На области определения [0-97] данная функция имеет один экстремум в точке x=48,5, что легко установить, взяв производную. В данной точке функция принимает значение 2sqrt(sqrt(48,5). Sqrt48,5>sqrt47,61=6,9 Sqr6,9>sqrt6,76=2,6 2*2,6=5,2>5, то есть экстремум больше 5. На границах функция принимает значение sqrt(sqrt97), что лежит между 3(81) и 4(256), то есть функция возрастает до максимума и убывает обратно. Она непрерывна - значение y=5 будет приниматься в двух точках, которые несложно подобрать: 81 и 16, чтобы получить, извлекая корни, 2+3=5.
Метод научного тыка (т.е. подбора). Т.к. оба слагаемых больше нуля, то нужно число 5 представить как сумму двух положительных чисел и вариантов всего два: 4+1 и 3+2 и далее просто проверить оба варианта 🤪
Буквально пара "наклеек" на этот (на мой взгляд) оптимальный способ решения. Во-первых, решение системы (1) сразу видно (по крайней мере одно). a = 2 b=3 или наоборот. Соответственно ab = 6 обязательно должно быть решением уравнения для t. Это позволяет исключить арифметические ошибки на всех стадиях вычислений. На любом этапе можно подставить t = 6, и если это не приводит к тождеству, значит, где-то ошибка. Само уравнение для t технически проще получить из формулы бинома для 4 степени. Хотя на самом деле это все равно. С квадратом числа 19 связана феерическая геометрическая задачка "дан угол 19°, построить угол 1° с помощью одного циркуля".
То, что два слагаемых уравнения равны, соответственно 2 и 3 и наоборот, следует из уравнения. Или не следует? Можно ли это доказать словесной эквилибристикой или логикой математики?
Введем f(x) = (97 - x)^1/4 + x^1/4. Область определения: [0; 97]. Производная: (-x^3/4 + (97 - x)^3/4)/4(97x - x^2)^3/4. Найдем нули производной, для этого числитель должен быть равен нулю. x^3/4 = (97 - x)^3/4. Возводим в степень 4/3 и находим x = 97/2, при этом данное значение - точка максимума. Получается, что уравнение f(x) = a не может иметь больше 2 решений, более того, эти решения имеют вид x0 и 97 - x0, где x0 - корень. Анализируем дальше: минимум функции находится на границах области определения и равен 97^1/4, что очевидно меньше, чем 625^1/4 = 5. При этом максимум функции равен 2*(97/2)^1/4 = 776^1/4 > 625^1/4. Получается, наше уравнение имеет два решения. А далее методом подбора находим корень x = 16, но выше мы сказали, что тогда второе решение примет вид 97 - x0 = 97 - 16 = 81, и действительно, при x = 81 достигается тождество. Больше действительных корней нет, ответ: x = 16, x = 81
На области определения [0-97] данная функция имеет один экстремум в точке x=48,5, что легко установить, взяв производную. В данной точке функция принимает значение 2sqrt(sqrt(48,5).
Sqrt48,5>sqrt47,61=6,9
Sqr6,9>sqrt6,76=2,6
2*2,6=5,2>5, то есть экстремум больше 5.
На границах функция принимает значение sqrt(sqrt97), что лежит между 3(81) и 4(256), то есть функция возрастает до максимума и убывает обратно. Она непрерывна - значение y=5 будет приниматься в двух точках, которые несложно подобрать: 81 и 16, чтобы получить, извлекая корни, 2+3=5.
Метод научного тыка (т.е. подбора). Т.к. оба слагаемых больше нуля, то нужно число 5 представить как сумму двух положительных чисел и вариантов всего два: 4+1 и 3+2 и далее просто проверить оба варианта 🤪
Возводим в куб и во второй замене нет необходимости.
С Новым годом!
Буквально пара "наклеек" на этот (на мой взгляд) оптимальный способ решения. Во-первых, решение системы (1) сразу видно (по крайней мере одно). a = 2 b=3 или наоборот. Соответственно ab = 6 обязательно должно быть решением уравнения для t. Это позволяет исключить арифметические ошибки на всех стадиях вычислений. На любом этапе можно подставить t = 6, и если это не приводит к тождеству, значит, где-то ошибка. Само уравнение для t технически проще получить из формулы бинома для 4 степени. Хотя на самом деле это все равно.
С квадратом числа 19 связана феерическая геометрическая задачка "дан угол 19°, построить угол 1° с помощью одного циркуля".
Подобрала ещё один корень: 81, т.к.16=2^4, 81=3^4, уравнение-перевёртыш😊
Вспомнилась задачка: разность квадратов любой на множители разложит, а вы сумму квадратов разложите. 🙂
Спасибо за мастер-класс!!!
😢 16 нашел в течении минуты про 81 не подумал если вам это конечно интересно
Зрителям всегда интересен метод решения. Любой маткат дст корни сразу. Вопрос метода.
То, что два слагаемых уравнения равны, соответственно 2 и 3 и наоборот, следует из уравнения. Или не следует?
Можно ли это доказать словесной эквилибристикой или логикой математики?
В натуральных числах
А ещё они могут быть равны 1,5 и 3,5. И наоборот.
А также 1,4 и 3,6. И наоборот)))))
При х=16: 97-16=81=^4, 16=2^4, 3+2=5
Описка: 81=3^4
Введем f(x) = (97 - x)^1/4 + x^1/4. Область определения: [0; 97]. Производная: (-x^3/4 + (97 - x)^3/4)/4(97x - x^2)^3/4. Найдем нули производной, для этого числитель должен быть равен нулю. x^3/4 = (97 - x)^3/4. Возводим в степень 4/3 и находим x = 97/2, при этом данное значение - точка максимума. Получается, что уравнение f(x) = a не может иметь больше 2 решений, более того, эти решения имеют вид x0 и 97 - x0, где x0 - корень. Анализируем дальше: минимум функции находится на границах области определения и равен 97^1/4, что очевидно меньше, чем 625^1/4 = 5. При этом максимум функции равен 2*(97/2)^1/4 = 776^1/4 > 625^1/4. Получается, наше уравнение имеет два решения. А далее методом подбора находим корень x = 16, но выше мы сказали, что тогда второе решение примет вид 97 - x0 = 97 - 16 = 81, и действительно, при x = 81 достигается тождество. Больше действительных корней нет, ответ: x = 16, x = 81