Обозначим точкой О пересечение MB и AC. Обозначим точкой P пересечение AC и BD. Тогда треугольники OBP и CBP равны по двум углам и стороне(BPO прямой, BP общая, OBP=MDB=CBD) значит OB=BC. Также это значит что треугольник AMO равнобедреный, а значит AM=MO. Площадь искомой трапеции S=(AD+BC)/2*h, подставим AD=AM+MD. S=(AM+MD+BC) /2 * h. Но так как AM=MO, а BC=OB получаем S=(MO+MD+OB)/2*3 = (4+4)/2*3=12
Путь O точка пересечения AC и BM. Т.к. тр-к BMD равнобедренный, то ∠MBD=∠MDB. ∠ ADB=∠CBD (как накрест лежащие). В тр-ке OBC высота из точки B является биссектрисой, значит тр-к OBC равнобедренный: OB=BC и ∠BOC=∠BCO. ∠AOM=∠BOC (как вертикальные). ∠CAD=∠ACB (как накрест лежащие). Т.е. в тр-ке AMO ∠OAM=∠AOM, т.е. тр-к AMO равнобедренный (AM=OM). Обозначим AM (=OM) за X, тогда BO (=BC)=4-X. Сумма BC (4-X) и AD (4+X) равна 8. Площадь трапеции 1/2*8*3=12.
Задачу решил в уме, проведя из точки М прямую параллельную АС до пересечения с ВС, полученную точку соединил прямой с точкой D и получил равновеликий ромб с трапецией (по равным диагоналям под прямым углом). Но способ, который в видео понравился. Прям, ну, очень понравился. Казакову респект.🙂
6:15. Я бы доказал через окружность с центром в точке сечения гипотенузы радиусом , равным чевиане. Она проходит через две точки треугольника, но чтобы оставаться прямоугольным, все вершины должны лежать на окружности и гипотенуза суть диаметр =двум радиусам
Или енто не олимпиядная задача, или я свой олимпиадный дух пронес через десятилетия. На основе угла ВМД достраиваем ромб ВМДК. В силу перпендикулярности АС и ВД, диагональ МК, перпендикулярная ВД по свойству ромба, параллельна АС. АМ=СК и треугольники АВМ и СДК равновелики по высоте и основанию. Задача решена: ромб равновелик искомой трапеции. Высота =3, основание =4 Ответ:12
Вот еще вариант. Из точки М опускаем перпендикуляр на BD и продлеваем до пересечения с продолжением ВС, пусть в точке О, тогда параллельно АС, но и АD || BO, то АВОМ параллегограмм и МВОD тоже параллелограмм и в нагрузку еще и ромб, т.к. диагонали перпендикулярны. Треугольники АМВ и СОD имеют равные высоты и основания, стало быть их площади равны, а значит площать трапеции равна площади ромба МВОD, где мы имеем сторону 4 и высоту 3, откуда получаем площадь 12. Ответ получается уже в самом уловии ))
Проведём прямую параллельную диагонали из начала отрезка 4. Она отсечет на верхней стороне маленький отрезок нижнего основания. И превратит трапецию в ромб со сторонами 4, и высотй 3. Площадь 12.
Площадь - половина произведения диагоналей на синус угла между ними. В нашем случае - просто половина произведения диагоналей. А эта половина произведения, в свою очередь, равна площади треугольника PDB и равна (1/2)*2MD*h = 4*3=12.
Я решил сам!!! Ура!!! Спасибо!!! АС пересекает ВМ в точке К. Углы МДВ = МВД = МВС (как углы при основании равнобедренного и как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит ВД - биссектриса МВС. Она же высота треугольника КВС. Значит треугольник равнобедренный. Треугольники КВС и КМА подобны по двум углам. Значит АМ = МК. Проводим МТ параллельную АС, точка Т лежит на продолжении ВС. СТ = МК =АМ, следовательно треугольники АМВ и СВТ равновелики и площадь трапеции равна площади ромба со стороной 4 и высотой 3 или 12.
Мой способ (кажется, такого в комментах еще нет): 1) СК II ВD. S(АСК)=S(трап.). 2) Высота МН. В подобных тр-ках АСК и МНD CK вдвое больше НD, значит, АК вдвое больше МD и = 8. S(трап.)=12.
BMD равнобедренный ,проведем высоту МН, HD=x, площадь трапеции =х*АС причем длинну АС искать не придется , из подобия MD/x=АС/3 и х=3*MD/АС=12/АС и площадь АС*12/АС=12 !
*Вполне можно обойтись рисунком без дополнительных построений и с привлечением минимальных знаний тригонометрии на уровне* *прямоугольного треугольника.* Обозначим: ∡MBD = ∡MDB = α ⟹ ∡CAD = 90° - α . Из треугольника MBD: BD = 8∙cosα. Из треугольника АСЕ (Е-основание высоты, опущенной из точки С) : АС = 3/ cosα. Площадь трапеции равна: S = (1/2)∙AC∙BD = (1/2)∙ (3/ cosα)∙ (8∙cosα) = 12 . *В общем случае: S = MD∙CE .*
Вообще по другому решил и гораздо легче. Маленький треугольник AML схож чуть бальшому.LBC и тоже равнобедренный.ML=AM=x ; BL=BC=4-x ; Сумма основании - x+4+4-x=8 .
Красивейшая задача, красивейшее решение.Даже не хочется искать что-то другое. Спасибо, что обратили внимание на интереснейшее свойство отрезка, проведенного к гипотенузе...
Хмм.. Если перевернуть АМВ так что отрезок АМ станет продолжением ВС и тогда МД=В"М", то получим два треугольника(МВД и ДВ"М") с основанием 4 и высотой 3, в сумме равных исходной трапеции.
Так доказали же именно это в ходе решения задачи. Когда показали, что треугольник РВМ равнобедренный (равные зелёные уголочки- это углы при основании ). РМ=ВМ
Я перенес BD вправо до CF и расмтрел прямоугольный треугольник с катетами диагоналями, гипотенузой 8 и высотой 3. Спасибо за поддрежку в комменттах. Досадная оговорка.
@GeometriaValeriyKazakov Спасибо Валерий. Как говорил мой Папа, радоваться надо. Если бы не было этой оговорки, Вы бы не узнали сколько у Вас настоящих ценителей. Спасибо Вашим критикам за то, что делают Ваш канал интересным не только для любителей математики. Думаю, огромная палитра эмоций подписчиков украсила Ваш ролик и привлечет внимание новых зрителей.
@@GeometriaValeriyKazakov Помните? У Райкина есть песня: я споткнулся у всех на виду, только Браво кричал почему-то добрый зритель в десятом ряду. Побольше Вам зрителей в десятом ряду.
Обозначим точкой О пересечение MB и AC. Обозначим точкой P пересечение AC и BD. Тогда треугольники OBP и CBP равны по двум углам и стороне(BPO прямой, BP общая, OBP=MDB=CBD) значит OB=BC. Также это значит что треугольник AMO равнобедреный, а значит AM=MO. Площадь искомой трапеции S=(AD+BC)/2*h, подставим AD=AM+MD. S=(AM+MD+BC) /2 * h. Но так как AM=MO, а BC=OB получаем S=(MO+MD+OB)/2*3 = (4+4)/2*3=12
Путь O точка пересечения AC и BM. Т.к. тр-к BMD равнобедренный, то ∠MBD=∠MDB. ∠ ADB=∠CBD (как накрест лежащие). В тр-ке OBC высота из точки B является биссектрисой, значит тр-к OBC равнобедренный: OB=BC и ∠BOC=∠BCO. ∠AOM=∠BOC (как вертикальные). ∠CAD=∠ACB (как накрест лежащие). Т.е. в тр-ке AMO ∠OAM=∠AOM, т.е. тр-к AMO равнобедренный (AM=OM). Обозначим AM (=OM) за X, тогда BO (=BC)=4-X. Сумма BC (4-X) и AD (4+X) равна 8. Площадь трапеции 1/2*8*3=12.
Задачу решил в уме, проведя из точки М прямую параллельную АС до пересечения с ВС, полученную точку соединил прямой с точкой D и получил равновеликий ромб с трапецией (по равным диагоналям под прямым углом). Но способ, который в видео понравился. Прям, ну, очень понравился. Казакову респект.🙂
Гениально
6:15. Я бы доказал через окружность с центром в точке сечения гипотенузы радиусом , равным чевиане. Она проходит через две точки треугольника, но чтобы оставаться прямоугольным, все вершины должны лежать на окружности и гипотенуза суть диаметр =двум радиусам
Или енто не олимпиядная задача, или я свой олимпиадный дух пронес через десятилетия.
На основе угла ВМД достраиваем ромб ВМДК. В силу перпендикулярности АС и ВД, диагональ МК, перпендикулярная ВД по свойству ромба, параллельна АС. АМ=СК и треугольники АВМ и СДК равновелики по высоте и основанию. Задача решена: ромб равновелик искомой трапеции. Высота =3, основание =4
Ответ:12
Вот еще вариант. Из точки М опускаем перпендикуляр на BD и продлеваем до пересечения с продолжением ВС, пусть в точке О, тогда параллельно АС, но и АD || BO, то АВОМ параллегограмм и МВОD тоже параллелограмм и в нагрузку еще и ромб, т.к. диагонали перпендикулярны. Треугольники АМВ и СОD имеют равные высоты и основания, стало быть их площади равны, а значит площать трапеции равна площади ромба МВОD, где мы имеем сторону 4 и высоту 3, откуда получаем площадь 12. Ответ получается уже в самом уловии ))
Красота!
Согласен.
Проведём прямую параллельную диагонали из начала отрезка 4. Она отсечет на верхней стороне маленький отрезок нижнего основания. И превратит трапецию в ромб со сторонами 4, и высотй 3. Площадь 12.
Площадь - половина произведения диагоналей на синус угла между ними. В нашем случае - просто половина произведения диагоналей. А эта половина произведения, в свою очередь, равна площади треугольника PDB и равна (1/2)*2MD*h = 4*3=12.
Уже после просмотра ролика ещё идея такая: окр-ть с центром в т. М радиусом 4. Тогда сразу получаем, что PD=BC+AD=8
у меня такая мысль была ДО. Но я чойта бросил и построил ромб
Я решил сам!!! Ура!!! Спасибо!!!
АС пересекает ВМ в точке К. Углы МДВ = МВД = МВС (как углы при основании равнобедренного и как накрест лежащие при параллельных прямых. Значит ВД - биссектриса МВС. Она же высота треугольника КВС. Значит треугольник равнобедренный. Треугольники КВС и КМА подобны по двум углам. Значит АМ = МК. Проводим МТ параллельную АС, точка Т лежит на продолжении ВС. СТ = МК =АМ, следовательно треугольники АМВ и СВТ равновелики и площадь трапеции равна площади ромба со стороной 4 и высотой 3 или 12.
Позд!
Мой способ (кажется, такого в комментах еще нет):
1) СК II ВD. S(АСК)=S(трап.).
2) Высота МН. В подобных тр-ках АСК и МНD CK вдвое больше НD, значит, АК вдвое больше МD и = 8. S(трап.)=12.
BMD равнобедренный ,проведем высоту МН, HD=x, площадь трапеции =х*АС причем длинну АС искать не придется , из подобия MD/x=АС/3 и х=3*MD/АС=12/АС и площадь АС*12/АС=12 !
*Вполне можно обойтись рисунком без дополнительных построений и с привлечением минимальных знаний тригонометрии на уровне*
*прямоугольного треугольника.* Обозначим: ∡MBD = ∡MDB = α ⟹ ∡CAD = 90° - α . Из треугольника MBD: BD = 8∙cosα. Из треугольника АСЕ
(Е-основание высоты, опущенной из точки С) : АС = 3/ cosα. Площадь трапеции равна: S = (1/2)∙AC∙BD = (1/2)∙ (3/ cosα)∙ (8∙cosα) = 12 .
*В общем случае: S = MD∙CE .*
Да, тригонометрией нормально.
Предположительно S= половине произведения диагоналей трапеции, но добраться пока не могу, погрязла в вычислениях...
Вообще по другому решил и гораздо легче. Маленький треугольник AML схож чуть бальшому.LBC и тоже равнобедренный.ML=AM=x ; BL=BC=4-x ; Сумма основании - x+4+4-x=8 .
Красивейшая задача, красивейшее решение.Даже не хочется искать что-то другое. Спасибо, что обратили внимание на интереснейшее свойство отрезка, проведенного к гипотенузе...
1. sin(BMD)=3/4; тогда cos(BMD)=√7/4
2.BD^2=16+16-2*4*4*√7/4=32-8√7=4(8-2√7); BD=2√(8-2√7)
3. sin(BMD/2)=(BD/2)/4=BD/8=(1/4)√(8-2√7)
4. sin(BMD/2)=3/AC; AC=12/√(8-2√7)
5. S=AC*BD/2=12
Очень интересное решение.
@@ИраДжи Да, конечно. Спасибо, подправил.
Вы сделали много лишней работы. Численные значения триг. функций совершенно не нужны. Посмотрите моё решение, без вычислений.
Ура! Второй ролик.
Завтра 3 будет!
Хмм.. Если перевернуть АМВ так что отрезок АМ станет продолжением ВС и тогда МД=В"М", то получим два треугольника(МВД и ДВ"М") с основанием 4 и высотой 3, в сумме равных исходной трапеции.
Идея интересная, до окнца не въехал, но у на же BM не параллельно CD. Что значит "перевернуть"? Вклеить такой же в левый верхний угол?
@@GeometriaValeriyKazakovДа не параллельны, я ошибся. То, что ВС+АМ=4 это уже послезнание.
А доказать это свойство можно? Я про отрезок на гипотенузу, что если он равен одной части гипотенузы, то он медиана? Просто интересно
Так вроде все доказано.
Так доказали же именно это в ходе решения задачи. Когда показали, что треугольник РВМ равнобедренный (равные зелёные уголочки- это углы при основании ). РМ=ВМ
@ИраДжи спасибо, я был не внимателен. Наверное отвлëкся
Мы решении же именно это и доказали!
Как проверить существование трапеции?
Я перенес BD вправо до CF и расмтрел прямоугольный треугольник с катетами диагоналями, гипотенузой 8 и высотой 3. Спасибо за поддрежку в комменттах. Досадная оговорка.
@GeometriaValeriyKazakov Спасибо Валерий. Как говорил мой Папа, радоваться надо. Если бы не было этой оговорки, Вы бы не узнали сколько у Вас настоящих ценителей. Спасибо Вашим критикам за то, что делают Ваш канал интересным не только для любителей математики. Думаю, огромная палитра эмоций подписчиков украсила Ваш ролик и привлечет внимание новых зрителей.
Проверяю при помощи циркуля. Интересно было бы вывести формулу. Завтра снова семь уроков. Капут.
@@GeometriaValeriyKazakov Помните? У Райкина есть песня: я споткнулся у всех на виду, только Браво кричал почему-то добрый зритель в десятом ряду. Побольше Вам зрителей в десятом ряду.