【伝説級の良問】100次式の討伐（2024 京大特色入試）
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- Опубліковано 4 жов 2024
- 現在青チャートと入試のギャップを着実に埋めて
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#京大特色入試
#数学
#passlabo
エスパー解法おいておきます
デカルトの符号法則により、正の方向に1つ、負の方向に1つか3つ適するxが存在する。
f(x)=x¹⁰⁰-3x¹⁰-2x-1 とおくと、
f(0)0, f(-1)
-3/4で"？"ってなったけど、次数の高い項を微小と見做せば意外とわかるな
出題者が、回答者になにを期待してるのかまで解説されている気分になれた。
願わくば受験生の時に出会いたかったチャンネルです。
この問題にじゃなくてこのチャンネルに出会いたかったってので笑ってしまったw
グラフ描写ソフトで遊んだことがあったからイメージ的にはx=1や－1付近でで垂直に立ち上がってその間では直線みたいな挙動する関数だとイメージしやすかった。x=－1付近の解の個数調べるのが結構手間だな。
普通に100回微分して増減表書いて解いた
100階微分する必要ないししたところで1階微分の式解けなかったら意味ないよ😂😂
@@ロゾーネタやろ
@@themisotsuchiicicles4772 解けはするんだけどそんなめんどくさいことやるわけない…ってのをやったってネタコメするから面白いのであって、そもそも解けないやり方提示されてもな
@@ロゾー その無駄な行為がネタなんじゃないの？
@@ロゾー人生おもんなそう
受験生ではありませんが、数検1級取得を目指しての勉強にも活用できそうです。非常にわかりやすい解説ありがとうございます。
与式を
x^100-3x^10=2x+1と変形してy=右辺とy=左辺のグラフの交点を考えたほうがやりやすいように感じました
参考までに（ルートの前の括弧はn乗根の意）
f(x)=(左辺)とすると
f(x)=0が±(90)√3,0、
f'(x)=0が±(90)√0.3,0となり、概算すると±1弱の時に±２強の極小値、0の時に0の極大値を持つ下に凸のグラフが得られます。
この時点で交点は最低2個～最高４個であることがわかります。
また、-1～0の範囲で交点を持ちそうか調べるために-3/4の時の値を調べると概算でf(-3/4)=-3/16、(右辺)=-1/2となり、左辺のほうが大きいので交点を持つことがわかります。
これはf(-1)とf(0)が同値だから閉区間[-1,0]の間で極値f(c)を与えるcが存在するってことよね
その値が正になるか否かまでは平均値の定理のパワーが足りなくて結局動画みたいな計算ゴリゴリ必要だけど…
y=x^100-3x^10 （せいぜいW字形の偶関数） と y=2x-1 (右上がりの直線）の共有点で、前者は100乗もしてるからx=0,1あたりで多少ゆらゆらしても無視できて交点は2つだろうとタカを括ってたら甘かった
解説がかなり自然かつ実践的な内容でとても勉強になりました。
めっちゃおもろいなこの問題
y＝x¹⁰⁰ と y＝3x¹⁰＋2x＋1 のグラフの方が分かりやすくない？
前者は偶関数，後者は-1
戦う気すら起きない
自分もほぼ同じような解法をしたけど、この問題で一番難しいのは11:04 の方針を諦める所かな
言われたらわかるけど、自分で出来るかと言われたらちょっと……
ってところから次のステップに進むのにめちゃくちゃ時間がかかる……
解きながらクッソ楽しかった
f(x)=x¹⁰⁰-3x¹⁰
g(x)=2x+1
として交点の個数を数えたけど解説の方が簡単だな、なぜわざわざ複雑な形に変形してしまうのか(いやf(x)のグラフが簡単に書けそうだったから)
同感。出題者も、グラフの交点の個数を数える解法を期待しいていたのでしょう(f(x)=x¹⁰⁰-3x¹⁰でf(0)=0となるところが肝)。
x¹⁰⁰-なんて次数は、遊び心のつもりだったのかもれしません(京大の数学者さんは遊び心もありますから)。
グラフで考えるという方針は出来たが、-1
x^100-3x^10=2x+1
(x^90-3)x^10=2x+1
ここでy=x^90はx≥0の単調増加なので
x^90-3=0のx≥0のx軸との交点は3の90乗根の1点のみ
y=(x^90-3)x^10のx≥0のx軸との交点は0と3の90乗根の2点
y=(x^90-3)x^10は偶関数
グラフの交点でとけるかな
微積分を勉強し終えた後で、微積分を理解出来ているかどうかをチェックするのには、とても良い問題ですね😁
やっぱり異次元すぎて楽しいな
正直このレベルの問題が出た時は「よっしゃ簡単や」って思えないと京大は厳しい。
それくらい基礎に則った良問であり、易問である。
京大入試じゃこのレベルは難問でしょ 特色じゃそーなるだろうね
数学力高くてすごいな👏
特色入試として簡単と言ってるか一般入試として簡単と言ってるのかわからん
おそらく後者のつもりだろうけど、普通〜やや難くらいはありそうじゃない？
@@rairaikun1たしかに。BかC弱くらいなイメージ。Aではない。
文系でも分かった、ありがとう解説
この他の問題もだけど、例年に比べてめちゃ簡単になってた
この難易度が続くなら参入難易度かなり低くなると思う
高次関数でのグラフの挙動を理解していてるかが問われている気がする。
y=x^100, y=-3x^10, y=-2x-1の合成と考える方が考えやすいかも？
難しいのは-1≦x≦0の時だが、f(-1/2)がほぼ0だということを考えると、極大値が-1≦x≦-1/2にあって正かな？と予想はつく。
私はf(0.8)で計算してみました。2^10>10^3からの評価がしやすい。
ところでどこかに特色入試問題アップされていませんか？解いてみたいので。
Twitterとかで調べると出てきますよ
@@のい-b4b ありがとうございます。
なかけんさんとこにありました。
まだ解いてませんが、問題をざっくり見ると...簡単に見える。
最近視力低下が著しいな...😅
むずすぎる
こういう動画、数弱にとってはmmaを使う良い教材や、
Solve[{x^100 - 3*x^10 - 2*x - 1 == 0}, x,
Assumptions -> Element[x, Reals]] // N // Flatten // Values->{-1.00808, -0.869193, -0.50151, 1.01915}
来年特色受けようと思っている高校生です。今年の問題は大問3(2)以外は時間内に解けました！(自慢)
最大4最小2までは出せたけどそこからがエグいな
5:30※整数解を持たないので少なくともこの説明のときは等号は無くて大丈夫です。
この問題は結局場合分け無しで増減表をかけば解けてしまいますし、全体的にめちゃくちゃ簡単になってしまいましたね…その分面接が大学数学を前提とする大変なものになってしまったという噂がTwitterで流れていましたが…
一般入試に出しても良いレベル
私はあなたの素晴らしい解説にとても感謝しています❗️
良いビデオを作り続けてください👍
100次式とは胃もたれしそうです…(^^ゞ
既存問題の復習にPASSLABOは最高だが、この動画ない状態でPASSLABOの動画を見てこの問題に挑めるんでしょうか
無理なら意味ないですよね…
面白い！
オーダーで考えて4つってのはすぐ分かったけど証明が難しいな
局所交叉度的な観点で解は100と答えようとしたが、ちゃんと実数って書いてあったw
2回微分して終わりで草
教科書にありそうなレベルでびっくり
良問かこれ
5:40 ランダウの記号とかに通ずる概念？
110X^90の解が本当に一つだけなのか気になる
ド・モアブル使えば複素数範囲で90個出せるけど実数解は±⁹⁰√(3/100)の2個だね
良問は草
特色の問題の中ならサービス問題だよ
何故ここは解なしになるのでしょうか？
8:41
f(0)が負で、
かつ0≦x≦1においてf'(x)が負
すなわちf(x)が単調減少なので、
この範囲内のどのxもf(x)=0を満たすことがないと分かるからです
移項して高次の項分離っしょ
ムズい❗
特色えぐいよんな
直感で2つと分かったけどな
こんなめんどいことしなくても解けそうな気がする…
答えは4つですね。君の直感なんて当たらないんでちゃんと解こうね
@@ホワイトジャック-f4y
そうなんですね
@@かばさん-m3e 大恥で草
普通に因数分解したら4つだったわ
どうやってしましたか？
100個😂
前置き長ーい＾＾
あなた何を解説してるの？全くわからないです。この説明みた人の10人に１人しか意味分からないのでは？
こんな問題解いたからって、何になるんや。
頑張って、京大医大とか行っても、「コロワクは４０万人の命を救った」とかほざいてるアホ教授がおるんやろｗ
◎wolframalpha でグラフがでます。
x**100-3*x**10-2*x-1
◎wolframalpha で数値計算の解がでます。
x**100-3*x**10-2*x-1=0