【合否を分ける１問】京大レベルの有名図形問題
Вставка
- Опубліковано 7 лют 2021
- 2014年東大入試問題は、座標＋ベクトルで解くと
サクッと完答できるので気持ち良い問題でした。
（本番で解いた受験生として）
今回はあくまでも入試直前対策として「本番だったらどう解くか」という視点で受験生向けに解説しました。実践的な視点を持って解いてみてください。
今日のパスチャレはこちら↓
note.com/pfsbr123
~~~~~~~~
■ 東大現役合格→トップ成績で医学部に進学した僕の超戦略的勉強法
（宇佐見天彗＋PASSLABO著）
amzn.to/2FOboO3
全国の書店でもご購入いただけます。
■ 早期購入者特典受け取りフォーム（2020年10月24日まで）
forms.gle/hENMLjpHi9E6tdeUA
↑
このフォームからしか受け取れません。
お手元に書籍が届いてからご記入ください。
■サイン本プレゼント企画
（2020年10月3日まで）
todai_igakubu/sta...
■試し読みはこちら
todai_igakubu/sta...
~~~~~~~~~~~~~~~~
■東大医学部発「朝１０分」の受験勉強cafe
PASSLABOのチャンネル登録
→ / @passlabo
■東大生たちと一緒に勉強したい方必見！
公式LINE@登録はコチラから
→ line.me/R/ti/p/@subaru_todai
（勉強法や質問相談はLINE LIVEにて配信予定!!）
======
【君のコメントが、動画に反映されるかも！】
問題の解説希望やリクエストあれば、好きなだけ載せてください。
１つ１つチェックして、役立つものは動画にしていきますね^ ^
======
■偏差値43から東大合格までの勉強法がまとめて知りたい方
→ amzn.to/2GRW3tL
■公式Twitterはコチラ
→ / todai_igakubu
===========
■PASSLABOメンバー情報（note）
＊気になるメンバーのnoteをチェック!!
「１」宇佐見すばる
東大医学部 / PASSLABO室長
→ note.mu/pfsbr123/n/nb6fe7782cef8
「２」くぁない
早稲田 / PASSLABO切り込み隊長
→ note.mu/pfsbr123/n/n5f377ebad8d2
「３」あいだまん
東大逆転合格/ PASSLABO歌のお兄さん
→ note.mu/pfsbr123/n/n410cc19c6d54
「４」くまたん
東大文一１点落ち？/PASSLABO癒しキャラ
→ note.mu/pfsbr123/n/n429b06b1d9b4
===========
#PASSLABO
#東大医学部発
#概要欄も見てね♪
朝６時半にほぼ毎日投稿！
一緒に動画で朝活しよう
【訂正】0°
名工大を狙っています。数学英語物理です。何をしたらいいですか？
度数法と弧度法が混在していますね。
統一された方がよいのではないでしょうか？
@@user-lt4dp9fm5r 数3完璧に（大雑把でごめんね）
難関大問題の最初の着眼点に多くの学びがありました。
いつもありがとうございます！
パスラボの動画を見てきたことで要所を先に答えれるようになりました。
駿台で類題たくさんやったしこれは本番サクサク解きたい！
高校生の時に見たかった！
rの範囲出さずに平方完成してその時の最小になるｒが条件を満たすかでやったら無理やったけど途中でｒの上限出せたからなんとかなった、、
全ての図形問題を初等幾何で解く謎の勢力()
呼んだ？
1に等号ついてるのあれだけど
やっぱり座標平面で考えるの正義なんだと改めて思いました
確かにこれは落とせないな
結論から言うと、どの方法でもどんな文字設定をしても結局同値性から必要十分な式に集約されるから答えにはたどり着くんだよね。
ただ、問題の初期設定によってそれぞれ作業量が違うから上手い方法が選べたらいいねってことかな
2変数関数で処理する方もやってみると数学的思考力が高まりそうですね(やることは大して変わりませんが)
地方国公立勢ですが勉強になります！
気持ちえぇぇ
図形問題はとりあえずベクトルでやるようにしてます
こんにちは！投稿お疲れさまです。中2ですが、東大に向けて頑張ってます！
さて、1:56の問題、停止して考えてましたが、初等幾何を使って解くことができました！(1)はピタゴラスの定理と余弦定理とsin^2(θ)+cos^2(θ)=1を使いました。(2)はtan(α+β)=1と(1)で求めたS=7/6を連立方程式にして解きました。僕的には(2)は「α≦βのときtan(α)、tan(β)の値を求めましょう。」のほうがしっくり来るんですが、まぁ出せって言われてるので、tan(α)+tan(β)も出しときました。(笑)
順像法と逆像法の問題やってほしい。
この時期になって初めてそのワード聞いたわ
(内容は知ってたけど)
合否を分ける一問→×解けたら合格
→○解けないと不合格
座標をθで表す発想は出てこんわw
貧弱貧弱！
@@user-ub6ru3ts4m ヘルガ？(笑)
チェバメネラウス大好きでベクトルとかでもゴリ押しで使ってて、別解の解き方ばっかりやなぁ…と思ってたので違う方の考え方を知れて良かったです！！
倍率過去5年でいちばん高いけど頑張ります。。
どこを受験されるのですか？
θ設定は難しいなぁ
合否を分ける問題これで解けるようになったから合格だなこれは。
一応、図形でも行けますね！！
内接する三角形の半径をrとおく。
直角三角形より、AB^2+BC^2=1…①
∠ABC=90°より、∠ABI=∠CBI=45°
よって、BI^2=2r^2
AI^2=r^2+(AB－r)^2
CI^2=r^2(BC－r)^2
AI^2+BI^2+CI^2=6r^2－2r(AB+BC)+1…②
AB+BCが最大の時、②は、最小。
AB+BC=Kとおく…③
0
今高2で数学は得意なのですが受験した先輩や先生から難関大の2次数学は安定しないと聞くのですが合格目標点どのようにして決めれば良いかわかりません
数学に限らず目標点の決め方とかが知りたいです
1:57来れといた。余弦定理解くのだるかったやつ。（時間掛る1番しちゃいけない解法？）でもこれほんとに楽しかった。
座標でやったけど、Aの座標とBの座標を置いた2変数関数にして終わったァーってなった
長さが1の棒を立て掛けてるイメージだったからすんなり角度を変数に置けた
sinθ+cosθ=(rの式)に整理して、
もとの式に代入したらrの二次関数出て少し計算楽になりません？
rの範囲は出さないといけないけど
ベクトル高校時代無かった勢としてはベクトルだとどう表現するんだろうと気になった。でも結局は同じか。
文系でも出そう
斜辺が1の直角三角形は頻出ですね。
夏の阪大プレでも問題の途中で使いました。
tの範囲ミスってないですか？1にイコールは付かない？
直角三角形を見たらθ
忘れずに。
範囲が絞られているもので計算
一応別解を。
AB=1、∠C=90°でθを変化させると、CはABを直径とする半円周上を移動する。この時∠IAB+∠IBA=45°一定なので∠AIB=135°一定、つまりIは半径1/√2の四分の一円周上を移動する。ABをx軸上にとりABの中点を原点、Iの回転移動の中心をDとすると、A(-1/2,0),B(1/2,0),D(0,-1/2)と表せる。
IからAB,AC,BCに下した垂線の足をそれぞれP,Q,Rとすると、IP=IQ=IRかつCQIRは正方形なので、
AI²=AP²+IP²,BI²=BP²+IP²,CP²=CQ²+IQ²=2*IP²、つまりAI²+BI²+CI²=AP²+BP²+4*IP²。
AP=x+1/2,BP=x-1/2,IP=√((1/√2)²-x²)-1/2=√(1/2-x²)-1/2と表せるので、
f(x)=AP²+BP²+4*IP²=(x+1/2)²+(x-1/2)²+4(√(1/2-x²)-1/2)²=-2x²+7/2-4√(1/2-x²)。
f'(x)=-4x+4x/(√(1/2-x²))、よってf'(0)=0。
f(1/2)=f(-1/2)=1,f(0)=(7-4√2)/2
図形量のMAX,minの問題であることに注意して、下準備。図形外の点の関与がないことから図形を考えやすい位置に固定することが可能。この時Aを決めると長さの条件からBが確定。よって自由度は１。直角条件を殺さないために座標でおくのが最適解。変数設定に移行する。角度の方がsin,cosを利用できるため見かけの自由度と実質自由度が変わらず使い勝手が良いことから角度を設定。これだけだと内接円の条件を活かせないため、とりあえず半径を置く。自由度１より、半径とθには関係式があることに注意して、図形的考察を挟む。既知の条件があるABに注目すると、関係式が得られる。あとは塊を消すことを意識して、この際元の文字の存在条件をとって変域を指定し、１変数関数の処理をして決着。
一般論として座標に置くとメリットがあることがあるのは同意だが、この問題に関してはすべての辺についてΘの変数表示するだけでいいので、特に座標においた意味があったようには思えない
確かに
内心が内接円の中心で合ってるか不安になって内心焦りました
慶應理工が毎年のように出題している確率のポイントなどを教えて頂きたいです！すばるさん、どうかお願い致します！！
明日ですね慶応理工
備忘録80G"【 翻訳能力テスト→ 適当な座標軸をとって、∠CAB＝ θ ( 0< θ
直線AI引いてθ/2使ってやりました
AI^2+BI^2+CI^2 が最小となるような点 I は三角形ABCの内心である、ということは証明抜きで使える有名定理？
それとも「I は△ABCの内心」とホワイトボードの外に書いてあるとか？
数3 理科やってほしいです〜！
一般的な証明の場合は、相似により、長さを解答者を設定できる、というのも地味に重要じゃないですか？
θで置かずにA(a,0)B(0,b)と置いて4次の相加・相乗平均使えばA=B=1/√2てわかる
あとは辺の式で直ぐにわかる
追記：Iが内心やと分からんかったから、変な求め方してもうたやん
半径1/2の円の外接円を考えて、相加相乗平均AI2+BI2+CI2>=3×(AI2×BI2×CI2)の三乗根が成立するから
不等号がイコールになるのはAI=BI=CIの時。1/2の時で、最小値3/4
これの式の何がダメだったんでしょうか
Iは自由に動かせる点でなく内心なので、AI=BI=CI=1/2は取れないです
図形を想像してみると分かりやすいかもです
ホワイトボードに書いてなかったから最初分からんかったけどIは内心って言ってるね
京都大学目指して頑張ります！！
うーん、どうせ直角二等辺三角形！w
でも座標とかベクトルは計算量多いんだよな～
図形見てちょっと考えて思いつかなかったらでいいんじゃね？
データの記述問題が国公立2次でよく出るので、解く時の目のつけ方とかを解説していただきたいです！！
サインとコサインの和きたら
合成するのが1番かと。
Iが内心で条件はどこで出てくるんですか？（°ω°）
I って内接円の中心って意味なんですね
rを面積から行こうとすると、
r=sinθcosθ/(sinθ+cosθ+1)
になるんだけど、ここから行ける？
対称式らしき形してますから範囲は絞れそうです
いやそれな？自分そこからsinθ+cosθ=tって置いて計算して行ったんですけど、答えが出なかったんすよね。できました？
追記:なんでもないです。いけました。
(sinθ＋conθ)^2 = 1 + 2sinθcosθを使えば約分できます
入試の際に適用しない方がいいのは大賛成ながら初等幾何を使うと：
内接円と外接円の半径をそれぞれrとR、外心をOとおく。
中線定理からAI^2+BI^2=2R^2+2OI^2で、
オイラーの定理からOI^2=R^2-2Rrであることと
CI=√2rであることを用いれば、
AI^2+BI^2+CI^2=4R^2-4Rr+2r^2
=2(r-R)^2+2R^2とでき、rの最大を考えればよいことがわかる。
（以下省略）
オイラーの定理（オイラー=チャップルの定理）は内接円、外接円、
傍接円を用いた美しい証明がありますが、
試験時間にこれまで書くのは現実的でないでしょう。
受験上で大切なのは、これらの事実から内接円半径に全てを委ねることができることが
（それが最善かどうかは別途判断が必要ですが）パッと目で見て感じ取れることです。
ちなみにrの最大について省略しましたが、
ｒの最大値を与えよ
→√2rの最大値を与えよ
→s-cの最大値を与えよ（s=(a+b+c)/2)
→a+bの最大値を与えよ
→a^2+b^2は一定だからabの最大値を与えよ
→面積の最大値を与えよ
として点Cと線分ABの距離が最大となるところなので
AB=CAの直角二等辺三角形の場合であるなどといった、
一連の流れはいろいろ組めるでしょう。
今日の、立教の文系数学に似たのでたー！！誘導ありきの
Iって内心なんですね！書いてなかったから座標Iを(X.Y)って置いちゃいました😅
最小になるのが内心になることの説明は？
一対一対応やんけ
毎回範囲移すの忘れてしまう！気をつけないと！！
文字で置いたらすぐ範囲！
これが余裕な俺は成長したな
おっきくなったよ
ビンビンだね
女子は身体がふっくらする
@@user-bv5df3zx6b そういう面で成長してないとは言えないんよな
自力で解いてみるか。いけそう。
フェルマー点？
これ早稲田理工で見たことある
数学得意なのでどうしても初見ではエレガントに格好良く解こうとしてしまう自分が好き😅
AIの二乗のBIの二乗CIの二乗の式なんであんなのになるんですか
例えば、AI^2ならば、三平方の定理より
AI^2=IP^2+PA^2
(ベクトルじゃないからPIという書き方もありかな〜？)
追記:別に、三平方の定理ではなくても、数学IIで習う、座標と座標の距離の求め方からでも求められます。こちらの方が初歩的に勉強になるので、そちらの方が良いかもです。
立命館頑張ってきます！！
@ニッコマを潰すよどひと 素直に応援しとけよ
@ニッコマを潰すよどひと スクショしといたで
( ੭˙꒳ ˙)੭ｶﾞﾝﾊﾞﾚｰ!
@ニッコマを潰すよどひと
昔落ちたのかな？
かわいいね
京大ってθ設定させるの好きだよなー
1回長方形だかでそういったものがあったような
二辺a、bって置いた
あなたって京大の模試で本物の伝田岩洞の代わりに冊子に載った人ですか？
お受験で暗記ばかリしていた人が沼にはまる有名問題。解き方の暗記じゃなく原理原則から理解していないと難しい。暗記で受験や国家試験をクリアしてきた人達は社会で活躍出来ない。
この解法も暗記すれば解決や！！(そうじゃない)
普通に初等幾何で解けた。
どうやって解かれたんですか？
面積比ですか？
普通に文字置いてやった
なんか文字がうまいこと消えてできた。
説明クソ下手俺
辺の長さと内接円の半径文字で置けばAI²+BI²+CI²出るよね
京大実戦2013？
無知ですみません
合成って何ですか
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
を逆向きに使ってsinやcosの和を1つのsinやcosに書き換える
そもそも内心が何かわからん
これ慶応でも出てたよな。
京大