Les Polynômes aux concours
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- Опубліковано 29 лип 2024
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Mon but est d'ouvrir vos horizons au maximum et de vous aider à mieux comprendre ce qui est possible pour vous !
Pour ces deux buts je me concentre sur deux aspects fondamentaux :
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Vidéo :
Les Polynômes aux concours
#maths #mpsi #polynomes
00:00 Intro
00:14 Round 1 : Équation fonctionnelle de polynômes
07:18 Round 2 : Montrer que cos(pi/9) est irrationnel
pour l’exo 1 il y a beaucoup plus simple: on note n=degP et on calcule le coefficient de degré n de chaque polynome de part et d’autre de l’egalité et on a directement que n=4. ensuite il reste a verifier que 0,-1,-2,-3 annulent P et que donc P est de la forme lambda X (X+1)(X+2)(X+3) et ensuite on verifie que la reciproque est vraie et c’est terminé
Comment tu trouves que degP = 4 ?
@merwana.2278
il y a 0 seconde
t’as 2 polynomes de degrés n+1 (en notant n=degP qu’on veut trouver) et tu cherches les coefficients de degré n dans chaque polynome: (X+4)P(X) puis XP(X+1). donc tu notes P(X) la somme de 0 a n de a_nX^n et tu réecris chacun des 2 polynomes en fonction des a_n. jte laisse faire mais a gauche tu trouves 4a_n + a_(n-1) et a droite na_n + a_(n-1) donc n=4 puisque a_n ≠ 0 par definition
@@merwan.houiralami je ne sais pas si c'est plus rapide mais bien vu
Salut, une fois qu'on a montré dans l'exo 2 que q= 1 ou q = -1, on en déduit que cos(pi/9) est un entier or, un cosinus est situé entre 1 et -1 donc cos(pi/9)= 1 ou cos(pi/9) = -1 ce qui évidemment faux. Je trouve ça bien plus rapide
C'était pas ce matin à Maths A trop relou trop relou
un bon élève de terminal qui fait maths expertes, avec un peu d'aide si besoin peut je pense réussir au moins le deuxième, le premier étant pas très commun au lycée
Pas faux!
pour la 1ère question c’est le meme type de questions qu’on trouve aux olympiades des maths, j’ai pu la résoudre alors que j’ai 15ans (grâce aux olympiades:)), pour la 2eme question aussi elle était pas compliquée, un petit manque de connaissance au niveau de la trigo, j’essaierai de bien la maîtriser
Bien joué! Oui après c’est une question d’entraînement - tu as l’air déjà pas mal au taquet en tout cas plus que moi à l’époque 😄
Pour monter que c’est irrationnel à partir du moment où on a p=+-1 on peut vérifier que notre équation d’inconnue q n’a alors pas de solutions dans Z, est ce que c’est suffisant comme Contradiction ?
Ça devrait le faire oui !
Pour le 1er exercice, je trouve quand même un peu douteux de rajouter la condition Q=lambda dans la partie réciproque... En terme de rédaction, c'est pas top. Ceci devrait figurer dans la première partie.
Tu pourras faire une vidéo sur les polynômes de tchebychev
Pour le premier, j ai adopté une autre méthode (un peu moins rapide), j'ai vérifié que le polynome nul était solution et j ai ensuite écrit que si un polynome non nul est solution, il s écrit comme une somme de a_kx^k, puis par identification des coefficients de x^n on trouve que P est de degré 4, avec les 4 racines, on peut conclure le resultat !
Et pour l'exercice 2, on aurait aussi pu appeler notre ami le théorème des racines rationnelles qui ne nous laisse le choix pour cos(pi/9) que entre 1/2, 1/4 et 1/8 qui ne sont évidemment pas des valeurs correctes
Ha oui pas mal! Peut-être plus long mais efficace!
Je ne connaissais pas ce théorème !
@@TheMathsTailor Je peux me tromper mais ça me semble aussi plus rigoureux, comment savoir si les racines 0, -1, -2 et -3 étaient les seules sans déterminer le degré de P au préalable?
Ici par Condition Nécessaire on montre que nécessairement x(x+1)(x+2)(x+3) divise P. Ça c'est démontré. Ensuite on vérifie si parmi tous les possibles polynômes P divisibles par x(x+1)(x+2)(x+3) lesquels fonctionnent bien en faisant la CS.
Pour l'exercice 2, un théorème affirme (et c'est indispensable de le connaître quand on cherche des racines évidentes) que toute racine rationnelle d'un polynôme de Z[X] est de la forme p/q avec p qui divise le coefficient constant et q qui divise le coefficient dominant. On le connaît plus, notamment au lycée, sous sa forme simplifiée qu'une racine entière d'un polynôme à coefficients entiers divise le coefficient constant (q=1). Du coup, on n'a plus qu'à tester un nombre très réduit de racines rationnelles possibles : 1/2, 1/4 et 1/8 seulement, car Pi/9 est dans ]0,Pi/2[ donc son cosinus est strictement compris entre 0 et 1. 😁 On les élimine toutes les 3 avec ton argument de fin de vidéo.
Bien ça merci!
J'ajoute que je ne connais pas la formule de cos(3x) et ne vois pas l'intérêt de l'apprendre ! En revanche, ce qu'on doit savoir, c'est que cos(nx) s'exprime comme polynôme de cos(x) et qu'on retrouve facilement comment avec ta méthode de développer exp(inx). J'ajoute aussi que sin(nx) s'exprime comme sin(x) facteur d'un polynôme de cos(x)... 😁
Enfin, sachant cela, on aurait aussi pu développer cos(9x)... Ça fait un gros polynôme de degré 9... Pas du tout plus efficace, mais rigolo quand même avec l'avantage qu'on tombe tout de suite sur un polynôme à coefficients entiers... Bref. Pas vraiment intéressant, sauf que l'idée serait là pour faire le même exercice avec Pi/5 ou Pi/7 au lieu de Pi/9... 😁
Pi/7 miam 😂
Fais gaffe à la rigeur, mettre “pour tout X” pour un polynome n’a pas trop de sens ! Sois tu restes sur les polynomes et dans ce cas et bien X est l’indeterminée donc on y touche pas ou alors tu passes sur les fonctions polynomiales associées. Il est vrai qu’on confond souvent les 2 mais là c’est un peu bizarre…
Bien vu - my bad !
c’est une rediffusion ?
Oui c’est extrait d’un live d’il y a quelques mois !
c'est super abordable pour des oraux de concours non ?
Un exercice d’oral peut en cacher un autre 😄 un deuxième arriverait dans la suite
À la fin de l’exo 1, vous avez marqué " Q( X ) = Q( X+1 ) alors Q est constant " mais X n’est pas dans N, donc je ne trouve pas ce niveau là très correct. Par exemple Q( 1 ) = Q(2) mais rien ne dit que Q(1) = Q(1.123). La constante de Q n’est pas très claire.
Oui j’aurais dû mieux établir l’argument de l’infinité de racines, avec R le polynôme différence
@@TheMathsTailor Une autre solution est de dire que Q(n) = Q(0) pour tout n donc le polynôme ne diverge pas, donc il est constant.
Pour le 1er exercice, toujours, même si j'aime beaucoup cette méthode, moi, je serais passé par la divisibilité : X+4 et X étant premiers entre eux, X divise P(X) et X+4 divise P(X+1), ce qui revient à X+3 divise P(X), puis en remplaçant des deux côtés par un produit, on renouvelle l'opération avec (X+3)|P(X+1) donc (X+2)|P(X), puis encore une dernière fois avec (X+2)|P(X+1) donc (X+1)|P(X). Au final, on a (X+4)(X+3)(X+2)(X+1)X*Q(X)=X(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)*Q(X+1), et donc Q(X)=Q(X+1).
De plus, je ne suis pas du tout d'accord avec l'argument balancé entre la poire et le fromage qui conduit à Q constant ! C'est à la fois rapide et douteux... LoL ! En fait, Q est periodique de période 1... Pourquoi est-il alors constant ? En fait, c'est CE polynôme R=Q(X)-Q(0) qui est nul car il possède une infinité de racines (0, puis 1 car Q(1)=Q(0), puis 2 car Q(2)=Q(1)=Q(0), etc., on le démontre par récurrence : Q(n)=Q(0) et donc R(n)=0 pour tout n de N) qui permet ensuite d'affirmer que Q est constant à Q(0) et donc plus simplement : constant. 😁
@TheMathsTailor... Pas de réactions ?! 😂 Pourtant, je ne le trouve pas anodin, mon deuxième paragraphe... 😛