Відео

on a existence et unicité des points fixes sur la miniature de la vidéo :o

Merci

مقطع جد راائع، هنا نرى جمالية الدراسة التحليلية في الرياضيات،دراسة بدون معرفة ماهية المدروس بشكل مباشر..رائع كم أحب الرياضيات،من شدة جمالية هدا المقطع قمت بتحميله و حفضه لدي..قناة مميزة حقا ليت تواصل على هدا النحو

La 2 est vrai sur Sn(R) non ?

Très cool l'exo, mais du coup on n'a pas besoin que la décroissance de f•g soit stricte

Magnifique t shirt HxH

Le boss pour motiver à bosser des exercices exotiques

magnifique

Exo sympa. Merci pour tes vidéos!!

4:15 , l'oral est juste mais la craie a écrit f°g(x) ET NON f°g(0) !

Tres bon exo merci beaucoup

Mon prof me l'avait donné en oral d'entraînement

Un super exo pour finir l'année ! Merci Cassou, t'es trop cool. ❤

J'aime beaucoup les vidéos sur les oraux X-ENS. C'est vraiment sympa à résoudre

La première n’est-elle pas vraie sur Mn(R) ? En tout cas sur Sn(R) oui via polynôme interpolateur de Lagrange

Me concernant il s’agit donc d’une langue étrangère .😅qu’elle peut être l’application utile pour la vie courante?

plus d'exercice X-ENS MP svpp !

Autre solution, à partir du moment où on a que A est symmétrique (et on y arrive assez vite en commençant par brute force le machin), on peut en déduire que A est diagonalisable. Comme on a que B est un polynome en A, on en déduit que les deux sont diagonalisables dans la même base et que pour toute valeur propre lambda de B il exise une valeur propre mu de A telle que P(mu) = lamba. On diagonalise B ce qui permet d'avoir la matrice de passage M et le spectre de B ({0, 2}) et on en déduit les quatre matrices Ds diagonales telles que P(D) = MBM^-1 (on a diag(0, 1), diag(0, -2), diag(-1, 1) et diag(-1, 2)). On fait rapidement le changement de base dans l'autre sens et on tombe sur les matrices solutions. La solution me parait correcte mais si j'avoue que ça "les deux sont diagonalisables dans la même base et que pour toute valeur propre lambda de B il exise une valeur propre mu de A telle que P(mu) = lamba" ne semble marcher que dans le cas où A est diagonalisable (ce qui est le cas ici) et la preuve doit être faite.

J'ai une autre solution à proposer : Le polynôme caractéristique de A est de la forme X^2 + aX + b avec a et b appartenant à Z. De plus, ses racines sont dans Un. Or, en regardant la matrice compagnon de ce polynôme et les disques de Gershgorin, on en déduit que a ne peut prendre que 0, +-1 ou +-2 comme valeur. Toujours avec l'arguments des disques de Gershgorin, si a = 2 alors 1 est racine double, si a = -2, -1 est racine double. Si a =0, alors la valeur absolue de b est 1. Donc b = +-1. Donc les racines sont soit 1 et -1 ou i et -i. Enfin si a=+-1, on retrouve les racines en e^(iPi/3)

Bonjour, on a pas prouvé que la matrice M trouvée était nulle. Comment faire ?

Pas de grande révolution, mais une petite amélioration peut être, une fois établie la diagonalisabilité dans C. Le déterminant de A est un entier, mais c'est aussi le produit des valeurs propres, disons l1 et l2. On utilise alors le fait que le déterminant d'un produit est le produit des déterminants, on a donc (l1l2) ^12 = 1, donc l1.l2, qui est entier, est égal à 1 ou -1, d'où l2 = 1 / l1 ou son opposé. On obtient alors le résultat de façon identique au cas complexe conjugué en utilisant le fait que l1 et l2 sont des racines de l'unité inverses l'une de l'autre (au signe près), ce qui évite de faire un cas particulier pour l1 = 1 ou -1 .

J'aimerais savoir en quoi trouver un polynôme annulateur d'une matrice permet de conclure que celle-ci est inversible. Les matrices Ei,j avec i et j distincts sont non inversibles bien qu'elles soient annuler par le polynome X²

Elle est symétrique mais c'est aussi la représentation d'une base orthonormé ainsi c'est une matrice orthogonale. C'est donc une symétrie orthogonal (Exo classique) Etant différente de +- In ces valeurs propres sont 1 et -1

Super vidéo cette fois ci c'est très bien expliqué.

A diagonalisable est une question flash ultra classique.

Bel exercice et super vidéo! Je dois avouer que sans les indications j'avais du mal à partir... Sans avoir planché dessus j'ai le sentiment que: 1/la propriété reste juste si A est dans M_3[Z] (le polynôme caractéristique impose det(A), tra(A), tr(com(A)) dans Z et delà je pense que cela impose qu'une des valeurs propres (toutes racine n-ieme de l'unité) soit +/-1 et la discussion sur les deux restantes est identique à celle de la dimension 2) 2/devient fausse si A est dans M_4[Z] (on doit pouvoir prendre deux paires de racines n-ième de l'unité conjuguées deux à deux pour un n grand au besoin premier avec 12). J'en appelle aux neurones de la communauté: Un avis, une demo pour 1/ ? Un contre exemple explicite pour 2/ ?

De tête, je vois du 4 mais je n'arrive pas du tout à voir d'où on sort le 3 et quel exemple a du 3. LOL

Je ne comprends pas pourquoi vous dites que f s’annule une fois quand vous répondez à la question 2.

a_n := (1+(-1)^n)/n est un contre exemple pour les deux.

On peut le faire avec les polynômes cyclotomiques (programme M1). chaque valeur propre est racine d'un polynôme cyclotomique; ces polynomes sont irréductibles sur Q donc les valeurs propres sont des racines d'un poly cyclotomique de degré 1 ou 2, le n ième polynome cyclotomique est de degré phi(n). phi(n)=1 ou 2 ssi n=1,2,3,4,6. Donc le polynôme cyclotomique associé une vp va toujours diviser X^12-1, donc chi(A) aussi

Ah je l'avais eu en khôlle celui-là ; c'était donc déjà à la mode en en 2007/2008 ^^ Merci pour la super boulot comme d'hab :)

Bonjour tout le monde et joyeuses fêtes. Donc finalement dans M_2(Z), si A^n = I, alors un peu plus précisément : A⁴ = I ou A⁶ = I. On a le même résultat dans M_3(Z) : 4 ou 6. En revanche, dans M_4(Z), la matrice compagnon du polynôme X⁴ + X³ + X² + X +1 vérifie A⁵ = I. Donc là, en dimension 4, on a : A⁵ = I ou A¹² = I. Mais là, c'est un vrai A¹² = I, pas au choix 4 ou 6 ! (pas d'autre solution si je ne m'abuse) Donc en tout, A⁶⁰ = I. Dans M_5(Z), je pense que c'est comme dans M_4(Z).

Je l'ai fait d'une autre manière, mais je ne sais pas vraiment si elle est plus courte : Comme A est à coefficient dans Z, son polynome caracteritique que je note P_A est dans Z[X] et unitaire. - Si n=1, alors A est l'identité et donc on a bien A^12=I_2. - Si n>=2, alors je considère la division euclidienne de X^n par P_A. Je note le reste R qui est un polynome de degré 1. Comme A^n=I_2, on a alors que I_2=R(A) par cayley-hamilton. Je note R(X)=mX+p et A=(a, b a la ligne c, d). On obtient alors le système suivant : - 1=ma+p - 0=mb - 0=mc - 1= md+p. Si m=0, alors on a I_2=pI_2 et donc p=1. Finalement on a donc A^n=I_2, qui est vrai en particulier quand n=12. Sinon, on a alors b=0 et c=0. A est alors diagonale. De l'egalite de base A^n=I_2, on a a^n=1 et d^n=1. Comme a et d sont dans Z, on a que a et d sont égales à+-1. Et donc on a que comme 12 est paire, a^12=1 et d^12=1. Donc on a bien A^12=I_2. Cqfd. Merci pour tes vidéos, je commente rarement, mais j'apprécie beaucoup ton contenue 🎉. Bonne fêtes de fin d'année ! Edit : c'est faux puisque les relations sont vraies pour un n en partciulier et pas seulement pour n'importe quel n, je suis vraiment mauvais 😅. Je modifirai si je trouve une solution qui marche en partant de cette methode.

Merci pour ce beau cadeau de Noël en avance ! J'avais une stratégie plus laborieuse pour la fin (je listais comme un relou tous les polynômes caractéristiques possibles). J'imagine que connaître la structure de SL2(Z) peut donner un gros raccourci mais je n'ai pas essayé vu qu'on n'y a pas droit.

Bien vu merci

Merciiiii ❤

Très bonne vidéo mais j'avais une question, cela pouvait tout aussi bien marcher avec A^6, parce que au vu de l'énoncé on pourrait penser que le 12 a une certaine importance ?

Super vidéo, comme d'habitude! J'ai juste une petite question, j'ai pas bien compris l'argument au début pour dire que la matrice est diagonalisable, quelqu'un serait d'accord de me l'expliquer ?

Question 1 : Vrai Mn(C) est un espace vectoriel de dimension finie Tout sous-espace vectoriel est un fermé. L'espace vectoriel des polynômes en A est donc un fermé. exp(A) est limite une suite de polynômes en A (par définition de l'exponentielle matricielle) exp(A) est donc lui-même un polynôme en A. Question 2 : Faux A n'est pas nécessairement un polynôme en exp(A). Si on prend A = 2πJ où J est matrice : 0 -1 1 0 J est une représentation matricielle de l'unité imaginaire i. exp(2πJ) = I Les polynômes en exp(A) = I sont juste des matrices scalaires. (Toutes les puissances de I sont I) or 2πJ n'est pas une matrice scalaire. Donc affirmation fausse

Toujours pour le 1 Avec Cayley Hamilton ( ou polynôme minimal) on trouve un tel polynôme de degré n-1 (voire moins) Par contre si quelqu’un a un lien vers une preuve bien rédigée je suis preneur.

Le premier est vrai car les matrices triangulaires cest un fermé, surement que le 2 cest faux mais jai pas d'exemple

Bonjour, Dans l'exercice 1) pour déterminer la limite de xn je suis passé à la limite dans l'équation (vu que fn est continue), on obtient que la suite fn(xn) qui est la suite nulle CV vers fn(l) donc fn(l) = 0 mais vous obtenez l = 0 et fn(0) est non nul, je ne comprends pas ou est mon erreur

Je commente pour être notifié des réponses

Pour le 1 K[A] est un sev donc fermé de Mn(k) donc exp(A) est bien un polynôme en A.

Le 1er est vrai car exp(A) c’est la limite des somme partielle d’un polynôme en A mais les polynôme en A c’est un fermé donc exp(A) est un polynôme en A

Le premier est vrai car si l’on considère pour tout n dans N l’exponentielle tronqué de la matrice A à l’ordre n c’est est une suite d’éléments de C[A] qui converge de limite exp(A) or C[A] est un sev de dimension finie donc il est fermé donc la limite exp(A) appartient à C[A] .

As-tu eu mon courriel ? Sinon je n’ai pas trouvé d’autre adresse que celle de la cité papiste….