Excellent exercice qui combine calculs de primitives avec décompositions en éléments simples, formes canoniques, très complet j’aime beaucoup j’ai eu ce style de primitives à déterminer en kholles sauf que j’avais une partie entière, j’avais une division euclidienne à effectuer et ensuite je me retrouvais dans le même cas que toi où je devais trouver du log et du arctan, j’ai dû me faire aider à un moment pour la forme canonique car jamais j’aurais eu le réflexe mais sinon tu me ravives de beaux souvenirs !
Y’avait tout simplement à changer de variable en posant x = 1/t puis en trouvant I’ = ∫[x/(1+x³)].dx (avec I = ∫[1/(1+x³)].dx) puis en faisant 2I = I + I’ puis en factorisant par (1+x) en haut et en bas et enfin finir le calcul (sans oublié de retrancher 2I par 2…)
Décompo en éléments simples : 1/((x+1)(x²-x+1)) = A/(x+1) + (Bx+C)/(x²-x+1) Posant x = -1 par la méthode du recouvrement on obtient A = ⅓ Donc j'ai : 1/((x+1)(x²-x+1)) = ⅓/(x+1) + (Bx+C)/(x²-x+1) Je multiplie des deux côtés par les dénominateurs communs : ⅓(x²-x+1)+(Bx+C)(x+1) = 1 Developpement réduction : (B+⅓)x²+(B+C-⅓)x+C+⅓ = 1 Et là bah système d'équations (en effet à droite c'est un degré 2 où des coefficients sont nuls) : B+⅓ = 0 B+C-⅓ = 0 C+⅓ = 1 B = -⅓, C = ⅔, l'équation du milieu vérifie ces valeurs qui sont donc correctes Finalement je réécris : 1/((x+1)(x²-x+1)) = ⅓(1/(x+1) + (2-x)/(x²-x+1))
Vu que j’avais bcp de temps à perdre voici la solution : ln((x^2+sqrt(2)x+1)/(x^2-sqrt(2)x+1))/4sqrt(2) + (arctan(sqrt(2)x+1)+arctan(sqrt(2)x-1)/2sqrt(2) + c
Très content d’avoir réussi cet exercice sans me faire aider cette fois, petite remarque, des parenthèses suffisent pour le deuxième ln car x^2-x+1 est toujours strictement positif
J’ai essayé de procéder par décomposition en éléments simples. C’est pour moi impossible car le polynôme de degré 2 n’a pas de solutions réelles. J’ai donc posé x= (1-t)/(1+t) et en arrangeant les termes, on obtient l’intégrale de -(t+1)/3t²+1. En scindant la fraction en deux sommes et en posant un autre changement de variable judicieux. Ça se fait aussi
La décomposition en éléments simples n'est pas impossible ici, elle est de la forme a/(1+t)+(bt+c)/(t^2-t+1), ce qui peut par la suite relativement facilement permettre de trouver les coefficients
@@ThetaMaths je veux bien vous l’accorder, on trouve bel et bien les coefficients mais on se retrouve à chercher cette intégrale : intégrale de (2-t)/t²-t+1 ce qui, je trouve, n’arrange pas les choses car on a pas la forme u’/u pour primitives l’expression
J'ai décomposé la nouvelle fraction (celle avec du 2-t) pour en avoir une avec t au numérateur dont on trouve une primitive avec ln, l autre sans t au numérateur est plus délicate et nécessite de passer par l'arctangente mais on finit par trouver une primitive comme somme de fonctions logarithme et arctangente
@@MohammadBousninatechnique du *1/1 et du +1-1 pour vous ramener à une fraction type (2t-1+L)/(t²-t+1) où L sera une constante qui permettra que le tout reste ok vous scindez fraction et intégrale en 2 : d'une part u'/u donc ln, d'autre part L/(t²-t+1) vous virez le L devant l'intégrale, vous réécrivez le 2d degré en carré parfait à une constante près et ainsi vous avez 1/((degré 1)²+constante) et en posant w = degré 1, changement de bornes etc etc on arrive à 1/(w²+constante²) qui est usuellement integrée par (1/constante)*arctan(w/constante) à évaluer donc entre les bornes. Et c'est vu
Normal qu'en terminale ça ne passe pas, la décomposition en fractions simples c'est vu après. En tout cas c'est le meilleur réflexe pour trouver une primitive d'une fraction rationnelle, pas étonnant que tu y recourres.
Salut, j'ai essayé de poster une candidature sur le formulaire pour les khollés mais la derniere étape ne fonctionne pas chez moi, serait il possible de participer quand meme ? (je suis déja passé) Sinon toujours super tes vidéos ! c'était une jolie intégrale
De mémoire (ça fait longtemps) l'analyse complexe ça marche "bien" tant que tu n'intègres pas autour d'un pôle, et ça n'aurait d'impact que modulo une constante. Bref pour une primitive ça ne devrait pas poser de souci particulier et tu peux "intégrer" de façon naïve. On utilise le fait que C est algébriquement clos et zou! (N'hésitez pas à me corriger si j'ai dit des âneries, ça fait bien 20 ans que je n'ai pas fait de maths à ce niveau, mais ça me paraît correct pour ce qu'il m'en reste)
Ici on ne “résout pas une intégrale”, on détermine une primitive, ce qui n’a rien à voir. Le théorème des résidus permet d’exprimer l’intégrale le long d’un chemin tracé dans le plan complexe qui est inclus dans le domaine de définition d’une fonction complexe suffisamment régulière à l’aide justement de résidus. Une utilisation astucieuse de ce théorème permet alors de calculer des intégrales entre deux bornes, ce qui n’est pas le cas de l’exercice dont il est question dans cette vidéo.
Cette primitive est le b.a.-ba des primitives de fractions rationnelles ! Il suffit d’avoir vu un peu le cours sur le sujet et ça roule tout seul. Elle est évidemment hors de portée des lycéens (sauf pour celles et ceux qui prennent de l’avance) étant donné que la fonction arctangente n’est pas étudiée au lycée (ni la fonction tangente d’ailleurs…).
Excellent exercice qui combine calculs de primitives avec décompositions en éléments simples, formes canoniques, très complet j’aime beaucoup j’ai eu ce style de primitives à déterminer en kholles sauf que j’avais une partie entière, j’avais une division euclidienne à effectuer et ensuite je me retrouvais dans le même cas que toi où je devais trouver du log et du arctan, j’ai dû me faire aider à un moment pour la forme canonique car jamais j’aurais eu le réflexe mais sinon tu me ravives de beaux souvenirs !
Y’avait tout simplement à changer de variable en posant x = 1/t puis en trouvant I’ = ∫[x/(1+x³)].dx (avec I = ∫[1/(1+x³)].dx) puis en faisant 2I = I + I’ puis en factorisant par (1+x) en haut et en bas et enfin finir le calcul (sans oublié de retrancher 2I par 2…)
Décompo en éléments simples :
1/((x+1)(x²-x+1))
= A/(x+1) + (Bx+C)/(x²-x+1)
Posant x = -1 par la méthode du recouvrement on obtient A = ⅓
Donc j'ai :
1/((x+1)(x²-x+1))
= ⅓/(x+1) + (Bx+C)/(x²-x+1)
Je multiplie des deux côtés par les dénominateurs communs :
⅓(x²-x+1)+(Bx+C)(x+1) = 1
Developpement réduction :
(B+⅓)x²+(B+C-⅓)x+C+⅓ = 1
Et là bah système d'équations (en effet à droite c'est un degré 2 où des coefficients sont nuls) :
B+⅓ = 0
B+C-⅓ = 0
C+⅓ = 1
B = -⅓, C = ⅔, l'équation du milieu vérifie ces valeurs qui sont donc correctes
Finalement je réécris :
1/((x+1)(x²-x+1))
= ⅓(1/(x+1) + (2-x)/(x²-x+1))
Bien joué !
Merci pour la petite révision de mon S1 avant les partiels!
Je ne suis pas en prépa, je l'ai juste faite pour mon plaisir, rien de tel qu'une petite integrale des familles
Il y a aussi 1/(1+x^4)
Vu que j’avais bcp de temps à perdre voici la solution :
ln((x^2+sqrt(2)x+1)/(x^2-sqrt(2)x+1))/4sqrt(2) + (arctan(sqrt(2)x+1)+arctan(sqrt(2)x-1)/2sqrt(2) + c
@@clementfradin5391 😉
Ce qui est le plus amusant, c'est qu'elle est plus simple à résoudre !
@@teomottin559 pas du tout je dirai qu’elle est seulement un peu plus dure car c’est le même principe cependant elle est bien plus longue
Oh non je m’en rappelle je n’avais pas réussi à factoriser le début et j’avais raté tout le reste et c’est devenu un trauma🥲
Et si et ça fait : 1/6 (-log(x^2 - x + 1) + 2 log(x + 1) + 2 sqrt(3) tan^(-1)((2 x - 1)/sqrt(3))) + C
Très content d’avoir réussi cet exercice sans me faire aider cette fois, petite remarque, des parenthèses suffisent pour le deuxième ln car x^2-x+1 est toujours strictement positif
Oui en effet !
merci bcp à vous
Avec plaisir !
1:45 oui oui juste : -1 est une racine évidente donc tu peux poser (x³+1)/(x+1) pour trouver le carré. Division de polynômes.
En effet !
Sauf que -1 n’est pas dans le domaine de définition
Bof un terminale LLG ou H4 doit pouvoir en venir à bout quand même, c'est niveau L2 en gros.
C'est possible uniquement si tu as fait du hors programme, l'arc tangente et la décomposition en éléments simples ne sont pas vus en terminale.
Je suis en première a llg g réussi a faire
Mouais... x³+1 = (x+1)(x²-x+1) par division de polynôme donc si on sépare 1/((x+1)(x²-x+1)) en éléments simples ça se fait hein...
J’ai essayé de procéder par décomposition en éléments simples. C’est pour moi impossible car le polynôme de degré 2 n’a pas de solutions réelles. J’ai donc posé x= (1-t)/(1+t) et en arrangeant les termes, on obtient l’intégrale de -(t+1)/3t²+1. En scindant la fraction en deux sommes et en posant un autre changement de variable judicieux. Ça se fait aussi
La décomposition en éléments simples n'est pas impossible ici, elle est de la forme a/(1+t)+(bt+c)/(t^2-t+1), ce qui peut par la suite relativement facilement permettre de trouver les coefficients
@@ThetaMaths je veux bien vous l’accorder, on trouve bel et bien les coefficients mais on se retrouve à chercher cette intégrale : intégrale de (2-t)/t²-t+1 ce qui, je trouve, n’arrange pas les choses car on a pas la forme u’/u pour primitives l’expression
J'ai décomposé la nouvelle fraction (celle avec du 2-t) pour en avoir une avec t au numérateur dont on trouve une primitive avec ln, l autre sans t au numérateur est plus délicate et nécessite de passer par l'arctangente mais on finit par trouver une primitive comme somme de fonctions logarithme et arctangente
@@MohammadBousninatechnique du *1/1 et du +1-1 pour vous ramener à une fraction type (2t-1+L)/(t²-t+1) où L sera une constante qui permettra que le tout reste ok vous scindez fraction et intégrale en 2 : d'une part u'/u donc ln, d'autre part L/(t²-t+1) vous virez le L devant l'intégrale, vous réécrivez le 2d degré en carré parfait à une constante près et ainsi vous avez 1/((degré 1)²+constante) et en posant w = degré 1, changement de bornes etc etc on arrive à 1/(w²+constante²) qui est usuellement integrée par (1/constante)*arctan(w/constante) à évaluer donc entre les bornes. Et c'est vu
Normal qu'en terminale ça ne passe pas, la décomposition en fractions simples c'est vu après.
En tout cas c'est le meilleur réflexe pour trouver une primitive d'une fraction rationnelle, pas étonnant que tu y recourres.
pk tu utilise pas p/q' quand tu fais une des quand t'as des pole simples c'est plus rapide
J’ai essayé de faire une technique que je pense compréhensible par des term ;)
Salut, j'ai essayé de poster une candidature sur le formulaire pour les khollés mais la derniere étape ne fonctionne pas chez moi, serait il possible de participer quand meme ? (je suis déja passé)
Sinon toujours super tes vidéos ! c'était une jolie intégrale
oui pareil ça marche pas
M’écrire directement sur discord :)
@@TheMathsTailor Je t'ai envoyé un mess hier sur discord
formule des résidus.
Bonjour il y a aussi moyen de résoudre cette intégrale avec l’analyse complexe non ? Merci
oui avec la formule de cauchy/ rédidus en paramétrant un tiers de cercle par exemple
De mémoire (ça fait longtemps) l'analyse complexe ça marche "bien" tant que tu n'intègres pas autour d'un pôle, et ça n'aurait d'impact que modulo une constante.
Bref pour une primitive ça ne devrait pas poser de souci particulier et tu peux "intégrer" de façon naïve.
On utilise le fait que C est algébriquement clos et zou!
(N'hésitez pas à me corriger si j'ai dit des âneries, ça fait bien 20 ans que je n'ai pas fait de maths à ce niveau, mais ça me paraît correct pour ce qu'il m'en reste)
Ici on ne “résout pas une intégrale”, on détermine une primitive, ce qui n’a rien à voir. Le théorème des résidus permet d’exprimer l’intégrale le long d’un chemin tracé dans le plan complexe qui est inclus dans le domaine de définition d’une fonction complexe suffisamment régulière à l’aide justement de résidus. Une utilisation astucieuse de ce théorème permet alors de calculer des intégrales entre deux bornes, ce qui n’est pas le cas de l’exercice dont il est question dans cette vidéo.
@@lostx2180 uniquement pour des intégrales, mais pas pour des primitives
Attention, ils sont en terminale, donc on publie ce qu'ils ne connaissent pas 🤯
Cette primitive est le b.a.-ba des primitives de fractions rationnelles !
Il suffit d’avoir vu un peu le cours sur le sujet et ça roule tout seul.
Elle est évidemment hors de portée des lycéens (sauf pour celles et ceux qui prennent de l’avance) étant donné que la fonction arctangente n’est pas étudiée au lycée (ni la fonction tangente d’ailleurs…).
C’est pas passionnant comme calcul 😂
les go terminal ezz
oh non j'ai oublié le plus C 😅
tu nous donnes des exos saloooooos, avec tes yeux menthe à l'eaaauuuuuu :-) !
😂
ياك المرضي
C est mou... c est .. oui mais en fait euh...... bref, c est chiant et ca donne pas envie d aller plus loin qu une minute😢