Apoiando SEMPRE. Todo GÊNIO às vezes complica. Não é mais visualmente entendível após descobrir Z² fazer a multiplicação cruzada? Eu juro pra você que imaginei você dizendo nesse instante com ar sorridente "já viu o resultado?". Abraço.
Boa resolução professor. Eu consegui resolver aplicando um teorema que, na minha opinião, anda esquecido nas escolas de nível médio. A relação de Stewart. E aqui no seu canal assisti um video com uma explicação "show de bola" e não esqueci. Logo que vi o desenho, já pensei nele para resolver. Os exercícios de Geometria Plana que demandam a utilização desse teorema de Stewart aparece de vez em quando nos exames para as escolas militares.
Muito bom! Outra resolução, mas por trigonometria. Seja D o pé da ceviana. Aplicando a lei dos senos aos triângulos ABD e ADC, obtém-se: z/(√2/2)=x/sen(α) e z/(√2/2)=y/sen(90°- α) --> z²/(1/2)=x²/sen²(α) e z²/(1/2)=y²/cos²(α) --> 2z²sen²(α)=x² e 2z²cos²(α)=y² --> 2z²sen²(α)+2z²cos²(α)=x²+y² --> 2z²=x²+y² --> z²/(x²+y²)=1/2.
Então, Mano e Minas, vms fortalecer o Cristiano no like. Pow, o cara tá fazendo matemática 0800 para nós quebrarmos as questões e vcs amarram de dar um like e esparra os vídeos dele, aí não ué. Fala c nós filhote do IMPA, a favela aqui já fez a função dela: like e esparro do seu conteúdo. Abçs, Mestre !
Professor, uma dúvida: Eu poderia afirmar que a altura do triângulo seria (x+y)/2, uma vez que, ao inscrever um triângulo retângulo numa circunferência, a hipotenusa seria o diâmetro e a altura, por conseguinte, seria o equivalente ao raio?
MUY BUENA RESOLUCIÓN Otra alternativa: Usando TRIGONOMETRÍA AB = AC = a. z^2 = y^2 + a^2 - 2aycos45°. (1) z^2 = x^2 + a^2 - 2axcos45°. (2) Restando (1) menos (2) y Simplificando encontramos el valor de "a" a = (y + x)/√2. (3) Llevando (3) en (1) o en (2), y luego de operaciones elementales, se obtiene: z^2 = (y^2 + x^2)/2. etc NOTA: El valor de "a" se puede obtener todavía mucho más fácil por PITÁGORAS en el Triángulo principal a^2 + a^2 = (y + x)^2 etcétera y entonces aplicando UNA sola vez Ley de Cosenos se encuentra más rápidamente la Solución. Abrazos
Mestre levei tinta. Se vale para qualquer ceviana vale para a mediana e para a mediana x=z=y é o resultado daria 1/2. Mas fiz de tudo e só consegui expressões que não convergiam para 1/2. Perdi quase uma hora tentando solucionar. Joguei a toalha. Vamos assistir ao vídeo e ver que manobra que você fez para resolver o problema. Já sentei o dedo no like, pois aqui é só vídeo de qualidade!
Mestre, mais uma pegadinha do malandro? No thumbnail não há menção que o triângulo é isósceles. Tento sempre resolver pela chamada do thumbnail. Poderia ter alertado lá. Pausei o vídeo e retornarei a prancheta após a ceia. Perdi cerca de uma hora me engalfinhando com o problema. Aguarde-me retorno em breve. Para jogar a toalha ou para apresentar uma solução que dê 1/2.
Já tirei a barriga da espinhela como dizia minha bisavó, de pança cheia. Vamos denominar a medida dos catetos de b. logo 2b^2=(x+y)^2 (i) Vamos aplicar lei dos cossenos nos dois triângulos, particionados. z^2=b^2+x^2-raiz(2)*b*x (ii) z^2=b^2+y^2-raiz(2)*b*y (iii) somando-se (ii) e (iii) 2*z^2=2b^2+x^2+y^2-raiz(2)*a*(x+y) (iv) Mas 1/2*(x+y)*b*raiz(2)/2=S, área do triângulo. Logo o termo: -raiz(2)*b*(x+y)=-4S Mas a área pode ser calculada como:S=1/2*(x+y)*h Mas é sabido que em um triângulo isósceles as cevinas notáveis relativas ao vértice da interseção de dois lados congruentes se confundem, i.e., a mediana, a bissetriz e a altura são iguais. E é sabido que a mediana de um triângulo retângulo mede o mesmo que o raio do círculo circunscrito e vale metade da hipotenusa. Logo: S=1/2(x+y)*(x+y)/2 ==> ==> -4*S= -(x+y)^2, Mas por(i) 2^b^2=(x+y)^2 Logo a primeira e a terceira parcela de(iv) se anulam e resta 2z^2= x^2+y^2 ==> z^2/(x^2+y^2)= 1/2. Resultado já esperado como comentara anteriormente.
Apoiando SEMPRE. Todo GÊNIO às vezes complica. Não é mais visualmente entendível após descobrir Z² fazer a multiplicação cruzada? Eu juro pra você que imaginei você dizendo nesse instante com ar sorridente "já viu o resultado?". Abraço.
🤔
Brilhante como de costume!
Obrigado
Brilhante e o atravessar a tela foi sensacional
🤣🤣🤣Obrigado
não importa quantos videos, sempre tem um truque novo de matemática
Obrigado
Show
Super!
Sensacional, Marcell !
Admiro muito o seu trabalho !
Fico lisonjeado
Boa resolução professor.
Eu consegui resolver aplicando um teorema que, na minha opinião, anda esquecido nas escolas de nível médio. A relação de Stewart. E aqui no seu canal assisti um video com uma explicação "show de bola" e não esqueci. Logo que vi o desenho, já pensei nele para resolver.
Os exercícios de Geometria Plana que demandam a utilização desse teorema de Stewart aparece de vez em quando nos exames para as escolas militares.
É impressionante como a Relação de Stewart é útil e muitas vezes ignorada, parabéns por saber utilizá-la!
Já dei meu like. Questão boa.
Show! Obrigado
Aula extremamente Importante, meus parabens professor!
Muito obrigado pelas palavras!
Mto bom Mestre ... excelente ... excelente ... mto bom aprender contigo ... de fato nos tira da zona de conforto e nos coloca pra pensar ...
Obrigado!
Há pouco mais de 1 ano, sem chances de eu conseguir resolver "esse monstro". Agora, de boa! O que tu fez comigo Cristiano
👍👍👏👏👏👏👏
Que questão linda de geometria plana, agregada a uma explicação e didática de muita qualidade. Parabéns, Professor Cristiano!
Muito obrigado pelo elogio. 😉
Assistir vc resolvendo geometria plana é um excelente passatempo, adoro;
Obrigado pelo elogio!
Muito bom! Outra resolução, mas por trigonometria. Seja D o pé da ceviana. Aplicando a lei dos senos aos triângulos ABD e ADC, obtém-se: z/(√2/2)=x/sen(α) e z/(√2/2)=y/sen(90°- α) --> z²/(1/2)=x²/sen²(α) e z²/(1/2)=y²/cos²(α) --> 2z²sen²(α)=x² e 2z²cos²(α)=y² --> 2z²sen²(α)+2z²cos²(α)=x²+y² --> 2z²=x²+y² --> z²/(x²+y²)=1/2.
👏👏👏👏
Um bela Questão Mestre Parabéns Por O Senhor Tira Um Pouco Do Seu Tempo Pra Nós Da um Pouco De Aprendizado A Mais 😉❤️
Muitíssimo obrigado
Excelente didática
Obrigado! 😊
Sempre dou o like! 👍🏻👍🏻👍🏻Se pudesse daria mais de um like! Show do Cristiano! A matemática é sim para todos, graças aos Cristianos da vida! 👏👏👏👏
Obrigado
Além de curtir, tem que bater palmas 👏 👏 👏
Parabéns pela clareza na explicação.
Um dia eu chego lá 💪
Muitíssimo obrigado
9:50 "e o toc, e o toc?" show rsrs
🤣🤣
Então, Mano e Minas, vms fortalecer o Cristiano no like. Pow, o cara tá fazendo matemática 0800 para nós quebrarmos as questões e vcs amarram de dar um like e esparra os vídeos dele, aí não ué. Fala c nós filhote do IMPA, a favela aqui já fez a função dela: like e esparro do seu conteúdo. Abçs, Mestre !
Muitíssimo obrigada
Nada de esquecer de dar o like, pessoal. Já dá o like logo no início, pra não esquecer.
Muitíssimo obrigado
Será que se tentar fazer pela relação de stewart também sai?
Creio que sim
VALEU MESTRE
Obrigado e disponha
Professor, uma dúvida:
Eu poderia afirmar que a altura do triângulo seria (x+y)/2, uma vez que, ao inscrever um triângulo retângulo numa circunferência, a hipotenusa seria o diâmetro e a altura, por conseguinte, seria o equivalente ao raio?
Certamente!!
MUY BUENA RESOLUCIÓN
Otra alternativa:
Usando TRIGONOMETRÍA
AB = AC = a.
z^2 = y^2 + a^2 - 2aycos45°. (1)
z^2 = x^2 + a^2 - 2axcos45°. (2)
Restando (1) menos (2) y Simplificando encontramos el valor de "a"
a = (y + x)/√2. (3)
Llevando (3) en (1) o en (2), y luego de operaciones elementales, se obtiene:
z^2 = (y^2 + x^2)/2. etc
NOTA: El valor de "a" se puede obtener todavía mucho más fácil por PITÁGORAS en el Triángulo principal
a^2 + a^2 = (y + x)^2 etcétera y entonces aplicando UNA sola vez Ley de Cosenos se encuentra más rápidamente la Solución. Abrazos
👍👏👏👏👏👏
Mestre levei tinta. Se vale para qualquer ceviana vale para a mediana e para a mediana x=z=y é o resultado daria 1/2. Mas fiz de tudo e só consegui expressões que não convergiam para 1/2. Perdi quase uma hora tentando solucionar. Joguei a toalha. Vamos assistir ao vídeo e ver que manobra que você fez para resolver o problema. Já sentei o dedo no like, pois aqui é só vídeo de qualidade!
Mestre, mais uma pegadinha do malandro? No thumbnail não há menção que o triângulo é isósceles. Tento sempre resolver pela chamada do thumbnail. Poderia ter alertado lá. Pausei o vídeo e retornarei a prancheta após a ceia. Perdi cerca de uma hora me engalfinhando com o problema. Aguarde-me retorno em breve. Para jogar a toalha ou para apresentar uma solução que dê 1/2.
Já tirei a barriga da espinhela como dizia minha bisavó, de pança cheia.
Vamos denominar a medida dos catetos de b.
logo 2b^2=(x+y)^2 (i)
Vamos aplicar lei dos cossenos nos dois triângulos, particionados.
z^2=b^2+x^2-raiz(2)*b*x (ii)
z^2=b^2+y^2-raiz(2)*b*y (iii)
somando-se (ii) e (iii)
2*z^2=2b^2+x^2+y^2-raiz(2)*a*(x+y) (iv)
Mas 1/2*(x+y)*b*raiz(2)/2=S, área do triângulo. Logo o termo:
-raiz(2)*b*(x+y)=-4S
Mas a área pode ser calculada como:S=1/2*(x+y)*h
Mas é sabido que em um triângulo isósceles as cevinas notáveis relativas ao vértice da interseção de dois lados congruentes se confundem, i.e., a mediana, a bissetriz e a altura são iguais.
E é sabido que a mediana de um triângulo retângulo mede o mesmo que o raio do círculo circunscrito e vale metade da hipotenusa.
Logo: S=1/2(x+y)*(x+y)/2 ==>
==> -4*S= -(x+y)^2,
Mas por(i) 2^b^2=(x+y)^2
Logo a primeira e a terceira parcela de(iv) se anulam e resta
2z^2= x^2+y^2 ==> z^2/(x^2+y^2)= 1/2. Resultado já esperado como comentara anteriormente.
👍
👍
👍
*Solução:*
Seja AB = AC = a. Usando a relação de Stewart no ∆ABC, temos:
a²x + a²y - z²(x+y) = xy (x + y)
a²(x + y) - z²(x+y) = xy (x + y), dividindo ambos os membros por x+y, obtemos:
a² - z²= xy, por outro lado,
como o ∆ABC é retângulo e isósceles, logo:
x + y = a√2 → a² = (x+y)²/2. Daí,
(x+y)²/2 - z² = xy
(x+y)² - 2z² = 2xy
x² + 2xy + y² - 2z² = 2xy
x² + y² - 2z² = 0
2z² = x² + y². Portanto,
*z²/(x² + y²) = 1/2.*
👍👏👍👏
Não julgo eu atravessaria a tela também. 😂
🤣🤣🤣🤣🤣
Maravilha!!!
Obrigado
Seja AB=AC=a^2
Seja h a altura do triângulo ABC
Seja k a metade da hipotenusa do triângulo ABC
Seja v a distância entre o ponto de intersecção do segmento z com a hipotenusa (triângulo ABC) e o ponto de intersecçao da altura h com a hipotenusa (triângulo ABC)
(x + y)^2 = a^2 + a^2
(x + y)^2 = 2*a^2
a^2 = (x + y)^2/2
x + y = 2k
k = (x + y)/2
k^2 = (x + y)^2/4
v = k - x
v^2 = k^2 - 2kx + x^2
z^2 = v^2 + h^2 (1)
a^2 = k^2 + h^2 (2)
(1) - (2)
z^2 - a^2 = v^2 - k^2
z^2 - a^2 = v^2 - (x + y)^2/4
4*z^2 - 4*a^2 = 4*v^2 - (x + y)^2
4*z^2 - 4*(x + y)^2/2 = 4*v^2 - (x + y)^2
4*z^2 - 2*(x + y)^2 = 4*v^2 - (x + y)^2
4*z^2 - 2*(x + y)^2 = 4*(k^2 - 2kx + x^2) - (x + y)^2
4*z^2 - 2*(x + y)^2 = 4*k^2 - 8*k*x + 4*x^2 - (x + y)^2
4*z^2 - 2*(x + y)^2 = 4*(x + y)^2/4 - 8*(x + y)*x/2 + 4*x^2 - (x + y)^2
4*z^2 - 2*(x + y)^2 = (x + y)^2 - 4*(x + y)*x + 4*x^2 - (x + y)^2
4*z^2 - (x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2 - 4*x^2 - 4*x*y + 4*x^2
4*z^2 - x^2 - 2*x*y - y^2 = x^2 + 2*x*y + y^2 - 4*x^2 - 4*x*y + 4*x^2
4*z^2 = x^2 + 2*x*y + y^2 + x^2 + 2*x*y + y^2 - 4*x^2 - 4*x*y + 4*x^2
4*z^2 = 2*x^2 + 2*y^2
2z^2 = x^2 + y^2
z^2 = (x^2 + y^2)/2
Resolvendo a expressão
z^2 / x^2 + y^2
((x^2 + y^2)/2) / x^2 + y^2
(x^2 + y^2)/2*(x^2 + y^2)
1/2
Muito obrigado!!!
👏👏👏👏
Profesor admiro seu trabalho. Queria te darbuma sugestao de exercício..muito legal
ua-cam.com/video/66Jj6NHHVpk/v-deo.htmlsi=iFWGUY5DcDA_4zn-
Obrigado pela gentileza de sua sugestão
@ProfCristianoMarcell 🤜🤛