ОЛИМПИАДА ПЕТЕРБУРГА. "Бандитская" задача. (авторский контент)
Вставка
- Опубліковано 27 січ 2025
- Дан треугольник АВС, в него вписана окружность с центром О. Точка касания К стороны АВ делит ее на отрезки 3 и 2. Прямая ОК пересекает АС в точке М, МС = 2. Найти радиус r этой окружности.
Из формулы Герона как раз и вытекает, что S=pr, 4r^2=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\(a+b+c), MK^2=(3+x)-9, из подобия треугольников AKM и OTM 3
=MC\x, MC=3x
, MC^2=9x^2
^2, x=6r^2\(9-r^2), AB=a=5, BC=b=4+6r^2\(9-r^2), AC=c=5+6r^2\(9-r^2), подставляем всё это дело в формулу определения радиуса, получаем [24(4+12r^2\(9-r^2)]\[(14+12r^2\(9-r^2)]=4r^2, (216+48r^2)\(126-2r^2)=r^2, обозначим r^2=t, получим уравнение t^2-39t+108=0, t1=36, t2=3, подходит второй корень t=3, r^2=t=3, r=√3
Я использовал свойство перпендикуляра к отрезку. Все обозначения я взял из ролика, буквой H я обозначил основание высоты из C на AB, то есть CH ⊥ AB. Далее, для прозрачности дальнейших действий я обозначу CT = CP = y (приходится, сам я обозначал это буквой x, но в ролике x = TM, то есть x = y - 2). Малыми буквами я стандартно обозначаю стороны AC = b = y + 3, BC = a = y + 2; а их проекции на AB я обозначил AH = d; BH = e; с буковками все, дальше решение.
Итак, AC² - BC² = AH² - BH²; (очень полезное свойство, но если кто не знает, это следует из AC² - AH² = BC² - BH² = CH²;)
b² - a² = d² - e²; => (b + a)(b - a) = (d + e)(d - e); => 2y/5 + 1 = d - e; => d = 3 + y/5; (я на всякий напомню, b - a = 1; d + e = 5; я тут немного сэкономил, не стал объяснять, как найти d, если известна разность d - e и сумма d + e, сам я это проделал в уме, то есть просто сложил и поделил пополам, ну значит, каждый сможет);
=> (y + 3)/(3 + y/5) = (y + 3 - 2)/3; (конечно, можно было просто написать y + 1, но, я проверил, это вызывает непонимание). Это просто следует из подобия треугольников ACH и AMK.
После элементарных преобразований получается простенькое квадратное уравнение
y²+ y - 30 = 0; или (y + 6)(y - 5) = 0; y = 5;
Дальше все элементарно, так как угол BAC получился 60°.
В качестве неудачной шутки. Гроссмейстеры в таких случаях сдаются, но преподаватели - никогда, они играют до мата на доске, и всегда норовят аннулировать решение, если не все ходы записаны, не забывайте об этом! :) Я далеко не гроссмейстер, но и преподавателей давно перерос, могу себе позволить, а вот вам, молодежь, это пока - ну никак... :)
ЗЫ. Набрал, посмотрел, и понял, что сам себе усложнил технику решения, не сильно, но - судите сами. d - 3 = y/5; и это KH - проекция отрезка TM = 2 на AB, => 2/(y/5) = (y + 1)/3; 30 = y(y+1); то же самое квадратное уравнение, но само собой и абсолютно прозрачно. Да и решение y = 5 в такой записи сразу видно. Кроме того, KH = y/5 = 1; откуда cos(A) = KH/TM = 1/2; все как-то само считается.
Наверное, вторую часть задачи после нахождения x проще было бы
решить, опустив перпендикуляр OT. Тогда даже самому неискушенному
в геометрии стало бы понятно, что можно сразу найти радиус = ОT,
составив легчайшую пропорцию подобия перпендикулярных треугольников
OTM и АКМ и предварительно, вычислив длину КМ по теореме Пифагора.
Но для поклонников теоремы Герона лучше, конечно, пользоваться
сложными формулами.
Spasibo vam za vash trud,prijatno,interesno i polezno
mi vmeste vse delaem! I vam spasibo!
Але, народ, а где лайки?
Скорее всего сидят решают. Задача так-то не самая простая, но интересная. До меня вот не дошло, как решать.
Решают и пока не смотрят
Смотрю, решаю, конспектирую, лайки ставлю
Простите, исправим
А где площадь?
Отличная задача!
Разломал через суму тангенсов централных углов. Если a + b + c = 180 то tg(a+b) = -tg(c).
a = AOK; tg(a) = r/3; b = BOK; tg(b) = r/2; c1 = MOT = 180 - 2a; tg(c1) = - tg(2a); c2 = COT = 180 - a - b;
tg(c2) = - tg(a + b);
tg(c2) = tg(c1) + 2/r = - tg(2a) + 2/r;
Из двух последних
5r/(6 - r^2) = 6r/(9 - r^2) - 2/r
r^4 - 39 r^2 + 108 = 0
r^2 = 3
Грррр.... +2/r в третьей с низу строке.
tg(a) = 3/r; tg(b) = 2/r; :(
Сделала много сложных вычислений, вычитаний,умножкний и в итоге результат красота, хорошо хоть не забыла с чего начала
Здрасьте.Мой лайк 171😂
Отрезок x=3 находил точно так же, из теоремы косинусов. Но мне почему-то сразу, как только взглянул на рисунок, захотелось использовать его в теореме о секущей и касательной: √27(√27-2r)=3^2, r=√3.
x + 2 = R*tg(A/2 + B/2) =R*(R/3 + R/2)/(1 - R/3*R/2) = 5R^2/(6 - R^2) (из ∆OTC)
3^2/[(3+x)^2 - 3^2] = R^2/x^2 - т.к. ∆AKM и ∆OTM подобны
Т.е. два уравнения: x + 2 = 5R^2/(6 - R^2) и 9/(6 + x) = R^2/x
Можно сразу R^2 находить из R^4 - 39*R^2 + 108 = 0
Там же просто квадратик. А теорема Фалеса?
Очен очен спасиба. Я из Болгарии извините за мой болгарорускии..Сейчас усльишате мойо задание. Толка с три единакавьие цифри и всью матеметику каторьие знаете включая и операция синус нада получится равенства 24. Найдите поне три ответа... Надеюс вьи поняли меня и я жду атвет за ета спасиба в авансе...Пака..
Поняли, спасибо! Болгары - наши братья! Сонцев Бряг!
отве...дарагой...
син 4 - син4 + 4! равно 24 найди ищо мин. три ответа...
Почему ,бандитская, змдача как залача даже нет никакого подвоха.....
Жесткая. Если бы вы получили ее на олимпиаде текстом, то тут 50 на 50 было бы (Там в условии было бы сказано "лежат на одной прямой" и это вас сбило бы. Для 9 кл - уровен "город" - жесткая.
Курсант Вест-Пойнта из анекдота решил бы сразу:
Угол АОВ прямой, а радиус =√6.
Шутка.
R=2
Как вариант.
Пусть РС=х, тогда окружность будет вписана в треугольник со сторонами 5; (х+2); (х+3); р=х+5. Та же окружность вписана в треугольник со сторонами 6; (х+1); (х+1); р=х+4 Используем формулу Герона и S=pr.
r=3√((x-2)/(x+4))=√(6x/(x+5))
x=5; r=√3
Что-то не могу понять, откуда взялась вторая окружность? Как Вы её получили?
@@SB-7423Окружность та же, треугольник другой АА'М, ( удвоенный до равнобедренного АКМ)
Наконец-то достойная (за последнюю неделю) задача, есть , над чем подумать.
Вирусный тр-к (5-7-8) решил как Вы, а далее тупо: S(Героном)/p. R = √3.
Задача понравилась, заслуженный 👍.
Можно упростить конечное ур-е, если сразу заметить, что неизвестные стороны
различаются на 1 и обозначить их х и (х+1): х² - 3х - 28 = 0, х = 7.
Вторая точка пересечения с окружностью- Е. ЕМ = у. Система: *x²=y∙(y+2∙r), x∙r=3∙y, √(6x+x^2)∙5∙(x+5)/(6+2∙x)=(x+7)∙r.* Первое-касательная и секущая,
второе - подобие, третье уравнение - площади по разным формулам. *Система крайне легко решается и приводится к квадратному уравнению:*
*x² + 5∙x - 24 = 0 ⟹ x = 3. Из второго уравнения: r = y, а из первого: r = √3.* *Задача отличная, большой лайк!*
Бред
Согласен. И все зрители выше - тоже бредят!!