Борис Викторович, все еще интересна геометрия на серьезном уровне. Хотелось бы продолжения. Про все темы, которые вы упомянули в конце ролика. Спасибо вам, ваши видео очень помогают в это время.
Тема очень интересная, я не очень хорошо разбираюсь в геометрии и решаю задачи, но после таких роликов становится намного проще и понятнее + развивается пространственное мышление
как геодезист могу сказать что этот метод описания положения точек широко используется в моей профессии. по крайней мере, в классическом ее исполнении) если не принимать во внимание GPS/ГЛОНАСС методы измерений, то напрямую вычислить координаты точек на местности сразу в прямоугольных координатах инструментально-измерительными методами невозможно. Вместо этого, в "полевых условиях", зная координаты двух исходных точек (А и В), вычисляют дирекционный угол (полярное направление) прямой АВ (выполняют обратную геодезическую задачу), далее измеряют теодолитами или тахеометрами угол АВХ (Х - точка, координаты которой нужно определить) и длину (горизонтальное проложение) ВХ. По формуле вычисляют дирекционный угол прямой ВХ и с помощью прямой геодезической задачи получают координаты искомой точки Х. Таким образом, можно, опираясь на 2 точки с известными координатами, определить координаты любой точки на местности. Зная координату точки Х можно определить координату следующей точки Х1, опираясь на точки В и Х и так до бесконечности. Этот способ называется теодолитный ход. Естественно, существует много методов оценки точности измерений и исправления невязок (уравнивания) теодолитного хода, ведь в в высокоточных измерениях имеет значение каждый миллиметр даже при ходе в десятки километров. Также существует тахеометрическая съемка, которая используется для определения большого количества точек с одной "станции", то есть не переходя на точку Х1 и так далее, а с точки Х определить много других. это нужно например при съемке элементов ситуации местности (например углов здания, деревьев, опор ЛЭП, колодцев коммуникаций...) и составление по полученным координатам карты местности. Если копнуть еще немного дальше, то подобным методом измеряют и превышения между точками и "рисуют" на картах рельеф в виде изолиний (горизонталей). Но здесь есть куча своих тонкостей и нюансов. вкратце как-то так...
Мне больше нравится доказательство через радикальные оси. Ещё я слышал, что эта теорема через поляры решается. Хотелось бы ещё увидеть подобные видео с такими интересным задачами.
Надеюсь, когда нибудь вы найдете время рассказать, что такое кватернион, как вы это умеете, "на пальцах". В программировании приходится использовать, но хочется еще и понимать что это такое.
@@fhffhff понятно, что можно использовать углы Эйлера, но насколько я могу судить, для движка Unity (я там их использую) они все равно преобразуются в кватернионы. и понятно, что не обязательно это знать, чтобы вызвать соответствующие функции, но знать хочется, это полезно
Чрезвычайная сложность доказательства сводит на нет его красоту и оригинальность. Да и конечная цель теряется под сложностью дополнительных неочевидных утверждений и построений.
Теорема Брианшона двойственна к теореме Паскаля. Поэтому одновременно доказали и теорему Паскаля. И наоборот, зная доказательство теоремы Паскаля через двойственность как следствие получается доказательство теоремы Брианшона. Определение поляры точки относительно окружности. Рассмотрим окружность k(O, r), с центром в точке O и радиусом r. Пусть A* образ точки A после инверсии относительно k. Прямая a проходящая через точку A* и перпендикулярная к OA называется полярой A относительно k. Наоборот A называется полюсом прямой a относительно k. en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pole_and_polar&oldid=885541931 Утверждение 1. Пусть a и b поляры точек A и B относительно k. A∈b тогда и только тогда, когда B∈a Доказательство. По свойству инверсии, она сохраняет углы ∠OB*A=∠OA*B. A∈b тогда и только тогда, когда ∠OB*A прямой угол. Аналогично для B∈a. Доказательство двойственности. Будем точки обозначать заглавными буквами латинского алфавита, а их соответствующие поляры такими же маленькими буквами. Обозначим Mi, i=1,2,...,6 точки касания Ai_Ai+1 c k. Так как mi=Ai_Ai+1 мы имеем Mi∈ai, Mi∈ai+1, поэтому ai=Mi−1_Mi. Пусть bj=Aj_Aj+3, j=1,2,3. Тогда Bj=aj ⋂ aj+3=Mj-1_Mj ⋂ Mj+2_Mj+3. Мы должны доказать, что существует точка P, такая что P ∈ b1, b2, b3 или по двойственности, что есть такая прямая p, что B1, B2, B3 ∈ p. Другими словами мы должны доказать, что точки B1, B2, B3 лежат на одной прямой. Однако это сразу следует из теоремы Паскаля применённой к вписанному шестиугольнику M1M2M3M4M5M6. Доказательство теоремы Паскаля: www.geometry.ru/persons/blinkov/11/Paskal.pdf Обобщение теоремы такое, что если все точки попарных пересечений, кроме быть может одной, в 4n+2 угольнике лежат на одной прямой, то тогда вообще все точки пересечений лежат на одной прямой. Применительно к теореме Брианшона, если в 4n+2 угольнике почти все диагонали, кроме быть может одной, пересекаются в одной точке, тогда все диагонали пересекаются в одной точке.
Спасибо, Борис Викторович, как всегда очень красиво и понятно. Можете как нибудь рассказать про подобие треугольников, просто мне рассказывали в школе это просто как факт, и я не могу без симметрии и фактов использующих подобие как основу доказать, почему если у 2х треугольников углы равны, то отношение из соответствующих сторон постоянно.
Если "на пальцах", то если вы движением совместите их так, чтобы совпала вершина и две стороны одного легли на стороны другого, то третьи стороны будут параллельны. Отсюда легко вытянуть пропорциональность сторон.
@@craftsmanPE Фалесом вряд ли получится, можно теоремой о пропорциональных отрезках. Но теорему о пропорциональных отрезках доказывать сложно, нужен математический анализ. В общем, тут не всё так просто. Самое простое, что я придумал - это воспользоваться три раза леммой об отношении площадей треугольников с парой равных углов (это отношение равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы). Эта лемма доказывается без использования подобия и какой-либо тригонометрии. Но она использует понятие площади, которое тоже не так просто...
Здравствуйте, Борис! Недавно наткнулся на видео ua-cam.com/video/brU5yLm9DZM/v-deo.html Не беря физическую суть того вопроса, там имеется очень красивая геометрическая интерпритация. Напрашивается задачка по геометрии на построение вида: "Дан острый угол, в него влетает луч света, отражающийся от стенок угла так, что угол падения равен углу отражения. Сколько раз луч отразится от стенок, прежде чем вылетит из угла?" Решение в своей основе элементарное. Всё что нужно знать, это то, что вертикальные углы равны. Остальные углы равны по условию или в силу построения. Но понять, что именно нужно сделать, чтобы не пытаться строить сам ход луча, где погрешность на построении сделает невозможным получение правильного ответа... Хотя, может это и "баян", но я не помню, чтобы в школе подобное было. Что Вы об этом думаете?
Борис Викторович, помогите разобраться с арифметическими и алгебраическими корнями, не могу понять когда какой корень надо использовать, а тот факт, что за 11 лет учёбы я ни разу не слышал об разделении корня на два разных, сносит мне крышу
Здравствуйте, Борис Викторович. Я не могу решить одну задачу. Смогла только разложить cos^2(α) по формуле и всё. Можете направить на дальнейшее решение этой задачи: доказать, что cos^2(α)+cos^2(β)+cos^2(γ)+2cos(α)cos(β)cos(γ)=1
Только для шестиугольника. Это легко понять. Возьмите и "отрежьте" две противоположные вершины. Это убьет одну диагональ, и породит новые две. Так как это можно сделать как угодно, то почти очевидно, что эти новые диагонали не обязаны проходить через старую точку пересечения.
Оставьте свою электронную почту или ссылку на профиль в любой соцсети. Или можно прямо здесь указать: - ближайшее к вам отделение boxberry: boxberry.ru/find_an_office/ - полное ФИО, как в паспорте
Лайк! Однозначно! Напомнили мне молодость на физмате. Геометрия - не такой интересный предмет, как кажется, а еще интересней!
Борис Викторович, все еще интересна геометрия на серьезном уровне. Хотелось бы продолжения. Про все темы, которые вы упомянули в конце ролика.
Спасибо вам, ваши видео очень помогают в это время.
Геометрия - не такой интересный предмет, как кажется, а еще интересней!
Очень сложно мне было следить за ходом доказательства, но со второго раза смог и оценил красоту решения!
Тема очень интересная, я не очень хорошо разбираюсь в геометрии и решаю задачи, но после таких роликов становится намного проще и понятнее + развивается пространственное мышление
Борис Викторович, а как насчёт записать видео по полярным координатам, и где их можно использовать?
как геодезист могу сказать что этот метод описания положения точек широко используется в моей профессии. по крайней мере, в классическом ее исполнении)
если не принимать во внимание GPS/ГЛОНАСС методы измерений, то напрямую вычислить координаты точек на местности сразу в прямоугольных координатах инструментально-измерительными методами невозможно. Вместо этого, в "полевых условиях", зная координаты двух исходных точек (А и В), вычисляют дирекционный угол (полярное направление) прямой АВ (выполняют обратную геодезическую задачу), далее измеряют теодолитами или тахеометрами угол АВХ (Х - точка, координаты которой нужно определить) и длину (горизонтальное проложение) ВХ. По формуле вычисляют дирекционный угол прямой ВХ и с помощью прямой геодезической задачи получают координаты искомой точки Х. Таким образом, можно, опираясь на 2 точки с известными координатами, определить координаты любой точки на местности. Зная координату точки Х можно определить координату следующей точки Х1, опираясь на точки В и Х и так до бесконечности. Этот способ называется теодолитный ход. Естественно, существует много методов оценки точности измерений и исправления невязок (уравнивания) теодолитного хода, ведь в в высокоточных измерениях имеет значение каждый миллиметр даже при ходе в десятки километров. Также существует тахеометрическая съемка, которая используется для определения большого количества точек с одной "станции", то есть не переходя на точку Х1 и так далее, а с точки Х определить много других. это нужно например при съемке элементов ситуации местности (например углов здания, деревьев, опор ЛЭП, колодцев коммуникаций...) и составление по полученным координатам карты местности.
Если копнуть еще немного дальше, то подобным методом измеряют и превышения между точками и "рисуют" на картах рельеф в виде изолиний (горизонталей). Но здесь есть куча своих тонкостей и нюансов. вкратце как-то так...
@@zubenko1592 вааау😍
@@zubenko1592 Приветствую, Коллега! А меня в данный момент интересуют методы измерений превышений GPS/ГЛОНАСС.
"опять он решил неправильно" - аахахаха улыбнуло, опять люди лезут на терминатора с красным глазом.
Оооооооочень интересно . Нужно продолжать
Крайне интересно, продолжайте
Ставлю лайк стоя👍👏
Мне больше нравится доказательство через радикальные оси. Ещё я слышал, что эта теорема через поляры решается. Хотелось бы ещё увидеть подобные видео с такими интересным задачами.
Да, сложная геометрия очень интересна, хотелось бы её побольше!!)
Геометрия - не такой интересный предмет, как кажется, а еще интересней!
Нужно продолжать!!!
Спасибо вам за столь интересный ролик!
Очень интересно
Очень интересно! Продолжайте, пожалуйста👍
Эта теорема верна и для эллипса.
Это великолепно!!
Спасибо, здорово!
+1 за геометрию
Продолжайте конечно
Надеюсь, когда нибудь вы найдете время рассказать, что такое кватернион, как вы это умеете, "на пальцах". В программировании приходится использовать, но хочется еще и понимать что это такое.
Через углы Эйлера понятнее
@@fhffhff понятно, что можно использовать углы Эйлера, но насколько я могу судить, для движка Unity (я там их использую) они все равно преобразуются в кватернионы. и понятно, что не обязательно это знать, чтобы вызвать соответствующие функции, но знать хочется, это полезно
было не просто честно говоря )) но вроде понял
Видео топ, спасибо. Но лично мне не хватило рекламы.
Рекламы чего? )
@@trushinbv Да это шутка. Просто показалось, что было слишком много рекламных роликов в течение видео. Около 8. Но это мелочи)
@@СтасПетуховский
хм, это странно
ютуб перестарался )
Чрезвычайная сложность доказательства сводит на нет его красоту и оригинальность. Да и конечная цель теряется под сложностью дополнительных неочевидных утверждений и построений.
Теорема Брианшона двойственна к теореме Паскаля. Поэтому одновременно доказали и теорему Паскаля. И наоборот, зная доказательство теоремы Паскаля через двойственность как следствие получается доказательство теоремы Брианшона.
Определение поляры точки относительно окружности. Рассмотрим окружность k(O, r), с центром в точке O и радиусом r. Пусть A* образ точки A после инверсии относительно k. Прямая a проходящая через точку A* и перпендикулярная к OA называется полярой A относительно k. Наоборот A называется полюсом прямой a относительно k.
en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pole_and_polar&oldid=885541931
Утверждение 1. Пусть a и b поляры точек A и B относительно k. A∈b тогда и только тогда, когда B∈a
Доказательство. По свойству инверсии, она сохраняет углы ∠OB*A=∠OA*B. A∈b тогда и только тогда, когда ∠OB*A прямой угол. Аналогично для B∈a.
Доказательство двойственности. Будем точки обозначать заглавными буквами латинского алфавита, а их соответствующие поляры такими же маленькими буквами. Обозначим Mi, i=1,2,...,6 точки касания Ai_Ai+1 c k. Так как mi=Ai_Ai+1 мы имеем Mi∈ai, Mi∈ai+1, поэтому ai=Mi−1_Mi.
Пусть bj=Aj_Aj+3, j=1,2,3. Тогда Bj=aj ⋂ aj+3=Mj-1_Mj ⋂ Mj+2_Mj+3.
Мы должны доказать, что существует точка P, такая что P ∈ b1, b2, b3 или по двойственности, что есть такая прямая p, что B1, B2, B3 ∈ p. Другими словами мы должны доказать, что точки B1, B2, B3 лежат на одной прямой. Однако это сразу следует из теоремы Паскаля применённой к вписанному шестиугольнику M1M2M3M4M5M6.
Доказательство теоремы Паскаля: www.geometry.ru/persons/blinkov/11/Paskal.pdf
Обобщение теоремы такое, что если все точки попарных пересечений, кроме быть может одной, в 4n+2 угольнике лежат на одной прямой, то тогда вообще все точки пересечений лежат на одной прямой.
Применительно к теореме Брианшона, если в 4n+2 угольнике почти все диагонали, кроме быть может одной, пересекаются в одной точке, тогда все диагонали пересекаются в одной точке.
Нарисовал окружность как Dog!
Спасибо, Борис Викторович, как всегда очень красиво и понятно. Можете как нибудь рассказать про подобие треугольников, просто мне рассказывали в школе это просто как факт, и я не могу без симметрии и фактов использующих подобие как основу доказать, почему если у 2х треугольников углы равны, то отношение из соответствующих сторон постоянно.
Если "на пальцах", то если вы движением совместите их так, чтобы совпала вершина и две стороны одного легли на стороны другого, то третьи стороны будут параллельны. Отсюда легко вытянуть пропорциональность сторон.
@@trushinbv спасибо, после попробую доказать что эта пропорциональность постоянна Фалесом
@@craftsmanPE Фалесом вряд ли получится, можно теоремой о пропорциональных отрезках. Но теорему о пропорциональных отрезках доказывать сложно, нужен математический анализ. В общем, тут не всё так просто. Самое простое, что я придумал - это воспользоваться три раза леммой об отношении площадей треугольников с парой равных углов (это отношение равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы). Эта лемма доказывается без использования подобия и какой-либо тригонометрии. Но она использует понятие площади, которое тоже не так просто...
@@AT_geometr не нужно матанализа, почитайте учебник волчкевича вроде, за 8 класс, там есть доказательство без матана
Офтоп. Борис Викторович, опубликуйте пожалуйста презентации с курса по подготовке к Физтеху. Хотя бы в чат, в вк
Да, сделаю
А что за чат? Туда можно?))
Здравствуйте, Борис!
Недавно наткнулся на видео ua-cam.com/video/brU5yLm9DZM/v-deo.html
Не беря физическую суть того вопроса, там имеется очень красивая геометрическая интерпритация.
Напрашивается задачка по геометрии на построение вида: "Дан острый угол, в него влетает луч света, отражающийся от стенок угла так, что угол падения равен углу отражения. Сколько раз луч отразится от стенок, прежде чем вылетит из угла?"
Решение в своей основе элементарное. Всё что нужно знать, это то, что вертикальные углы равны. Остальные углы равны по условию или в силу построения. Но понять, что именно нужно сделать, чтобы не пытаться строить сам ход луча, где погрешность на построении сделает невозможным получение правильного ответа...
Хотя, может это и "баян", но я не помню, чтобы в школе подобное было.
Что Вы об этом думаете?
Задача: обнаружить сумму первых ста натуральных значений x, при каждом из которых x² + 1 есть число простое.
Последовательность будет начинаться 1, 2, 4, 6, 10... Задача больше для программистов, особого интереса она не представляет.
Круто! Но как вообще додуматся до этого доказательства? Кошмар какой-то.
Я думаю, что его придумали более чем через 100 лет после того, как Брианшон установил этот факт.
Красивые доказательства не так легко придумать )
х³+3ху+у³-1|х+у
Х³+х²у Х²-ху+у(3-у)
-х²у+3ху
-х²у-ху²
Ху(3-у)+у³-1
Ху(3-у)+у²(3-у)
у³-1+у³-3у=(у+1)(2у²-2у-1), у=1, у=(2±√(4-4*2(-1)))/4=0,5±√3/2 х=-1, х=-0,5-+0,5√3, х=(у±√(у²-4у(3-у)))/2=у/2±0,5√(5у²-12у),ує(-∞;0],[2,4;+∞) х=0/,х=0,5(0,5-0,5√3)±0,5√(5(0,25-0,5√3+0,25*3)-12(0,5-0,5√3))=0,25-0,25√3±0,5√(-1+3,5√3) 12,25*3-1=35,75
Борис Викторович, помогите разобраться с арифметическими и алгебраическими корнями, не могу понять когда какой корень надо использовать, а тот факт, что за 11 лет учёбы я ни разу не слышал об разделении корня на два разных, сносит мне крышу
Здравствуйте, Борис Викторович. Я не могу решить одну задачу. Смогла только разложить cos^2(α) по формуле и всё. Можете направить на дальнейшее решение этой задачи: доказать, что cos^2(α)+cos^2(β)+cos^2(γ)+2cos(α)cos(β)cos(γ)=1
Очень простое "доказательство", пусть α=β=γ=0, тогда 1+1+1+2=5≠1
Это углы в треугольнике α+β+γ=180
Ждем продолжение матана
Будет стрим на 60 тысяч подписчиков?
Будет )
можете нагонять друзей
@@trushinbv Хахахах)
Если классное видео про плоскости и Панчина
оно родненькое
Гомотетия будет?
Будет
а гомотопия?
А этот факт верен только для шестиугольника? Или для любого четного многоугольника, в который можно вписать окружность?
Только для шестиугольника. Это легко понять. Возьмите и "отрежьте" две противоположные вершины. Это убьет одну диагональ, и породит новые две. Так как это можно сделать как угодно, то почти очевидно, что эти новые диагонали не обязаны проходить через старую точку пересечения.
@@trushinbv ,Спасибо
Там могут быть и самопересекающиеся шестиугольники, а их шестиогульник пересечения - описанным. Отсюда и случай параллельности всех трёх диагоналей
Борис Викторович, как с вами связаться? Я второй счастливчик)
Оставьте свою электронную почту или ссылку на профиль в любой соцсети.
Или можно прямо здесь указать:
- ближайшее к вам отделение boxberry: boxberry.ru/find_an_office/
- полное ФИО, как в паспорте
Там же вроде не только окружность, а любое сечение конуса
Да-да. Это простое следствие доказанного факта, если понимать, что такое проективные преобразования
Отправил вам заявку ВКонтакте, Борис Викторович.
vk.com/zhenya1729
А там разве не 3 пары параллельных прямых? Как мы их связали между собой? Почему они все друг другу параллельны?
побольше "матана". Не очень люблю геометрию. Но всё равно спасибо за Ваш трудъ
Этот факт можно на ЕГЭ использовать?
Нет, но в ЕГЭ он вам точно не понадобится )
.
Можно этот факт использовать без доказательства?
Где? )