Bem mais fácil assim: no minuto 3:33 foram encontrados os ângulos internos do primeiro triângulo. Aplicando a Lei dos Senos encontramos o x=161.8. Qual o problema? Não ter calculadora na prova pra fazer o sen (36) e sen (108)
mas pela lei dos cossenos vc tem q saber o cosseno de 108º, se justificar o cosseno de 108º terá que deduzir o de 18º (90º + 18º), mas pra deduzir vai fazer o mesmo processo do triângulo isósceles alí que o professor fez. No caso, haveria o dobro de tentativa, sendo q o mesmo método de deduzir o cosseno de 108º já responde o valor de x.
Bacana a perspicácia de usar a bissetriz para dar sequência ao raciocínio (show). Professor Isso é o traçado auxiliar??? Fabuloso, parabéns prof Cristiano.
Um professor muito bom. Difícil é saber todas as propriedades matemáticas. Tenho um livro The formula book (bem existem comigo dois com mesmo nome. Um de matemática e um de química) e haja formulas. Tão complicado como aprender os 3000 ideogramas chineses. Por sinal o de quimica (em ingles) dá a formula de tudo que é produto quimico: shampoos, sabonete, detergentes. Nos USA se compra todo tipo de produto químico, aqui não tem. Bem lá se encontra um buzilhão de coisas.
Linda questão. Se esquecer da formula da soma dos ângulos internos do poligono, no caso temos 3 triângulos, então 3x180 = 540. Realmente tem que enxergar os ângulos. Gostei
Essa questão vale, vários likes, de tão boa, toda essa dinâmica de traçar diagonais fazendo triângulos semelhantes, bissetriz muito top mesmo. Imaginei que iria cair nas relações,seno, cosseno ou tangente, muito bom mesmo.
Ótima resolução. Curiosidade. Essa diagonal é encontrada, simplesmente, multiplicando o lado do pentágono pelo número de ouro ♦️ D = l . 6,182 ... D = 161,8 um resultado com melhor precisão. Mas é claro a solução algebrica é mágica.
Mestre, eu usei o triângulo ACD, só que segui outra linha para os ângulos fiz que cada lado (corda) está associado a um arco de 72⁰, já que a circunferência foi dividida em 5(360/5=72). Como são ângulos inscritos: DAC=72/2=36 ADC=ACD=2*72/2=72. Aqui eu usei conhecimento adquirido no canal: cos36⁰=(raiz(5)+1)/4. E observando o seu vídeo(que calcula o cos36⁰) até deu para obter o sen 18⁰. Basta traçar a bissetriz do triângulo BCD que é também a altura, aí temos sen18⁰=(1-k)/k. Eu decorei, pois cos36⁰= (raiz(5)+1)/4 e sen18⁰=(raiz(5)-1)/4 4+1=5, fácil de gravar. Aí usei o cos36⁰ 100/sen36=x/sen72 100/sen36⁰=x/(2*sen36⁰*cos36⁰) Corta sen36⁰ e x=(100+100raiz(5))/2. Aí é só correr para o abraço. Mas cos 36⁰ aprendi aqui e sen 18⁰ saiu como um puxadinho. Já foi o like.
Cristiano sou seu fã e estudo com seus vídeos. Eu resolvi assim. Multipliquei 100X2,24 = 224 somei mais 100 de outro lado encontrei 324. Esse resultado 324/2=162.
Professor, quanta criatividade para resolver essa questão! Parabéns! Eu dei uma olhada e vi que tem uma solução usando o Teorema de Ptolomeu. Ela é mais rápida.
Conhecendo seu canal recente e curti bastante coisa :) Essa questão, se usar Ptolomeu sai na tranquilidade! Já que o pentágono é regular, tem ele é inscritível e você pode "montar" um quadrilátero escolhendo 4 dos 5 vértices, que será, também, inscritível... Considera o quadrilátero ABCD (excluir E), por Ptolomeu: AC*BD = AB*CD+BC*DA x^2=100^2+100x (dá pra resolver generalizando antes com lado L, aí encontra x/L = (1+sqrt(5))/2 ;)
Boa a resolução! Eu fiz utilizando o cosseno de 36. Mas confesso que olhei o na calculadora. As vezes é bom sabermos vários senos e cossenos decorados, caso não lembremos de fazer dessa forma aí, ou então para ganharmos mais tempo mesmo. 👍
Na época que estudava pro vestibular do ITA, meu professor resolveu essa questão usando teorema de ptolomeu, pra ensinar as funções trigonométricas da família do 36, 72, 108… Ele pegou 4 pontos do pentágono regular e tomava o quadrilátero inscritível, um trapézio isósceles de lados x, 1, 1 e 1, e duas diagonais de comprimento x, aplicando o teorema de ptolomeu (em um quadrilátero inscritível, a soma do produto dos lados opostos é igual ao produto das diagonais: a.c+b.d=m.n) caia em uma equação de segundo grau: x^2-x-1=0, a solução positiva ela o tamanho da diagonal. Sei que o teorema de ptolomeu pode ser desfocado pra EAM, mas vendo o senhor resolver essa questão me fez lembrar dessa aula de trigonometria de 2016 que certamente foi uma das mais marcantes na minha vida, foi a primeira aula dedicada para o ITA que eu assisti, e em 2023 me formei como engenheiro aeronáutico pelo ITA realizando o sonho que começou com essa aula. Meus parabéns pela aula professor! Siga com esse trabalho e tenho certeza que marcará a vida de muitos alunos assim como esse meu professor marcou a minha.
Teorema de Ptolomeu, tu faz a diagonal AC aí você enxerga um quadrilátero, depois aplica o teorema de Ptolomeu que é o produto das diagonais = o produto dos lados opostos entre si, então fica x²=100x+10000 desse jeito é mais fácil na minha visão, aí depois só aplicar a fórmula quadrática.
Parabéns, mestre! Vc é fera! Admiro sua didática, conhecimento e organização! Sou seu fã! Resolvi a questão usando o teorema de Ptolomeu: produto das diagonais = soma dos produtos dos lados opostos. Traçando três diagonais, percebemos um quadrilátero inscritível formado por: três lados do pentágono e uma diagonal do pentágono, sendo que as diagonais desse quadrilátero são iguais à diagonal do pentágono.
Para achar achar esses dois triângulos semelhantes de uma forma simples e bem mais rápida para poupar tempo durante a prova era só traçar uma reta no triângulo AED que divida o ângulo
Professor, eu poderia ter, nesse caso, usado diretamente a lei dos senos do primeiro triangulo isósceles e achado o lado x, porem sem a calculadora a sua resposta ficou sensacional
Esta questão já apareceu no colégio naval, era dado o lado e pedia-se a diagonal...na minha solução eu prolonguei dois lados não consecutivos e formei triângulos semelhantes...valeu mestre.
360/5=72; o triangulo no vértice é metade do angulo = 36 (propriedade de triângulos inscritos); o tri retângulo com cateto oposto a 18 graus com valor de 100/2 e hipotenusa x, daí sin(18) = 50/x => x = 161,8 ~162
Resolvi a questão utilizando a lei dos cossenos. Joguei na fórmula e utilizei uma regra de três para conseguir uma aproximação do cos(108°). Infelizmente o resultado não foi tão preciso (170).
@@ProfCristianoMarcell Que tipo de relação pode-se utilizar para encontrar boas aproximações para os valores dos senos e cossenos? Iria além da matemática elementar?
Tem uma malandragem que dá pra usar. quando voce traça a altura relativa ao lado AD no triângulo ADE, essa altura é também bissetriz do vértice E. Divide-se, assim, o triângulo ADE em dois triangulos retângulos congruentes. como a altura é bissetriz do vertice A, separa-se 54º pra cada um deles. ai que vem a malandragem: pra quem fez muita questão, da pra lembrar que um dos angulos do triangulo 3,4,5 é 53º. como 54º~ 53º, sen(54º) ~ sen(53º). fazendo isso, tem-se que x/2 ~ 80 -> x ~ 160º
Eu não sei como foi as alternativas... mas quando eu vi que o ângulo deu 36 graus, pensei o seguinte. Bom isso da quase um triangulo pitagórico de hipotenusa 100, então o cateto adjacente ao ângulo de 36 graus vai aproximadamente 80 uc. Logo a maior distancia vai ser algo próximo de 160 uc. Se tivesse uma alternativa mt perto dos 160 e as outras distantes... eu iria nela de certeza.
Pelo Teorema de Ptolomeu (a diagonal AD está em rosa, coloca a outra diagonal EC em rosa também e teremos um quadrilátero com duas diagonais iguais a x), assim: AD x EC = AC x ED + AE x CD x.x = x.100 + 100.100 x² - 100x - 10000 = 0 Prontinho...assim ficou bem mais simples de compreender.
Vejam como guardar algumas informações básicas podem facilitar a resolução de muitas questões aparentemente difíceis. Por exemplo: o triângulo pitagórico (de proporções 3, 4, 5) possui ângulos internos, além do reto, de 36,9º e 53,1º, aproximadamente (gravem isso na mente). Sabendo disso, na questão acima, ao dividir o triângulo ao meio, teremos dois triângulos retos com ângulos internos de 36º e 54º, além do ângulo reto. Ou seja, triângulos muito próximos do triângulo pitagórico (3, 4, 5). Aplicando a proporcionalidade, um triângulo pitagórico (3, 4, 5) com hipotenusa valendo 100 terá seu maior cateto medindo 80 (oposto ao ângulo 53,1º) e o menor, 60 (oposto ao ângulo 36,9º). Agora, basta usar a lógica: ao aumentar o ângulo de 53,1º para 54º, seu cateto oposto também irá aumentar; logo, o cateto oposto ao ângulo de 54º (que no caso é X/2) será maior que 80 e, portanto, seu dobro, que é o valor de X, será maior que 160. Como a única alternativa maior que 160 é 162, esta acaba sendo a resposta certa.
Os ângulos internos de um pentágono regular vale 108°, logo, resolve-se com duas linhas pela lei dos senos. x/sen108°=100/sen36°. x = 161,8. Poderia arredondar para 162, uma vez que 100√5=223,61 e não 224.
Adorei sua solução. Obrigado. Só gostaria de mostrar outra forma que me pareceu mais simples. Existe um teorema, mas agora não sei o nome com certeza, acredito que é teorema de Ptolomeu que diz que num quadrilátero inscritível o produto das diagonais é igual à soma do produtos dos lados opostos do quadrilátero, usando o seu desenho para ficar mais claro: O quadrilátero em questão é o quadrilátero de vertices ACDE, como ele é parte do pentágono regular, logo ele é inscritível, então temos (AD)*(CE) = (AC) * (DE) + (CD) * (AE), (AD) é o X procurado, não é difícil concluir no desenho que (CE) também é X, (AC) também é X fácil ver pelo desenho, (DE) é 100, (CD) é 100 e finalmente (AE) é 100 também, substituindo estes valores temos: X * X = X * 100 + 100 * 100 que cai na mesma equação quadrática que voce resolveu. É relativamente fácil se voce souber e lembrar do teorema do Ptolomeu. Outra forma de resolver o exercício é uma vez calculando o angulo interno de 108 usar a lei dos cossenos onde teríamos a equação Xˆ2 = 100ˆ2 + 100ˆ2 - 2*100*100*cos(108). Se virmos 108 como 90 + 18 concluímos que cos(108) = -sen(18) e podemos reescrever Xˆ2 = 100ˆ2 + 100ˆ2 +2*100*100*sen(18). O seno de 18 é obtido através de um triangulo isosceles de angulos 72 72 e 36 como voce fez na sua solução, só que voce não calculou o seno de 18 voce usou a semelhança de triangulos para cair na equação quadrática, a mesma semelhança pode ser usada para achar o seno de 18 que é ((5)ˆ(1/2)-1)/4. Quem já havia visto a demonstração de como se calcula o seno de 18 poderia ir por este caminho. Quem já conhecia e viu a demonstração do teorema de Ptolomeu também poderia ter usado a primeira solução que para mim pareceu a mais rápida e simples, mas é importante saber o teorema de Ptolomeu, o teorema de Ptolomeu é fácil de ser memorizado, basta lembrar do teorema de Pitagoras e de um quadrilátero em particular "o retangulo" pense na hipotenuza ao quadrado como sendo o produto das diagonais do retangulo, pense no primeiro cateto ao quadrado como sendo o produto dos lados opostos do retangulo e pense no outro cateto ao quadrado como sendo o produto dos outros dois lados opostos do retangulo. Mas é importante lembrar que este teorema se aplica não só a retangulos, mas a qualquer quadrilátero inscritível. Obrigado
Ótima explicação! Parabéns Cristiano! Inscrito em seu canal e recomendarei aos estudantes! Outra possibilidade é partir da ideia de que todo polígono é inscrtível em uma circunferência. Sucesso, amigo!
se ele tivesse dado cos(108) ficaria fácil pois era só aplicar lei dos cossenos( aproximadamente -3/10) daí era só aproximar alguns valores e chegar a resposta ~162
Se tivessem dado o cosseno de 108° era só usar lei dos cossenos, mas sem isso complicou kkkk Pensei num jeito para aproximar cos108°, usando ângulos conhecidos: cos108°= cos (120°-12°) = cos120*cos12 + sen120*sen12 = (-1/2)*cos12 + (√3/2)*sen12 Para estimar cos12 e sen12, acho que vale a pena separar ainda em sen15 e cos15, que são conhecidos: cos12= cos(15-3)= cos15*cos3+sen15*sen3 sen12= sen15*cos3 - sen3*cos15 Como 3 é um ângulo bem pequeno, use cos3~1 e sen3°=sen(3*pi/180)=sen(pi/60)~pi/60~0,05 Usando sen15~0,25 e cos15~0,96, temos cos12=0,96+0,01=0,97 e sen12=0,25-0,05=0,2 Finalmente, vamos ter aproximadamente: cos108°= -0,5*0,97+0,86*0,2 = -0,48 + 0,17 = - 0,31 O que é surpreendentemente próximo, pois o valor real é -0.309016995 Eu acredito que quem fez essa questão estava esperando que o aluno saiba que cos108= (1-√5)/4, que no fim é equivalente ao que vc fez no vídeo. Só por completude, usando minha aproximação, temos na lei dos cossenos: x^2 = 2*100^2 - 2*(100^2) * cos108 = 2*100^2(1+0,31) = (2,62)*100^2 x= 100* √2,62 Sabemos que √2~1,4 então teremos algo um pouco maior, chutando: 1,6^2=2,56 (a raiz real é √2,62=1,61). Vou usar √2,62~1,6 x~160 Grosseiro? Sim. Bem menos bonito que a solução do Prof Cristiano? Sim. Mas tá ai outro jeito de resolver, usando chutes educados
Cristiano, Eu dividi o triângulo da esquerda ao meio. Ficaram dois triângulos 3 4 5(aproximadamente 90° + 54° + 36°). Se a hipotenusa é 100(5 x 20) então, o cateto x/2 é 80(4 x 20. Portanto x valeria 160°. Considerando que, no triângulo 3 4 5, os ângulos não são exatamente 54° e 36°, numa múltipla escolha, eu chutaria o162. Muitíssimo mais rápido, não acha?
Cara, hoje acertei uma questão de concurso, sem fazer conta, por conta do seu vídeo. A Questão: um dodecaedro regular de aresta 1m, com um cubo inscrito, isto é, oito vértices do dodecaedro são tbm vértices do cubo. Qual é comprimento da aresta do cubo? Muito obrigado! Se eu passar, o seu pix tá garantido... valeu demais!
Cristiano, eu percebi que a diagonal do Pentágono é lado vezes fi. Conhece a letra grega fi né? Aquela proporção áurea que vale 1,62. Ou (√5 + 1)/2 . Porque a fórmula para calcular a diagonal do Pentágono é lado que multiplica √5 mais 1 tudo sobre 2, ( l . (√5 + 1))/2 , a qual o senhor nos mostrou. Daí separando as fações temos lado vezes a fração: (√5 + 1)/2 . Mas (√5 + 1)/2 é o fi. Então fica: lado vezes fi. Ou "L . φ"
Mestre, eu refazendo essa questão percebi que poderia usar a razão áurea. (diagonal/lado = (1+raiz de 5)/2. posso utilizar sempre que for um pentágono regular.
@Matemática com Cristiano Marcell Salve Salve Cristiano. Partindo do princípio que o triângulo AED é isósceles, daria pela lei dos Senos também, certo? x 100 ______ = _______ ? sen108 sen 36
Usando a Lei dos Senos, dá para resolver também, entretanto com o auxílio da calculadora científica x/sin 108° = 100/sin 36° x = 100 sin108°/sin 36° x = 161,80339887 x ~ 161,80
podia explicar melhor para um leigo? Como uma equação que só tem o Nº 100,pode dar um resultado 162?.Poderia desenvolver e DIDÁTICAMENTE, como o CRISTIANO MARTEL?
@@vidalsbrighi1652Opa, a equação é equivalente a que está no vídeo, o professor Cristiano explica como se resolve a equação do segundo grau na aula, dá uma olhadinha no vídeo😊. E pesquisa na internet o Teorema de Ptolomeu. Um teorema bem legal😅
se soubesse que a diagonal de um pentágono de lado 1 é (1+raiz quadrada(5))/2, e multiplicar por 100, ficaria dada a questão . Na pior das hipóteses, faria pelo teorema de ptolomeu, uma saída mais tranquila
Para quem se lembrar de senos notáveis (múltiplos de 18°), o problema se resolve rapidamente pelo teorema dos senos. Lembrando, aqui, os "senos notáveis": sen 18° = 0,3100 sen 36° = 0,5878 sen 72° = 0,9511 sen 108°= 0,9511 sen 144°= 0,5878 sen 162° = 0,3100
Sou Arigó de produção mecânica e regularmente preciso achar umas medidas em desenhos mecânicos para confeccionar uma peça de máquina.Quando vi o problema através da figura,logo vi a solução na trigonometria e praticamente resolvi de cabeça em dois minutos.Por que mesmo fazer esses cálculos ? São exigidos na faculdade ?
O pentágono regular contém o número de ouro na diagonal (o fi). Se sabemos que é ( 1+ raiz de 5 )/2 em função do lado, é só multiplicarmos o lado pelo “fi”.
👏👏👏👏👏👏👏👏👏
Obrigado
Prof Cristiano, excelente sua aula. Sem fazer firulas, sem fazer gritarias, sem exibicionismo. Fazendo somente o necessário.
Muito obrigado!!!
Máximo respeito por esse professor, meu interesse em fazer questões de matemática só aumenta, muito obrigado
Muito obrigado
BIZU DE OURO! A diagonal do Pentágono regular = L ( 1 + raiz de 5) / 2 Uma questão extremamente parecida apareceu no colégio naval 2022.
Show
raiz de 5 amigo
Raiz de 5
Isso! Ele deve ter digitado 3 equivicadamente
O problema é decorar todas relações prontas para diferentes polígonos. Será mais proveitoso?
Questão muito boa. É trabalhosa e requer uma gama de conhecimentos elementares de geometria plana.
Justamente
Ótima aula professor, parabéns. Amei ver a proporção áurea na na solução da questão; sempre aparece no pentagrama.
Obrigado 😃
Bem mais fácil assim: no minuto 3:33 foram encontrados os ângulos internos do primeiro triângulo. Aplicando a Lei dos Senos encontramos o x=161.8. Qual o problema? Não ter calculadora na prova pra fazer o sen (36) e sen (108)
Vou verificar
Questão linda de +! Tentei resolver direto pela lei dos cossenos e deu certo, meu mestre!
Legal
mas pela lei dos cossenos vc tem q saber o cosseno de 108º, se justificar o cosseno de 108º terá que deduzir o de 18º (90º + 18º), mas pra deduzir vai fazer o mesmo processo do triângulo isósceles alí que o professor fez. No caso, haveria o dobro de tentativa, sendo q o mesmo método de deduzir o cosseno de 108º já responde o valor de x.
@@icarogillead4654 mas quem conhece não vai parar pra deduzir na hora, se ele fez por cossenos ele já devia saber
mas não deixa de ser solução! Tá valendo
Provavelmente
Parabéns! Um professor com uma noção de geométrica fantástica. Temos um gênio da geometria brasileira. Sou seu fã.
Muito obrigado!!!
Poxa vida! Essa é uma questão nota DEZ. Parabéns pela escolha!
Obrigado
Muito boa resolução!
Obrigado
Rainha das ciências....valeu Cristiano.
Obrigado
Parabéns. Voce ensina resolver o problema sem a necessidade de decorar formulas nem valores da tabela trigonometrica!!!!
👏👏👏👏
Bacana a perspicácia de usar a bissetriz para dar sequência ao raciocínio (show). Professor Isso é o traçado auxiliar??? Fabuloso, parabéns prof Cristiano.
Sim, isso é traçado auxiliar
Um professor muito bom. Difícil é saber todas as propriedades matemáticas. Tenho um livro The formula book (bem existem comigo dois com mesmo nome. Um de matemática e um de química) e haja formulas. Tão complicado como aprender os 3000 ideogramas chineses. Por sinal o de quimica (em ingles) dá a formula de tudo que é produto quimico: shampoos, sabonete, detergentes. Nos USA se compra todo tipo de produto químico, aqui não tem. Bem lá se encontra um buzilhão de coisas.
Legal
Brabooo, Aluno de Cn aqui, Resolvi essa pela relação do número de ouro com o pentágono regular, diagonal/lado = 1+✓5/2
Show!!!!!!
fala cristiano,cara voce ta me ajudando muito,estou estudando para o cn e essa questao cai facilmente como uma das mais dificeis
Obrigado
Linda questão. Se esquecer da formula da soma dos ângulos internos do poligono, no caso temos 3 triângulos, então 3x180 = 540. Realmente tem que enxergar os ângulos. Gostei
👍👍Obrigado
Essa questão vale, vários likes, de tão boa, toda essa dinâmica de traçar diagonais fazendo triângulos semelhantes, bissetriz muito top mesmo. Imaginei que iria cair nas relações,seno, cosseno ou tangente, muito bom mesmo.
Obrigado
Ótima resolução. Curiosidade. Essa diagonal é encontrada, simplesmente, multiplicando o lado do pentágono pelo número de ouro ♦️
D = l . 6,182 ...
D = 161,8 um resultado com melhor precisão. Mas é claro a solução algebrica é mágica.
👍👏👏👏
Mestre, eu usei o triângulo ACD, só que segui outra linha para os ângulos fiz que cada lado (corda) está associado a um arco de 72⁰, já que a circunferência foi dividida em 5(360/5=72).
Como são ângulos inscritos:
DAC=72/2=36
ADC=ACD=2*72/2=72.
Aqui eu usei conhecimento adquirido no canal: cos36⁰=(raiz(5)+1)/4. E observando o seu vídeo(que calcula o cos36⁰) até deu para obter o sen 18⁰. Basta traçar a bissetriz do triângulo BCD que é também a altura, aí temos sen18⁰=(1-k)/k. Eu decorei, pois
cos36⁰= (raiz(5)+1)/4 e sen18⁰=(raiz(5)-1)/4
4+1=5, fácil de gravar.
Aí usei o cos36⁰
100/sen36=x/sen72
100/sen36⁰=x/(2*sen36⁰*cos36⁰)
Corta sen36⁰ e x=(100+100raiz(5))/2.
Aí é só correr para o abraço.
Mas cos 36⁰ aprendi aqui e sen 18⁰ saiu como um puxadinho.
Já foi o like.
Boa!!!
Eu sou fã desse professor pq ele só resolve questões de alto nivel. 👋👋👋👋👋👋
Tenho que resolver questões básicas também. Para atender mais pessoas
Parabéns, professor: clareza expositiva e muita "limpeza" na construção da figura. Boa caligrafia ajuda muito na solução de problemas matemáticos.
Muito obrigado
Cristiano sou seu fã e estudo com seus vídeos. Eu resolvi assim. Multipliquei 100X2,24 = 224 somei mais 100 de outro lado encontrei 324. Esse resultado 324/2=162.
Show de bola
Professor, quanta criatividade para resolver essa questão! Parabéns!
Eu dei uma olhada e vi que tem uma solução usando o Teorema de Ptolomeu. Ela é mais rápida.
Ótima sugestão!
Conhecendo seu canal recente e curti bastante coisa :)
Essa questão, se usar Ptolomeu sai na tranquilidade!
Já que o pentágono é regular, tem ele é inscritível e você pode "montar" um quadrilátero escolhendo 4 dos 5 vértices, que será, também, inscritível...
Considera o quadrilátero ABCD (excluir E), por Ptolomeu:
AC*BD = AB*CD+BC*DA
x^2=100^2+100x
(dá pra resolver generalizando antes com lado L, aí encontra x/L = (1+sqrt(5))/2 ;)
Legal
Excelente! Abraço, O MESTRE MATE
TMJ
Show 👏👏👏
Obrigado
TOP👋👋👋👋👋👋👋👋👋👋
Obrigado
Belo trabalho, professor. Parabéns!
Muito obrigado!
Mais uma ótima aula. Parabéns e sucesso!
Muito obrigado
Sensacional professor Cristiano Marcell !!
Obrigado
Questão braba, resolução mais braba ainda! 💪
Tmj
Valeu!
Obrigado
Da hora !!!
Obrigado
Muito obrigado pela AULA
Disponha
Ótimo vídeo. É só lembrar que a diagonal do pentágono regular e o seu lado seguem a razão áurea.
Justamente
Boa a resolução! Eu fiz utilizando o cosseno de 36. Mas confesso que olhei o na calculadora. As vezes é bom sabermos vários senos e cossenos decorados, caso não lembremos de fazer dessa forma aí, ou então para ganharmos mais tempo mesmo. 👍
É isso aí
Muito legal professor Cristiano. Vc e um gênio da geometria sim.aprendi muito com vc.parabéns.
Obrigado!
Professor muito boa explicação gostei desta questão...
Obrigado
Muito boa essa questão
Obrigado
Na época que estudava pro vestibular do ITA, meu professor resolveu essa questão usando teorema de ptolomeu, pra ensinar as funções trigonométricas da família do 36, 72, 108… Ele pegou 4 pontos do pentágono regular e tomava o quadrilátero inscritível, um trapézio isósceles de lados x, 1, 1 e 1, e duas diagonais de comprimento x, aplicando o teorema de ptolomeu (em um quadrilátero inscritível, a soma do produto dos lados opostos é igual ao produto das diagonais: a.c+b.d=m.n) caia em uma equação de segundo grau: x^2-x-1=0, a solução positiva ela o tamanho da diagonal. Sei que o teorema de ptolomeu pode ser desfocado pra EAM, mas vendo o senhor resolver essa questão me fez lembrar dessa aula de trigonometria de 2016 que certamente foi uma das mais marcantes na minha vida, foi a primeira aula dedicada para o ITA que eu assisti, e em 2023 me formei como engenheiro aeronáutico pelo ITA realizando o sonho que começou com essa aula. Meus parabéns pela aula professor! Siga com esse trabalho e tenho certeza que marcará a vida de muitos alunos assim como esse meu professor marcou a minha.
👏👏👏👏
Gostei de sua resolução
Obrigado
Show
Obrigado
Sou teu fã, Cristiano. Parabéns. Soma dos ângulos internos, ok. triângulo isósceles, ok. Mas traçar aquela bissetriz tem que ter visão.
Muitíssimo obrigado!
Genial!
Obrigado
Que perfeição de resolução. Excelente. 👍
Obrigado
Adorei seu modo de explicar, direto ao ponto sem enrolação, sem aquelas eternas repetição de muitos dos que postam vídeos
Obrigado
Teorema de Ptolomeu, tu faz a diagonal AC aí você enxerga um quadrilátero, depois aplica o teorema de Ptolomeu que é o produto das diagonais = o produto dos lados opostos entre si, então fica x²=100x+10000 desse jeito é mais fácil na minha visão, aí depois só aplicar a fórmula quadrática.
Legal
Parabéns pelo trabalho, muito bom o vídeo
Obrigado 👍
Linda questão, prof.!!!
Obrigado
Fiz essa questão utilizando lei dos senos e arco-triplo. Muito trabalho e fica feio no quadro. Belíssima solução mestre👏👏👏👏
Maravilha
Parabéns, mestre! Vc é fera! Admiro sua didática, conhecimento e organização! Sou seu fã! Resolvi a questão usando o teorema de Ptolomeu: produto das diagonais = soma dos produtos dos lados opostos. Traçando três diagonais, percebemos um quadrilátero inscritível formado por: três lados do pentágono e uma diagonal do pentágono, sendo que as diagonais desse quadrilátero são iguais à diagonal do pentágono.
Show de bola
professor bom e honesto👏👏👏👏
Obrigado
Para achar achar esses dois triângulos semelhantes de uma forma simples e bem mais rápida para poupar tempo durante a prova era só traçar uma reta no triângulo AED que divida o ângulo
Legal
Professor, eu poderia ter, nesse caso, usado diretamente a lei dos senos do primeiro triangulo isósceles e achado o lado x, porem sem a calculadora a sua resposta ficou sensacional
Pode sim
Esta questão já apareceu no colégio naval, era dado o lado e pedia-se a diagonal...na minha solução eu prolonguei dois lados não consecutivos e formei triângulos semelhantes...valeu mestre.
Show
360/5=72; o triangulo no vértice é metade do angulo = 36 (propriedade de triângulos inscritos); o tri retângulo com cateto oposto a 18 graus com valor de 100/2 e hipotenusa x, daí sin(18) = 50/x => x = 161,8 ~162
🤔
Resolvi a questão utilizando a lei dos cossenos. Joguei na fórmula e utilizei uma regra de três para conseguir uma aproximação do cos(108°). Infelizmente o resultado não foi tão preciso (170).
Regra de três funciona com funções lineares. Não é o caso do cosseno
@@ProfCristianoMarcell Que tipo de relação pode-se utilizar para encontrar boas aproximações para os valores dos senos e cossenos? Iria além da matemática elementar?
Questão topp!! Resolução melhor ainda!! 👏🏼👏🏼
Obrigado
Oi Marcel essa questão caiu em 1980 na prova do CN, questão foi uma das mais difíceis
Show! Eles resgataram e colocaram no concurso da EAM
Excelente canal !!!
Obrigado
Prof gostei da solução, mas experimenta colocar o pentágono inscrito num círculo você verá diversas soluções, obrigado
ok
Tem uma malandragem que dá pra usar. quando voce traça a altura relativa ao lado AD no triângulo ADE, essa altura é também bissetriz do vértice E. Divide-se, assim, o triângulo ADE em dois triangulos retângulos congruentes. como a altura é bissetriz do vertice A, separa-se 54º pra cada um deles. ai que vem a malandragem: pra quem fez muita questão, da pra lembrar que um dos angulos do triangulo 3,4,5 é 53º. como 54º~ 53º, sen(54º) ~ sen(53º). fazendo isso, tem-se que x/2 ~ 80 -> x ~ 160º
Legal
Ótima questão!
Gosto muito das tuas resoluções...mas X acha facilmente por lei dos cossenos, usando os dois lados de 100 com o ângulo central de 108°,
Legal
Como acha cosseno de 108?
Eu não sei como foi as alternativas... mas quando eu vi que o ângulo deu 36 graus, pensei o seguinte. Bom isso da quase um triangulo pitagórico de hipotenusa 100, então o cateto adjacente ao ângulo de 36 graus vai aproximadamente 80 uc. Logo a maior distancia vai ser algo próximo de 160 uc. Se tivesse uma alternativa mt perto dos 160 e as outras distantes... eu iria nela de certeza.
Legal
Pelo Teorema de Ptolomeu (a diagonal AD está em rosa, coloca a outra diagonal EC em rosa também e teremos um quadrilátero com duas diagonais iguais a x), assim:
AD x EC = AC x ED + AE x CD
x.x = x.100 + 100.100
x² - 100x - 10000 = 0
Prontinho...assim ficou bem mais simples de compreender.
Legal!
Hahhahahah "eu só resolvi muita questao desse mundo de meu Deus" adorei
🤣🤣
Mestre....eu bati olho ja pensei no teorema pitolomeu....fica bem simples.
Bom
Vejam como guardar algumas informações básicas podem facilitar a resolução de muitas questões aparentemente difíceis. Por exemplo: o triângulo pitagórico (de proporções 3, 4, 5) possui ângulos internos, além do reto, de 36,9º e 53,1º, aproximadamente (gravem isso na mente). Sabendo disso, na questão acima, ao dividir o triângulo ao meio, teremos dois triângulos retos com ângulos internos de 36º e 54º, além do ângulo reto. Ou seja, triângulos muito próximos do triângulo pitagórico (3, 4, 5). Aplicando a proporcionalidade, um triângulo pitagórico (3, 4, 5) com hipotenusa valendo 100 terá seu maior cateto medindo 80 (oposto ao ângulo 53,1º) e o menor, 60 (oposto ao ângulo 36,9º). Agora, basta usar a lógica: ao aumentar o ângulo de 53,1º para 54º, seu cateto oposto também irá aumentar; logo, o cateto oposto ao ângulo de 54º (que no caso é X/2) será maior que 80 e, portanto, seu dobro, que é o valor de X, será maior que 160. Como a única alternativa maior que 160 é 162, esta acaba sendo a resposta certa.
Legal
A diagonal dividido pelo lado é igual ao número de ouro (1,618).
Cálculo mental com o lado medindo 100.
Legal
Os ângulos internos de um pentágono regular vale 108°, logo, resolve-se com duas linhas pela lei dos senos. x/sen108°=100/sen36°. x = 161,8. Poderia arredondar para 162, uma vez que 100√5=223,61 e não 224.
👍
Adorei sua solução. Obrigado. Só gostaria de mostrar outra forma que me pareceu mais simples. Existe um teorema, mas agora não sei o nome com certeza, acredito que é teorema de Ptolomeu que diz que num quadrilátero inscritível o produto das diagonais é igual à soma do produtos dos lados opostos do quadrilátero, usando o seu desenho para ficar mais claro: O quadrilátero em questão é o quadrilátero de vertices ACDE, como ele é parte do pentágono regular, logo ele é inscritível, então temos (AD)*(CE) = (AC) * (DE) + (CD) * (AE), (AD) é o X procurado, não é difícil concluir no desenho que (CE) também é X, (AC) também é X fácil ver pelo desenho, (DE) é 100, (CD) é 100 e finalmente (AE) é 100 também, substituindo estes valores temos: X * X = X * 100 + 100 * 100 que cai na mesma equação quadrática que voce resolveu. É relativamente fácil se voce souber e lembrar do teorema do Ptolomeu. Outra forma de resolver o exercício é uma vez calculando o angulo interno de 108 usar a lei dos cossenos onde teríamos a equação Xˆ2 = 100ˆ2 + 100ˆ2 - 2*100*100*cos(108). Se virmos 108 como 90 + 18 concluímos que cos(108) = -sen(18) e podemos reescrever Xˆ2 = 100ˆ2 + 100ˆ2 +2*100*100*sen(18). O seno de 18 é obtido através de um triangulo isosceles de angulos 72 72 e 36 como voce fez na sua solução, só que voce não calculou o seno de 18 voce usou a semelhança de triangulos para cair na equação quadrática, a mesma semelhança pode ser usada para achar o seno de 18 que é ((5)ˆ(1/2)-1)/4.
Quem já havia visto a demonstração de como se calcula o seno de 18 poderia ir por este caminho.
Quem já conhecia e viu a demonstração do teorema de Ptolomeu também poderia ter usado a primeira solução que para mim pareceu a mais rápida e simples, mas é importante saber o teorema de Ptolomeu, o teorema de Ptolomeu é fácil de ser memorizado, basta lembrar do teorema de Pitagoras e de um quadrilátero em particular "o retangulo" pense na hipotenuza ao quadrado como sendo o produto das diagonais do retangulo, pense no primeiro cateto ao quadrado como sendo o produto dos lados opostos do retangulo e pense no outro cateto ao quadrado como sendo o produto dos outros dois lados opostos do retangulo. Mas é importante lembrar que este teorema se aplica não só a retangulos, mas a qualquer quadrilátero inscritível.
Obrigado
Legal mesmo
Ótima explicação! Parabéns Cristiano! Inscrito em seu canal e recomendarei aos estudantes! Outra possibilidade é partir da ideia de que todo polígono é inscrtível em uma circunferência. Sucesso, amigo!
Muito bom! Eu agradeço
se ele tivesse dado cos(108) ficaria fácil pois era só aplicar lei dos cossenos( aproximadamente -3/10) daí era só aproximar alguns valores e chegar a resposta ~162
Legal
O Teorema da Bissetriz Interna poderia ser aplicado também. Esse tipo de questão é clássico. Nele podemos observar a razão áurea.
👍
Se tivessem dado o cosseno de 108° era só usar lei dos cossenos, mas sem isso complicou kkkk
Pensei num jeito para aproximar cos108°, usando ângulos conhecidos:
cos108°= cos (120°-12°) = cos120*cos12 + sen120*sen12 = (-1/2)*cos12 + (√3/2)*sen12
Para estimar cos12 e sen12, acho que vale a pena separar ainda em sen15 e cos15, que são conhecidos:
cos12= cos(15-3)= cos15*cos3+sen15*sen3
sen12= sen15*cos3 - sen3*cos15
Como 3 é um ângulo bem pequeno, use cos3~1 e sen3°=sen(3*pi/180)=sen(pi/60)~pi/60~0,05
Usando sen15~0,25 e cos15~0,96, temos cos12=0,96+0,01=0,97 e sen12=0,25-0,05=0,2
Finalmente, vamos ter aproximadamente:
cos108°= -0,5*0,97+0,86*0,2 = -0,48 + 0,17 = - 0,31
O que é surpreendentemente próximo, pois o valor real é -0.309016995
Eu acredito que quem fez essa questão estava esperando que o aluno saiba que cos108= (1-√5)/4, que no fim é equivalente ao que vc fez no vídeo.
Só por completude, usando minha aproximação, temos na lei dos cossenos:
x^2 = 2*100^2 - 2*(100^2) * cos108 = 2*100^2(1+0,31) = (2,62)*100^2
x= 100* √2,62
Sabemos que √2~1,4 então teremos algo um pouco maior, chutando: 1,6^2=2,56 (a raiz real é √2,62=1,61). Vou usar √2,62~1,6
x~160
Grosseiro? Sim. Bem menos bonito que a solução do Prof Cristiano? Sim. Mas tá ai outro jeito de resolver, usando chutes educados
Boa solução
Professor, boa tarde.
Excelente questão, visualização ótima, mas o som da caneta incomodou um pouco.
Obrigado por mais este lindo exercício.
Pois é, tenho que ver esse som do giz
Cristiano, Eu dividi o triângulo da esquerda ao meio. Ficaram dois triângulos 3 4 5(aproximadamente 90° + 54° + 36°). Se a hipotenusa é 100(5 x 20) então, o cateto x/2 é 80(4 x 20. Portanto x valeria 160°. Considerando que, no triângulo 3 4 5, os ângulos não são exatamente 54° e 36°, numa múltipla escolha, eu chutaria o162. Muitíssimo mais rápido, não acha?
Ricardo, como estimativa pode até valer, mas não há como afirmar que o triângulo é o 3,4 e 5
Podemos resolver de outra forma:
Cos 36 = 0,81
:. 0,81 X 100 = 81 = X/2 , logo
X = 2 x 81 = 162.
Muito mais rápido e simples
Boa
Cara, hoje acertei uma questão de concurso, sem fazer conta, por conta do seu vídeo. A Questão: um dodecaedro regular de aresta 1m, com um cubo inscrito, isto é, oito vértices do dodecaedro são tbm vértices do cubo. Qual é comprimento da aresta do cubo? Muito obrigado! Se eu passar, o seu pix tá garantido... valeu demais!
Fico muito feliz
Traça a circunferência circunscrita. Aplicando teorema de Ptolomeu sai rapinho.
Boa
Cristiano, eu percebi que a diagonal do Pentágono é lado vezes fi. Conhece a letra grega fi né? Aquela proporção áurea que vale 1,62. Ou (√5 + 1)/2 . Porque a fórmula para calcular a diagonal do Pentágono é lado que multiplica √5 mais 1 tudo sobre 2, ( l . (√5 + 1))/2 , a qual o senhor nos mostrou. Daí separando as fações temos lado vezes a fração: (√5 + 1)/2 . Mas (√5 + 1)/2 é o fi. Então fica: lado vezes fi. Ou "L . φ"
👏👏👏
As pessoas pensam que professor é um monstro, na verdade é a prática que aperfeiçoa e consegue chegar no raciocínio mais rápido.
👏👏👏👏👏
Mestre, eu refazendo essa questão percebi que poderia usar a razão áurea. (diagonal/lado = (1+raiz de 5)/2. posso utilizar sempre que for um pentágono regular.
Pode usar sim
👍👍
Tmj
@Matemática com Cristiano Marcell
Salve Salve Cristiano. Partindo do princípio que o triângulo AED é isósceles, daria pela lei dos Senos também, certo?
x 100
______ = _______ ?
sen108 sen 36
Creio que sim
Usando a Lei dos Senos, dá para resolver também, entretanto com o auxílio da calculadora científica
x/sin 108° = 100/sin 36°
x = 100 sin108°/sin 36°
x = 161,80339887
x ~ 161,80
Legal
Ótimo professor, se possível traga questões da vunesp e FGV, grato pela atenção.
Pode deixar
Boa! Uma solução alternativa é aplicando o teorema de Ptolomeu no quadrilátero ABDE, daí tem-se: x^2=100x+100*100, ou x=162.
Boa
podia explicar melhor para um leigo? Como uma equação que só tem o
Nº 100,pode dar um resultado 162?.Poderia desenvolver e DIDÁTICAMENTE,
como o CRISTIANO MARTEL?
@@vidalsbrighi1652Opa, a equação é equivalente a que está no vídeo, o professor Cristiano explica como se resolve a equação do segundo grau na aula, dá uma olhadinha no vídeo😊.
E pesquisa na internet o Teorema de Ptolomeu. Um teorema bem legal😅
Também daria para resolver aplicando lei dos cossenos no triângulo AED né??
Creio que sim
se soubesse que a diagonal de um pentágono de lado 1 é (1+raiz quadrada(5))/2, e multiplicar por 100, ficaria dada a questão . Na pior das hipóteses, faria pelo teorema de ptolomeu, uma saída mais tranquila
Muito bom
Faltou o ponto que separa os milhares, ou mudou a regra?
🤔
Para quem se lembrar de senos notáveis (múltiplos de 18°), o problema se resolve rapidamente pelo teorema dos senos. Lembrando, aqui, os "senos notáveis":
sen 18° = 0,3100
sen 36° = 0,5878
sen 72° = 0,9511
sen 108°= 0,9511
sen 144°= 0,5878
sen 162° = 0,3100
👍
Com o ângulo e os dois catetos consigo resolver a hipotenusa usando a lei dos cossenos?
Sabendo o cos108, sim
Sou Arigó de produção mecânica e regularmente preciso achar umas medidas em desenhos mecânicos para confeccionar uma peça de máquina.Quando vi o problema através da figura,logo vi a solução na trigonometria e praticamente resolvi de cabeça em dois minutos.Por que mesmo fazer esses cálculos ? São exigidos na faculdade ?
Sim, são!
O pentágono regular contém o número de ouro na diagonal (o fi). Se sabemos que é ( 1+ raiz de 5 )/2 em função do lado, é só multiplicarmos o lado pelo “fi”.
Vi num desenho do pato Donald sobre a matemática e as proporções áureas . ua-cam.com/video/wbftu093Yqk/v-deo.htmlsi=LzjQACO8qoXH0hxt
Legal
Muito bom
Poderia ser resolvido pela lei dos senos caso o enunciado desse o valor dos senos de cada angulo
Legal!
BIZU professor Cristiano Marcell !!
Obrigado
Excelente resolução mestre!
Vi uma resolução maneira pelo teorema de Ptolomeu.
Mas essa questão está salgada para o concurso que é...
Muito salgada!!