Diagonalisable vs exp-diagonalisable!

On montre qu'une matrice complexe A est diagonalisable si et seulement si son exponentielle est diagonalisable. On en donne ensuite quelques applications dans des équations matricielles.

[@wyzoo_science]

big fps j'aime bien merci , en plus je réfléchissais sur un truc du genre

[@h1percube]

Très sympa :)

[@RodolpheVallade]

La petite intro de "Wish you were here " des Pink Floyd est une belle invitation à suivre cette vidéo. J'adore.😊

[@philcaldero8964]

@@RodolpheVallade ❤️

[@flamitique7819]

J'avais eu cet exo quand j'étais en L3 de maths en examen d'algèbre, c'était très sympa ! D'ailleurs, en voilà une petite application rigolote : On note f l'application qui à M associe sa partie nilpotente dans la décomposition de Dunford. Mq f n'est pas continue. Par contre, beaucoup plus difficile : déterminer les points de continuité de f (la réponse n'est vraiment pas évidente à trouver)

[@philcaldero8964]

@@flamitique7819 ah oui tu utilises l'exponentielle dans cet exercice ?

[@flamitique7819]

@philcaldero8964 ce n'est pas obligatoire, la façon classique c'est d'utiliser la densité des matrices dz, mais en tout cas dans mon exam c'était proposé en lien avec ce théorème sur les exponentielles de matrices

[@philcaldero8964]

@flamitique7819 ça c'est original!

[@benkse2823]

Je connais la conjugaison pour les nombres complexes, mais à vous entendre je vois que c'est un concept plus général ! que vous auriez peut être la gentillesse de me l'expliquer en réponse à ce commentaire 😊 Merci

[@philcaldero8964]

@@benkse2823 c'est déjà ce que tu peux voir dans la vidéo il s'agit de l'application qui a M donne PMP^-1

[@philcaldero8964]

Cela provient de la terminologie des groupes

[@benkse2823]

@@philcaldero8964 Je vous remercie de votre réponse. Je vais voir votre vidéo sur ce sujet pour bien comprendre.

[@totototo8119]

Je vais essayer sans Dunford.
Soit A telle que D:=exp(A) diagonale et soit d diagonale telle que exp(d)=A
Admettons provisoirement que pour toute matrice diagonale qui vérifie exp(d)=D, A et d commutent alors exp(A-d)=I et quitte à choisir convenablement d en translatant tout élément de la diagonale par un multiplié entier de 2ipi, on a spectre (A-d) réduit à 0 et donc A-d nilpotente.
Supposons enfin que l'équation exp(N)=I avec N nilpotente donne N=0 (preuve par ex comme dans la vidéo).
Alors A-d=0;donc A diagonale puis A diagonalisable.
Prouvons que d et A commutent

[@totototo8119]

En considérant les vp distinctes de D, il existe un polynôme interpolateur (de Lagrange si on veut) tel que d=P(D)
D=exp(A) est un polynôme en A car limite de points de C[A] qui est un sous espace vectoriel de dimension finie donc ferme.
Donc d est un polynôme en A et en particulier d commute avec A.
Ceci prouve le résultat dans le cas particulier exp(A) diagonale.
Si exp (A) est diagonalisable il existe P inversible telle que exp(P^{-1}AP) est diagonale donc P^{-1}AP diagonalisable donc À diagonalisable

[@totototo8119]

L'équation exp(N)=id avec N nilpotente peut être résolue en considérant l'équation différentielle y'=Ny, on montre que quel soit t dans R (car les solutions sont à la fois bornées et polynomiales) exp(tN)= identité puis sa dérivée en 0 est nulle.

[@philcaldero8964]

@@totototo8119 ah ah oui tu as réussi le challenge de le faire sans Dunford

[@totototo8119]

Bon, après ça présente assez peu d'intérêt sauf à confirmer la puissance du théorème de Dunford.

[@philcaldero8964]

@totototo8119 oui c'est exactement ce que je me disais sur la puissance de Dunford