Isso é característico de qualquer olimpíada de matemática, mas perceba, pelo menos nesse caso, que é necessário conhecer a propriedade das cordas que se encontram num ponto interno do círculo, coisa que passa batido nas aulas de geometria, para conseguir resolver o problema.
@@ProfessoremCasa imagina um plano cartesiano centrado no centro do círculo e com eixos x e y paralelos a AB e AD, respectivamente. Vamos dizer que D está na posição (x,y) Note que B está 18 unidades acima de D e 6 unidades a direita; ou seja, B está em (x+6, y+18) Analogamente, C está 13 unidades abaixo de B C está em (x+6, y+5) O centro do círculo, digamos O está em (0,0), a circunferência tem a seguinte propriedade: todos os pontos dela estão a distância r do centro. medida(OA)=sqrt(x²+y²)=r x²+y²=r² (I) analogamente: (x+6)²+(y+18)²=r² (II) (x+6)²+(y+5)²=r² (III) Aí é só resolver. É um sistema de não linear com 3 equações e 3 incógnitas mas os números ajudam um pouco. Fazendo (II) - (III) (y+18)²-(y+5)²=0 (y+18)²=(y+5)² Existem 2 possibilidades para z²=w².... z=w(o que é impossível para z=y+18 e w=y+5).... ou z=-w y+18=-(y+5) 2y=-23 y=-23/2 Fazendo (III) - (II) (x+6)²+(y+5)²-(x²+y²)=0 12x+36+10y+25=0 [agora eu substituo o y=-23/2... ou 10y=-115] 12x+61-115=0 x=54/12=9/2 voltando em (I) r²=(9/2)²+(-23/2)² Chegaste ao mesmo resultado em 8:13... a diferença é que, dentro do quadrado, 23/2 está com o sinal oposto, o que não altera no valor.
A resolução ser maior que a apresentada no video não é demérito algum, afinal, a MAIOR PARTE de vcs sequer pensaria em resolver a questao conforme proposto no video, daí fariam oq? Pular a questão?? Saber desenvolver questoes matemáticas de multiplas formas agrega seu percentual de acerto
Eu não lembrava da regra das cordas que se cruzam então resolvi sem isso, apenas traçando dois triângulos. Usei o primeiro triângulo que você desenhou. Nele, com Pitágoras, tenho uma equação que relaciona R (raio) com y (aquele pequeno trecho que depois vc descobriu ser 4,5). Depois usei outro triângulo que ia do centro da esfera até C, de C ao meio de CB (que vale 6,5), e daí de volta ao centro da esfera (que vale y+6). Assim consegui, de novo por Pitágoras, outra relação entre R e y. Duas equações e duas incógnitas, substituí uma na outra e problema resolvido, R=12,35)
bateu uma nostalgia agora... isso pq faz 20 anos ja 0.0 q frequentei a turma ITA do colégio onde estudei e haviam muitas questões bem interessantes como essa. Não lembro mais de nada haha
Depois de ter achado o valor 15, não era mais fácil ter calculado sqrt(21*21 + 13*13)/2 = sqrt(610)/2? Já que um triângulo inscrito no circulo é retângulo se e somente se a hipotenusa for igual ao diametro do circulo?
*Outra maneira de fazer essa questão:* Se eu conseguir formar um triângulo numa circunferência, eu posso usar a fórmula: S=abc/4R, onde S é a área do triângulo, a, b e c são os lados e, por fim, R é o raio da circunferência. É possível formar o triângulo DCB, onde podemos encontrar a área S, da seguinte maneira: S=AB×BC/2=6×13/2= *3×13* DC²=5²+6²=61→ *DC=√61.* BD²=AB²+AD²=6²+18²=360 *BD=6√10* Assim, S=BD×DC×BC/4R 3×13=(6×√10×√61 ×13)/4R 1=(2×√10×√61)/4R 1=(√10×√61)/2R 1=(√610)/2R *R=(√610)/2*
Bela questão, Felipe! Parabéns pelo vídeo! Encontrei um caminho alternativo. Vamos a ele ... Prolonguei DA e chamei de "E" o ponto de interseção desse prolongamento com a circunferência, encontrei AE = 5 e, por Pitágoras, EB = raiz(61). Da mesma forma, também por pitágoras, BD = raiz(360) = 6*raiz(10). Logo, o triângulo DEB possui lados EB = raiz(61), BD = 6*raiz(10) e DE = 23. Além disso, sua área é [23 (base) * 6 (altura)] / 2 = 69. Como o triângulo BED é inscrito ao círculo, pode-se aplicar a relação S = (a*b*c)/(4*R), em que S é a área do triângulo de lados a, b e c inscrito no círculo de raio "R". Aplicando os resultados obtidos, tem-se 69 = [raiz(61)*6*raiz(10)*23] / (4*R) => R = raiz(610)/2. Espero ter contribuído. Grande abraço!
@@jadneves Tranquilo! Escrevo sqrt normalmente. A opção de escrever RAIZ nesses comentários é pensando em comunicar com alguns "leigos" que tb assistem esses vídeos. Ao escrever de maneira "menos formal", a intenção é incentivar a todos que querem acompanhar, não só a galera mais entendida. Mas sua observação é pertinente.
Eu resolvi de outra forma ainda hahah Depois que vc desenha o primeiro raio até aquele ponto acima do A e forma um triângulo retângulo, eu fiz um segundo raio até o ponto B formando um segundo triângulo retângulo, onde o primeiro é r²=(23/2)²+x² e o segundo é r²=(13/2)²+(x+6)². Daí foi só igualar as equações [(13/2)²+(x+6)²=(23/2)²+x²], achar X (que resulta em 4,5) e resolver alguma das hipotenusas pra achar o raio (aprox. 12,349 u.c.).
O ângulo inscrito na circunferência é a metade do ângulo do arco. Logo o ângulo ABC de 90 é a metade de 180 graus, ou seja, o diâmetro da circunferência. Temos um triângulo retângulo de catetos 15, 13 e hipotenusa/diâmetro = √610 raio é a metade. √610/2
Eu fiz o mesmo primeiro link que você, mas fiz um segundo link do centro ao ponto B. Fiz os dois pitagoras e um sistema com duas incognitas. Seu certo tb
Eu pensei em uma solução aqui com três triangulos isósceles (seja O o centro do círculo): - 1: triângulo BOD, com base 6*\sqrt{10} e demais lados R com um ângulo (em O) \alpha_1 - 2: triângulo BOC com base 13 e demais lados R com um ângulo (em O) \alpha_2 - 3: triângulo COD com base \sqrt{61} e demais lados R com um ângulo em O (\alpha_1 - \alpha_2) Então, aplicando a Lei dos cossenos nos três triângulos: T1: 360 = 2R^2 (1 - cos(\alpha_1)) T2: 169 = 2R^2 (1-cos(\alpha_2)) T3: 61 = 2R^2 (1-cos(\alpha_1 - \alpha_2)) Por diferença de arcos: cos(\alpha_1 - \alpha_2) = cos(\alpha_1)*cos(\alpha_2) + sen(\alpha_1)*sen(\alpha_2) Pela relação fundamental da trigonometria e o fato de que todo angulo está nos dois primeiros quadrantes (sen>=0): sen(\alpha_1) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha_1)} sen(\alpha_2) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha_2)} De T1: cos(\alpha_1) = (R^2 - 180)/R^2, portanto, sen(\alpha_1) = \sqrt{360(90-R^2)}/R^2 De T2: cos(\alpha_2) = (2R^2 - 169)/2R^2 portanto, sen(alpha_2) = 13\sqrt(169 - 4R^2)/2R^2 Substituindo esses valores em T3, temos uma equação biquadrática que depois de *bastante* conta se resume a 4R^4-610R^2 = 0, de onde conclui-se que o único R positivo é \sqrt{610}/2. É aquela coisa de sempre: lei dos cossenos quase sempre resolve, mas quase nunca é a melhor solução rs.
Prolongado o segmento AB temos uma corda de 21 cm que faz com a corda de 13 cm um ângulo inscrito de 90°, os extremo dessas cordas são o diâmetro da circunferência então usando o teorema de Pitágoras temos (21*21)+ (13*13) = (2r*2r) 610/4 =( r × r) r = 12,3 cm aproximadamente
Ângulo ABC de 90 graus, automaticamente você conclui que se trata de um triângulo retângulo inscrito que possui como hipotenusa o diâmetro da circunferência.
Encontrei o mesmo resultado fazendo um pouco diferente. Vc acabou encontrando um retangulo dentro do circulo. O seu centro passa a linha da hipotenusa do retangulo que corresponderá ao diametro do circulo, sendo o raio sua metade. O retangulo encontrado foi de lado 13 e 21. De qualquer parabéns pelo exercicio.
Eu acredito que fica ainda mais simples fazendo assim: Pelo teorema de Pitágoras dá pra calcular a distância entre C e D, que é a hipotenusa de um triângulo com catetos 5 e 6. Dá a raiz quadrada de 61. Também por Pitágoras dá pra calcular a distância entre os pontos B e D, que é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos 6 e 18. Dá 6 vezes a raiz de 10. Assim, o seno do ângulo cBd é 1 dividido pela raiz de 10. Como todos os ângulos inscritos de uma circunferência que enxergam o mesmo arco tem a mesma medida, existe um triângulo que um dos lados é o diâmetro (logo é retângulo, e o diâmetro é a hipotenusa), um dos catetos é raiz de 61 e o seno do ângulo oposto a esse cateto é 1/raiz de 10. Daí, como seno é a medida do cateto oposto pela da hipotenusa, o diâmetro fica sendo a raiz de 610, e o raio a raiz de 610 dividido por 2.
Depois de usar potência de ponto para achar x = 15, para achar o raio R bastaria fazer um Pitágoras naquele triângulo retângulo inscrito na semicircunferência: (2R)² = (15+6)²+13².
Após encontrar que o x vale 15 completei ele com o 6 de A-B, resultando em X+AB=21, após descobrir o 21 podemos fechar um retângulo ligando 21 na aresta superior, 13 ligando BC, 21 na aresta inferior e 13 na aresta lateral esquerda. após isso é só tirar a hipotenusa e dividir por 2, deu o mesmo resultado
Professor eu gostaria de aprender como você fez aquela multiplicação de 23 ao quadrado, sem ter que montar de fato aquela continha básica de 23 embaixo de 23 e multiplicar, desse modo seu é mais fácil, você poderia fazer um vídeo explicando ? Essa maneira sua fica menos poluído as contas (N sei se deu pra entender oq eu quis dizer) não entendi da o que você quis dizer que “multiplico geral” Em 08:30
desculpa a pergunta mas tem como eu saber exatamente onde é o centro da circunferência nesse exercício? se eu movesse um pouco para o lado o centro hipotética o raio mudaria, dessa forma como sei que o raio é onde vc desenhou? abraços
Chegaria em um valor próximo. Achei q continuaria calculando a partir do 15. O mesmo poderia ser feito traçando uma nova reta para baixo, 15 + 6 = 21. E eu tenho o outro valor q é 4.5, q calcula o pedaço restante q falta. Portanto daria 25.5, ja o raio ficaria 12,75. N é exato, mas é bem próximo a ele
Tem um retângulo com dois lados de 13 e dois de 21. Corta na diagonal e fica com um triângulo de base 21, lado 13 e ? O diâmetro do círculo. Não seria mais simples essa conclusão?
Resolução alternativa: Defina um plano cartesiano com centro em D. Assim, voce já terá as seguintes coordenadas já definidas: A = (0 , 18) B = (6 , 18) C = (6 , 5) D = (0 , 0) adotando o centro desse círculo como (x , y), já se tem três equações de distancia entre pontos: (x,y) pra B, pra C e pra D. Todas essas distancias valem o raio R que se quer descobrir. 3 equações e 3 incógnitas (R, x e y), logo, já da pra resolver. Só com conhecimentos básicos de geometria analítica, sem nenhuma dessas sacadas de propriedade de circuferência que te obrigam a decorar.
Prolongue a reta BA até o outro lado da circunferência (ponto E). A mediatriz de BE será um diâmetro. Além disso, tanto essa mediatriz quanto o segmento AD farão 90° com a corda BE, logo, caímos na situação de duas paralelas cortadas por uma transversal. Portanto, esse diâmetro (mediatriz de BE) será paralelo a AD. Essa mesma lógica também explica porque BC é paralelo a AD.
nao poderia usar a teoria das cordas no meio do circulo, para encontrar o diametro direto? ficaria 21*X=6.5*6.5 X=42.25/21 X=2 diametro=21+2=23 raio=11.5 poderia ser feito dessa forma?
Guerreiro, tua explicação é muito boa, só precisa tirar a mão da frente, pra vermos onde está riscando...só uma observação mesmo......ao mais, parabéns!!
Temos uma Multa milionária para o cartório Eleitoral de Glória do Goitá. Dona Maria Nathalia Rufino de Farias é Secretária Matrimonial e transa com o primeiro Marido. Não Pode. Matilde e a mesma e estamos com sérios problemas de ordem social!
É uma questão maravilhosa porquê exige muito mais raciocínio lógico que geometria analítica.
Isso é característico de qualquer olimpíada de matemática, mas perceba, pelo menos nesse caso, que é necessário conhecer a propriedade das cordas que se encontram num ponto interno do círculo, coisa que passa batido nas aulas de geometria, para conseguir resolver o problema.
@@wiliansp87 Dá para resolver sem isso, veja meu comentário acima! 👍
@@wiliansp87exatamente, sou formado em engenharia e sempre gostei mto de matemática e nunca tinha aprendido o teorema das cordas.
Resolvi de uma forma bem mais complicada. Essa sacada foi show professor!!
@@marcelowanderleycorreia8876 Dá para resolver utilizando apenas dois triângulos. Veja minha explicação acima. 👍
Vamos estudar para concurso apenas pelas questões dos chineses que aí acertaremos as questões de matemática Brasileira.....
😄
As questões peruanas de geometria são pra lascar .
@@JulianoFerreira-e2z KKK valha me Deus
matemática brasileira!!!
Vai fazer concurso pra Portugal? Kkk
Fez parecer fácil. Parabéns.
Tem como resolver por geometria analítica tb, da pra definir 3 pares ordenados com as informações que temos
Opa! Manda a resolução escrita aqui. 🙂
@@ProfessoremCasa imagina um plano cartesiano centrado no centro do círculo e com eixos x e y paralelos a AB e AD, respectivamente.
Vamos dizer que D está na posição (x,y)
Note que B está 18 unidades acima de D e 6 unidades a direita;
ou seja, B está em (x+6, y+18)
Analogamente, C está 13 unidades abaixo de B
C está em (x+6, y+5)
O centro do círculo, digamos O está em (0,0), a circunferência tem a seguinte propriedade: todos os pontos dela estão a distância r do centro.
medida(OA)=sqrt(x²+y²)=r
x²+y²=r² (I)
analogamente:
(x+6)²+(y+18)²=r² (II)
(x+6)²+(y+5)²=r² (III)
Aí é só resolver. É um sistema de não linear com 3 equações e 3 incógnitas mas os números ajudam um pouco. Fazendo (II) - (III)
(y+18)²-(y+5)²=0
(y+18)²=(y+5)²
Existem 2 possibilidades para z²=w².... z=w(o que é impossível para z=y+18 e w=y+5).... ou z=-w
y+18=-(y+5)
2y=-23
y=-23/2
Fazendo (III) - (II)
(x+6)²+(y+5)²-(x²+y²)=0
12x+36+10y+25=0 [agora eu substituo o y=-23/2... ou 10y=-115]
12x+61-115=0
x=54/12=9/2
voltando em (I)
r²=(9/2)²+(-23/2)²
Chegaste ao mesmo resultado em 8:13... a diferença é que, dentro do quadrado, 23/2 está com o sinal oposto, o que não altera no valor.
@@matheusjahnke8643sua resolução muito grande e nada prática, desculpe amigo
foi a primeira coisa que eu pensei, mas a solução iria ser muito grande, principalmente se comparado com a do video
A resolução ser maior que a apresentada no video não é demérito algum, afinal, a MAIOR PARTE de vcs sequer pensaria em resolver a questao conforme proposto no video, daí fariam oq? Pular a questão?? Saber desenvolver questoes matemáticas de multiplas formas agrega seu percentual de acerto
Eu não lembrava da regra das cordas que se cruzam então resolvi sem isso, apenas traçando dois triângulos. Usei o primeiro triângulo que você desenhou. Nele, com Pitágoras, tenho uma equação que relaciona R (raio) com y (aquele pequeno trecho que depois vc descobriu ser 4,5). Depois usei outro triângulo que ia do centro da esfera até C, de C ao meio de CB (que vale 6,5), e daí de volta ao centro da esfera (que vale y+6). Assim consegui, de novo por Pitágoras, outra relação entre R e y. Duas equações e duas incógnitas, substituí uma na outra e problema resolvido, R=12,35)
genio
Genial
Questão dificil mas fez parecer fácil, muito bem explicado
Muito obrigado! 🙂
Didática excelente, parabéns 🙏
toppp , tava só esperando colocar um teorema de Fauren ( a²+b²+c²+d² = 4r²) quando achou o 15 , mas mto legal essa solução!
Jóia demais meu irmão. Parabéns!!!
Questão muito legal!
Excelente!
Que sensacional!
bateu uma nostalgia agora... isso pq faz 20 anos ja 0.0 q frequentei a turma ITA do colégio onde estudei e haviam muitas questões bem interessantes como essa. Não lembro mais de nada haha
Gostei bastante!
Excelente resolução
Muito bom!
Rapaz! E eu achando as questões de matemática no Brasil difícil kkkkkk
😄
Mas é o mais difícil, os dos Estados Unidos é mais fácil
Começa parecendo impossível, mas o caminho vai se revelando... matemática é um negócio bonito! Com inteligência a gente da um jeito pra tudo
Adoro suas explicações ❤
Obrigado! 🙂
Depois de ter achado o valor 15, não era mais fácil ter calculado sqrt(21*21 + 13*13)/2 = sqrt(610)/2? Já que um triângulo inscrito no circulo é retângulo se e somente se a hipotenusa for igual ao diametro do circulo?
Essa foi a minha solução. Vc prova que a hipotenusa é o diâmetro pq 180° é o dobro do ângulo inscrito de 90
Valeu pelo video!!
Esse problema é perfeito!
*Outra maneira de fazer essa questão:*
Se eu conseguir formar um triângulo numa circunferência, eu posso usar a fórmula:
S=abc/4R, onde S é a área do triângulo, a, b e c são os lados e, por fim, R é o raio da circunferência.
É possível formar o triângulo DCB, onde podemos encontrar a área S, da seguinte maneira:
S=AB×BC/2=6×13/2= *3×13*
DC²=5²+6²=61→ *DC=√61.*
BD²=AB²+AD²=6²+18²=360
*BD=6√10*
Assim,
S=BD×DC×BC/4R
3×13=(6×√10×√61 ×13)/4R
1=(2×√10×√61)/4R
1=(√10×√61)/2R
1=(√610)/2R
*R=(√610)/2*
Sou professor de geografia, mas quando eu percebi já tinha visto tudo e adorei! hahaha inscrito :)
Bela questão, Felipe! Parabéns pelo vídeo!
Encontrei um caminho alternativo. Vamos a ele ...
Prolonguei DA e chamei de "E" o ponto de interseção desse prolongamento com a circunferência, encontrei AE = 5 e, por Pitágoras, EB = raiz(61).
Da mesma forma, também por pitágoras, BD = raiz(360) = 6*raiz(10).
Logo, o triângulo DEB possui lados EB = raiz(61), BD = 6*raiz(10) e DE = 23. Além disso, sua área é [23 (base) * 6 (altura)] / 2 = 69.
Como o triângulo BED é inscrito ao círculo, pode-se aplicar a relação S = (a*b*c)/(4*R), em que S é a área do triângulo de lados a, b e c inscrito no círculo de raio "R".
Aplicando os resultados obtidos, tem-se 69 = [raiz(61)*6*raiz(10)*23] / (4*R) => R = raiz(610)/2.
Espero ter contribuído. Grande abraço!
Ao invés de escrever "raiz" escreveria na norma "sqr(...)"
@@jadneves Tranquilo! Escrevo sqrt normalmente. A opção de escrever RAIZ nesses comentários é pensando em comunicar com alguns "leigos" que tb assistem esses vídeos. Ao escrever de maneira "menos formal", a intenção é incentivar a todos que querem acompanhar, não só a galera mais entendida. Mas sua observação é pertinente.
B•
C•
É uma Corda.
Que toca dois pontos desta circunferência.
Em Apoti estes dois pontos estão no Sítio de Geraldo Uchoa.
Professor, ao encontrar as medidas das cordas já poderia usar o teorema de Faure.
" um raio é perpendicular a uma corda se, e somente se passa pelo seu ponto médio"
Eu resolvi de outra forma ainda hahah
Depois que vc desenha o primeiro raio até aquele ponto acima do A e forma um triângulo retângulo, eu fiz um segundo raio até o ponto B formando um segundo triângulo retângulo, onde o primeiro é r²=(23/2)²+x² e o segundo é r²=(13/2)²+(x+6)². Daí foi só igualar as equações [(13/2)²+(x+6)²=(23/2)²+x²], achar X (que resulta em 4,5) e resolver alguma das hipotenusas pra achar o raio (aprox. 12,349 u.c.).
@@gustavolemketruppel1481 Boa. Também resolvi de maneira similar. Resolução detalhada mais acima. 👍
O ângulo inscrito na circunferência é a metade do ângulo do arco. Logo o ângulo ABC de 90 é a metade de 180 graus, ou seja, o diâmetro da circunferência. Temos um triângulo retângulo de catetos 15, 13 e hipotenusa/diâmetro = √610 raio é a metade. √610/2
Parabéns pelo conteúdo
Se amanhecer ao noitecer então vc estará apto a ser surpreendido ou se a vaca tossir haha
Nem na China essa questão vai ter mais de 1%. É questão de olimpíada. Se duvidar nem entre o pessoal que competiu chegou a 20%
Eu fiz o mesmo primeiro link que você, mas fiz um segundo link do centro ao ponto B. Fiz os dois pitagoras e um sistema com duas incognitas. Seu certo tb
O cara é uma máquina, céloko...
Muito obg, filhão
Eu pensei em uma solução aqui com três triangulos isósceles (seja O o centro do círculo):
- 1: triângulo BOD, com base 6*\sqrt{10} e demais lados R com um ângulo (em O) \alpha_1
- 2: triângulo BOC com base 13 e demais lados R com um ângulo (em O) \alpha_2
- 3: triângulo COD com base \sqrt{61} e demais lados R com um ângulo em O (\alpha_1 - \alpha_2)
Então, aplicando a Lei dos cossenos nos três triângulos:
T1: 360 = 2R^2 (1 - cos(\alpha_1))
T2: 169 = 2R^2 (1-cos(\alpha_2))
T3: 61 = 2R^2 (1-cos(\alpha_1 - \alpha_2))
Por diferença de arcos: cos(\alpha_1 - \alpha_2) = cos(\alpha_1)*cos(\alpha_2) + sen(\alpha_1)*sen(\alpha_2)
Pela relação fundamental da trigonometria e o fato de que todo angulo está nos dois primeiros quadrantes (sen>=0):
sen(\alpha_1) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha_1)}
sen(\alpha_2) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha_2)}
De T1:
cos(\alpha_1) = (R^2 - 180)/R^2,
portanto, sen(\alpha_1) = \sqrt{360(90-R^2)}/R^2
De T2:
cos(\alpha_2) = (2R^2 - 169)/2R^2
portanto, sen(alpha_2) = 13\sqrt(169 - 4R^2)/2R^2
Substituindo esses valores em T3, temos uma equação biquadrática que depois de *bastante* conta se resume a 4R^4-610R^2 = 0, de onde conclui-se que o único R positivo é \sqrt{610}/2.
É aquela coisa de sempre: lei dos cossenos quase sempre resolve, mas quase nunca é a melhor solução rs.
Que video legal 👍
Prolongado o segmento AB temos uma corda de 21 cm que faz com a corda de 13 cm um ângulo inscrito de 90°, os extremo dessas cordas são o diâmetro da circunferência então usando o teorema de Pitágoras temos
(21*21)+ (13*13) =
(2r*2r)
610/4 =( r × r)
r = 12,3 cm aproximadamente
@@zlavankorps8165potência de ponto
@@zlavankorps8165Provavelmente do mesmo jeito que feito no vídeo. Usa o teorema das cordas para chegar na corda de 21 cm
Ângulo ABC de 90 graus, automaticamente você conclui que se trata de um triângulo retângulo inscrito que possui como hipotenusa o diâmetro da circunferência.
Top !!!
😀
Encontrei o mesmo resultado fazendo um pouco diferente. Vc acabou encontrando um retangulo dentro do circulo. O seu centro passa a linha da hipotenusa do retangulo que corresponderá ao diametro do circulo, sendo o raio sua metade. O retangulo encontrado foi de lado 13 e 21. De qualquer parabéns pelo exercicio.
Bravo Professor Felipe 👏🏻👏🏻👏🏻👏🏻
Eu acredito que fica ainda mais simples fazendo assim:
Pelo teorema de Pitágoras dá pra calcular a distância entre C e D, que é a hipotenusa de um triângulo com catetos 5 e 6. Dá a raiz quadrada de 61.
Também por Pitágoras dá pra calcular a distância entre os pontos B e D, que é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos 6 e 18. Dá 6 vezes a raiz de 10. Assim, o seno do ângulo cBd é 1 dividido pela raiz de 10.
Como todos os ângulos inscritos de uma circunferência que enxergam o mesmo arco tem a mesma medida, existe um triângulo que um dos lados é o diâmetro (logo é retângulo, e o diâmetro é a hipotenusa), um dos catetos é raiz de 61 e o seno do ângulo oposto a esse cateto é 1/raiz de 10.
Daí, como seno é a medida do cateto oposto pela da hipotenusa, o diâmetro fica sendo a raiz de 610, e o raio a raiz de 610 dividido por 2.
@@vitorta6696 Boa! Também fiz de outra maneira utilizando dois triângulos. Veja minha explicação acima. 👍
Muito bom
Incrível
Amo geometria
Não lembrava dessa teoria das cordas ❤
Depois de usar potência de ponto para achar x = 15, para achar o raio R bastaria fazer um Pitágoras naquele triângulo retângulo inscrito na semicircunferência: (2R)² = (15+6)²+13².
Bela questão! Grande solução! Parabéns!
Obrigado! 😀
Eu peguei o triângulo retângulo grande mesmo, ele passa pelo centro tem lado 21 e 13 e a hipotenusa é 2 raios. Pronto.
estava procurando se alguém tinha percebido isso tb.
Top
Após encontrar que o x vale 15 completei ele com o 6 de A-B, resultando em X+AB=21, após descobrir o 21 podemos fechar um retângulo ligando 21 na aresta superior, 13 ligando BC, 21 na aresta inferior e 13 na aresta lateral esquerda. após isso é só tirar a hipotenusa e dividir por 2, deu o mesmo resultado
Eu era muito bom em calculo na engenharia, isso a 20 anis atrás, hoje nem lembro como resolve equação de 2 grau 😂
Professor eu gostaria de aprender como você fez aquela multiplicação de 23 ao quadrado, sem ter que montar de fato aquela continha básica de 23 embaixo de 23 e multiplicar, desse modo seu é mais fácil, você poderia fazer um vídeo explicando ? Essa maneira sua fica menos poluído as contas (N sei se deu pra entender oq eu quis dizer) não entendi da o que você quis dizer que “multiplico geral” Em 08:30
Opa! Eu tenho vídeo explicando isso aqui: ua-cam.com/video/lyuBxzgf2Zc/v-deo.htmlsi=8_vFESUrC13aKQoy
Abração! 🙂
desculpa a pergunta mas tem como eu saber exatamente onde é o centro da circunferência nesse exercício? se eu movesse um pouco para o lado o centro hipotética o raio mudaria, dessa forma como sei que o raio é onde vc desenhou? abraços
Daria pra fazer por semelhança de triângulos? Formando dois triângulos isósceles de base conhecida e com lado igual ao raio
Chegaria em um valor próximo. Achei q continuaria calculando a partir do 15. O mesmo poderia ser feito traçando uma nova reta para baixo, 15 + 6 = 21. E eu tenho o outro valor q é 4.5, q calcula o pedaço restante q falta. Portanto daria 25.5, ja o raio ficaria 12,75. N é exato, mas é bem próximo a ele
O macete da potenciação vale pra cubo etc?
O diâmetro ao quadrado é 21 ao quadrado mais 13 ao quadrado. Completei o triângulo retângulo.
Teorema para cordas perpendiculares
(2R)^2 = 18^2 + 5^2 + 6^2 + 15^2
Tem um retângulo com dois lados de 13 e dois de 21. Corta na diagonal e fica com um triângulo de base 21, lado 13 e ? O diâmetro do círculo. Não seria mais simples essa conclusão?
Faz uma playlist chinesa mano
Aos 07:00 , pq não usamos 13/2 +5?
Resolução alternativa:
Defina um plano cartesiano com centro em D. Assim, voce já terá as seguintes coordenadas já definidas:
A = (0 , 18)
B = (6 , 18)
C = (6 , 5)
D = (0 , 0)
adotando o centro desse círculo como (x , y), já se tem três equações de distancia entre pontos: (x,y) pra B, pra C e pra D.
Todas essas distancias valem o raio R que se quer descobrir. 3 equações e 3 incógnitas (R, x e y), logo, já da pra resolver.
Só com conhecimentos básicos de geometria analítica, sem nenhuma dessas sacadas de propriedade de circuferência que te obrigam a decorar.
Gostaria da teoria das cordas, essa eu não lembrava.
Se fosse num concurso meu raciocínio seria, 13/2 => 6,5 + 5 r >= 11,5 por estar fora do eixo.
eu iria na letra e)12
Por que pode-se considerar que os segmentos AD e BC são paralelos ao diâmetro?
Prolongue a reta BA até o outro lado da circunferência (ponto E). A mediatriz de BE será um diâmetro. Além disso, tanto essa mediatriz quanto o segmento AD farão 90° com a corda BE, logo, caímos na situação de duas paralelas cortadas por uma transversal. Portanto, esse diâmetro (mediatriz de BE) será paralelo a AD. Essa mesma lógica também explica porque BC é paralelo a AD.
nao poderia usar a teoria das cordas no meio do circulo, para encontrar o diametro direto? ficaria
21*X=6.5*6.5
X=42.25/21
X=2
diametro=21+2=23
raio=11.5
poderia ser feito dessa forma?
Pode usar calculadora ou teria que resolver na mão? Encontrei uma resposta, mas não sei se esse é o melhor jeito
Excelente explicação!!!! Parabéns, professor !
Daria para fazer usando o seno de 90°?
vc tem os catetos de um triângulo retângulo com a hipotenusa igual a 2R, entao 21² +13²=4R²...
Uma questão qualquer de vestibular brasileiro
Bom se tivesse uma lousa. Facilita e melhora a aparência do vídeo. A mão atrapalha.
Guerreiro, tua explicação é muito boa, só precisa tirar a mão da frente, pra vermos onde está riscando...só uma observação mesmo......ao mais, parabéns!!
Eu assistindo isso com certeza de que tem regra aqui inventada, não é possível decorar tudo isso kkkk
Fica mais fácil colocar os catetos 4,5 e 11,5. O resultado é o mesmo.
Se o restante que falta de 13 para completar 18 é 5, então não tem como ser 5 em cima e 5 embaixo, tem que ser 2,5, não é isso?
Lembrando que a hipotenusa de um triângulo retângulo inscrito na circunferência é um diâmetro, temos: 2R=raiz( (15+6)² + 13²) ;-)
Aproximadamante 7,16
Por que o raio divide a corda no meio, dando 21/2?
Não entendi essa parte.
Consegui fazer sem fazer a multiplicação das cordas, trançando dois triângulos retângulos e fazendo um sistema
Grava um video respondendo, pai
fui por um outro caminho, mas cheguei no mesmo resultado! Fiz um puta malabares para encontrar o cateto 9/2 kkkkk mas deu certo!
Pergunta, AD não vale 23, não?
Então o Teorema das cordas não deveia ser
5 * 23 = 6 * x?
AD vale 18. Dá uma olhada no início do vídeo.
@@ProfessoremCasa, disfarça, eu me perdi durante a resolução rs
Quando as cordas são perpendiculares, podemos usar a fórmula:
15²+ 6²+18²+5²=4R²
610=4R²
R²=610/4
*R=(√610)/2*
Pronto. Lá vou tentar deduzir isso
Pior que faz sentido. Equivalem-se em áreas.
@@TEF84 tem na internet, em vídeo a dedução, caso não consiga.
@@TEF84 🤣
Boa! Deduzi aqui.
esse teorema ta certo?
Sim
Pra que tudo isso?
A pergunta é bem clara! QUAL O RAIO DO CIRCULO?
A resposta seria: r = C/2π
Eu tentei elevar ao quadrado outras dezenas e não deu certo, será que só dá certo com o número 23?
Régua é para os fracos
Temos uma Multa milionária para o cartório Eleitoral de Glória do Goitá.
Dona Maria Nathalia Rufino de Farias é Secretária Matrimonial e transa com o primeiro Marido. Não Pode.
Matilde e a mesma e estamos com sérios problemas de ordem social!
D=n+C
Como eu posso estudar matemática?
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Nunca consegui entender matemática. Continuo não entendendo. Não tenho a minima ideia do que ele está fazendo...frustrante.
com trigonometria básica é fácil
ta certo, meti no autocad deu 12,35 de raio.
18+5+5=28
O 18 já tá com o 5 (13+5), ele só marcou pra visualizar melhor
"Os chineses não estão pra brincadeira"
21 +- diametro
Bah, se o cara não se lembra do teorema das cordas, já era
Resolvi com R²=(13/2)²+(21/2)², caminhos diferentes, porém o mesmo resultado
A soma do segmento vertical não seria 28, ao invés de 23?
Não. 18 + 5 = 23
@@ProfessoremCasa é verdade, entendi.Obrigado !!!