Je suis en M1, mon programme c'est analyse fonctionnelle, EDP, processus stochastique, discret, intégrale d'Itô mais jsp comment dire, ce prof est tlm sympathique
Du Cauchy à toutes les sauces ! En dimension fini, toutes les normes sont équivalentes, mais j’avais oublié que la norme 2 est inférieure à la norme 1. Bien ouej 😊
Un oral d'Ulm sur le même thème (cas n=3): Pour tout A dans M3(R) on pose f(A) = ΣΣ |aij| pour i et j allant de 1 à 3. Déterminer le maximum de f sur O3(R) On peut montrer que n^(3/2) n'est pas une borne optimale dans ce cas. Cette somme est majorée par 3^(3/2) Cette inégalité a été déterminée par l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à |A| et J où |A| est la matrice dont ses coefficients sont les coefficients de A en valeur absolue et J est la matrice pleine de 1. Si l'on souhaite que la majoration soit atteinte, il faut et suffit que |A| soit colinéaire à J. Autrement dit tous les coefficients de A sont des ±λ Il faut que la somme des valeurs absolues des coefficients valle 3^(3/2) . Cette somme est 9λ, on trouve λ=1/racine3 De même, il faut que chaque colonne soit de norme 1, d'où 3λ² = 1 donc λ = 1/racine3 Mais là où ça coince , c'est le produit scalaire entre deux colonnes : ±λ² ± λ²± λ² = 0 il faut autant de termes positifs que de termes négatifs Ce qui n'est pas possible
Bonjour vous pensez qu’il faut chercher combien de temps quand on ne trouve vraiment pas ? Il y’a des exos d’oraux ou je tâtonne pendant des heures et j’y arrive pas, d’autres où je trouve directement l’astuce..
On peut aller plus vite pour la dernière en prenant la trace: on a que notre double somme vaut tr(transp(M)M) qui vaut aussi Tr(I_n)=n car M est orthogonale, d’où le résultat par inégalité triangulaire
Tr(^tMM) ça fait la somme des carrés des mij. Du coup, comme dit dans un commentaire plus haut, l'astuce consiste surtout à minorer les |mij| par leur carré en constatant qu'ils sont entre 0 et 1.
merci super explication ! l idee et la preuve que la norme 2 est inferieure a la norme 1 , vraiment merci
Merci!
Je suis en M1, mon programme c'est analyse fonctionnelle, EDP, processus stochastique, discret, intégrale d'Itô mais jsp comment dire, ce prof est tlm sympathique
🤣 merci Julie 🙏
Excellent
Pour l'inégalité du milieu on peut minorer chaque |mi,j| par son carré puis sommer sur i et j
Carrément ! 😃👍
Astucieux. Bravo !
Bravo
Du Cauchy à toutes les sauces ! En dimension fini, toutes les normes sont équivalentes, mais j’avais oublié que la norme 2 est inférieure à la norme 1. Bien ouej 😊
Merci. Voir l'astuce de Saber dans le commentaire suivant ou précédant. J'aime bien.
Un oral d'Ulm sur le même thème (cas n=3):
Pour tout A dans M3(R) on pose
f(A) = ΣΣ |aij| pour i et j allant de 1 à 3.
Déterminer le maximum de f sur O3(R)
On peut montrer que n^(3/2) n'est pas une borne optimale dans ce cas.
Cette somme est majorée par 3^(3/2)
Cette inégalité a été déterminée par l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à |A| et J où |A| est la matrice dont ses coefficients sont les coefficients de A en valeur absolue et J est la matrice pleine de 1.
Si l'on souhaite que la majoration soit atteinte, il faut et suffit que |A| soit colinéaire à J.
Autrement dit tous les coefficients de A sont des ±λ
Il faut que la somme des valeurs absolues des coefficients valle 3^(3/2) . Cette somme est 9λ, on trouve λ=1/racine3
De même, il faut que chaque colonne soit de norme 1, d'où 3λ² = 1 donc λ = 1/racine3
Mais là où ça coince , c'est le produit scalaire entre deux colonnes : ±λ² ± λ²± λ² = 0
il faut autant de termes positifs que de termes négatifs Ce qui n'est pas possible
Bonjour vous pensez qu’il faut chercher combien de temps quand on ne trouve vraiment pas ? Il y’a des exos d’oraux ou je tâtonne pendant des heures et j’y arrive pas, d’autres où je trouve directement l’astuce..
On peut aller plus vite pour la dernière en prenant la trace: on a que notre double somme vaut tr(transp(M)M) qui vaut aussi Tr(I_n)=n car M est orthogonale, d’où le résultat par inégalité triangulaire
Exact
Tr(^tMM) ça fait la somme des carrés des mij.
Du coup, comme dit dans un commentaire plus haut, l'astuce consiste surtout à minorer les |mij| par leur carré en constatant qu'ils sont entre 0 et 1.