Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной
Вставка
- Опубліковано 5 тра 2018
- Борис Трушин доказывает теоремы синусов и косинусов.
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике: foxford.ru/courses/596/landin...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике: foxford.ru/courses/599/landin...
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике: foxford.ru/courses/603/landin...
В начале подумала,что у меня крыша поехала.
ХАХААХАХХААХ
Зхахаах
Хахахаххаххаххха
#TrushinStyle
Спасибо этой жизни за то, что есть такие люди, как Борис Трушин!
Первое правило геометрии: все теоремы - это теорема Пифагора :D
я в 9 классе не знал ни одну теорему по геометрии кроме теоремы пифагора и решал на контрольные на 4-5 ))
@@kekel107 в 11 классе почти ничего не поменяется. чтобы решать 14 номер еще т. о 3-х перпендикулярах надо знать и всё.
теорема пифагора и подобие треугольников)
ха ха
@@numaliku3565 Пифагор велик но у Эйлера тоже есть теоремы
Борис Викторович, спасибо за невероятные видео! Благодаря Вам я полюбила математику!
Очередное шикарное видео, спасибо
Совсем недавно заинтересовалась математикой, и Ваши уроки для меня - пушка. Такого адекватного, без лишних деталей, понятного объяснения ещё поискать)
Вы молодец, что нам помогаете
Красссавчик Борис! Толково, чётко и доступно, ни одного лишнего слова!
Вы большой молодец,очень нравится смотреть ваши видео,интересно и познавательно!
Спасибо большое за уроки!!!
Полночь, полнолуние, я смотрю канал посвящённый матану.
Начало супер, все понятно
Спасибо тебе, все разъяснил бомбезно!
Борис, вы лучший
дай бог вам здоровья
Спасибо большое, за труд, очень люблю эвклидовую геометрию, тригононометрию, фрактальную геометрию ( прочитал труд Манделброта на одном дыхании), в школе был первым когда была геометрия, но алгебра увы и ах...
Хотя сам юрист, с большой любовью к философии, особенно античной, в частности Гераклит.
Но за геометрию большой, жирный лайк.
С уважением Денис.
Спасибо за видео
Хотелось бы теорему о трёх перпендикулярах рассмотреть.
Шикардос))
Суббота 7:48. смотрю ваше видео, все понятно, даже утром))
спасибо огромное
Спасибо!
Согласно традиции, рекомендуется обычно за угол альфа брать противолежащий стороне "а". Бетта - "б" и т.п. СПС
Класс! Пожалуйста, расскажите почему ось ctg параллельна оси cos, не могу сообразить
вы лучший
спасибо!
Просто БОГ
Можете так же рассказать про тригонометрические формулы.
Это уже есть: ua-cam.com/video/oDBLJA-RDc8/v-deo.html
Борис Трушин спасибо, как-то проглядел.
супер
Борис Викторович, можете сделать видео про элементы треугольника?
Например, как вычислить длину биссектрисы, высоты и т.п.
Ждите, на этой неделе будет )
Спасибо )
@@trushinbv Борис Викторович, добрый день! Очень хочется, чтобы вы сделали видео, в котором разобрали бы довольно редкие факты про окружность и доказали бы их. Например, угол между касательной и секущей, касательной и хордой. Разобрали бы факт, который говорит, что квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть и прочие не самые часто встречающиеся вещи, но довольно важные для общего понимания геометрии окружности и всей геометрии в целом. Уверен, не только я буду Вам очень благодарен.
clgiroux 28 мне кажется, все это есть )
@@trushinbv некоторые факты есть, но все разбросано по разным видео(((
Блин, я испугался
Борис Викторович, как вы насчёт того , чтобы снять видео про бином Ньютона? Мне например интересно, откуда в формуле взялось число сочетаний
Спасибо, приму к сведению
оу ее всё понятно спс
Хотелось бы диофантовы уравнения и доказательство что интеграл это площадь фигуры под графиком, спасибо заранее
Я в 11 классе) до егэ меньше месяца, что-то читать честно говоря лень, а вот посмотреть видосик 20-30 минут можно
Fanatik Allods на ЕГЭ есть диофантовые уравнения? 0_о
19 задание (в основном пункт "в")
NSJР оо, ясно)
@@ahady6327 о Боже,как же я тебе завидую,ты уже на 3 курсе
А какое видео про окружность?
Есть телеграмм канал
класс
Я чуть со стула не упал, когда сам вывел теорему косинус ;D .
Не думал что так просто будет, хотя частенько пользуюсь ей, но никогда не выводил.
Помню времена, когда нас пугали мол ей только в крайнем случае пользоваться , ведь это тайная техника высшей математики оляля(преувеличил конечно ;) )
Спасибо за видео.
👍
Мне вот интересно, откуда взялась формула обьемa шара 4/3ПR^3?
через интеграл можно
Объем шара - тройной или объемный интеграл. Тут снова идет разбиение шара на мелкие кусочки (их число бесконечно большое, а иъ объем бесконечно мал). Затем суммируется все.
Вопрос по 19 заданию. Обычно в пункте в) просят найти наименьшее значение чего-либо. Наименьшее значение ассоциируется с производной. Можно ли её как-нибудь применить для решения?
В зависимости от условия задачи
Андрей К т.е. теоретически возможно её можно использовать?
Если найдешь функциональную зависимость... Уверен, что биекцию ты вряд ли отыщищь... Ну, а если найдешь, то можно. Однако нужно прибегнуть к неравенствам (Среднее Арифметическое, дедуцирующиеся из Йенсена). Выводятся они легко.
Андрей Подойницы всегда можно как-то замудрить и впендюрить все что угодно
sergei ivanov звучит интересно, узнаю об этом больше, спасибо)
рекурсивная математика
теорема Пифагора - это частный случай теоремы косинусов, получается Вы теоремы косинусов доказываете с помощью теоремы косинусов )
Нарееееезочка)
Здравствуйте, помимо теоремы синусов ,есть теоремы тангенсов и котангенсов, вы не могли бы о них рассказать ?
типичные следствия из теоремы синусов. Более того, даже формулы Мольвейде суть следствие теоремы синусов. Действительно, Если имеет место теорема синусов
a/sin A = b/sin B = c/sin C,
то пользуясь свойствами пропорции:
(a + b)/(sin A + sin B) = c/sin C,
отсюда
(a + b)/c = (sin A + sin B)/sin C.
Осталось преобразовать правую часть. Так как
sin A + sin B = 2sin(A/2 + B/2) * cos(A/2 - B/2), но A + B + C = 180, поэтому
A/2 + B/2 = 90 - C/2, а sin(A/2 + B/2) = sin(90 - C/2) = cos C/2. Наконец, пользуясь тем, что sin C = 2sin C/2 cos C/2, приходим к
(a + b)/c = cos(A/2 - B/2)/sin C/2.
Аналогично (если не складывать, а вычитать):
(a - b)/c = sin(A/2 - B/2)/cos C/2.
Ну, и раздели теперь первую формулу на вторую (а че нет-то):
(a + b)/(a - b) = cos(A/2 - B/2) cos C/2 / sin(A/2 - B/2) sin C/2
Слева все понятно, а вот справа не ясно че делать. Во-первых, нетрудно заметить, что справа у нас произведением котангенсов. Поэтому наше равенство будет:
(a + b)/(a - b) = cot(A/2 - B/2) cot C/2.
Теперь если внимательно глянуть на второй котангенс, то, ввиду того, что A + B + C = 180, откуда C/2 = 90 - A/2 - B/2, становится ясно, что он представляет собой тот же самый котангенс, но уже с суммой аргументов, а именно cot C/2 = 1/cot (A/2 + B/2). В самом деле:
cot C/2 = cot (90 - A/2 - B/2) = cot (90 - (A/2 + B/2)) =
= (cot 90 cot (A/2 + B/2) + 1)/(cot (A/2 + B/2) - cot 90).
Так как cot 90 = cos 90/sin 90 = 0/1 = 0, то cot C/2 = 1/cot(A/2 + B/2). Ну все далее вспоминаем, что tan x cot x = sin x/cos x * cos x /sin x = 1 и окончательно пишем трофей:
(a + b)/(a - b) = tan(A/2 + B/2)/tan(A/2 - B/2). Mis oligi tarvis tõestada.
Рисуй треугольник (любой, только не равнобедренный, равносторонний и прямоугольный - он должен быть произвольным, т. е. общего вида). Нас интересует радиус вписанной окружности - его и будем искать. Центр описанной окружности находится на пересечении биссектрис данного треугольника. Пусть основание (нижняя сторона) будет a, левая - b, а правая - c. Углы лежащие напротив этих сторон называем так: A, B и C. Опускаем перпендикуляры на стороны треугольника (это так, потому что у нас треугольник описан вокруг окружности, а это означает, что она касается ее, и потому его стороны - касательные, а радиус в точку касания будет перпендикулярен). Сразу понятно, что стороны делятся на какие-то отрезки. Например, основание легко представить в виде x + y, то есть a = x + y. Левая сторона аналогично делится на отрезка (причем первый - тот же x согласно свойству касательных), и поэтому b = x + z. Аналогично, c = y + z. Треугольник разбит, фактически, на много прямоугольных. Смотрим на нижние два
Ясно, что его гипотенузу обоих нам не найти. Мы знаем все углы, а биссектриса делит угол пополам. Вспоминаем, что тангенс - отношение противолежащего на прилежащий. Поэтому tan B/2 = R/y. Аналогично, можно рассмотреть левый нижний треугольник tan C/2 = R/x.Теперь смотрим на верхние треугольники (прямоугольные). Оттуда выводим tan A/2 = R/z. Везде мы имеем один и тот же радиус и кучу неизвестных. Следовательно, имеем дело с системой
R = z tan A/2 = x tan C/2 = y tan B/2. Теперь осталось заметить, что все наши x,y,z можно выразить через исходные a,b,c. Действительно, нужно решить систему a = x + y, b = x + z, c = y + z. Решаем ее: сложим все равенства:
a + b + c = x + y + x + z + y + z = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z), отсюда
(a + b + c)/2 = x + y + z
А теперь смотри:
(a + b + c)/2 - a = x + y + z - x - y = z,
(a + b + c)/2 - b = x + y + z - x - z = y,
(a + b + c)/2 - c = x + y + z - y - z = x.
Обозначая (a + b + c)/2 через букву p (полупериметр) получаем то, что радис вписанной окружности равен:
R = (p - a) tan A/2 = (p - c) tan C/2 = (p - b) tan B/2. Задача решена. Осталось добить ее тем, что тангенс - 1 делить на котангенс, да и сортировать все это по алфавиту.
Ну и на последок - что за странное свойство пропорции я использовал при выводе формул Мольвейде. Пусть у вас есть такая пропорция:
x/y = u/v = k.
То тогда из нее следует, что (x + u)/(y + v) = k. Действительно, та пропорция суть система: x/y = k, u/v = k. Из обоих уравнений: x = yk, u = vk. Теперь подставляем в равенство выше: (x + u)/(y + v) = (yk + vk)/(y + v)= k. Очевидно, что если у вас такая пропорция
x1/y1 = x2/y2 = x3/y3 = … = xn/yn = k,
то
k = (x1 + x2 + x3 + … + xn)/(y1 + y2 + y3 + … + yn).
Стойте, стойте, подождите я ещё завис на синусах а вы уже косинусы раскладываете... Туплю, вечером ещё раз пересмотрю раз 10ть.
Можно пожалуйста разобрать, откуда появилась теорема Пифагора ?
Да, скоро и про это будет )
появилась из подобия трех прямоугольных треугольников с одной общей высотой, вроде бы
Mulțumesc pentru explicații !
Я кое что не понял про теорему синусов : если то, что мы проделали с углом альфа, проделаем с другими углами, то у нас не получится то же самое
Как разобраться, почему в одних случаях корень чётной степени извлекается как модуль, в других "+","-", а в третьих только "+"?
корень из a^2 = |a|
в частности:
корень из 2^2 = 2
корень из (-2)^2 = 2
@@xz8928, опечатка )
исправил
Снимите видео о том как следует изучать математику?
Есть такое видео: ua-cam.com/video/_NNvp9S3nk8/v-deo.html
а есть ли разница a/Sin[A]=b/Sin[B]=c/Sin[C], или наоборот Sin[A]/a=Sin[B]/b=Sin[C]/c для запоминания, мне кажется это пропорции и вроде разницы не должно быть, все время вспоминаю формулу но путаю что на что делиться)
кеш есть разница) sinα/ Α = 2R, а A/sinα = 1/2R
@@lexgoalkeeper7906 он же говорит про обычную теорему, а не расширенную.
Я в начале посмотрел и психанул.
Почему в моем детстве не было ютуба и таких роликов?
Случайный вывод: Задача - найти высоту, а затем площадь треугольника, зная его стороны. Решение: Назовем наш треугольник таким образом: ABC. Обозначим |AB| = a, |AC| = b, |BC| = c. Опустим высоту h из вершины C на основание, а точку пересечения будет названа D. Положим |AD| = x, тогда |DB| = =a - x. Пользуясь теоремой Пифагора (легко вывести из задачи: найти диагональ квадрата), приходим к системе
h^2 + x^2 = b^2,
h^2 + (a - x)^2 = c^2.
Из системы: b^2 = c^2 - a^2 + 2ax, откуда x = (a^2 + b^2 - c^2)/2a. Следовательно,
h = sqrt(b^2 - x^2) = sqrt(b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2/4a^2) =
= sqrt((a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab))/2a =
= sqrt(((a + b)^2 - c^2)((a - b)^2 - c^2))/2a =
= sqrt((a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a - b -c))/2a.
Значит, S = ah/2 = 1/4 * sqrt((a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a - b -c)). Следствие из нашей задачи - теорема косинусов, в самом деле, если по определению косинуса мы имеем тождество cos BAC = x/b => x = b cos BAC. Что дает тождество
cos BAC = (a^2 + b^2 - c^2)/2ab => c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos BAC.
Эксперименты с геометрией, так сказать. Пока решал одну задачу - доказал теорему Менелая. Решал другую - Чевы...
Как ты умудрился доказать теоремы Менелая и Чевы на примере одного частного случая?
Это как доказать площадь прямоугольника через рисования квадратов, а затем площадь треугольника посредством того же метода. В реальности было так: Посмотрел теорему Менелая, использовал ее, увидел, что нечего не дало, прибегнул к подобию, доказал Менелая. Затем Чевы... Наконец, дорисовал треугольник до параллелограмма и добил задачу, - задачу можно найти на канале "математикс" в видео "10 идей для планиметрии".
Хорош...☠️
Было бы интересно узнать что такое дискриминант, зачем он нужен и что представляет)
Это уже есть: ua-cam.com/video/6wUcOhBCFlw/v-deo.html
спасибо, не увидел что-то
а я теорему косинусов доказывал через векторы и их скалярные произведения
Привет из 2022!
Привет из 2024
А можно ли теорему косинусов доказать без знаний из области тригонометрии?(про углы,дополняющие друг друга до 180 и осн.триг.тождество)
Через векторы можно. Допустим у нас есть треугольник ABC, построенный на векторах AB (основание), AC (левая сторона) и BC (правая). Очевидно, что BC = AC - AB (разность векторов). Найдем скалярное произведение вектора BC по отношению к самому себе, тогда имеем тождество
BC * BC = (AC - AB) * (AC - AB) = AC^2 - 2 * AB * AC + AB^2 =
= AC^2 - 2AB AC cos a + AB^2.
Поскольку квадрат вектора равен квадрату его длины, то переходя уже к длинам векторам, получаем BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2AB AC cos A.
Осталось пояснить формулу скалярного произведения. Здесь нужно расположить векторы так, чтобы один лежал на оси Ох, а другой был над ним (выше его). Угол между векторам - альфа. Проецируя оба вектора на ось Ох, получим, что один из них будет таким же (он лежит на оси Ох), а другой будет равен самому себе умноженному на косинуса угла между ним и Ох (угол между векторами в нашем случае). Следовательно:
ab = |a| |b| cos a.
Основное тождество - следствие из теоремы Пифагора. Если не знаешь основаное тригонометрическое тождество, то, зная Пифагора выведешь. Действительно, из тождества a^2 + b^2 = c^2 по разделению обеих частей на c^2 > 0 (сторона полоижетельна) получаем (a/c)^2 + (b/c)^2 = 1. В силу определений синуса и косинуса cos a = b/c и sin a = a/c приходим к этому тождеству (sin a)^2 + (cos a)^2 = 1. Насчет углов: тут нужно самому экспеременитировать. Задавать себе вопросы и искать ответы.
И еще совет: если с тригонометрией плохо, то попробуй осмыслить доказательство всего двух формул:
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b (сено кос косим сено)
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b.
Из этих формул выводятся все другие. Например: сложив две формулы с косинусом, получим равенство:
cos(a + b) + cos(a - b) =
= (cos a cos b - sin a sin b) + (cos a cos b + sin a sin b) =
= 2cos a cos b.
Отсюда: cos a cos b = (cos(a + b) + cos(a - b))/2. Или, полагая a + b = x,
a - b = y, получаем cos x + cos y = 2сos((x + y)/2)cos((x - y)/2).
sergei ivanov Спасибо!
c²=a²+b²-2abcosα??
1:55 я один офигел на этом моменте?
Каждый день рисует. От 6-12 раз
"2 минутки не жалко"- ДТМ В Узбекистане🌚🤐🤣😶😣😭🗿👀
Хотелось бы побольше геометрии, особенно чтобы пересекалось с вузовской (матфаковской), чтобы потом было проще.
А что такое матфаковская геометрия?
@@trushinbv Спасибо что ответили! Я еще не учусь на матфаке, но было бы неплохо если бы плейлист с геометрией был "мостом" к вузовской программе (например, той же дифференциальной геометрии).
У него на морде написано,что один из лучших...
Йота кошерно
А есть видео на тему, почему +/- умножить на модуль то же самое, что +/- и умножить на скобки? Т.е. +/-[ ] => +/-( )
И вообще эту тему с заменой (x-y)² на (y-x)² или [-x] на [x] и т.д. Почему так можно спокойно делать и при этом это не влияет на О.Д.З.?
То есть почему |-x| = |x|? Говорят, что это равенство оправдано четностью функцией, ибо, если x = 2, то |-2| = |2| = 2. Если воспользоваться определением модуля, то выходит, что если x >= 0, то данное равенство приобритает вид: x = -(-x) или x = x. Обратно если x < 0, то в таком случаем имеем -x = +(-x) или -x = -x. Концепция введения величины лежит в основе следующих двух утверждений: 1) порой нужно опустить знак и оценить выражение - модуль решает эту задачу, 2) модуль - функция расстояния для симметричных чисел. (Проверить!). Квадраты: тут все просто: (x - y)^2 = (-(y - x))^2 = (-1)^2 * (y - x)^2 = (y - x)^2 >= 0.
Все математики похожи на попов?
5_6_7_8_9синф математика дарсликлари беринг
тут без молитвы никак. один Бог помогает
@@lexgoalkeeper7906 , думаю, большинство математиков- атеисты
Дурень))) Тршин оч современно выглядит, никакого... нафталина))
Пожалуйста, объясните, почему сторона получается а×sin альфа (7:30)?
Синус альфа в этом случае высота/a. Если мы высота/a домножим на a, то получится высота
Блин, просто косинусы вообще не понимаю, а синусы изи, пишу матем на 70 баллов, а косинусы не понимаю 🤦
ну вообще не мудрено, что все из пифагора следует, ведь sin и cos придумали специально для прямоугольных треугольников аха
Так я не понял, теорема синусов. Если хорда на синус угла = 2R значит все 3 треугольника с прямыми углами? Когда b/sin alpha, c/sin alpha
Поскольку косинус прямого угла равен нулю, теорему Пифагора можно считать частным случаем теоремы косинусов.
Но, обычно, теорему косинусов доказывают через теорему Пифагора )
Все равно не понял , видно я безнадежен вроде неплохо знаю профиль , а вот геометрия не дается (
Рекомендую учебник "геометрия за 24 часа". Там приведены все основные(и не только) факты с доказательствами, начиная с того, что такое угол
начал смотреть видео в надежде понять теоремы благодаря упрощённому объяснению ,но в итоге запутался ещё больше.....
7:25 почему? Иногда вообще не понимаю вас.
Вы знаете, что такое синус и косинус?
@@trushinbv А, я понял. Прошу прощения. Не думал что это настолько просто. Я мыслил слишком прямолинейно.
для тупого треугольника мало что отличается...
Ничего не поняла 🫠
Абракадабра ка кая то!
саня булкин это ты???
Никогда не спорьте с Борей. Боря всегда прав.
Худший видос об теореме синусов, как можно столь простую тему сделать такой сложной, половину видео мне приходилось думать, а почему внезапно углы 180 градусов, а почему перпендикуляр внезапно это a * sinA, зашел на другое видео другого человека все сразу стало понятно, Не то что тут
А ну скинь видео этого человека. Уверен, проще рассказать не получится
@@dansheldon6955 по факту в этом видео все понятно, но только при условии просмотра предыдущих видео от него же , я когда писал это еще про тему ничего не знал, а видео для людей которые уже что-то понимают в тригонометрии и геометрии
Более тупое вступление, больше чем на 40 секунд ещё поискать нужно....
Спасибо!