Бабушка и самолёт
Вставка
- Опубліковано 31 січ 2024
- Классическая задача о старушке, которая садится в самолёт, не глядя на номер своего места в билете, в результате чего некоторые пассажиры занимают не свои места, подходы к её решению и история её возникновения.
с вероятностью 1/88 кто-то должен пошутить про пилота, который однажды обнаружит, что его кресло занято бабушкой.
Вот еще одно простое решение. Пусть все пассажиры, кроме последнего, уже как-то расселись. Осталось одно свободное место. Оно не может быть местом какого-либо из уже севших пассажиров (иначе такой пассажир занял бы это свое место). Значит, свободное место может быть либо местом последнего пассажира, либо местом для старушки. Т.к. эти два места совешенно равноправны для всех, то вероятность того, какое из них свободно равно 1/2. Другими словами, вероятность того, что последний пассажир сядет на свое место (или на место старушки) равна 1/2.
Что означает "два места равноправны"? И почему они равноправны?
@@alexey.kondakovсложно в России объяснить что такое равноправие 😊
@@sldimafкто о чем, а вшивый о бане :) вот такая задача, ты с вероятностью 1/2 сын Сырского или житель Адесы призывного возраста. какова твоя вероятность быть пойманным ТЦК и попасть в Крынки или Авдеевку?
А причем здесь равноправие или еще что то? Есть одно единственное свободное место, и оно либо место этого пассажира, либо нет. Все.
@@user-mm1vc2lk9tага... И вероятность встретить динозавра на улице 50%😂😂
З.Ы. С последним местом все правильно, либо пассажира, либо старушки с одинаковой вероятностью.
Жалко Диму, рано ушёл. Я тоже 62-го года, но пока вполне жив "и даже в меру упитан"(с)
Бабушка сядет в бизнес классе, справа, с вероятностью 99%😅
У окошка, чтобы видеть как ее сумку с пряжей в самолет кладут.
Когда вы успеваете снимать такие качественные ролики, как всегда интересно, спасибо🙏
Когда вопрос "Сколько пассажиров будет сидеть не на своих местах?" - это задача на математические навыки. А когда вопрос "Какова вероятность для последнего пассажира сесть не на свое место?" - задача на сообразительность.
Вспоминаем байку про блондинку, вероятности и динозавра))))
@@vopoxof не, сообразительность не в этом.)
Обычный подход к решению именно такой как рассказал Андрей Щетников: укоротить самолет до 3, до 4 мест и посмотреть как будет в этом случае. И как только получаешь второй раз вероятность 1/2. "Сообразительность" подсказывает, что так будет всегда. В результате правильное решение находится очень быстро.
@@kladgame2749Вы сказали «вероятность» 😊 А математика точная наука. Это в статистике можно применить слово «вероятность».
@@serakuzbartolomeo5643Кафедра теории вероятностей на мехмате МГУ: «Ну да, ну да… пошёл я нахер».
@@serakuzbartolomeo5643Анекдот забавный, жаль к теорверу отношения не имеет.
Ого, Константин Кноп - человек-легенда для меня. Передайте ему пламенный привет от тёзки!
Любой пассажир С РАВНОЙ вероятностью выбирает место Бабки или место Последнего. А результат (сядет Последний на своё или чужое место) становится определённым как раз тогда, когда кто-то сядет на место Бабки или на место Последнего.
Я столкнулся с совершенно практической задачей при посадке на самолет. В самолете 4 ряда и один проход. Пассажир находит свое место и укладывает свою поклажу 10 секунд, перегораживая движение других пассажиров с большими, чем у него номерами. По этой причине для самолета с 50 рядами сначала пропускают пассажиров с номерами, большими x, а потом всех остальных пассажиров. Вопрос какое оптимальное x, при котором матожидание времени посадки будет минимально. Чистяков Ю.Е.
Есть задачка чем-то похожая про тюрьму и коробки.
Константин Кноп - помню его рубрику в Компьютерре.
Элегантно. Очень красиво. За это люди и любят математику. Спасибо за вечер.
Эх ютуб, не дает ссылку на код дать, удаляет комментарий. Я написал симуляцию, среднее число пассажиров, которые окажутся не на своих местах: 4.2. Если округлить, то все-таки 4 получается, не 5. Максимальное количество пассажиров не на своих местах - удавалось получить число 15. Спасибо за видео! Отличная задача.
Потрясающе, правда! Теория вероятностей - единственный математический предмет в университете, с которым мне действительно хотелось разобраться
Блин, с кружками - это прям очень красиво!!!
У меня получается вероятность для четвертого пассажира (третьего после бабушки) занять не свое место не 1/98, а 99/(100*98). Рассуждения следующие:
0) Бабушка занимает не свое место с вероятностью 99/100
1) Второй пассажир (первый после бабушки) с вероятностью 1/100 - т.е. бабушка села на его место
2) Третий пассажир (второй после бабушки) занимает не свое место с вероятностью 1/100+(1/100 * 1/99) = 1/99 (либо бабушка сразу села на его место, либо села на место предыдущего, а тот на место третьего)
3) Четвертый пассажир (третий после бабушки) занимает не свое место с вероятностью
(либо бабушка сразу занимает наше место, либо она занимает место следующего, а тот сразу наше, либо она занимает место следующего, а тот, очередного, и только тот занимает наше)
1/100+(1/100*1/99)+(1/100*1/99*1/98) =
= 1/99 + 1/(100*99*98) =
= (100*98+1)/(100*99*98) =
= ((99+1)*(99-1)+1)/(100*99*98) =
= (99^2 -1^2 +1)/(100*99*98)=
= 99^2/(100*99*98)
= 99/(100*98)
можно конечно упростить 99/100 ~= 1 и будет 1/98, но на последующих элементах эта погрешность может сыграть значительную роль, но это надо проверять
В пункте 3 ошибка. Не посчитан вариант что бабка сядет на место третьего пассажира, а тот на место четвертого
@@kargo8423 Действительно, вместе с этой добавкой становится 1/98
спасибо за задачу. ответ напоминает анекдот про разницу мышления мужского и женского - когда у женщины спрашивают с какой вероятностью она увидит динозавра выйдя из подъезда, она отвечает 50 на 50 )))))))))))
но ещё ваша задача напоминает американскую задачу про заключённых. напоминает, но всё же другая задача с другим решением
------------------
Надзиратель с извращённым чувством юмора предлагает сотне заключённых сыграть в игру. По условиям, в сотне коробок спрятана сотня записок с номерами. Задача заключённых - по очереди открыть не больше пятидесяти коробок и найти свой номер. Получится у всех - и они окажутся на свободе. Подведёт хоть один - и всех казнят. Есть способ значительно повысить шансы заключённых на успех
Тоже вспомнил этот анекдот, услышанный от преподавательницы по математике на первой лекции про теорию вероятностей.
Бабушка сядет на первый ряд при входе. Это 💯%. И будет проверять у всех билеты!😂
1 ряд - это, вероятнее всего бизнес-класс.
А бизнес-классом летают уважаемые и важные господа.
Например, члены-корреспонденты Академии Наук)))
сядет на первый ряд, а потом будет сортировать всех входящих на наркоманов и проституток 👵👵
В момент "причешем результат" стоило провести рукой по голове, для наглядности )
У нас тут возникли 2 мысли -
1. Бабушка же может случайно сесть и на своё место и тогда все пассажиры будут на своих местах. Меняет ли это ответ?
2. Если рассмотреть все варианты посадки и посчитать среднее количество пассажиров не на своих местах, то получится рациональное число. Хоть количество тут и огромное (N!). А lnN - явно иррациональное.
Складывается ощущение что решением всех задач по теории вероятности будет 1/2 😂
Спасибо комментаторам!
Судьбу сидения N-го последнего пассажира на своем месте всегда определяет заходящий i-ым пассажир, который выбирает сесть ли на месте "бешенной" бабки или на место N-го последнего пассажира, в отличие от всех остальных мест. Если i-ый пассажир выбирает место бабки с вероятностью Рi, то N-й пассажир будет сидеть на своём месте. Если с такой же вероятностью Рi i-ый пассажир выбирает место N-го последнего пассажира, то N-й пассажир будет сидеть на любом другом месте, кроме своего. (Если же i-ый пассажир выбирает какое-либо другое место, например, своё, то он не решает судьбу N-го последнего пассажира)
То есть решают судьбу сидения N-го последнего пассажира на своем месте всегда определяют только "бешенные" персонажи, которые выбирают из доступных им мест. 1-я бабка выбирает из 100 мест с вероятностью 1/100; если 2-й зашедший становится "бешенным", то выбирает одно из 99 мест с верояностью 1/99; ... если предпоследний "взбесится", то будет решать, сесть на место бабки или на место последнего N-го пассажира с вероятностью 1/2.
Кто бы ни решал судьбу сидения N-го последнего пассажира на своем месте среди 1-99 зашедших, этот i-ый пассажир сделает свой выбор между двумя судьбоносными креслами с равной вероятностью между ними Рi. А потому разницы между этими местами абсолютно нет.
Р_на_своём_месте = Р_не_на_своём_месте = х,
х + х =1
х = 1/2
Поэтому это одна из тех редких задач, ответ на который совпадает с анекдотом про вероятность встречи динозавра на улице. 50% - либо встретит, либо нет.
КАк измениться решение, если у нас будет не полный самолет?Получаеться что вероятность сесть не на свое место последнему пассажиру будет 1/ (1 +СМ), где СМ - это сободные места?
И сколько тогда будет ехать пасажиров не на своем месте?
Тут такая формулировка возникла: мудрый професор и хитрые студенты.
Мудрый професор всегда давал студента билеты для подготовки к экзамену, но студенты заметили, чтоо н выкладывает на экзамене все билеты всегда в одном и том же порядке. Потому они решили учить н евсе билеты, а только по 1 - каждый. Первым на эксзамен врывается сумашедшая студент и хватате тпервый попавшийся билет. Вопрос - каково наиболее вероятное число студентов, сдавших экзамен, если билетов 30, а студентов 24?
Тут по аналогии можно доказать, что вероятность для любого студента кроме первого увидеть, что его билет уже взят равна 1/(m-k+2), где m - количество билетов, а k - номер студента в очереди. (при равенстве количества билетов и студентов у последнего как раз получается одна вторая).
А далее суммируем для вашего примера 29/30 + 1/30 + 1/29 + 1/28 + .... + 1/8 = 1 + сумма от 1/8 по 1/29 = (сумма гармонического ряда с 1 по 1/29) - 1/2 - 1/3 - 1/4 - 1/5 - 1/6 - 1/7 = 3,96 - (1 + 0,25 + 0,2 + 0.14) = 2,37. Это матожидание числа студентов, не получивших выученные ими билеты.
А сколько сдало экзамен - неизвестно, так как могут завалить экзамен, даже получив билет, к которому готовились. 🙂
А можно выпуск про взаимодействие электромагнитов с редкоземельными магнитами и чем такое взаимодействие отличается от взаимодействия электромагнита с магнитомягкой сталью?
Магнит будет притягиватся к стальному сердечнику электромагнита, даже в выключеном состоянии
Не все металлы при нормальных условиях образуют вокруг себя магнитное поле или реагируют на внешнее. Но если в таком металле протекает электрический ток, то магнитное поле возникает благодаря этому. Например, медь на магниты не реагирует, но вот 2 рядом находящихся медных провода при протекании тока либо притягиваются, либо отталкиваются. Увы, но пока не видел нигде объяснений, что же за процессы протекают в атомах металла, которые порождают магнитное поле. Но однозначно, что это как-то связано с "миграцией" электронов между атомами.
Формально вводим дискретную случайную величину на пространстве с конечным множеством элементарных событий (исходов), которая определяет вероятность того, что некоторое количество пассажиров сидят не на своем месте. По условию надо найти мат ожидание данной случайной величины. Для полного счастья еще надо будет использовать формулу включения-исключения вероятностей, как в задаче про письма и конверты.
Однако всегда может существовать простое неформальное решение, которое непосредственно не использует аксиоматику теории вероятностей.
В общем, получается по классике: либо сядет на своё место, либо нет.
Блин)
Вероятность сесть на свое место - 1/2
Либо сяду - либо не сяду))))
У меня одного ассоциации с байкой про блондинку, вероятность и динозавра?))))
Не у одного. Вообще непонятно зачем столько лоб морщили, когда давно известно, что вероятность любого случайного события равна ½ ;)
Если Победой полетите, то либо не на своё место, либо не улетите.
Кажется в вашем решении упущена в самом начале вероятность того, что бабушка случайным образом попала именно на своё место. А значит уже не 1/N у пассажира, который зашел следом за бабушкой
Мне кажется что человек, чье место будет занято сядет на место старушки, после того как все сядут на свои места или это предложит сделать стюард. Так же есть небольшой процент, что дети или родственники поменяются местами, еще есть малый шанс, что кто-то попросит поменяться местами с незнакомым человеком. Имея опыт перелетов на самолетах, я думаю что 3-10% (в среднем 6%) людей сидят не на своих местах, но это где ~200 мест для пассажиров. Значит при 100 мест, шанс того что кто-то будет не на своем месте меньше чем при 200. Получается где-то ~5 от 100.
Мне почему то захотелось сначала найти саму "бабку", для этого нужно до семь итераций каждый раз делить предидущий результат количества мест.
т.е. бабауля сидит в первых 50 или во вторвх 50(100/2),
далее сответсвено 50/2 и 50/2 (+50)
т.е. мак симум 7 человек не на своем месте🤔
А я слышал что вероятность того что террорист подложит в самолет бомбу составляет 1/10000. Значит вероятность того что в самолете будет две бомбы равна 1/100000000. Теперь я всегда беру в самолет с собой бомбу и спокойно летаю
Задавали задачку
Может, даже разбирали на лекциях/семинарах
последний вариант не очевиден так как
если человек бродит по салону (его место заняла бабушка) то он в любом случае сядет не на свое место
а вот если бабушка бродит по салону то есть вероятность что она сядет на свое место
тогда задача сводится к тому, что 98 мест заняты своими пассажирами, заходит последний пассажир... А там БААААБУШКА все еще бродит по салону и странно улыбается
Оказывается у вас есть второй канал. Интересно.
Задание про старушку, может варьироваться от 2 до 100 человек!
Если старушка заняла место пассажира, то пассажир должен знать либо ее место либо другое, по этому от двух.
А если, вероятность будет стремиться к 0-ю, то может быт все пассажиры займут места другого за ним входящего в самолет!
Так что точно от двух, до ~ 100.
8:33 - достаточно было остановить расчеты на этом моменте, ибо мы получили 1/2 на последнего пассажира, уже общая вероятность ряда нас не очень интересует :)
Исходная задача эквивалентна поиску вероятности, что случайно выбранный пассажир из очереди, сядет не на своё место. Так ведь?
Наверное в этой задаче графы удобно рисовать.
Это же задача про пьяного моряка на краю обрыва.
С вероятностью Р он делает шаг вперед. А с вероятностью (1-Р) делает шаг назад.
С какой вероятностью он упадет в обрыв?
Интересная задача, не могу найти решение, может кто подскажет. Есть колода 52 карты. Достали одну, записали, вернули обратно, перемешали. Сколько в среднем понадобится таких операций чтобы в списке оказались все карты?
Ну и вообще как выглядит решение подобных задач в общем виде? Там то е то п всплывают то логарифм.
То есть мы заканчиваем когда в списке каждая карта учтена, как только собираем весь комплект. Понятно что некоторые карты будут много раз, мы ждем когда появится последняя и считаем сколько нам понадоболось перемешиваний чтобы каждая карта хотя бы раз была записана.
Начинал считать с маленких колод 2-3-4 карты и чем дальше тем сложнее.
Поначалу карты разные, но потом начинают поворяться и тут ощущение что 2 симметричных ряда или цепные дроби.
Есть задача про 2 колоды и одновременно выкладывают по карте. Шанс что ни одна не совпадет 1/е. Я понял у вас другая задача, но думаю там тот же принцип рассуждений.
Мне кажется ответ в районе 52 умножить на логарифм 52 то есть примерно 200 таких перемешиваний надо в среднем чтобы каждую карту хотя бы раз увидеть.
Ну предпоследний пассажир по любому садится либо на своё место, либо на место последнего и тому остаётся лишь констатировать вероятность 50/50 при любой длине самолёта.
Это рассуждение сначала кажется верным, но в нем есть логическая ошибка. (Хотя ответ верный.) Попробуйте понять, в чем она состоит.
@@schetnikov, интересно, проводили ли реальное моделирование этой задачи, не математическими вычислениями, а например создать программу, бабушка занимает рандомное место, остальные тоже рандомные (массив какой-то заполняют), прогнать так тысячи симуляций и потом вывести среднее. Совпадает ли с расчётным?
@@WeekendRider100 Попробуем понять ваше рассуждение. Когда у трапа осталось всего два пассажира, оба их места не могут быть заняты. Ведь если кто-то сел на место одного из них, то цепочка сидящих не на своих местах закончилась. Знечит, есть три исхода: 1) оба места свободны (и оба сядут на свои места); 2) занято место предпоследнего пассажира (и он займёт место последнего, а последний пойдёт на какое-то не своё место); 3) занято место последнего пассажира (и предпоследний сядет на своё место, а последний пойдёт на какое-то не своё место. Исходы 2 и 3, очевидно, равновероятны, паотому что быть последним и предпоследним - это пока условность, мы не знаем, в каком порядке они войдут. Но вероятности этих исходов мы всё ещё не знаем. (( Мы из другого решения знаем, что их сумма равна 1/2, а значит каждый такой исход имеет сейчас, когда эти два поассажира ещё не вошли в самолёт, вероятность 1/4).
@@schetnikov, если место предпоследнего занято, то одно из оставшихся свободных мест - это место старушки. Это ни о чём не говорит, просто интересный факт. Ведь если бы кто-то ранее сел на место старушки, то все последующие сели бы на свои места. Следовательно последний либо сядет на своё место, если оно свободно, либо на место старушки, т.к. это будет единственное свободное место. Это опять такой интересный факт. Честно сказать, я запутался, но по моему вот эти последние утверждения верны, хоть и не про вероятность уже.
ахахаха Хорошая задачка и отличный ответ :) как и у вопроса выйдя на улицу встретишь ли ты динозавра :)
P(A), где А - "бабушка села не на свое место", будет равна 100%, т.к. из условия следует, что есть множество "очередь" и (!) есть некая бабушка, которая явно не входит в множество "очередь".
Гуманитарии.
И не надо мне про то, что и так понятно, что бабушка из очереди. Задача поставлена докладчиком как есть. Можете сами переслушать.
Я вот тоже заметила, что там уже 100 пассажиров на 100 мест, и потом появляется бабушка. Даже перемотала, чтобы понять, где я пропустила переход от 101 к 100 пассажирам 🤔
Интересна я жизненная задача
Почему у последнего пассажира вообще есть место? В задаче 100 мест в самолете, 100й пассажир в очереди будет 101 на посадку из-за бабушки.
3:33 - вероятность того, что его место занято - 50/50 либо да, либо нет. Всё просто. )))
за рубашку лайк автоматом
При логарифме равном 4,6 считать константу непринципиальной рискованно))
ну так может быть что 2,3,4... пассажир сядет на место бабушки, а значит все остальные сядут на свои места
если 2 сядет на место бабушки, то да.
А если 4, и при этом 2 и 3 (или хотя бы один из них) - сел(и) на чужие (это маловероятно, но возможно), то из оставшихся тоже не все сядут на свои места.
Кажется это про принцип pigeon hole задача.
Хотя нет, там про другое.
А почему не учитывается вариант, что бабушка случайно села на своё место, или что бабушка со вторым пассажиром сели на места друг друга, или любое другое количество пассажиров сели по кругу на места друг друга, лишив таким образом следующих пассажиров самой возможности найти своё место занятым? Или это несущественные погрешности?
Задача очень сложная, комбинаций великое множество. У каждой комбинации свое значение и вероятность, все это как-то просуммировать нужно. На бумажке не решишь. Это оценка физика " по порядку величины", на любителя. Впрочем понятно, что если бабушка ошиблась с местом, то в среднем половина оставшихся пассажиров займут свои места, а затем появится новая вынужденная"бабушка", которая скорее всего займет не место первой бабушки, а чье-нибудь другое. Потом примерно половина оставшихся пассажиров займет места согласно билетам снова еще третья "бабушка" не туда сядет. Как бы двоичный логарифм прослеживается, но уверенности нет.
Это было учтено в каждом расчете.
наче все збігається, але є відчуття аналогії з ймовірністю зустріти динозавра на вулиці....тре прорахувать з різних сторін
Интересная задача и ее разбор, спасибо! Чем-то напоминает другую задачку: Проходит экзамен по теории вероятностей, n студентов стоят в очереди. Всего есть m билетов, причем m>n. Некоторые студенты считают, что то, какой билет они вытянут зависит от их порядка в очереди. Показать, что эти студенты не ходили на лекции, а также, что вероятность вытянуть k-ый билет студентом не зависит от его места в очереди.
Да, трудно доказывать очевидное.😀
Ой, ну было у нас такое. Билеты лежали в стопочке в порядке возрастания номера от верха к основанию. Всё там легко считалось.
Решение на 16:50
Че-то в первом варианте с этими dS dN вообще не понятно чего вы считаете. Вопрос сколько в среднем людей будет не на своих местах? Минимум это будет 1, максимум - N. 1/N - это вероятность? Как вы от вероятности занять бабушкой не своё место, перешли к среднему числу людей не на своём месте?
наверное дело в интуиции😀
А я вот задался вопросом, что если при большом n количество пассажиров увеличится в два раза и составит 2n. Бабка с высокой долей вероятности сядет не на свое место. Из оставшихся 2n-1 пассажиров в среднем половина сядет на свое место, то есть (2n-1)/2=n-0,5 . Останется n-0,5 , что при больших n приближенно равно n пассажиров и ситуация повторяется уже для n-0,5 пассажиров кто-то занимает случайное место. В итоге получаем, что при больших n увеличение общего количества пассажиров в два раза в среднем дает прибавление 0,5 человека не на своем месте. Для малых n грубо округлим до 1. Если взять 128 пассажиров ( два в степени 7), человек 5-6 сядет не на свое место.
99 сотых на бабушку😂😂😂😂
В случае с последним пассажиром я решил задачу логически почти без математики. Дело в том, что для последнего пассажира есть всего два места в самолёте: его место и не его. Пэтому в любом случае: 1/2.
Ой, простите, писал комментарий, поставив на паузу и не дослушал до "элегантгого решения". 😅
Для последнего пассажира есть только одно место. И оно либо его, либо не его с какой-то вероятностью.
@@rexby Вы написали ровно то, что написал я, только другими словами. И вероятность эта понятна сразу: 50%
@@user-xb9ff9pk9uкак с динозавром или встречу или не встречу
У вас логика хромает. То, что есть всего два места, ещё не доказывает, что вероятность 50/50.
Ну это как, если в мешке 99 красных шариков и 1 синий, то вытащив один шарик у вас есть всего 2 варианта: красный или синий. Но это не значит, что вероятность будет 50/50.
Лайк, поддержка и продвижение. Также как вероятность встретить завтра динозавра на улице города, тоже 1/2.
Не взлетит!
Надо запретить бабушек в самолёты пускать. Слишком много сложностей...
Короче фифти-фифти - либо на своё, либо нет - это я и без этих ваших математик знаю.