JÁ CAIU EM OLIMPÍADA
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- Опубліковано 4 кві 2024
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• Desafios: • DESAFIO MATEMÁTICO
Folha em PDF: drive.google.com/file/d/1TDwF...
Tem-se dois semicírculos tangentes de raio 1 e diâmetros paralelos. O valor de AB é:
a) 5 + 2√3
b) 8 + 4√3
c) 12
d) 9
e) √2 + √6
Uma outra resposta aqui, acompanhem (obs: desconsiderem as alternativas, vamos tratar como se a questao fosse descritiva)
-> trace uma reta do centro de uma das semicircunferências até a base oposta
-> trace uma reta conectando os centros das semicircunferências
-> perceba que a reta que conecta o centro ao lado equivale a 1 e a reta que conecta os centros equivale a 2, logo, o seno desse ângulo é 1/2, portanto o angulo em questão é 30° (ou pi sobre 6, para os fãs de radianos)
-> perceba que o suplemento desse angulo é 150°, e que esse suplemento incide no centro das circunferências (porém escolha somente uma, nesse caso, vamos escolher a semicircunferência da esquerda)
-> trace uma reta do centro da circunferência até o ponto de tangencia. Perceba que assim surge um triângulo isosceles de lados 1, 1, AB/2.
OBS: perceba também que, caso você escolha fazer este processo na outra semicircunferência, você encontra o mesmo triângulo, assim provando que o ponto de tangência é o ponto médio de AB, também sendo "provável" realizando o processo de encontrar o angulo de 30 graus no outro centro)
-> como o triangulo é isosceles, a bissetriz do angulo diferente equivale a altura, assim sendo possível encontrar um triangulo retângulo de lados AB/4, 1, h (sendo h a altura), e de ângulos 15°, 75° e 90°
-> perceba que o seno de 75° é AB/4 sobre 1, sendo simplesmente AB/4. Portanto, 4sen(75°) = AB
-> calculando sen(75°):
Sen(75°)
= Sen(30° + 45°)
Da formula do seno da soma de dois ângulos [sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)]:
(1/2)(raiz de 2/2) + (raiz de 3/2)(raiz de 2/2)
= raiz de 2/4 + raiz de 6/4
(Fatorando)
1/4(raiz de 2 + raiz de 6)
(Multiplicando por 4, pois 4sen(75°)= AB)
Raiz de 2 + Raiz de 6 = AB
Não é necessário fazer qualquer conta... AB
Equivocado. O cateto da base é menor que 4, mas AB é a hipotenusa e somente pela observação não dá pra garantir que também será menor que 4.
@@antoniosousa86 Sabemos que nenhuma semirreta interna pode ter comprimento maior que o diâmetro, senão ela literalmente não caberia na circunferência. Portanto, se AB/2 tem que ser menor que dois, então necessariamente AB
@@antoniosousa86Com certeza, mas se vc usar 4 para o cateto da base e 1 para o dá altura, a hipotenusa vai ser menor do que sqtr(17), algo próximo de 4 para menos. Resposta E.
Calma veloz, tá erradíssimo.
@@MrPeteBaker não vi onde ele errou
fico muito feliz de saber que, mesmo afastado da escola há mais de 40 anos, consegui seguir o mesmo raciocínio. Foi só na hora de simplificar que busquei um caminho diferente. Meu resultado acabou sendo diferente de qualquer alternativa... mas valeu.
Questão maravilhosa papito, parabéns pela resolução
Valeu, irmão! Estamos juntos! 😃
Eu marcaria a última sem calcular pois já que os raios são 1 então A a B seriam vértices de um triângulo retângulo com altura igual a 1 e cateto horizontal menor que 4, portanto a hipotenusa seria pouco menor que raiz de 17.
Só a última satisfaz essa condição
Mas o cateto horizontal não é 4?
@@Carl_Sagan_não, perceba que proximo ao ponto de tangencia existe um pedaço (traçando a distancia da extremidade de cada semicirculo até a outra base) que é comum aos dois, então o cateto horizontal seria (4-x)
@@Carl_Sagan_poderíamos até admitir que sim, logo como o temos um cateto que mede 1, a hipotenusa seria ligeiramente maior que o maior cateto, logo, ligeiramente maior que 4. Ainda assim, a única solução possível seria a letra E.
Dá pra resolver pela teorema de Pitágoras e pela fórmula de tangente e secante de uma circunferência
fórmula de tangente e secante:
ab*ab/2 = (2 + (1 - x))^2 ; onde x é uma diferença encontrada (intersecção das semicircunferências) no calculo da distância da tangente à circunferência
ab^2 = 2*(4 + 4*(1 - x) + 1 - 2x + x^2)
ab^2 = 2*(4 + 4 - 4x + 1 - 2x + x^2)
ab^2 = 2*(9 - 6x + x^2)
ab^2 = 18 - 12x + 2x^2 (1)
Pitágoras:
ab^2 = 1^2 + (2 + (2 - x))^2 ; onde x é uma diferença encontrada (intersecção das semicircunferências) no calculo da distância do cateto maior (a distância é a mesma encontrada anteriormente)
ab^2 = 1 + (4 + 4*(2 - x) + 4 - 4x + x^2)
ab^2 = 1 + 4 + 8 - 4x + 4 - 4x + x^2
ab^2 = 17 - 8x + x^2 (2)
Igualando (1) e (2)
18 - 12x + 2x^2 = 17 - 8x + x^2
x^2 - 4x + 1 = 0
x = (4 +- raiz(16 - 4)) / 2
x = (4 +- raiz(12)) / 2
x = (4 +- 2*raiz(3)) / 2
x = 2*(2 +- raiz(3)) / 2
x = 2 - raiz(3) ; o sinal de + foi descartado no cálculo pois a distância seria muito grande
Substituindo x em (2)
ab^2 = 17 - 8x + x^2
ab^2 = 17 - 8*(2 - raiz(3)) + (2 - raiz(3))^2
ab^2 = 17 - 16 + 8*raiz(3) + 4 - 4*raiz(3) + 3
ab^2 = 8 + 8*raiz(3) - 4*raiz(3)
ab^2 = 8 + 4*raiz(3)
Resolvendo o radical duplo, ab = raiz(2) + raiz(6)
Não conhecia essa fórmula de tangente e secante a uma circunferência, muito legal, parabèns.
Questão resolvida aos 3:24. Daí pra frente é só matemática (como dizia um professor).
Mas ATENÇÃO: não é porque é "só matemática" que o exercício não seja difícil e que nele, como toda a matemática, não contenha a beleza que apreciamos nessa que é uma ciência e arte divina. (amantes da matemática)
Uma observação: sou engenheiro ambiental, tenho 47 anos e até hoje, anos depois de sair da faculdade, ainda me encanto com matemática; seja ela simples ou a mais sofisticada possível.
...parabéns professor...
Matemática é realmente encantadora! 🙂🙂
Pelas respostas disponibilizadas, nem precisa fazer conta. Supõe-se que AB seja hipotenusa de um triângulo que tem um cateto igual a 1 e outro cateto que seja menor que 4. Pela raiz da soma dos quadrados dos catetos, AB tem que ser menor que raiz quadrada de 17, próxima do numero 4. Entao se elimina as alternativas a), b), c), e d).
Isto mesmo. Examinar as opções de resposta permite achar mt rápido o resultado correto. Sem necessidade de meia hora de cálculos... 😊😊😊
O problema é se vier uma alternativa que não seja eliminada por esse método. Aprenda a resolver qualquer um e não dependerá das alternativas de questão nenhuma.
@@ProfessoremCasa Sim, mas considerando que é uma questão de múltipla escolha e não uma questão discursiva, entendo que deva ser ensinado o método completo, mas que esse não deve ser usado durante a prova, tendo em vista o tempo escasso.
Parabéns, professor, por mostrar o caminho nos mínimos detalhes como fez c produtos notáveis bem como também há possibilidade c radicais duplos. Quando resolver questões eu o preconizo a dizer que está resolvendo e ensinando a iniciantes. Tem de deixar claro que a pegada é para iniciantes, porque aparecerá outros caminhos para resolução, porém serve para o pessoal mais adiantado. Li nos comentários a resolução por análise como também por trigonometria ( amei porque mostrou todo o caminho). Enfim, a resolução na matemática leva vários caminhos uns bem resumidos outros bem detalhados para principiantes.
Essa questão num vestibular eu talvez demoraria 10 segundos pra marcar resposta " e". Agora, se fosse prova escrita. Aí meu. Umas duas horas. E olha lá.
😄
Genial Felipe! Sou teu novo admirador! Muito bons vídeos!
Obrigado, irmão! Estamos juntos! 🙂
Eu faria diferente para ganhar tempo…eu faria a conta de raiz(8+4(raiz3)) que seria “facil” fazer de cabeça desde q soubermos a raiz(3) q todos nós devemos saber. então fazendo isso já anulam de cara as alternativas “b”, “c”, “d” e “e” que são resultados totalmente longe. Se fossem resultados aproximados não teria jeito além de usar a caneta e muito papel mm.
Genial a "sacada" do produto notável!
😃
Incrível, como faço o download de todo seu conhecimento pro meu cérebro ?
Assistir a todos os vídeos vai ajudar muito! 😄
Excelente explicação professor.👍👍👍tmj...
Obrigado! 😀
Parabéns pela excelente resolução e explicação, professor!
Parabéns, que bacana!!
Obrigado! Estamos juntos! 😃
❤ Muito bom Felipe. Só que fiquei confuso no final nos produtos notáveis,ao fazer inversamente...chegar no (a+b)^2
Até o ponto em que se chegou a x = √(8+4√3) tudo ok. Mas depois, o professor escolheu o caminho mais difícil, para eliminar o radical duplo, pois existem métodos bem mais simples para isso. É bom lembrar de que, em matemática, o caminho mais simples, geralmente é o melhor, pois temos menos possibilidades de erro, e além disso, em um prova de concurso, o tempo é importante - uma questão fácil como essa, quanto mais rápido, melhor.
Me fala o caminho mais simples, mas sem fórmula e sem macete pra decorar. Aguardo.
@@ProfessoremCasa "sem fórmula e sem macete"? Kkk. Você já imaginou como seria se, por exemplo, todos tivessem de resolver uma equação do segundo grau sem usar a fórmula quadrática (que alguns chamam de Bháskara)? Pois é, não tem que ter esse preconceito contra fórmulas. Mas tudo bem, vou resolver esse probleminha do radical duplo sem usar nenhuma fórmula, como você pediu, tá bom?
√(8 + 4√3) = √(8 + √48)
= √a + √b
onde "a" e "b" são números positivos, em que a soma deles tem que ser 8 e o produto tem que ser 48/4 = 12
a + b = 8
a . b = 12
Portanto, vemos que
a = 6 e b = 2, ou
a = 2 e b = 6
√(8 + 4√3) = √6 + √2
E isso dá pra fazer mentalmente até.
Tu fez a mesma coisa do vídeo maninho... Tu só pulou as explicações e deixou com cara de macete, mas fez exatamente a mesma coisa
@@roliver13Sua fórmula é eficaz e muito simples, pois:
(√(X +2√Y)=√a +√b, elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
X +2√Y= a + b +2√ab , logo:
a + b= X e Y=√ab.
Sua fórmula é verdadeira e simples! Faltou ser mais delicado com o professor, pois talvez ele não conheça esse seu método simples. Por outro lado, o professor faltou humildade quando lhe respondeu, pois a matemática mostra métodos simples usando também fórmulas mais simples, ele foi muito áspero na resposta.
Abraços!
@@felipecpereira o professor realmente fez a mesma coisa, mas, usando essa fórmula diretamente, já seria mais rápido!
Como eu resolveria num vestibular: O valor é próximo de 4... Todas as outras opções são bem acima de 4. Só sobra a opção (e)
Parabéns!
De tanto fazer prova, eu descobri que dá pra estimar um valor próximo ao da resposta( a não ser que seja a banca FGV que coloca os valores com diferença de casas decimais). Nesse caso a resposta é um pouco menor que √5 , logo, a alternativa que mais se aproxima da resposta correta seria e) √2 + √6
Show! 🙂
Como cartear nessa questão na hora da prova. Um cateto é 1 o outro aproxima logo pra 4. AB^2= 4^2 + 1^2 -> AB= raiz quadrada de 17 que é um pouco a mais que 4. Vendo todas as alternativas a única que é próxima de 4 é a letra E, Ja que todas as outras são números muito maiores que 4.
supondo que o cateto de baixo fosse 4 e o da direita1, o máximo valor seria raiz de 15, aproximadamente 3,9, somente a alternativa e satizfaz isso, as outras sao todas maiores que raiz de 15
Fiz por eliminação.
Os outros valores estavam muito acima do aceitável. A base do triângulo era menor que 4. E a altura era 1. Não poderia nunca ser maior que raiz de 17, que é bem inferior a 5. De todas as alternativas, a única menor que 5 é a letra e.
Caro autor. Faca o seguinte: Desenhe um quadrado. Em cada ponto do quadrado (4) gere um setor (4) com raio igual ao lado do quadrado. Sera gerada no centro uma figura. Qual esta area? De um vestibular antigo na U F R N.
Se há apenas esse modo de fazer, é muito difícil. Essa segunda parte requer um treinamento avançadíssimo na geometria
Essa segunda parte pega mais álgebra, na verdade. 🙂
AB tem q ser menor q o diâmetro dos dois círculos por se tratar de 2 Cordas q obviamente são menores q os diâmetros. AB < 4. Única alternativa possível é a E. Feito em 5 segundos. Caso a questão fosse discursiva ou se tivesse mais de uma alternativa com valor menor q 4, aí só na raça mesmo
Ah, não notei o produto notável 😅 MAS! Acertei de antemão pelas alternativas: pela figura, AB é aproximadamente 4 e apenas a alternativa (e) serve 😊
Eu aposto q a galera q fez por Pitágoras e eliminou as alternativas são engenheiros kkk
Em um concurso nem precisava calcular, qualquer valor dentro de um semicírculo será menor que o diâmetro, logo a soma não poderá ser maior que 4, e na questão acima a letra D, é a única que tem valor menor que 4.
Na verdade, um lado de um triângulo é sempre menor do que a soma dos outros dois. Assim,
AB< *(SOMA DOIS DIÂMETRO)* +1= 4+1=5.
Logo só resta a *alternativa E.*
Coloquei a soma dos dois diâmetros com uma medida próxima do cateto maior.
No caso do cálculo preciso do professor, teríamos:
*AB
Eu raciocinava assim de 2012 a 2015 quando estava na universidade Agostinho Neto🇦🇴
Muito bom! 😃
um mago🧙♂
😶🌫️😄
Po, fui por aproximação, o CA de AB é +- 4, o CO é 1, hipotenusa^2=~17. Ou seja, AB^2
Se o raio é 1, então a resposta é 4, correto ? A mais próxima desse valor é a alternativa E
Gostei tanto de resolver isso que simplifiquei tanto r2(1+r3) e n tava achando a resposta, q susto kkkk, mas bom video!!
😄 Valeu! Estamos juntos! 😀
de onde é essa questão???????
Acertei porém não fiz cálculo, examinei a imagem, as respostas e a lógica baseada no teorema de Pitagora.
Show!
e=√2+√6
Show...show...show, esta questão não é difícil, MAS precisa ser criterioso e relembrar o produto notáveis (a+b)*2. Show...
😀
a gente pode usar o olhômetro e ver que só a última satisfaz a situação
As opções dessa questão são muito maliciosas
Demais 😄
Bom que eu já me preparo pra olimpíada
É isso aí! 😀
Essa racionalização é inviável durante a prova. Mas da pra fazer. Sou md
Por que inviável? Sabendo fazer, dá pra fazer em alguns segundos. 😀
Em uma prova de 100 quest com 5 hr de exec. Realizar uma racionalização dessa em poucos segundos já tem que saber. Tem racio tão esdrúxula que tu leva 2 hrs!! Hast
Essa foi difícil!!!
Requer uma atenção. 🙂
A questão ficou longa devido a explicação desnecessária de quem já tem o nível para solucionar questões como esta. O que foi relevante na resolução foi o pulo do gato em unir os dois centros.
Não há uma forma mais rápida?
Olha o tempão que se leva pra resolver...
Gente!!! Cheguei até a raiz da raiz, depois socorro
Depois é só álgebra 😀
Eu pensei em usar trigonometria pra fazer, que acredito que chega no mesmo resultado
Edit: fiz de cabeça e chegou no mesmo resultado, e desta forma ficou mais simples, pra quem conhece trigonometria
Essa eu iria chutar
Fiz por dedução, pois as alternativas acusavam
O problema é se vier uma alternativa que não seja eliminada por esse método. Aprenda a resolver qualquer um e não dependerá das alternativas de questão nenhuma. 😀
É muito complexo.
Belo problema
😃
Malditas escolas públicas que não ensinam isso! Kkkkk
😬😬
@@ProfessoremCasa matemática básica tipo equações, frações etc... Tem na sua página do UA-cam?