D'ailleurs si vous avez des Enonces D'ORAUX 2024 intéressants, n'hésitez pas à la poster en commentaires 😉 Autant je pourrai en faire en video si je trouve le temps (et la solution 😜)...
Mes élèves ont beaucoup souffert avec le BEOS 8084 (qui est aussi le 5834). Je ne dirais pas qu'il est intéressant, mais il permet d'illustrer qu'on peut avoir des questions niveau terminale à CCINP, et aussi de mettre le doigt sur des erreurs à ne pas commettre. L'exercice consiste à montrer la bonne définition, la monotonie, la convergence et un DA à deux termes de la suite des racines positives de -4+X+X²+...+X^n.
Super vidéo, merci! :) Personnellement j'ai utilisé une intégration par partie répétée. En posant N le degré de P et en appliquant N fois l'intégration par partie sur la formule de Q, on obtient que Q(x) = e^{-x} (sum_{k=0}^N P^{(k)}(t) e^t eval_0^x + (-1)^{N+1} int_0^x P^{(N+1})(t) e^t dt). Cependant, P^{(N+1}) est le polynôme nul, donc cette intégrale se simplifie. On obtient ainsi Q(x) = sum_{k=0}^N (-1)^k P^{(k)}(x) - e^{-x} sum_{k=0}^N (-1)^k P^{(k)}(0). Le résultat est direct à partir de là : Q(x) est un polynôme si et seulement s'il n'a pas de terme en exp(-x) ce qui arrive si et seulement si sum_{k=0}^N (-1)^k P^{(k)}(0) = 0.
Bonjour. On a Q solution du problème de Cauchy linéaire Q' + Q = P, avec Q(0) = 0. On vérifie ainsi que si Q est polynomiale, alors P vérifie la condition demandée. Réciproquement, l'application f(Q) = Q' + Q vérifie f(X^n) = n X^{n-1} + X^n et ces polynômes forment bien une base de R[X] (famille échelonnée). Donc f est un automorphisme de R[X]. L'image de l'hyperplan engendré par X,X²,X³ .... (tout le monde sauf X⁰ = 1) est donc bien l'hyperplan donné par l'équation satisfaite par P. D'ailleurs, explicitement, la solution générale est solution particulière + solution générale de l'équation homogène. Ça donne Q = sum (-1)^k P^(k) + λ e^{-x}, et donc la condition traduit simplement la condition initiale Q(0) = 0 avec λ = 0.
Très joli. J'avais fait une IPP itérée comme tout le monde mais je trouve qu'on comprend mieux ce qui se passe avec votre solution (même si celle de Cassou me plaît beaucoup aussi).
Oui c'est sympa IPP. En fait si tu regarde ma récurrence, ça fait au final assez court aussi. Et donc effectivement ça nous fait encore un Roald ENS PC un peu simple pour une ENS ... mais bon faut voir la planche entière. Je crois que le 2eme exo c'était : " On se donne une série à terme positif convergente. Quelles sont les valeurs possibles de la somme à l'infini de ses carrés ". Prochaine vidéo ENS je ferai une planche entière.
@@EMT-fw2fz ah oui. T'as ete sur BEOS. Moi aussi j'ai pas compris "trouver les valeurs possibles" 🤔🤔... a part dire que ça converge... bizarre. Du coup je ne l'ai pas retenu. 🤷♂️
D'ailleurs si vous avez des Enonces D'ORAUX 2024 intéressants, n'hésitez pas à la poster en commentaires 😉
Autant je pourrai en faire en video si je trouve le temps (et la solution 😜)...
Mes élèves ont beaucoup souffert avec le BEOS 8084 (qui est aussi le 5834). Je ne dirais pas qu'il est intéressant, mais il permet d'illustrer qu'on peut avoir des questions niveau terminale à CCINP, et aussi de mettre le doigt sur des erreurs à ne pas commettre. L'exercice consiste à montrer la bonne définition, la monotonie, la convergence et un DA à deux termes de la suite des racines positives de -4+X+X²+...+X^n.
@@UnNimois Je vais aller voir ca, merci 😃
J'adore les petites incrustations vidéo. L'esthétique de tes productions est vraiment top.
Merci 🙏. J'avoue je suis très BD. J'ai été bercé à Gotlibb et Franquin, Tome et Janry ... etc 😁
Super vidéo, merci! :)
Personnellement j'ai utilisé une intégration par partie répétée. En posant N le degré de P et en appliquant N fois l'intégration par partie sur la formule de Q, on obtient que Q(x) = e^{-x} (sum_{k=0}^N P^{(k)}(t) e^t eval_0^x + (-1)^{N+1} int_0^x P^{(N+1})(t) e^t dt). Cependant, P^{(N+1}) est le polynôme nul, donc cette intégrale se simplifie. On obtient ainsi Q(x) = sum_{k=0}^N (-1)^k P^{(k)}(x) - e^{-x} sum_{k=0}^N (-1)^k P^{(k)}(0). Le résultat est direct à partir de là : Q(x) est un polynôme si et seulement s'il n'a pas de terme en exp(-x) ce qui arrive si et seulement si sum_{k=0}^N (-1)^k P^{(k)}(0) = 0.
J'ai fait pareil! \○/
Oui bonne idée IPP. 👍
Bonjour.
On a Q solution du problème de Cauchy linéaire Q' + Q = P, avec Q(0) = 0.
On vérifie ainsi que si Q est polynomiale, alors P vérifie la condition demandée.
Réciproquement, l'application f(Q) = Q' + Q vérifie f(X^n) = n X^{n-1} + X^n et ces polynômes forment bien une base de R[X] (famille échelonnée). Donc f est un automorphisme de R[X].
L'image de l'hyperplan engendré par X,X²,X³ .... (tout le monde sauf X⁰ = 1) est donc bien l'hyperplan donné par l'équation satisfaite par P.
D'ailleurs, explicitement, la solution générale est solution particulière + solution générale de l'équation homogène.
Ça donne Q = sum (-1)^k P^(k) + λ e^{-x}, et donc la condition traduit simplement la condition initiale Q(0) = 0 avec λ = 0.
Très joli. J'avais fait une IPP itérée comme tout le monde mais je trouve qu'on comprend mieux ce qui se passe avec votre solution (même si celle de Cassou me plaît beaucoup aussi).
👍👍 Toujours des solutions tres sympa et elegantes @marsupilable. Merci 🤩
le GOAT!
Quand je vois une exponentielle et un polynôme j'ai le réflexe IPP jusqu'à "tuer" le polynôme...
Je disais ça à mes étudiants ce matin 😉😉
Comme d'autres j'ai fait une IPP et une récurrence, ce qui rend l'exercice assez rapide et simple. Je me demande si j'ai manqué un truc?
Oui c'est sympa IPP. En fait si tu regarde ma récurrence, ça fait au final assez court aussi.
Et donc effectivement ça nous fait encore un Roald ENS PC un peu simple pour une ENS ... mais bon faut voir la planche entière.
Je crois que le 2eme exo c'était :
" On se donne une série à terme positif convergente. Quelles sont les valeurs possibles de la somme à l'infini de ses carrés ".
Prochaine vidéo ENS je ferai une planche entière.
@@CassouMathPrepa 😅j'ai déjà du mal à comprendre l'énoncé du deuxième exo!
@@EMT-fw2fz ah oui. T'as ete sur BEOS. Moi aussi j'ai pas compris "trouver les valeurs possibles" 🤔🤔... a part dire que ça converge... bizarre. Du coup je ne l'ai pas retenu. 🤷♂️