могут быть не целые степени?, ведь степень это количество раз умножения числа на самого себя. Так как можно например умножить число на само себя умножить на половину, ведь вот у нас число 2 в степени 0,5... это как 2 умноженное на 2 но не полностью? :-)
Потом вспомнил про работу со степенями (правило сложения/вычитания)... и записал пример уже иначе:
дано 2^2,5
решаем.
2^2,5/2^2
это дает нам как раз 2^0,5
посчитал на калькуляторе и числа мне показались очень знакомыми... сделал тоже самое с другими основания и увидел, что это правило везде соблюдается.
При этом это (результат) легко проверяется. то есть ведь например 2 это 2^0,5*2^0,5=2^1.... таким образом 1,414~*1,414~=2 (ну если решать столбиком то результат будет стремится к 2, так как 2^0,5 иррациональное число. То есть то что 2^0,5=√2 подтвержадется расчетами в ручную.
С отрицательной степенью сильно проще было, там вообще в конце задал себе вопрос какого Х я вообще задался вопросом, ведь ответ и так на поверхности ведь 4:8=1/2 а в степенной записи это выглядит как 2^2:2^3=2^(-1)
@@ramsaybolton7109 шиза
С таким учителем я, гуманитарий в квадрате, стала любить математику!!! Спасибо, Борис!
Блестящая лекция. Вносит понимание в те вопросы. которые раньше подносились как данность.
Мне 40 лет. Я работаю программистом и с математикой у меня более чем ОК. Я как маленький ребенок прыгаю и хлопаю в ладошки от этого (да, именно этого, я посмотрел не одно ваше видео) видео. Вот теперь точно - лайк, подписка и колокольчик. Спасибо!!!
Душевно!
Для полноты картины надо ещё возведение в комплексную степень добавить))
На Трушина имеет смысл подписаться уже потому, что рассказывает прикольно. По идее, я всё это знал. Но забыл :)))
Это видео - эттто просто песня какая то! Песня математике! Спасибо, просто Браво!!! 👍👍👍👏👏👏
Ваши ролики просто супер. Большое спасибо.
Сегодня я нашла ваш канал! Божечки, как это интересно. Хочу стать автотестером, нужно знать алгоритмы, чтобы знать алгоритмы нужно вспомнить всю математику, наверстываю благодаря вам!
Ну честно говоря ни то, ни другое) чтобы быть автотестером не нужно знать алгоритмы, а чтобы знать алгоритмы не нужно знать математику)
@@sorrowtomorrow8921 ну смотря какие алгоритмы и на каком уровне)
Решение последней задачи просто убило, очень круто, спасибо
Может быть я чего-то не понимаю, но почему если формула возведения положительного числа в рациональную степень неверна для отрицательных чисел, то мы не можем возводить отрицательные числа в рациональную степень? Если формула "квадратный корень из a^2 равно a" неверна для отрицательного "a", это же не значит, что мы не можем извлекать квадратный корень из квадрата отрицательного числа. Это значит, что для отрицательных чисел существует другая формула, а именно "квадратный корень из a^2 равно -a". Значит, при возведении отрицательного числа в рациональную степень нужна другая формула.
Ну и последняя задача меня мучает до сих пор. Нам поставили задачу: найти x среди действительных(вещественных) чисел; а "-1", что, не действительное? "Мы не можем возводить отрицательные числа в действительную степень"-тогда, получается, мы не можем "-1" возвести в квадрат, потому что "-1"-отрицательное число, "2"-действительное. Почему если мы не можем возводить отрицательные числа в одни действительные числа, то от этого должны страдать другие действительные числа-целые?
P.S.
Учитель:"Мы не можем возводить отрицательные числа в действительную степень"
Ученик:"Но подождите, ведь мы можем "-1" возвести в квадрат?"
Учитель:"Да, можем."
Ученик:"Но ведь "2"-дейст.."
Учитель:"Не-не-не, "2"-целое число, а мы сейчас говорим про действительные числа..."
Ученик:
Учитель:"ээээ : | "
@@finelight6615 я вас отлично понимаю, сам этим страдал, однако правило о котором вы говорите является просто упрощением или обобщением действительного: мы не можем возвести отрицательное число в *любую* действительную степень, ведь простой пример √(-1) не является членом действительного множества чисел. Чтобы не возникал уход результата из области действительных чисел принято запрещать возведение отрицательных чисел в любую степень. Да, (-1) можно возвести в квадрат, однако в половину рациональных чисел нельзя; т. к. действительные числа включают в себя и целые и рациональные, правило обобщают.
Надеюсь достаточно понятно описал
А то, что корень из квадрата любого действительного числа равен его модулю, это просто следствие свойств умножения в поле действ. чисел
И ещё, целые числа все входят в рациональные и действительные (целиком), однако не всякое действительное число целое, для этого обобщение на все действительные числа, да, можно было бы точнее описать, например α^β α-R, β-R/Q{m/n, n-Z, m-R}
Символ тире означает принадлежит
Спасибо. Из всех на кого я подписана только вы объясняете всё доступным языком и такие моменты которые все просто опускают. Сразу стало понятнее как находить ОДЗ, почему, например, х>0, хотя на первый взгляд кажется ну может же быть и отрицательным.
Спасибо вам огромное, все разложили по полочкам!
Спасибо, что про математику✌️
Борис Трушин- - голова!
Если уравнение x^x=-1 имеет корень в целых числах, но не имеет в действительных, то получается, что целые числа не принадлежат множеству действительных. Однако если рассматривать действительные числа, как предел, то и целые числа нужно рассматривать, как предел, иначе появятся разрывы. Но числа с одинаковыми свойствами должны принадлежать одному множеству, что противоречит вышесказанному. Значит x^x=-1 не имеет решения, и вообще возведение отрицательных чисел в степень это другая операция, нежели возведение положительных. это если обойтись без комплексных чисел
Тут про одз, а не принадлежность множеств
Вы слишком интересно объясняте, спасибо)
Чел, ты классик.
Спасибо.
Финал впечатлил, про х^х👍
Спасибо, вы очень понятно объясняете. Это очень ценно, так как довольно редко встречается )))
Если мы возьмём отрицательное основание и целую степень. То для действительного числа у нас не будет того самого предела. В самой точке есть значение, а в её окрестности нет. А для целой степени нам не нужны пределы. Мы просто умножаем.
краткий ответ: если мы берём здесь отрицательное основание, то про действительные числа тут надо уже забыть.
О Боже,так просто..Но все же мощно сказано..Мы ошибаемся..Спасибо что вы есть..Очень мощно и логично
боже,я вас обожаю
Как же Борис все понятно объясняет, просто супер
Очень интересно
Известный анекдот из теорфизики про «Ландавшица»: если доказательство занимает больше одной страницы, то написано «очевидно, что».
а по-моему ноль на ноль очень даже делится, ответ дает совершенно правильный, единица. Это же два одинаковых числа, при делении должна быть единица. Считаю что надо положить конец гонениям и дискриминации нуля, он же очень маленький их нельзя обижать
Помню интересную задачку: что больше: e^π или π^e?)
У меня есть про это видео )
А і*і слабо, где і- мнимая единица.
@@МиколаДзядук i * i = -1, всё!
Забавно, буквально пару недель назад спрашивал, почему нельзя отрицательное число возводить в нецелую степень... Ответа не получил. А тут вот. :)
Спасибо, было интересно.
Очень интересно)
Как хорошо когда умеешь делать комплексный анализ и не забываешь про модуль
Даже парабола выглядит не так как мы привыкли если не исключать комплексные числа
И она почти не отличается от параболы нечётной степени.
Спасибо Вам огромное!!!!
Да.Изложение отличается тем,что не на пальчиках,а на основе мат.законов,чего не хватает многим учителям,особенно не старших классов(зачастую доминирует принцип Марьванны,ввиду того ,что и сама Марьванна "плавает" в этом вопросе,особенно в вопросе независимости подходящих последовательностей.Да и не мудрено.Тут без Вейерштрасса не обойтись,а это уже ВУЗ).
Это нормально, что число лайков - e(2.7) тысяч? Математика везде😱
0:50 Рыбников бы не согласился
рыбников поехавший
А что поехавший если косяк :))))
Все числа можно представить, как результат работы алгоритма в основе которого лежат вычисления рядов...
Борис, благодарю за видео! Можно добавить "отсебятину" ?
Кроме арифметического корня (не только квадратного) вместе с ним вводится "арифметическое возведение в степень" (для всех промежуточных между натуральными). Обе функции ("операции", если хотите) мирно живут вместе в тёплом и уютном мирке ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ действительных чисел. Да, Вы не ослышались: a^b определена только для положительных (про ноль отдельный разговор, но точно без отрицательных).
По той же причине, по которой убрали левую ветвь параболы, нужно отпилить лево-нижнюю ветвь и у x^3 (и всех остальных). И говоря про эту вещественную парочку, напрочь забыть о существовании отрицательных чисел. Тогда всё будет хорошо: оставшаяся ветка от степенной функции будет четко соответствовать (см "обратная", точнее "взаимно-биективно-обратная") оставшейся ветки у "арифметического" ("подпиленного") корня.
Если ВДРУГ кто-то вспомнит про отрицательные, то нужно пожертвовать своим мировоззрением и чуть порушить тёплый и уютный мирок, раздвигая его рамки. Но тут появятся неоднозначности. Во-первых, надо принять "особый вид" чисел: "положительно-отрицательные", а также "особые" функции, которые их возвращают.
Теперь Корень( x, 2 ) - это уже не тот знакомый "арифметический" ("подпиленный") квадратный корень, который раньше по одному вещественному выдавал одно вещественное. Это нечто другое, что возвращает сразу два значения как одно (кортеж/множество из двух чисел). Теперь Корень(1, 2) = (-1, 1) или "плюс-минус 1". В начальной школе, чтобы не разорвало мозг ("стены мирка"), говорят "что у уравнения есть два решения". Это эвфемизм для "у уравнения есть одно решение, составленное из двух частей". Поэтому при введении отрицательных чисел в "арифметическое возведение в степень" (например, у x^2) у его друга-корня тоже отрастёт ветвь! Надо смириться, что новый "обычный" "неарифметический" корень (как пара к "обычному" "неарифметическому возведению в степень" на всей действительной оси) - многозначная функция.
Более того, этих значений ровно столько, какова и степень корня. Да, такая вот плата за то, чтобы можно было сказать, что КОРЕНЬ( -8, 3) = -2, вернее: {-2, a, b} (мы же помним, что ответ сложный и из нескольких компонент; случай может быть вырожденный, когда компоненты вдруг оказываются одинаковые, а также могут не являться действительными, т.е. "как бы мы их не можем увидеть, но они есть" - всё надо учитывать правильно).
Да и с ветками тоже неоднозначно! Кто так уверен в том, что расширением "арифметического возведения в степень" на область неположительных будет именно x^n, а не |x|^n ? (mind the abs!) Графически говоря, почему это у графика "неарифметического возведения в степень" обе ветви не будут ВСЕГДА направлены вверх? Как для чётных, так и для нечётных n ? Вообще говоря, о какой вообще чётности может идти речь, если n - тоже действительное число? ( 2/1 - чётно? а 2/10 ?? а 75/25 ?? :) ) Мы же арифметическую пару определяли именно для вещественных! (Что x, что n, оба вещественные: как x меняется плавно, так и n меняется плавно, а ветви на графике плавно вытягиваются вверх при росте n.)
Тогда, получается, что вместо "привычных" школьных примеров y=x^3, того самого, у которого (-2)^3 = -8, и корня rt(x, 3), того самого, у которого rt(-8, 3)=-2, которые "красиво" выглядят, надо брать другую пару, которая вписывается в новую схему (для x^2 и sqrt(x)): |x|^3 и "плюс-минус" rt(|x|, 3).
Теперь "корень" "упал": либо надо его ограничивать на положительные, ведь обратная |x|^3 не может быть отрицательной, либо, принимая за определение R3(x) = "плюс-минус" rt(|x|, 3), "доделывать" "возведения в степень": P3(x) = "плюс-минус" |x|^3.
Тогда будёт всё хорошо в царстве действительных чисел, будут два взаимнообратных друга Змей Горыныча с 4-мя головами (ветвями).
В частных случаях, дабы не пугать гостей, две головы будем отпиливать, исходя из разных "логик".
1) считаем, что n - сугубо натуральное и учитываем его чётность. Тогда остаются красивые "двухветвенные" варианты y=x^3 и y=КОРЕНЬ(x, 3).
Зовём гостей по только нечётным числам, если они не готовы видеть двузначные функции.
2) над первым змеем проводим операцию по обрезанию нижних ветвей: y=|x|^3, а второму, кроме удаления левых ветвей, делаем "располовинивание".
И говорим: вот первому змию соответствует два других полу-змия: один "+", другой "-".
3) выбираем компромисс между 1) и 2). По нечётным "щадящий режим" (у первого удаляем левоверхнюю и правонижнюю, а второго делаем симметричным отражением относительно y=x), а по чётным - "жёсткий" ( В x^2 убираем всё нижнее, а root "располовиниваем" на "+" и "-").
4*) вообще отказываемся от идеи расширения и возвращаемся обратно в мир двух недо-змиев.
Предлагаю совместно написать статью или выпустить в современном виде (совместный видеоролик) про эту тему.
Буду рад Вашему ответу по эл. почте AndreyBaluevsky@gmail.com .
здесь под y=x^3 подразумевается класс всех y=x^(2k-1),
под y=x^2 подразумевается класс всех y=x^(2k), где k - натуральное.
Аналогично им парные root( x, 3) и sqrt( x ).
Добавлю, что можно ещё вырожденные варианты { y=x , y=1 } добавить в тему, но лучше это сделать в специальной (совместной) публикации.
Друзья! Ещё хочу обратить внимание на скрытый смысл моего послания:
"Два недо-змия - это не две отдельные сущности, а это две части ОДНОЙ сущности".
Т.е. нет отдельного "возведения в степень" и нет отдельного "корня", а есть единая двуместная функция ("бинарный оператор", если так больше нравится), которая выполняет оба этих действия в зависимости от второго параметра. И вместо двух взаимно-обратных есть ОДНА, которая обратна сама себе.
Т.е. пусть это будет f(x, y). Тогда pw(x, n) := f( x, n), rt(x, n) := f( x, 1/n). Т.е. rt( x, n) = pw( x, 1/n),
pw( x, n) = rt( x, 1/n). А также: pw( rt(x,n), n) = x = rt( pw( x, n), n).
А также для дробных чисел выполняется правило "перекидывания" множителей:
pw( x, a/b) = pw( pw(x,a), 1/b) = rt( pw(x,a), b) =
= rt( x, b/a ) = rt( pw(x, a), b) = rt( rt(x, 1/a), b) .
Что именно принимает и возвращает f(x,y) - это отдельный вопрос (т.е. как понимать выражения выше).
Для удобства, можете считать, что f(x,y) - "арифметическое" действие на положительных вещественных.
Проверка данных правил (а также обобщение на любые дроби, в т.ч. с вещественными a и b) - домашнее задание.
Спасибо!
Осталось объяснить, как возвести число в комплексную степень
Иди к Mathologer'у ua-cam.com/video/leFep9yt3JY/v-deo.html
Было видео, где Трушин рассказывал, что это нельзя делать
@@хейтер-д4зпочему нельзя, когда можно
Так если мы хотим работать с показателями как с числами, то, по идее, должны быть вернуы следующие рассуждения:
(-1/2)^2 = (-1/2)^(-0.5+2.5) =(-1/2)^(-0.5) * (-1/2)^(2.5)
Но это не определено 😁
мы не можем брать основание отрицательное😂
Спасибо, очень полезно!
огромное спасибо!
14:00 Не понял, а где в правом верхнем углу экрана выезжающая табличка с видео из матана?
Да-да, надо сделать )
"у вас не может возникнуть ситуация, когда нужно ноль возводить в нулевую степень", отмотаем лет на 500 назад - "не может возникнуть ситуация, когда надо брать корень и -1", но те не менее возникли, аж целый ТФКП разработали
Спасибо за хорошее видео! У меня как раз возник вопрос о том, как вообще числа возводятся в иррациональную степень (по моей памяти, в школе, как-будто бы, не учили этому)
так и есть, в обычных школах этому не учат, там просто говорят "а давайте все операции с целыми степенями будем проделывать и с вещественными, не понимая как это работает", это хорошо изучается на 1 курсе
19:49 подождите, если х=х^√-1 и х=-1, то х=-1^√-1? вроде если возвести это число в степень -1, то получим подкоренное выражение, но в интернете мнения разнятся, а в учебниках ничего не говорят об отрицательной степени корня, существует ли тогда такой ответ и в принципе корни отрицательной степени?
Я ближе к иформатике, но хочеться понять это+
Бомба,сам с детства с математикой занимался..Но вы меня размбобили простой логикой..Простите,ну и блин так ясно и просто
ласт задача топ
Борис, в вашем рассуждении про уравнение в самом конце ощущаю противоречие. Решить уравнение на множества А - значит найти все х из А, при которых оно превращается в верное равенство, либо доказать, что их нет. Но невозможно доказать, что среди действительных чисел нет такого, которое обращает в равенство, потому что оно есть: это число -1, оно действительное. То есть правильнее говорить, что когда мы решаем это уравнение и считаем х действительным, то необходимо раздельно рассматривать два случая: а) х целые (в тч и отрицательные), б) х рациональные и иррациональные, тогда х>0. Как думаете?
А как возводить в комплексную степень или просто в мнимую единицу
А это ты слишком умный.
ln a^b = b*ln a
a^b = e^(b*ln a)
Можно применять это тождество для возведения комплексного a в комплексную степень b
@@vp_arth можно по формуле Муавра
Но ноль в нулевой можно представить как предел икс в исковой степени, когда икс стремится к нулю. Такой предел существует и равен единице.
А можно как предел икс в степени логарифм 0,7 (тоже стремится к 0) по основанию икс, тогда будет 0,7.
6:40 Мне нравится, как буква К похожа на японскую と(внезапно)
Супер ролик. Не все понятно, но очень интересно. И самое главное весь ролик ждал ответа на вопрос как не пользуясь инженерным калькулятором решить неравенство что больше e^π или π^e. Задачка хоть и олимпиадная, но хотелось бы знать подход к её решению. Разберите её на своём канале.
Она точно есть. Поищите )
@@trushinbv ок. Спасибо.
Очень мощная логика.. но там и менее закрадывпще
А существует ли степени где показатель комплексное число? И не решит ли это проблему невозможности отрицательного основания при действительных числах. И, пожалуйста, не бейте меня сразу тапком, я в математике профан, но восхищаюсь этой наукой, потому как считаю, что она описывает существующий мир и математика это и есть мир. И ошибся, не показатель комплексное, а основание.
Про это была следующая серия «в интернете опять кто-то неправ» )
А есть видео про возведение в комплексную степень...?
Да, было что-то. В рубрике «в интернете опять кто-то неправ»
@@trushinbv Спасибо!
тезис о большем количестве действительных чем целых чисел весьма спорен,;
0⁰=0/0=слон/слон=&/&=1 мне кажется. Да и предел k в степени k, когда k->0 будет 1.
15:00 Согласен, что в школе делают очевидным то, что далеко не очевидно. А потом такой на первом курсе видишь задачу:
Доказать, что 1>0. И такой "Опа! Это же очевидно!"
Кстати, думаю, мало кто вот так навскидку сможет это доказать :) А я тоже забыл :)
P. S. доказывать, что 1>0 нужно исходя из аксиоматики. А в аксиоматике НЕТУ такого, что 1>0. Поэтому нужно доказывать :-)
Интересно, есть такое на Ютубе? На первом курсе вуза точно есть :)
Не понятно, как это, это что вроде ноль разделить на один, потом из аксиоматики сказать что полученное меньше единицы, значит ноль меньше единицы, масло масляное, или из нуля вычесть один, получим отрицательное значение, значит ноль меньше единицы, но опять отрицательное значение мы получили именно из-за того что ноль меньше единицы, хреновина какая то, нельзя доказать утверждение, если в доказательстве ты используешь то, что доказывается, это очевидно аксиома, когда один больше нуля, а два меньше трёх, это тоже самое, что доказывать два плюс один это три, чудачество.
Получается что при целых и рациональных возведение в степень это сокращение умножения, а при иррациональных это предел?
всегда предел.
limk*k=1 при k->0;
limk*k=4 при k->2.
9:00
Просто принять что корень из 4 может быть не только 2 но и -2, и никаких проблем. Ошибки я не вижу, я вижу только путаницу в определениях и попытку математиков её избежать ничего не делая.
Квадратный корень - числа, квадрат которых равен подкоренном выражению. Арифметический квадратный корень - это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Путаницы нет
@@что-ф3п путаница есть, потому что многие забывают либо забивают указывать слово "арифметический", когда они это подразумевают.
проблема с обратной функцией: по 2 значения у 1го аргумента, а это не порядок/нефункция??
@@mikkul5130 назвать это очередной многозначной функцией и не париться.
Вы так и нтересно рассказывайте про математику, побольше бы таких учитилей😅Есть еще такая просьба, не могли бы вы разобрать неопределенность в пределах, 1 в степени бесконечность?Я просто не могу понять , почему это неопределенность)
Gugster g
Посмотрите мое видео про число е
20:52 почему основание в действительных числах обязано быть больше нуля?
В видео об этом как раз сказано.
.
Допустим у тебя есть чисто (-8)
Ты не можешь найти из него квадратный корень.
Если находишься в множестве действительных чисел.
.
Но можешь найти корень кубический из этого же числа -8^1/3=-2.
.
Чтобы таких казусов не случалось, говорят что формула а^n/m работает только для положительного основания
0:04 а когда вы не про математику говорите..
Обожаю вопросы школьного уровня...
Вынесло мозг в тот момент, когда понял, что иррациональное число на то и иррационально, что не имеет рационального приближения хД
Парадокс в том, что если множество целых чисел полностью входит в множество вещественных чисел, то логично было бы предположить, что и решение на множестве целых чисел будет входить в множество решений на множестве действительных чисел, а опа, и нема))
А могли бы Вы рассказать, почему минус на минус = плюс?)
Кеша Корелловичь
A-(-B)=C
A=C+(-B)
A=C-B
A+B=C
Отсюда A-(-B)=A+B
-A*(-B)=C
-A*(-B)+k-k=C
Пусть A*B=k
-A*(-B)+A*B+A*(-B)=C
(-B)*(-A+A)+A*B=C
A*B=C
Отсюда -A*(-B)=A*B
Через связь математики с логикой: отрицание отрицания есть утверждение.
Математика - это подсчёт физических явлений.
И здесь можно объяснить это обычными физическими жизненными примерами.
Например: У вас в карманах ПУСТО, то есть *НОЛЬ* . Вам корефан *подарил* 2 $ . И естественно в кармане у вас стало 0+2=2 $ . Это понятно. Вы конечно сразу же потратили эти деньги (2-2=0 $) .
Вы пошли опять к этому другу и говорите - дай мне ещё пару баксов. А корефан отвечает - ну друг, это уж слишком, если надо, то *бери в займы* .
Вы *взяли в займы* 2 $ (0-2= *-2* $). Деньги есть, но они не ваши. То есть теперь когда вам мама даст 2 $ и у вас вроде бы появятся СВОИ *2* $, но вы их автоматически отдадите как долг другу (-2+2=0 $ ) и в кармане опять воцарится ПУСТОТА, то есть НОЛЬ. Это вроде бы понятно.
А если вы *уже* должны другу *4* $ (-4), а не хватает ещё 4 $ на то что бы купить наушники, то вы опять же возьмёте у корефана *4* $ (-4*2= *-8* $). То есть вы УДВОИЛИ свой долг( -4 умножили на 2 и получилось -8 $ ), или по другому - у вас в кармане есть 8 $ но не своих, а при появлении своих, вы автоматически их отдадите другу как долг (-8+8=0 $).
Другими словами: если друг ДАЁТ деньги, это +, а забирает деньги это МИНУС.
Если друг ДАЁТ в *долг* 4 $ ,это *+* (-4 $,)
Если друг ПРОЩАЕТ *долг* , это *МИНУС* (-4 $,)
А если друг тебе ПРОСТИЛ ДВА по 4 $ (-2)*(-4 $,)=8 . То есть у вас в кармане теперь эти же 8 $, но уже СВОИХ !!!
@@Igor_1968 херня, которая никак не связана с доказательством теоремы о двойном минусе
👍
Такое ощущение что я сдал егэ на 3 и попал в университет к человеку который просто родился в математике! Это очень интересно! Интересно, сколько лет вы посвятили математики?
💣🔥
В школьной математике много довольно бессмысленных соглашений и условностей, которые нет необходимости знать математику, но нужно знать человеку, от которого могут потребовать продемонстрировать владение школьной математикой.
явный пример 0!=1
@@LEA_82 нет такого соглашения в школьной математике. Это соглашение в программировании и во всяких инженерных калькуляторах.
А почему он выкинул ответ -2, и сказал что корень из 4 это 2? Мы же записываем ±2
Я понял, что без Левой ветви это просто sqrt(y)=x
@@АлексейДёмин-л7р а я подумал, типо что он имел ввиду что не может быть √-1, может так?
@@STimothy ну да корень квадратный из у определён только при неотрицательных х
@@АлексейДёмин-л7р моя аватарка это отлично показывает)
@@STimothy да школьники, увидев твою аву просто охринели бы
А можно ли возводить в комплексную степень? Подумать надо
И про это ролик есть )
0 в положительной это 0, в отрицательной это +-бесконечность, а в нулевой это неопределённость, Что-то среднее между 0 и +-бесконечностью.
Не среднее, а именно всё множество значений
спасибо!
Когда а в квадрате- уделяется много внимания, когда более уровневая тема- то и так сойдёт!!! Уж любой ученик понимает, что такое А умноженное на себя
Интересно, на что похож результат возведения числа в степень, где показатель степени будет комплексным числом?
ua-cam.com/video/5gq4P63m9CA/v-deo.html
@@trushinbv Спасибо. Значит будет бесконечное множество значений.
Не всё с комплексными просто )
прояснил
спс лайк
прекрасное, исчерпывающее объяснение, один только комментарий: про 0^0 можно гораздо нагляднее сказать то же, что Вы говорили про любое ненулевое число в степени 0. Если хочется оставить все свойства действий со степенями, то 0^0 = 0^(k-k) = (0^k)/(0^k) = 0/0, где k, например, любое натуральное число. Т.е. 0^0 сводится к неопределённому в математике понятию и, следовательно, сам не может быть определён.
Согласен.
Не согласен. По такой логике можно сказать, что 0 ни в какую степень нельзя возводить.
0^5 = 0^(7-2) = (0^7)/(0^2) = 0/0
Так что аргумент не защитывается! :-)
@@IraklyG , то, что 0^7/0^2 не определен не означает, что и 0^5 не определен. Просто выбран неправильный путь вычисления.
@@IraklyG, а вот для 0^0 любой путь ведёт к неопределенности.
>то, что 0^7/0^2 не определен не означает, что и 0^5 не определен
Согласен. Потому и привёл этот пример.
То, что (0^k)/(0^k) не определено, не означает, что и 0^0 не определено. Нужен какой-то иной аргумент, чем тот, что привёл топикстартер.
Вы философ математический без ошибок..Но убойная ваша информация...Главное умение в простоте изьяснить..Эх,разорачевалс, в своих суждений..Ошибся ..Спасибо что вы есть...А так еще раз про анализирую вашу мощную информацию..Очень задело...Ошибаюсь
Поступашки сказал бы, что школьник 8 класса должен был исследовать функцию x в степени x, в точке 0. И тогда бы не возникало никаких вопросов
Такая задача: решить в целых числах уравнение x^(x+5) = 0.
Невозможность возведения нуля в отрицательную степень помешает ли вам считать 0 корнем этого уравнения? Очень надеюсь получить ответ.
Если в целых, то все хорошо же. 0^5 = 0x0x0x0x0 = 0.
Если a^b - степень с целым основанием и целым показателем, то верны следующие утверждения:
1) Если b>0, то 0^b = 0.
2) Если b≤0, то выражение 0^b не имеет смысла.
3) Если a ≠ 0, то выражение a^b имеет смысл.
***
В уравнении x^(x+5) = 0, где x - целое число, 0 является корнем.
В уравнении x^(x+5) = 0, где x - рациональное число, 0 является корнем.
***
Это очень тонкий теоретический момент! Я сейчас во втором комментарии скину 2 фото из учебника "Алгебра и начала анализа" Алимова, Колягина и др.
Вот фото страниц из учебника:
ibb.co/G0DhX9D
ibb.co/k0BYxsR
На второй странице прямо на уровне определения задаётся равенство 0^r = 0 при всех рациональных r > 0.
@@yakovlichevau То есть 0 разрешается возводить в некоторые рациональные степени (а именно - в положительные). Почему вдруг нельзя отрицательные числа возводить в некоторые рациональные степени (а именно - в целые)? Кроме того, раньше мы это делать умели (до того, как изучили степень с рациональным показателем).
@@trushinbv То есть невозможность возводить 0 в некоторые целые степени (а именно - в отрицательные) не причина выбрасывать его из списка корней данного уравнения. Почему же тогда невозможность возведения -1 в некоторые вещественные степени (а именно - в нецелые) заставляет вас выбрасывать -1 из списка корней уравнения x^x = -1?
Что-то я не поняла, множество действительных включает в себя мн.целых, так почему решения нет? Решения нет в множестве "действительные без целых", а такому мн. просто имени отдельного не дали.
x^x в целых и x^x в действительных это просто два разных выражения. В действительных числах x^x просто не определен для отрицательных х
так а как насчет lim n^n при n->0? вроде 1 все-таки :)
ну и 0/0 тудаже :)
Посмотрел видео, но так и не понял, как возвести в иррациональную степень и как решить пример sqrt2^sqrt2^sqrt2
В нулевую степень нельзя возводить числа меньше либо равные нуля - оговорка или я слушал невнимательно?
Последовательность с корями из 2 стремится к 1, так?)
Ты про лругое вообще
Zamecu, cto funkcija 0^x opredelena dlia VSEX polozitel'nyx vescestvennyx x .
Что делать с пределом икс в степени икс при положительном икс, стремящемся к нулю?
Односторонний предел x^x при x стремящемуся к нулю справа существует. И равен он 1. А вот значения функции в нуле не существует. Вообще для многих функций принимающих в определенной точке значение вида 0/0 существует односторонний предел. Но он может быть и нулём и бесконечностью и любым другим числом, в зависимости от скорости, с которой числитель и знаменатель стремятся к нулю.
@@German_1984 спасибо
Круто
Что-то я не поняла. Если задание решить последнее уравнение, то что -1 не корень?
Не вижу порадокса. Ноль в любой степени ноль, ноль в нулевой 1. Деление это сокращеная запись вычитания. Сколько раз можно из нуля отнять ноль? Один раз.
А че второй раз мешает
Ответьте пожалуйста на вопрос. Если число в рациональной степени должно быть строго положительным то значит основание корня из нечётной степени так же должен быть строго положительным но почему тогда например мы можем извлечь кубический корень из -8 ?
Потому что работаем с кубическим корнем как с операцией, обратной целочисленному возведению в степень 3.
А если у меня пример : корень шестой степени из (-8)^2 . Могу ли я делать какие либо действия в этом случае или это правило 9:30 ограничивается только степенями ?
Тогда можешь.
А можно попросить разжевать возведение в иррациональную степень например (1,000136986)^1.825
Так это же рациональная
@@allasky7703 Перепишите рациональный показатель в виде дроби, пусть для простоты(лучше посокращать), у вас получится 1825/1000. Тогда исходное выражение = корню 1000-й степени извлечённому из (1.000136986^1825)
чему будет равен в пределе икс в степени икс при икс стремщимся к нулю? :)
1. Мы на каком-то стриме это обсуждали.
Вы говорите, что нигде не встречается 0^0. Но разве мы не хотим считать, что для всех a и b выполнено равенство:
(a + b)^5 = \sum_{k=0}^5{5\choose k}a^{5-k}b^k
Ведь если подставить a = b = 0, там будет 0^0.
В степенных рядах считают 0^0=1^ но это только для облегчения записи. Никакого глубинного смысла в этом нет. Фактически, это воспринимается как предел x^0, при x --> 0.
>В степенных рядах считают
В программировании это называется "костыль" :-)
Зачётная шутка)
И вопрос к верхнему комментарию. Это какой язык? Эльфийский?
@@РайанКупер-э4о TeX
Вопрос про отсутствие решения уравнения x^x = -1 в действительных числах. Я воспринимаю степень с действительным показателем просто как продолжение операции возведения в степень с рациональным показателем. А последнюю - как продолжение операции возведения в степень с целым показателем.
ru.wikipedia.org/wiki/Продолжение_функции
В этом смысле не бывает такого, чтобы на более узком множестве решение было, а на более широком - нет.
Вы же, если я правильно понимаю, воспринимаете степень как четыре разные операции, которые одинаково обозначаются, но у каждой своя область определения, причём эти области определения находятся в общем положении друг относительно друга (кроме пары "рациональный показатель" и "действительный показатель").
Правильно ли я вас понял? И не кажется ли вам подход с продолжением более разумным, чем подход с разными, но одинаково обозначаемыми операциями?
Короче, я считаю, что уравнение x^x = -1 имеет решение в действительных числах. Пусть в меня первым бросит камень тот, кто скажет, что равенство (-1)^(-1) = -1 неверно или бессмысленно. Или что -1 не действительное число!
Вы пишите: степень с рациональным показателем - это продолжение операции возведения в степень с целым показателем. Но как вы это "продолжение" задаёте? То есть чему равно (-8)^(1/3)? и чему равно (-8)^(2/6)? И почему если 2/6 и 1/3 равные числа, то (-8)^(2/6) и (-8)^(1/3) - это неравные числа?
Андрей, то, что степень с рациональным показателем это продолжение степени с целым показателем, не означает, что отрицательные числа можно возводить в дробную степень.
Пусть f_1(a, b) = a^b -- степень с целым показателем.
f_2(a, b) = a^b -- степень с рациональным показателем.
Обозначения:
R - вещественные
N - натуральные (целые положительные)
Z - целые
Q - рациональные
x - декартово произведение множеств
\ - разность множеств
U - объединение множеств
Тогда область определения f_1 это множество А:
RxN U (R\{0})xZ
Область определения f_2 это множество Б:
RxN U (R\{0})xZ U {t | t > 0}xQ
А - подмножество Б. На множестве А функции f_1 и f_2 совпадают. Это и означает, что f_2 является продолжением f_1.
Ваш пример таков: a = -8, b = 1/3.
Но пара (-8, 1/3) не входит в множество Б. Так что f_2(-8, 1/3) не определено.
Надеюсь, я ответил на ваш вопрос. Если что-то не понятно, я готов пояснить.
@@IraklyG, Вы ответили на мой вопрос частично.
Просто в уравнении х^х=-1 (х€R) возникает такой вопрос: где ошибка в следующей записи?
f_2(x, x) = х^х =x^(2x/2) = √((x^2)^x) ≥ 0.
@@IraklyG, я хочу сказать, что согласно вашему описанию функции f_2 получается, что если x€R, то f_2(x, x) не определена. Точнее определена для положительных х. Значит, x^x=-1 не имеет действительных корней.