Volumen PRISMA berechnen - Geometrie
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- Опубліковано 20 тра 2024
- Volumen berechnen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man das Volumen der Figur berechnen kann. Wir bestimmen das Volumen des Quaders und Prismas. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Geometrie
0:42 Volumen berechnen
4:23 Volumen Prisma
6:20 Bis zum nächsten Video :)
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🙂👍
Ich hätte zuerst die Fläche der Vorderseite berechnet und dann erst die Tiefe zum berechnen des Volumens verwendet
So finde ich es auch flotter. Keine Prismen und so...
Rechteck minus Dreieck, danach der Halbkreis dazu und in die Tiefe. Mit Blender ein Klacks.
@@fortunato1957 Du hättest also die gesamte Form als Prisma angesehen und es mit G*h berechnet? 😉
@@svenj0815 Nein, erst die Fläche der Vorderseite berechnen und dann mal Tiefe 3.
@@fortunato1957 Genau das ist doch die Berechnung von einem Prisma. ^^ Im Video hat sie viele kleinere Prismen und du nimmst ein Großes. ( Ich hätte auch erst die komplette Grundfläche und dann Mal Höhe gemacht)
Du nennst es nur nicht so aber trotzdem hast du es als Prisma berechnet. (2 parallele Flächen)
@@svenj0815 Du hast ja recht. Ein Prisma kann als Grundfläche ein beliebiges Polygon haben, notfalls auch eins mit unendlich vielen Eckpunkten. Ich finde es einfacher, die Grundfläche zuerst zu berechnen, als direkt mit Teil-Prismen loszulegen.
Daher mein Hinweis auf Blender. Die gezeigte Figur würde mit Blender kein Mensch anders konstruieren als von der fertigen Grundfläche ausgehend zu extrudieren, es sei denn, die einzelnen Elemente würden später noch benötigt.
Ich hätte auch alles erst einmal genau und mit Einheiten versehen berechnet und erst ganz am Schluss ein auf Wunsch gerundetes Ergebnis angegeben, immerhin steckt Pi da drin. Nix gegen Susanne, aber für den gezeigten Rechenweg hätte mir meine damalige Lehrerin Punkte abgezogen.
Interessanter Lösungsansatz. Einfacher finde ich jedoch die Fläche der dunkel-rosanen Fläche zu ermitteln und dann mit drei zu multiplizieren. Ist letztendlich der gleiche Weg, spart einem jedoch die Prismaberechnung und das Beherrschen der Prismaformeln.
Wie immer: Hervorragend gemacht.
Mein Ansatz ist dieser: Erst die komplette Frontfläche berechnen und dann mit der Tiefe multiplizieren.
Das funktioniert, weil die Figur als Ganzes ein Zylinder ist.
Das habe ich auch so gerechnet.
Cooler Ansatz! Wie immer führen viele Weg nach Rom.
Immer schön, wenn man längst vergessene Sachen 😅 nochmal neu lernen kann. Ich finde die Aufgabe sieht auf den ersten Blick schwerer aus, als sie letztlich ist. Tolles Video!
Hmm... irgendwie ist der Block V1 auch ein Prisma und somit das gersamte Teil. Deswegen hätte ich zu Anfang die Fläche des gesamten Prismas berechnet und das Ganze dann mit der Höhe 3 multipliziert.
Ist leichter gerechnet aber schwerer gedacht
@@philllll Das Ding merke ich mir mal.
Ich würde es praxisnaher finden, wenn man Abmessungen von Körpern mit Einheiten (z.B. cm, dm) darstellt, damit man das Rechnen mit Einheiten lernt. Das hat den Vorteil, dass Rechenfehler besser erkannt werden können und man würde sehen, dass man tatsächlich auf ein Volumen kommt und nicht nur auf eine einheitenlose Zahl, an der man nicht erkennen kann, ob es sich um eine Volumen- oder Flächenzahl handelt.
Das ist auch immer mein Reden. Aber es scheint bei Mathematikern üblich zu sein, dass Einheiten so gut wie nie mitgezogen werden. Sobald es dann an die Physike geht, wird das dann häufig mit übernommen und so kommt es, dass hier eine wichtige Kontrollinstanz fehlt, mit deren Hilfe überprüft werden kann, ob das Ergebnis inBezug auf die Zieleinheit korrekt ist.
@@ralfurban8165 Bei mir in der Schule hatte der Mathelehrer bemängelt, wenn ich mit Einheiten gerechnet hatte. Würde in der Mathematik nicht gemacht, nur in der Physik. Naja, schaden kann es nicht, aber vielleicht hatte er formal ja recht.
@@pinkeHelga Genau diese Mathelehrer sind die Ursache dafür, das die Physiklehrer alle gegen die Windmühlen der Verschlamperei der Einheiten kämpfen.
Das mitführen von Einheiten ist ein wichtiges Kontrollinstrument, besonders bei aufwendigeren Formelumstellungen, um prüfen zu können ob das Endergebnis die Erwartete Einheit besitzt.
Immer blöd wenn Äpfel rauskommen wenn nach Bananen gesucht wurde.
Die Einheit spielt da keine Rolle. Mathematiker machen sich das da einfach. Genauso wie beim Einheitskreis. Da ist die Einheit einfach "1" also r=1.
Wenn es dir leichter fällt dann denk dir doch deine eigenen Einheiten da hin. Egal ob Meter, Zentimeter, Kilometer, Lichtjahre oder Attoparsecs, an den Zahlen/Proportionen ändert sich doch nix!
Die Kuppel ist kein Prisma, sondern ein „liegender“ Halbzylinder.
Der ganze Körper ist ein Zylinder, der Halbkreiszylinder ist ein spezieller Zylinder. Ein Prisma ist ein spezieller Zylinder, dessen Grundfläche ein Polygon ist.
Deswegen funktioniert der Lösungsansatz, zuerst die komplette Grundfläche zu berechnen und diese erst ganz am Ende mit der "Seitenlänge" zu multiplizieren.
Aber als Susanne den Halbkreiszylinder als Prisma bezeichnet hat, habe ich auch komisch geguckt; denn ein Kreis ist zwar per Definition ein "Unendlicheck", aber trotzdem kein Polygon, denn ein solches hat nur endlich viele Ecken.
@@teejay7578 Ich mußte auch etwas stutzen und habe erst mal recherchiert, ob ich vielleicht die falsche Klassifizierung im Kopf habe.
Susanne geht relativ locker mit der mathematischen Sprache und willkürlich festgelegten Begrifflichkeiten um. Das ist gut und schlecht zugleich. Man merkt an der Art, wie sie Dinge erklärt, daß sie sich sehr an junge Schüler richtet, die Probleme mit den Grundlagen haben. Die genaue Ausdrucksweise kann solch eine Zielgruppe mitunter verwirren; ich denke, sie will einen vereinfachten Zugang vermitteln. Andererseits sind die Leute oft mit Lehrern konfrontiert, die es mit der Terminologie sehr genau nehmen. Da ist es ungünstig, wenn man sich falsche Ausdrücke aneignet.
Herzlichen Dank für diese Aufgabe 🙂🙏
Mein Lösungsvorschlag ▶
Zuerst das Volumen des rechteckigen Prismas berechnen und das Volumen des dreieckigen Prismas davon abziehen. Anschließend das Volumen der halben Zylinderform hinzufügen💡
l= 2+4+2
l= 8 [LE]
b= 3 [LE]
h= 3 [LE]
⇒
Volumen des rechteckigen Prisma, Vp
Vp= l*b*h
Vp= 8*3*3
Vp= 72 [VE]
Dreieckiger Prisma, Vdp
Vdp= Adp*h/2
Adp= 4*3
Adp= 12 [FE]
⇒
Vdp= 12*2/2
Vdp= 12 [VE]
V₁= Vp- Vdp
V₁= 72-12
V₁= 60 [VE]
Vzylinder, Vz
Vz= πr²*h/2
r= 2 [LE]
h= 3 [LE]
⇒
Vz= π*2²*3/2
Vz= 6π [VE]
V₂= V₁ + Vz
V₂= 60 + 6π
V₂= 6(10+π) [VE]
V₂= 78,85 [VE]
Tolle Aufgabe und vor allem wieder spannend in den Kommentaren zu lesen, welche anderen Wege es noch gibt. Mein erster Gedanke war tatsächlich der gleiche wie Susanne's Weg im Video mit drei Prismen. Leider habe ich einige Leichtsinnsfehler gemacht, die mir auch aufgrund mangelnder Konzentration in der Schule passiert sind 🙈. Danke liebe Susanne für deinen Kanal!
Vorderseite: Rechteck-Dreieck+Halbkreis
Rechteck=(2+4+2)*3=24
Dreieck=2*4/2=4
Halbkreis=2^2*π/2 also 2π
Ergibt 24-4+2π=20+2π
Das ganze mal 3:
60+6π
so etwa 78,85
Bevor ich deinen Kanal entdeckt habe, hätte ich sofort kapituliert und abgewunken. Jetzt schreckt es mich nicht mehr. Begriff „Prisma“ war mir gar nicht mehr geläufig, den habe ich jetzt auch wieder erinnert - trotzdem richtig gelöst.😊
Ich war mir nicht sicher ob 2 wirklich der Radius ist. Letztlich ist es auch nur eine optische Vermutung, oder? Die Kuppel könnte ja auch etwas weniger als die Hälfte eines Kreises sein. Dann wäre der Radius 2,1
(8*3-2*4/2+pi*2^2/2)*3=
Bis 4:36 bin ich voll bei dir. Aber dann sagst du, oben wäre ein Halbkreis. Das kann ich aber nirgendwo heraus schließen, oder hab ich was übersehen? Nirgendwo ist erkennbar, dass der Durchmesser von V2 mit den 4 cm unten aus dem Dreiecksprisma überein stimmt. Hilf mir....
Wie immer super erklärt. Ich mag deine Videos.
Aber eine Frage hätte ich noch. Darf man eigentlich überhaupt davon ausgehen, dass es sich bei der Grundfläche des oberen Prismas um einen Halbkreis handelt ohne dies zu beweisen?
Wurde in der Aufgabenstellung leider nicht angegeben. Gehen wir mal davon aus, es wäre angegeben.
Ein Halbkreiszylinder ist kein Prisma, sondern umgekehrt. Ein Prisma ist ein spezieller Zylinder, dessen Grundfläche ein Polygon ist. Der bekannteste Spezialfall ist ein Kreiszylinder.
Wie würdest du das denn beweisen wollen? Wenn so eine Skizze das Maß aller Dinge ist, darfst du alles, was wie ein Kreis aussieht, auch als Kreis betrachten.
@pinkeHelga Ein Kreis ist zwar per Definition ein "Unendlicheck", aber trotzdem würde ich ihn im mathematischen Alltag nicht als Polygon bezeichnen ... und entsprechend einen Zylinder nicht als Prisma ... wenn ich so darüber nachdenke, ist die ganze Figur ein einziger Zylinder ... weshalb auch der Lösungsansatz, zuerst die komplette Grundfläche zu berechnen und sie erst ganz am Schluss mit der "Seitenlänge" zu multiplizieren.
Du siehst die „Höhe“ des runden Dings (=2) und die „Länge“ (=4), also ist 2=r und 4=d.
Hallo Susanne, guten Morgen,
erst mal Dir und allen anderen hier ein schönes Wochenende. Lass es Dir gut gehen.
Hier mein Lösungsvorschlag:
Zunächst berechne ich die Fläche der dunkelrot dargestellten Vorderansicht Av.
Die Av setzt sich zusammen aus einem Rechteck Ar mit aufgesetztem Halbkreis Ah abzüglich einer herausgeschnittenen Dreiecksfläche Ad
Av = Ar + Ah - Ad
Ar = (2 + 4 + 2) * 3 = 8 * 3 = 24 Flächeneinheiten FE
Ah = 1/2 * pi * 4 = 2 * pi FE
Ad = 1/2 * 4 * 2 = 4 FE
Av = (24 + 4 + 2 * pi) FE = 28 + 2 *pi FE FALSCH: Ad (4 FE) muss abgezogen werden !
Danke an Tejay 7578 für den Hinweis
EDIT:
Av = (24 + -4 + 2 * pi) FE = 20 + 2 *pi FE
Die "Tiefe" der Figur ist mit 3 angegeben (Maß rechts unten nach schräg oben)
Das Volumen ist nun Av * diese "Tiefe", also Av * 3 = (20 + 2 * pi) * 3 = 60 + 6 * pi Volumeneinheiten (VE)
Wenn man pi jetzt auf 3,14 rundet, sind das rund 60 + 18,85 = 78,85 VE
LG aus dem Schwabenland.
Leider verloren; wenn du "- Ad" schreibst, solltest du nicht "+ Ad" rechnen. 😉
@@teejay7578 stimmt
Danke für den Hinweis
Dir ein schönes Wochenende und LG aus dem Schwabenland
Für mich hat ein Prisma immer eine Dreiecksfläche als Grundfläche. Der Körper mit dem Halbkreis ist ein halber Zylinder!
Es gibt auch Prismen mit einer viereckigen Grundfläche, oder 5 eckigen, 6eckigen usw., aber es ist ein n-Eck.
Super🎉
Halbieren der Frontfläche. Rechteckvollfläche A = 3m x 4 m = 12 m² Abzüglich einer Dreiecksfläche AD = 1/2 x 2 m x 2m = 2 m² ergibt ein Fläche von 10 m², also gesamt 20 m². Hinzu kommt eine Halbkreisfläche 1/2πr² = 1/2 x π x (2 m)² = 6,2832 m², gesamt also 26,2832 m² und einem Volumen von gerundet 78,85 m³
Wo steht, dass es Meter seien?
So geht der 3D-Konstrukteur dran. Das ist der einfachste Weg.
@@teejay7578 Das spielt absolut keine Rolle. Fakt ist, dass es sich um Längeneinheiten handeln muss. Wie du diese Längeneeinheiten jetzt wie benennst, ist belanglos.
Fakt ist aber auch, dass Mathematiker wohl grundsätzlich und leider das Problem haben, Dimensionen zu unterschlagen.
Herrlich, im Kopf bis auf die Nachkommastellen in unter 30sec. Dafür struggle ich bei anderen Aufgaben dieses Kanals🙄
Lösung:
Bei diesem geraden Gebilde berechnet sich das Volumen zu Grundfläche mal Höhe. Die Grundfläche ist ein Rechteck plus ein Halbkreis minus ein Dreieck, also:
3*(2+4+2)+π*2²/2-4*2/2 = 24+2π-4 = 20+2π.
Dann ist das Volumen = (20+2π)*3 = 60+6π ≈ 78,8496
Viele Prismenprofis heute in den Kommentaren unterwegs... :D
Danke für das interessante Video!
Oder 3 mal die Fläche von vorn.
V=3.(24-4+4Pi/2) = 6.(10+Pi)
beim oberen Körperteil würde ich nicht "ebenfalls von einem Prisma sprechen", sondern die Formel für einen Zylinder nehmen und durch 2 teilen (halber Zylinder). 😊
Einen halben Zylinder als Prisma zu bezeichnen ist zumindest erklärungsbedürftig. Ein Prisma gilt als ein Spezialfall eines Zylinders [WIKI: Prisma], also sind nicht alle Zylinder Prismen. Die Grundfläche eines Prismas ist ein Polygon, bei der Grundfläche eines Zylinders haben alle Randpunkte denselben Abstand zur Achse [WIKI Zylinder]. Eine Kreislinie kann als Abfolge unendlich kleiner Polygonabschnitte angesehen werden... in einem Lehrvideo für Unter- oder Mittelstufe sollte einem das einen Hinweis wert sein - zumal, wenn man für die Volumenberechnung des "Prismas" dann die Zylinderformel benutzt.
Ich fände es auch gut, wenn Hinweise auf Deine einschlägigen Grundlagenvideos den gleichen Umfang einnähmen, wie die Hinweise auf die schier unzähligen Möglichkeiten, Dir "Unterstützung" zukommen lassen zu können.
You must be fun at parties.
~78,9
V = 6*(10+pi)
Warum so kompliziert? Ich hätte erst die Stirnfläche errechnet und ganz zum Schluß diese Gesamtfläche mit drei multipliziert.
Grüße gehen raus an meine Tante aus Wuppertal 👋
Schön finde ich die verdeckten Kanten, aber unten rechts sind die verdeckten Kanten nicht gestrichelt. Ich konnte gar nicht deiner Ausführung folgen, weil ich immer dachte ich habe eine knick in der Linse.
Den Halbzylinder hätte ich nicht als Prisma bezeichnet.
Aber ich werde deinen Videos trotzdem entgegen fiebern
🙏♎
Hallo Susanne,
ich finde deinen Kanal super. Du erklärst die Mathematik super verständlich.
Ich frage mich nur, warum ich das alles in der Schule gelernt habe. In den letzten 40 Jahren habe ich die meisten Sachen nicht einmal gebraucht. Wahrscheinlich nur das logische Denken, das mir als Programmierer hilfreich war.
Trotzdem mach weiter so, denn ich denke, du hilfst mit deinen Videos vielen Menschen.
Ich komme annäherungsweise und mit "Kopfrechner" auf 18,6
1. Ein rundes Prisma kenne ich nicht; sowas nenne ich Zylinder.
2. Der Radius hätte nicht an der Seite extra eingezeichnet werden müssen; gestrichelte Linien nach unten hätten es auch getan und den Durchmesser als 4 angezeigt.
3. Mein Lösungsweg sieht so aus, dass ich zuerst die gesamte Grundfläche berechnet und sie erst am Ende mit der Höhe multipliziert habe:
A = Rechtecksfläche - Dreiecksfläche + Halbkreisfläche = 8 * 3 - 1/2 * 4 * 2 + 1/2 * 2² * π = 24 - 4 + 2π = 20 + 2π
V = 3 A = 60 + 6π ✅ Das ist dann auch mein Endergebnis; weiter ausrechnen mit Runden mache ich nur, wenn es explizit verlangt ist.
💯
ja. ;-)
Ich dachte die Aufgabe ist zu einfach und dann direkt ein Flüchtigkeitsfehler gemacht und das Volumen vom Dreieck nicht abgezogen sondern mit drauf gerechnet 🤣
Ich mag sie, wer noch? Daumen nach oben, wer auch dieser Meinung ist. ❤
👍
Kommt mir schrecklich umständlich vor. Ich hätte die Stirnfläche berechnet (Rechteck minus Dreieck plus Halbkreis) und dann mit der Tiefe multipliziert.
Bloß die Kuppel hätte ich als Halbzylinder gesehen.
Viel zu einfach