Avant la mpsi : une inégalité de racines - faisable avec des outils de seconde et première ?!
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- Опубліковано 13 сер 2022
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- ma vision des maths, de leur apprentissage : c'est accessible à tous !
- mon expérience sur l'orientation : je souhaite vous faire découvrir les rouages du système et les méthodes pour atteindre l'excellence.
Mon but est d'ouvrir vos horizons au maximum et de vous aider à mieux comprendre ce qui est possible pour vous !
Pour ces deux buts je me concentre sur deux aspects fondamentaux :
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- l'information - je bosse depuis des années comme prof particulier pour des élèves de bon niveau et à hautes ambitions, et me suis rendu compte que même parmi les familles les plus aisées tout le monde est un peu perdu sur les questions d'orientation.
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Alors qui a réussi à résoudre l'inégalité avec seulement des outils de niveau lycée ?! 😉
application directe de l'inegalité de cauchy shwartz en prenant comme vecteurs u(rac(x), rax(y),rac(z) ) et v(1,1,1)
1:40 J'adore le langage familier utilisé, c'est beau de voir quelqu'un qui se prend pas trop au sérieux 😄Merci de garder ta propre personnalité, ça fait vraiment plaisir
Haha ravi que ça plaise ! C’est spontané 😂
J'arrive un peu après la bataille, mais de mon côté je suis parti sur de la géométrie dans l'espace.
Je fais un changement de variable : x'=sqrt(x), y'=sqrt(y), z'=sqrt(z).
Le problème devient : soient (x,y,z) tq x²+y²+z²=1, démontrer que x+y+z
Avec un peu d'intuition on remarque que pour x=y=z=1/3 on atteint sqrt(3).
l'idée est alors de s'interesser à comparer chaque terme à 1/3.
Parmis les majorations connues, on va se servir de (a+b)/2 >= sqrt(ab) qu'on peut aussi montrer facilement car (sqrt(a)-sqrt(b))² >= 0.
Une motivation du choix de cette inégalité est la présence de la racine carré.
On aplique notre inégalité à x et 1/3, on a alors: (x+1/3)/2 >= sqrt(x/3)
De même on a (y+1/3)/2 >= sqrt(y/3) et (z+1/3)/2 >= sqrt(z/3)
En sommant les 3 on obtient (x+y+z+1/3+1/3+1/3)/2 >= sqrt(x/3) + sqrt(y/3) + sqrt(z/3)
comme x+y+z = 1, on a 1 >= (sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z))/sqrt(3)
Donc en multipliant par sqrt(3) on a notre résultat.
Très bien merci!
Bien plus élégant dans l'absolu mais moins intéressant pour une vidéo je dirais, la seule chose intéressante qu'on en retire c'est l'inégalité (a+b)/2 >= sqrt(ab) alors que la vidéo apporte bien plus d'idées intéressantes à réutiliser. Mais peut-être un peu trop, je pense que beaucoup peuvent se perdre au fil de la démonstration...
@@PaBien C'est vrai que l'inégalité des moyennes (entre moyenne arithmétique et géométrique) est aussi un super point que j'aurais pu aborder :). Ça règle la question assez rapidement.
En termes de démarche quand je fais ces vidéos je veux transmettre mon parcours de pensée et essayer de montrer comment les étapes 'coulent' d'une à l'autre. En conséquance il existe des méthodes plus efficaces que je ne vois pas 😀ou bien je me retrouve à faire quelque chose d'un peu tarabiscoté 😅
Merci pour ce com constructif !
Autre possibilité : on peut aisément montrer, grâce à une identité remarquable, que pour tout (x, y) appartenant à (R+)², sqrt(x+y)
De d
Je suis dsl mais je ne vois pas comment on passe de cette inégalité au résultat, car le sens de l'inégalité n'est pas celle voulue
super idée d'essayer de résoudre des exos compliqués de supérieurs avec des outils simples
Merci!
Très bonne vidéo. L'exercice est très intéressant.
Merci beaucoup 🙂
C’est du génie bravo !
Merci !
salut ! j'ai trouvé une autre solution qui m'a l'air plus simple , je m'intéresse à l'équation : ( sqrt(x) + sqrt(y) +sqrt(z) )² puis au fait que (sqrt(x) - sqrt(y))² nous donne x+y => 2sqrt(xy) , ca tient en 5-6 lignes environ
Je crois que j’ai saisi, ça a l’air très bien en effet! 😊 je suis vite parti sur les polynômes de mon côté 😄
c'est ce que j'ai fais
Attendez j'ai pas suivis qq1 pour m'expliquer svpp
@@bush_couscous5510 slurp slurp
Je n'y ai rien compris.
Super démo !!
Merci !
Génial
Excellente vidéo !
Merci !
En élevant directement au carré, on a l'inégalité équivalente suivante : sqrt(xy)+sqrt(yz)+sqrt(zx)
Oui mais bon cauchy schwartz c’est pas des outils de lycée
@@Mateo-tm9ep produit scalaire de 2 vecteurs inférieur au produit des longueurs des 2 vecteurs, de mon temps c'était programme de seconde!
@@orsobianco1402 les temps changent ^^
Mtn le PS c'est en 1ere et cette inégalité (même si elle se redémontre très facilement) n'est plus au programme.
arrêtez avec cauchy SchwarTTTTz
Encore une fois une super vidéo, merci ! :)
Merci !
La semaine d'attente fût longue.
Merci bcp ;)
Comment se passent les vacances à Ibiza ?
Haha merci du soutien ! Vacances supers ça fait du bien !
Il y a plus simple : on remarque que le maximum de x + y + z est atteint lorsque x = y = z = 1/3. Pourquoi, dès qu'on a un terme plus grand que les autres, la somme se fait plus tasser par la racine. Et comme c'est le max, cette somme est inférieure ou égale à 3×1/sqrt(3) = sqrt(3).
Bon mes maths sont rouillées par le manque de pratique et je n'ai plus l'âge de passer les concours d'entrée aux grandes écoles, mais je m'abonne quand même pour soutenir la chaine.
Merci !
J'ai la cinquantaine passée, suis passé par les prépas il y a fort longtemps mais c'est toujours un plaisir de suivre la chaine.
Bonjour, excellente démonstration. je me demandais si on aurait pu passer en coordonnée polaire plutôt cartésienne? Merci, Gabriel
Je n’ai pas essayé mais ça doit se tenter!
Si on élève la somme des racines de x, y et z au carre, on a :
(sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z))²
= x + y + z + 2[sqrt(yz) + sqrt(xy) + sqrt(xz)]
= 1 + 2[sqrt(yz) + sqrt(xy) + sqrt(xz)]
Or pour tous a, b positifs (sqrt(a) - sqrt(b))² = a + b - 2sqrt(ab) >=0, donc sqrt(ab)
Bonjour,
Comment savez vous que racine(3) - (X+Y) est >o avant de l'élever au carré? On sait juste que X
On le sait car c’est vrai depuis les équivalences précédentes !
On peut également procéder comme ci-après. Ce n'est ni solution la plus rapide, ni la plus élégante, mais elle ne fait intervenir que la dérivation (programme de 1ere) :
- On considère la fonction de la variable x définie sur ]0,1-y[ par f(x) = sqrt(x) + sqrt(y) - sqrt(1 - x - y) où y est fixé. On dérive f et on montre que f est croissante puis décroissante, avec un maximum atteint en x = (1-y)/2. On en déduit que f(x)
x, y et z étant positifs, si x+y=z=1 Alors ni x, ni y ni z ne peut être plus grand que 1 : x
Je ne sais pas comment tu vas faire dans ta vidéo mais vu que √(xy)+√(yz)+√xz
Appli directe de l'inégalité de Cauchy shwarz😉
(sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z))^2 =< (sqrt(x)^2+sqrt(y)^2+sqrt(z)^2)(1^2+1^2+1^2)
trivial par Jensen
Autre idée niveau terminale : sqrt(x) est concave est inferieure a sa tangente en 1/3 idem sqrt(y) et sqrt(z). En sommant les trois inégalités on retrouve sqrt(3)
Yes! J’ai voulu faire sans mais ça c’est très bien!
Démonstration plus rapide, et nécessitant moins d'abstraction, bravo !🎉
Pourquoi est ce que connaitre le minimum et savoir que la courbe est croissante sur 0;1 nous aide à répondre à la question ?
Elles est pas croissante mais on cherche à savoir si son minimum est positif. Si son min est positif alors toute la courbe est positive
Lorsqu'on a une inégalité à démontrer on peut en effet essayer d'exploiter un trinôme (parfois on utilise aussi le discriminant en sachant qu'il est négatif si le trinôme n'a pas de racine réelle ; c'est le cas de la démonstration du principe d'incertitude d'Heisenberg)....mais il me semble qu'on peut aussi penser à Cauchy Schwarz. Ici on serait en dimension 3 et ce théorème dans l'espace est normalement au programme de terminale de la spé maths : si u et v sont deux vecteurs, u scalaire v =< norme(u) X norme(v). Choisissons u = (racine(x) ; racine(y) ; racine(z)) et v = (1 ; 1 ;1) et alors le théorème donne directement le résultat puisque :
u scalaire v = racine(x) + racine(y) + racine(z)
(norme(u))² = x + y + z = 1
norme(v) = racine(3)
J’ai une question assez triviale mais qui me tracasse. Est-ce que montrer que la proposition est vrai est équivalente à la démontrer?! Sinon j’aime bien le raisonnement abordé dans la vidéo
Oui si elle est vraie alors elle est démontrée :)
Tres intéressant de le faire avec seulement des outils du lycée. C'est impressionnant de voir que ce problème peut être abattu par Cauchy Schwartz en 1 ligne !
Oui c'est énervant de pas pouvoir l'utiliser :D
je rappelle qu'il n'y a pas de t au second nommé de cette inégalité
On peut pas utiliser Jensen ? Ça me semble assez direct
Yes avec le programme de sup c’est direct. Mais là c’est un exo type olympiades j’ai voulu le montrer avec des outils de première Max ;)
@@TheMathsTailor yes bah en tout cas c’est assez marrant avec des outils de premières c’est assez astucieux
peut-être une version avec des outils prépa ;-)
Y en a plusieurs! Une avec l’inégalité de jensen, une autre en considérant la géométrie… ;)
@@TheMathsTailor j'ai 40 ans ... et je me replonge parfois dans ces petits exos qui entretiennent le cerveau .
Merci bcp pour cette chaine et n'hésitez pas à créer un compte teepee ou autre pour soutenir ;-) Mes enfants en auront grandement besoin
Hehe merci! Je retiens pour teepee bonne idée!
Je suis aussi en train de créer une solution complète de vidéos + outils de révisions qui suit tout le programme de lycée et prépa avec quelques autres profs passionnés comme moi 😇 ce sera accessible à la rentrée (version gratuite et version payante pas trop chère) on y bosse pas mal là mais j’attends un peu avant d’annoncer tout ça , le temps de perfectionner tout 😉
J'ai bien aimé le mot "cuvette", ça devient tout de suite intuitif.
J’adore les cuvettes aussi !
@@TheMathsTailor très intéressant, on devrait nous l'expliquer comme ça au lycée
niveau lycée de 1982...lol un petit coup de Cauchy -Schwarz direct (notons que la définition du cosinus donnée en dimension 2 en première actuelle suffirait si elle était donnée en dimension 3 , est-ce au programme ??)
Non c'est hors programme :p mais avec le programme de sup C-S marcherait super bien oui !
Au debut de la vid il ya une petite erreur en effet vous avez ecrit en vert que x,y,z pouvez etre egal à 1 alors que cest faux puisque x,y,z sont strictement positif donc aucun d'eux ne peut etre egal à 0 du coup supposons que x=1 lexpression x+y+z nest plus egal à 1
Ah oui bien vrai! Merci!
@@TheMathsTailor derien
En fait la dernière inéquation à résoudre, c'est un peu comme une équation paramétrique
Un peu oui! Avec y comme paramètre ;)
pas joli d'enlever la symétrie : Cauchy-Schwarz c'était programme lycée dans les années 80 ;)
👍
Même avec des outils de troisième ça se fait, mais le raisonnement, fastidieux, n'est certainement pas celui attendu d'un élève à ce niveau !
On montre d'abord la convexité de la fonction carré : pour 0
Sinon on ne peut pas dire que sqrt(3) > 1 et sqrt(x) < x, sqrt(y) < y et sqrt(z) < z. Et donc au final on se retrouve avec sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) < 1 et donc sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) < sqrt(3) ??
Sur [0;1] faites attention à la comparaison sqrt(x) et x 😉
si x est compris entre 0 et 1 , sqrt(x) > x. Ici, ils sont tous compris entre entre 0 et 1.
En effet, merci yolfa03 (-;
Salut voici une solution moins complexe je trouve :
[sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z)]^2=
x+y+z+2(sqrt(xy)+sqrt(yz)+sqrt(zx))
Or, (sqrt(x)-sqrt(y))^2>0
D’où x+y>2sqrt(xy)
De même avec yz et zx
On a ainsi :
[sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z)]^2
C'est aussi la solution que j'ai trouvé de tête et que j'ai trouvé la plus simple. L'inégalité utilisée, qui est ici ab =< (a²+b²)/2, est appelée inégalité d'Young (oui bon, c'est bien de sortir des noms savants parfois !).
@@marvinJVC oh j’ignorais le nom merci ! Perso pour moi c’est le cas particulier n=2 de l’inégalité AM-GM 😉
Devant l'énoncé j'aurais chercher une récurrence.
Si la somme de n réels positifs (pour n supérieur ou égal à 1) est égale à 1, alors la somme des racines carrés de ces réels est inférieure ou égale à la racine de n.
J'ai aucune idée du résultat ni de la possibilité mais bon... J'aurais sûrement tenté
On notera au passage que pour n=1, on a bien une initialisation correcte. 1 étant le seul réel égal à 1, on a √1
à 8:36 il y a plus simple : Racine(3) > 1,7 et Y < 1. Donc Racine(3)-Y positif.
non, parce que c'est pas ça qui doit être positif, mais la valeur de P en ce point
En utilisant l'inégalité arithmético-géométrique avec
(X,Y) puis (Y,Z) et (X,Z) on démontre facilement le résultat
Je ne suis pas d'accord. Il y a toujours une puissance en plus dans l'exposant..
@@zeggwaghismail827 je ne comprends pas votre commentaire
@@zeggwaghismail827 Regardez
(X+Y)/2 >= √XY
(Y+Z)/2 >=√YZ
(X+Z)/2 >=√XZ
En sommant cela donne
2(X+Y+Z)/2 >= √XY + √YZ + √XZ
Comme (x+y+z)=1
1>= √XY + √YZ + √XZ
2>=2(√XY + √YZ + √XZ)
3>= X+Y+Z+2(√XY + √YZ + √XZ)
Tu vérifieras facilement que la dernière expression est exactement égale à (√X +√Y+ √Z)**2
Et donc finalement
√3>= √XY + √YZ + √XZ
@@bilmag182
J'avais appliqué l'AM-GM sur quelque chose d'autre.
Mais bravo ceci dit.
@@zeggwaghismail827 pas de soucis
Je trouve que c'est plus facile si on utilise l'inegalité de Bergstrom qui dit que
a^2/b + c^2/d + e^2/f >= (a + b + c)^2 / d + e + f
On remplace a^2 par x . . . Et b = d = f = 1
Puis on a la conclusion
pourquoi dans x,y,z € ]0,1] le 0 est exclu ?
Car la consigne au debut de lexo disait que x,y,z sont strictement positifs
@@mohamedaminebenammar6225 mdr jsuis triso cool
Et pourquoi 1 est inclus? Si une des inconnus est egale a 1 ca será forcement superior a 1
Oui cest ce que jai fait remarqué dans mon autre commentaire
mais moi j'ai tout mis au carré, j 'ai sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z)
Hello! Vérifie en développant combien vaut (a+b+c)^2 ;)
@@TheMathsTailor et bien j'ai a² + b² + c² non ? ou c'est une identité remarquable ?
Pose le et développe terme à terme ;)
Merci pour vos vidéos informatives et agréable à suivre.
Pour ce problème on peut aussi utiliser l’inégalité de
Cauchy-Swhartz : |u.v |= ||u||.||v||.| cos(u,v)|
Merci à vous!
Perso j'ai d'abord élève au carré : (√x+√y+√z)²=0 ce qui implique en développant que
x+y>=2√xy
On fait pareil pour avoir les 2 autres inégalités.
Grâce à cette méthode cet exo était faisable avec des outils seconde jrentre en première cette année perso.
Le cas d'égalité est vérifié lorsque x=y=z=1/3.
Excellent merci ! Encore mieux que moi avec mon défi 'première max' ;)
c'est aussi la relaation AM
avec sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z)
Une autre solution plus élémentaire serait de prouver l'inegalité equivalente:
sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z)=(sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z))^2/3 x+y+z>=sqrt(xy)+sqrt(xz)+sqrt(zy) 1/2((sqrt(x)-sqrt(y)^2+(sqrt(y)-sqrt(z))^2+(
sqrt(z)-sqrt(x))^2 >=0 ce qui est evidemment vrai
Je l'ai déjà dit mais je le répète : Cette chaine est vraiment la seule à montrer à ce point la construction de la démarche.
On est à des années-lumières du psitacisme habituellement rencontré dans la majeure partie des cours de maths en France, qu'ils soient sur youTube ou devant les élèves en présentiel.
D'ailleur, à ce propos, j'ai une petite question :
Dans quelle mesure, votre expérience anglo-saxone a influencé votre pédagogie ? D'avance merci.
Merci c’est vraiment élogieux 😅 oui le passage par l’Angleterre m’a marqué notamment lors d’un moment plein d’humilité alors que plus jeune (y a 10 ans déjà) j’ai voulu postuler à une entreprise de cours particuliers : fort de mes diplômes, brillant et stylé comme j’étais, j’étais persuadé que bien sûr ils allaient me prendre et me donner accès à leur carnet d’adresse d’élèves.
Tu parles, la claque! Après l’entretien avec une de leurs employées qui me testait elle me dit « vous savez de quoi vous parlez, mais vous n’essayez pas assez de me montrer les choses comme elles sont, ni d’ailleurs de m’encourager et de me faire sentir que je peux y arriver. Ça sera non pour nous ». Boum. Pas agréable pour l’ego mais après le choc je me suis remis en question et j’ai compris vite qu’elle avait raison : c’était le début du chemin (en trouvant moi même les étudiants par contre 😁)
@@TheMathsTailor Et qu'est ce quelle voulait dire par "les choses comme elles sont" ?
Du genre : la somme des entiers
Au lieu de faire que la démo
S=1+2+…+n
S=n+…+2+1
Qui est une astuce
Pourquoi ne pas montrer en utilisant des billes qui remplissent un demi carré etc ? Plus visuel quoi.
Application direct du théorème des extrêmes liés
extremas
Justement autour de 5:00 on n'est pas assuré que sqrt(3)-(X+Y) est strictement positif puisque X+Y, au plus, peut faire 2, ce qui est plus grand que racine de 3
Si car c’est équivalent à l’inégalité de départ ;). X et Y ne peuvent être égaux à 1 tous les deux car la somme x+y+z=1 l’empêche ! 😊
tu fais du piano donc t'es pardonné
sqrt(x)+sqrt(y)=sqrt(x)+sqrt(1-z-x). On peut voir que cette quantité est maximale lorsque x=1-z-x donc lorsque x=(1-z)/2.
On obtient que pour tout x compris entre 0 et 1-z, sqrt(x)+sqrt(y)
@@TheMathsTailor Ah oui merci. J'ai (parlé) écrit un peu vite.
Démontrer la contraposee par l’absurde c’est plus simple que la méthode du lycée, pas du tout trivial je trouve
Au polynome en X du 7: 54 il suffisait de remarquer que le discriminant est négatif !
rompre la symétrie est vraiment pas naturel non plus , avec des identités remarquables on peut étendre à n nombres sans trop de souci.
La somme des racines est majorée donc elle admet un max. Du fait de la symétrie des l’expression le max est atteint pour x=y=z. Comme x+y+z=1, le max est atteint pour x=y=z=1/3. Le max est donc sqrt(1/3)*3=sqrt(3)
-Le max n’est pas forcément atteint-> Prendre x,y et z comme dans l’énoncé et considérer x^2+y^2+z^2: Le sup vaut 1 et il n’est pas atteint.
Dans |R, majoré et non vide => Existence du SUP et non du max
-Ton argument de symétrie est bizarre, qu’elle partie de ton raisonnement permet d’affirmer que c’est le « max » qui est atteint et non le « min »? Faut faire gaffe avec les symétries, c’est très puissant, mais très fin.
Une solution (niveau supérieur disons ou fin lycée je ne sais pas) est simplement d'utiliser Cauchy Schwarz aux vecteur (1,1,1) et (sqrt(x), sqrt(y), sqrt(z)), cela nous montre aisément que cela se généralise à n variables et que la majoration est optimale.
D'ailleurs la méthode ici utilisée est du même acabit que la démonstration de Cauchy Schwarz, enfin une démonstration...
C’est exactement ça! Oui la démo la plus classique de Cauchy Schwartz se cache derrière mais 🤫😄
Pourrais-je avoir les détails de la démonstration. J’essaie d’apprendre l’inégalité de Cauchy-Schwartz et j’aimerais bien avoir un exemple. Je vous serais très reconnaissant de me la rédiger. Merci 🙏
Tape :"inégalité de Cauchy Schwarz" sur UA-cam, il y'a plein d'excellentes vidéos qui te l'explique bien avec une bonne rédaction
@@loloolaf6359 Super. Merci :)
Développez l'inégalité suivante et vous aurez la solution
(R(x)-1/R(3))^2+(R(y)-1/R(3))^2+(R(y)-1/R(3))=>0
Avec R(x)=racine de x
Et ^2 au carré
si on utilise l'inegalité de cauchy swhartz prendant deux vecteurs u(rac(x),rac(y),rac(z)) et v(1,1,1)
C’est juste!
Ce serait bien d'articuler un mieux en parlant moins vite
tiens tiens "forum blabla 18-25" un khey donc
Ayaaaaaaa
😁
aya issou
Sinon Cauchy Schwarz c'est instant (je crois pas l'avoir vu dans les commentaires)
Les lycéens qui préparent les olympiades maîtrisent Cauchy Schwarz m'enfin bon
@@whatever-td1nh oui sauf que ca represente 0.0001% des lyceens donc une élite
@@whatever-td1nh attend mais tu es le whatever de Twitter qui a sorti une blague d’heimerdinger a ton prof de physique ??