Bonjour M. Caldero, merci pour cette vidéo très intéressante, notamment le théorème à 5:00. Mais je m’interroge sur certains cas de ce résultat. Par exemple, si x_{n+1} - x_{n} = x_{n}^2 (disons x_0 = 1) on aurait a>0 et k=2 > 1? A mon avis, la preuve tient sur l’hypothèse implicite que x_{n+1} ~ x_n (dans le téléscopage), ce qui n’est pas le cas dans mon exemple où la suite a une croissance plus qu’exponentielle. Je suis d’ailleurs curieux de savoir le genre d’équivalent que l’on peut avoir pour cette suite.
Bonjour, Pour jean rubin Avec ton exemple ça donne l'équivalent x_n ~ exp(2^nC) où C supérieur à zéro, ne dépendant que de x0. C'est pas trop difficile d'obtenir que la suite ln(x_n)/2^n converge. Partir de la majoration xn^2 inférieur à x_{N+1} inférieur à 2x_n^2. Pour l'équivalent de x_n, c'est un peu plus compliqué, mais ça n'utilise que des techniques présentées dans la vidéo.
@@totototo8119Merci pour cette réponse. Dans la même logique que la transformée de Box-Cox pour k < 1, on pouvait proposer par continuité la transformation ln(x_n)/n pour k=1, mais avec k>1, ce serait donc une transformée du type ln(x_n)/k^n qui complèterait le tableau.
Je ne sais pas repondre, il faudrait investiguer. autant on peut peut-être faire des généralités pour avoir un équivalent de ln(x_n)/k^2 (ici pour cet exemple avec k=2) autant il me paraît hasardeux de se prononcer sur un equivalent du type exp(Ck^n) pour x_n dans des situations plus générale.
En tout cas l'exemple est intéressant car il donne l'existence d'une solution non triviale et croissante à l'équation fonctionnelle C(X+X^2)=2C(X) sur un intervalle ad hoc. Ça ne me paraît pas du tout évident de s'attaquer directement à cette équation fonctonelle.
Bonjour M. Caldero, merci pour cette vidéo très intéressante, notamment le théorème à 5:00.
Mais je m’interroge sur certains cas de ce résultat. Par exemple, si x_{n+1} - x_{n} = x_{n}^2 (disons x_0 = 1) on aurait a>0 et k=2 > 1? A mon avis, la preuve tient sur l’hypothèse implicite que x_{n+1} ~ x_n (dans le téléscopage), ce qui n’est pas le cas dans mon exemple où la suite a une croissance plus qu’exponentielle. Je suis d’ailleurs curieux de savoir le genre d’équivalent que l’on peut avoir pour cette suite.
@@jeanrubin358 oui tu as complètement raison. Mais dans ton exemple je ne sais pas comment avoir un équivalent
Bonjour,
Pour jean rubin
Avec ton exemple ça donne l'équivalent x_n ~ exp(2^nC) où C supérieur à zéro, ne dépendant que de x0.
C'est pas trop difficile d'obtenir que la suite ln(x_n)/2^n converge.
Partir de la majoration xn^2 inférieur à x_{N+1} inférieur à 2x_n^2.
Pour l'équivalent de x_n, c'est un peu plus compliqué, mais ça n'utilise que des techniques présentées dans la vidéo.
@@totototo8119Merci pour cette réponse. Dans la même logique que la transformée de Box-Cox pour k < 1, on pouvait proposer par continuité la transformation ln(x_n)/n pour k=1, mais avec k>1, ce serait donc une transformée du type ln(x_n)/k^n qui complèterait le tableau.
Je ne sais pas repondre, il faudrait investiguer.
autant on peut peut-être faire des généralités pour avoir un équivalent de ln(x_n)/k^2 (ici pour cet exemple avec k=2) autant il me paraît hasardeux de se prononcer sur un equivalent du type exp(Ck^n) pour x_n dans des situations plus générale.
En tout cas l'exemple est intéressant car il donne l'existence d'une solution non triviale et croissante à l'équation fonctionnelle C(X+X^2)=2C(X) sur un intervalle ad hoc. Ça ne me paraît pas du tout évident de s'attaquer directement à cette équation fonctonelle.