"На просторах интернетов" мат видевы обычно на 2/3 состоят из описания "что такое комплексное число". Ну т.е. 2 крайности: или лекции мехмата с "альфа-бета-гамма штрих" или научпоп. Вот автор нашел классную золотую середину. Респект ему!
Пол Дж. Нахин. Секреты интересных интегралов. Там есть целая глава посвященная этой константе и подробно разобран этот интеграл и интеграл Рамануджана.
у меня есть эта книга. завтра посмотрю, как он сделал. Но почти уверен, что он просто поменял предел и интеграл местами без обоснований :) У него специально "лёгкий инженерный" стиль изложения :)
Вы упоротый фрик. В хорошем смысле. (Я любитель математики и даже выигрывал в детстве - лет 30 назад - республиканскую олимпиаду, но тут даже я мало что понял). Мальчик 44 годика, программист.
Хорошое видео, автор все разжевывает и оставляет ссылки для более любопытных зрителей (что редко можно встретить на YT) , вот бы на этом канале делали видео по физике , или не на этом канале , но с этим автором
Такое ощущение будто ютуб следит за мной. Совсем недавно, как любитель математики, я разбирал интересные числа, в основе которых лежит дуальное число ε, где ε² = 0, ε ≠ 0. Так вот у этого числа есть особое свойство: f(x+ε) = f(x) + f'(x)ε (оно нестрого доказывается через Тейлора) отсюда f(ε) = f(0) + f'(0)ε Если вспомнить производную ПИ-функции (гамма-функция без смещения), то можно получить: П(ε) = 1 - γε Также переписав t^ε как 1 + ln(t)ε в определении ПИ-функции, то можно сразу получить равенство интеграла и отрицательной константы.
Теорема Лагранжа, из которой следует первая интегральная теорема о среднем - это довольно простой, но в то же время довольно крутой инструмент для того, чтобы расправляться с непокорными интегралами. :))))
Помогите ответить на вопрос. Есть хитрая функция x^2 sin(1/x). В нуле неопределена, но может быть дополнена нулем. Сходится ли ее ряд Фурье в нуле (размноженной четным образом, т.е. x^2 sin(1/abs(x)) )? Интегралы x^2 sin(1/x) cos (m x) не очень то берутся, но могут вычисляться численно.
Можно сделать замену x = n * t (n-> inf при t от 0 до 1) в изначальном интеграле, и тогда логарифм можно будет разложить в ряд Тейлора в единице. Там практически сразу гармонический ряд покажется, когда (-1) сократятся. Второй замечательный предел даже не потребуется вводить, но я точно не помню, насколько это вариант строгий, к сожалению.
Простите за глупый вопрос, но почему мы не можем на 9:04 для выражения в скобках использовать второй замечательный предел, при котором это выражение равно e^(-x)?
потому что предел стоит за интегралом, а не внутри. Это и нужно доказать, что его туда можно внести. Я даже отдельное видео сделал (предыдущее, на него тут ссылка есть в описании), чтобы более строго доказать это место.
Не планируете ли когда-нибудь сделать видео про интегралы Коксетера? В русских источниках информации об этом почти нет, а между тем задача интересная (хотя и несколько громоздкая, этого не отнять).
А след интеграл нужен будет для другого, сложного интеграла, а тот в свою очередь будет нужен для совсем сложного интегралв и тд. пока в пределе не будет видео про интеграл для расчета интенсивности излучения черных дыр
@@Jius-fg5zq ну кстати, в квантах, например, есть приёмы, чтобы найти некоторые несходящиеся интегралы. Выглядит это как поругание над математикой. Хотелось бы посмотреть на разборы таких интегралов.
Вместо того, чтобы не мучиться с двумя разными пределами (стремление x к 0 и к бесконечности), я бы рассмотрел интеграл от a до 1/a, где уже a стремится к 0 справа. Будет один предел, где у логарифма при вынесение -1 степени только знак поменяется, а экспонента будет стремиться в свою сторону в каждом алгебраическом слагаемом
Это сработает, если перед этим доказать, что несобственный интеграл сходится, но так в видео не было сделано, возможно, из-за сложности. Самому проверять впадлу)
Модуль не может быть отрицательным. Т.к. по сути это расстояние от начала координат до x, а расстояние не бывает отрицательным. Определение абсолютной величины посмотри
@@MrBertmsk Да чувак ,любое уравнение ,которое не входит в Область Допустимых значений(ОДЗ) ,может иметь комплексное решение ,а мне стало интересно можно ли с помощью комплесными числами сделать это
Очень странно....., месте про "ключевой трюк", переход, IMHO, тривиален! e^x=lim(n->inf)(1+x/n)^n (ряд Тэйлора для экспоненты) . Подставляя "-x" получим этот переход.
тут вы подразумевается, что предел внутри интеграла и снаружи - одно и то же и можно смело менять их местами (а это в половине случаев не работает) и кроме того не просто менять, но еще и на верхнем пределе в интеграле одновременно n стремится к бесконечности. А так понятно, что это равенство и появляется из e^(-x)=lim(n->inf)(1-x/n)^n. Вся "нетривиальность" именно в возможности переставлять пределы.
@@Hmath , В общем случае конечно так переставлять, как вы описываете "стрёмно":) Но здесь, вполне , замену экспоненты на ряд можно вообще произвести с другой буквой, например m. А в конце m приравнять n, так как экспонента сходится "всегда и везде".
вот поэтому и сделал "строже". даже часть в отдельное видео вынес :) я кучу разных комбинаций в решении делал прежде, чем выбрать лучший, на мой взгляд, вариант: компактнее и понятнее
вот это еще посмотрите видео: ua-cam.com/video/vd9ITVgi5xA/v-deo.html там прямо спойлерище! :) это слишком известный интеграл, чтобы ответ у него скрывать. На каждом 2ом канале, на котором разбираются интегралы, рано или поздно появляется и этот :)
На просторах интернетов и правда много таких видео, но нигде нет таких подробностей. Спасибо!
"На просторах интернетов" мат видевы обычно на 2/3 состоят из описания "что такое комплексное число". Ну т.е. 2 крайности: или лекции мехмата с "альфа-бета-гамма штрих" или научпоп. Вот автор нашел классную золотую середину. Респект ему!
@@MrBertmskесть хороший англоязычный матконтент
@@nikko2505 Майкл Пенн, например, да.
Пол Дж. Нахин. Секреты интересных интегралов. Там есть целая глава посвященная этой константе и подробно разобран этот интеграл и интеграл Рамануджана.
у меня есть эта книга. завтра посмотрю, как он сделал. Но почти уверен, что он просто поменял предел и интеграл местами без обоснований :) У него специально "лёгкий инженерный" стиль изложения :)
Подробное решение. Спасибо за отличную лекцию.
Вы упоротый фрик. В хорошем смысле.
(Я любитель математики и даже выигрывал в детстве - лет 30 назад - республиканскую олимпиаду, но тут даже я мало что понял).
Мальчик 44 годика, программист.
Хорошое видео, автор все разжевывает и оставляет ссылки для более любопытных зрителей (что редко можно встретить на YT) , вот бы на этом канале делали видео по физике , или не на этом канале , но с этим автором
сейчас я в физике не сильно силен :)
Длинный ролик на канале😍
Спасибо за ваш труд!
Как-же красиво всë упрощается, спасибо за видео
Такое ощущение будто ютуб следит за мной. Совсем недавно, как любитель математики, я разбирал интересные числа, в основе которых лежит дуальное число ε, где ε² = 0, ε ≠ 0. Так вот у этого числа есть особое свойство:
f(x+ε) = f(x) + f'(x)ε (оно нестрого доказывается через Тейлора)
отсюда f(ε) = f(0) + f'(0)ε
Если вспомнить производную ПИ-функции (гамма-функция без смещения), то можно получить:
П(ε) = 1 - γε
Также переписав t^ε как 1 + ln(t)ε в определении ПИ-функции, то можно сразу получить равенство интеграла и отрицательной константы.
классное видео, но почему с 12:49 изменился голос диктора?)
не знаю, как так получилось. Сам удивляюсь. Видимо в разные дни записывал звук и какие-то разные настройки микрофона поставил.
Теорема Лагранжа, из которой следует первая интегральная теорема о среднем - это довольно простой, но в то же время довольно крутой инструмент для того, чтобы расправляться с непокорными интегралами. :))))
Kak vsio krasivo i jasno, kogda tolkovij muzhik (izviniajus) razjaniajet. Spasybo.
Настоящая магия и красота !!!!
Очень элегантное решение, браво)
Голос изменился?
12:47
Помогите ответить на вопрос. Есть хитрая функция x^2 sin(1/x). В нуле неопределена, но может быть дополнена нулем. Сходится ли ее ряд Фурье в нуле (размноженной четным образом, т.е. x^2 sin(1/abs(x)) )? Интегралы x^2 sin(1/x) cos (m x) не очень то берутся, но могут вычисляться численно.
Можно сделать замену x = n * t (n-> inf при t от 0 до 1) в изначальном интеграле, и тогда логарифм можно будет разложить в ряд Тейлора в единице. Там практически сразу гармонический ряд покажется, когда (-1) сократятся. Второй замечательный предел даже не потребуется вводить, но я точно не помню, насколько это вариант строгий, к сожалению.
Простите за глупый вопрос, но почему мы не можем на 9:04 для выражения в скобках использовать второй замечательный предел, при котором это выражение равно e^(-x)?
потому что предел стоит за интегралом, а не внутри. Это и нужно доказать, что его туда можно внести. Я даже отдельное видео сделал (предыдущее, на него тут ссылка есть в описании), чтобы более строго доказать это место.
Красота!
Спасибо за ваш нелёгкий труд! Можно узнать, где вы учились?
типичный российский провинциальный вуз. но там только какую-то базу математическую дали, дальше сам разбирался
Не планируете ли когда-нибудь сделать видео про интегралы Коксетера? В русских источниках информации об этом почти нет, а между тем задача интересная (хотя и несколько громоздкая, этого не отнять).
никогда не слышал.
@@Hmathдовольно интересная вещь, берутся через трюк Фейнмана, про который как раз у Вас были видео)
Спасибо !!!!!
Уже очень хочется посмотреть, что за интеграл будет дальше, для которого нужен был этот интеграл.
А след интеграл нужен будет для другого, сложного интеграла, а тот в свою очередь будет нужен для совсем сложного интегралв и тд. пока в пределе не будет видео про интеграл для расчета интенсивности излучения черных дыр
@@Jius-fg5zq ну кстати, в квантах, например, есть приёмы, чтобы найти некоторые несходящиеся интегралы. Выглядит это как поругание над математикой. Хотелось бы посмотреть на разборы таких интегралов.
@@Jius-fg5zq а чё там сложного с черными дырами? "жжжжжжж... пых... пых... жжжжжжжж" и всё
на 12й минуте старый микрофон отдал концы и вы купили новый?)
нет, это один и тот же микрофон. В разные дни записываю: так вот голос изменился :)
Марвел надо было снять фильм "Математика. Бортба с бесконечностью"
Вместо того, чтобы не мучиться с двумя разными пределами (стремление x к 0 и к бесконечности), я бы рассмотрел интеграл от a до 1/a, где уже a стремится к 0 справа. Будет один предел, где у логарифма при вынесение -1 степени только знак поменяется, а экспонента будет стремиться в свою сторону в каждом алгебраическом слагаемом
А почему не 1/a^2 или 100/a^15? И то и другое стремится к бесконечности. Очевидно, это некорректный переход
Это сработает, если перед этим доказать, что несобственный интеграл сходится, но так в видео не было сделано, возможно, из-за сложности. Самому проверять впадлу)
У меня такой вопрос |x|=-1 ,даже комплесного решения не имеет?
Модуль не может быть отрицательным. Т.к. по сути это расстояние от начала координат до x, а расстояние не бывает отрицательным. Определение абсолютной величины посмотри
@@MrBertmsk Да чувак ,любое уравнение ,которое не входит в Область Допустимых значений(ОДЗ) ,может иметь комплексное решение ,а мне стало интересно можно ли с помощью комплесными числами сделать это
для комплексных чисел модуль - тоже действительное положительное число.
А кто впервые это соотношение вывел, наверняка Эйлер? Еще можно переписать его как интеграл от 0 до 1 от -ln(-ln(x))
наверняка Эйлер :)
💪
Решить уравнение 4y^2y"=x(y') ^3
Очень странно....., месте про "ключевой трюк", переход, IMHO, тривиален! e^x=lim(n->inf)(1+x/n)^n (ряд Тэйлора для экспоненты) . Подставляя "-x" получим этот переход.
тут вы подразумевается, что предел внутри интеграла и снаружи - одно и то же и можно смело менять их местами (а это в половине случаев не работает) и кроме того не просто менять, но еще и на верхнем пределе в интеграле одновременно n стремится к бесконечности. А так понятно, что это равенство и появляется из e^(-x)=lim(n->inf)(1-x/n)^n. Вся "нетривиальность" именно в возможности переставлять пределы.
@@Hmath , В общем случае конечно так переставлять, как вы описываете "стрёмно":) Но здесь, вполне , замену экспоненты на ряд можно вообще произвести с другой буквой, например m. А в конце m приравнять n, так как экспонента сходится "всегда и везде".
вот поэтому и сделал "строже". даже часть в отдельное видео вынес :) я кучу разных комбинаций в решении делал прежде, чем выбрать лучший, на мой взгляд, вариант: компактнее и понятнее
Производная от гамма функции в точке n=1 равно этому выражению.
именно. К этому и подбираюсь :)
В названии ролика спойлеры же!
вот это еще посмотрите видео: ua-cam.com/video/vd9ITVgi5xA/v-deo.html
там прямо спойлерище! :)
это слишком известный интеграл, чтобы ответ у него скрывать. На каждом 2ом канале, на котором разбираются интегралы, рано или поздно появляется и этот :)
@@HmathУуууууу! 😀