Парабола | Квадратный трёхчлен #2 | Ботай со мной
Вставка
- Опубліковано 29 сер 2024
- Квадратный трёхчлен. Часть II
Парабола (график квадратичной функции)
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике: foxford.ru/cou...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике: foxford.ru/cou...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике: foxford.ru/cou...
Вы просто волшебник. Никогда в школе об этом не рассказывали
Спасибо за знания. Узнал на прошлом занятии откуда вообще взялся этот D, который как заклинание давали нам в школе! Сразу видно, как вы любите давать знания!
Об этом (вывод формулы корней квадратного уравнения) не может не быть написано в вашем учебнике. И учитель наверняка сказал прочитать соответствующий параграф. Я понимаю, что видосики смотреть приятнее, но книжки-то тоже надо иногда открывать.
@@nicksm7980 Мне квадратное уравнение объясняла учительница, которая сама не умела его решать. Так что некогда было заморачиваться теорией, хотя было и интересно...
@@nicksm7980 Все-таки у Бориса объяснение более понятное, чем то, которое было в моем учебнике.
Надо наконец таки начать п*здить учеников которые жалуются на учебу и при этом не читают учебник. Учителя хорошие или плохие то отдельная история. Но при желании можно в класе 9-м взять учебники от 5 до 11 класа и самостоятельно понять материал школьной программы где-то за год-полтора (я про математику уровня стандарта). Раньше было сложно, потому что надо было найти человека который может научить, а сейчас все в отрытом доступе, только учите.
Не знаю, как сейчас. Но в 90-е годы в учебниках математики (и, соответственно, на школьных уроках) всё что касается квадратных уравнений выводилось и объяснялось подробно. Я в шоке от комментариев, в которых пишут, что им "дали формулы просто так, без объяснений". Если это действительно так, то какой тогда вообще смысл в преподавании математики, зачем она тогда нужна? Я уверен, что те, кто так пишет, банально пропустили все эти объяснения, потому что это были скучные урок и учебник, а не веселая видюшка в интернете.
Я себе момент с вершиной параболы объяснял так:
Берём у параболы симметричные x1 и x2, ну или же берём x1 и x2 при пересечении ветвей парабол с осью 0X.
Мы знаем, что парабола симметрична с обеих сторон, поэтому логично предположить, что x0 находится ровно между x1 и x2.
Проще говоря, если у нас есть одно число и другое, то их среднее арифметическое -- это то, что ровно между ними.
Отсюда выходит, что нам нужно суммы x1+x2 делить пополам.
Мы знаем, что x1+x2=-b/a.
Поделив обе части на 2, мы найдём x0.
x0=-b/(2a).
Интересный вывод
Это может работать только в том случае, если у нас парабола пересекается с осью x. Полезнее представить, что происходит с первоначальной функцией y=x^2, когда мы добавляем параметры. Если неправ, просьба поправить
@@user-pp2uh5mm4x В комментарии было указано: "Берём у параболы симметричные x1 и x2", иначе говоря, мы можем нарисовать любую прямую, параллельную оси Ox, причем прямая будет пересекать параболу в двух точках - это и будут x1 и x2
Мне 44 года, с математикой сталкиваюсь только если умножить разделить по работе, смотрю с удовольствием
На самом деле, интересно еще поработать с производной - ведь с ее помощью можно находить точку экстремума параболы, откуда также вытекает этот -b / 2a и D / 4a
Борис Викторович, спасибо! я вас люблю
Я только в старших классах поняла, откуда формула для вершины взялась - это точка экстремума :)
Спасибо , очень интересно
Вы просто бог! Спасибо большое, теперь всё ясно и понятно!)))))) Удачи вам:)
Спасибо!
Борис Викторович!
Вы не хотите начать писать нечто вроде альманаха "Правильному школьному учителю математики"?
Чтобы молодые педагоги, которые идут в обычные школы, несли бы правильное преподавание этого предмета, то есть перестали бы давать математические знания на посредственном уровне, что даётся даже в профильных классах
Максим Кузнецов может дело в том, что эти видосы смотрят те, кто хочет знать. Им нам проще их понимать так как мы сидим дома и смотрим, попевая чаечек
Безусловно .
Но школа должна давать хоть какие-то базовые знания
Иначе какой от неё смысл?
Дать формальный аттестат?
Спасибо большое👍
Отличная подача, спасибо
Хочу заметить, что можно на параболы с разными коэффициентами смотреть не как на растяжение графика, а как на приближение или отдаление. Просто находим точку в которой у=х и ставим, что теперь там единица. В результате простр другой масштаб
a = 0,0025
Большое спасибо!!!
Очень интересно!!!!!
Можно ли было сказать, что вершина выводится через производную квадратичной функции?
Так как (ax^2 + bx + c)' = 2ax + b, то
2ax + b = 0
2ax = -b
x = -b/2a
А отсюда уже подставляем в исходное выражение
Да вы гениален, слушайте
Почему бы и нет, тогда нужно просто доказать лемму Ферма
конечно, через производную проще, но гораздо круче увидеть формулу используя знания только формул сокращенного умножения и элементарную логику
SiMiLid производная тоже не лишена логики и элементарности.
вот откуда ноги у производной растут
Спасибо большое))
Формула для вершины элементарно выводится :вершина-это единственная точка x (в других случаях х у нас 2), то есть один корень. Но один корень имеет уравнение, дискриминант которого равен 0,зн формула для корней - b+sqrt(0) /2a или - b-sqrt(0)/2a, так и получается формула
а про параболу которую повернули на угол, есть видео? понятно, что через преобразования координат можно всё вывести, но может Вы уже сняли такое видео?
Параболу на угол?
Звучит интересно
💯💯💯
а про гиперболу можно обьяснение
Подскажите пожалуйста как нарисовать параболу с очень широким раскрывом, это не реально используя квадратичную функцию? Скажем мне надо высота параболы 1м а ширина 2м? Реально такую широкую и не высокую параболу построить? как надо действовать тогда? какую формулу взять? вопрос снят...множитель поставлю 0.1....0.5 и тд. Благодарю вас
а еще они берутся из теоремы Виета напрямую т.к координата вершины (x1+x2)/2 по теореме Виета x1+x2=-b/a подставив получим -b/2a ))
Да, но не совсем. Вершина есть всегда, а корней может и не быть.
Попробуйте применить для у=х^2-2х+1
@@trushinbv а знаешь, параболы везде, это начало и конец всем предметам и явлениям, ну а циклы из них не всегда заметны. Сама форма параболы -это результат наложения процессов, от этого и степень. В чистом виде - это прямая, вот как раз суть исследований - поиск прямых зависимостей двух факторов
@@trushinbv про параболу хороший выпуск, завтра буду делать выводы, надеюсь, полезные, спасибо!
@@clockfixer5049 ну это (x-1)^2 , x=1 y=0; x=1 вершина.
Ottimo Prof. Boris!
permettimi di portare un mio contributo alla Historia dell'algoritmo della Parabola ,come corollario alla tua Lezione sulla conica che è una fonte di idee sullo sviluppo della matematica greca che penso non sia stata studiata a fondo nel mio Paese ed anche in altri paesi dell'Eurasia.
Si tramanda ,oralmente, che Pitagora ,mentre studiava le proprietà dei numeri naturali, ed in particolare dei primi due successivi all'unità(1), abbia intuito che dovessero essere scritti nella forma più idonea ,ovvero, nella loro somma ∑=[n+(n+1)] , e nel loro prodotto
P=[n(n+1)].
Il loro sviluppo genera ; →∑= ( 2n+1) ed →P= [( n)^2 +n )].
Noi moderni ci accorgiamo ,così come Pitagora, che questi due numeri generano due algoritmi algebrici che sono due Funzioni; una retta ,della forma (y=2n+1 )
ed una parabola spuria(incompleta ) nella forma (y=n^2+n) .
In quel tempo ,tuttavia, Pitagora non divulgò la scoperta perché bisognava spiegare alla sua "Comunità Scientifica" di Crotone ,in Italia meridionale, che era una colonia greca, il significato algebrico- e poi in quello geometrico ed occorreva rappresentarlo non solo nella sua forma curvilinea, rispetto al suo asse di simmetria ,ma anche in un sistema di assi cartesiani che doveva attendere il secolo di Descartes, più duemila anni dopo.
Naturalmente c'era anche da spiegare il significato dello zero(0), sia sotto il profilo algebrico sia in quello filosofico .
Comprenderai allora i motivi per cui Pitagora preferì non divulgare la scoperta .
Prima di procedere, avanzo l'ipotesi che a queste due scoperte meravigliose, Pitagora intuisse che si poteva e si doveva indagare se queste due espressioni, che noi moderni chiamiamo "Funzioni", potessero generare qualcos'altro.
Egli scrisse le due funzioni :( n^2+n+0) ed a questa sottrasse la (0+ 2n+1 )ed ottenne che
∑=(n^2+n)-(2n+1)=→( n^2-n-1) che uguagliò a zero→[ n^2-n-1=0] ,
che il Prof. di matematica conosce.
Quest'equazione è quella del rapporto Aureo (𝞅) e del segmento aureo (- 1/𝞅).
E qui, ottimo Boris ; mentre tu accedi al prodigio di Pitagora dovremmo pensare anche alla Russia che riscopre l'eredità scientifica della Grecia Classica come Terza Roma.
In che modo?
perché egli scoperse la [ n^2-2n-3=0] con i coefficienti a=1;b=2;c=3 che indicano l'esistenza dei tre imperi ( Impero di Roma-Impero di Bisanzio e Impero di Mosca), quest'ultimo non è ancora caduto ma è stato umiliato a causa della crisi ideologica e morale della sua classe dirigente che non si rinnovava guardando fuori dai suoi confini e studiando l'evoluzione delle civilizzazioni concorrenti .
Torniamo a Pitagora: come vi arrivò?
Anche qui considerò la terna dei numeri naturali nella forma ; [n^2+(n+1)^2=(n+2)^2 ,]
che sviluppata ed ordinata ed uguagliata a zero offre →( n^2-2n-3=0)
le cui soluzioni ,((-1) e (+3)(ricordiamolo), non poteva risolvere con il sistema degli assi cartesiani ma certamente con il teorema dell'annullamento del prodotto a zero ,riscoperto da Viète ,ma originato verosimilmente dall' cultura greco antica.
Come lo sappiamo? Se rammenti ,in quel tempo , si racconta che al tempo della peste di ATENE, NELLA GUERRA DEL PELOPONNESO nel V sec a.c.;
alcuni cittadini Ateniesi si rivolsero alla sacerdotessa del Tempio di Apollo per chiedere la grazia di allontanare la Peste sda Atene ;
( la sacerdotessa) chiese che prima di guarirli dalla Peste, gli ateniesi dovevano duplicare l'altare dei sacrifici dove si immolavano, in onore ad Apollo ,le loro offerte viventi( animali ).
I greci costruirono un'altro altare duplicando il lato dell'altare originario un cubo di unità( 1).
Naturalmente non riuscirono a duplicarlo perché non avevano ,come civiltà, ancora
sviluppato le conoscenze matematiche e geometriche.
Il Loro cubo era diventata una montagna di pietra 8 volte maggiore di quella che dovevano duplicare.
Questo episodio, narrato dagli storici greci, indica che un popolo non si salva se pensa di superare le sue difficoltà con l'aiuto di terze parti( alleati infidi o più evoluti sotto il profilo scientifico).
I greci, lascia intendere la Pizia(la sacerdotessa), dovevano applicarsi ed istruirsi alla Scienza matematica ma non solo e non avrebbero avuto bisogno di aiuto da nessuno:
("Ora come Allora") ;e qui mi riferisco alla tragedia, dei nostri giorni ,che vede la Russia difendersi dalla Peste d'Occidente che si era insinuata, negli anni 90 in Russia , subito dopo la caduta dell'impero URSS e che sta cercando ancora una volta di umiliarla e conquistarla.
Forza Russia ; l'occidente è come l'impero romano decadente ,del V° secolo, e bisogna guardarsi dalle sue richieste e promesse che sono Menzognere. Può e deve essere vinto.
Cordialità.😇
Joseph 11🤔
li, 9/9/22
(PS) perché 11, ti domanderai?✍🏻
Te ne faccio omaggio; e= [1+1/11!)^(11!)= 2,718.... e non dovrai più obbligarti a spiegare come gli occidentali moltiplicano gli interessi finanziari dei loro( $ ed €) denari .
Стоит ли в 9 классе начать активно выступать на олимпиадах? На уроках математики все кристально ясно, даже если учитель не очень
нет
Да
y=ax2+bx+c=a((x+b/2a)²-D/4a²)=a(x+b/2a)²-D/4a. Скажите,пожалуйста, а куда квадрат делся? Было 4a² стало просто 4a
Здравствуйте, просто раскрыли скобки а•(-D/4a²)=-D/4a
@@rizmo9125 спасибо
Я не очень поняла момент с у=a(x-x0)+y0. Не поняла почему сдвиг происходит по х0 и откуда его брать
x0 - произвольное число, которое показывает насколько нужно переместить параболу по оси абсцисс, а y0 по оси ординат.
Вообще a(x+b/2a)^2 - это a(x+x0), а y0 - это D/4a=(b^2-4ac)/4a, то есть значение a(x+b/2a)^2 - отвечает за перемещение параболы относительно оси абcцисс, а D/4a=(b^2-4ac)/4a - относительно оси ординат.
@@sergey-qy5km спасибо
Видео про математику, физику, геометрию и прочие науки набирают 200- тысяч просмотров а то и меньше, а о всякой ерунде миллионы просмотров...
а нормально, если понимаешь эти объяснения выводов, но спустя месяц, к примеру, уже трудно вспомнить, почему конкретно всё так и надо напрячься?
Нормально. Чтобы не забывалось, надо закрепить на практике
Как ax^2+by+c = y представить в виде a(x-x.0) - x.1 в уравнении типа: −x^2−2x+4. Просто если поменять знаки то порабола переворачивается, а как не меняя знаки выделить полный кваддрат не понимаю
Если что, я имею ввиду преобразование, которое происходит на 17:43
Вам нужно вынести а, в вашем случае а=-1
@@trushinbv Спасибо большое, Борис!) Благодаря вам начинаю понимать математику, а не заучивать формулы :)
Но вершина параболы - экстремум. Следовательно, y = ax^2 + bx + c => dy/dx = 2ax + b, отсюда x = - b/2a. Вторая производная: d^2y/dx^2 = 2a. Если a > 0, то x = -b/2a суть точка минимума, а если a < 0, то максимум.
Это сейчас было объяснение для 8 класса? )
И как ваши рассуждения помогут понять как выглядит график? То что он получается смещением параболы y = ax^2.
"Суть" это почти отмершая форма глагола "быть", означает 3 лицо множественное число, т.е. они.)
Получился крабэ
Я не поняла. Почему а за скобку вынесли?
Так удобнее
короче. растущую в квадрате часть уравнения в чистом виде хотели оставить, а всякие сдвиги отдельно
Классный полунаушник
Не очень понимаю, почему при "минус икс квадрат" ветви параболы "смотрят" вниз, разве возведение в четную степень не "уничтожит" знак минуса? Получается при функции , функция значения "игрек" будут всегда отрицательны, даже если "x" - отрицательный? А следовательно и график будет "вниз уходить"?
Есть разница между (-х)² и -х²
@@trushinbv спасибо, кажется дошло.
Я один строю от вершины параболы дополнительные оси, а по ним строю обычную параболу и смотрю где она пересекает иксы? Во всех объяснениях так не делает вообще никто, а жаль способ то удобный и не требует дополнительных вычислений
у вас все перепуталось)) когда вы писали точку пересечения по OY, 18:30, там не 5 должно быть, а 9, вы ведь рассматривали выражение y=x^2 -6x+9 -> 17:50
Почему? У нас же y=x^2 -6x+5
Я не понял, почему -4, а не 5
для преобразования формулы в квадрат разности нам не хватает тройки в квадрате и мы просто представляем 5 как 3 ** 2 - 4, что есть тоже самое
«вершина» параболы получается банально из равенства производной нулю, ну
2ax + b = 0 -> x = ...
Но производная не такая уж банальная вещь )
@@trushinbv банальное отношение двух дифференциалов, ну
@@vadiquemyselfно дифференциал - не банальная вещь )
@@trushinbv дифференциал банальнее параболы и лишь чуть-чуть обратно банальнее конечной разности ;)
а реально, существенно же проще получается, даже если детально всё писать
даю воображаемое изменение аргументу (входу) функции, получаю изменение результата (выхода)
δy = y(x + δx) - y(x)
= a(x + δx)² + b(x + δx) + c - (ax² + bx + c)
= 2axδx + a(δx)² + bδx
δy/δx = 2ax + aδx + b
на самом же деле изменение аргумента было воображаемое, δx = 0, и тогда отношение изменения выхода к изменению входа
δy/δx = 2ax + b
и для такого x, где это отношение будет равно нулю - и есть так нужная мне «вершина»
для семиклассника вполне доступно, и безо всяких дефиниций limit’а ни по Cauchy, ни по Heine
Почему когда -х сдвиг вправо,а при +х влево,а не наоборот?Вот с у всё ясно,а вот с х у меня ступор.
... где фокус параболи...