旧帝大模試対策 整数問題【王道vs時短テクニック】
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- Опубліковано 1 лис 2020
- 時短テクニックは覚えて欲しい！（共通テストにも使えるので）
視聴者リクエストの整数問題ですが
誘導なしでも解けたら気持ちいいですよね。
一橋や東北大、九州大学に出そうな問題です。
P.S.今日のパスチャレはこちら
note.com/pfsbr123
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なんでその考え方するのかしっかり根拠を教えてくれるから流れがつかみやすいし、汎用性が高くなります！ありがとうございます！
わかり易すぎる！ありがとうございます
とりあえず両辺mod3したらy=3が確定したので、ただ方程式を解くだけだった
そっか、y≡(-y)^3が成り立つ素数yは3だけなのか。めっちゃ分かりやすい
その発想やばすぎるやろ。数強すぎ
備忘録70G"〖別解〗【 x, y ∈素数, ☆ mod3 の合同式を用いると、】( 与式 ) ⇔
y ≡ (－y)³ ⇔ y ( y²＋1 )≡ 0 ここで y≡ 0, 1, 2 に対して それぞれ y²≡ 0, 1, 1 より y²＋1≡ 1, 2, 2
だから、 y≡ 0 よって、y＝ 3 ( ∈素数 )■ これを 与式に代入して、(両辺) ÷3 より
x＋4 ＝ 9( x－4 )³ ⇔ x＝ 5 ( 直線 と 3次関数のグラフより これ以外の解が無いことが分かる )
以上より、x＝ 5, y＝ 3 ( ∈素数 ) ■ 〖フェルマーの小定理→ ( 3x－4y )³≡ 3x－4y に注意〗
同じ方法でときました!!
あ“あ”あ“あ”同じ回答が出てた
俺も絶対フェルマーやと思った
みなさん冠模試なのですね！
自分も今日1日頑張ります！
いつも勉強になります！
与式でmod3でyを場合分けして考えればy＝(3の倍数)が分かるからy＝3はすぐに求まる。また3x−12が指数関数的に増加するからそれを考慮すればx＝5だけということも分かります。
最初の式にmod使ってyが3の倍数かつ素数だから3ってのも時短に出来そうですね
というよりむしろaと置いて解いていく方法が思い付かなかったので勉強になります
解説聞かずに初めて解けました。
最近パスラボと川端さんの数学動画を見まくってます
高校入試にも大学入試にも対応できそうです！
この時期スクショタイムないから止めてスクショしてるんだけどどうしても板書とすばるさんの顔が綺麗に映る時を探すのが難しくって、いい顔で撮れない😂
3x+4y=(3x-4y)³
(3x-4y)+8y=(3x-4y)³
8y=(3x-4y)((3x-4y)²-1)
動画と同じように3x-4y=aと置くと
8y=a(a+1)(a-1)となりますね！
最後の時短テクニック気持ちいいなぁ〜常にエレガントに解答したいです！
僕も同じ考えでした
今週河合の旧帝大模試あるのでありがたいです！
共通テストに目立つ必要十分性の議論は、記述でこそ大切にしたいですね！
3x-4y=kとすると3x+4y=k+8y
よって、k+8y=k^3
式を変形して（k-1）k（k+1）=8y
左辺が3の倍数、yが素数よりy=3
k=3、x=5
よって、（x,y）=（5,3）
これ九大実戦の問題だけど実際は誘導だらけでクソ簡単です。
そうなんや
物理の原子の範囲動画を出して欲しいです！
コロナのせいで学校でそこ受業してもらえるか不安です
いまから河合の全統もしなので助かります！
東大実践がんばるんば
ソーナンスの真似、似てて面白かったです！
東北オープン頑張ってきます！
もう受験終わって大学生だけど、面白くていまだに見てる
与式に対していきなりmod3を考えた場合、y≡0 mod3の場合しかあり得ないということになり、yは素数より3で確定。それを代入して、xは5と求めてしまいました。
王道のやり方もマスターしておく必要がありそうですね。
右辺を展開して整理すると
3M(3の倍数)＝4y(16y^2+1)
y^2≡0、1(mod3) より16^y2+1≡1,2
よって16^y2+1は3の倍数にはならない
yは素数なので上の整式からy＝3
これを代入して整理すると
(x−5)(9x^2−63x+116)＝0
xも素数なのでx＝5
(x,y)=(5,3)
因数分解を応用してみました。
3x-4y=aとすると、与式の左辺＞0よりa>0①。与式をaで表すとa+8y=a^3→a^3-a-8y=0②、a^3-aはa(a-1)(a+1)と因数分解でき、それは3つの連続する整数になるので3の倍数。よって②が成り立つためにはyは3の倍数でなければならなく、かつｙは素数なので、y=3、よって②はa^3-a-24=0、因数分解して(a-3)(a^2+3a+8)=0。①よりa^2+3a+8=0は成り立たないので、a-3=0→a=3。3x-4y=aにaとyの値を代入して3x-12=3→x=5。よって(x,y)=(5,3)
おはようございます！
高校入試の問題もやってほしいです！
Mod便利すぎー
初見で解こうとして展開してしまった…
一応解けたけどもっと早く解きたい💦
一橋実戦頑張りまーす！
時短が凄すぎる
3の倍数かつ素数のところで感動した
6x=a(a^2+1)についてもa^2+1≡0(mod3)となることがないので、aは3の倍数
3x-4yが3の倍数でyは素数よりy=3
後は煮るなり焼くなりでxを出すだけですね。
8y＝の所連続する3数で6の倍数ってことを使うことも出来ますよね
連続する三つの自然数の積が6の倍数→6n(nは自然数)でy=3/4nで素数となるのはn=4だけ、とやりました
mod3で考えると、
y≡-y^3 だから、y=3だけ調べて、y≠3のときは1≡-y^2で、y^2≡2となって不適
みたいにaと置かなくても数式処理でできたりしますね！
Mod計算で
4y≡-64y^3
y≡-16y^3までは
計算できたのですが、
そこからy≡-y^3にはどのようにすれば
たどり着けますか？
その方法素晴らしいですね！
頭よくなった気になるのだ～
時短テクに衝撃を受けた...🧐
mod 3で考えてy=3が必要であることを示したあとで、mod 5で考えてx=5が必要であることを示し、最後に十分性を確認しました
Modじゃなくても連続３整数の積→３の倍数でもいけますね！
それも含めて言ってるのかと
誰でも分かることは言わなくていいですよ笑
なるほど！
@@Anemone1665 辛辣過ぎん？
@@Anemone1665 やばこいつ
たしかに連続3整数の積のくだりは普通に説明してたけど言い方えぐ
質問です。1=3x²+5/3x+1=x-1/3+«10/9x+3»など、分数が整数になる時、かならずこの、二重カッコのようなとのろは、＝０になりますか？
(3x-4y)でくくり、2がどちらにも適さないことを証明すれば3x=5yが得られるのでこの解放もスマートだと思います。
今日一橋実践だから助かる。がんばってきます！
阪大オープン頑張ります！
今日北大オープン行ってきます！
3x-4y＝aと置いてやる方法、多いですね。私もそうやって解きましたが、解いてて凄く感動しました。最初からこの方法を思いつかなかったので3x-4yが正なのでxの方がyより大きいことに着目してy＝2から実験してみました。3x-8をtと置くと楽だなと思ったとき、そもそも3x-4yをtと置いたら解けるんじゃね？と、あとは連続する3整数の積は3の倍数なので、yは3しかなく、tも3しかなくxは5しかないな、となりました。
3x+4y=a^3のときに、自然数から3x+4y>7なので、a≧2といえますよね？
阪大実戦行ってきやす
以下mod 3 とすると
(左辺)≡y≡2y^3≡(右辺)…①
(ⅰ)y=3の時
①は成立するのでy=3を与式に代入すると
xが素数において、
3x+12=(3x-12)^3
⇔x+4=9(x-4)^3⇔(x-5)(9x^2-63x+116)=0
⇔x=5(なぜなら9x^2-63x≡0だが116≡2から
9x^2-63x+116=0となる整数解は存在しない)
(ⅱ)y≠3の時
yが3でなく、yが素数であることよりyと3は互いに素
①から両辺yで割ると1≡2y^2
y≡0、1、2の時 2y^2≡0、2、2
からこの等式は成り立たない
(ⅰ)、(ⅱ)から
(x、y)=(5、3)
来週名大オープン頑張ります！
モッドをつかうともっど早く解けるんですね。
すげー
右辺を展開して整理すると、
3x=3(9x^3-36x^2y+48xy^2)-4y(16y^2+1)
左辺が3の倍数なので、右辺も3の倍数にならなければならない。よって、yは3の倍数である。yは素数なので、y=3
与式に代入して整理すると、
x+4=9(x-4)^3 ここで、t=x-4とおくと、
9t^3-t-8=0 (t-1)(9t^2+9t+8)=0
9t^2+9t+8=9(t+1/2)^2+23/4>0なので、
t=1 したがって、x=5 これは素数である。
ゆえに、(x,y)=(5,3)
九大プレで解いたやつや！
誘導があって、やっと解けた…
y=3は連続３数で瞬殺できて気持ちよかったです。
時短感動
別にmod使わなくても8が因数に３を持たないことから、yが３の倍数になるからっていう方針でも解けるけどカッコイいからmod使っちゃう
連続3整数の方がスマートでかっこいい
このレベルを解けるようになれたのすごい嬉しい
最初の式でmod3をしてしまって
3x+4y=(3x-4y)^3
y ≡ (-y)^3 ≡-y (mod 3)
から y ≡ 0 (mod 3)を導きy=3とすると楽勝
そのあとの
9x^3-108x^2+431x-580=0
でxが580の約数でないとすると矛盾するので(右辺はxの倍数だけど左辺は580が残ってしまう)
580を素因数分解して 580=2^2 * 5 * 29.
xは素数だからx=2, 5, 29を試せばその後も楽勝.
なんで実験する時、ワイに素数でない1を入れてるんですか？
初見でできました〜
すばるさんと同じ方法でした。
数学で鉄則というフレーズを聞くと、ラジオ講座世代は寺田文行先生を思い出します。
京大オープン頑張ってきます
3x+4y=A、3x-4y=Bとすると
与式はB^3-A=0と表せて
x=(A+B)/6、y=(A-B)/8と表せます
xをAについて解いて与式に代入するとB(B^2+1)=6xという式が導き出されてxが素数であることからxとBの組を(x,B)=(37,6)(5,3)の2組に絞る事ができて、これらからAを導き出して、yが素数であることを満たす組は(x,B)=(5,3)のみであることがわかって(x,y)=(5,3)
といったように解答したのですが何か不足している点などがあれば教えてください！
5ヶ月前のコメントにすみません、
どうしてB^3-A=0と表せたら
x=（A+B）/6、y=（A-B）/8と表せるのでしょうか？
頭の悪い質問で申し訳ありません、今年3年なので良かったら教えていただきたいです🙇♂️
@@user-rk5hk3ng5j 僕も表現が曖昧で申し訳ないです🙏🏻最初にA,Bを定義したことでその2つを連立に解くとxとyをそれぞれA,Bを用いて表すことができるんですけど、それとB^3-A=0を用いて問題を解いていった記憶があります！なんせこのコメントをしたとき丁度受験生で、大学生なって急激に頭悪くなってしまったもんでして😇あまり詳しく回答出来なくて申し訳ないです笑
@@bmthloveniki2013 あー、わかりました！横からの質問に答えていただいてありがとうございます🙇🏻
これはただ、6:38 で
8y=(a-1)a(a+1) なので、
右辺が 3の倍数だから
左辺の 8y も 3の倍数に成り、
y が 3の倍数だから
(3と8 がお互い素なので)
y=3 じゃないんですか？
以降の複雑な解法は
必要ないと思われますが…
8yが3連続自然数の積になった時点でこれは6の倍数とわかるから、yが3の倍数とわかりこれと素数条件から、yの候補は3しかない。
こういうのって数とどれだけ戯れてるかなんだよなぁ。
与式をいきなりmod3で見るのが最速ですか？
今日東北オープン模試で素数出ましたよ❗️
九大実践で解いた笑笑、しかも文系…
0完でした泣
それ完解できませんでした...😭
来週九大オープンがあるので、そこでコケないように頑張ってきます。
3x-4y=aとおいて、a+8y=a^3とした方がわかりやすいかもしれません。
連続する３つの数が6の倍数であることを使えばy=3はすぐに求まりますね
北大オープン行ってきます！
誘導ないと解けないなぁ。変数変換の原則ってなんだろう？
それ初っ端からmod3でいけるくないスカ？
東工大模試頑張ります！
3条の中身文字で置かずに因数分解した
右辺の因数aと左辺の和または差が使えないかと発想しました。差8yはa三乗-a。因数分解して、連続する3自然数の積すなわち必ず3で割り切ることができる。8は3の倍数ではない。yは素数であるからy＝3。
九大の4年生15分でなんとか完答
「九大にしては結構ムズイかなー」と思ったらまさかの誘導付きか
落ちたなぁ
九大実戦模試やん！
展開して
3x(9x^2-36xy+48y^2-1)=4y(16y^2+1)
として16y^2+1が3の倍数でないことを示せば一瞬で解けました……
これでyが確定して上式の右辺に代入して
x=2, 3, 5, 29がわかるのでこの中で満たす5が決まりました
仲間いてよかった
8yはは8とyの2つしか因数を持たない。
(i)aが偶数のとき、a-1とa+1は奇数であり、これらの積は8になることがないため、不可。
(ii)aが８のとき、a^3-a=504になるため、不可
(iii)aが奇数のとき、a−1とa+1の積が8かつaが素数の場合、条件を満たす。そのような数はa＝3のみである。その時、X＝5、Y＝3となる。この方法で解きました。
東北大模試行ってきます！
よりイケメンになってる😳
東工大実践行ってきます
9分頃のところ．
8y=(a-1)a(a+1) の式から，右辺は連続する三つの整数だから必ず2×3の倍数となり，左辺からyは3の倍数となる．yは素数だからy=3である．そしてa=3となるから，6x=a(a^2+1)=30で，x=5．
これ以外はない．
来年4月ですが東京理科3類に行く！
mod3で考えたらyは3以外あり得ず、得られた3次方程式をグラフで考えたら答えはx=5以外あり得ないことが分かる。QED
8y＝連続する3整数の積かつyは素数ってなった瞬間 y＝3って分かるやん
MOD6だと、nとnの３乗は合同と言うことを使えば瞬殺。
元の式をmod3で考えると、
y≡±1のとき、
左辺≡±1、右辺≡-(±1)より、一致しないのでy≡0
y素数よりy=3
よって右辺が27の倍数になるので左辺も27の倍数になる。とりあえずx=5とおくと、解が1つ見つかる
あとは展開して1つの解がx=5に注意して展開すると他の素数解はないので
(x,y)=(5,3)
整数問題はまずmod3を検討するのも大事ですね。
4をかけてもmodは変わらず、しかも奇数乗してもmodは変わらないので非常に扱いやすいmodですね。
別解
初手でmod3を取ると、y＝3度なることがすぐに分かる
xが12以上にはならない（4x
これパスラボのおかげで最後まで解けたやつ！
減点はどこかしらあるやろうけど
せっかくサッカーの話題なんだから、「keep」を「kick」に換えて、The injury may kick him out of football for goo. にした方が面白くない？実際（本場の）uk ドメインでフレーズ検索してみると Kick racism out of football for good 的な言い回しがいっぱい出てくるし。
両辺に3x-4yかけてmod3で考えると一瞬でy=3でます
最初a置くがわからんかった
連続する3数でy=3と決まらないか？
京大オープンがんばります
ラジオ講座で有名講師だった寺田文行先生（数学）、竹内均先生（物理）は残念ながら亡くなられましたが、西尾孝先生（英語）はご存命のようです。
良問ルート5日目