【数学科首席が教える】三角関数は定義と加法定理だけで全解決する
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- Опубліковано 10 січ 2022
- 高校数学で一番公式が多い三角関数ですが、覚える公式は加法定理だけです。三角関数って数学至上はじめての抽象的な関数ですが、実際はただの円周上の点ってことを使えばほぼすべての公式が導けます。
ーとんすけ'sプロフィールー
中学：ネトゲ廃人（2万時間プレイ）
高校：偏差値43の公立で英語欠点連発
大学：立命館大学数理科学科首席卒
大学院：ワシントン大学大学院（確率専門）
いま：データサイエンティスト・業務コンサル
--機材等--
・使用カメラ amzn.to/3dMd20q
・使用レンズ amzn.to/3oNuKH6
・ラインスタンプ www.line-tatsujin.com/detail/a...
※リンクはAmazonアソシエイトを含みます
塾で教えてもらったから最初から公式ほぼ覚えてない
三角比の時に定義を教えてもらったから斜辺を1にするように割るって考えで入試問題とか見やすめになるからいいね
0:00-1:03 一分で三角関数が何者か思い出せるすごい動画だと思います。ありがとうございました
統計を勉強するにあたって高校数学勉強しています。この動画とてもわかりやすかったです😊公式がどう導かれるかわかっているのは重要ですね。
最高です。
そうそう。三平方の定理と定義と加法定理だけであれだけの公式を導出出来るのを知った時は感動した。それに、それの方が明解だし。こういう教え方をする人が増えて欲しい。
普通に出会った人皆その教え方だけど
ほぼ還暦の塾講師です。三角比と三角関数は、ゴシック体で教科書に登場する式を全て公式だと考えると、70を超えますね。学校の教師は全部覚えろというそうで、生徒が気の毒でなりません。今日動画を拝見して、どこを省力化するかのヒントになりました。ありがとうございます。高評価とチャンネル登録をいたしました。次の動画も楽しみにしています。ありがとうございました。
加法定理もcos(a-β)の式だけ覚えてβやaを置き換えて式変形すれば残りの3式を導出できるから、覚える量をかなり減らせますね
いつも動画拝見してます。
死ぬほど分かりやすかったです…！
学生時分に学んだ時は「とにかくそういうものだから覚えて」と言われ、ひたすら三角形を使って覚えさせられたので、何をもって底辺とか決めてるんだ、とか教科書と図形の形が変わった時いまいち釈然としなかったり…公式もよく図と繋がらなかったりとモヤモヤしていましたが、こちらの動画を見てスッと理解できました、ありがとうございます。
今後とも楽しみに拝見＆応援しております。
円で考えると、確かに本当に簡単ですね、見て良かったです。ありがとうございます。
グラフを使って三角比の変形してたから単位円苦手だったんだけど、すげー分かりやすかった！
これ当時、ふと気付いてめちゃめちゃ感動した。
自分で気がつく人は数学できるひと😊😎😎
ピントあってなくてごめんネ。三角関数の合成についてはまた動画にします
たのしみです🥰
ごめんなさい、数学科首席に見えない…。数学とかよりもっと俗っぽい事に興味待ってそう。
まじでそれー
数学科ってよりただ数学がちょっとできるぐらいの人にしか見えない。
なんだろ、語彙力かなー、それか単に説明下手なのか、何が原因なのか分からんけど数学に精通した人には微塵も見えないね
いや草
なんでそんなに攻撃するんだ…？
分かんなかったらとりあえず単位円書く...いいこと覚えました❗️
とんすけちゃんかわいい
私は物理屋ですが、やはり公式は暗記するのではなく、その式を見たときに現象を頭に浮かべられることが大切ですね。
あとは微分積分の意味を理解していれば、導ける式は広がっていく。
微分積分は言葉で過程で、意味が分かっていれば勝手に出てくるものなのに、微積物理のようにテクニック化されている今の高校物理が嫌いで仕方ないと思う一介の高校生です、、
テクニック所か禁忌みたいになってますよね
積分使えないとできない問題禁止だし
暗記するにしても導出できた方が忘れない
三角関数って分かると結構好き
自分が塾で教えてるやり方と同じで安心した笑
分からなかったのが一瞬でわかったまじで神です
大吉先生は神なんやな
公式全部証明してみるのが一番いいですよね。下手な勉強よりよっぽど効率的。
すぐに終わるのなんでみんなしないんですかね？
@@tonnsuke いや、ごめんなさい僕の場合すぐには終わらないですw頭悪いのでちゃんと全てやろうとしたら短くても3ヶ月はかかります😅
青チャートとかよりはやく終わると思いますさすがに問題数少ないので😄
各公式の導出は、結局青チャートの下位互換に相当することを勉強しているに等しいですよね。与えられた公式(または簡単な数学的事実)を証明していくわけですが、各公式の導出手法を知っていれば解けるものが多いですから。@@tonnsuke
@@motchmisaore 😓
加法定理だけ覚えときゃ導き出せるって言っちゃえばそれまでなんですが、
倍角も覚えとくと四則演算の電卓だけで実用的な制度の計算は出来ますよ。
求めるのは45度未満の正弦だけですが、出したい角度を1度未満になるように２のｎ乗で割ります。
出た角度を弧度に直します。その後ｎ回倍角の公式を繰り返します。
よほど精密でない限り機械設計で必要な程度の精度ならコレで十分。もちろんπは8桁打ち込みます。
結果的に覚えてるけど公式は出せることが大事ですね！
公式を必死に覚えた受験生を嘲笑う1999年東京大学
公式を導出させる入試問題ほんと好き
わかる
学校の先生は普通に導出して考えるように教えてくれてよかった
あとコスモスコスモスサカナイサカナイもめっちゃ好きだった
いい先生だあ！
僕こすってこすってさすってさすって
だったw
@@wasabi9906
他クラスだと
シネシネコロスコロス
とかもあったらしい
@@mtjdtmtdt4987
逆だわ、まあこれで覚える人はいないと信じよう
コスコスチンチンもあるよね
数学科の人でも単位円描くのそこまで上手じゃないの安心する
ガタガタです👻
右側がやる気ありすぎた単位円💪
すげー！
三角関数が exp(z) という複素関数の実数への影のようなものだと知ったときは衝撃でした。
具体的に考えた方がめちゃくちゃわかりやすいじゃないか！（感動）
さんかくかぁ↑んすぅ、が頭から離れない、、、。
😄
んすげぇタメになったけど、ピントが草に合ってるのが面白すぎる
草が本体という説
当たり前だと思ってたから自信に繋がった
当たり前に出来ないひとおおいです😢
ほんとこれ。まぁ合成は覚えといても良いけど
合成は一回やっておかないと理屈がわからないですね😊
原則が１つあり、それを利用して導き出せる応用が１０個ある。実は原則だけ知ってれば応用も導き出せる、けど時間かかる
そこで応用の１０個を軒並み教えて暗記させる、、の繰り返しが学問の歴史で、応用の応用の応用を教わってるのが一般人
パソコンの原理知らなくても使いこなせる、自動車の仕組み理解してなくても運転する、根源から理解してるエンジニアは必要だけど、全員が理解するにはむずかしい
世界は応用だけ学んだ人によって回ってるけど、根源から理解してる専門家だけが、きっと新しい何かを見つけて名を遺すんだろうな・・
公式と公式の関連性を新しく発見できる人が・・新しい公式を作るんだ
九九の表、斜め半分だけ覚えろて言われた時と同じ位衝撃的でした。
暗記しろて言われて自分で考えずに漫然と覚えるとやっぱり駄目ですね。
こんにちは。
面白かったです。
植物のことを草って表現してからそっちにしか集中できませんでした。
そっちにピントあっちゃいましたね😆
東大の1999年の過去問で加法定理を証明させる問題あり、面食らった覚えがありますね。今は解決し（そして忘れ）ましたがなかなか証明思い付かなかったです。
じゃあいくつかある証明の仕方の中から覚えてない状態で導けるかといわれるとやはり無理があると思われるので加法定理は覚えないといけませんね
ベクトルと見て内積を使えばcosの加法定理は簡単に導けますし、そこからsinの加法定理も簡単に導けますよ。
@@たまぱす
ベクトルの内積とcosって循環論法がちょっと怖いですけど大丈夫ですかね？
@@user-jr3zp8dw9z
ベクトルの内積が大きさとcosで表せるのはコーシーシュワルツの不等式から導けるものなので大丈夫だと思います。自分は言っても物理学科なので厳密には分からないですが。
少なくとも加法定理を導くと言う作業的には問題無いと思います。
実はsinも外積を使って導けるらしいですが、外積で出てくるのはあくまでベクトルなのでちょっとそのまま使っていいか分からないんですけど、加法定理を出したいだけなら外積を使っても大丈夫です。まあcosからsinを出した方が安全？だと思いますけど。
①加法定理は作図で導けます
②オイラーの式使う
③任意の回転行列を2回施す
(基本的に)公式使う前に、頭の中で証明できるくらいになるまでは、毎回証明過程を記さないとダメ縛りしてたら、だんだん大抵の問題は一般化された公式の導出過程を単に具体値や定数で改めて計算してるに過ぎないことに気づいて、数学ができるようになってきて好きになった❤❤
スバラシイ💪💪💪
数学史の流れとして三角関数と呼ぶのはしょうがないと思うが、一部界隈から三角関数ではなく円関数と呼んだ方が良いという意見出ていることになるほどと思ったことがある。古くは直角三角形の３辺の比から三角比を定義したが、角度が０°以下になったり９０°を超える時にも使えるように三角形という思考の枠を捨てて円に対応させた。また数学史の発展の後に楕円関数に到達したとき、振り返ってみると名前の整合性の観点から円関数と呼ぶのが自然だそうだ。私も三角関数というネーミングがギクッっとさせる原因の一旦ではないかという気もしてる。（なんで急に単位円なんて出てきたんだと思う生徒が多いように思う。※教科書にはちゃんとせつめいされてるけどね・・・円関数と名前自体を変えれば数学が次のステージに進んだことが明確に生徒につたわるんじゃないかな。）
すごく初歩的なのですが、もし大丈夫でしたら、関数を比例〜二次まで簡単に説明するような動画を撮ってくれないかな…なんて思ってしまいました。もし可能でしたら、とんすけさんの関数の解説を拝見してみたいです。
なかなかむつかしいですね🧐
思いついたらやってみます
わかりやすい!
でも sinもcosも一つの変数θできまっているんだから当然この二つには関係がないとおかしい
というのはどういうことなんだろう、、、
sin（θ＋π/2）＝cosθをsin（θ＋a）のサイコスコスサイとかで導出したけどもっと楽な方法があったとは…
加法定理理解出来とけばそれ以外の公式けっこう導ける
昔は高校で行列を習っていて、加法定理は2回、回転させれば出てくると教わったので、最終的には加法定理もあやふやにしか覚えてませんでした。
かなり昔の東大理１合格者が、数学の試験の後、試験中、三角関数の定義が単位円だと忘れてて青ざめたと言ってたので、
基本を分かっているか試す問題があったのですかね。
ついでにCORDICアルゴリズムも勉強しておくと良い
三角関数の解き方
①単位円を描きます
②有名角のsinやcosの値を1秒で出せない人は1:1:√2と1:2:√3の三角形を描いて比率を辺の隣に書いておきます
③あとはどうにでもなります
おわり
正解！
理想的なのは、導けるようにしておいて、使ってるうちに全部覚えてしまう事ですかね 入試は時間との戦いでもあるので…
そうですね👍
草が話してて、ヒトが口パクしてると想像すると、ちょっとツボに入った。
草が本体だった...!?
積和を加法定理だけで求められるの最近知った。友達みんな覚えようとしててかわいそう😢
みんなが幸せならそれでおっけーです👍
キレイな草ですね
ソテツちゃんです
オイラーの公式を覚えておけば良い
それはそう
問題によって違うのでしょうが、半角、倍角の公式の使い分けを場合わけして欲しいです。
なぜなら倍角の公式の角を1/2にすれば半角が出現しますし半角の式の角度を2倍すれば2倍角が出現します。
俺はこの定義を中2で知れたのほんまに恵まれてると思うわ。今思うと
社会人で独学してるんだが
2cosAcosB=cos(A-B)+cos(A+B)
2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)
ではアカン？ 合ってる？
多分合ってます😎
@@tonnsuke
あざます！ ずっと気持ち悪かったんですよね……
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
最後だけマイナスが付くの……
cosはいじわるなやつなんですよ
なんでか知らんけど, 定義も単位円も覚えているのに使うのへたっぴな人が多いから苦労している印象.
式変形をサラサラできることが大事だよね.
高校数学のすべてについて「これだけ」講義をやっていただきたいです。
三角関数ほど顕著な分野はありませんね🥶
公式は役割が違うよね。導出できるんは当たり前やけど、テスト中にいちいちしてたら時間が足らない
それはそう
加法定理だけは導出より覚えたほうが楽
本当にそう
東大でも問題に出るレベルの難易度だから...
ちゃーんと単位円で覚えてたなあ。
公式忘れても導出できりゃいいからな。
まぁ結局おぼえちゃったが。
まじでネイティブ並に日本語上手いですよ！
😨
単位円でθ[radの時、扇形の弧の長さはθです。しかし、（cosθ,sinθ)の座標になるという定義はないと思うのです。cosθとsinθが二階微分方程式での解と同一になりますが、証明は難しいのです。
座標で定義はできないんですかね？
曲線と弧長あたりで定義してあげれば、微分方程式は満たしそうなのでいけるきがしてます🧐
あるとき、大学の数学の先生が、弧度法の三角関数と二階微分方程式の解の三角関数がうまく一致していることに驚いていました。証明を知らなかったようです。
公式を丸暗記するか定義を理解して他の公式を導けるようになるかの最初の分かれ目は、小学校で習う「速度=距離/時間」ではと思います。最初から「は・じ・き」の丸暗記に頼る癖をつけさせるのは...せめて変形が楽な「速度×時間=距離」のみ覚えて他の2つは導く教え方の方が。
記憶力に頼る勉強癖で育った人は自分の頭で(より深く)物事を考なくなり権威や常識を鵜呑みにする大人に...
はじきはたしかにいい例ですね
加法定理も単位円と三平方の定理から比較的容易に導けますよ。
ちょっと難しい気がします
東大数学にもでたくらいですからね😧
なんかの参考書で「sinとtanの公式もあるよ」とか言ってたから見てみたらただ式変形しただけで鼻で笑ったわ
それは鼻で笑ってください
杯は円、対数は関係ないかなあ？
和積、積和を使う条件？タイミングみたいなんがよく分かりません。
和を積にすることで方程式を解きやすくしたり、積を和にすることで積分をしやすくしたり
メリットが分かってるといいですね😊
波の節の位置を求める時と積分する時に使う
複素平面を知れば良い
私も指導の際に（特に理系生）は定義と加法定理を覚えてあとは導けるから証明の流れを覚えておけと伝えています。
共通テストなどの時間制限が厳しい試験の前にはある程度覚えてほしいところですが
国公立二次試験などある程度時間がある試験ならば自分で導いていても時間はあると合わせて伝えています。
逆にいうと、加法定理以降の定理は自分で証明できないようでは中堅大学でも三角関数で苦労するでしょうね。
やっぱりそうなりますよね🥺
導出の繰り返しの中で自然に覚えてるというのがベストです😚
積和を導出できるレベルの頭脳を持つ人間はそもそも積和の暗記で詰まったりしない
ベクトルを使って三角関数を教えてもらった時に色々「繋がった」感があった。
数学は深く関わり合ってるんです🥺
sin（π−θ）とかはグラフ書いて考えてる
そこらへんは一般のf(x)で考えたほうがよいです✌️
sinのグラフのπの位置からθだけ戻っていくグラフだからsinθと同じになるって考えてたんですがf(x)で考えるとはどういうことなんですか？
数Iで三角比やって数IIで三角関数習うけど正直統一した方が良いなって思ってますw
【単位円について】そもそも角度というのが長さで表すと比になります。重さとか長さとは違う単位であることにほとんどの人が気が付いていない。分度器は半円の周上に点を打って角度を表しています。円周の長さで角度を表しているのですが、分度器の大きさ(つまり半円の半径)はさまざまです。つまり、円を表す半径と円周の比で角度を表しています。逆に見ると半径が異なる半円上に例えば30度を示す点を記録していくと中心から伸びる直線になります。どこでも30度です。どこでも30度なら半径1の円で表せばいい。そこで単位円が出てきます。
何で半径1の円で代表していいのかというのは角度は長さの比で表されるからです。一つの長さには依存しないからです。sin、cosを単位円で考えると良いということはどの教科書にも詳細に記載されているのですが、生徒がそれに注目出来ないのは角度の持つ性質が他の単位とは異なることに気が付いていないからです。「天才」は自然に気が付いて自覚していないので説明ができないのです。わたしがこれに気が付いたのは三角関数を習って数十年してからです。その間は単位円でなぜいいのかが、納得がいきませんでした。
私は大学2年生のときに気が付きました
結構大事ですよね
こういう教師に習いたかった（笑）永遠の数弱より。
覚えるけど、忘れても導出できるようにするでよくない？
導出繰り返すと結果的に覚えるので、結局はそうですね😊
ピタゴラスが偉かった。
3倍角とかは導出めんどいから覚えたほうがいい
加法定理で(2θ+θ)と(θ+θ)の組み合わせでn倍角は出るんだから覚えなくていいと思うけどなぁ
そこらへんは覚えてもいいですし導出してもいいですね
まぁ、何回も問題で導出していれば、そのうちにほぼ覚えてしまいますよね。
@@user-gl3lh8nb4b だからその計算がダルいって言ってるだろw
その十何秒が入試じゃ命取りだぞ
倍角の出し方なんでほとんどの人は知っとるわwww
@@低学歴キラー ド・モアブル使えばそんなかからんくね？
三角関数は覚える必要ない公式多いですよね
あとlog系も節約できる気がします
本当にそのとおりだと思います😍
三角関数は自分で気づいて先に単位円から始めたな
教科書自体が、全体像の結論から喋らないコミュ症みたいなもんだから、教科書やるなら後ろから勉強した方が圧倒的に理解早まる
「まるい」三角函数！
そんなことより黒板がある生活ってのを聞きたい
粉雪舞います
加法定理を単位円使って証明するならα、βのベクトルの内積を考えれば良いですよね。
そういう方法もあるんですねえ
東大の問題の場合はsin,cosの定義から入ってるので、たぶん余弦定理（⇔内積の同値等式）を証明なしに使うと減点くらう気配がしますが、一般的にはかしこいですね😆
数学の定義の大体に言える気がするけど、定義はお固く纏まりすぎてて、何をしたいのかっていう気持ちが分かりにくいのが良くない
三角関数なら
角度の情報から長さの情報へ変換する(できる)やつ
みたいな気持ちで定義を見ればなるほどってなるけど知らずに見るとはぁで終わってしまってその後の公式等の繋がりが見えなくなる
そういう定義の気持ちを教えられる先生が多くなればいいんですけどね😥
無限級数で定義するのかと思った
えぇ
トレミーの定理だけ覚えとけば加法定理すらもいらないですね()
トレミー知らないです🥺
ピントが草に合ってるは草www
すいません
ｗ
これは瞬間的に出来なきゃダメ
なのよいちいち導いてたら
タイムオーバーになります
段階
導けるように練習するんだろ
導出するけど導出した結果が合ってるか確認するために結局覚える
何で公式があんなに多いのか。
三角関数は主に物理で頻用する。
公式として提示されている三角関数の公式は物理の世界で頻用されるものであり、全て自由自在に利用できなければ話にならない。
こんな公式はいちいち全てを覚える必要はない…というのは理屈としてはわかるが、利用する側からしたら、いちいち導かなければならないようなレベルでは三角関数を縦横無尽に使えない。
ただし、ど忘れした時に即導くことかできるのは必須である。
何回も導けば結局覚えます😎
自転車の乗り方みたいなもんですね
試験のこと考えなければど忘れしたら検索すればいいんだけどね
私は三角関数の定義というと「解析入門Ⅰ」の無限級数による定義を思い浮かべてしまう。
天下り式に定義をして、素朴な三角関数の定義と同じことをチェックするという感じだったことを覚えている。
たぶん、大学の数学科だったら冪級数による定義か正弦関数の逆関数を用いた定義を習うはずです。
数学は本当に定義の更新が好きですよね😗
ピント、草に負けんの草
続きはfantiaで
なにそれ
「左右対称なんで」の説得力の無さw
👻👻👻
三角関数が二つの事象の相互作用を、数学的にモデル化したものと捉えると、単なる計算問題ではなく、世界を表現する方法と言えます。
そうすると、理系と文系という区別を超えた普遍的な概念となります。
仏教の縁起、色即是空など。
@タッツー 「塞翁が馬」やろ。
読点の位置がおかしいから読みづらいんよな、この文章。
概念理解してないと難関なんて解けるわけ／(^o^)＼
／(^o^)＼
ン十年前円を使って教えて貰えたら俺の人生は変わっていたな。 こういうのを授業で
教えて貰いたかった。
こういう公式を覚えずにその場で導出していた自分の意見としては、多くの難関大受験生にとってはやはり公式を語呂合わせを駆使して覚えるのがおすすめです。
もちろん、あなた自身の受験のためではありません。
大学合格後に割のいい仕事である家庭教師をしたいときのためです。家庭教師を頼まれる子弟の多くは、難関大に受かるにはきっといろんなテクニックがあるんだと思い込んでいるので公式を知らないとこの先生使えないという目で見られる確率が一定程度あるためです。(計算力がそこまでないという現実も併せて考えると実際に公式を語呂合わせでも使って教えた方が成績が上がるケースも多いです)
大学に入ったら学業に専念するんだ！という方や、超進学塾の講師に内々定しているというケースや、アルバイトするにしても受験産業とは異なる産業で働くんだという志のある方には全く関係ない話ですが、大学名を生かして割のいいバイトをしてキャンパスライフをエンジョイするんだ！なんて思ってる方は是非公式をたくさん覚えましょう。
面白い意見ですね🥺
確かにそのとおりだと思います
私の場合は逆にそんな公式あったっけ？って言ってからその場で導出してました😂
「覚えてないから教えて」も常套句です🥶
@@tonnsuke 酷い視点の意見ですみません(笑)
一部の受験界隈で、「公式使って10秒で解けるのが頭いい」みたいな価値観が蔓延してて良くないです。
本質的には動画の通りだと思っています。公式に頼って(導出方法忘れて)るとド忘れした時怖いですし。
@@miyatyuって考えると今の受験制度ってよくないよなぁ、、、
そんな意図なかったら申し訳ないですが、皮肉効いてて笑ってしまいました笑
オイラーの公式使えば加法定理すら覚える必要ない
ド・モアブルは高３でやるんですかね😙
ド･モアブルを中2でやらされたのは、何かの間違いだったのだろうか。
えぇ...
@@user-dl5tb9pr8q
ド・モルガンじゃなくてですか…！？
@@user-yh5ih5zm4l 集合のド・モルガンではないですー
それもやりましたけどもね、