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Mon prof de maths en terminale nous avait donné des exos de ce bouquin vers la fin de l'année, c'était pas facile ...

Bonjour, merci pour cet exercice. Voici une preuve un peu differente de celle que vous proposez avec la notion de serie convergente: 1) comme vous l'avez fait, on montre qu'il existe M<1 tel que |f^prime (x)|<=M pour tout x dans [a,b] ; 2) puis on definit la suite d_n = x_{n+1} - x_{n} ; par l'IAF il vient: |d_{n+1}| = |f(x_{n+1}) - f(x_n ) | <= M * |d_n | ; et donc par une recurrence simple: |d_n | <= constante * M^n pour tout entier n; 3) comme la serie geometrique sum_{n} M^n est convergente, la serie sum_n x_{n+1}-x_n est absolument convergente, donc est convergente ; ce qui est equivalent a : (x_n ) convergente.

dou sort la deduction f’(x)<1 ?

salut, comment compare tu le niveau attendu à l'EPFL et le niveau attendu aux prépas en France ?

Soit f une telle application (c'est à dire vérifiant les conditions de l'énoncé) Alors pour tout x dans R+, en intégrant f' de 0 à x on obtient que f(x)>=2x, ainsi par récurrence on peut montrer que pour tout n dans N, a_n>=2^n d'où 0<1/a_n<=2^-n En sommant de 0 à n on voit donc que la suite des sommes partielles des 1/a_k est strictement croissante, et majorée par la suite des sommes partielles des 2^-n, elle même majorée par 2, ainsi la série des 1/a_n converge.

Salut, tu commences par dire que f'(t)>=2 pour tout t dans R puis tu intègres cette inégalité entre 0 et x. Il y a deux problèmes : le premier c'est que tu ne sais pas si f' est intégrable et le deuxième c'est que l'inégalité n'est conservée que si x>=0. On peut y remédier en utilisant le théorème des accroissements finis : f(x)-f(0)=f(x)=f'(c)x avec c compris entre 0 et x donc f(x)>=2x si x>=0 et on a bien sûr l'inégalité inverse si x<0. 😉

Bonjour, pourriez vous me dire où vous avez trouvé cet exo? Merci d avance.

Le Maroc c'est toujours classe S parce que l'état n'a pas les moyens d'éduquer tout le monde en fait...

pour la formule a connaitre avec le arctan c'est pas plutôt 1/u carre

A partir de l' idée de @thomasbassil140, et comme c'est en effet une bonne façon de visualiser les choses, je me suis demandé comment écrire les choses proprement car f va "ressembler à un fonction affine" pas en être une. Ce que je trouve de mieux c'est d'appliquer la formule de Taylor ... avec reste intégral (double IPP pour ceux à qui ca ferait peur). Voyons ça: On suppose que f''(x) tend vers 0 en +∞. Soit ɛ> 0, il existe x0 tel que pour tout x>x0 |f''(x)|<ɛ. Etudions Δ = |f(2*n+1)-(2*n+1)| = 1/2*|f(2n+1)-f(2n)+f(2n+1)-f(2n+2)| (en remarquant que 2*n+1 = ((2n) + (2n+2))/2 = (f(2n)+f(2n+2))/2). Taylor Lagrange avec reste intégral donne: f(2n+2) = f(2n+1) + f'(2n+1) + Ri1 avec Ri1= S((2n+2-t)*f''(t)dt, 2n+1, 2n+2) (où, vous l'avez deviné, S(h(t)dt, a,b) désigne l'intégrale de la fonction h entre a et b) et aussi f(2n) = f(2n+1)-f'(2n+1) + Ri2 avec Ri2 = -S((2n-t)*f''(t)dt, 2n,2n+1) (on voit rarement cette expression dans ce sens là c'est intéressant). Soit Δ = 1/2* |-Ri2-Ri1| (grâce aux égalités manipulées avec la formule à reste intégral les termes en f'(2n+1), définis mais non maitrisés, se compensent c'est là toute l'astuce) et donc Δ ≤ 1/2(|Ri1|+|Ri2|) avec l'inégalité triangulaire. |Ri1| ≤ S(|(2n+2-t)*f''(t)|dt, 2n+1, 2n+2) et en majorant |f''(t)| par ɛ pour n suffisamment grand, |Ri1| ≤ ɛ*S(|(2n+2-t)|dt, 2n+1, 2n+2) ≤ ɛ*S(1dt, 2n+1, 2n+2) = ɛ. Avec la même démarche pour |Ri2| on obtient |Ri2| ≤ ɛ et finalement Δ ≤ 1/2*(ɛ + ɛ) = ɛ. Autrement dit f(2n+1) tend vers 2*n+1 en +∞. Or par hypothèse sur f, f(2n+1) = 2n+2. Contradiction et résultat.

Avant de regarder la vidéo: Ce que j'ai envie de faire c'est appliquer le theoreme des acroissements finis (TAF) pour dire que f' vaut 2 en un points de chaque intervalle de la forme ]2n ; 2n+1[ et 0 en un point de chaque intervalle de la forme ]2n+1 ; 2n+2[. Si on note x_n ces valeurs en lesquels f' vaut 2 ou 0 dans les intervalles ]n;n+1[, on réapplique le TAF pour voir que f" va alterner dans les intervalles de formes ]x_n;x_n+1[ entre 0 et 2/(x_n+1-x_n) >= 1, donc f" ne peut pas converger en +inf.

je ne suis pas encore à ce genre de chapitre en sup, mais il me semble que pour le cas ou la limite de f''(x) = 0 , comme vous l'avez dit f(x) doit ressembler à une fonction affine en l'infini. on peut alors utiliser la relation fonctionnelle d'une fonction affine qui dit que f((a+b)/2) = (f(a)+f(b))/2, ainsi en prenant a = 2n et b = 2n+2 on doit avoir f(2n+1) = (f(2n) + f(2n+2))/2 = (2n+2n+2)/2 = 2n+1, contradiction: on sait que f(2n+1) = 2n+2. Bien sur avec n suffisamment grand pour parler de fonction affine.

Des propositions d'exercices et de leurs résolutions très intéressantes, merci.... mais SVP, faîtes des (gros !) efforts d'ar-ti-cu-la-tion !!

On suppose que 3/11=0,272727272727. Donc 3=(10+1) x 0,272727272727 3=2,72727272727+0,272727272727=2,999999999997 Absurde

On peut simplement utiliser le fait que 2ab ≤ a²+b² pour tous nombres réels a et b (ôter le membre de gauche de celui de droite pour obtenir (a-b)²). On calcule le carré de √x+√y+√z : après développement, on trouve x+y+z+2√x√y+2√y√z+2√x√z. On sait que x+y+z=1 et que 2√x√y ≤x+y (idem pour les autres termes), d'où (√x+√y+√z)²≤1+x+y+y+z+x+z=3. On en déduit l'inégalité demandée.

Une erreur dans l’énoncé : Rn[X] et non R[X]. Autrement, ta conclusion sur l’image n’est pas bonne.

Et pourquoi pas faire le BAC Japonais ? Superbe chaîne au passage qui donne envie d'aimer les maths !

Waw

Je suis en ECG maths appliquées et je trouve ça très facile

Une partie nécessaire d’un exo fait tout à l’heure sur les polynômes en prepa avec factorisation en irréductible dans C{X}

voila .notre souffrance comme des étudiants marocains.nous sommes les plus mésirables étudiants du mond😢😢😢😢😂😂😂😂

Sur la miniature c'est 1 et pas i

À la fin tu voulais pas dire pour ω_k différent de 1 et donc pour k différent de 0 ?

les maths c'est cool

Bonjour

Merci

J'achète !

Trop bien !!! Combien coûte l’abonnement ?

Il écrit avec son "q" lui!

Bonsoir; tu utilises quelle application pour ecrire avec ton stylet? Bonne soirée.

La vidéo qui arrive juste avant mon partiel d’algèbre linéaire et bilinéaire je peux pas rêver mieux ! Superbe vidéo en plus merci 👏

Salut ! Merci beaucoup pour la vidéo ! As-tu fais une vidéo qui explique le petit passage d'explication à 13:40 ?

super la video pourrait tu faire des vidéos sur les sujets de maths hec oraux et écrits stp ?

@TheMathsTailor À la question "c'est quoi la tension ?", je dirais de visionner la vidéo réalisée par ScienceEtonnate sur UA-cam intitulée "Que se passe-t-il (vraiment) dans les fils électriques ?" 👍

Dans l'exo 2 question 1 on reconnaît directement le reste intégral dans le développement de Taylor - reste intégral

Pour les frais d'envoi ! 😋

J’ai pas bien compris pourquoi poser directement u = cos(t) ne va pas dans le brouillon au début de la vidéo…

Pour la 3e, ça me semble plus rapide de passer directement par la proposition contraire qui dit que pour tout (i,j) dans [1;n+1] tel qu’on ait : i = j et |xj-xi| > 1/n Ici, si i = j, on a |xj-xi| = |xi - xi| = 0. Or, comme 1/n > 0 (n appartient à N*), on a alors une absurdité car on aurait 0 > 1/n, donc la proposition contraire est fausse, donc la proposition de départ est vraie

Salut, je me demandais quelle application tu utilisais sur iPad pour la prise de note. Merci beaucoup

J'avais déjà vu quelque part le coup de Un = sin(π*(2+sqrt(3))^n) et en effet avec la quantité conjuguée ce n'est pas bien dur: Kn = (2+sqrt(3))^n + (2-sqrt(3)))^n est dans N (binome de Newton, tous les termes en sqrt(3) s'annulent) et Kn est pair (les termes qui ne s'annulent pas sont doubles): Kn = 2.kn donc π(2+sqrt(3))^n = 2π.kn - π(2-sqrt(3))^n. Autrement dit et ca n'a rien d'évident dans la forme initiale mais le terme à l'intérieur du sin se rapproche très vite d'un multiple entier de 2π. Avec sin(2.k.π-x) = -sin(x) et sin(x) ~x en 0 il est facile de conclure, la série se comportant à partir d'un certain rang comme une série géométrique de raison inférieure à 1. Rigolo pour le réflexe de bidouiller quelque chose avec la quantité conjuguée mais rien de fondamental ^^

Sqtt(1-t2) c est un demi cercle supérieur et l intégrale est l aire sous la courbe alors ça se fait sans calcul