Один сплошной позитив, спасибо! Жалко что у нас в школе не было так интересно. Нихрена не поняла, но Алексей как Страдивари, великолепен! Большое искусство. А главное подача, очень заряжает! Благодарю.
@@АлександрКоптев-т2г Абсолютно с Вами согласен. Гордиться решением школьных задачек математику не стоит. Но весь этот ролик посвящен не обучению, а демонстрации "Во как я могу!", заканчивающейся на 16:20 пафосной фразой "И даю вам честное слово, а я никогда не обманываю, что я действительно эту задачу до этого не решал". Мне импонируют педагоги, которые как раз решают задачи до того, как выйти с решением к аудитории. И главной целью перед собой ставят показать понятное, эффективное, лаконичное и красивое решение. А не справиться со школьной задачкой у всех на виду
@@igorandante ну он же не репетитор, чтобы показывать как за 30 секунд решить задачу. Мне как раз наоборот нравится ход его рассуждений. Именно этот ролик я не смотрел, но я никогда не замечал за автором какого-то самолюбования. Зря вы так вообщем
Ценное видео! Человек показывает свои рассуждения вживую! Очень сильно, смело, увлекательно! Это - поединок! Это - восхитительная игра! Это то, что делаешь с удовольствием. Смотрю и радуюсь. Спасибо! 💖
Для "страдальцев короткого решения". После того, как выявлены квадрат суммы и квадрат разности, делается очевидная замена и система принимает вид u^2=1, v^2=4a-1. Первое уравнение сразу дает два решения, поэтому во втором уравнении получаем 4a-1=0 => a=1/4. Но видос, как верно замечено, вообще не про это.
@@sable8004 , берем изначальную систему. Из первого уравнения вычитаем второе, получаем слева разность квадратов, справа единицу. Складывая первое и второе изначальные уравнения, получаем слева сумму квадратов, справа 4а-1. В итоге у нас есть, эквивалентная исходной, система (x-y)^2=1 и (x+y)^2=4a-1. Дальше замена и как я сказал в исходном комментарии.
Интересно смотреть на Саватеева , раздолбай (в хорошем смысле) , всегда с улыбкой . Видно, что на ходу ищет решение и соглашается если где-то что-то пропустил или не правильно понял условие.
Спасибо, получилось шикарно - из унылой с виду задачки выросла красивая геометрическая интерпретация! Да, подход не самый быстрый, зато надёжный и позволяет в условиях ЕГЭ-стресса затащить задачку даже если не получается додуматься до заветного авторского "легко заметить, что ...". Плюс для проверки аналитического решения, не упустили ли чего-нибудь. Снимайте ещё! Только лучше давать задачки случайно, без предварительного просмотра, тогда будет совсем по чесноку :)
тут по ходу не совсем понятно, что будет- детектив или драма. Но школьнику точно понятно, что у него- триллер, и рассуждать по 15 минут чепуху у него нет возможности. Поэтому школьник из проблемы ищет позитивный выход в то время как доктор физмат наук непонятно зачем ныряет всё глубже
@@eugenecraftchincow1593 Ну во-первых это одна из последних задач, на которую у нормального школьника и пол часа должно остаться. Первая часть вообще минут за 10 решается, вторая за час край. На базовую математику дается три часа, на профиль - 4. Во-вторых - решить можно и аналитически. Другое дело, что в аналитике можно ошибиться, а тут все наглядно, что на 3м часу как бы проще.
Всё это действо работает на позитив, что, конечно же, полезно для школьника. Ну а всю математику по этой задаче можно вложить в 2 строчки. Вначале рисуем две картинки - соответствующие условию графики в 1 и 3 коорд. четвертях и графики во 2 и 4 четвертях. (х²+у²=2а и 2ху=2а-1) ⇔ (х=у или х=-у) ⇔ (2х²=2а и 2х²=2а-1 или 2х²=2а и 2х²=-2а+1) ⇔( ∅ или 2а=-2а+1, а=1/4).
x-y=+-1 От этого надо найти х или у и подствит на первого или второго уранение. Потом получится квадратное уравнение относительно х или у. Чтобы имел конкретно два решения кв. уравнение дискриминант должен болше нуля. И все.
Верно. Но это шаблонное решение. И то, что оно довольно просто в этой конкретной задаче, не говорит, что оно так же просто и в других подобных. К тому же, есть люди, которым проще решить графически, нежели аналитически. Склад ума у них такой
Предлагаю несколько иное решение, которое, на мой взгляд, более экономно. Из первоначальной системы x^2+y^2=2a 2xy=2a-1 , складовая и вычитая уравнения, получим эквивалентную систему (x-y)^2= 1 (x+y)^2=4a-1. Введем переменные α=x-y и β=x+y, тогда α^2=1 (1) β^2=4a-1 (2) Отсюда сразу получаем ограничение на параметр a, a≥1⁄4. На плоскости (α, β) уравнение (1) описывает две горизонтальные прямые α =±1. Уравнение (2) описывает семейство вертикальных прямых β=±√(4a-1), расположенных симметрично относительно оси α. Из рисунка (легко нарисовать) видно, что при любом a>1⁄4 система имеет четыре решения( четыре точки пересечения), за исключением a=1⁄4, когда β=0 и имеется только две точки пересечения, что и является искомым решением.
10:00 вот вам и вся причина "красивости" решения Савватеева. Он просто одну вещь (довольно очевидную) не заметил, потому ушел в дебри какой-то посторонней ерунды. Мне это конкретное видео представляется полезным только в одном плане - показать, что даже если не видишь простое решение, предусмотренное автором задачи, все равно нужно не сдаваться, а продолжать думать (что, собственно, Савватеев и демонстрирует).
Maksim Bolonkin согласна! Не заметил очевидного. Но в дебрях интересно и полезно полазить... А для егэ, конечно, аналитический способ наилучший в данном случае.
Если х,у решение, то также решения -х,-у. у,х. -у,-х. Чтобы решений было 2, пары решений должны совпадать. х,у не может совпадать с -х,-у так как тогда х=у=0 что невозможно. Остаётся 2 варианта х=у и х=-у. Если х=у тогда 2а=2а-1, что невозможно. Если х=-у тогда 2а=1-2а и а=1/4. Все, никаких картинок))
и это печально. Научить зубрить специфику рамочного экзамена -не самый лучший способ развития математических навыков, а сам экзамен не самый эффективный способ оценки этих навыков.
Тут дело даже не столько в решении задачи, сколько в том, чтобы посмотреть как рассуждает математик-человек абстрактного мышления. Как минимум любопытно.
Радует тот факт, что два крутых математика на одной странице. Смотрю ваши курсы по математике, очень полезные. Спасибо вам Дмитрий Итхайлов и Алексей Владимирович )
Мне кажется, что намного проще сначала вычесть первое уравнение из второго и заметить, что (x-y)^2 = 1 |x-y|=1. В таком случае имеем систему из |x-y| = 1 и окружности переменного радиуса, то есть прямые y=x+-1 и окружность должны касаться. Это происходит, когда sqrt(2a) = sqrt(2)/2
А я в итоге сначала вычел из первого второе, а затем прибавил к первому второе, получилась новая система где (x-y)² = 1 и (x+y)² = 4a-1, потом выясняется, что первое уравнение это две прямые, и второе уравнение это две прямые, и тогда всегда 4 решения, НО только в случае когда 4а-1>0, а вот при 4а-1=0 получается одна прямая, так как корень обращается в ноль. И только тогда два решения)
Мне нравится, что он ставит во главу угла заинтересовать людей математикой, а не показать стандартные схемы решения, как у роботов, к чему и ведёт современная школьная программа, которая не учит думать.
Может где-то этот коммент уже был, но вот ещё решение (по-моему, весьма простое). У такой системы есть ненулевое решение (x,y), потому есть и решения (y,x), (-x,-y), (-y,-x). В силу условия, эти 4 решения лежат либо на прямой y=x, либо на y=-x. Тогда y=±x (то есть "одно из"). 2x^2 = 2a, потому x^2=2a. ±2x^2 = 2a-1, откуда ±2a = 2a-1. Отсюда y = -x, a = 1/4. Отсутствие других решений проверяется непосредственно (например, из неравенства Коши).
А почему бы просто не сложить два уравнения и на полученное (х+у)^2=4a-1 поставить условие, что 4a-1>=0, чтобы существовало два корня, и тогда все значения для a будут a>=1/4.
Всё таки решить можно проще. Как он на 10-й минуте правильно догадался , можно это дело свети к другой системе, а именно (x-y)^2=1 и (x+y)^=4a-1 . Первое уравнение даёт x=y+/-1 . То есть , если у нас есть 2 решения x, то у нас есть аж целых 4 решения. А если есть 1 вариант x , то у нас только 2 решения. Один вариант может быть только если (x+y)^2=0. Ответ a=1/4 .
Мне 37 лет, а я раньше Алексея догадался что в 1 и 3 четвертях нет решений))) Помнит ещё голова что-то из школьной программы, как ни странно. Ну а Алексею громадный респект за популяризацию Царицы Наук!)))
Сколько же троечников, кричащих о том, что можно решить быстрее и проще. Этот человек даёт Вам системный подход! Универсальный. Все остальное - риск потери случаев.
там все остальные задачи решаются от 20сек до 2мин, а такая задача "классическими" методами решается за те же 15 минут, вот только еще не всяким методом.. и можно потратить 10 минут, зайти в тупик...а метод, примененный тут, позволяет решить любую задачу, потому что он не столько метод решения, а метод понимания задачи и создания метода решения.
Кмк, тут еще повезло с уравнениями. Такто еще надо проанализировать и убедиться, что скорость вылета гипербол больше чем скорость роста концентрических окружностей, иначе не догонят, иначе никогда не будет 0
Второе возвести в квадрат, тогда х² и у² - корни квадратного уравнения z²-2az+(a-1/2)²=0 D=a²-(a-1/2)²=a²-a²+a+1/4=a+1/4 Очевидно, что уравнение должно иметь единственный корень, т.е D=0, и а =-1/4
Не ребята, так вы егэ не сдадите,задача на корень кв. ур-я ! решение в три действия 1- область допуст. знач. а>0, 2-сложите два ур-я системы получим (Х+Y)2=4a-1 и наконец 3- 4а-1 должно равняться 0!! откуда а=1/4 все.
Горе от ума! Вычесть и сложить оба уравнения Из суммы - две парллельные прямые при любом а. Из разности след. уравнение прямой, перпендикулярной предыдущим и единственной при условии а=1/4. И все! Просто надо подумать прежде чем начинать лицедействовать. Правда, в прямом эфире по другому м.б. и нельзя. В любом случ. спасибо за огромн. просвет. раб.
Та фигня, которую ты предлагаешь, будет работать только в случае, когда подобная задачка составлена в стиле поддавков. А Савватеев тебе показал, как такое надо решать в случае, если ты не предполагаешь, что тебе дают задачку-поддавок. Подставь в такую типовую задачку произвольные коэффициенты, и попробуй решить своим "одно вычесть, другое сложить", гений.
@@СергейХодяков-я5ю Кончно, можно и подсчитывая выручку в кассе блеснуть познаниями в математике - если поставить себе именно такую задачу. Но, право же, нет ничего плохого в умении выбрать инструмент наиболее адекватный задаче. Ваше увлечение красотами математики я вполне разделяю, сам кончил мехмат, но ваш запал мне представляется просто неуместным - речь идет о ЕГЭ...
@@alejandrosanchez8135 , речь всегда в первую очередь в таких ситуациях идет о математике, позвали человека , который к ЕГЭ никакого отношения не имеет, для человека науки, полезно познавать новое, в уже изученном.
Интересное решение, но мне кажется мой способ проще. Вероятно в нем кроется какая-то ошибка, но мне показалось, что все верно. Я также вычел одно уравнение из другого и получил что разница между переменным равна 1. И так как уравнение симметричны относительно переменных, то неважно что ты будешь обозначать за x, а что за x+1. Подставил y = x + 1 в вернее уравнение, тем самым получил квадратное уравнение. Так как мы знаем что мы должны получить только два возможных решения, а мы уже знаем, что этими решениями будут числа отличающиеся на единичку, т.е. например 1,2 и наоборот (2,1). Реальные значения x и y нас не интересуют. Чтобы это достичь, полученное квадратное уравнение должно иметь только один корень. А у квадратного уравнения один корень при дискрименанте равным нулю. И таким образом я получил a = 1/4/ То есть все решение в пару строк.
10:30 Первая равнозначная система, где уравнение 2xy=2a−1 заменили на (x−y)^2=1 и вторая, где x^2+y^2=2a заменили на (x−y)^2=1, а 2xy=2a−1 заменили на (x+y)^2=4a−1. Почему они эквивалентны? Если посмотреть на систему как на отображение из плоскости на другую штрихованную плоскость {x`, y`}=F(x, y), то решение системы есть не что иное как прообраз точки {2a, 2a−1}. Если параметр a меняется, то это прообраз прямой y`=x`−1/2. Замена системы есть переход от отображения F(x, y) к новому отображению {x^, y^}=G(x, y), где G есть композиция F и какого-то переходного отображения A: {x^, y^}=A(x`, y`). G(x, y)=A∘F(x, y). Мы видим в первом случае A это x^=x`, y^=x`−y`, а во втором A это x^=x`−y`, y^=x`+y` В обоих случаях A есть линейное невырожденное отображение, поэтому оно однозначно, то есть является биекцией между штрихованной плоскостью и плоскостью со шляпкой. Линейное отображение прямые переводит в другие прямые, в 1) {2a, 0} или y^=0, в 2) {1, 4a−1} или x^=1. Из-за обратимости A у систем G(x, y) и F(x, y) множество решений совпадает. Если x0, y0 решение F(x0, y0)={x'(a), y'(a)}, то оно же есть решение G(x0, y0)=A∘F(x0, y0)=A∘{x'(a), y'(a)}={x^(a), y^(a)}. И наоборот если G(x0, y0)={x^(a), y^(a)}, то F(x0, y0)=A^-1∘G(x0, y0)=A^-1({x^(a), y^(a)})={x'(a), y'(a)}. Обозначение A^-1 - обратное к A отображение.
@@gh8499 Это терминология вузовского математического анализа. Можно почитать любую лекцию по мат. анализу. Или очень кратко например в википедии: ru.wikipedia.org/?oldid=102776927 От теоретико-множественного определения и дальше. Отображение синоним термина функция, используется в случае, когда речь идёт о многомерных пространствах. То что A линейное, это не столь важно здесь. Главное, что A -- это биекция. Просто у линейных отображений легко проверяется их инъективность (невырожденность). Например можно написать матрицу отображения и посмотреть на её ранк. ru.wikipedia.org/?oldid=102128329 Можно сформулировать такое утверждение. Если две системы уравнений {x`=f1(x, y), y'=f2(x, y)} и {x^=g1(x, y), y^=g2(x, y)} получились друг из друга за счёт композиции с линейным невырожденным отображением A, то эти системы эквивалентны. Матрицы такие, если вектор является столбцом: x^=x`, y^=x`−y` ( 1, 0) ( 1, −1) x^=x`−y`, y^=x`+y` ( 1, −1) ( 1, 1)
Забавно, наткнулся случайно на этот ролик в рекомендациях, и с первых секунд эти господа заявляют, что у нас с ними день рождения в один день. Судьба, судьба....
В силу симметрии решений системы относительно прямой х=у. Ведь если (х0;у0) решение, то и (у0;х0) тоже. А так как случай с прямыми у=х+/-1 отпадает, то случай с двумя решениями может реализоваться только между этими прямыми. Это возможно только на прямой х=у.
Очевидно, что из1 ур надо вычесть 2, потом сложить их, а дальше от этого пляшем. И вуаля! Но графический разбор полезно сделать, конечно. Хотя аналитически решать проще в данном случае.
Все красиво, но можно много проще: складываем и вычитаем. Получаем: (x-y)’2=1; (x+y)’2=4a-1. 4a-1>=0. Рассмотрим a=0,25 получаем два решения: (0,5;-0,5) и(-0,5;0,5). При a>0,25 получаем две пары прямых т.е. четыре решения. И все.
А как же вариант при котором: a = 1/2? Там получается система с кругом и линеей y = 0 где существует 2 решения? Разве ответ не должен быть {1/4} и {1/2}?
К сожалению, приведённый способ решения (с картинками) не подходит при решении на экзамене! Объяснения займут слишком много времени и не факт, что будут понятны проверяющим. Алгебраически решается значительно короче!
Объяснение шикарное. Так должны в вузе преподавать. Все наглядно, без кучи формул. Но вот откуда он взял икс и игрек по одной второй- не уловил. Ну и дальше логика для меня потеряна
Решения лежат на прямых y = x+1 и y = x-1. Ранее была определена модель, при которой у системы два решения - когда гипербола касается окружности. В силу симметричности графиков эти касания лежат на прямой y = -x. А теперь решите две системы {y = x±1 {y = -x и получите ±1/2
@@MegaTrover Если можно, то я тоже хотел бы задать вопрос. Немного не понимаю логики. Если итак уже условие, что решение лежит у=х+1и у=х-1, то почему мы имеем право использовать у=-х. Как мы знаем,что это, именно у=-х, а не, к примеру, у=-х+1
@@ddd7386 Логика простая. Есть две касательных y = x+1 и y = x-1. Точки касания лежат на прямой y = -x, поскольку и гипербола и окружность абсолютно симметричны и началу координат, и осям. Если и теперь непонятно почему y = -x, то составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямым y = x+1 и y = x-1 (перпендикулярно потому, что радиус окружности всегда перпендикулярен касательной). Это и будет y = -x.
Решение - плохое. Задача решается устно за минуту. Из симметрии гипербол и окружностей сразу видим, что при их касании х=+-у. х=у не годится, т.к. правые части не равны. А из х=-у очевидно 2а=1-2а. а=1/4.
Я забил в программу эти две функции, предварительно преобразовав их, чтобы получились функции вида y=f(x). Правда, после этого на графике отобразилась только половина окружности, но это не страшно. И потом просто перебирал значения параметра. Одно решение при а=1/4 подтвердилось. Я стал искать второе, потому что к тому моменту ещё не досмотрел ролик до конца. И второе решение обнаружилось. А может и нет. В любом случае, я сделал максимальный зум в предполагаемой точке касания, и касание оказалось в единственной точке, ну на самом деле не в единственной, потому что была только половина окружности. Это решение при а=12500.
Автор, подскажи пожалуйста как называется такой "графический" метод решения математических задач? Хочу научится данному методу, есть ли какие нибудь рекомендации по поиску литературы, в котором описывается данный метод, для его дальнейшего изучения?
В 16:05 становится понятно, что это план нападения на Звезду смерти. Даже имперские истребители нарисовал)
Ржал как конь. Спасибо, бро
Замечательные люди, замечательная математика.
Да, это точно!
Один сплошной позитив, спасибо! Жалко что у нас в школе не было так интересно. Нихрена не поняла, но Алексей как Страдивари, великолепен! Большое искусство. А главное подача, очень заряжает! Благодарю.
Когда Савватеев что-то рассказываеть, я ничего не понимаю, даже если он объясняет как сложить 2+2.
А я его очень хорошо понимаю. Мне бы так в школе объясняли
У него цели нет - объяснить. Его цель - показать, насколько он крут. Гордыня имеет место быть везде, а уж в науках на ней все и стоит...
@@igorandante ау, ну вы чего, отлично объясняет же. Да и чем гордиться в решении школьных задачек?
@@АлександрКоптев-т2г Абсолютно с Вами согласен. Гордиться решением школьных задачек математику не стоит. Но весь этот ролик посвящен не обучению, а демонстрации "Во как я могу!", заканчивающейся на 16:20 пафосной фразой "И даю вам честное слово, а я никогда не обманываю, что я действительно эту задачу до этого не решал".
Мне импонируют педагоги, которые как раз решают задачи до того, как выйти с решением к аудитории. И главной целью перед собой ставят показать понятное, эффективное, лаконичное и красивое решение. А не справиться со школьной задачкой у всех на виду
@@igorandante ну он же не репетитор, чтобы показывать как за 30 секунд решить задачу. Мне как раз наоборот нравится ход его рассуждений. Именно этот ролик я не смотрел, но я никогда не замечал за автором какого-то самолюбования. Зря вы так вообщем
Ценное видео! Человек показывает свои рассуждения вживую! Очень сильно, смело, увлекательно! Это - поединок! Это - восхитительная игра!
Это то, что делаешь с удовольствием. Смотрю и радуюсь. Спасибо! 💖
Спасибо, что оченили)
Давно из школы, но ... какая любовь к математике! Какой азарт! Приятно смотреть!!!
Сегодня 13 декабря 2019 г.!!!
С днём рождения!!!
у меня тоже день рождения!
Стрельцьі не верят в гироскопьі
это самый легкий параметр в егэ который я когда либо видел. можно было по сложнее что-нибудь взять?
Для "страдальцев короткого решения". После того, как выявлены квадрат суммы и квадрат разности, делается очевидная замена и система принимает вид u^2=1, v^2=4a-1. Первое уравнение сразу дает два решения, поэтому во втором уравнении получаем 4a-1=0 => a=1/4.
Но видос, как верно замечено, вообще не про это.
Абсолютно верно!
Подскажите, почему = 1 и в другом случае 4a - 1? Если вычитаем 1 уравнение из 2 то получается x^2-2xy+y^2=0 или что-то другое происходит, не понял.
@@sable8004 , берем изначальную систему. Из первого уравнения вычитаем второе, получаем слева разность квадратов, справа единицу. Складывая первое и второе изначальные уравнения, получаем слева сумму квадратов, справа 4а-1. В итоге у нас есть, эквивалентная исходной, система (x-y)^2=1 и (x+y)^2=4a-1. Дальше замена и как я сказал в исходном комментарии.
Интересно смотреть на Саватеева , раздолбай (в хорошем смысле) , всегда с улыбкой . Видно, что на ходу ищет решение и соглашается если где-то что-то пропустил или не правильно понял условие.
Ничего не понял - но наблюдать за эмоциями - и за радостью лектора, когда задача решается - это самый цимус!
Да, цель данного видео - заразить любовью к математике:)))
Спасибо, получилось шикарно - из унылой с виду задачки выросла красивая геометрическая интерпретация!
Да, подход не самый быстрый, зато надёжный и позволяет в условиях ЕГЭ-стресса затащить задачку даже если не получается додуматься
до заветного авторского "легко заметить, что ...". Плюс для проверки аналитического решения, не упустили ли
чего-нибудь.
Снимайте ещё! Только лучше давать задачки случайно, без предварительного просмотра, тогда будет совсем по чесноку :)
Мальтийский крест?
Будто детектив посмотрел. Мне бы в те года такую подачу...
тут по ходу не совсем понятно, что будет- детектив или драма.
Но школьнику точно понятно, что у него- триллер, и рассуждать по 15 минут чепуху у него нет возможности. Поэтому школьник из проблемы ищет позитивный выход в то время как доктор физмат наук непонятно зачем ныряет всё глубже
ты бы егэ тогда два дня решал с такой подачей.
@@eugenecraftchincow1593
Ну во-первых это одна из последних задач, на которую у нормального школьника и пол часа должно остаться. Первая часть вообще минут за 10 решается, вторая за час край. На базовую математику дается три часа, на профиль - 4.
Во-вторых - решить можно и аналитически. Другое дело, что в аналитике можно ошибиться, а тут все наглядно, что на 3м часу как бы проще.
Евгений Кожевников подача увлекательная, смотреть весело, но чёткости нет. Ученики запутаются.
Alex Ivanov полчаса тут нечего делать. Аналитически за 10 минут максимум.
Всё это действо работает на позитив, что, конечно же, полезно для школьника. Ну а всю математику по этой задаче можно вложить в 2 строчки. Вначале рисуем две картинки - соответствующие условию графики в 1 и 3 коорд. четвертях и графики во 2 и 4 четвертях.
(х²+у²=2а и 2ху=2а-1) ⇔ (х=у или х=-у) ⇔ (2х²=2а и 2х²=2а-1 или 2х²=2а и 2х²=-2а+1) ⇔( ∅ или 2а=-2а+1, а=1/4).
Спасибо, дядь Леш! Вспоминается алгебра, анализ функции в старших классах.
x-y=+-1
От этого надо найти х или у и подствит на первого или второго уранение. Потом получится квадратное уравнение относительно х или у. Чтобы имел конкретно два решения кв. уравнение дискриминант должен болше нуля. И все.
да, конечно！можно и так）
это и требуют от школьников, конечно это экономия времени на егэ, а через рассуждение и визуализацию интереснее )
Верно. Но это шаблонное решение. И то, что оно довольно просто в этой конкретной задаче, не говорит, что оно так же просто и в других подобных. К тому же, есть люди, которым проще решить графически, нежели аналитически. Склад ума у них такой
Предлагаю несколько иное решение, которое, на мой взгляд, более экономно.
Из первоначальной системы
x^2+y^2=2a
2xy=2a-1 ,
складовая и вычитая уравнения, получим эквивалентную систему
(x-y)^2= 1
(x+y)^2=4a-1.
Введем переменные α=x-y и β=x+y, тогда
α^2=1 (1)
β^2=4a-1 (2)
Отсюда сразу получаем ограничение на параметр a, a≥1⁄4.
На плоскости (α, β) уравнение (1) описывает две горизонтальные прямые α =±1. Уравнение (2) описывает семейство вертикальных прямых β=±√(4a-1), расположенных симметрично относительно оси α. Из рисунка (легко нарисовать) видно, что при любом a>1⁄4 система имеет четыре решения( четыре точки пересечения), за исключением a=1⁄4, когда β=0 и имеется только две точки пересечения, что и является искомым решением.
10:00 вот вам и вся причина "красивости" решения Савватеева. Он просто одну вещь (довольно очевидную) не заметил, потому ушел в дебри какой-то посторонней ерунды. Мне это конкретное видео представляется полезным только в одном плане - показать, что даже если не видишь простое решение, предусмотренное автором задачи, все равно нужно не сдаваться, а продолжать думать (что, собственно, Савватеев и демонстрирует).
именно так）
Maksim Bolonkin согласна! Не заметил очевидного. Но в дебрях интересно и полезно полазить... А для егэ, конечно, аналитический способ наилучший в данном случае.
Если х,у решение, то также решения -х,-у. у,х. -у,-х. Чтобы решений было 2, пары решений должны совпадать. х,у не может совпадать с -х,-у так как тогда х=у=0 что невозможно. Остаётся 2 варианта х=у и х=-у. Если х=у тогда 2а=2а-1, что невозможно. Если х=-у тогда 2а=1-2а и а=1/4. Все, никаких картинок))
Можно и так) Но как это делает Алексей - это красиво и познавательно
ЕГЭ-life. Математика Только на ЕГЭ ценится не интересность и познавательность, а быстрота решения.
@@LostAI_Music Вы можете посмотреть массу роликов на моем канале, где я придерживался этого принципа
и это печально. Научить зубрить специфику рамочного экзамена -не самый лучший способ развития математических навыков, а сам экзамен не самый эффективный способ оценки этих навыков.
@@NY-lk4rh соласен！
А почему ссыль на канал Савватеева в описание не добавили?
Офигенный математик! Очень позитивный)
Это точно)) Он просто АС!
Одно удовольствие слушать и видеть Савватеева!
Тут дело даже не столько в решении задачи, сколько в том, чтобы посмотреть как рассуждает математик-человек абстрактного мышления. Как минимум любопытно.
Правильный подход!
Не забудь поставить лайк?) Савватееву лайк можно ставить не глядя. Но я все-таки посмотрел)
Савватеев крут）
Радует тот факт, что два крутых математика на одной странице. Смотрю ваши курсы по математике, очень полезные. Спасибо вам Дмитрий Итхайлов и Алексей Владимирович )
Ни хера не понимаю, но смотрю как остросюжетный детектив.
7:04 Алексей Владимирович, почему координатный крест? Ось Х, вроде... При любом Х значение функции нулевое...
Начал смотреть. Савватеев не облажайся!
Он выбрал долгий путь) Но получилось ОЧЕНЬ круто!
самое главное как это все применить в повседневной рутинной жизни и послужить братьям и сестрам нуждающимся вдовам
Мне кажется, что намного проще сначала вычесть первое уравнение из второго и заметить, что (x-y)^2 = 1 |x-y|=1. В таком случае имеем систему из |x-y| = 1 и окружности переменного радиуса, то есть прямые y=x+-1 и окружность должны касаться. Это происходит, когда sqrt(2a) = sqrt(2)/2
А я в итоге сначала вычел из первого второе, а затем прибавил к первому второе, получилась новая система где (x-y)² = 1 и (x+y)² = 4a-1, потом выясняется, что первое уравнение это две прямые, и второе уравнение это две прямые, и тогда всегда 4 решения, НО только в случае когда 4а-1>0, а вот при 4а-1=0 получается одна прямая, так как корень обращается в ноль. И только тогда два решения)
Очень хороший канал ,жаль мало кто смотрит
Дамир, это точно)) Надо сюда людей нагнать))
@@egelife я всем рекомендую ваш канал ,сдавал ЕГЭ в прошлом году ,занимался с вами ;)
@@DIYAROVDR спасибо） если что у нас есть партнерская программа. Переходи вк и там расскажем ;）
Здравствуйте может ли Алексей Савватев показать как Грэм нашел чиcло g64. Показать ход решения задачи о закрашивании гиперкуба в два цвета
отличнинько, так держать
спасибо）
Мне нравится, что он ставит во главу угла заинтересовать людей математикой, а не показать стандартные схемы решения, как у роботов, к чему и ведёт современная школьная программа, которая не учит думать.
Лучший коллаб
Спасибо за высокую оценку！
Так трогательно спрашивает "а ответ правильный?" :)
Мне кажется, что секрет успеха Саватеева в понимании математики, находится в любви визуализировать в голове сухие математические формулы.
Или просто потому, что он доктор наук...
Хорошее видео спасибо!)
пожалуйста）
Больше Савватеева! В массы! Очень полезное и интересное видео, даже для студентов политехнического
Согласен!
Может где-то этот коммент уже был, но вот ещё решение (по-моему, весьма простое).
У такой системы есть ненулевое решение (x,y), потому есть и решения (y,x), (-x,-y), (-y,-x). В силу условия, эти 4 решения лежат либо на прямой y=x, либо на y=-x. Тогда y=±x (то есть "одно из"). 2x^2 = 2a, потому x^2=2a. ±2x^2 = 2a-1, откуда ±2a = 2a-1. Отсюда y = -x, a = 1/4. Отсутствие других решений проверяется непосредственно (например, из неравенства Коши).
Он именно решает задачу, а не пишет готовый алгоритм ответа
То чувство, когда смотришь этот видос в их день рождения
А почему бы просто не сложить два уравнения и на полученное (х+у)^2=4a-1 поставить условие, что 4a-1>=0, чтобы существовало два корня, и тогда все значения для a будут a>=1/4.
Всё таки решить можно проще. Как он на 10-й минуте правильно догадался , можно это дело свети к другой системе, а именно (x-y)^2=1 и (x+y)^=4a-1 . Первое уравнение даёт x=y+/-1 . То есть , если у нас есть 2 решения x, то у нас есть аж целых 4 решения. А если есть 1 вариант x , то у нас только 2 решения. Один вариант может быть только если (x+y)^2=0. Ответ a=1/4 .
конечно можно
давайте-ка порешаем задачи по сопромату на предмет сложного сопротивления в пространственных рамах?)
Наш канал посвящен ЕГЭ
Мне 37 лет, а я раньше Алексея догадался что в 1 и 3 четвертях нет решений))) Помнит ещё голова что-то из школьной программы, как ни странно.
Ну а Алексею громадный респект за популяризацию Царицы Наук!)))
Сколько же троечников, кричащих о том, что можно решить быстрее и проще. Этот человек даёт Вам системный подход! Универсальный.
Все остальное - риск потери случаев.
вот такая математика мне нравится, вы самые лучшие)))
Спасибо)
слишком много времени на 1 задачу - не успел сдать ЕГЭ >_
там все остальные задачи решаются от 20сек до 2мин, а такая задача "классическими" методами решается за те же 15 минут, вот только еще не всяким методом.. и можно потратить 10 минут, зайти в тупик...а метод, примененный тут, позволяет решить любую задачу, потому что он не столько метод решения, а метод понимания задачи и создания метода решения.
Кмк, тут еще повезло с уравнениями. Такто еще надо проанализировать и убедиться, что скорость вылета гипербол больше чем скорость роста концентрических окружностей, иначе не догонят, иначе никогда не будет 0
На
плоскости соприкасаясь между собой лежат три конуса. Найти угол между высотами. Кто сможет решить?
120
@@alexanderangelov5515 120 градусов это угол между образующими лежащими на плоскости! Нужно найти угол между ВЫСОТАМИ !
Ждем завтра ))
Второе возвести в квадрат, тогда х² и у² - корни квадратного уравнения
z²-2az+(a-1/2)²=0
D=a²-(a-1/2)²=a²-a²+a+1/4=a+1/4
Очевидно, что уравнение должно иметь единственный корень, т.е D=0, и а =-1/4
Шикардос!
Не ребята, так вы егэ не сдадите,задача на корень кв. ур-я ! решение в три действия 1- область допуст. знач. а>0, 2-сложите два ур-я системы получим (Х+Y)2=4a-1 и наконец 3- 4а-1 должно равняться 0!! откуда а=1/4 все.
Горе от ума!
Вычесть и сложить оба уравнения Из суммы - две парллельные прямые при любом а. Из разности след. уравнение прямой, перпендикулярной предыдущим и единственной при условии а=1/4. И все! Просто надо подумать прежде чем начинать лицедействовать.
Правда, в прямом эфире по другому м.б. и нельзя. В любом случ. спасибо за огромн. просвет. раб.
Та фигня, которую ты предлагаешь, будет работать только в случае, когда подобная задачка составлена в стиле поддавков. А Савватеев тебе показал, как такое надо решать в случае, если ты не предполагаешь, что тебе дают задачку-поддавок. Подставь в такую типовую задачку произвольные коэффициенты, и попробуй решить своим "одно вычесть, другое сложить", гений.
@@roomofhappiness1181
Кто ж спорит - есть много способов усложнить простую задачу и сделать ее "красивой"...
С таким подходом к математике только на кассе выручку подсчитывать
@@СергейХодяков-я5ю Кончно, можно и подсчитывая выручку в кассе блеснуть познаниями в математике - если поставить себе именно такую задачу. Но, право же, нет ничего плохого в умении выбрать инструмент наиболее адекватный задаче. Ваше увлечение красотами математики я вполне разделяю, сам кончил мехмат, но ваш запал мне представляется просто неуместным - речь идет о ЕГЭ...
@@alejandrosanchez8135 , речь всегда в первую очередь в таких ситуациях идет о математике, позвали человека , который к ЕГЭ никакого отношения не имеет, для человека науки, полезно познавать новое, в уже изученном.
Савватеев очень приятный человек
Интересное решение, но мне кажется мой способ проще. Вероятно в нем кроется какая-то ошибка, но мне показалось, что все верно. Я также вычел одно уравнение из другого и получил что разница между переменным равна 1. И так как уравнение симметричны относительно переменных, то неважно что ты будешь обозначать за x, а что за x+1. Подставил y = x + 1 в вернее уравнение, тем самым получил квадратное уравнение. Так как мы знаем что мы должны получить только два возможных решения, а мы уже знаем, что этими решениями будут числа отличающиеся на единичку, т.е. например 1,2 и наоборот (2,1). Реальные значения x и y нас не интересуют. Чтобы это достичь, полученное квадратное уравнение должно иметь только один корень. А у квадратного уравнения один корень при дискрименанте равным нулю. И таким образом я получил a = 1/4/ То есть все решение в пару строк.
10:30 Первая равнозначная система, где уравнение 2xy=2a−1 заменили на (x−y)^2=1 и вторая, где x^2+y^2=2a заменили на (x−y)^2=1, а 2xy=2a−1 заменили на (x+y)^2=4a−1.
Почему они эквивалентны? Если посмотреть на систему как на отображение из плоскости на другую штрихованную плоскость {x`, y`}=F(x, y), то решение системы есть не что иное как прообраз точки {2a, 2a−1}. Если параметр a меняется, то это прообраз прямой y`=x`−1/2. Замена системы есть переход от отображения F(x, y) к новому отображению {x^, y^}=G(x, y), где G есть композиция F и какого-то переходного отображения A: {x^, y^}=A(x`, y`). G(x, y)=A∘F(x, y).
Мы видим в первом случае A это x^=x`, y^=x`−y`, а во втором A это x^=x`−y`, y^=x`+y`
В обоих случаях A есть линейное невырожденное отображение, поэтому оно однозначно, то есть является биекцией между штрихованной плоскостью и плоскостью со шляпкой. Линейное отображение прямые переводит в другие прямые, в 1) {2a, 0} или y^=0, в 2) {1, 4a−1} или x^=1. Из-за обратимости A у систем G(x, y) и F(x, y) множество решений совпадает.
Если x0, y0 решение F(x0, y0)={x'(a), y'(a)}, то оно же есть решение G(x0, y0)=A∘F(x0, y0)=A∘{x'(a), y'(a)}={x^(a), y^(a)}. И наоборот если G(x0, y0)={x^(a), y^(a)}, то F(x0, y0)=A^-1∘G(x0, y0)=A^-1({x^(a), y^(a)})={x'(a), y'(a)}.
Обозначение A^-1 - обратное к A отображение.
что можно почитать чтоб понять вас?А то слова "прообраз","отображение","композиция", "линейное невырожденное отображение" мне не очень понятны
@@gh8499 Это терминология вузовского математического анализа. Можно почитать любую лекцию по мат. анализу. Или очень кратко например в википедии: ru.wikipedia.org/?oldid=102776927
От теоретико-множественного определения и дальше. Отображение синоним термина функция, используется в случае, когда речь идёт о многомерных пространствах.
То что A линейное, это не столь важно здесь. Главное, что A -- это биекция. Просто у линейных отображений легко проверяется их инъективность (невырожденность). Например можно написать матрицу отображения и посмотреть на её ранк.
ru.wikipedia.org/?oldid=102128329
Можно сформулировать такое утверждение.
Если две системы уравнений {x`=f1(x, y), y'=f2(x, y)} и {x^=g1(x, y), y^=g2(x, y)} получились друг из друга за счёт композиции с линейным невырожденным отображением A, то эти системы эквивалентны.
Матрицы такие, если вектор является столбцом:
x^=x`, y^=x`−y`
( 1, 0)
( 1, −1)
x^=x`−y`, y^=x`+y`
( 1, −1)
( 1, 1)
@@VNPetroFF спасибо за обьяснения
Дальше коллаб с Трушиным?)
Да, мне бы было интересно!
здесь что-то на эльфийском
почему творчество -пространственное моделирование уравнения -цифра визуализируется
Блин мне это надо в 7 утра? Школа школа я скучаю, отвечаю...
Забавно, наткнулся случайно на этот ролик в рекомендациях, и с первых секунд эти господа заявляют, что у нас с ними день рождения в один день. Судьба, судьба....
Когда тебе 30 и ты понимаешь, что не ты тупой а училка была безобразной, что решали уравнения не понимая их причинно следственном связи.
А подставить первое уравнение во второе. И там и там 2а??
Благодарим!!!
раньше не сталкивался с таким сокращением "существует единственное" и полагал, что ! - это факториал.)))
Пожалуйста）Рад, что нашли новое решение）
А что в результате писать в бланке ЕГЭ?
Помогите
0,25 ну ёклмнпрст
Красивая задача, слов нет! надо учеников просветить
А как доказать, что второе решение лежит на прямой x=y?
В силу симметрии решений системы относительно прямой х=у. Ведь если (х0;у0) решение, то и (у0;х0) тоже. А так как случай с прямыми у=х+/-1 отпадает, то случай с двумя решениями может реализоваться только между этими прямыми. Это возможно только на прямой х=у.
Ребята, здоровья вам, энергии на всё задуманное и отсутствия препятствий! Так держать!
Очевидно, что из1 ур надо вычесть 2, потом сложить их, а дальше от этого пляшем. И вуаля! Но графический разбор полезно сделать, конечно. Хотя аналитически решать проще в данном случае.
Стрельцы рулят математикой,а соответственно и миром)
Я эти параметры из егэ так много нарешала, что пока Саввтеев начал думать, я уже решила
Все красиво, но можно много проще: складываем и вычитаем. Получаем: (x-y)’2=1; (x+y)’2=4a-1. 4a-1>=0. Рассмотрим a=0,25 получаем два решения: (0,5;-0,5) и(-0,5;0,5). При a>0,25 получаем две пары прямых т.е. четыре решения. И все.
Лидий Клещельский риск потерять случаи. Слушай умных людей, ну серьезно
Иван Блинов. Реплика невнятная. Слушай умных людей, ну серьезно.
Это очень сложный путь. Можно решить систему методом постановки реш ить систему и по дискрименату найти а
А по графикам видно, что при нужном "а" производные обеих функций должны быть равны (касание окружности). В итоге будет ещё одно уравнение.
Ебень
А как же вариант при котором: a = 1/2?
Там получается система с кругом и линеей y = 0 где существует 2 решения?
Разве ответ не должен быть {1/4} и {1/2}?
при а=1/2 у нас окружность и крест, как в видео его называют, 2xy = 0 это любые точки прямых x=0 и у=0
@@johnnewman5707 А, точно! Спасибо!
тоже испытал восторг, когда он заметил что можно вычест из одного другое))
Математика - это ядовитое зелье для неокрепшего мозга. [заплакала, вспомнив свою тройку в аттестате]
Савватеев - прекрасный человек, гений!
безусловно！
Как удалось уговорить Савватеева егэ решать?
Главное подобрать интересный пример:)
Нужно иметь талант переговорщика)
Далее больше скажу - думаю он даже не знал, что будет решать ЕГЭ)
Измайлово это которое ВАО?
У меня папа 13 декабря празднует юбилей... 70-ть уже... так что я причастен вам отчасти, хахаЁ )))
Добро пожаловать к нам в банду）
Простите, а где обещанная ссылка? 1:42
Алёна Гусельникова если речь о снятых баллах то вот ролик ua-cam.com/video/-R2XLn9AAy8/v-deo.html если про канал саваттеева, то найти несложно
Мой учитель говорил, что из всей школьной математики именно задачи с параметром самые важные, так как они формируют логическую связку "если-то"
Да, именно так!
там была ещё какая-то задача на тч - тоже полезно
@@metapharstic5161 В математике полезно все）
@@egelife это да
Моя так не говорила, однако я сам это понял.
К сожалению, приведённый способ решения (с картинками) не подходит при решении на экзамене! Объяснения займут слишком много времени и не факт, что будут понятны проверяющим. Алгебраически решается значительно короче!
Объяснение шикарное. Так должны в вузе преподавать. Все наглядно, без кучи формул. Но вот откуда он взял икс и игрек по одной второй- не уловил. Ну и дальше логика для меня потеряна
Решения лежат на прямых y = x+1 и y = x-1. Ранее была определена модель, при которой у системы два решения - когда гипербола касается окружности. В силу симметричности графиков эти касания лежат на прямой y = -x.
А теперь решите две системы
{y = x±1
{y = -x
и получите ±1/2
@@MegaTrover спасибо
@@MasterEXPO обращайтесь =)
@@MegaTrover Если можно, то я тоже хотел бы задать вопрос. Немного не понимаю логики.
Если итак уже условие, что решение лежит у=х+1и у=х-1, то почему мы имеем право использовать у=-х. Как мы знаем,что это, именно у=-х, а не, к примеру, у=-х+1
@@ddd7386 Логика простая. Есть две касательных y = x+1 и y = x-1. Точки касания лежат на прямой y = -x, поскольку и гипербола и окружность абсолютно симметричны и началу координат, и осям.
Если и теперь непонятно почему y = -x, то составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямым y = x+1 и y = x-1 (перпендикулярно потому, что радиус окружности всегда перпендикулярен касательной). Это и будет y = -x.
Решение - плохое. Задача решается устно за минуту. Из симметрии гипербол и окружностей сразу видим, что при их касании х=+-у.
х=у не годится, т.к. правые части не равны. А из х=-у очевидно 2а=1-2а.
а=1/4.
Я забил в программу эти две функции, предварительно преобразовав их, чтобы получились функции вида y=f(x). Правда, после этого на графике отобразилась только половина окружности, но это не страшно. И потом просто перебирал значения параметра. Одно решение при а=1/4 подтвердилось. Я стал искать второе, потому что к тому моменту ещё не досмотрел ролик до конца. И второе решение обнаружилось. А может и нет. В любом случае, я сделал максимальный зум в предполагаемой точке касания, и касание оказалось в единственной точке, ну на самом деле не в единственной, потому что была только половина окружности. Это решение при а=12500.
просто не понял. В точках касания из симметрии или х=у или х=-у. Далее перебором устанавливаются а, на все меньше минуты
Знаю что не в тему, но у меня тоже день рождения 13 декабря)
А если преобразовать систему уравнений в эквивалентную сначала? - (x-y)^2=1; (x+y)^2=4a-1Извините, наблюдения сразу не дождался... )))
Ничего))
Чёрная доска, мел. Как в славном прошлом столетии.
Подскажите главный канал Савватеева пожалуйста.
Маткульт привет
Это было весело и познавательно
Рад, что понравилось))
Я закончил университет в 2014, но этот математик не оставляет меня в покое)
Он был вашим преподавателем?
@@egelife если бы он был моим математиком,я был бы математиком, а не программистом)
@@egelife я имел ввиду, что харизма математика заставляет меня смотреть материал, который мне вообще не нужен)
@@elkanov201 Да, харизма у этого преподавателя очень сильная!
@@egelife хотя наш математик был учитель от Бога
Автор, подскажи пожалуйста как называется такой "графический" метод решения математических задач? Хочу научится данному методу, есть ли какие нибудь рекомендации по поиску литературы, в котором описывается данный метод, для его дальнейшего изучения?
Он и называется , графический , материал разбросан от школьной алгебры, до высшей математики.
Я сразу заметил, что можно сложить уравнения, но мне это никак не помогло )).
Как называется канал Дяди Лёши?
маткульт привет
В контексте данного видео фраза " звёзды сошлись" может свидетельствовать об отсутствии ложной скромности:)
хехех, да не. Я то не звезда:) Вот Алексей - бесспорно!
Гипербола, бля, а не парабола.
Я тоже всё время путаю эти два слова ;)