Философские дебаты средневековых буддистов тоже ничо так. Проигравший должен был либо признать правоту своего соперника, либо самоубиться. Второе считалось менее позорным.
@@EugenyAntonov Я любил химию в школе, но про Бермана даже не слышал. =) Тем более решать на переменке на спор! Эсктремальщики вы! Я только домашку по математике так решал, перед уроком. =)
Подумайте о нём & он покажется вам каким его хотите ощущать в этом мире & даже лучше без искусственного интеллекта с помощью разума & мозга Кумекать нужно всё время непрерывно. Спаси & помоги Господи в освоении Мира. Аминь!
@@JddhDidjdh Потому что мнимые числа - это те же реальные числа, только упорядоченные в противоположном порядке, т.е. для мнимых чисел имеет место следующий порядок: ... > -2 > -1 > 0 > 1 > 2 > ...
Как человек с дипломом мехмата НГУ снимаю шляпу за такой интересный рассказ. На одном дыхании. Больше всего меня покоряли красоты, которые мы получали на занятиях ТФКП - теории функции комплексного переменного. Как какой-нибудь сложнючий интеграл в вещественных числах можно было вывести на комплексную плоскость, сделать его частью замкнутого контура, посчитать вычеты внутри контура, и зная их, найти тот самый интеграл. Мне нравится определение комплексных чисел как пар (a, b), которые складываются понятно как, на вещественные числа умножаются тоже понятно как, а перемножаются так: (a, b) * (c, d) = (ac - bd, ad + bc). Тогда вещественным числам соответствуют просто объекты типа (a, 0), и кроме них есть еще много объектов типа (a, не 0). И вся мистика с корнями из -1 пропадает. Это просто пара (0, 1), которая при перемножении само на себя дает пару (-1, 0), то есть -1.
Вы не могли на пальцах объяснить суть мнимого числа? Ведь определение о форме а + би - описание формы. Определение «мнимые числа - это такие числа, которые не находятся на вещественной числовой оси» - следствие свойства. Определение через простые математические операции или матричные операции - частные случаи, описывающие возможности работы с элементом. Но все это не есть определение в значении формулировки, раскрывающей содержание и смысл. Только свойства! 🙏🏻🙏🏻🙏🏻
Восторг! Это самое лучшее, что я узнал в интернете в 2024 году! Вроде знал в школе, механически читал и применял в расчетах в институте. А смысл и всю красоту этого числа я понял из рассказа этого восторженного этой же красотой мальчика. Спасибо, сынок!
Я ещё не прошёл данную тему (10 класс окончил), но благодаря этому видео заранее ею увлёкся. Подача материала, на самом деле, намного понятней, чем в школе. И зверски интересно узнать про кватернионы и прочие «-ионы», поэтому жду новых видосов! 😁
@@РоманМурин-д4н квартенионы я не изучал (пока), но их смысл вроде бы оч. простой. Пусть есть координата x, причём x - действительное, представляет точку на прямой. Теперь нам захотелось сделать 2 измерения, работать с плоскими фигурами, площадями. Добавили второе измерение: y, тоже действительное. Получили пару чисел, представляющие точку на плоскости и кот. обычно записывают как (x, y). В принципе, могли бы записывать и как ax+by, обозначая, что эти a и b - не подобные, их нельзя складывать. Так вот, с квартенионами такие же рассуждения, только с комплексными числами. Просто захотели иметь вторую комплексную координату, выйти в новое измерение. Т.е. квартенион - пара комплексных чисел.
@@DrRadio155Да-да, препод по электротехнике троллил нас. Все не дураки, все умеем рассчитать, что при такой частоте сопротивление катушки будет четыре ома. Ну хорошо, а вот к ней последовательно подключаем резистор три ома. Сколько получится суммарное сопротивление в цепи? Ну семь, ясен пень. А вот и нет, пять. Мы в ступоре, препод смотрит хитро и ухмыляется. Так мы узнали про комплексные числа за пару лет до того, как начали проходить их на вышке.
Чо сразу реветь то? Вот в свое время, когда решали примеры с комплексными числами, я просто забил на понимание, и тупо заучил. как в правилах покера, и решал быстро четко.
Для меня в первую очередь это полезность в обработке сигналов. А также преобозвание из временной области в область Лапласа и раскрытие комплексной переменной. Вместо довольно объемного для понимания и вычисления интеграла свертки получаем простую запись с перемножением и суммой. Вычисление становится проще в разы
Обожаю подобный контент... Больше смотрю подобное по программированию, но иногда вырываюсь в волшебный мир математики) Отличная подача школьной программы и вышмата)
Спасибо большое за ваше творчество расскажите пожалуйста больше о практическом применении комплексных чисел именно со стороны практики и желательно с примерами что с помощью них можно рассчитать а без них рассчитать невозможно
Вот спасибо! Наконец-то узнал, откуда взялась формула Эйлера для комплексных чисел. Со студенческих времен не давала покоя, решил уже, что просто искусственный конструкт. Типа, доказали изоморфизм между левой и правой частью и вперед, «не рефлексируй, вычисляй» 😅 А оно строго выводится. Волшебно… 👍
Классно, интересно, офигительно интересный экскурс в историю! За 5.13 вообще огромный лайк)) Никогда не задумывался, что лет триста назад умные дядьки давали друг другу не уравнения и функции, а простым языком - "найди число, добавленное к трем корням из..."
Сегодня слушала лекцию по физике в вузе. Наконец узнала, где комплексные числа невероятно сильно влияют на нашу жизнь. А именно в диэлектрической проницаемости для проводников. Там есть мнимая часть, благодаря которой мы и видим металл таким, ведь именно она описывает то существенное поглощение волн света. И это было завораживающе для меня. Мне сразу стало понятно, что комплексные числа - это одно из величайших открытий человечества.
Красота формулы e^(iπ)=1, как сказал ведущий именно в том, что неимоверным способом она связывает криволинейный мир (число π) с миром пределов (число е). Совпадение ? Какое красивое совпадение. Таким образом невольно приходишь к выводу, что хотя математика аксиометрически замкнута, именно её здание может преподносить нам огромное множество сюрпризов, к тому же, ещё и неразгаданных. Например, как знаменитая теорема Ферма. Более того, если экстраполировать это видео, то что нас ожидает при выходе из комплексной плоскости (ведущий кратко упомянул о кватернионах). Да и сама функция е^(ix) может преподнести ещё много сюрпризов. Спасибо за ролик ! Супер!
@@maligosssaron3416 Раньше в егэ по математике было задание на поиск площади фигуры на клетчатой бумаге. И формула пика могла решить почти все такие задания.
"... другая имба, которую не нерфят." Мышление (жаргон) сетевых компьютерных игр ("донатных помоек") применть к математике? Да уж, "Идиотократия" показанная 20 лет наза в кино, близится.
Несмотря на удачное изложение, на мой взгляд, автор неудачно высветил значение комплексных чисел в физике. Из этого рассказа можно подумать, что это просто удобный математический "кунштюк" для расчетов. Но все гораздо глубже - так устроен материальный мир! Оказывается, что нет ничего действительнее мнимых чисел (пардон за каламбур)! И дело не в только в том, что интервал как инвариант в системе отсчёта может быть как пространственно-, так и времени-подобным (что предполагает либо разные знаки диагональных элементов метрического тензора в мире, в котором мы живем, либо мы будем вынуждены обозвать время мнимой величиной). Все гораздо глубже. Нет ни одного факта, не описываемого квантовой механикой. А тут, как ни крути, невозможно избежать либо описания с помощью волновых функций (принципиально комплекснозначных), либо (Фейнмановская интерпретация) с помощью комплексных амплитуд, рассчитываемых суммой (функциональным интегралом) по бесконечному множеству всевозможных траекторий. Нам кажется, что мы живём в мире, где вероятности случайностей описываются байесовской формулой сложной вероятности последовательных событий. На самом деле мы живём в мире, где вероятностное описание лишь следствие того, что нам доступна для наблюдения лишь открытая подсистема - часть всей вселенной. А из-за слабого, но заметного влияния всего остального наша комплексная амплитуда реализуется в событие. Комплексные амплитуды преобразуются по формулам, похожим на байесовскую, но в конечном итоге распределения вероятностей событий оказываются несколько иными. Они бывают практически классическими - когда квантовые эффекты незначительны и совершенно иными - когда квантовые эффекты существенны. Так что никуда не деться - живем мы таки в комплексном мире!
Благодарю!!!! Чудесный и понятный даже для дилетантов видеоролик... ...Просмотрела почти на одном дыхании, хотя и не новичок - интересна лёгкость в подаче материала - респект!!!!
А вот когда я учился в школе, на вопрос "А почему именно так?!", заданный "математичке" - получал неизменный ответ: "Не занимайся философией, а решай!!!" Вопрос ко всем: школьных учителей всех без исключения учат убивать в учениках жажду познания?!!!
ну а шо ты хотел? когда в пед идут в подавляющем множестве те, кому не хватило баллов куда-то еще, то с чего бы иметь желание отдаваться данной профессии?
@@Борядян «Она, видимо, сама не понимала, чему вас учит» А возможно, что ей просто надоели некие демагоги в одном из её предыдущих классов. А терпения у неё, как у многих, не хватает, учебный план поджимает. Не оправдываю её, но это дело житейское.
@@КрылоБезруков «когда в пед идут в подавляющем множестве те, кому не хватило баллов куда-то еще...» Увы, это так. Мне довелось короткое время поработать в университете, в котором подавляющее большинство студентов шло в «педагоги». Так у них в общественном сознании на уровне разговоров между собой постоянно крутилась тема, какие дети «плохие» и как ужасно будет им, таким хорошим и умным, работать с ними. Причём невежество этих студентов в своих областях науки просто зашкаливало. Можно представить себе, насколько качественно они учили детей, попадая в школы.
Завораживающе привлекательно. Когда то увлёкся математикой, делал не обычные доказательства и решения, но не обратил должного внимания - был увлечён другим, затем ещё другим, а в итоге бытовуха всё свела к нулю. Теперь вот не знаю, смогу ли осилить математику, физику, ну и ещё несколько интересных направления. Время не то что трудное, а тяжёлое, а вот посмотрел это видео и решил попробовать осилить и математику. Прямо в жар бросило. Знаю, что дорогу осилит идущий. Стоит попробовать.
Присоединяюсь ко всем благодарным! У меня первое образование техническое и для меня комплексные числа - устойчивая связь с описанием электромагнетизма. Не думал, что это про теорию множеств, отельное спасибо, кстати, за понятие замкнутости! Маленькое замечание уже как от философа: не бытиЁ, а бытиЕ!
@@Mordorian_Orqueтолько это пример применения мнимых чисел Да, полезное применение, спору нет - но нет реальности мнимых чисел Я знаю, что такое +1 яблоко - вроде как нашёл яблоко. Я знаю, что такое -1 яблоко - потерял его или съел. Даже знаю, что такое 1/2 яблоко - половина яблока А что такое i*1 яблока?
Возможно, этот путь был бы короче, если не сбивал с толку неудачный термин «мнимое число». И сейчас, знаете ли, полно придурков, которые с пеной у рта доказывают, что вещественные числа «существуют в природе», а комплексные - нет. Не понимая, что и то и другое - абстракции, в равной степени помогающие отражать реальность. (Ой, я смотрю, один такой нашёлся в этой ветке комментариев. Тс-с... 🙂)
@@Micro-Moo Если нельзя объяснить что-то простыми словами, то это значит, что человек не разбирается в теме. Назвать комплексное число абстарктным и поэтому не пытаться понять, что за ним стоит в реальности - уход от проблемы, а не решение
Отличное видео! Мне как человеку с достаточно поверхностными знаниями в математике было весьма понятно и очень интересно! Подскажите, пожалуйста, какую-нибудь книгу, чтобы можно было глубже углубиться в тему комплексных чисел.
1) квадраты в целом нельзя сокращать, как ты показал, иначе (-2)^2 < (-3)^2 -2 < -3 Это не торжественная операция. 2) операция сравнения для комплексных чисел неопределена. Можно сравнить их по модулю или по направлению. Это все равно что сравнивать, кто лучше: Вася или Петя? Вася сможет лучше знать математику, а Петя может быстрее бегать. Чем больше параметров, тем сложнее делать такую оценку.
Комплексные числа - это абстракция, удобный математический аппарат для описания широкого класса моделей и операций над ними. Также это изобретение делает полной основную теорему алгебры. Не надо рассматривать их только как некие странные "числа". Это аппарат, так же как интегралы, тензоры, вариационное исчисление. Ещё кватернионы есть) и т.д.
Ну РосКомНадзор решил, что такие "бриллианты" вредят просвещению. Кстати, автор соблюдает закон о "просвещении" который приняли несколько лет назд? Имеет лицензию и право просвещать? А то навешает лапши и разгребай потом. Ну благо обещают Ютуб вообще подзакрутить и "просвЯтителей-проповедников" околонаучных меншьше станет.
Видел в другом ролике понятное объяснения смысла числа i: когда мы умножаем число на -1 - мы меняем его направление на 180 градусов, т.е. оно теперь в другую сторону от ноля идёт. А когда умножаем на i - мы поворачиваем на 90 градусов, т.е. если ещё раз умножим на i, то это как уже умнодить на -1 - на 180 градусов повернуть
@@user-no-no-no Действительные, или вещественные - это множество натуральных, целых, рациональных, иррациональных и (!) трансцендентных чисел. В ролике при описании множества действительных чисел забыли упомянуть про трансцендентные. Я всего лишь уточнил это. Ролик, как всегда, захватывающий, и эта неточность, совершенно ничего не портит.
А мы не говорили, что уравнение не имеет корней. Мы говорили, что корней нет в области действительных чисел или как-то так. Уже точно не вспомню, ибо со школы уже 27 лет прошло. Но оговорка на счёт чисел была. Мы тогда ещё не знали про комплексные числа, но нам об этом учительница говорила. Школа, кстати, обычная, не выдающаяся и не математическая.
Насколько помню, говорили как угодно, но запись была строгая -- корни не принадлежат множеству вещественных чисел. ПС :: Школе тоже обычная. Выпуск '08.
@@Tavda Всё правильно, ведь если решено, что за решение уравнения мы принимаем пересечение с осью координат Х, а этих пересечений нет, значит и решений уравнения нет! В данной плоскости координат! Комплексные числа скорее всего принадлежат другим плоскостям и осям координат... где решения уравнения имеют другой смысл.
Ещё бы букву Ж выговаривать почётче и при хорошо написанном тексте не ляпать орфографических и орфоэпических ошибок. Выбранный формат хорош, хоть и не нов, есть 3blue1brown (Грант Сандерсон) - там именно занимательная математика. Есть Veritasium - там как раз история науки и техники. Везде хорошая инфографика и анимация (здесь над этим ещё надо работать). Только не надо в пример приводить сушёных имперцев, бывших алкоголиков с безумным взглядом.
Чтобы избавиться от коэффициента B в любом многочлене, надо было изобрести производную для замены переменной как у Кардано, что ГОРАЗДО важнее уравнений, возможно это дало сильный толчёк при анализе функций другими математиками, пока Ньютон и Лейбниц не закрыли этот вопрос через 100 лет, а уже производная дала такой волшебный пинок науке, что математика, физика, химия и прочие полетели сломя голову к современному уровню.
Подстановка x = y−b/(a·n) обнуляет коэффициент при yⁿ⁻¹ безо всяких производных - это очевидно из формулы бинома Ньютона. И даже не имея этой формулы подставить x=y+λ, получить при yⁿ⁻¹ коэффициент b+anλ и понять что он равен 0 при λ=-b/(an) для математиков XVI века вряд ли было трудно.
@@nicholaseastman6915 Понятие дифференциала не требовалось в решении уравнения, простые интегралы как-то и Архимед умел считать две тысячи лет назад, не используя бесконечно малые.
Историческая часть - великолепно! Математическую можно было чуточку поподробнее. Кстати: если нужна помощь с переводом итальянских текстов 16 века - обращайтесь.
Прекрасный образовательный текст. Я разослал его все своим студентам (и даже одному учителю математики с намеком на методику изложения). По существу. В тексте прозвучал очевидный факт: " комплексные числа нельзя сравнивать". Я это знаю, но не знаю почему. У меня есть некая аналогия. Звучит примерно так: Нельзя сравнивать, как нельзя сравнивать волну и колебания. Комплексное число имеет пространственно-временно содержание! Колебания вдоль осей трансформируются в волну. Это из векторной электромеханики. Обобщенный вектор, результирующий вектор, преобразования Кларка и т.д. Я хорошо отношусь к Декарту. Но, в первую очередь система координат его имени ортогональная, и только потом декартова. Не Ортогональная система координат очень интересная. Например, семи мерная или пяти мерная. Я с помощью неортогональной системы пробираясь в многомерность (геометрическую многомерность). Субъективно мы все трёхмерные в пространстве. Но объективность многомерности уже не отрицают. Пяти-куб, семи-куб и т.д. Проекции вершин на нашу родную "плоскую плоскость" уже есть. Я завершаю построение карты проекций вершин одиннадцати куба на плоскость. Косвенно, по мнению фермиста, без комплексных чисел здесь не обойтись.
Можно чуть детальнее о том, что вы понимаете под комплексным числом? Чему оно эквивалентно в реальности? Поясню этот вопрос - у вещественных чисел пример очевиден. Это наличие предмета, либо его части - для дробных чисел. У отрицательных вещественных чисел - отсутствие предмета, либо долг. А что такое мнимое или комплексное число? Что будет с эквивалентом, если увеличить в несколько раз мнимое число - допустим, в два раза? Что будет с эквивалентом, если увеличить в несколько раз фазу комплексного числа? А если его модуль?
@@ВадимВеремьев-н1к комплексное число это некий вектор. Число на плоскости. Просто числа (вплоть до вещественных) расположены на линии. А точка - это гиперплоскость одномерного пространства.
@@ВадимВеремьев-н1к это некая абстракция, с помощью которой можно разобраться в некоторых аспектах реальности. Например. Нет сомнений, что человек субъективно трехмерный в пространстве. Но уже нет сомнений, что объективно окружающий мир многомерен (геометрически многомерен). Этот тезис сложно осмыслить. Я предположил, что комплексные числа многомерны. Появились же кватернионы! Или, например, в формуле Эйлера фигурирует угол. Или по другому, wt (скорость умноженная на время). А если в цикле имеет место ускорение? Вполне возможно, что такие вопросы "письмо к "ученому соседу".
по поводу "на ноль делить можно". Можно поподробнее?. Здравый смысл посказывет, что будет горизонтальная 8, но все говорят, что нарушается закон деления.ОЧЕНЬ ПРОШУ
При делении мы получаем количество делителей в делимом, а следовательно при 1/0 это всё равно что поставить задачу порезать колбасу на части при том что каждая часть = 0. Следовательно будет бесконечная работа и в итоге колбаса так и останется целой и по логике 1/0=1 бесконечное исполнение функции float x=1 float y=0 int res=0; while(x>0) { x-=y; res++ }
На ноль делить «можно» в определённом смысле, но нельзя получить число, являющееся результатом деления. Смотрите, в каком смысле число «делится на ноль»? Если считать, что деление определяется через умножение, мы делим, чтобы найти решение уравнения X * A = B. Получaем: Х равен B/A. А если A и B равны нулю? Тогда X * 0 = 0, и очевидно, что выполняется для любых X, то есть «любое число» и есть решение уравнения. Но понятие «любое число» числом не является. Всё. Никаких «бесконечностей» привлекать не нужно.
@@УрфинДжус-п1и «Хендрик Казимир» Интересно. И что он придумал, где об этом прочитать? Вообще-то системы с делением на нуль хорошо известны, для этого нужна несколько другая алгебра. Одна такая применяется на практике повсеместно и повседневно, так как реализована в IEEE 754, все осмысленные CPU по этому стандарту работают. И даже раздел математики с актуальными бесконечностями существует, это нестандартный матанализ, первое изложение предложил Абрахам Робинсон в 1961 г., это очень увлекательная тема. Я, кстати, впервые ознакомился с этим подходом по книжке серии «Библиотечка Кванта», там всё кратко и великолепно изложено, достаточно детально.
Hello! Video interesting to watch,I also want to ask:Are you a Russian or a translator? just to make it clearer whether the information is correct, the video is cool, there are even a lot of explanations👍
Вот такое объяснение я искал лет двадцать, с тех пор как не понял, нафига это надо :) пример с уравнением, график котоого пересекает ось, это действительно повод придумать мнимую единицу.
Ничего не понял, но интересно рассказывает: условность математических рассуждений, основанных на неких допущениях и/или ограничениях вызывала сомнение в их практической значимости. Однако вещи, построенные с помощью результатов этих рассуждений, сомнений не вызывают - они работают.
Познавательное видео. Математики придумывают абстракции или идеальные объекты и правила работы с ними. Что такое комплексное число? Это набор из двух действительных чисел, которые "умножаются" и "складываются" по определенным правилам. В математике еще есть мощное понятие преобразования. Два действительных числа преобразуются в одно комплексное, потом с комплексными числами производятся некие математические операции, а результат обратным преобразованием приводится назад к действительным числам. Очень часто решать уравнения с комплексными числами проще, чем с действительными. Есть прекрасные статьи французского математика Анри Пуанкаре на эту тему, "О природе математического умозаключения", "Неевклидовы геометрические системы".
@@ВадимВеремьев-н1к Нет эквивалента. Комплексные числа - это математическая абстракция, которая облегчает решение уравнений. После получения результата в виде комплексного числа, его потом все равно приводят к действительным числам. В квантовой механике из комплексного числа получают модуль (амплитуду) и фазу, которые уже действительные числа.
Мне тоже интересно, что значит, что "на ноль делить можно"? Я не понимаю, о чём тут говорят? Пределы? Ну, там только решение неопределённостей, порой "деление на ноль" не имеет предела или он не конечен, да и sin(x)/x имеет разрыв в x = 0, хоть и устранимый. Есть ещё расширение чисел, где определено деление на ноль особом элементом, но всё же... Что же значит, что на ноль делить можно?
Короче, математики умудрились вычислить один компонент многомерной вселенной, который лишь едва засветился в нашем скудном трёхмерном, и вот уже 100 лет развитие происходит по экспоненте. Представить сложно, как много там ещё тайн
Виталий, отличное видео! Интересно и захватывающе. Но хотелось бы увидеть больше конкретных применений комплексных чисел. А не так, что типа умные дяди такие числа используют, значит они нужны.
15:26 ничего не чувствую. Просто короткая формула. К стати, она не совсем верная, надо оговорить что значит возвести число в комплексную степень. Если делать это трушным образом, то она окажется многозначной!
Математика - это чистая красота! Без всяких примесей и субъективизма! Жаль, что это стало понятно, когда "стукнуло" 70. Но всё равно, приятно! А может быть есть ещё какая-нибудь система чисел, которая шире комплексной?
сравнение не считается, нужно просто расширить правило сравнения для комплексных. сразу напрашивается сравнение по модулю (только ещё придумать, что с углом делать), но это всё-таки не корректно, это как сравнивать 2 и -2, 2 всё же большо, хоть и равны по модулю. Скорее сравнивать по мнимой прямой, а точнее и по мнимой, и по вещественной (т.е. такое "комплексное" сравнение). Тогда для любых чисел (не только комплексных) можно точно определить, какое число больше, а какое меньше
Нет, но зато возникает противоположная проблема: некоторые операции имеют _слишком много_ ответов. То есть появляются многозначные функции: квадратный корень имеет два равноправных значения, а, логарифм, например, бесконечное множество.
На нуль делить нельзя! (смысла нет на самом деле). В школе лично меня и моих одноклассников учили писать при отрицательном дискриминанте, что "нет действительных корней", просто некоторые учителя лентяи как и их ученики и слово "действительных "опускали, чтоб быстрее писать или чернила экономить. Про кратные корни при D=0 тоже учили, правда тогда было непонятно зачем оно надо. И что особенного в мнимой единице - по сравнению с нулем - она простая и понятная. Но нуль почему то все воспринимают просто, а мнимую единицу в штыки. Может дело в том, что нуль нам показывают рано и мы к нему привыкаем, а мнимую единицу только некоторым - от того ее и не любят?
0 воспринять просто. Это когда денег нет. Отрицательные числа тоже очевидны. Это когда и так не было денег а ты ещё и взял взаймы. Ну а что можно представить как нечто материальное число i? Это что то по самому определению математики не существующее. Ну нет числа, которое в результате умножения само на себя даст -1. " Комплексные числа нельзя сравнивать"... Ну тогда какие же они числа, если сравнивать их нельзя? Какой смысл имеют "числа", если они сами по себе и сравнивать их нельзя? А почему тогда "нельзя" делить на 0, если принимаем как что то реальное "число" i ? 1/0=щ. И всё, уже можно? Что то не так? Мне уже возражали, что в электрике число i применяется. Так вот, как инженер-электрик на пенсии говорю: Там всё это "за уши притянуто". Все расчёты с активным и реактивным сопротивлением не требуют таких извращений. Всё вполне рассчитывается без не существующих чисел. А вот деление на 0 - это когда электричество отключили. Уж извините, я чистый практик. 🙂
@@АлександрМаркин-б5ф Комлексное число - буквально сложное число. Оно из двух параметров состоит. Если вы определите в какой либо практической задаче какое число для вас больше, а какое меньше, то можете сравнивать. Допустим можно сравнивать по модулю. Ну или по аргументу(если важен именно угол). Или в прямоугольной системе важна именно реальная часть - сравнивайте по ней. Ну а полностью числа сравнить конечно нельзя. Как сравнивать два листа бумаги на столе, один большой, другой маленький, но повернутый на угол? надо просто выбрать что важно - размер листа или угол поворота.
@@АлександрМаркин-б5ф Всё верно, в математике одни проблемы а на практике большинство их проблем вымысел. Даже элементарный пример 10*0.1=100 а 100 чего? А просто 100. Хотя на самом деле 100 раз по 0.1 и по сути знак равенства справедлив только ести дополнить что 100 это количество делителей.
Помню, в институте считал систему из трех уравнений с комплексными переменными на обычном, не инженерном калькуляторе. Потратил целый день, к вечеру болела голова, но справился. Правда после этого опыта сказал, ну нафиг такое счастье и дальше электрические цепи считал в Маткаде.😅
@@TUGRPYJI9I-888 Ну, есть сложные задачи. Для их решения очень часто вводят новые "объекты". Например, поток Риччи, или какие-нибудь l-адические когомологии. Примеров много, перечислять их не имеет смысла.
Математика это как бусы. Каждая революция просто становится новым разделом, например, в XVII веке люди так увлеклись азартными играми, что придумали совершенно точную науку " Теория вероятности" И теперь мы, манипуляторы, спокойно вычисляем заранее что купит клиент ещё до того, как построили магазин.
Революция? Громко сказано! Математики, уже давно сталкиваются с проблемами, которые нельзя решить без условий, и это нормально. Что они делают? Правильно, они подгоняют под ответ, как рньше это делали школьники: идут от обратного, сочиняя по пути, новые условия.... Читеры одним словом😛
2:14 "на ноль делить нельзя, хотя на самом деле можно" что имеется ввиду? Нужна пояснительная бригада, как можно делить на ноль на самом деле? 10:05 опечатка в формуле Кардано 10:34 опечатка в формуле Кардано 26:57 опечатка в формуле Кардано
ну конечно делить можно, кто тебе запрещает? только смысла в этом нет, т.к. ответ не определён. что ты будешь делать с таким ответом? но если хочешь разделить хоть с каким-то смыслом, то тебе дорога в расширенные действительные числа, а конкретно в - проективно расширенную числовую прямую. там деление на ноль равно бесконечности.
@@SegantChe читаете между строк? делить можно, но могут возникнуть проблемы при выборе неверного поля чисел. Смыла нет при делении в действительных числах, там деление на ноль не определено. На проективно расширенной числовой прямой, такая операция определена и делить можно. Что непонятного? Не видите аналогии из видео, что для действительных чисел чётных корней из отрицательных чисел не бывает, а оказывается, что бывает для другого множества чисел. Не бывает в действительных числах, но бывает в комплексных. PS более того даже в действительных числах бывают ситуации, когда возникает деление на ноль, но есть конкретный результат. Например график функции six(x)/х в точке х=0 приводит к делению на ноль, но значение в этой точке существует и это 1. Поэтому просто доопределяют ответ, что six(x)/х = 1 при х=0.
Можно перейти к другой аксиоматике. В кольцах в самом деле никакого деления на ноль нет, но если на колёса подсесть, что-то уже будет. Пусть и унарно, но будет
@@SayXaNow я не писал, что мне в вашем комментарии что-то не понятно. Читаете между строк? В школе изучают поля R и Q. И там делить на ноль нельзя. Предел sinx/x при х стремящемуся к 0 существует, и можно доопределить значение этой функции в нуле, спасибо капитан очевидность. Изначальный комментарий был адресован автору видео. Мне интересно, что он имел ввиду.
@@user-no-no-no Автор показал, что в школе о многом не говорят, из-за недостатка знаний у обучающихся. Акцент, в данном случае, был сделан на это. Я не говорю, что так можно, просто пытаюсь трактовать автора
Переход не очень интересен. Квадрат модуля волновой функции является плотностью вероятности нахождения электрона. Модуль, как известно, всегда даёт вещественное число.
@@АлексейСапрыкин-в2к Я бы даже сказал, «переход» это глупость. Комплексные числа это не менее адекватная абстракция. Есть физические явления (используются в ядерном парамагнитном резонансе, для томографии, но не только), где важна не только амплитуда волновой функции, но и фаза. Кстати, «плотность вероятности» это только одна из интерпретаций, да и то применима только для наглядности, в воображаемом виде. Чтобы была настоящая вероятность, нужно говорить об эксперименте, который даёт измеримые результаты, со стохастичностью или без. «Плотность вероятности нахождения электрона» это вещь чисто воображаемая, потому что нет самого «нахождения», нет такого эксперимента. В отличие от, например, эксперимента с двумя щелями, где частица реально локализуется при взаимодействии с экраном.
@@Micro-Moo Не буду спорить. Я лишь простыми словами объяснил о "переходе от комплексных чисел к реальным". Про плотность нахождения - лично мне интересна задача о нахождении электрона в атоме водорода. Потому я и написал именно об этом.
Все равно что сказать, что все яблоки круглые, а значит одинаковые. Есть, кстати, офигенный эксперимент, указывающий, что в комплексной фазе (угле) вся суть. Взять любое цифровое изображение, пропустить через Фурье преобразование, у образа обнулить фазы не меняя модулей, и восстановить прообраз. Получится шум. А если у образа уравнить модули (единице) не меняя фаз, то восстановив прообраз вполне узнается оригинал!
Это совершенно избыточное замечание. По-прежнему отношения порядка не заданы, суть именно в этом. А ваши модули это действительные числа. С точно таким же успехом можно сравнивать действительные части, мнимые части, и вообще, результаты вычисления любых функций одного комплексного переменного, возвращающие действительное число... Ну и что из этого?
@@user-no-no-no «тогда различные числа окажутся равными (по модулю)» Так и есть, то есть в любом случае отношения типа отношения порядка не определены - см. мой предыдущий комментарий.
![Мнимые числа реальны: #1-13 [Welch Labs]](/img/n.gif)
Завёл телеграм канал. Подписывайтесь: t.me/vitalmath
Комплексный обед состоит из действительной похлебки и мнимого мяса.
-Мне мясо положено! 😡
-Ну раз положено так ешь
ты про белорусов?
в советские времена ходила такая шутка
@@Игорь-ц2б8в товарищ праворщик, мясо же положено..._положено, ешь! .._так не положено..-неположенно, не ешь
@@Old_Bell 😁
Инфантильные юноши восхищаются дуэлями мушкетёров на шпагах, взрослые люди восхищаются итальянскими дуэлями на уравнениях.
"Слова не мальчика, но мужа!" =) хехехехе
Философские дебаты средневековых буддистов тоже ничо так. Проигравший должен был либо признать правоту своего соперника, либо самоубиться. Второе считалось менее позорным.
Хрень написал
А мы-то на большом перерыве брали Бермана и решали на спор. И ведь не математики, а химики.
@@EugenyAntonov Я любил химию в школе, но про Бермана даже не слышал. =) Тем более решать на переменке на спор! Эсктремальщики вы! Я только домашку по математике так решал, перед уроком. =)
После просмотра ролика понимаю, что все мои знания по математике - мнимые!😂
Я тебе более скажу: знания математиков о мнимых числах тоже мнимые. :-D
@@Avgur_SmileЭто почему?
@@JddhDidjdh Эт потому, что эти "знания", живут только в их больной фантазии😛
Подумайте о нём & он покажется вам каким его хотите ощущать в этом мире & даже лучше без искусственного интеллекта с помощью разума & мозга
Кумекать нужно всё время непрерывно.
Спаси & помоги Господи в освоении Мира. Аминь!
@@JddhDidjdh Потому что мнимые числа - это те же реальные числа, только упорядоченные в противоположном порядке, т.е. для мнимых чисел имеет место следующий порядок: ... > -2 > -1 > 0 > 1 > 2 > ...
Как человек с дипломом мехмата НГУ снимаю шляпу за такой интересный рассказ. На одном дыхании. Больше всего меня покоряли красоты, которые мы получали на занятиях ТФКП - теории функции комплексного переменного. Как какой-нибудь сложнючий интеграл в вещественных числах можно было вывести на комплексную плоскость, сделать его частью замкнутого контура, посчитать вычеты внутри контура, и зная их, найти тот самый интеграл.
Мне нравится определение комплексных чисел как пар (a, b), которые складываются понятно как, на вещественные числа умножаются тоже понятно как, а перемножаются так: (a, b) * (c, d) = (ac - bd, ad + bc). Тогда вещественным числам соответствуют просто объекты типа (a, 0), и кроме них есть еще много объектов типа (a, не 0). И вся мистика с корнями из -1 пропадает. Это просто пара (0, 1), которая при перемножении само на себя дает пару (-1, 0), то есть -1.
Из тебя дурака сделали,, а ты радуешься.
Есть ещё определение числа а+bi как матрицы
а -b
b a
Где умножение чисел это матричное умножение
О, привет с ММФ НГУ, коллега
@@dtihert Привет!
Вы не могли на пальцах объяснить суть мнимого числа? Ведь определение о форме а + би - описание формы.
Определение «мнимые числа - это такие числа, которые не находятся на вещественной числовой оси» - следствие свойства. Определение через простые математические операции или матричные операции - частные случаи, описывающие возможности работы с элементом.
Но все это не есть определение в значении формулировки, раскрывающей содержание и смысл. Только свойства!
🙏🏻🙏🏻🙏🏻
Восторг! Это самое лучшее, что я узнал в интернете в 2024 году! Вроде знал в школе, механически читал и применял в расчетах в институте. А смысл и всю красоту этого числа я понял из рассказа этого восторженного этой же красотой мальчика. Спасибо, сынок!
Спасибо автору, что проделал такую огромную работу по упаковке материала и его последовательным изложением, подписался ))
Взял и прочитал главу из Гиндикина, ага.
Спасибо!!
Здорово. Алгебру в школе так и надо преподавать. В связке с историей.
а вопрсы на экзамене будут
"в каком году и кто впервые решил уравнение ... ?"
"кто и когда ввел в ображение мнимую единицу,?"
@@ТауронЭрувич зачем?. Главное решить уравнение.
@@ТауронЭрувичВ этом и беда всей системы образования. Непонятно для кого, непонятно зачем . Совок был, совок остался. Всё для галочки. К сожалению.
@@g0riz0nt сам ты совок
где там твой святик образованный? на прилавок с ногами залез опять и пельмени руками трогает?
Я ещё не прошёл данную тему (10 класс окончил), но благодаря этому видео заранее ею увлёкся. Подача материала, на самом деле, намного понятней, чем в школе. И зверски интересно узнать про кватернионы и прочие «-ионы», поэтому жду новых видосов! 😁
посмотри лекторий фпми
Ещё легче понять комплексные числа, если изучать электротехнику!
@@РоманМурин-д4н квартенионы я не изучал (пока), но их смысл вроде бы оч. простой. Пусть есть координата x, причём x - действительное, представляет точку на прямой. Теперь нам захотелось сделать 2 измерения, работать с плоскими фигурами, площадями. Добавили второе измерение: y, тоже действительное. Получили пару чисел, представляющие точку на плоскости и кот. обычно записывают как (x, y). В принципе, могли бы записывать и как ax+by, обозначая, что эти a и b - не подобные, их нельзя складывать. Так вот, с квартенионами такие же рассуждения, только с комплексными числами. Просто захотели иметь вторую комплексную координату, выйти в новое измерение. Т.е. квартенион - пара комплексных чисел.
@@DrRadio155 Ещё легче изучать электротехнику, если понять комплексные числа. 🙂
@@DrRadio155Да-да, препод по электротехнике троллил нас. Все не дураки, все умеем рассчитать, что при такой частоте сопротивление катушки будет четыре ома. Ну хорошо, а вот к ней последовательно подключаем резистор три ома. Сколько получится суммарное сопротивление в цепи? Ну семь, ясен пень. А вот и нет, пять. Мы в ступоре, препод смотрит хитро и ухмыляется. Так мы узнали про комплексные числа за пару лет до того, как начали проходить их на вышке.
Это лучшее и самое понятное видео по комплексным числам которое я видел (для начального погружения в вопрос). Спасибо!
Спасибо!
Получение знаменитой формулы Эйлера великолепно. Обязательно приведу студентам при случае.
Если вы уже преподаватель и не знали ранее как поучается формула Эйлера, то бедные студенты когда такая квалификация сейчас преподавателей...
@@SuperIS72 В смысле не знает??? Он сказал что приведет при случае
Спасибо, закомплексовала)
Надеюсь на плоскости
@@ТауронЭрувичв четырёхмерном комплексном пространстве кватернионов
😭
Чо сразу реветь то? Вот в свое время, когда решали примеры с комплексными числами, я просто забил на понимание, и тупо заучил. как в правилах покера, и решал быстро четко.
Ты только не забудь, что главное - это вовремя извлечь корень
Замечательный и интересный ролик, соединяющий математику из школы и вышмат. Большое спасибо, очень информативно и понятно
Спасибо!
Искал видео на фон пока играю в айзека, а по итогу 29 минут в меню игры и 29 минут просмотра ролика
Для меня в первую очередь это полезность в обработке сигналов. А также преобозвание из временной области в область Лапласа и раскрытие комплексной переменной. Вместо довольно объемного для понимания и вычисления интеграла свертки получаем простую запись с перемножением и суммой. Вычисление становится проще в разы
Лайк поставлен начиная со вступления! Так красиво говорить о красоте математики, пожалуй, не может никто! Обожаю Ваши видео!
10:08 Опечатка в подкоренном первого слагаемого. Не 3 в кубе, а р в кубе :)
10:32 Опечатка, но во втором слагаемом :( p быть не должно
И даже с этими исправлениями -121 не получается :)
10:31 еще тут в примере (-15)^3 должно быть, тогда как раз получится корень из -121
Я тоже это заметила
И на 8:29 тоже много ошибок: там p = 2 а q = 3, а в формулу поставлено q = 3 a p = 2.
Обожаю подобный контент... Больше смотрю подобное по программированию, но иногда вырываюсь в волшебный мир математики) Отличная подача школьной программы и вышмата)
Спасибо!
Великолепный рассказ о красоте комплексных чисел - как дальнейшее расширение этих чисел!
Спасибо большое за ваше творчество расскажите пожалуйста больше о практическом применении комплексных чисел именно со стороны практики и желательно с примерами что с помощью них можно рассчитать а без них рассчитать невозможно
спасибо, ок!
Вот спасибо! Наконец-то узнал, откуда взялась формула Эйлера для комплексных чисел. Со студенческих времен не давала покоя, решил уже, что просто искусственный конструкт. Типа, доказали изоморфизм между левой и правой частью и вперед, «не рефлексируй, вычисляй» 😅
А оно строго выводится. Волшебно… 👍
Шатап энд калкьюлэйт (с)
Аааааа! Дождались! Спасибо! На одном дыхании!
Спасибо!
Формула Эйлера - изумительна! И всегда вызывает восторг!
Блестяще! Спасибо! 👏
Классно, интересно, офигительно интересный экскурс в историю! За 5.13 вообще огромный лайк)) Никогда не задумывался, что лет триста назад умные дядьки давали друг другу не уравнения и функции, а простым языком - "найди число, добавленное к трем корням из..."
шикарное видео! Математика красива)
Это наверное лучший ролик, который я посмотрел за последнее время, а может и за всё время моего использования ютуба
теперь очередь за р-адическими числами!)
На канале Veritasium было видео про это. Есть даже перевод от Vert Dider.
@@Limon4ik.1 Да да, я знаю, но хочется экспрессивной подачи от Vital)
@@ГенриФарадэй
Тда!! Прям хоцца🎉
Это вообще не числа, это алгоритмы какие-то, насколько я понял из Vert Dider.
@@Berseny Не, вы не совсем правильно поняли. По сути, это альтернатива вещественным числам. И одна из конструкций почти такая же.
Сегодня слушала лекцию по физике в вузе. Наконец узнала, где комплексные числа невероятно сильно влияют на нашу жизнь. А именно в диэлектрической проницаемости для проводников. Там есть мнимая часть, благодаря которой мы и видим металл таким, ведь именно она описывает то существенное поглощение волн света. И это было завораживающе для меня. Мне сразу стало понятно, что комплексные числа - это одно из величайших открытий человечества.
Класс, Виталий - продолжай в том же духе!!!
Спасибо!
Красота формулы e^(iπ)=1, как сказал ведущий именно в том, что неимоверным способом она связывает криволинейный мир (число π) с миром пределов (число е). Совпадение ? Какое красивое совпадение. Таким образом невольно приходишь к выводу, что хотя математика аксиометрически замкнута, именно её здание может преподносить нам огромное множество сюрпризов, к тому же, ещё и неразгаданных. Например, как знаменитая теорема Ферма.
Более того, если экстраполировать это видео, то что нас ожидает при выходе из комплексной плоскости (ведущий кратко упомянул о кватернионах).
Да и сама функция е^(ix) может преподнести ещё много сюрпризов.
Спасибо за ролик ! Супер!
Когда я вижу формулу Эйлера, я сразу представляю формулу Пика.
Одна красивая, другая имба, которую не нерфят.
@@Ant1_Siimp а в чём прикол формулы Пика?
@@maligosssaron3416 Раньше в егэ по математике было задание на поиск площади фигуры на клетчатой бумаге. И формула пика могла решить почти все такие задания.
Формула Эйлера реально впечатляет.
"... другая имба, которую не нерфят." Мышление (жаргон) сетевых компьютерных игр ("донатных помоек") применть к математике? Да уж, "Идиотократия" показанная 20 лет наза в кино, близится.
Несмотря на удачное изложение, на мой взгляд, автор неудачно высветил значение комплексных чисел в физике. Из этого рассказа можно подумать, что это просто удобный математический "кунштюк" для расчетов. Но все гораздо глубже - так устроен материальный мир!
Оказывается, что нет ничего действительнее мнимых чисел (пардон за каламбур)! И дело не в только в том, что интервал как инвариант в системе отсчёта может быть как пространственно-, так и времени-подобным (что предполагает либо разные знаки диагональных элементов метрического тензора в мире, в котором мы живем, либо мы будем вынуждены обозвать время мнимой величиной).
Все гораздо глубже. Нет ни одного факта, не описываемого квантовой механикой. А тут, как ни крути, невозможно избежать либо описания с помощью волновых функций (принципиально комплекснозначных), либо (Фейнмановская интерпретация) с помощью комплексных амплитуд, рассчитываемых суммой (функциональным интегралом) по бесконечному множеству всевозможных траекторий. Нам кажется, что мы живём в мире, где вероятности случайностей описываются байесовской формулой сложной вероятности последовательных событий. На самом деле мы живём в мире, где вероятностное описание лишь следствие того, что нам доступна для наблюдения лишь открытая подсистема - часть всей вселенной. А из-за слабого, но заметного влияния всего остального наша комплексная амплитуда реализуется в событие.
Комплексные амплитуды преобразуются по формулам, похожим на байесовскую, но в конечном итоге распределения вероятностей событий оказываются несколько иными. Они бывают практически классическими - когда квантовые эффекты незначительны и совершенно иными - когда квантовые эффекты существенны.
Так что никуда не деться - живем мы таки в комплексном мире!
Благодарю!!!!
Чудесный и понятный даже для дилетантов видеоролик...
...Просмотрела почти на одном дыхании, хотя и не новичок - интересна лёгкость в подаче материала - респект!!!!
...пока не открылось второе...
Спасибо!
А вот когда я учился в школе, на вопрос "А почему именно так?!", заданный "математичке" - получал неизменный ответ: "Не занимайся философией, а решай!!!" Вопрос ко всем: школьных учителей всех без исключения учат убивать в учениках жажду познания?!!!
Она, видимо, сама не понимала, чему вас учит
@@Борядян видимо. Фиг с ней, как говорится.
ну а шо ты хотел? когда в пед идут в подавляющем множестве те, кому не хватило баллов куда-то еще, то с чего бы иметь желание отдаваться данной профессии?
@@Борядян «Она, видимо, сама не понимала, чему вас учит» А возможно, что ей просто надоели некие демагоги в одном из её предыдущих классов. А терпения у неё, как у многих, не хватает, учебный план поджимает. Не оправдываю её, но это дело житейское.
@@КрылоБезруков «когда в пед идут в подавляющем множестве те, кому не хватило баллов куда-то еще...» Увы, это так. Мне довелось короткое время поработать в университете, в котором подавляющее большинство студентов шло в «педагоги». Так у них в общественном сознании на уровне разговоров между собой постоянно крутилась тема, какие дети «плохие» и как ужасно будет им, таким хорошим и умным, работать с ними. Причём невежество этих студентов в своих областях науки просто зашкаливало. Можно представить себе, насколько качественно они учили детей, попадая в школы.
Завораживающе привлекательно. Когда то увлёкся математикой, делал не обычные доказательства и решения, но не обратил должного внимания - был увлечён другим, затем ещё другим, а в итоге бытовуха всё свела к нулю. Теперь вот не знаю, смогу ли осилить математику, физику, ну и ещё несколько интересных направления. Время не то что трудное, а тяжёлое, а вот посмотрел это видео и решил попробовать осилить и математику. Прямо в жар бросило. Знаю, что дорогу осилит идущий. Стоит попробовать.
Присоединяюсь ко всем благодарным! У меня первое образование техническое и для меня комплексные числа - устойчивая связь с описанием электромагнетизма.
Не думал, что это про теорию множеств, отельное спасибо, кстати, за понятие замкнутости!
Маленькое замечание уже как от философа: не бытиЁ, а бытиЕ!
Спасибо!
Мой путь к пониманию комплексных чисел был сложен, но мне стало ясно, что никакие они не мнимые, а вполне даже реальные.
пару примеров, вдруг, завод поможет построить
Расчёты электротехнических схем, расчёты систем автоматического управления на устойчивость, вот пара примеров, которые могу привести.
@@Mordorian_Orqueтолько это пример применения мнимых чисел
Да, полезное применение, спору нет - но нет реальности мнимых чисел
Я знаю, что такое +1 яблоко - вроде как нашёл яблоко. Я знаю, что такое -1 яблоко - потерял его или съел. Даже знаю, что такое 1/2 яблоко - половина яблока
А что такое i*1 яблока?
Возможно, этот путь был бы короче, если не сбивал с толку неудачный термин «мнимое число». И сейчас, знаете ли, полно придурков, которые с пеной у рта доказывают, что вещественные числа «существуют в природе», а комплексные - нет. Не понимая, что и то и другое - абстракции, в равной степени помогающие отражать реальность. (Ой, я смотрю, один такой нашёлся в этой ветке комментариев. Тс-с... 🙂)
@@Micro-Moo Если нельзя объяснить что-то простыми словами, то это значит, что человек не разбирается в теме. Назвать комплексное число абстарктным и поэтому не пытаться понять, что за ним стоит в реальности - уход от проблемы, а не решение
От видоса получил эстетическое удовольствие. Математика - это красиво.
Отличный ролик. Спасибо.
Главное, чтобы супостаты не заблокировали ютуб.
Замечательный выпуск! На одном дыхании посмотрел
Спасибо!
Очень красиво! Спасибо вам!
Спасибо!
Отличное видео! Мне как человеку с достаточно поверхностными знаниями в математике было весьма понятно и очень интересно! Подскажите, пожалуйста, какую-нибудь книгу, чтобы можно было глубже углубиться в тему комплексных чисел.
24:24 А можем ли мы например сравнить квадраты чисел? я имею ввиду, что вот i²= -1 а 1²=1, и исходя из этого i²
А зачем? При таком сравнении различные числа окажутся равными. Например, 1 и -1.
1) квадраты в целом нельзя сокращать, как ты показал, иначе
(-2)^2 < (-3)^2
-2 < -3
Это не торжественная операция.
2) операция сравнения для комплексных чисел неопределена. Можно сравнить их по модулю или по направлению.
Это все равно что сравнивать, кто лучше: Вася или Петя?
Вася сможет лучше знать математику, а Петя может быстрее бегать. Чем больше параметров, тем сложнее делать такую оценку.
Потрясающе!
Ролик очень интересный и профессионально сделан. В формуле Кардано ошибка: вместо числа 3 должна быть буква р.
Спасибо за видео! Давно хотел узнать, что е в степени ipi означает. Да и вообще, смотрю Ваш канал регулярно. Красиво объясняете!
Спасибо!
Комплексные числа - это абстракция, удобный математический аппарат для описания широкого класса моделей и операций над ними. Также это изобретение делает полной основную теорему алгебры. Не надо рассматривать их только как некие странные "числа". Это аппарат, так же как интегралы, тензоры, вариационное исчисление. Ещё кватернионы есть) и т.д.
Спасибо за замечательную лекцию, которую я охотно рекомендую своим ученикам
Спасибо, что смотрите и рекомендуете!
Среди шлака интернета этот ролик, по истине, бриллиант.
Работайте и дальше, только не скатывайтесь. Молодцы!
Спасибо!
Ну РосКомНадзор решил, что такие "бриллианты" вредят просвещению. Кстати, автор соблюдает закон о "просвещении" который приняли несколько лет назд? Имеет лицензию и право просвещать? А то навешает лапши и разгребай потом. Ну благо обещают Ютуб вообще подзакрутить и "просвЯтителей-проповедников" околонаучных меншьше станет.
Люблю такие видео очень познавательно и интересно ❤
Видел в другом ролике понятное объяснения смысла числа i: когда мы умножаем число на -1 - мы меняем его направление на 180 градусов, т.е. оно теперь в другую сторону от ноля идёт. А когда умножаем на i - мы поворачиваем на 90 градусов, т.е. если ещё раз умножим на i, то это как уже умнодить на -1 - на 180 градусов повернуть
Что мешает сделать вектор в право и в лево?
Ролик классный, очень доступно изложено! А про опечатки - что-то мне кажется, что это спецом сделано, чтобы привлечь наше внимание ))
На 16:43 ещё не хватает трансцендентных чисел.
Интересный контент, благодарю.
так они часть вещественных , вы чего
@@user-no-no-no Действительные, или вещественные - это множество натуральных, целых, рациональных, иррациональных и (!) трансцендентных чисел. В ролике при описании множества действительных чисел забыли упомянуть про трансцендентные. Я всего лишь уточнил это. Ролик, как всегда, захватывающий, и эта неточность, совершенно ничего не портит.
@@Subastik трансцендентные часть иррациональных, конечно же
@@user-no-no-no Согласен. Исправил. Но как и натуральные - часть целых, что не помешало включить оба множества.
Дякую Вам за популяризацію математики! І таке красиве, захопливе викладення основних ідей математичного світу!
Ти рашисту дякуєш???🤮
Вау! Очень интересно!
Шикарнейшая подача материала, заслушаешься!! 👍
Спасибо!
А мы не говорили, что уравнение не имеет корней. Мы говорили, что корней нет в области действительных чисел или как-то так. Уже точно не вспомню, ибо со школы уже 27 лет прошло. Но оговорка на счёт чисел была. Мы тогда ещё не знали про комплексные числа, но нам об этом учительница говорила. Школа, кстати, обычная, не выдающаяся и не математическая.
Хорошая школа.
Насколько помню, говорили как угодно, но запись была строгая -- корни не принадлежат множеству вещественных чисел.
ПС :: Школе тоже обычная. Выпуск '08.
@@eugeneoxenstierna9508 точно!
@@Tavda Всё правильно, ведь если решено, что за решение уравнения мы принимаем пересечение с осью координат Х, а этих пересечений нет, значит и решений уравнения нет! В данной плоскости координат!
Комплексные числа скорее всего принадлежат другим плоскостям и осям координат... где решения уравнения имеют другой смысл.
Зачем бледную моль поделили на ноль? Вон как её теперь раздуло, миру тесно.
смотрел до этого разные видео про комплексные числа и как-то не доходило до конца. А здесь - дошло :) Спасибо за ролик!
Спасибо, что смотрите!
Так классно рассказывать про математику - гениальность)
Ещё бы букву Ж выговаривать почётче и при хорошо написанном тексте не ляпать орфографических и орфоэпических ошибок. Выбранный формат хорош, хоть и не нов, есть 3blue1brown (Грант Сандерсон) - там именно занимательная математика. Есть Veritasium - там как раз история науки и техники. Везде хорошая инфографика и анимация (здесь над этим ещё надо работать). Только не надо в пример приводить сушёных имперцев, бывших алкоголиков с безумным взглядом.
Шикарный выпуск!!! Безумно интересно! Спасибо большое! Смотрел с замиранием)
Спасибо!
Чтобы избавиться от коэффициента B в любом многочлене, надо было изобрести производную для замены переменной как у Кардано, что ГОРАЗДО важнее уравнений, возможно это дало сильный толчёк при анализе функций другими математиками, пока Ньютон и Лейбниц не закрыли этот вопрос через 100 лет, а уже производная дала такой волшебный пинок науке, что математика, физика, химия и прочие полетели сломя голову к современному уровню.
Подстановка x = y−b/(a·n) обнуляет коэффициент при yⁿ⁻¹ безо всяких производных - это очевидно из формулы бинома Ньютона. И даже не имея этой формулы подставить x=y+λ, получить при yⁿ⁻¹ коэффициент b+anλ и понять что он равен 0 при λ=-b/(an) для математиков XVI века вряд ли было трудно.
@@-wx-78- Около двадцати лет прошло между решением неполного уравнения и заменой переменной.
"дифференциальное/интегральное счисление" называется
@@nicholaseastman6915 Понятие дифференциала не требовалось в решении уравнения, простые интегралы как-то и Архимед умел считать две тысячи лет назад, не используя бесконечно малые.
Историческая часть - великолепно! Математическую можно было чуточку поподробнее.
Кстати: если нужна помощь с переводом итальянских текстов 16 века - обращайтесь.
Ждем видео про многомерные числа
Прекрасный образовательный текст.
Я разослал его все своим студентам (и даже одному учителю математики с намеком на методику изложения).
По существу.
В тексте прозвучал очевидный факт: " комплексные числа нельзя сравнивать".
Я это знаю, но не знаю почему.
У меня есть некая аналогия.
Звучит примерно так:
Нельзя сравнивать, как нельзя сравнивать волну и колебания.
Комплексное число имеет пространственно-временно содержание!
Колебания вдоль осей трансформируются в волну.
Это из векторной электромеханики.
Обобщенный вектор, результирующий вектор, преобразования Кларка и т.д.
Я хорошо отношусь к Декарту.
Но, в первую очередь система координат его имени ортогональная, и только потом декартова.
Не Ортогональная система координат очень интересная.
Например, семи мерная или пяти мерная.
Я с помощью неортогональной системы пробираясь в многомерность (геометрическую многомерность). Субъективно мы все трёхмерные в пространстве.
Но объективность многомерности уже не отрицают.
Пяти-куб, семи-куб и т.д.
Проекции вершин на нашу родную "плоскую плоскость" уже есть.
Я завершаю построение карты проекций вершин одиннадцати куба на плоскость.
Косвенно, по мнению фермиста, без комплексных чисел здесь не обойтись.
я ничего не понял
Можно чуть детальнее о том, что вы понимаете под комплексным числом? Чему оно эквивалентно в реальности?
Поясню этот вопрос - у вещественных чисел пример очевиден. Это наличие предмета, либо его части - для дробных чисел. У отрицательных вещественных чисел - отсутствие предмета, либо долг.
А что такое мнимое или комплексное число?
Что будет с эквивалентом, если увеличить в несколько раз мнимое число - допустим, в два раза?
Что будет с эквивалентом, если увеличить в несколько раз фазу комплексного числа? А если его модуль?
@@ВадимВеремьев-н1к комплексное число это некий вектор.
Число на плоскости.
Просто числа (вплоть до вещественных) расположены на линии.
А точка - это гиперплоскость одномерного пространства.
@@vovatereshkin3080 то, что это числа понятно
А аналог в реальности-то какой?
@@ВадимВеремьев-н1к это некая абстракция, с помощью которой можно разобраться в некоторых аспектах реальности.
Например.
Нет сомнений, что человек субъективно трехмерный в пространстве.
Но уже нет сомнений, что объективно окружающий мир многомерен (геометрически многомерен).
Этот тезис сложно осмыслить.
Я предположил, что комплексные числа многомерны.
Появились же кватернионы!
Или, например, в формуле Эйлера фигурирует угол. Или по другому, wt (скорость умноженная на время). А если в цикле имеет место ускорение?
Вполне возможно, что такие вопросы "письмо к "ученому соседу".
Один из лучших роликов!
Спасибо!
0:10 не угадал, на планшете 😂
по поводу "на ноль делить можно". Можно поподробнее?. Здравый смысл посказывет, что будет горизонтальная 8, но все говорят, что нарушается закон деления.ОЧЕНЬ ПРОШУ
При делении мы получаем количество делителей в делимом, а следовательно при 1/0 это всё равно что поставить задачу порезать колбасу на части при том что каждая часть = 0. Следовательно будет бесконечная работа и в итоге колбаса так и останется целой и по логике 1/0=1 бесконечное исполнение функции
float x=1
float y=0
int res=0;
while(x>0)
{
x-=y;
res++
}
На ноль делить «можно» в определённом смысле, но нельзя получить число, являющееся результатом деления. Смотрите, в каком смысле число «делится на ноль»? Если считать, что деление определяется через умножение, мы делим, чтобы найти решение уравнения X * A = B. Получaем: Х равен B/A. А если A и B равны нулю? Тогда X * 0 = 0, и очевидно, что выполняется для любых X, то есть «любое число» и есть решение уравнения. Но понятие «любое число» числом не является. Всё. Никаких «бесконечностей» привлекать не нужно.
Нашел. Волшебное слово - Хендрик Казимир, который придумал, как делить на 0
@@УрфинДжус-п1и «Хендрик Казимир» Интересно. И что он придумал, где об этом прочитать?
Вообще-то системы с делением на нуль хорошо известны, для этого нужна несколько другая алгебра. Одна такая применяется на практике повсеместно и повседневно, так как реализована в IEEE 754, все осмысленные CPU по этому стандарту работают.
И даже раздел математики с актуальными бесконечностями существует, это нестандартный матанализ, первое изложение предложил Абрахам Робинсон в 1961 г., это очень увлекательная тема. Я, кстати, впервые ознакомился с этим подходом по книжке серии «Библиотечка Кванта», там всё кратко и великолепно изложено, достаточно детально.
Hello!
Video interesting to watch,I also want to ask:Are you a Russian or a translator? just to make it clearer whether the information is correct, the video is cool, there are even a lot of explanations👍
Отличное видео. Спасибо. А тем уродам, которые хотят ограничить ютьюб и лишить таких программ - комплексный обед мна всю оставшуюся жизнь
Спасибо за интуитивное и понятное объяснение!
Вот такое объяснение я искал лет двадцать, с тех пор как не понял, нафига это надо :) пример с уравнением, график котоого пересекает ось, это действительно повод придумать мнимую единицу.
Очень круто, большое спасибо из Голландии. Папа и два сына.
Спасибо, что смотрите!
Теперь мне интересно про гороскоп Иисуса!
Как он его составлял? Прямо натальную карту сделал?
Очень круто рассказал про комплексные числа. Я кайфанул от просмотра, спасибо!
Спасибо!
Ничего не понял, но интересно рассказывает: условность математических рассуждений, основанных на неких допущениях и/или ограничениях вызывала сомнение в их практической значимости. Однако вещи, построенные с помощью результатов этих рассуждений, сомнений не вызывают - они работают.
Они работают скорее не благодаря а вопреки)))
когда приходит понимание, что ничего в этом мире не имеет крепкого фундамента - вот тогда тебя перестает волновать условность какой-то там математики
Все работает, но в рамках математических моделей.. И в этом их крамола.
Познавательное видео. Математики придумывают абстракции или идеальные объекты и правила работы с ними. Что такое комплексное число? Это набор из двух действительных чисел, которые "умножаются" и "складываются" по определенным правилам. В математике еще есть мощное понятие преобразования. Два действительных числа преобразуются в одно комплексное, потом с комплексными числами производятся некие математические операции, а результат обратным преобразованием приводится назад к действительным числам. Очень часто решать уравнения с комплексными числами проще, чем с действительными. Есть прекрасные статьи французского математика Анри Пуанкаре на эту тему, "О природе математического умозаключения", "Неевклидовы геометрические системы".
А реальности-то какой эквивалент у комплексных чисел?
@@ВадимВеремьев-н1к Нет эквивалента. Комплексные числа - это математическая абстракция, которая облегчает решение уравнений. После получения результата в виде комплексного числа, его потом все равно приводят к действительным числам. В квантовой механике из комплексного числа получают модуль (амплитуду) и фазу, которые уже действительные числа.
@@ВадимВеремьев-н1к Стрелка часов вполне эквивалент
Деление на 0 разве не выходит за множество комплексных чисел?
Интуитивно кажется, что деление на 0 все таки нарушает замкнутость
Мне тоже интересно, что значит, что "на ноль делить можно"? Я не понимаю, о чём тут говорят?
Пределы? Ну, там только решение неопределённостей, порой "деление на ноль" не имеет предела или он не конечен, да и sin(x)/x имеет разрыв в x = 0, хоть и устранимый.
Есть ещё расширение чисел, где определено деление на ноль особом элементом, но всё же... Что же значит, что на ноль делить можно?
@@maligosssaron3416ничего не значит. Автор просто для красного словца сказал так
@@maligosssaron3416делить на ноль можно. А вот поделить нельзя. Т.е. деля на ноль вы получаете бесконечный процесс деления. 1÷0=÷
@@maligosssaron3416в пределах не ноль, а бесконечно малое
@@user-no-no-no, разумно
Спасибо, Виталий! ❤
Короче, математики умудрились вычислить один компонент многомерной вселенной, который лишь едва засветился в нашем скудном трёхмерном, и вот уже 100 лет развитие происходит по экспоненте. Представить сложно, как много там ещё тайн
Да нет. Как раз из плоскости математики вышли в нашу трёхмерную.
Виталий, отличное видео! Интересно и захватывающе. Но хотелось бы увидеть больше конкретных применений комплексных чисел. А не так, что типа умные дяди такие числа используют, значит они нужны.
15:26 ничего не чувствую. Просто короткая формула. К стати, она не совсем верная, надо оговорить что значит возвести число в комплексную степень.
Если делать это трушным образом, то она окажется многозначной!
Экспонента однозначная
@@dmitryramonov8902 а вознесение числа в комплексную степень - нет
Математика - это чистая красота! Без всяких примесей и субъективизма! Жаль, что это стало понятно, когда "стукнуло" 70. Но всё равно, приятно! А может быть есть ещё какая-нибудь система чисел, которая шире комплексной?
гиперкомплексные! кватернионы, октанионы, седионы,..
26:40 буквально корнями(√)
Супер 👍. Особо понравилась история открытия. И графический вид действий с ними. Спасибо.
20:00 а есть типы операций на которых уже комплексные не замкнуты?
Сравнение
сравнение не считается, нужно просто расширить правило сравнения для комплексных. сразу напрашивается сравнение по модулю (только ещё придумать, что с углом делать), но это всё-таки не корректно, это как сравнивать 2 и -2, 2 всё же большо, хоть и равны по модулю. Скорее сравнивать по мнимой прямой, а точнее и по мнимой, и по вещественной (т.е. такое "комплексное" сравнение). Тогда для любых чисел (не только комплексных) можно точно определить, какое число больше, а какое меньше
Нет, но зато возникает противоположная проблема: некоторые операции имеют _слишком много_ ответов. То есть появляются многозначные функции: квадратный корень имеет два равноправных значения, а, логарифм, например, бесконечное множество.
@@ТауронЭрувич это не операция, это отношение
вроде как нет, и это тип самое в них интересное
Теперь стало понятнее. Спасибо!
На нуль делить нельзя! (смысла нет на самом деле).
В школе лично меня и моих одноклассников учили писать при отрицательном дискриминанте, что "нет действительных корней", просто некоторые учителя лентяи как и их ученики и слово "действительных "опускали, чтоб быстрее писать или чернила экономить. Про кратные корни при D=0 тоже учили, правда тогда было непонятно зачем оно надо.
И что особенного в мнимой единице - по сравнению с нулем - она простая и понятная. Но нуль почему то все воспринимают просто, а мнимую единицу в штыки. Может дело в том, что нуль нам показывают рано и мы к нему привыкаем, а мнимую единицу только некоторым - от того ее и не любят?
0 воспринять просто. Это когда денег нет. Отрицательные числа тоже очевидны. Это когда и так не было денег а ты ещё и взял взаймы. Ну а что можно представить как нечто материальное число i? Это что то по самому определению математики не существующее. Ну нет числа, которое в результате умножения само на себя даст -1. " Комплексные числа нельзя сравнивать"... Ну тогда какие же они числа, если сравнивать их нельзя? Какой смысл имеют "числа", если они сами по себе и сравнивать их нельзя? А почему тогда "нельзя" делить на 0, если принимаем как что то реальное "число" i ? 1/0=щ. И всё, уже можно? Что то не так? Мне уже возражали, что в электрике число i применяется. Так вот, как инженер-электрик на пенсии говорю: Там всё это "за уши притянуто". Все расчёты с активным и реактивным сопротивлением не требуют таких извращений. Всё вполне рассчитывается без не существующих чисел. А вот деление на 0 - это когда электричество отключили. Уж извините, я чистый практик. 🙂
@@АлександрМаркин-б5ф а можно с помощью комплексных чисел сделать так, чтобы я больше не был банкам должен? 😂
@@АлександрМаркин-б5ф Комлексное число - буквально сложное число. Оно из двух параметров состоит. Если вы определите в какой либо практической задаче какое число для вас больше, а какое меньше, то можете сравнивать. Допустим можно сравнивать по модулю. Ну или по аргументу(если важен именно угол). Или в прямоугольной системе важна именно реальная часть - сравнивайте по ней. Ну а полностью числа сравнить конечно нельзя. Как сравнивать два листа бумаги на столе, один большой, другой маленький, но повернутый на угол? надо просто выбрать что важно - размер листа или угол поворота.
Придумали бредятину и под неё теорию сделали, просто нет отрицательных чисел в природе, их не существует и нехрена их вводить.
@@АлександрМаркин-б5ф Всё верно, в математике одни проблемы а на практике большинство их проблем вымысел. Даже элементарный пример 10*0.1=100 а 100 чего?
А просто 100. Хотя на самом деле 100 раз по 0.1 и по сути знак равенства справедлив только ести дополнить что 100 это количество делителей.
Спасибо, сложили мои обрывочные знания в одну комплексную плокость 😅
Кардан...Ферраре.....Так макаронники и собрали суперкар.....
Тарталья не перебрался в Мексику, чтобы изобрести вкусную лепешку тортилью?
Помню, в институте считал систему из трех уравнений с комплексными переменными на обычном, не инженерном калькуляторе. Потратил целый день, к вечеру болела голова, но справился. Правда после этого опыта сказал, ну нафиг такое счастье и дальше электрические цепи считал в Маткаде.😅
Так, мнимую единицу мы узнали, а что де будет дальше? Какие вычисления могут сделать полную революцию в фундаментальной математике?
Они сделали уже несколько сотен лет назад
@@TUGRPYJI9I-888 Ну, есть сложные задачи. Для их решения очень часто вводят новые "объекты". Например, поток Риччи, или какие-нибудь l-адические когомологии. Примеров много, перечислять их не имеет смысла.
Математика это как бусы. Каждая революция просто становится новым разделом, например, в XVII веке люди так увлеклись азартными играми, что придумали совершенно точную науку " Теория вероятности" И теперь мы, манипуляторы, спокойно вычисляем заранее что купит клиент ещё до того, как построили магазин.
Революция? Громко сказано! Математики, уже давно сталкиваются с проблемами, которые нельзя решить без условий, и это нормально. Что они делают? Правильно, они подгоняют под ответ, как рньше это делали школьники: идут от обратного, сочиняя по пути, новые условия.... Читеры одним словом😛
2:14 "на ноль делить нельзя, хотя на самом деле можно" что имеется ввиду? Нужна пояснительная бригада, как можно делить на ноль на самом деле?
10:05 опечатка в формуле Кардано
10:34 опечатка в формуле Кардано
26:57 опечатка в формуле Кардано
ну конечно делить можно, кто тебе запрещает? только смысла в этом нет, т.к. ответ не определён. что ты будешь делать с таким ответом?
но если хочешь разделить хоть с каким-то смыслом, то тебе дорога в расширенные действительные числа, а конкретно в - проективно расширенную числовую прямую. там деление на ноль равно бесконечности.
@@SayXaNow ну в том то и дело, что ответ не определен, поэтому и нельзя. Смысла в этом правда мало, как и в первой половине вашего комментариия.
@@SegantChe читаете между строк? делить можно, но могут возникнуть проблемы при выборе неверного поля чисел. Смыла нет при делении в действительных числах, там деление на ноль не определено.
На проективно расширенной числовой прямой, такая операция определена и делить можно. Что непонятного?
Не видите аналогии из видео, что для действительных чисел чётных корней из отрицательных чисел не бывает, а оказывается, что бывает для другого множества чисел. Не бывает в действительных числах, но бывает в комплексных.
PS более того даже в действительных числах бывают ситуации, когда возникает деление на ноль, но есть конкретный результат. Например график функции six(x)/х в точке х=0 приводит к делению на ноль, но значение в этой точке существует и это 1. Поэтому просто доопределяют ответ, что six(x)/х = 1 при х=0.
Можно перейти к другой аксиоматике. В кольцах в самом деле никакого деления на ноль нет, но если на колёса подсесть, что-то уже будет. Пусть и унарно, но будет
@@SayXaNow я не писал, что мне в вашем комментарии что-то не понятно. Читаете между строк?
В школе изучают поля R и Q. И там делить на ноль нельзя. Предел sinx/x при х стремящемуся к 0 существует, и можно доопределить значение этой функции в нуле, спасибо капитан очевидность. Изначальный комментарий был адресован автору видео. Мне интересно, что он имел ввиду.
где это можно делить на ноль? в пределах? так там делят на бесконечно малое, а не на ноль
Мне кажется, он заменил «бесконечно малое» на ноль, для краткости, поскольку видео не об этом
@@VladVeninTV ноль != бесконечно малое. если видео не об этом, то можно вообще этого не говорить
@@user-no-no-no Автор показал, что в школе о многом не говорят, из-за недостатка знаний у обучающихся. Акцент, в данном случае, был сделан на это. Я не говорю, что так можно, просто пытаюсь трактовать автора
бесконечно малое в пределе НОЛЬ и есть
@@nicholaseastman6915 в пределе может быть ноль, да. но когда мы делим, мы делим бесконечно малые, а не пределы, поэтому деления на ноль там нигде нет
Спасибо за ролик! Но не расрыта тема замкнутости множества комплексных чисел относительно операции деления на ноль =)
Ждём подробнее про волновую функцию и уравнение Шрёдингера. И как там осуществляется переход от мнимого к реальному
Переход не очень интересен.
Квадрат модуля волновой функции является плотностью вероятности нахождения электрона.
Модуль, как известно, всегда даёт вещественное число.
@@АлексейСапрыкин-в2к Я бы даже сказал, «переход» это глупость. Комплексные числа это не менее адекватная абстракция. Есть физические явления (используются в ядерном парамагнитном резонансе, для томографии, но не только), где важна не только амплитуда волновой функции, но и фаза. Кстати, «плотность вероятности» это только одна из интерпретаций, да и то применима только для наглядности, в воображаемом виде. Чтобы была настоящая вероятность, нужно говорить об эксперименте, который даёт измеримые результаты, со стохастичностью или без. «Плотность вероятности нахождения электрона» это вещь чисто воображаемая, потому что нет самого «нахождения», нет такого эксперимента. В отличие от, например, эксперимента с двумя щелями, где частица реально локализуется при взаимодействии с экраном.
@@Micro-Moo
Не буду спорить.
Я лишь простыми словами объяснил о "переходе от комплексных чисел к реальным".
Про плотность нахождения - лично мне интересна задача о нахождении электрона в атоме водорода. Потому я и написал именно об этом.
Очень интересно, спасибо за видео!
Математики придумали рэп батлы раньше чем черные вобще что то начали думать.
Очень круто!
24:46 Можно сравнивать модули комплексных чисел.
@@dsmithrus тогда различные числа окажутся равными (по модулю)
но это же не будет отношением полного порядка
Все равно что сказать, что все яблоки круглые, а значит одинаковые.
Есть, кстати, офигенный эксперимент, указывающий, что в комплексной фазе (угле) вся суть. Взять любое цифровое изображение, пропустить через Фурье преобразование, у образа обнулить фазы не меняя модулей, и восстановить прообраз. Получится шум. А если у образа уравнить модули (единице) не меняя фаз, то восстановив прообраз вполне узнается оригинал!
Это совершенно избыточное замечание. По-прежнему отношения порядка не заданы, суть именно в этом. А ваши модули это действительные числа. С точно таким же успехом можно сравнивать действительные части, мнимые части, и вообще, результаты вычисления любых функций одного комплексного переменного, возвращающие действительное число... Ну и что из этого?
@@user-no-no-no «тогда различные числа окажутся равными (по модулю)» Так и есть, то есть в любом случае отношения типа отношения порядка не определены - см. мой предыдущий комментарий.
Понравилось, но многовато опечаток. В первые моменты. Джон Бардин это который в очках
И да, у Бардина ещё одна нобелевка по физике