【伝説の京大超え!?】地方大からの挑戦状【vs東大医学部】
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- Опубліковано 21 тра 2024
- 2023年度後期入試、尾道市立大学で出題された面白い整数問題です。
因数分解、条件から範囲を絞るのはわかりますが、２次関数の対称性を利用した発想は衝撃的でした。
ぜひ最後までご覧いただき、思考過程を他の類題にご活用ください。
2024/5/25（土）20:00〜22:00に難関大対策数学（対称性）のzoom講義を行います！
2024受験LINEにて「0525講義」とメッセージをお送りください。
lin.ee/MDha6aj
事前配布テキストをお渡ししていますので、事前に印刷orタブレットに取り込んで受講するようにお願いいたします。
確かに考え方が詰まってる良問だなー
有意義すぎる
(i)のx^2-xy+y^2=1のところ，左辺を平方完成すると，(x-y/2)^2+(3y^2)/4=1となるので，
yの絶対値が２以上だと，左辺は１を超えてしまうので，y=0, ±1に絞れて各々のｘを求める．
x+yが素数になるのは x=y=1でp=2になった．
(ii)では，p- 1が3の倍数になるｐを当てまくった😅
めっちゃおもろい
平方完成は、x^2＋xy＋y^2の形が出てきたらするべきなのがコツ！ちなみに楕円の方程式ですね... 関数のグラフが関わってくるのが意外に感じました(´・ω・｀) 面白かったです！😆
平方完成しよった！これは意外！
メモメモ
僕はx^2-xy＋y^2＝(x+y)^2-3xyにしました。進めるとp=2とpが3以上では動画のように1,pの組しか無理だと分かったので、
p=1-3xyとx+y=1からゴリ押しました。xyは0未満で、x+y=1となるのは-1,2と-2,3と-3,4なので意外と楽に出せました
最初に括ったせいでx^2-xy+y^2が必ず正になることを楽に見抜けなかったから勉強になりました
1,8,27,64このうちの2数の足し引きで2,7,19,37見つけたらこれより大きい2数の差はこれらより大きくなるからこの４数で他にないことをローラーして2分で解き切った。
5/25予定あって行けないかもです、、
良問でした。
4つとなっていますが、これを満たすpは無限に存在しますか？
3x^2-3x+1はこれ以上因数分解できない既約多項式で、係数も整数なのでブニャコフスキー予想の条件に当てはまるため、おそらく無限に存在すると思います。
ちなみに、3x^2-3x+1は3x(x-1)+1となり、xが整数であることからxまたはx-1は偶数なので3x(x-1)は6の倍数、よって6n+1(ただしnは整数)で表すことの出来る素数になるという絞込みくらいなら出来そうです。
確かに、気がつきませんでしたが、6n+1の形になるので、無限に存在しそうな気がします。
以下の要領で暗算できます
x,y ともに負のケース、xまたはyがゼロのケースがだめなことを確認→xまたはyは正
x,yともに正の場合はx3+y3を因数分解するとx+yを含むため、x=y=1のみOK
xが正でyが負の場合（x>yとして一般性OK）、yを-yに置き換えてx3-y3だと思うと（x,yともに正）因数分解してx-yを含むため、x-y=1以外はダメと分かる（本当は少し議論必要）。yを消去すると3x(x-1)+1となるので小さい順に代入すると答えにたどり着く。
xかyのどちらかが2の倍数にならないと、p>2のときは式を満たさないことをmod4を使って求めてから解いたら、x^2-xy+y^2が1以上であることが示せて解けた
これ学校の数学ゼミで出たー
そのゼミの回で一番難しかった記憶
解法バレ防止
文字消去せずに対称式はいってよくわからなくなってしまった・・・
そろそろ一か月たつし整数全パターンやり直すか・・・
倒した👊✌️
xx-xy+yy=1という楕円方程式の整数解ぐらいは覚えておいて損はないですよ〜ん😘
2,7,19,37は見つかった。あとは気合で。
x=1/2使えるなあ。
この変換してみてよ〜。
x=(u+v)/2, y=(u-v)/2 ..(1)
p=2以外を求めるときに上記の変換で
x+y=1 から {(u+v)/2}+{(u-v)/2}=1 ⇄ u=1
xx-xy+yy=pから（途中省略）uu+3vv=4p ..(2)
(1)の変換でuとvは偶奇が一致しなければxとyは整数にならない。u=1は確定。これと(2)から
p=(3vv+1)/4
vに奇数を代入しま〜す。
v=3のときp=7
v=5のときp=19
v=7のときp=37
力技で解いてしまった…
以下脳筋な解答
実験から2,7,19,37を出し、37以下のほかの素数では(x,y)が存在しないことを示す
x,yは対称であるため、x≧yとする。
x=1のとき、1+1=2
x=2のとき、2^3+1=9
x≧3,y≧2のとき、x^3+y^3≧35
ゆえに、37未満の素数が存在するなら, 0>y である。p>0 より、x>0 , 0>y>-x つまり x≧1 , -1 ≧ y ≧ 1-x
このとき x^3+y^3 ≧ x^3+(1-x)^3 = x^3-(x-1)^3 = x^2-x-1 これは、x≧1で常に増加
x=2 2^3-1=7
x=3 3^3-2^3=19
x=4 4^3-3^3=37 4^3-1=63
x=5 5^3-4^3=61
したがって、x≧5のとき、x^3 + y^3≧61
∴小さい順に2,7,19,37
整数大好きやな。整数は章から節に格下げされてmodも消えた
だからこそ2次なら出ると思ってる
modは新課程でもやった気がするけど…………